第六章_二元函数微积分
二元函数曲线积分
二元函数曲线积分一、引言二元函数曲线积分是微积分中的一个重要概念，它在物理、工程、经济等领域中都有广泛的应用。
本文将从定义、性质、计算方法等方面进行介绍和探讨。
二、定义二元函数曲线积分是指在曲线上对二元函数进行积分的过程。
设曲线C为参数方程x=x(t)，y=y(t)，a≤t≤b，则二元函数f(x,y)在曲线C上的积分为：∫Cf(x,y)ds=∫ba[f(x(t),y(t))√(x'(t)²+y'(t)²)]dt其中，ds表示曲线C上的弧长元素，x'(t)和y'(t)分别表示x(t)和y(t)对t 的导数。
三、性质1. 二元函数曲线积分与路径有关，即积分值与曲线的具体形状有关。
2. 二元函数曲线积分具有可加性，即对于曲线C1和C2，有∫C1+C2f(x,y)ds=∫C1f(x,y)ds+∫C2f(x,y)ds。
3. 二元函数曲线积分与参数化无关，即对于同一条曲线，不同的参数化方式得到的积分值相同。
4. 二元函数曲线积分具有保号性，即当f(x,y)≥0时，∫Cf(x,y)ds≥0。
四、计算方法1. 直接计算法：将曲线C的参数方程代入积分式中，进行积分计算。
2. 参数消元法：将曲线C的参数方程表示为y=y(x)，然后将y'(x)代入积分式中，进行积分计算。
3. 极坐标法：将曲线C的参数方程表示为r=r(θ)，然后将r'(θ)代入积分式中，进行积分计算。
五、应用举例1. 计算曲线积分∫C(x²+y²)ds，其中曲线C为圆x²+y²=1。
解：将圆的参数方程x=cos(t)，y=sin(t)代入积分式中，得到：∫C(x²+y²)ds=∫0^2π[(cos²(t)+sin²(t))√(cos²(t)+sin²(t))]dt=2π2. 计算曲线积分∫Cxyds，其中曲线C为从点(0,0)到点(1,1)的直线段。
二元函数微积分偏导数和全微分(课堂PPT)
的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导
数:
x
( z ) x
2z x2
fxx(x,y);
(z) y x
2z x y
fxy(x,y)
x
(
z y
)
2z yx
fyx(x,
y);
y(yz)y2z2fyy(x,y)
.
16
类似可以定义更高阶的偏导数.
例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为
二元函数微积分
一元函数微分学 推广
二元函数微分学 注意: 善于类比, 区别异同
.
1
二元函数的基本概念
一、区域 二、二元函数的概念
.
2
区域
平面点集： 平面上满足某个条件的一切点构 成的集合。
平面区域： 由平面上一条或几条曲线所围成 的部分平面点集称为平面区域，ຫໍສະໝຸດ y 通常记作D。边界·
01
闭开区域
x
.
例3. 求 r x2y2z2 的偏导数 .
解:
r
2x
x
x 2 x2 y2 z2 r
r y , r z y r z r
.
13
例4. 已知理想气体的状态方程 pVRT(R 为常数) ,
求证: pVT 1 V T p
证: p RT , V
p V
RT V2
说明: 此例表明,
V RT , V R p T p
.
8
定义： 设函数 zf(x,y)在点 (x0,y0) 的某邻域内
极限
lx i0m f(x0x,y0 x)f(x 0 ,y0)
存在, 则称此极限为函数 z f( x ,y )在 ( x 0 ,y 点 0 )对 x
第六章多元函数微积分复习概要
第六章多元函数微积分复习要点一、基本概念及相关定理1.多元函数的极限定义：函数(,)z f x y =在区域D 内有定义，当点P(x ,y )D ∈沿任意路径无限趋于点000(,)P x y (0P P ≠)时, (,)f x y 无限趋于一个确定的常数A,则称常数A 是函数(,)z f x y =当P(x ,y )趋于000(,)P x y 时的极限.记作0lim (,)x xy y f x y A →→=,或00(,)(,)lim(,)x y x y f x y A →=,或(,)f x y A →,00(,)(,)x y x y →,或lim (,)f x y A ρ→=,或(,)f x y A →,0ρ→.其中，ρ= 2.二元函数连续的定义：函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域0()U P 内有定义，如果对任意0(,)()P x y U P ∈，都有0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=（或0lim ()()P P f P f P →=），则称函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处连续.3.偏导数的定义：函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域0()U P 内有定义.（1）函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处对x 的偏导数定义为00000(,)(,)lim x f x x y f x y x∆→+∆-∆，记作00x x y y zx ==∂∂，或00x x y y f x==∂∂，或00(,)x z x y '，或00(,)x f x y '，即x x y y zx==∂∂=00000(,)(,)lim x f x x y f x y x∆→+∆-∆.（2）函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处对y 的偏导数定义为00000(,)(,)lim y f x y y f x y y∆→+∆-∆，记作00x x y y zy ==∂∂，或00x x y y f y==∂∂，或00(,)y z x y '，或00(,)y f x y '，即x x y y zy==∂∂=00000(,)(,)lim y f x y y f x y y∆→+∆-∆.而称z x∂∂，或f x ∂∂，或(,)x z x y '，或(,)x f x y '及[z y ∂∂，或f y∂∂，或(,)y z x y '，或(,)y f x y ']为（关于x 或关于y ）偏导函数.高阶偏导数：22(,)xx z zf x y x x x∂∂∂⎛⎫''== ⎪∂∂∂⎝⎭或(,)xx z x y ''， 2(,)xy z zf x y y x x y∂∂∂⎛⎫''== ⎪∂∂∂∂⎝⎭或(,)xy z x y ''， 2(,)yx z zf x y x y y x⎛⎫∂∂∂''== ⎪∂∂∂∂⎝⎭或(,)yx z x y ''， 22(,)yyz zf x y y y y⎛⎫∂∂∂''== ⎪∂∂∂⎝⎭或(,)yy z x y ''. 同理可得，三阶、四阶、…，以及n 阶偏导数.4.全微分定义：设函数(,)z f x y =在点(,)P x y 的某一邻域()U P 内有定义，若函数在点(,)x y 的全增量(,)(,)z f x x y y f x y ∆=+∆+∆-可表示为()z A x B y ρ∆=∆+∆+，其中A 、B 不依赖于x ∆、y ∆，仅于x、y有关，ρ=，则称函数(,)z f x y =在点(,)x y 处可微分，称A x B y ∆+∆为函数(,)z f x y =在点(,)x y 的全微分，记为dz ，即dz A x B y =∆+∆.可微的必要条件：若函数(,)z f x y =在点(,)x y 处可微分，则（1）函数(,)z f x y =在点(,)x y 的偏导数z x ∂∂、zy∂∂必存在；（2）全微分为z z dz x y z x y z dx dy x y∂∂+∂∂∂=∆+∆=∂∂∂. 推广：函数(,,)u f x y z =在点(,,)x y z 的全微分为u u udu dx dy dz x y z∂∂∂=++∂∂∂.可微的充分条件：若函数(,)z f x y =的偏导数z x∂∂、z y∂∂在点(,)x y 处连续⇒(,)z f x y =在点(,)x y 处可微分.5.复合函数微分法（5种情况，由简单到复杂排列）： （1）含有多个中间变量的一元函数(,,)z f u v w =，()u u x =，()v v x =，()w w x =，则dz z du z dv z dwdx u dx v dx w dx∂∂∂=++∂∂∂， 称此导数dzdx为全导数；（2）只有一个中间变量的二元复合函数 情形1：()z f u =，(,)u u x y =，则z dz ux du x∂∂=∂∂ ，z dz u y du y∂∂=∂∂. 情形2：(,,)z f x y u =，(,)u u x y =，则z f z u x x u x∂∂∂∂=+∂∂∂∂ ，z f z u y y u y∂∂∂∂=+∂∂∂∂. zx wv u xx zuyxzy yuxx其中，f x∂∂与z x∂∂是不同的，z x∂∂是把复合函数[,,(,)]z f x y u x y =中的y 看作不变量而对x 的偏导数；f x∂∂是把函数(,,)f x y u 中的y 及u 看作不变量而对x 的偏导数。
高等数学二元函数的基本概念
称为定义
点集 D 称为函数的定义域 ;
数集 z z f ( x, y ) ,(x, y) D 称为函数的值域.
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例如, 二元函数 z 1 x2 y2
定义域为圆域 (x, y) x2 y2 1
图形为中心在原点的上半球面.
z
O x
1y
说明: 二元函数 z = f (x, y), (x, y) D
的图形一般为空间曲面 .
O
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三、二元函数的极限
定义2. 设二元函数 f (x, y)在点P0 (x0, y0) 的某个去心
邻域内有定义.若存在常数 A ,对任意正数 , 总存在正
数 , 使得当 P U (P0, δ) 时, 都有
边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .
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(2) 聚点
若对任意给定的 , 点P 的去心
E
邻域
内总有E 中的点 , 则
称 P 是 E 的聚点.
聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为
E 的边界点 )
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(3) 开区域及闭区域
• 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；
• E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;
• 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 ,
则称 D 是连通的 ; • 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ; • 开区域连同它的边界一起称为闭区域.
D 。。
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例如，在平面上Leabharlann (x, y) x y 0
二元函数可微的充要条件公式
二元函数可微的充要条件公式在微积分学中，函数的可微性是一个重要的概念。
对于二元函数，其可微性的判定条件可以通过偏导数的存在与连续性来确定。
下面将详细介绍二元函数可微的充要条件公式。
设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某个邻域内有定义，如果函数在点(x0,y0)的偏导数存在且连续，那么函数在该点可微。
偏导数的存在性与连续性是二元函数可微的重要条件。
具体而言，对于函数f(x,y)，如果其在点(x0,y0)的偏导数∂f/∂x和∂f/∂y存在且在该点连续，那么函数f(x,y)在点(x0,y0)可微。
这个结论可以用数学公式来表示：∂f/∂x = lim(Δx→0) [f(x0+Δx, y0) - f(x0, y0)] / Δx∂f/∂y = lim(Δy→0) [f(x0, y0+Δy) - f(x0, y0)] / Δy其中，lim表示极限运算。
这两个公式分别描述了函数f(x,y)对x和y的变化率。
如果这两个变化率存在且连续，那么函数在该点可微。
需要注意的是，函数可微性是一个局部性质，也就是说，函数在某一点可微，并不意味着在其它点也可微。
因此，在判断函数的可微性时，需要对每个点进行判断。
通过上述的公式和条件，我们可以判断一个二元函数在某点是否可微。
如果函数在该点可微，那么我们可以对该函数进行一阶近似，用切平面来逼近函数。
切平面方程的斜率就是函数在该点的偏导数。
总结起来，二元函数可微的充要条件是：函数在某一点的偏导数存在且连续。
这个结论是微积分学中的重要定理，对于理解和应用二元函数的可微性有着重要的意义。
通过本文的介绍，我们详细解释了二元函数可微的充要条件公式，并给出了相应的数学定义和解释。
希望读者通过本文的阐述，对二元函数的可微性有更深入的理解和应用。
二元函数的全微分与偏微分
二元函数的全微分与偏微分在数学中，二元函数指的是由两个变量所组成的函数。
在微积分学中，我们常常需要通过求全微分和偏微分来研究它们的性质。
本文将详细介绍二元函数的全微分与偏微分的概念、公式、性质和应用。
一、全微分全微分指的是对二元函数在全部自变量变化下的微小变化的描述。
用数学语言表述，就是对二元函数f(x,y)进行全微分得到：df = ∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy其中，dx和dy分别是自变量x和y的微小变化，∂f/∂x和∂f/∂y是分别对应自变量的偏导数。
由此可见，全微分是对于在全部自变量变化下函数的总体变化的描述。
它是一个线性映射，可以看成是一个一阶线性微分方程。
二、偏微分偏微分指的是对二元函数在某一个自变量上的微小变化的描述。
用数学语言表述，就是对二元函数f(x,y)在x处进行偏微分得到：∂f/∂x = lim [f(x+Δx, y) - f(x, y)] / Δx其中Δx是自变量x的微小变化。
同样地，我们也可以对y进行偏微分，得到∂f/∂y = lim [f(x, y+Δy) - f(x, y)] / Δy通过对函数在不同自变量上的偏微分，可以衡量函数对于不同自变量的敏感程度。
我们将偏导数求出之后，就可以得到函数在某一个点上的切线斜率。
三、全微分与偏微分的关系可以证明，在全微分df存在的情况下，二元函数f的所有偏导数都存在，且偏导数等价于全微分中对应自变量的系数。
也就是说，对于全微分中的dx和dy，我们可以将它们当做对应自变量的微小变化，然后通过求偏微分来得到对应自变量的系数。
这样，我们就可以用全微分中的系数来计算相应自变量的偏微分。
而反过来，只有一个函数在全微分存在的条件下，它的偏导数才有意义。
换句话说，全微分是偏微分的前提条件。
因此，在使用全微分和偏微分的时候，我们应该注重它们之间的互动和联系。
四、全微分和偏微分的应用在实际问题中，我们经常需要对二元函数进行全微分和偏微分的计算和应用。
二元函数微积分——偏导数和全微分解读
z f , , z y , f ( x, y ) , f ( x, y ) y 2 y y
偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 .
例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的
偏导数定义为
x x
x
x
f y ( x, y , z ) ?
r2
内容小结
1. 偏导数的概念及有关结论
• 定义; 记号
2. 偏导数的计算方法 • 求一点处偏导数的方法 • 求高阶偏导数的方法
先求后代（把其他 变量视为常数）
利用定义
逐次求导法
练 习
1、求二元函数 z x ye 的各二阶偏导数。
2 y
3 3 2
2、 求二元函数 z x y 3 xy 的各二阶偏导数。
定义： 设函数 z f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某邻域内 极限
x0 x
x
x0
存在, 则称此极限为函数 z f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 对 x 的偏导数，记为
f ; zx x ( x0 , y 0 )
( x0 , y 0 )
;
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) 注意: f ( x , y ) lim x 0 0 x 0 x
例3. 求 的偏导数 . 2x x r 解: 2 2 2 x 2 x y z r r z z r
(R 为常数) , 例4. 已知理想气体的状态方程 求证: p V T 1 V T p RT p RT 2 , 证: p 说明: 此例表明, V V V 偏导数记号是一个 RT V R V , p T p 整体记号, 不能看作 分子与分母的商 !
微积分——多元函数及二重积分知识点
微积分——多元函数及二重积分知识点
一、多元函数
多元函数是指变量、个数多于一个的函数。
常见的函数可以分为二元、三元函数。
1、二元函数
二元函数是指变量、个数为两个的函数，常见的二元函数有：二次函数、双曲线函数等。
（1）二次函数
二次函数是指用一元二次方程记录的函数，一般格式为：y=ax²+bx+c，其中a≠0，则二次函数是一个关于x的二次多项式函数，当a>0时，它
的图像呈现出U形；当a<0时，它的图像呈现出锥形。
（2）双曲线函数
双曲线的定义式有很多种，常见的有标准双曲线、变形双曲线等，它
们的共同特点是，双曲线的图像都是上下对称的，它们的定义式具有一定
的对称性。
2、三元函数
三元函数是指变量、个数为三的函数，一般格式为：z=f（x,y），它
们也有很多类型，比如极坐标函数、椭圆函数、正弦函数、余弦函数等。
（1）极坐标函数
指的是用极坐标表示的只有一个变量的函数，通常表示为r=f（θ），其中r代表半径，θ代表角度，则r随着θ的变化而变化，极坐标函数
的图像一般是一个圆或者椭圆。
（2）椭圆函数
椭圆函数是指以椭圆为图形的函数，一般表示为：
（x-x0）²/a²+(y-y0）²/b²=1，其中a是x轴的长半轴，b是y轴的
长半轴，x0、y0是椭圆圆心坐标。
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引例:
• 圆柱体的体积
r
h
• 定量理想气体的压强
• 长方形的面积公式 S xy x, y x 0, y 0
微积分
定义：设在某个变化过程中有三个变量
x, y和z，D是平面上的一个非空点集.
如果当变量x, y在D内任取一组值时，变量z按照某 一确定的法则f总有唯一确定的数值与之对应，则称 变量 z为变量x, y的二元函数，通常记为
x4
y2
xy 2
(2)
lim
(x, y)(0,0)
x2
y2
xy
(4) lim ( x, y)(0,0)
微积分
整个平面 是最大的开域 , 也是最大的闭域；
点集 (x, y) x 1是开集，
但非区域 .
y
1o 1 x
• 对区域D,若存在正数K,使一切点PD与某定点
A 的距离 APK ,(或总可以被包围在一个以原 点为中心、半径有限大的圆内的区域）则称D为有界域.
否则称为无界域.
微积分
二、二元函数的概念
二、二元函数的极限（又称二重极限）
定义:设函数 z f ( x, y)在点 p0(x0,y0)的某个去心邻域
内有定义，如果存在常数 A，使得当动点 p(x, y)沿任意 路径趋于点 P0(x0, y0) 时，函数 f ( x, y) 总无限趋于 A,则 称常数 A 为函数 f ( x, y) 当 (x, y) (x0 , y0 )时的极限.
为二元函数的图形.
（如下页图）
微积分
二元函数的图形通常是一张曲面.
微积分
例1 求 f ( x, y) arcsin(3 x2 y2 ) 的定义域． x y2
解
3 x2 y2 1
x y2 0
2 x2 y2 4
x
y2
所求定义域为 D {(x, y) | 2 x2 y2 4, x y2}.
此二元函数的极限一定不存在；
（4） lim , lim 表示的是累次极限，与二重极限 lim 不同.
xx0 , y y0 y y0 , xx0
（x, y )( x0, y0 )
微积分
例题讲解
求下列极限
(1) lim sin(xy)
( x, y )(1,0)
y
x2 y
(3)
lim
(x, y)(0,0)
z f x, y, x, y D
其中点集D称为该函数的定义域，x, y称为自变量，z称为因变量.
数集 z z f x, y, x, y D 称为该函数的值域.
微积分
二元函数 z f ( x, y)的图形
设函数z f ( x, y)的定义域为 D，对于任意 取定的 P( x, y) D，对应的函数值为 z f ( x, y)，这样，以 x为横坐标、 y 为纵坐 标、z为竖坐标在空间就确定一点 M( x, y, z)， 当 x取遍 D上一切点时，得一个空间点集 {( x, y, z) | z f ( x, y), ( x, y) D}，这个点集称
2) 聚点可以属于E ,也可以不属于E(因为聚点可以为
E 的边界点 )
例如,{( x, y) | 0 x2 y2 1} (0,0) 是聚点但不属于集合．
例如, {( x , y ) | x2 y2 1 } 边界上的点都是聚点也都属于集合．
微积分
(3) 开区域及闭区域
• 若点集E的点都是内点，则称E为开集；
微积分
第六章 二元函数微积分
一元函数微分学 推广
多元函数微分学
注意: 善于类比, 区别异同
微积分
第一节 二元函数的基本概念
一、平面点集 二、二元函数的概念 三、二元函数的极限 四、二元函数的连续性
微积分
一、平面点集
1、邻域
设 P0 ( x0 , y0 )是 xoy平面上的一个定点， 是 某一正数，与点 P0 ( x0 , y0 )距离小于 的点 P( x, y)的全体，称为点 P0的 邻域，记为
微积分
例如, z sin xy 图形如右图.
例如, x2 y2 z2 a2
z
左图球面.
D {(x, y) x2 y2 a2}.
o
y
单值分支: z a2 x2 y2
x
z a2 x2 y2.
微积分
z
z 1 ( x2 y2 )图形
o
y
x
z
z 1)，
U(P0, ) P | PP0 |
• P0
( x, y) | ( x x0 )2 ( y y0 )2 .
微积分
2. 区域
(1) 内点、外点、边界点
E
设有点集E及一点P :
• 若存在点P的某邻域 U(P) E ,
则称P为E的内点；
• 若存在点P的某邻域 U(P)∩E = ,
记作:
lim f ( x, y) A
（ x,y)(x0 , y0 )
lim f (x, y) A
(x, y)(x0 , y0 )
ε 0, δ 0, 当0 PP0 δ时， 有 f (x, y) A ε
微积分
几点说明：
（1）定义中 P P0 的方式是任意的；
（2）罗必塔法则不可用；
（3）若 P P0 的方式不同，使得极限不相同，则
• E 的边界点的全体称为E 的边界,记作E ;
• 若点集E E , 则称E为闭集；
• 若点集D中任意两点都可用一完全属于D的折线相连，
则称D是连通的；
D
• 连通的开集称为开区域，简称区域 ； 。
• 开区域连同它的边界一起称为闭区域. 。
微积分
如果点 P 的任一个邻域内既有属于 E 的点， 也有不属于 E 的点（点 P 本身可以属于E ，也 可以不属于 E ），则称 P 为 E 的边界点．
•P
E 的边界点的全体称为 E 的边界．
E
微积分
例如，在平面上
(x, y) x y 0
开区域（连
(x, y) 1 x2 y2 4 通的开集）
(x, y) x y 0
(x, y) 1 x2 y2 4
y
y
闭区域（开 区域连同它 的边界）
o
x
o 1 2x
y
o
x
y
o12 x
则称P为E的外点 ;
• 若对点P的任一邻域U(P)既含E中的内点也含E 的外点 ,则称P为E的边界点 .
显然,E 的内点必属于E , E 的外点必不属于E ,E 的
边界点可能属于E, 也可能不属于E .
微积分
（2）聚点
若对任意给定的 ,点P 的去心
E
邻域
内总有E 中的点 ,则
称点P是E 的聚点.
说明： 1) 内点一定是聚点；