第六章 多元函数微分学及其应用
多元函数微分法及其应用总结
多元函数微分法及其应用总结多元函数微分法及其应用是高等数学中一个重要的内容。
多元函数是指自变量有两个或者多个的函数，如z=f(x,y)。
而微分法是研究函数的变化率的一种方法。
本文将对多元函数微分法及其应用进行总结。
1. 多元函数微分法的基本概念多元函数的微分可以分为偏导数和全微分两种形式。
对于多元函数z=f(x,y)，其偏导数表示函数在某一自变量上的变化率，可以记作∂z/∂x，∂z/∂y。
全微分表示函数在所有自变量上的变化率，可以记作dz。
多元函数的微分法有很多性质和定理，如链式法则、高阶偏导数、隐函数定理等。
2. 多元函数的极值与最值利用多元函数微分法，我们可以求多元函数的极值与最值。
对于多元函数z=f(x,y)，其极值、最值的求解步骤大致如下：（1）求函数的偏导数，得到所有的偏导数；（2）令所有的偏导数等于零，求解出关于x和y的方程；（3）求解方程组，得到x和y的解；（4）将解代回原函数，求得z的值；（5）比较求得的z值，得到最大值或最小值。
3. 多元函数的泰勒展开多元函数的泰勒展开是利用多元函数在某一点附近进行近似求解的一种方法。
对于多元函数z=f(x,y)，其泰勒展开公式为：f(x+Δx,y+Δy) = f(x,y) + (∂f/∂x)Δx + (∂f/∂y)Δy + 1/2(∂²f/∂x²)(Δx)² + 1/2(∂²f/∂y²)(Δy)² + (∂²f/∂x∂y)ΔxΔy + O(Δx²,Δy²)这里的O(Δx²,Δy²)表示高阶无穷小，Δx和Δy表示自变量的增量。
4. 多元函数微分法的应用多元函数微分法广泛应用于物理学、工程学和经济学等领域。
具体应用如下：（1）在物理学中，多元函数微分法可以用于描述粒子在空间中的运动轨迹，求解最优路径等问题。
（2）在工程学中，多元函数微分法可以用于建模和优化设计，如求解最优结构、最优控制等问题。
多元函数微分学的应用
多元函数微分学的应用一、极值问题多元函数微分学最重要的应用之一是求解极值问题。
通过求取函数的偏导数，我们可以找到函数的极值点。
这对于经济学家、物理学家和其他相关领域的研究者来说是非常重要的。
例如，在经济学中，我们可以使用多元函数微分学来确定产品的最优产量和价格，以使利润最大化。
在物理学中，我们可以使用多元函数微分学来优化力学系统的能量和动量。
二、方向导数与梯度方向导数是一个重要概念，它描述了函数在其中一点沿着一些方向的变化率。
梯度是一个向量，它指向函数值增加最快的方向，并且梯度的模表示函数在其中一点的最大变化率。
方向导数和梯度在工程技术中的应用非常广泛。
例如，在机器学习中，我们可以使用梯度下降算法来优化模型的参数，以最小化损失函数。
三、偏微分方程偏微分方程是描述自然现象的重要数学工具，包括热传导、扩散、波动等。
多元函数微分学为解偏微分方程提供了重要的数学基础。
通过偏微分方程的分析解或数值解，我们可以深入了解自然现象的行为和性质。
例如，在工程技术中，我们可以使用多元函数微分学来解决电磁场、弹性力学和流体力学等方面的问题。
四、约束优化约束优化是指在满足一定条件下找到使目标函数最大或最小的参数的问题。
多元函数微分学是解决约束优化问题的重要工具。
通过拉格朗日乘数法，我们可以将约束优化问题转化为无约束优化问题，并应用多元函数微分学的方法求解。
约束优化问题在经济学、运筹学和供应链管理等领域有着广泛的应用。
例如，在经济学中，我们可以使用约束优化来确定消费者的最优选择。
五、多元函数积分学多元函数微分学与多元函数积分学是紧密相关的。
多元函数微分学提供了计算多元函数导数的方法，而多元函数积分学则通过对函数的积分来研究函数的整体性质。
应用多元函数积分学，我们可以计算多元函数在其中一区域上的平均值、总值和概率密度等。
多元函数积分学在统计学、物理学和金融工程学等领域有广泛的应用。
例如，在统计学中，我们可以使用多元函数积分学来计算多维随机变量的期望和方差。
多元函数微分法及其应用
第九章多元函数微分法及其应用一、基本要求及重点、难点1. 基本要求(1)理解二元函数的概念，了解多元函数的概念。
(2)了解二元函数的极限、连续性概念，有界闭域上连续函数的性质。
(3)理解偏导数和全微分的概念，熟练掌握偏导数的计算，了解全微分存在的必要条件和充分条件。
(4)了解方向导数与梯度的概念及其计算方法。
(5)掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数。
(6)会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数（主要是一阶）。
(7)了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线、并会求出它们的方程。
(8)理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值。
了解求条件极值的拉格朗日乘数法，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。
2. 重点及难点（1）重点：多元函数概念，偏导数与全微分概念，偏导数计算，微分在几何上的应用，多元函数的极值的计算。
（2）难点：二重极限的定义与计算，多元函数连续；偏导数存在与可微之间的关系；复合函数的高阶偏导数；方向导数、偏导数、梯度之间的关系。
二、内容概述多元函数微分学是一元函数微分学的推广，因此两者之间有许多相似之处，但是要特别注意它们之间的一些本质差别。
1.多元函数的极限和连续(1)基本概念1)点集和区域。
2)多元函数的定义、定义域。
3)二元函数的极限、连续。
(2)基本定理1)多元初等函数在其定义域内是连续的。
2)多元连续函数在有界闭区域上一定有最大值M、最小值m；且必取到最大值M和最小值m之间的任何值。
2.多元函数微分法(1)基本概念偏导数、全微分、高阶偏导数的定义。
(2) 计算方法1) 偏导数：),(y x f z =在),(00y x 处对x 的偏导数x x xz =∂∂，就是一元函数),(0y x f z =在0x x =处的导数；对y 的偏导数x x xz =∂∂（同理）。
2) `全微分：),(y x f z =的全微分dy yzdx x z dz ∂∂+∂∂=3) 复合函数求导法则：画出函数到自变量的路经，然后利用链式迭加法则：即同条路经的偏导数相乘，不同路经的偏导数相加，求出所要的偏导数。
《高等数学教学课件》9.1多元函数微分学法及其应用
在社会科学中的应用（如人口动态学、市场均衡分析等）
在工程科学中的应用（如机器人控制、信号处理等）
总结词：优化和控制
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THANKS
全微分的定义
线性性质、可加性、全微分与偏导数的关系、全微分与方向导数的关系。
全微分的性质
全微分的定义与性质
03
梯度的性质
梯度与方向导数的关系、梯度的几何意义。
01
方向导数的定义
在某一方向上函数值的变化率。
02
梯度的定义
方向导数在各个方向上的最大值，表示函数值变化最快的方向。
方向导数与梯度
04
多元函数的极值
在物理科学中的应用（如流体动力学、热传导等）
总结词：揭示内在机制 总结词：预测和政策制定 总结词：复杂系统分析 详细描述：在人口动态学和市场均衡分析等社会科学领域，多元函数微分学也具有广泛的应用。通过建立微分方程模型，我们可以揭示人口动态变化和市场供需关系的内在机制，预测未来的发展趋势。此外，这些模型还可以为政策制定提供依据，帮助政府和企业制定有效的政策和措施。在复杂系统分析中，多元函数微分学也为我们提供了理解和预测系统动态行为的有力工具。
极值点处的函数一阶导数必须为零
如果一个多元函数在某点的所有偏导数都为零，并且该点的二阶导数矩阵正定，那么该点就是函数的极值点。
费马定理是判断多元函数极值点的充分条件，但在实际应用中，需要结合其他条件进行判断，例如函数的单调性、凹凸性等。
极值的充分条件（费马定理）
费马定理的应用
费马定理
最大值与最小值的定义
多元函数的表示方法
可以用数学符号表示，如$z = f(x, y)$，其中$x$和$y$是自变量，$z$是因变量。
多元函数的定义域
多元函数的微分学的应用
多元函数的微分学的应用
多元函数的微分学在实际生活中有多种应用。
以下是其中几个常见的应用：
1. 最值问题：多元函数的微分学可以用来解决最值问题，例如优化问题，找到函数的最大值或最小值。
这种应用广泛用于物流、金融和工程等领域，其中包括确定最小成本生产和最大利润等问题。
2. 等高线图：多元函数的微分学也可以用来绘制等高线图。
等高线图常常用于表示地形，如山地，海底地形，或者用于表示等值线，如等压线，等温线和等高线等。
3. 导航系统：对于导航系统而言，通过多元函数微分学，不仅能够实时计算用户之间的距离，还能推断用户的行车方向，从而更好地指引用户前进方向。
4. 工程应用：对于工程师而言，他们会使用多元函数的微分学去计算关键参数，例如建筑物的结构支持力量、材料的伸缩性，以及各种形态的机器件等。
5. 统计分析：多元函数的微分学也可以帮助人们进行数据建模、数据预测，诸如对群体的群体大小计算以及分析等等。
在这种场合下，多元函数的微分学可帮助人们发现数据之间的关联以执行信息预测等任务。
总之，多元函数的微分学在实践中具有广泛应用，并为许多领域提供了重要的工
具和方法。
多元函数微分学及其应用归纳总结
多元函数微分学及其应用归纳总结一、多元函数的微分与偏导数1. 多元函数的微分定义为函数在其中一点上的线性逼近。
对于二元函数，微分为 dz=f_x*dx+f_y*dy，其中 f_x 和 f_y 分别为函数的偏导数。
对于一般的 n 元函数也可类似定义。
2.多元函数的偏导数表示函数沿着其中一个变量的变化率。
对于二元函数f(x,y)，其偏导数f_x表示x方向上的变化率，f_y表示y方向上的变化率。
一般而言，当存在偏导数且连续时，函数在该点可微分。
3.偏导数的计算方法与一元函数相似，利用极限的定义求出偏导数表达式，对于高阶偏导数，可以反复求导。
4.混合偏导数表示函数在二个或二个以上变量上求偏导数后再对另外一个或另外几个变量求偏导数，其次序不影响结果。
二、多元函数的求导法则1. 多元函数的和、差、常数倍法则：设函数 f 和 g 在其中一点连续可导，则(f±g)'=f'±g'，(kf)'=kf'。
2.多元函数的乘积法则：设函数f和g在其中一点连续可导，则(f·g)'=f'·g+g'·f。
3.多元函数的商法则：设函数f和g在其中一点连续可导且g不为零，则(f/g)'=(f'·g-g'·f)/g^24. 复合函数求导法则：设函数 y=f(u) 和 u=g(x) 在其中一点可导，则复合函数 y=f(g(x)) 的导数为dy/dx=f'(u)·g'(x)，其中 x 和 u 为中间变量。
三、多元函数的极值与梯度1.多元函数的极值包括极大值和极小值。
在二元函数中，极值的必要条件为偏导数为零，充分条件为偏导数存在且满足一定条件。
2.多元函数的梯度是一个向量，其方向与函数在其中一点上变化最快的方向一致，大小表示变化率的大小。
梯度为零的点可能为极值点。
多元函数微分学的几何应用
多元函数微分学的几何应用一、多元函数微分学多元函数微分学是微积分的一个分支，研究的是多个自变量的函数的导数、微分和全微分等概念。
与一元函数微分学不同的是，多元函数在求导时需要通过偏导数来计算，而全微分可以看做多元函数在某一点上的线性近似。
多元函数微分学在实际生活中有着广泛的应用，尤其是在几何学方面。
二、几何应用1. 向量场和梯度向量场是一个函数与向量的映射关系，在几何学中经常用于描述速度场、磁场等。
其中，梯度是向量场的一个重要概念。
梯度表示在某一点上函数变化增加最快的方向。
例如，在平面上的某一点上，一个函数的梯度表示了函数值增加最快的方向及增加的速率。
2. 方向导数和梯度的应用方向导数表示函数在某一点上沿着某一给定方向上的导数。
在平面几何中，方向导数可以用来求解曲面的切平面方程。
具体来说，可以通过梯度和方向向量的点积计算出方向导数，从而得到曲面上某一点的切平面方程。
3. 曲面积分曲面积分是对曲面上的函数进行积分，类似于线积分。
在计算曲面积分时，需要用到曲面的面积元素，这里面积元素的计算需要用到微积分中的偏微分。
具体来说，可以通过将曲面分成小的面元，计算每个面元的面积和函数值，然后将它们累加起来，从而得到曲面上的积分值。
4. 极值和拐点在多元函数中，类似于一元函数中的极值和拐点的概念。
在平面几何中，可以将这些概念应用于曲线的局部特征的分析中。
通过极值和拐点的计算，可以得到曲线上的最大和最小值，以及拐点的位置和拐点的类型等信息。
总之，多元函数微分学在几何学中有着广泛的应用。
通过对向量场、梯度、方向导数、曲面积分、极值和拐点等概念的研究，可以深入分析曲线、曲面的本质特征和局部特征，从而为实际问题的求解提供了精确的数学工具。
多元函数微分学的应用
多元函数微分学的应用一、多元函数微分学在物理学中的应用多元函数微分学在物理学中有重要的应用，可以用于描述和分析物体的运动和力学性质。
例如，当我们研究一个物体在空气中自由落体的过程时，可以通过建立物体的位置、速度和加速度之间的多元函数关系来描述物体的运动规律。
通过对这个多元函数进行微分，我们可以计算出物体的速度和加速度，并进一步研究物体的运动轨迹和运动的特性。
二、多元函数微分学在工程技术中的应用工程技术领域广泛应用多元函数微分学，其中一个重要的应用是工程优化。
通过建立多元函数模型，可以描述工程系统的性能与各种因素之间的关系，例如工程结构的刚度、强度和稳定性与材料、尺寸和几何形状等因素之间的关系。
通过对这些多元函数进行微分，可以找到使性能最优化的设计变量组合，从而优化工程系统的设计。
三、多元函数微分学在经济管理中的应用多元函数微分学在经济管理中也有广泛的应用，可以用于分析和优化经济系统的运行和决策问题。
例如，在经济学中，我们可以建立多元函数模型来描述生产函数、成本函数和效用函数等与经济生产和消费相关的关系。
通过对这些多元函数进行微分，可以分析生产效率、最小化成本和最大化效用的最优决策策略，从而实现经济系统的优化和管理。
四、多元函数微分学在生物学中的应用多元函数微分学也被广泛应用于生物学领域，可以用于描述和分析生物系统中的各种生物过程和生物现象。
例如，在生态学中，我们可以建立多元函数模型来描述种群数量与环境因素之间的关系。
通过对这些多元函数进行微分，可以研究种群的增长速率、极限状态和稳定性等生态学性质，从而深入理解和预测生态系统的动态演化。
总之，多元函数微分学具有广泛的应用领域，可以用于自然科学、工程技术和经济管理等各个领域中的建模、优化和解决实际问题。
通过对多元函数的微分，我们可以深入理解各种系统和过程的特性和规律，从而实现对这些系统和过程的优化和控制。
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( x, y ) ≠ (0,0) ( x, y ) = (0,0)
在点 （0， 0） 处（
）
P87
（B）连续，偏导数不存在， （D）不连续，偏导数不存在。 P87
（1） f ( x, y ) 在点 ( x0 , y 0 ) 处连续； （2） f ( x, y ) 在点 ( x0 , y 0 ) 处的两个偏导数连续； （3） f ( x, y ) 在点 ( x0 , y 0 ) 处可微； （4） f ( x, y ) 在点 ( x0 , y 0 ) 处的两个偏导数存在。 【例】(07)二元函数 f ( x, y ) 在点（0，0）处可微的一个充分条件是 （A）
∂f ∂f du + dv . ∂u ∂v
∂2 z x 1 在 ( 2, ) 点的值__________ 【例】(94) 设 z = e sin ，求 y ∂x∂y π
−x
三 抽象复合函数的偏导数、全微分的计算
几种基本情形： 【例】 （05）设函数 u ( x, y ) = ϕ ( x + y ) + ϕ ( x − y ) + 具有一阶导数，则必有
x y
y x
∂2z 求 。 ∂x∂y
其他方式的考察： 【例】(07)设 f (u , v ) 是二元可微函数， z = f ( , ) ,则 x
y x x y
∂z ∂z − y = _____ . ∂x ∂y
P154
【例】(09) z = f ( x + y , x − y , xy ) ，其中 f 具有 2 阶连续偏导数，求 dz 与
2 2 2
。 P96
【例】 （93）由曲线 ⎨
⎧3x 2 + 2 y 2 = 12 绕 y 轴旋转一周得到的旋转面在点 (0, 3 , 2 ) 处的指 ⎩z = 0
。
向外侧的单位法向量为 【例】 （97）设直线 l：⎨
⎧x + y + b = 0 2 2 在平面 π 上，而平面 π 与曲面 z = x + y 相切 ⎩ x + ay − z − 3 = 0
xz
= 1 ，根据隐函数存在定理，存在点（0，1，1）
（ ） P88
2．计算（包括方程组的情形！ ）
' 【例】 （ 10 ）设函数 z ( x, y ) 由方程 F ( , ) = 0 确定,其中 F 为可微函数,且 F2 ≠ 0 ,则
y z x x
x
∂z ∂z + y =（ ∂x ∂y
(A)
） (B) z
P97 【例】
于点 （1， －2， 5） ， 求 a, b 之值。 （01）设函数 f ( x, y ) 在点（0，0）附近有定义，且 f x′ (0,0) = 3, （A） dz
∂2 z ∂x∂y
P154
【例】 （01） 设函数 z = f ( x, y ) 在点 （1， 1） 处可微， 且 f (1,1) = 1 ，
,1)
= 3，
P89
ϕ ( x ) = f ( x, f ( x, x )) ，求
d 3 ϕ ( x) dx
x =1
x =0
.
【例】(08)设 z = z ( x, y ) 是由方程 x + y − z = ϕ ( x + y + z ) 所确定的函数，其中 ϕ 具有 2 阶导数且 ϕ ′ ≠ −1 时. （1）求 dz （2）记 u ( x, y ) =
1 ⎛ ∂z ∂z ⎞ ∂u . P154 ⎜ − ⎟ ，求 x − y ⎝ ∂x ∂y ⎠ ∂x
∫
x+ y
x− y
ψ (t )dt ，其中 ϕ 具有二阶导数，ψ
（ ）P88
∂ 2u ∂ 2u （A） 2 = − 2 ， ∂x ∂y
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u （B） 2 = ， （C） = ， ∂x∂y ∂y 2 ∂x ∂y 2
y x
∂ 2u ∂ 2u = （D） ∂x∂y ∂x 2
。
四 隐函数的偏导数、全微分的概念与计算
1．隐函数存在定理及概念的理解
【例】 （05）设有三元方程 xy − z ln y + e 的一个领域，在此领域内该方程 （A）只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 z = z ( x, y ) 。 （B）可确定两个具有连续偏导数的隐函数 y = y ( x, z ) 和 z = z ( x, y ) 。 （C）可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x = x ( y , z ) 和 z = z ( x, y ) 。 （D）可确定两个具有连续偏导数的隐函数 y = y ( x, z ) 和 x = x ( y , z ) 。
第六章 多元函数微分学及其应用
主要考点：必考内容. 计算容易得分.难点： （1）涉及概念或结合应用的问题. （2）抽象函数的相关的计算 （3）二元函数的泰勒公式（从未考过）
概念： ①多元函数微分学的基本概念及其联系． 计算： ②常见函数的偏导数、全微分等概念与计算（包括利用定义） ． 体会复合函数球偏导数的方法；理解一阶微分形式不变性． ③抽象复合函数的偏导数、全微分的计算 ④隐函数的偏导数、全微分的概念与计算． ． ⑤变量替换下方程的变形． ⑥方向导数与梯度（只对数一） ． 应用： ⑦几何应用（求曲面的切平面和法线，空间曲线的切线和法平面） （只对数一） ． ⑧多元函数的极最值．
x
【例】 （97） 设函数 f (u ) 具有二阶连续导数， 而 z = f (e sin y ) 满足方程 求 f (u )
∂2z ∂2z + = e2x z ， ∂x 2 ∂y 2
P90
−2 x
（04）设 f (u , v ) 具有连续偏导数，且满足 f u′ (u , v ) + f v′ (u , v) = uv ，求 y ( x) = e 所满足的一阶微分方程，并求其通解。 【例】 （96）设变换 ⎨ 数a。 （10）设函数 μ = f ( x, y ) 具有二阶连续偏导数，且满足等式 4
三种方法！ (C)
P155 (D) − z
y −1
x
−x
【例】 (07)已知函数 f ( a ) 具有二阶导数， 且 f '(0) ＝1， 函数 y = y ( x ) 由方程 y − xe 确定.设 z = f (ln y − sin x ), 求
=1所
P154
dz dx
2
x =0
，
2
d 2z dx 2
P153
【例】(07) 设 f (u , v ) 为二元可微函数， z = f ( x , y ) ，则
∂z = ∂x
【例】 (09) 设函数 f ( u, v ) 具有二阶连续 偏导数，z = f ( x, xy ) ， 则 ．．
∂2 z = ∂x∂y
P154
【例】(01)设 z = f ( xy , ) + g ( ) ，其中函数 f 具有二阶连续可导， g 具有二阶连续导数，
2．偏导数与全微分的计算 ∂z ⎛ y ⎞y 【例】(08) 已知 z = ⎜ ⎟ ，则 = _______ ∂x (1,2) ⎝x⎠
【例】(09)设 z = ( x + e ) ，则
y x
x
P153
∂z ∂x
=____________
(1,0)
P153
注意： （1）体会复合函数求偏导数的方法！ ！ ！ （2）一阶微分形式不变性： z = f (u， v ) 可微，则 dz = （3）混合偏导数连续时与求导过程无关。
1．利用定义
【例】(08) 已知 f ( x, y ) = e
x2 + y 4
，则
P153 （B） f x′ (0, 0) 不存在， f y′ (0, 0) 存在 （D） f x′ (0, 0) ， f y′ (0, 0) 都不存在 P88
（A） f x′ (0, 0) ， f y′ (0, 0) 都存在 （C） f x′ (0, 0) 不存在， f y′ (0, 0) 不存在
常见题型：选择题、填空题、计算题. 知识网络图
一 多元函数微分学的基本概念及其联系
连续 ⇑ 偏导数 ⇐ ⇒ 方向连续偏导数 可微分 ⇓ 方向导数存在
几个概念之间的关系：
注意：关注几个典型的例子!!!
⎧ xy , ⎪ 2 2 【例】 （97） 二元函数 f ( x, y ) = ⎨ x + y ⎪0, ⎩
（C）
( x , y )→( 0,0 )
lim
⎡ f ' y ( x, 0 ) − f ' y (0, 0) ⎤ f 'x ( x, 0 ) − f 'x (0, 0) ⎤ （D） lim ⎡ ⎦ = 0, 且 lim ⎦ = 0, x →0 ⎣ y →0 ⎣
二 常见函数的偏导数、全微分等概念与计算
y
）P154
（A）i. （B）-i. （C）j. （D）-j. 注意： （1）方向导数公式中方向 l 应单位化； 方向 l 可能需计算如曲面的法向量、切线的切向量等 （2）方向导数与梯度的关系：在梯度方向，方向导数取最大值。
七 几何应用（只对数一） （与空解几结合）
1．空间曲线的切线与法平面
【例】 （92）在曲线 x = t , y = −t , z = t 的所有切线中，与平面 x + 2 y + z = 4 平行的切
【例】 （99）设 y = y ( x), z = z ( x) 是由方程 z = xf ( x + y ) 和 F ( x, y , z ) = 0 所确定的函数， 其中 f 和 F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求