考研数学(三)题库 微积分(第五章 多元函数微分学)打印版【圣才出品】
考研数学(二)题库(高等数学)-第五章 多元函数微分学【圣才出品】
C．fx′（0，0）存在，fy′（0，0）不存在
D．fx′（0，0），fy′（0，0）都不存在
【答案】B
【解析】由 f x, y e 得 x2 y4
f
x
0,
0
lim
x0
f
x,0
x
f
0, 0
lim
x0
ex 1 x
ex 1
ex 1
ex 1
ex 1
又 lim
lim
1 ，lim
lim
1 ，故 fx′（0，0）不存在。
x3 y
2．设函数
f
x,
y
x6
y2
x, y 0,0
，则它在点（0，0）处是（
）。
0
x, y 0,0
A．连续的
B． lim f x, y f 0,0 x, y0,0
C．二重极限不存在
D． lim f x, y 存在，但 f（0，0）不存在 x, y0,0
【答案】C
【 解 析 】 由 lim f x0 y x3
yx
lim f x, y 不存在，即函数 z＝f（x，y）在点（0，0）处Hale Waihona Puke 连续。x0 y0而
f
x
0,
0
lim x0
f
x,0
x
f
0, 0
lim 0 0 x0 x
0
，
f
y
0,
0
lim
y0
f
0,
y
y
f
0, 0
lim
y0
00 y
0 ，即函数的偏导数存在。
10．二元函数 z＝f（x，y）在点（x0，y0）处存在一阶连续偏导数是它在此点处可微 的（ ）。
考研数学(三)题库--打印版章节题库-微积分第二章【圣才出品】
C．－1
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D．1/2
【答案】D
【解析】由于
F
x
x 0
x2
t2
f
t
dt
x2 x f tdt xt2 f tdt
0
0
所以
F
x
x
2x 0
f
t
dt
x2
f
x
x2
f
x
x
2x 0
f
t
dt
由题意知
lim
x0
Fx
x2
1
即
2x x f tdt
4．设 f（x）在 x＝0 的某邻域内有连续的四阶导数，且当 x≠0 时，f（x）≠0，同时
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tan x sin x
F
x
f x
x0
1
x0
在 x＝0 处连续，则必有（ ）。
A．f′（0）＝1
B．f″（0）＝2
故 f（0）＝f′（0）＝f″（0）＝0，f‴（0）/（3!）＝1/2，因此 f‴（0）＝3，f（4）（0） 任意。故应选（C）。
5．若 x→0 时，F x x x2 t2 f t dt 的导数与 x2 为等价无穷小，则 f′（0） 0
考研数学(三)题库 微积分(第三章 一元函数积分学)打印版【圣才出品】
lim ex
x
0
x
et2
dt
a
b
则（ ）。
A．a 任意，b＝0
B．a 任意，b＝－1
C． a π ，b＝0 2
D． a π ，b＝－1 2
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【答案】C
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【解析】由 得
lim ex
x
0
x
et
2
C＝0，故积分曲线方程为 y＝x3。
8．d∫lnxdx＝（ ）。 A．lnx B．lnxdx C．lnx＋C D．1/x 【答案】B 【解析】因为 f（x）的原函数是∫f（x）dx，所以 d[∫f（x）dx]＝f（x）dx。
9．若 f（x）的导函数是 e－x＋cosx，则 f（x）的一个原函数为（ ）。 A．e－x－cosx B．－e－x＋sinx C．－e－x－cosx D．e－x＋sinx 【答案】A 【解析】由题意可知 f′（x）＝e－x＋cosx，则 f（x）＝－e－x＋sinx＋C。∫f（x）dx
B．xn－1[lnx－（1/（n－1））]/（n－1）＋C
C．xn＋1[lnx－（1/（n＋1））]/（n＋1）＋C
D．xn＋1lnx/（n＋1）＋C
【答案】C
【解析】
xn ln xdx
ln
xd
xn1 n 1
xn1 n 1
ln
x
xn1 d ln x
n 1
xn1 ln x
n 1
xn dx n 1
4．若在[0，1]上有 f（0）＝g（0）＝0，f（1）＝g（1）＝a＞0，且 f″（x）＞0，g″
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[考研类试卷]考研数学三(多元函数微积分学)模拟试卷10.doc
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7设区域D={(x，y)|x2+y2≤4，x≥0，y≥0},f(x)为D上的正值连续函数，a，b为常数，则 =( )
（A）abπ．
（B）
（C）(a+b)π．
（D）
8设z=f(x,y)在点(x0，y0)处可微，△z是f(x，y)在点(x0，y0)处的全增量，则在点(x0，y0)处( )
14设f(x，y)= 在点(0，0)处连续，则a=_______．
15设
16设函数f(u，v)由关系式f[xg(y)，y]=x+g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y)≠0，则
17设z=z(x，y)由方程z+ez=xy2所确定，则dz=______
18设函数f(u)可微，则f’(2)=2，则z=f(x2+y2)在点(1，1)处的全微分dz|(1,1)=________
19设f(u，v)为二元可微函数，z=f(xy，yx)，则
20设 f,φ具有二阶连续导数，则
21设z=xg(x+y)+yφ(xy)，其中g、φ具有二阶连续导数，则
22设二元函数z=xex+y+(x+1)ln(1+y)，则dz|(1,0)=________．
三、解答题
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
31设z=z(x，y)是由方程x2+y2一z=φ(x+y+z)所确定的函数，其中φ具有二阶导数且φ’≠一1时．(1)求dz；(2)记u(x，y)=
32求二元函数f(x，y)=x2(2+y2)+ylny的极值．
（A）a=2，b=一2．
（B）a=3，b=2
（C）a=2，b=2．
考研数学三(多元函数微积分学)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)
考研数学三（多元函数微积分学）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．[2008年] 设则( )．A．fx’(0，0)，fy’(0，0)都存在B．fx’(0，0)不存在，fy’(0，0)存在C．fx’(0，0)存在，fy’(0，0)不存在D．fx’(0，0)，fy’(0，o)都不存在正确答案：B解析：因而则极限不存在，故偏导数fx’(0，0)不存在．而因而偏导数fy’(0，0)存在．仅(B)入选．知识模块：多元函数微积分学2．[2003年] 设可微函数f(x，y)在点(x0，y0)处取得极小值，则下列结论正确的是( )．A．f(x0，y)在y=y0处的导数大于零B．f(x0，y)在y=y0处的导数等于零C．f(x0，y)在y=y0处的导数小于零D．f(x0，y)在y=y0处的导数不存在正确答案：B解析：解一因f(x，y)在点(x0，y0)处可微，故f(x，y)在点(x0，y0)处两个偏导数存在，因而一元函数f(x0，y)在y=y0处的导数也存在．又因f(x，y)在点(x0，y0)处取得极小值，故f(x0，y0)在y=y0处的一阶(偏)导数等于零．仅(B)入选．解二由函数f(x，y)在点(x0，y0)处可微知，f(x．y)在点(x0，y0)处的两个偏导数存在．又由二元函数极值的必要条件即得f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数都等于零．因而有知识模块：多元函数微积分学3．[2016年] 已知函数则( )．A．fx’－fy’=0B．fx’+fy’=0C．fx’－fy’=fD．fx’+fy’=f正确答案：D解析：则仅(D)入选．知识模块：多元函数微积分学4．[2017年] 二元函数z=xy(3－x－y)的极值点为( )．A．(0，0)B．(0，3)C．(3，0)D．(1，1)正确答案：D解析：zy’=y(3－x－y)－xy=y(3－2x－y)，zy’=x(3－x－y)－xy=x(3－x－2y)，又zxx’=－2y，zxy=3－2x－2y，zyy’=－2x，将选项的值代入可知，只有(D)符合要求，即A=zxx”(1，1)=－2，B=zxy”(1，1)=－1，C=zyy”(1，1)=－2．满足B2－AC=－3＜0，且A=－2＜0，故点(1，1)为极大值点．仅(D)入选．知识模块：多元函数微积分学5．[2006年] 设f(x，y)与φ(z，y)均为可微函数，且φy’(x，y)≠0，已知(x0，y0)是f(x，y)在约束条件φ(x，Y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是( )．A．若fx’(x0，y0)=0，则fy’(x0，y0)=0B．若fx’(x0，y0)=0，则f’y(x0，y0)≠0C．若fx’(x0，y0)≠0，则fy’(x0，y0)=0D．若fx’(x0，y0)≠0，则f’y(x0，y0)≠0正确答案：D解析：解一由拉格朗日乘数法知，若(x0，y0)是f(x，y)在条件φ(x，y)=0下的极值点，则必有fx’(x0，y0)+λφx’(x0，y0)=0，①fx’(x0，y0)+λφx’(x0，y0)=0．②若fx’(x0，y0)≠0，由式①知λ≠0．又由题设有φy’(x0，y0)≠0，再由式②知fy’(x0，y0)≠0．仅(D)入选．解二构造拉格朗日函数F(x，y，λ)=f(x，y)+λφ(x，y)，并记对应于极值点(x0，y0)处的参数的值为λ0，则由式③与式④消去λ0得到fx’(x0，y0)／φx’(0，y0)=一λ0=f’y(x0，y0)／φ’y(x0，y0)．即f’x(x0，y0)φ’y(x0，y0)一fy’(x0，y0)φx’(x0，y0)=0．整理得若fx’(x0，y0)≠0，则由式③知，φx’(x0，y0)≠0．因而fy’(x0，y0)≠0．仅(D)入选．解三由题设φy’(x，y)≠0知，φ(x，y)=0确定隐函数y=y(x)．将其代入f(x，y)中得到f(x，y(x))．此为一元复合函数．在φ(x，y)=0两边对x求导，得到因f(x，y(x))在x=x0处取得极值，由其必要条件得到f’x+fy’y’=fx’+fy’(一φx’／φy’)=0．因而当fx’(x0，y0)≠0时，必有fy’(x0，y0)≠0．仅(D)入选．知识模块：多元函数微积分学填空题6．[2012年] 设连续函数z=f(x，y)满足则dz｜(0,1)=__________．正确答案：2dx－dy解析：用函数f(x，y)在(x0，y0)处的微分定义：与所给极限比较易知：z=f(x，y)在点(0，1)处可微，且fx’(0，1)=2，fy’(0，1)=－1，f(0，1)=1，故dz｜(0,1)=fx’(0，1)dx+fy’(0，1)dy=2dx－dy．知识模块：多元函数微积分学7．[2009年] 设z=(x+ey)x，则正确答案：2ln2+1解析：解一为简化计算，先将y=0代入z中得到z(x，0)=(x+1)x，z为一元函数．将x=1代入上式，得到解二考虑到z(x，0)=(x+1)x为幂指函数，先取对数再求导数：lnz=xln(x+1)．在其两边对x求导，得到则知识模块：多元函数微积分学8．[2007年] 设f(u，v)是二元可微函数，则正确答案：解析：解一设u=y／x，v=x／y．为方便计，下面用“树形图”表示复合层次与过程．由式①一式②得到解二令f1’，f2’分别表示z=f(y／x，x ／y)对第1个和第2个中间变量y／x、x／y求导数，则知识模块：多元函数微积分学9．[2004年] 函数f(u，v)由关系式f[xg(y)，y]=x+g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y)≠0，则正确答案：解析：令u=xg(y)，v=y，由此解出于是知识模块：多元函数微积分学10．[2005年] 设二元函数z=xex+y+(x+1)ln(1+y)，则dz｜(1,0)=_________．正确答案：2edx+(e+2)dy解析：dz=d[xex+y+(x+1)ln(1+y)]=d(xex+y)+d[(x+1)ln(1+y)] =ex+ydx+xex+y(dx+dy)+ln(1+y)dx+[(x+1)／(1+y)]dy．①将x=1，y=0代入上式(其中dz，dx，dy不变)，得到dz｜(1,0)=edx+e(dx+dy)+2dy=2edx+(e+2)dy．解二利用全微分公式求之．为此，先求出偏导数故解三用定义简化法求之．固定一个变量转化为另一个变量的一元函数求导．由z(x，0)=xex得到由z(1，y)=ey+2ln(1+y)得到故知识模块：多元函数微积分学11．[2006年] 设函数f(u)可微，且f’(0)=1／2，则z=f(4x2－y2)在点(1，2)处的全微分dz｜1,2=___________．正确答案：4dx一2dy解析：解一dz=df(4x2－y2)=f’(u)du=f’(u)d(4x2－y2)=f’(u)(8xdx－2ydy)，其中u=4x2－y2．于是dz｜1,2=f’(0)(8dx－4dy)=4dx－2dy．解二利用复合函数求导公式和定义简化法求之．由z=f(4x2－y2)得到解三由z=f(4x2－y2)得到于是故dz｜1,2=4dx－2dy．知识模块：多元函数微积分学12．[2011年] 设函数则dz｜1,1=____________．正确答案：(1+2ln2)(dx—dy)解析：解一所给函数为幂指函数，先在所给方程两边取对数，然后分别对x，y求偏导：由得到则解二先用定义简化法求出然后代入全微分公式求解．故dz｜1,1=2(ln2+1／2)dx－2(ln2+1／2)dy=(1+2ln2)(dx－dy)．知识模块：多元函数微积分学13．[2015年] 若函数z=z(x，y)由方程ex+2y+3z+xyz=1确定，则dz｜0,0=_______________．正确答案：解析：在ex+2y+3z+xyz=1①两边分别对x，y求偏导得到同法可得将x=0，y=0代入式①易求得z=0，代入式②、式③分别得到则知识模块：多元函数微积分学14．[2014年] 二次积分正确答案：解析：注意到不易求出，需先交换积分次序，由积分区域的表达式D={(x，y)|y≤x≤1，0≤y≤1)－{(x，y)|0≤y≤x，0≤x≤1}及交换积分次序得到故知识模块：多元函数微积分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(多元函数微分学)模拟试卷2(题后含答案及解析)
考研数学三（多元函数微分学）模拟试卷2(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．极限( )A．等于0B．不存在C．等于D．存在，但不等于也不等于0正确答案：B解析：当取y=kx时，与k有关，故极限不存在．知识模块：多元函数微分学2．设u=arcsin ( )A．B．C．D．正确答案：A解析：将x视为常数，属基本计算．知识模块：多元函数微分学3．极限( )A．等于0B．不存在C．等于D．存在且不等于0及正确答案：B解析：取y=x，则=0；取y=x2，则，故原极限不存在．知识模块：多元函数微分学4．设u=f(r)，而r=，f(r)具有二阶连续导数，则=( )A．B．D．正确答案：B解析：属基本计算，考研计算中常考这个表达式．知识模块：多元函数微分学5．考虑二元函数f(x，y)的下面4条性质：①f(x，y)在点(x0，y0)处连续；②f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数连续；③f(x，y)在点(x0，y0)处可微；④f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数存在．若用“PQ”表示可由性质P推出性质Q，则有( )A．B．C．D．正确答案：A解析：本题考查图1．4-1中因果关系的认知：知识模块：多元函数微分学6．设函数u=u(x，y)满足及u(x，2x)=x，uˊ1(x，2x)=x2，u有二阶连续偏导数，则uˊˊ11(x，2x)= ( )A．B．C．D．正确答案：B解析：等式u(x，2x)=x两边对x求导得uˊ1+2uˊ2=1，两边再对x求导得uˊˊ11+2uˊˊ12+2uˊˊ21+4uˊˊ22=0，①等式uˊ1(x，2x)=x2两边对x求导得uˊˊ11+2uˊˊ12=2x，②将②式及uˊˊ12=uˊˊ21，uˊˊ11=u ˊˊ22代入①式中得uˊˊ11(x，2x)=x．知识模块：多元函数微分学7．利用变量代换u=x，v=，可将方程化成新方程( )A．B．D．正确答案：A解析：由复合函数微分法，于是知识模块：多元函数微分学8．若函数u=，其中f是可微函数，且=G(x，y)u，则函数G(x，y)= ( ) A．x+yB．x－yC．x2－y2D．(x+y)2正确答案：B解析：设t=，则u=xyf(t)，知识模块：多元函数微分学9．已知du(x，y)=[axy3+cos(x+2y)]dx+[3x2y2+bcos(x+2y)]dy，则( ) A．a=2，b=－2B．a=3，b=2C．a=2，b=2D．a=－2，b=2正确答案：C解析：由du(x，y)=[axy3+cos(x+2y)]dx+[3x2y2+bcos(x+2y)]dy可知，=axy3+cos(x+2y)，=3x2y2+bcos(x+2y)，以上两式分别对y，x求偏导得=3axy2－2sin(x+2y)，=6xy2－bsin(x+2y)，由于连续，所以，即3axy2－2sin(x+2y)=6xy2－bsin(x+2y)，故得a=2，b=2．知识模块：多元函数微分学10．设u(x，y)在平面有界闭区域D上具有二阶连续偏导数，且则u(x，y)的( )A．最大值点和最小值点必定都在D的内部B．最大值点和最小值点必定都在D的边界上C．最大值点在D的内部，最小值点在D的边界上D．最小值点在D的内部，最大值点在D的边界上正确答案：B解析：令，由于B2－AC＞0，函数u(x，y)不存在无条件极值，所以，D的内部没有极值，故最大值与最小值都不会在D的内部出现．但是u(x，y)连续，所以，在平面有界闭区域D上必有最大值与最小值，故最大值点和最小值点必定都在D的边界上．知识模块：多元函数微分学11．设函数z=(1+ey)cosx－yey，则函数z=f(x，y) ( )A．无极值点B．有有限个极值点C．有无穷多个极大值点D．有无穷多个极小值点正确答案：C解析：本题是二元具体函数求极值问题，由于涉及的三角函数是周期函数，故极值点的个数有可能无穷，给判别带来一定的难度，事实证明，考生对这类问题把握不好，请复习备考的同学们注意加强对本题的理解和记忆．由得驻点为(k π，coskπ－1)，k=0，±1，±2，…，又zˊˊxx－(1+ey)cosx，zˊˊxy=－eysinx，zˊˊyy=ey(cosx－2－y)．①当k=0，±2，±4，…时，驻点为(kπ，0)，从而A=zˊˊxx(kπ，0)=－2，B=zˊˊxy(kπ，0)=0，C=zˊˊyy(kπ，0)=－1，于是B2－AC=－2＜0，而A=－2＜0，即驻点(kπ，0)均为极大值点，因而函数有无穷多个极大值；②当k=±1，±3，…时，驻点为(kπ，－2)，此时A=z ˊˊxx(kπ，－2)=1+e－2，B=zˊˊxy(kπ，－2)=0，C=zˊˊyy(kπ，－2)=－e －2，于是B2－AC=(1+e－2)e－2＞0，即驻点(kπ，－2)为非极值点；综上所述，选(C)．知识模块：多元函数微分学填空题12．设f可微，则由方程f(cx－az，cy－bz)=0确定的函数z=z(x，y)满足azˊx+bzˊx=_________．正确答案：c解析：本题考查多元微分法，是一道基础计算题．方程两边求全微分，得f ˊ1(cdx－adz)+fˊ2(cdy－bdz)=0，即dz=，故azˊx+bzˊy==c．知识模块：多元函数微分学13．设函数z=z(x，y)由方程sinx+2y－z=ez所确定，则=________．正确答案：解析：方程两端对x求偏导数cosx+0－移项并解出即得．知识模块：多元函数微分学14．函数f(x，y，z)=－2x2在条件x2－y2－2z2=2下的极大值是_________．正确答案：－4解析：由拉格朗日乘数法即得．知识模块：多元函数微分学15．函数的定义域为_________．正确答案：≤｜z｜，且z≠0解析：由－1≤≤1即得．知识模块：多元函数微分学16．设z=esinxy，则dz=_________．正确答案：esinxycosxy(ydx+xdy)解析：zˊx=esinxycosxy.y，zˊy=esinxycosxy.x，则dz=esinxycosxy(ydx+xdy)．知识模块：多元函数微分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(多元函数微分学)-试卷2.doc
考研数学三（多元函数微分学）-试卷2(总分：70.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________2. 2.00）A.等于0B.不存在C.D.3.设 2.00）A.B.C.D.4. 2.00）A.等于0B.不存在C.D.存在且不等于05.设u=f(r)，而f(r) 2.00）A.B.C.D.6.考虑二元函数f(x，y)的下面4条性质：①f(x，y)在点(x 0，y 0)处连续；②f(x，y)在点(x 0，y 0)处的两个偏导数连续；③f(x，y)在点(x 0，y 0 )处可微；④f(x，y)在点(x 0，y 0 )处的两个偏导数存在．若用“P推出性质Q，则有 2.00）A.B.C.D.7.设函数u=u(x，y)满足u(x，2x)=x，uˊ1(x，2x)=x 2，u有二阶连续偏导数，则uˊˊ11(x，2.00）A.B.C.D.8.利用变量代换u=x， 2.00）A.B.C.D.9.若函数f 2.00）A.x+yB.x－yC.x 2－y 2D.(x+y) 210.已知du(x，y)=[axy 3 +cos(x+2y)]dx+[3x 2 y 2 +bcos(x+2y)]dy，则 ( )（分数：2.00）A.a=2，b=－2B.a=3，b=2C.a=2，b=2D.a=－2，b=211.设u(x，y)在平面有界闭区域D 2.00）A.最大值点和最小值点必定都在D的内部B.最大值点和最小值点必定都在D的边界上C.最大值点在D的内部，最小值点在D的边界上D.最小值点在D的内部，最大值点在D的边界上12.设函数z=(1+e y )cosx－ye y，则函数z=f(x，y) ( )（分数：2.00）A.无极值点B.有有限个极值点C.有无穷多个极大值点D.有无穷多个极小值点二、填空题(总题数：5，分数：10.00)13.设f可微，则由方程f(cx－az，cy－bz)=0确定的函数z=z(x，y)满足azˊx +bzˊx = 1．（分数：2.00）填空项1:__________________14.设函数z=z(x，y)由方程sinx+2y－z=e z所确定，则 2.00）填空项1:__________________15.函数f(x，y，z)=－2x 2在条件x 2－y 2－2z 2 =2下的极大值是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________16. 2.00）填空项1:__________________17.设z=e sinxy，则dz= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________三、解答题(总题数：18，分数：36.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
[考研类试卷]考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编8.doc
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[考研类试卷]考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编8.doc[考研类试卷]考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编8一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 (96年)累次积分f(rcosθ，rsinθ)rdr可以写成【】（A）（B）（C）∫01dχ∫01f(χ，y)dy（D）2 (99年)设f(χ，y)连续，且f(χ，y)＝χy＋f(u，v)dudv．其中D 是由y＝0，y＝χ2，χ＝1所围区域，则f(χ，y)等于【】（A）χy（B）2χy（C）χy＋（D）χy＋1二、填空题3 (15年)设函数f(χ)连续，φ(χ)＝χf(t)dt．若φ(1)＝1，φ′(1)＝5，则f(1)＝_______．4 (16年)极限＝_______．5 (91年)设z＝e sinχy，则dz＝_______．6 (92年)交换积分次序＝_______．7 (95年)设z＝χyf()，f(u)可导，则χz′χ＋yz′y＝_______．8 (00年)设z＝，其中f，g均可微，则＝_______．三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
9 (16年)设函数f(χ)＝∫01｜t2－χ2｜dt(χ＞0)，求f′(χ)，并求f(χ)的最小值．10 (87年)设z＝arctan，求dz．11 (87年)设D是由曲线y＝χ3与直线y＝χ在第一象限内围成的封闭区域，求dχdy．12 (88年)设u＋e u＝χy，求．13 (88年)求．14 (89年)已知z＝f(u，v)，u＝χ＋y，v＝χy，且f(u，v)的二阶编导数都连续，求．15 (90年)计算二重积分dχdy，其中D是由曲线y＝4χ2和y＝9χ2在第一象限所围成的区域．16 (90年)某公司通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入R(万元)与电台广告费用χ1(万元)及报纸广告费用χ2(万元)之间的关系有如下经验公式：R＝15＋14χ1＋32χ2－8χ1χ2－2χ12－10χ22 (1)在广告费用不限的情况下，求最优广告策略；(2)若提供的广告费用是1．5万元，求相应的最优广告策略．17 (91年)计算二重积分I＝ydχdy．其中D是由χ轴，y轴与曲线＝1所围成的区域；a＞0，b＞0．18 (91年)某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为p1和p2；销售量分别为q1和q2；需求函数分别为q1＝24－0．2p1，q2＝10－0．5p2总成本函数为C＝35＋40(q1＋q2) 试问：厂家如何确定两个市场的售价，能使其获得总利润最大?最大利润为多少?19 (92年)设z＝sin(χy)＋φ(χ，)，求，其中φ(u，v)有二阶连续偏导数．20 (93年)设z＝f(χ，y)是由方程z－y－χe z-y-χ＝0所确定的二元函数，求dz．21 (94年)计算二重积(χ＋y)dχdy，其中D＝{(χ，y)｜χ2＋y2≤χ＋y＋1}．22 (94年)已知f(χ，y)＝χ2arctan－y2arctan，求．23 (96年)设函数z＝f(u)，方程u＝φ(u)＋∫yχp(t)dt确定u是χ，y的函数，其中f(u)，φ(u)可微；p(t)，φ′(t)连续，且φ′(u)≠1．求．24 (97年)设u＝f(χ，y，z)有连续偏导数，y＝y(χ)和z＝z(χ)分别由方程eχy－y＝0和eχ－χz＝0所确定，求．25 (98年)设z＝(χ2＋y2)，求dz与．26 (98年)设D＝{(χ，y)｜χ2＋y2≤χ}，求27 (99年)计算二重积分ydχdy，其中D是由直线χ＝－2，y＝0，y＝2以及曲线χ＝－所围成的平面区域．28 (99年)设生产某种产品必须投入两种要素，χ1和χ2分别为两要素的投入量，Q 为产出量；若生产函数为Q＝2χ1αχ2β，其中α，β为正常数，且α＋β＝1，假设两种要素的价格分别为p1和p2，试问：当产量为12时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小?29 (00年)计算二重积分，其中D是由曲线y＝－a＋(a＞0)和直线y＝－χ围成的区域．30 (00年)假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别为p1＝18－2Q1，p2＝12－Q2其中P1和P2分别表示该产品在两个市场的价格(单位：万元／吨)，Q1和Q2分别表示该产品在两个市场的销售量(即需求量，单位：吨)并且该企业生产这种产品的总成本函数是 C＝2Q＋5 其中Q表示该产品在两个市场的销售总量，即Q＝Q1＋Q2．(1)如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润；(2)如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及其统一的价格，使该企业的总利润最大化；并比较两种价格策略下的总利润大小．。
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2．设函数
x3 y
f
x,
y
x6
y2
x, y 0,0
0
x, y 0,0
则它在点（0，0）处是（ ）。
A．连续的
B．
x,
lim
y0,0
f
x,
y
f
0, 0
C．二重极限不存在
D．
x,
lim
y 0,0
f
x, y 存在，但 f（0，0）不存在
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A．连续，偏导数存在
B．连续，偏导数不存在
C．不连续，偏导数存在
D．不连续，偏导数不存在
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【答案】C
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【解析】由二元函数式可求得
lim f x, y 0
x0 y0
lim
x0
f
x,
y
lim
x0
x2 2x2
1 2
x0
ex 1 x
又
ex 1
ex 1
lim
lim
1
x x0
x x0
lim e x 1 lim ex 1 1
x x0
x x0
故 fx′（0，0）不存在。
又
f
y
0,
0
lim
y0
f
0, y
y
f
0, 0
ey2 1
lim
lim
y0 y
y0
y2 y
0
故 fy′（0，0）存在。
5．设方程 x＋z＝yf（x2－z2）（其中 f 可微）确定了 z＝z（x，y），则 z∂z/∂x＋y∂z/∂y ＝（ ）。
A．fx′（0，0），fy′（0，0）都存在
B．fx′（0，0）不存在，fy′（0，0）存在
C．fx′（0，0）存在，fy′（0，0）不存在
D．fx′（0，0），fy′（0，0）都不存在
【答案】B
【解析】由 f x, y e x2 y4 得
f
x
0,
0
lim
x0
f
x,0
x
f
0, 0
lim
dt x dt y dt
7．设 f 有二阶偏导数，z＝f（xy），则∂2z/∂x∂y 等于（ ）。 A．yf″＋f′ B．xy2f″
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C．xyf′f″
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D．f′＋xyf″
【答案】D
【解析】∂z/∂x＝yf′，∂2z/∂x∂y＝f′＋yf″·x＝f′＋xyf″。
D．当点 P（x，y）沿无穷多条路径趋向定点 P0（x0，y0）时，有 f（x，y）趋于 A
【答案】C
lim f x, y
【解析】f（x，y）在点（x0，y0）连续是 xx0
存在的充分条件。
y y0
xy
9．二元函数
f
x,
y
x2
y2
x, y 0,0 在点（0，0）处（
）。
0 x, y 0,0
8．若有（
），则
x,
y
lim
x0
,
y0
f
x, y 必存在。
A． lim lim f x, y lim lim f x, y
xx0 y y0
y y0 xx0
B． lim f xx0
x, k
x x0
A ，A 为常数，k 为任意实数
C．函数 f（x，y）在点（x0，y0）连续
A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．以上都不是 【答案】A 【解析】一阶偏导数在（x0，y0）点连续，则函数在（x0，y0）处可微；而函数在（x0， y0）处可微，其一阶偏导数不一定连续。
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11．二元函数 f（x，y）在点（0，0）处可微的一个充分条件是（ ）。
0, 当xy 0
则 fx′（0，1）＝（ ）。
A．0
B．1
C．2
D．不存在
【答案】B
【解析】由题知，
f
x
0,1
lim x0
1 sin x2 x
x
0
lim
x0
sin x
x2
2
1
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4．已知 f x, y e x2 y4 ，则（ ）。
＝x。
6．已知函数 z＝ex＋3y，x＝cost，y＝t2，则 dz/dt 等于（ ）。
e A． 3t2 cost 6t sin t
B．ex＋3y（3t2＋cost） C．ex＋3yt2cost D．ex＋3y（6t＋sint） 【答案】A 【解析】由题得
dz z dx z dy ex3y sin t 3ex3y 2t e3t2cost 6t sin t
yx
则
lim
x0
f
x, y 不存在，即函数 z＝f（x，y）在点（0，0）处不连续。
y0
而
f
x
0,
0
lim
x0
f
x,0
x
f
0, 0
lim
x0
00 x
0Hale Waihona Puke fy0,0
lim
y0
f
0,
y
y
f
0, 0
lim
y0
00 y
0
即函数的偏导数存在。
10．二元函数 z＝f（x，y）在点（x0，y0）处存在一阶连续偏导数是它在此点处可微 的（ ）。
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第五章 多元函数微分学
一、选择题 1．若 f（x－y，lnx）＝[1－（y/x）]ex/[eyln（xx）]，则 f（x，y）＝（ ）。 A．1/（yex） B．xex/y C．xex D．xex/（ye2y） 【答案】D 【解析】令 u＝x－y，v＝lnx，故 f（x－y，lnx）＝[（x－y）/x]·ex－y/[xln（x）]＝ueu/ （ve2v）＝f（u，v）。将变量 u，v 变为 x，y，，得 f（x，y）＝xex－2y/y。
A．
x,
lim
y0,0
f
x,
y
f
0, 0
0
B． lim f x, 0 f 0, 0 0 ，且 lim f 0, y f 0,0 0
【答案】C
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【解析】由
x3 x3 1
lim f
x0 y x3
x, y
lim x0 x6
x3
2 2
lim
y0
f
x, y
lim 0 y y0 06 y2
0
x0
知
lim
x0
f
x, y 不存在。
y0
3．设
f
x,
y
1 xy
sin
x2
y,
当xy 0
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A．x
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B．y
C．z
D．yf（x2－y2）
【答案】A
【解析】由 x＋z＝yf（x2－z2），可得∂z/∂x＝－（1－y·2xf′）/（1＋2yzf′），∂z/∂y＝
－（－f）/（1＋2yzf′），故有（z∂z/∂x）＋（y∂z/∂y）＝（x－yf＋2xyzf′＋yf）/（1＋2yzf′）