微积分(第五章)多元函数微分学复习
多元函数微积分知识点
多元函数微积分知识点多元函数微积分是微积分学中的一个重要分支，主要研究有多个自变量的函数的导数、偏导数、微分、积分等问题。
它是单变量函数微积分的拓展与推广，涉及涉及多元函数的极限、连续性、可微性、可导性、偏导数与全微分、多元复合函数的求导、隐函数的求导、多重积分等内容。
本文将从多元函数的定义与性质、偏导数与全微分、多元复合函数的求导、隐函数的求导、多重积分等几个方面介绍多元函数微积分的知识点。
1.多元函数的定义与性质多元函数是指有多个自变量的函数，一般形式为f(x1, x2, ..., xn)，其中x1, x2, ..., xn是自变量，f是因变量。
多元函数的定义域是自变量可能取值的集合。
在多元函数中，可以分别将每个自变量视为其他自变量的常数，对应单变量函数的概念。
多元函数的性质包括定义域、值域、可视化、极值等。
2.偏导数与全微分偏导数是多元函数在其中一变量上的导数，其他变量视为常数。
偏导数的计算与单变量函数的导数计算类似，可以通过极限或者求偏导数的定义计算。
全微分是多元函数在特定点的一个线性逼近，可以用于计算函数值的近似值。
全微分的表示为df = (∂f/∂x1)dx1 + (∂f/∂x2)dx2 + ... + (∂f/∂xn)dxn，其中∂f/∂xi表示对变量xi的偏导数。
3.多元复合函数的求导多元复合函数是指多个函数通过复合而成的函数，其中一个函数的导数是另一个函数的自变量。
类似于链式法则，多元复合函数的求导需要使用偏导数和全导数的概念。
对于函数z = f(g(x, y)),链式法则可以表示为dz = (∂z/∂x)dx + (∂z/∂y)dy = (∂f/∂g)(dg/dx)dx +(∂f/∂g)(dg/dy)dy。
4.隐函数的求导5.多重积分多重积分是多元函数的积分形式，与单变量函数的定积分类似。
多重积分有二重积分、三重积分等，分别对应二元函数、三元函数等的积分。
多重积分可以用于计算函数在区域内的面积、体积等。
(完整版)多元函数微积分复习试题
多元函数微积分复习题一、单项选择题1．函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可微分的 ( B )(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件.2．设函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可偏导的 （ D )(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件;(C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件.3．函数()y x f ,在点()00,y x 处偏导数存在是函数在该点可微分的 ( B ).(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件;(C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 4．对于二元函数(,)z f x y =, 下列结论正确的是 ( C ).A. 若0lim x xy y A →→=, 则必有0lim (,)x x f x y A →=且有0lim (,)y y f x y A →=; B. 若在00(,)x y 处zx∂∂和z y ∂∂都存在, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; C. 若在00(,)x y 处zx∂∂和z y ∂∂存在且连续, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; D. 若22z x ∂∂和22z y ∂∂都存在, 则. 22z x ∂∂=22zy ∂∂.5．二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处满足关系( C ).A. 可微(指全微分存在)⇔可导(指偏导数存在)⇒连续;B. 可微⇒可导⇒连续;C. 可微⇒可导, 或可微⇒连续, 但可导不一定连续;D. 可导⇒连续, 但可导不一定可微.6.向量()()3,1,2,1,2,1a b =--=-，则a b = （ A ） (A) 3 (B) 3- (C) 2- (D) 25．已知三点M （1，2，1），A （2，1，1），B （2，1，2） ，则→→•AB MA = （ C ） (A) -1； (B) 1； (C) 0 ； (D) 2；6．已知三点M （0，1，1），A （2，2，1），B （2，1，3） ，则||→→+AB MA =（ B ）(A);2-(B) (C)2; (D)-2;7．设D 为园域222x y ax +≤ (0)a >, 化积分(,)DF x y d σ⎰⎰为二次积分的正确方法是_____D____.A. 20(,)aa adx f x y dy -⎰⎰B. 202(,)adx f x y dy ⎰C. 2cos 0(cos ,sin )a a ad f d θθρθρθρρ-⎰⎰D. 2cos 202(cos ,sin )a d f d πθπθρθρθρρ-⎰⎰8．设3ln 1(,)x Idx f x y dy =⎰⎰, 改变积分次序, 则______.I= BA. ln30(,)y e dy f x y dx ⎰⎰B. ln330(,)y edy f x y dx ⎰⎰C. ln33(,)dy f x y dx ⎰⎰ D. 3ln 1(,)x dy f x y dx ⎰⎰9． 二次积分cos 20(cos ,sin )d f d πθθρθρθρρ⎰⎰可以写成___________. DA. 1(,)dy f x y dx ⎰⎰B. 100(,)dy f x y dx ⎰C. 11(,)dx f x y dy ⎰⎰ D. 10(,)dx f x y dy ⎰10． 设Ω是由曲面222x y z +=及2z =所围成的空间区域，在柱面坐标系下将三重积分(,,)I f x y z dx dy dz Ω=⎰⎰⎰表示为三次积分，________.I = CA ． 22120(cos ,sin ,)d d f z dz ρπθρρθρθ⎰⎰⎰B. 22220(cos ,sin ,)d d f z dz ρπθρρθρθρ⎰⎰⎰C ． 22222(cos ,sin ,)d d f z dz πρθρρθρθρ⎰⎰⎰D ． 222(cos ,sin ,)d d f z dz πθρρθρθρ⎰⎰⎰11．设L 为y x 0面内直线段，其方程为d y c a x L ≤≤=,:，则()=⎰Ldx y x P , （ C ）（A ） a （B ） c（C ） 0 （D ） d12．设L 为y x 0面内直线段，其方程为d x c a y L ≤≤=,:，则()=⎰Ldy y x P , （ C ）（A ） a （B ） c （C ） 0 （D ） d13．设有级数∑∞=1n n u ,则0lim =∞→n n u 是级数收敛的 （ D ）(A) 充分条件； (B) 充分必要条件； (C) 既不充分也不必要条件； (D) 必要条件;14．幂级数∑∞=1n n nx 的收径半径R = （ D ）(A) 3 (B) 0 (C) 2 (D) 115．幂级数∑∞=11n n x n的收敛半径=R （ A ）(A) 1 (B) 0 (C) 2 (D) 316．若幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛半径为R ，则∑∞=+02n n n x a 的收敛半径为 （ A ）(A) R (B) 2R(C) R (D) 无法求得17. 若lim 0n n u →∞=, 则级数1n n u ∞=∑( ) DA. 收敛且和为B. 收敛但和不一定为C. 发散D. 可能收敛也可能发散18. 若1n n u ∞=∑为正项级数, 则( B )A. 若lim 0n n u →∞=, 则1n n u ∞=∑收敛 B. 若1n n u ∞=∑收敛, 则21n n u ∞=∑收敛C. 若21n n u ∞=∑, 则1n n u ∞=∑也收敛 D. 若1n n u ∞=∑发散, 则lim 0n n u →∞≠19. 设幂级数1n n n C x ∞=∑在点3x =处收敛, 则该级数在点1x =-处( A )A. 绝对收敛B. 条件收敛C. 发散D. 敛散性不定 20. 级数1sin (0)!n nx x n ∞=≠∑, 则该级数( B )A. 是发散级数B. 是绝对收敛级数C. 是条件收敛级数D. 可能收敛也可能发散二、填空题1．设22(,)sin (1)ln()f x y x y x y =+-+，则 =')1,0(x f ___1___.2．设()()()22ln 1cos ,y x y x y x f +-+=，则)1,0('x f =____0______.3．二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的公式是()()⎰⎰⎰⎰=DDd d f dxdy y x f θρρθρθρsin ,cos ,4．三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的公式是()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=dz d d z f dxdydz z y x f ϕρρϕρϕρ,sin ,cos ,,5．柱面坐标下的体积元素 z d d d dv θρρ=6．设积分区域222:D x y a +≤, 且9Ddxdy π=⎰⎰, 则a = 3 。
高三数学知识点：多元函数和多元微积分
高三数学知识点：多元函数和多元微积分1. 多元函数1.1 定义多元函数是指含有两个或两个上面所述变量的函数。
通常表示为f(x1,x2, ..., xn)，其中x1, x2, ..., xn是变量，称为自变量。
1.2 多元函数的图形多元函数的图形是多元函数的图像。
在平面上，我们可以画出二元函数的图像。
对于二元函数f(x, y)，我们可以固定一个变量的值，然后画出另一个变量的值随该变量变化的曲线。
这些曲线称为等值线。
1.3 多元函数的偏导数多元函数的偏导数是指对一个变量的导数，而将其他变量视为常数。
对于函数f(x1, x2, ..., xn)，其偏导数可以表示为：•∂f/∂x1：表示对x1的偏导数。
•∂f/∂x2：表示对x2的偏导数。
•∂f/∂xn：表示对xn的偏导数。
1.4 多元函数的极值多元函数的极值是指在某个区域内，函数取得最大值或最小值的情况。
通过求偏导数并解方程组，可以找到多元函数的极值。
2. 多元微积分2.1 多元积分多元积分是指对多元函数进行积分。
根据积分变量的不同，可以分为二重积分、三重积分和四重积分等。
2.1.1 二重积分二重积分是指对二元函数在某个区域上进行积分。
其一般形式为：∫∫_D f(x, y) dA其中，D表示积分区域，f(x, y)是被积函数，dA是面积元素。
2.1.2 三重积分三重积分是指对三元函数在某个区域上进行积分。
其一般形式为：∫∫∫_D f(x, y, z) dV其中，D表示积分区域，f(x, y, z)是被积函数，dV是体积元素。
2.1.3 四重积分四重积分是指对四元函数在某个区域上进行积分。
其一般形式为：∫∫∫∫_D f(x, y, z, w) dV其中，D表示积分区域，f(x, y, z, w)是被积函数，dV是体积元素。
2.2 向量微积分向量微积分包括向量的导数和向量的积分。
2.2.1 向量的导数向量的导数是指对向量场的导数。
对于向量场F(x, y, z)，其导数可以表示为：∂F/∂x, ∂F/∂y, ∂F/∂z2.2.2 向量的积分向量的积分是指对向量场进行积分。
专升本(高数—)第五章多元函数微积分学PPT课件
第七节 二重积分的应用
*
2
考试点津：
• 本讲出题在18分—26分之间，本讲内容是 一元函数微分内容的延伸，一般在选择题、 填空题、解答题中出现。
• 本讲重点：
（1）二元函数的偏导数和全微分。
（2）二元函数的有关极值问题及应用。 （3）会计算二重积分
• 建议重点复习前几年考过的试题，把握考 试重心和知识点，重在模仿解题。
成人高考高数一辅导
•
College of Agriculture & Biological Engineering
*
1
第五章 多元函数微积分学 (11年考了22分）
第一节 多元函数、极限和连续 第二节 偏导数与全微分 第三节 二元函数的极值 第四节 二重积分的概念和性质 第五节 直角坐标系下二重积分的计算 第六节 极坐标系下二重积分的计算
可 以 证 明 ，一 元 函 数 关 于 极 限 的 运 算 法 则 仍 适 用 于 多 元 函 数 ，即 多 元 连 续 函 数 的 和 、差 、积 为 连 续 函 数 ，在 分 母 不 为 零 处 ，连 续 函 数 的 商 也 是 连 续 函 数 ，多 元 函 数 的 复 合 函 数 也 是 连 续 函 数 .由 此 还 可 得 出 如 下 结 论 ： 一 切 多 元 初等函数在其定义区域内是连续的.
（4）最大值和最小值定理
在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大 值和最小值各一次．
（5）介值定理
在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的
函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．分
（一） 偏导数
1. 偏导数的定义
定义 设函数 z f (x, y)在点(x0, y0 )的某一邻域内有 定义，当 y固定在 y0，而 x在 x0处有增量x时，相应地函 数有增量 f (x0 x, y0 ) f (x0, y0 )，如果极限
多元函数微分知识点总结
多元函数微分知识点总结一、多元函数的梯度在多元函数微分学中，梯度是一个非常重要的概念。
梯度是一个向量，表示函数在某一点的变化率最快的方向。
对于一个二元函数f(x, y)，梯度可以表示为：∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y)其中，∂f/∂x和∂f/∂y分别表示函数f对x和y的偏导数。
梯度的方向即为函数在该点变化率最快的方向，而梯度的模即为函数在该点的变化率。
因此，梯度可以帮助我们确定函数在某一点的最大变化率和变化的方向。
在实际应用中，梯度可以帮助我们求解多元函数的最值问题。
通过求解梯度为0的点，可以找到函数的极值点。
梯度的方向还可以告诉我们函数在某一点的最快下降方向，从而帮助我们优化函数的取值。
二、多元函数的链式法则链式法则是多元函数微分学中的一个重要概念。
链式法则是用来计算复合函数的导数的方法。
对于一个复合函数f(g(x)), 链式法则可以表示为：(d(f(g))/dx) = (dg/dx)*(df/dg)链式法则的应用十分广泛。
在实际问题中，我们经常会遇到复合函数，通过链式法则，我们可以求解复合函数的导数，从而解决实际问题。
三、多元函数的偏导数多元函数的偏导数是多元函数微分学中的一个基本概念。
对于一个二元函数f(x, y)，其关于变量x的偏导数可以表示为∂f/∂x，而关于变量y的偏导数可以表示为∂f/∂y。
偏导数表示了函数在某一点的变化率。
通过偏导数，我们可以确定函数在某一点的变化率和变化的方向，从而帮助我们解决实际问题。
四、多元函数的泰勒展开泰勒展开是多元函数微分学中的一个重要概念。
泰勒展开可以将一个函数在某一点处展开为一个无穷级数。
对于一个n次可导的函数f(x)，它在点a处的泰勒展开可以表示为：f(x) = f(a) + f'(a)*(x-a) + f''(a)*(x-a)^2/2! + ... + f^(n)(a)*(x-a)^n/n!泰勒展开的应用非常广泛。
通过泰勒展开，我们可以将一个函数在某一点处近似为一个多项式，从而方便我们进行数值计算和求解。
第五章多元函数微分学讲解
第五章 多元函数微分学知识点拔5.1 多元函数的概念一、二元函数的概念 1、二元函数的定义设在某一变化过程中，有三个变量y x ,和z ，如果对于变量y x ,在某一范围D 内任取一对数值，按照一定的对应法则，总有一个确定的值z 与它对应，则称变量z 是变量y x ,的二元函数，记作：),(y x f z =或),(y x z z =，其中y x ,称为自变量，z 称为因变量或称为y x ,的二元函数，变量y x ,取值范围D 称为该函数的定义域.2、二元函数的几何意义 二元函数),(y x f z =在几何上一般表示空间直角坐标系中的一个曲面.二、二元函数的极限 1、二元函数极限的定义设二元函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某去心邻域内有定义，如果动点),(y x P 在该邻域内以任何方式无限地趋于点),(000y x P 时，函数),(y x f 总是无限地趋于一个常数A ，则称A 是函数),(y x f z =在),(y x P 趋于),(000y x P 时的极限（也称二重极限），记作A y x f y y X x =→→),(lim 0或A y x f y x y x =→),(lim),(),(00，若记点),(y x P 与点),(000y x P 之间的距离为20200)()(||y y x x PP -+-==ρ，则有A y x f =→),(lim 0ρ .注释：（1）极限的几何意义：当),(y x P 在),(000y x P 附近的某个范围内变化时，函数值),(y x f 与常数A 的距离恒小于任意给定的正数ε；（2）二元函数极限存在是指：动点P 必须以任意方式趋于点0P 时，),(y x f 都无限趋于常数A ，则二元函数的二重极限存在，但即使动点P 沿过0P 的无穷多条路径趋于0P 时极限都等于A ，也不能说明0P P →时，A y x f →),( .（3）二元函数极限不存在的判定方法：如果当点),(y x P 以两种不同的方式趋于点),(000y x P 时，函数),(y x f 分别趋于不同的常数，则可以断定函数),(y x f 在点),(000y x P 处的极限不存在。
大学微积分总复习提纲
2
微积分（一） calculus
第二章 极限与连续
极限的描述性定义与左右极限
极限四则运算
未定式求极限(因式分解/有理化/同除最高次项)
求极限
夹逼定理 两个重要极限
无穷小量X有界函数(注意无穷小量性质)
等价代换(加减不能代换，乘除可以代换)
洛必达法则(注意运用条件，与上述方法结合)
必考：先分清极限类型，选择相应方法
微积分（一） calculus
第一章 函数
初等函数 分段函数
定义域、值域 奇偶性 周期性 有界性 反函数
选择题或填空题：与换元法结合考察上述知识点
1
微积分（一） calculus
第一章 函数
经济学函数
需求与供给函数 成本函数 收益函数 利润函数 库存函数
边际与弹性 最优化问题
应用题必考：与求导、求极值、最值知识点结合
5
微积分（一） calculus
第三章 导数与微分
导数的定义与左右导数 (求分段点导数，判断可导性与连续性，求极限)
必考：判断分段函数分段点可导性，与连续性、可微 结合考察；与求极限及无穷小量基本性质结合考察。
6
微积分（一） calculus
第三章 导数与微分
基本公式
求导数
四则运算 链式法则 反函数求导
9
微积分（一） calculus
第五章 多元函数微分学
ห้องสมุดไป่ตู้
求极限
极限定义与不同方向的极限 极限四则运算 未定式求极限(因式分解/有理化) 夹逼定理 无穷小量X有界函数(注意无穷小量性质) 等价代换(加减不能代换，乘除可以代换) 换元法后，使用洛必达法则
必考：先分清极限类型，选择相应方法
多元函数微分学知识点
多元函数微分学知识点多元函数微分学是微积分的重要内容，它研究的是在多变量条件下函数的导数和微分的性质。
在实际应用中，多元函数微分学为我们解决各种问题时提供了有效的数学工具。
本文将介绍一些多元函数微分学的基本知识点，包括偏导数、全微分和梯度。
多元函数微分学的第一个知识点是偏导数。
在一元函数中，导数表示函数在某一点上的变化率。
而在多元函数中，我们需要引入偏导数的概念。
偏导数表示函数在某一点上沿着一个坐标轴的变化率。
对于一个两个自变量的函数f(x, y)，偏导数可以用∂f/∂x和∂f/∂y表示。
它们分别表示函数沿x轴和y轴的变化率。
偏导数可以帮助我们理解函数的局部变化情况，并在解决最优化问题时提供重要的线索。
第二个知识点是全微分。
全微分是多元函数微分学中的一个重要概念，它表示函数在某一点上的微小变化量。
全微分可以用df表示，其中df = ∂f/∂x*dx + ∂f/∂y*dy。
全微分可以帮助我们推导函数的逼近值和误差，从而得出函数在某一点的性质和特点。
例如，在工程学中，通过对一个物理过程的全微分分析，我们可以推导出近似解，并估计误差。
最后一个知识点是梯度。
梯度是多元函数微分学中的一个重要工具，它表示函数在某一点的最大变化方向。
对于一个函数f(x, y)，梯度可以用∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y)表示。
梯度的方向是函数变化最快的方向，它的模长表示函数的变化速率。
通过研究梯度，我们可以找到函数的极大值、极小值和鞍点，并解决最优化问题。
多元函数微分学是高级数学中的一个重要分支，它在各个学科领域都有广泛的应用。
在物理学中，我们可以通过多元函数微分学的方法推导出物理方程，并解决各种动力学问题。
在经济学中，多元函数微分学可以帮助我们分析供求关系，推导出边际效应，并解决最优决策问题。
在金融学中，多元函数微分学可以帮助我们研究金融风险和资产定价。
综上所述，多元函数微分学是微积分的重要内容之一，它研究的是多变量条件下函数的导数和微分的性质。
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6 f11 (2 x 6 xy ) f12 2xf 2 2x yf 22 2 yg 2xy g
2 3 3
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知识点
例4 设 zf(2x3y, x2y)g(xy2), 求
z xy
2
.
解 记 u1 2 x 3 y , u2 x 2 y , u xy 2
v 1
2 u ln u x
xy 1
v
x( x 2 y )
[2 y ( x 2 y ) ln( x 2 y )]
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知识点
例4 设 zf(2x3y, x2y)g(xy2), 求
z xy
2
.
解 记 u1 2 x 3 y , u2 x 2 y , u xy 2
x2 y 0 2
; (2) lim
x 0 y 0
xy x y
2 2
.
解 (1)
(1 cos xy ) ln(1 xy ) ( 1 xy 1) sin y
2
2
( xy ) lim
x2 y 0
xy
2 xy 2
lim x 4
2
y
2
x 2 y 0
(2)
| y| x y
2 2
1, xy x y
2 2
lim x 0
x 0 y 0
lim
x 0 y 0
0
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例2 证明极限 lim
x 0 y 0
x y x y
6 2
3
不存在.
分析: 当点(x, y)在直线 ykx 上时, 有
x y x y
6 2 3
x kx
2 2
解 (1) D {( x, y ) | y x 2 0, 2 x y 0}
y
x y2
yx
2
O
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x
结束
典型例题
例1 求下列函数的定义域, 并画出定义域的图形.
(1) z y x ln(2 x y );
2
(2) z ln(
1
2
2
2 2
1 x
1 ( ) x
2
y
x x y
2 2
,
z y
2
2
2 xy (x y )
2 2 2
z x
z y
2
2
0
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例3 求函数 z ( x 2 y ) xy 的偏导数.
v 解 令 u x 2 y , v xy , 则 z u
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例3 验证函数 z arctan
z x
2 2
y x
满足拉普拉斯(Laplace)方程
证
z x
2
1 1 ( ) x y
2
y y y ( 2 ) 2 2 x x y
z
2
2
0.
z x
z y
2 2
2 xy (x y )
y x)
4 x y .
2 2
解 (2) D {( x, y ) | y 0, y x 0, 4 x 2 y 2 0}
y
x
y
x y 4
2 2
O
x
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例2 求下列极限.
(1) lim
x2 y 0
(1 cos xy ) ln(1 xy ) ( 1 xy 1) sin y lim
x 0 y 0
x y x y
6 2
3
不存在.
注: 如果当P以两种不同方式趋于P0时, 函数趋于不同的值, 则函数的极限不存在
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例2 解1
f ( x, y ) x ( y 1) arctan
f x ( x, y ) 2 x ( y 1) 1 1 y x
T ( Fx , Fy , Fz ) (G x , G y , G z ).
曲面的法向量 • 曲面 F(x, y, z)0在点M0(x0, y0, z0)处的法向量为
n ( Fx , Fy , Fz ) |M n ( f x , f y , 1) |M
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函数可导
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内容提要
复合函数求导公式 设 zf(u1,…, un) 可微, ui(x, y,…)偏导数存在, 则有
z x z u1 u1 x z un un x .
全微分形式不变性 设zf(u, v)具有连续偏导数, 则有全微分
3
x ( kx )
6
2
kx
4
2 2
x k
0( x 0)
点(x, y)沿不同的直线 ykx 趋于点(0, 0)时, 函数都趋于0. 若点(x, y)在曲线 ykx3 上, 则
x y x y
6 2 3
x kx
3 6
3 3 2
x ( kx )
k 1 k
2
注: 如果当P以两种不同方式趋于P0时, 函数趋于不同的值, 则函数的极限不存在
2[ f11
u1 y
f12
2
] 2xf 2 2 xy[ f 21
u1 y
2 yg y ( g
)
3
2 2 2[3 f11 x f12 ] 2xf 2 2 xy[3 f 21 x f 22 ] 2 yg 2xy g
多元函数微分学复习
一、内容提要 二、典型例题
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内容提要
偏导数
f x ( x , y ) lim f ( x x, y ) f ( x, y ) x
x x0
x 0
注: (1) (2) (3)
f x ( x0 , y0 )
f y ( x0 , y0 )
内容提要
全微分 函数zf(x, y)在点(x, y)可微分:
z z x ( x , y ) x z y ( x , y ) y o ( ) (
( x ) ( y ) )
2 2
•计算公式:dz
重要关系
z z dx dy x y
函数连续 函数可微 偏导数连续
dz z z du dv u v
无论z是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数, 它的全微 分形式是一样的
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内容提要
隐函数求导公式
F(x, y)0 确定 yf(x) 的导数公式
dy dx Fx Fy
F(x, y, z)0 确定 zf(x, y) 的偏导数公式
Fy Fx z z , y Fz x Fz
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内容提要
曲线的切向量 • 光滑曲线 xx(t), yy(t), zz(t) 在 tt0 对应点处的切向量为
T ( x(t0 ), y (t0 ), z (t0 )).
• 曲面F(x, y, z)0与曲面G(x, y, z)0的交线的切向量为
z u z v x u x v x
z
vu
v 1
1 u ln u y
xy 1
v
y( x 2 y)
z
[ x ( x 2 y ) ln( x 2 y )]
z u z v y u y v y
vu
z x
2
f u
u1 x
f1 y
1
f u
u2 x
2
gu
u x
2 2 f1 2 xyf 2 y g
z xy
2
2 xf 2 2 xy u2 y u y
f 2 y
2 yg y
2
g y f 22 u2 y ]
z xy
2
z xy
2
.
z
2
f1 y
2 xf 2 2 xy
f 2 y
2 yg y
2
g y
3
2 2 2[3 f11 x f12 ] 2xf 2 2 xy[3 f 21 x f 22 ] 2 yg 2xy g 2 3 3 6 f11 (2 x 6 xy ) f12 2xf 2 2x yf 22 2 yg 2xy g
df ( x, y0 ) dx df ( x0 , y )
dy
y y0
f x ( x0 , y0 , z0 )
df ( x, y0 , z0 ) dx
x x0
偏导数的求法 求函数对一个自变量的偏导数时, 只要把其它自变量看 作常数, 然后按一元函数求导法求导即可
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0
• 曲面 zf(x, y)在点M0(x0, y0, z0)处的法向量为
0
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内容提要
极值点的必要条件 具有偏导数的极值点必为驻点 极值的充分条件 设f(x, y)具有二阶连续偏导数, (x0, y0)为f(x, y)的驻点, 令 fxx(x0, y0)A, fxy(x0, y0)B, fyy(x0, y0)C, (1) ACB20时, f(x0, y0)为极值: 当A0时为极大值, 当A0时为极小值 (2) ACB20时, f(x0, y0)不是极值 (3) ACB20时, f(x0, y0)可能为极值, 也可能不是极值