第六章多元函数微分法及其应用试题答案

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第6章多元函数微分学5-8导学解答(6.2.1 复合函数的微分法6.2.2 全微分形式不变性)

6.2 多元函数微分法6.2.1 复合函数的微分法 6.2.2 全微分形式不变性一、相关问题1.设(,,)u f x xy xyz =，其中f 具有一阶连续偏导数，显然u 是,x y ，z 的三元函数，如何求u 的一阶偏导数及二阶偏导数．2.一元函数的一阶微分形式的变性是什么？二、相关知识1.如何确定复合函数的中间变量及自变量？2.如何确定复合函数的高阶导数中的中间变量及自变量？三、练习题1.设22ln(1),2sin ,3z x y x t y t =++==，求dy dt。

解这里z 是函数，,x y 是中间变量，t 是自变量．复合关系图为则222222224c o s 62c o s 3111d y x y x t yt d t x y x y x y+=⋅+⋅=++++++． 2.设(,,)z f x u v =可微，(,,)u g x v y =，(,)v h x y =的偏导数存在，求dz ，zx ∂∂，z y∂∂。

解由于函数有多重复合结构，用全微分形式的不变性较简便123 dz f dx f du f dv =++ 又 123d u g d x g d vg dy =++，12dv h dx h dy =+ 12123312121312212332222 ()() ()()dz f dx f g dx g dv g dy f h dx h dy f f g f h f g h dx f g f h f g h dy∴=+++++=++++++故12131221zf fg fh f g h x∂=+++∂，2332222z f g f h f g h y ∂=++∂。

3.设20(,)x ytz f t e dt =⎰，其中f 具有连续一阶偏导数，求dz 及2zx y∂∂∂。

解由于222222(,)(,)(2)x y x y dz f x y e dx y f x y e xydx x dy ==⋅+ 所以22(,)2x y zf x y e xy x∂=∂ 故2222222312122(,)()222()x y x y x y zxf x y e x f x e f xy xf x y f e f x y∂''''=++⋅=++∂∂。

《高等数学一》第六章多元函数微分学历年试题模拟试题课后习题大汇总(含答案解析)

第六章多元函数微分学［单选题］1、设积分域在D由直线x+y二0所围成，则| dxdy 如图:［单选题］2、A 9B、4C 3【从题库收藏夹删除】【正确答案】A 【您的答案】您未答题【答案解析】［单选题］3、设H 二才，则y=()A V皿2-1)B 、xQnx-1)D【从题库收藏夹删除】【正确答案】C 【您的答案】您未答题【答案解析】首先设出-,J'二一；，然后求出最后结果中把二】用’’次方代换一下就可以得到结果.［单选题］4、Ft F'y,尸空二dx F f y［% I设Z =则去九£ |（）km ，（心+& J D ）L 『（也几）AK^*°A'X«■【从题库收藏夹删除】【正确答案】D 【您的答案】您未答题【答案解析】本题直接根据偏导数定义得到［单选题］5、设z=ln （x+弄），示=（）A1B 、X+旷"C1-2妒盂+沙DX + 帘一"【从题库收藏夹删除】【正确答案】A 【您的答案】您未答题【答案解析】B 、 lim U m/侃+山+ 3) — / (险用)Ay了0+山』0）—/（兀几）Arlim /(x+Ax.y)-/^)4y|"S 1 I对x求导，将y看做常数，小门•八［单选题］6、设U 了：,；_丁；：£=()【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】<■■-?■■■■■：川［单选题］7、设f(x r x+y) = ^ + x2t则£0,卩)+ £(尽刃二()A丨；B、…C :D ',【从题库收藏夹删除】【正确答案】B【您的答案】您未答题【答案解析】f(x,兀+y)=砂+ F二疏》+兀)/fcy) = ^yX '(^y)=y二兀£(2)+另(“)=曲［单选题］81,ln(x+y)20》x+》21.综上满足:盘+”1［单选题］ 9、函数的定义域为（）.少（兀+卩）；：：x F+丿()•B 、D【从题库收藏夹删除】【正确答案【您的答案OOA您未答题【答案解析1 1-+-lim —3 -- :—7 = 1 im ——— - 0 心卩齐_砂+尹 gw 兀 y尸2 』 / 尸於一 —]+_一7 x［单选题］ 10、()•0宀 2护X + (”In X-2芒)妙（y*" - 2侣）矽+ （H In 兀-—2」壬）必【从题库收藏夹删除】【正确答案】D【您的答案】您未答题【答案解析】鸣刁严-F 工=j/lnx-£dz - 3/" -”必 + （疋 In z-［单选题］ 11、dz1-^'【从题库收藏夹删除】【正确答案】B 【您的答案】您未答题【答案解析】方程B 、 C与必+ （#阮—函数'■ - 一 I'"的确定的隐函数，贝U 一（）•2z口B、” y左右两边求导，dx dx__ -2zdx/-I12、设Z = X +丿，则在（0,0）处（）.取得极大值无极值无法判定是否取得极值【从题库收藏夹删除】【正确答案】B 【您的答案】您未答题【答案解析】小务S 釜二心齐2’【从题库收藏夹删除】【正确答案一+ X) — —八)——2&2 — 2/ — 2砂，+ 2”(/+丹B 、取得极小值B 2-AC<Q t A>0，故取得极小值［单选题］ 13、，则【您的答案您未答题【答案解析7矽B、［单选题］14、dz __ 设z=xA2/y,x=v-2u,y=u+2v ，则J ()2(u - 2v)(u- 3v)A、「(K-2V)(K-3V)B、(加+巧2~)(卄刘C(2#+制(u -2vJ(u+邵)(2u+v)3【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】炭边3兀龛创2A D z z . * 2x(y-7^)—二------ H ---- - -- 1+( ----- 7)- J — ---- 母 -- dv dx dy y y2y2_ 2(v~ 2u)(v+ - V - 2u)) _ 2(y - 2u)(v + 3u)(2V+LT)3［单选题］(2v+u)15、设函数z=ln(x2+y2)，则=()如)B、—：x-yD J - /【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】& 2x & 2y 5c & 2y 2x 2x + 2y 2(x+y) -- • = —: - - = ---- - ;—1 + = ---------------- = ----- =3K F+y3®5?+『’曲勿x2 + y3x2 + y3启+『x3 + y3［单选题］16、设函数，则汕忙丿=().1A、」IzTB、.'■1C、1D、1【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】参见教材P178〜179。

多元函数微分学的应用习题及详细解答

（x, y) 0 下的极值点，下列选项正确的是（ D ）。
A.若fx(x0, y0 ) 0,则f y(x0, y0 ) 0 C.若fx(x0, y0 ) 0,则f y(x0, y0 ) 0
B.若fx(x0, y0 ) 0,则f y(x0, y0 ) 0 D.若fx(x0, y0 ) 0,则f y(x0, y0 ) 0
x 1 y 2 z 1. 1 1 1
5.已知曲面 z x2 y2 z2 上点 P 处的切平面 x 2y 2z 0 平行，求点 P 的坐标以及曲
面在该点的切平面方程。
解：曲面在点 P 处的法向量为 n Fx, Fy, Fz 2x, 2y, 2z 1 ，依题意，n 1, 2, 2 ，
(0, 0) 处取得极小值的一个充分条件是（ A ）。
A. f (0) 1, f (0) 0 C. f (0) 1, f (0) 0
B. f (0) 1, f (0) 0 D. f (0) 1, f (0) 0
(5)设 f (x, y)与（x, y) 均为可微函数，且y (x, y) 0,已知（x0, y0)是f (x, y)在约束条件
在何处？
解：行星表面方程为 x2 y2 z2 36 .令 L 6x y2 xz 60 (x2 y2 z2 36) ，求
解方程组 6 z 2x 0 ， 2 y 2 y 0 ， x 2z 0 ，则可得驻点
x
y
z
(4, 4, 2), ( 3, 0,3), (0, 0, 6) ，结合题意易知 H 在 (4, 4, 2) 处最小，且最小值为 12.
2x a2
2y b2
y
0,
y
b2 a2
x y
所以在点
a, 2
b 2

西工大—高数答案—多元函数微分法及其应用

lim
y kx
此值随 k 值不同而不同,故极限
( x , y ) (0,0)
lim
z 不存在,从而函数 z 在（0,0）点不连续.
在除（0,0）点外的区域上,函数 z
xy 是初等函数,故在其定义区域上连续. x y2
4
注意常犯的错误一是只讨论了函数在（0,0）点的连续性,没讨论函数在定义域内其它点处的连续性;二是求（0,0）点的极限时,出现了如下：
所以
z x y y x ]. = ( x e ) [ln( x e ) x ey x z x
法2
y x
(1,0)
从而
= 2ln 2 1
0 x x
因为 z = ( x e ) ,所以 z ( x, 0) = ( x e ) = ( x 1)
dz x x ln( x 1) x ] = [e x ln( x 1) ] = e x ln( x 1) [ln( x 1) ] = [( x 1) ] = [e x 1 dx
常见的错误是遗漏了步骤：
y x
注意
z u y z ( y ) ,而得到错误结果： = x ln x . z z
y
（5 ）法 1
因为 z = ( x e ) ,则 ln z = x ln( x e ) ,
z x = ln( x e y ) x 1 , x ey z
xy xy = lim 4 2 ( x , y ) (0,0) x y 2 ( x , y ) (0,0) x y y kx
lim
4
（错误的式子）
事实上,记号“
( x , y ) (0,0)
lim
”表示点 ( x, y ) 以任意的方式无限接近（0,0）点,而记号

(完整版)多元函数微分学及其应用习题解答

(((x 2 + y 2 ≤ 1, x+ y }(1- (t + 4) 2 解：令 t=xy ， lim = lim= lim 2=- t →0 t →0习题 8-11. 求下列函数的定义域：(1) z =解： x -x - y ；y ≥ 0, y ≥ 0 ⇒ D ={x, y ) y ≥ 0, x ≥ y }x(2) z = ln( y - x) +；1 - x2 - y 2解： y - x ≥ 0, x ≥ 0,1 - x 2 - y 2 ⇒ D ={ x , y ) y > x ≥ 0 且 x2+ y 2 < 1}(3) u = R 2 - x 2 - y 2- z 2 +1x 2 + y 2+ z 2 - r 2(R > r > 0) ；解： 0 ≤ R 2 - x 2 - y 2 - z 2，0 < x 2 + y 2 + z 2 - r 2 ⇒⇒ D = {x , y , z ) r 2< x 2 + y 2 + z 2 ≤ R 2}(4) u = arccoszx 2 + y 2。

解：z2 2 ≠ 0 ⇒ D = {x, y ) z ≤x 2 + y 2 且 x 2 + y 2≠ 02. 求下列多元函数的极限:：(1) lim ln( x + e y )x →1 x 2 + y 2y →0；解： limx →1y →0ln( x + e y ) x 2 + y 2 = ln(1+ 1)1= ln 2(2) lim 2 - xy + 4x →0xy y →0；1- 2 - xy + 4 2 t + 4 1 x →0xy t 1 4 y →01 / 28x →0 y →0x →0lim x +y = , m 不同时,极值也不同,所以极限不存在。

(3) lim sin xyx →0x y →5；sin xy sin xy解： lim = 5lim = 5x →0 x 5xy →5y →01 - cos( x2 + y 2 ) (4) lim( x 2 + y 2 )e x 2 y 2；x →0 y →0解：Q 1 - cos( x 2 + y 2 ) = 2(sinx 2 + y 2 2)2 ,∴ l im x →0 y →01 - cos( x2 + y 2 ) 1= 2 ⋅ ⋅ 0 = 0( x 2 + y 2 )e x 2 y 2 2(5) lim( x 2 + y 2 ) xy 。

第六章多元函数微分法及其应用部分考研真题及解答

第六章多元函数微分法及其应用 6.1多元函数06.34) 设()1sin,,0,01arctan xy y yf x y x y xy xπ-=->>+,求 (Ⅰ) ()()lim ,y g x f x y →+∞=(Ⅱ) ()0lim x g x +→6.2偏导数08.3)已知(,)f x y = （ B ）（A ）(0,0)x f '，(0,0)y f '都存在（B ）(0,0)x f '不存在，(0,0)y f '存在（C ）(0,0)x f '不存在，(0,0)y f '不存在（D ）(0,0)x f '，(0,0)y f '都不存在6.3全微分02.1)考虑二元函数(,)f x y 的下面4条性质：①(,)f x y 在00(,)x y 处连续②(,)f x y 在00(,)x y 处两个偏导数连续③(,)f x y 在00(,)x y 处可微④(,)f x y 在00(,)x y 处两个偏导数存在.若用“P Q ⇒”表示可由性质P 推出Q ，则有（Ａ）（A ）②⇒③⇒①. （B ）③⇒②⇒①. （C ）③⇒④⇒①. （D ）③⇒①⇒④. 07.2) 二元函数f (x , y )在点(0，0) 处可微的一个充分条件是（ C ） (A )(,)(0,0)lim [(,)(0,0)]0x y f x y f →-=.(B) 0(,0)(0,0)lim0x f x f x →-=，且0(0,)(0,0)lim 0y f y f y→-=.(C)(,)lim0x y →=.(D) 0lim[(,0)(0,0)]0x x x f x f →''-=，且0lim[(0,)(0,0)]0y y y f y f →''-=.05.34) 设二元函数)1ln()1(y x xez yx +++=+，则=)0,1(dzdy e edx )2(2++ .06.34) 设函数()f u 可微,且()102f '=,则()224Z f x y =-在点(1,2)处的全微分()1,2dz=42dx dy -6.4多元复合函数求导法则05.12) 设函数⎰+-+-++=yx yx dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕ, 其中函数ϕ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有 [ B ](A ) 2222yu x u ∂∂-=∂∂. （B ） 2222y u x u ∂∂=∂∂. (C) 222y uy x u ∂∂=∂∂∂. (D) 222x u y x u ∂∂=∂∂∂. 01.4)设(2),x z e f x y -=--且当0y =时，2,z x =则zx ∂=∂22(2)x y x x y e e ----+ 07.1) 设f (u ,v )为二元可微函数，(,)y x z f x y =，则zx∂∂=112ln .y x f yx f y y -''⋅+⋅07.234) 设f (u ,v )是二元可微函数，(,),y x z f x y =则z z xy x y ∂∂-=∂∂1222.y x f f x y''-+ 09.1)设函数(,)f u v 具有二阶连续偏导数，z=(,)f x xy 则2zx y∂∂∂=12222xf f xyf '''''++ 09.3)设()y x z x e =+，则(1,0)zx ∂∂=2ln 21+ 09农）设(,)f u v 为二元可微函数，(sin(),)xyZ f x y e =+，则zx∂∂=12cos()xy f x y yf e ''++ 01.1)设函数(,)f x y 在点(1,1处可微，且(1,1)(1,1)(1,1)1,2,3,f ff x y ∂∂===∂∂ ()(,(,))x f x f x x ϕ=.求31()x d x dx ϕ=（符合函数求导+求值(1)ϕ） 01.34)设(,,)u f x y z =有连续的一阶偏导数，又函数()y y x =及()z z x =分别由下列两式确定：2xye xy -=和0sin ,x zxt e dt t -=⎰求dudx03.34) 设f (u ,v )具有二阶连续偏导数，且满足12222=∂∂+∂∂v fu f ，又)](21,[),(22y x xy f y x g -=,求.2222yg x g ∂∂+∂∂【详解】v f x u f y x g ∂∂+∂∂=∂∂，.vf y u f x yg ∂∂-∂∂=∂∂ 故 v f vf x v u f xy u f y xg ∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂2222222222，.2222222222v f vf y u v f xy u f x yg ∂∂-∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂ 所以 222222222222)()(vf y x u f y x yg x g ∂∂++∂∂+=∂∂+∂∂=.22y x + 04.2) 设22(,)xyz f x y e =-,其中f 具有连续二阶偏导数,求2,,z z zx y x y∂∂∂∂∂∂∂. 【详解】122xy z x f ye f x ∂''=+∂,122xy zy f xe f y∂''=-+∂, 21112222[(2)]xy xy xy zx f y f xe e f xye f x y∂''''''=⋅-+⋅++∂∂2122[(2)]xy xy ye f y f xe ''''+⋅-+⋅ 222111222242()(1)xy xy xy xyf x y e f xye f e xy f '''''''=-+-++++. 05.34)设f (u )具有二阶连续导数，且)()(),(y x yf x y f y x g +=，求.222222yg y x g x ∂∂-∂∂ 【详解】由已知条件可得)()(2y x f x y f x y x g '+'-=∂∂，)(1)()(242322y xf y y x f x y x y f x y xg ''+''+'=∂∂， )()()(1yx f y x y x f x y f x y g '-+'=∂∂， )()()()(13222222y xf yx y x f y x y x f y x x y f x y g ''+'+'-''=∂∂，所以 222222y g y x g x ∂∂-∂∂=)()()(2222y x f y x y x f x y x y f x y ''+''+')()(222y x f y x x y f x y ''-''- =).(2xyf x y ' 09.2) 设(,,)z f x y x y xy =+-，其中f 具有2阶连续偏导数，求dz 与2z x y∂∂∂【解析】123123,z zf f yf f f xf x y∂∂''''''=++=-+∂∂ 所以123123()()z zdz dx dy f f yf dx f f xf dy x y∂∂''''''=+=+++-+∂∂21112132122233313233.1.(1)..1(1).[.1.(1).]zf f f x f f f x f y f f f x x y∂'''''''''''''''''''=+-+++-++++-+∂∂ 31122331323()()f f f xyf x y f x y f '''''''''''=+-++++- 10.2)设函数(,)f x y μ=具有二阶连续偏导数，且满足等式2222241250x x y y μμμ∂∂∂++=∂∂∂∂，确定a ，b 的值，使等式在变换x ay ξ=+，x by η=+下化简为20μξη∂=∂∂.6.5隐函数的求导公式05.1) 设有三元方程1ln =+-xz e y z xy ，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域，在此邻域内该方程 [ D ](A )只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x ,y ).(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x =x (y ,z)和z=z(x ,y ). (C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数y =y (x ,z)和z=z(x ,y ). (D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x =x (y ,z)和y =y (x ,z).（考查隐函数存在定理，只需令F (x ,y ,z)=1ln -+-xz e y z xy , 分别求出三个偏导数y x z F F F ,,，再考虑在点(0,1,1)处哪个偏导数不为0，则可确定相应的隐函数.）10.12)设函数(,)z f x y =，由方程,0y z F x x ⎛⎫=⎪⎝⎭确定，其中F 为可微函数，且20F '≠，则z zxy x y∂∂+=∂∂ （ B ）（A ）x （B ）z （C ）x - （D ）z - 04.2) 设函数(,)z z x y =由方程232x z z e y -=+确定, 则3z zx y∂∂+=∂∂2.04.3) 设函数f (u , v )由关系式f [xg (y ) , y ] = x + g (y )确定，其中函数g (y )可微，且g (y ) ≠ 0，则)()(22v g v g vu f'-=∂∂∂.02.34)设函数(,,)u f x y z =有连续偏导数，且(,)z z x y =由方程x y zxe ye ze -=所确定，求du .08.3) 设(,)z z x y =是由方程()22x y z x y z ϕ+-=++所确定的函数，其中ϕ具有2阶导数且1ϕ'≠-时.（1）求dz （2）记()1,z z u x y x y x y ⎛⎫∂∂=- ⎪-∂∂⎝⎭，求u x ∂∂. 【详解】(I) ()()22xdx ydy dz x y z dx dy dz ϕ'+-=++⋅++()()()122dz x dx y dy ϕϕϕ'''⇒+=-++-+ ()()221x dx y dy dz ϕϕϕ''-++-+⇒='+()1ϕ'≠-(II) 由上一问可知22,11z x z yx y ϕϕϕϕ''∂-+∂-+==''∂+∂+，所以 ()11221222,()()1111z z x y y x u x y x y x y x y x y ϕϕϕϕϕϕ''∂∂-+-+-+=-=-=⋅=''''-∂∂-++-++所以 ()()()()223322(1)2(1)2(12)2(12)11111x z u x x x x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ'-∂''+''-+'''''''∂++-++∂==-=-=-∂''''++++.6.6偏导数的应用01.1)函数(,)f x y 在点(0,0)附近有定义，且(0,0)3,(0,0)1,x y f f ''==则（ C ）（A ）(0,0)|3dz dx dy =+ （B ）曲面(,)z f x y =在点(0,0,(0,0))f 的法向量为（3,1,1）（C ）曲线(,)0z f x y y =⎧⎨=⎩在点(0,0,(0,0))f 的切向量为（1,0,3）（D ）曲线(,)z f x y y =⎧⎨=⎩在点(0,0,(0,0))f 的切向量为（3,0,1）03.1) 已知函数f (x ,y )在点(0,0)的某个邻域内连续，且1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x ，则 (A) 点(0,0)不是f (x ,y )的极值点. (B) 点(0,0)是f (x ,y )的极大值点. (C) 点(0,0)是f (x ,y )的极小值点.(D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f (x ,y )的极值点. [ A ] 解：由1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x 知，分子的极限必为零，从而有f(0,0)=0, 且 222)(),(y x xy y x f +≈- y x ,(充分小时），于是 .)()0,0(),(222y x xy f y x f ++≈-可见当y=x 且x 充分小时，04)0,0(),(42>+≈-x x f y x f ；而当y= -x 且x 充分小时，04)0,0(),(42<+-≈-x x f y x f . 故点(0,0)不是f(x,y)的极值点03.34) 设可微函数f (x ,y )在点),(00y x 取得极小值，则下列结论正确的是 [ A ] (A) ),(0y x f 在0y y =处的导数等于零. （B ）),(0y x f 在0y y =处的导数大于零. (C) ),(0y x f 在0y y =处的导数小于零. (D) ),(0y x f 在0y y =处的导数不存在. 06.1234) 设(,)f x y 与(,)x y ϕ均为可微函数，且(,)0y x y ϕ'≠. 已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是 [ D ] （A ）若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. （B ）若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. （C ）若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=. （D ）若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.09.2) 设函数(,)z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+，则点（0，0）（ D ）（A ）不是(,)f x y 的连续点（B ）不是(,)f x y 的极值点（C ）是(,)f x y 的极大值点（D ）是(,)f x y 的极小值点04.1) 设z =z (x ,y )是由0182106222=+--+-z yz y xy x 确定的函数，求),(y x z z =的极值点和极值.【详解】因为 0182106222=+--+-z yz y xy x ，所以02262=∂∂-∂∂--x z z x z yy x ， 0222206=∂∂-∂∂--+-yz z y z y z y x . 令 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂0,0y z xz 得⎩⎨⎧=-+-=-,0103,03z y x y x 故 ⎩⎨⎧==.,3y z y x将上式代入0182106222=+--+-z yz y xy x ，可得⎪⎩⎪⎨⎧===3,3,9z y x 或 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=.3,3,9z y x 由于 02)(22222222=∂∂-∂∂-∂∂-xzz x z x z y ，,02222622=∂∂∂-∂∂⋅∂∂-∂∂∂-∂∂--yx zz x z y z y x z y x z02)(22222022222=∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-yzz y z y z y y z y z ，所以 61)3,3,9(22=∂∂=x zA ，21)3,3,9(2-=∂∂∂=y x zB ，35)3,3,9(22=∂∂=yzC ，故03612>=-B AC ，又061>=A ，从而点(9,3)是z (x ,y )的极小值点，极小值为z (9,3)=3. 类似地，由61)3,3,9(22-=∂∂=---xzA ，21)3,3,9(2=∂∂∂=---y x zB ，35)3,3,9(22-=∂∂=---yzC ，可知03612>=-B AC ，又061<-=A ，从而点(-9, -3)是z (x ,y )的极大值点，极大值为 z (-9, -3)= -3.05.2) 已知函数z =f (x ,y ) 的全微分ydy xdx dz 22-=，并且f (1,1,)=2. 求f (x ,y )在椭圆域}14),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值.【详解】由题设，知x x f 2=∂∂，y yf 2-=∂∂，于是 )(),(2y C x y x f +=，且 y y C 2)(-='，从而 C y y C +-=2)(，再由f (1,1)=2，得 C =2, 故 .2),(22+-=y x y x f令0,0=∂∂=∂∂y fx f 得可能极值点为x =0,y =0. 且 2)0,0(22=∂∂=xf A ，0)0,0(2=∂∂∂=y x f B ，2)0,0(22-=∂∂=yfC ，042>=-=∆AC B ，所以点(0,0) 不是极值点，从而也非最值点.再考虑其在边界曲线1422=+y x 上的情形：令拉格朗日函数为 )14(),(),,(22-++=y x y x f y x F λλ，解 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+='=+-=+∂∂='=+=+∂∂=',014,02122,0)1(2222y x F y y y y f F x x x fF y xλλλλλ得可能极值点4,2,0===λy x ；4,2,0=-==λy x ；1,0,1-===λy x ；.1,0,1-==-=λy x 代入f (x ,y )得,2)2,0(-=±f 3)0,1(=±f ，可见z =f (x ,y )在区域}14),{(22≤+=y x y x D 内的最大值为3，最小值为-2.05.4) 求f (x ,y )=222+-y x 在椭圆域}14),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值.（同上） 07.1)求函数2222(,)2f x y x y x y =+-在区域22{(,)4,0}D x y x y y =+≤≥上的最大值和最小值。

多元函数微分习题

∂z 答案： = 1 + 2 3 ∂l 3 答案： cos φ = 22
33、求函数 z = x 2 + y 2 在点（1，2）处沿从点（1，2）到点 ( 2, 2 + 3 ) 的方向的方向导数。 34、求函数 z = ln( x + y ) 在抛物线 y 2 = 4 x 上的点(1,2)处沿着这抛物线在该点处偏向 x 轴正向的切线方向的方向导数.
11、验证 y = e
− kn 2 t
sin nx 满足:
∂y ∂2 y =k 2 . ∂t ∂x
12、求下列函数的全微分： (1) z =
y x2 + y2
;(2) u =
y z x + − x y z
答案：（1） .dz =
− x ( ydx − dy ) (x 2 + y 2 )3
;
(3).df (1,1,1) = dx − dy ( 2).dz = −(
答案: ∆z = −0.119, dz = −0.125. 14、求下列复合函数的一阶偏导数或全导数: （1）设 z = u 2 + v 2 , 而 u = x + y , v = x − y , 求 : （2）设 z = u 2 ln v ，而 u =
∂z ∂z , ∂x ∂y
x ∂z ∂z . , v = 3 x − 2 y ，求 , y ∂x ∂y
答案:
π . 4
9、设 T=2 π
l , g
y x
求证:
l
∂T ∂T +g = 0. ∂l ∂g
∂2z ; ∂x∂y
10、(1) z = arctan ，求:
∂2z 1 − 2 xy 答案： 2 = 2 ∂x (x + y 2 )2

高等数学第六章多元函数微分法及应用第三节全微分

f (1,2) 1, fx ( x, y) yx y1, fx (1,2) 2, fy ( x, y) x y ln x,fy (1,2) 0,
dz f x (1,2)dx f y (1,2)dy 2 0.04 0 0.02 0.08
(1.04)2.02 1.08
V 2rhr r 2h
其余部分是 (r)2 (h)2的高阶无穷小，所以
V 2rhr r 2h o( (r)2 (h)2 )
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线性主部
无穷小量
3
二全微分的定义
(Definition of total differential)
全微分存在．
xy
例如，
f
(
x,
y)

x2 y2
0
x2 y2 0 .
x2 y2 0
在点 (0 ,0 )处 f x (0 ,0 ) f y (0 ,0 ) 0
z [ f x (0,0) x f y (0,0) y]
x y , (x)2 (y)2
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14
记全微分为 dz z dx z dy. x y
通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理．
叠加原理也适用于二元以上函数的情况．全微分的定义可推广到三元及三元以上函数
du u dx u dy u dz. x y z
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20
证令 x cos , y sin ,
则 lim xy sin 1
( x , y )(0,0)
x2 y2
lim 2 sin cos sin 1

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第六章多元函数微分学答案及评分标准
一、1、B 解：原式6)11(3lim )11(3lim 0
000=++=++=→→→→xy xy xy xy y x y x . 2、A 解：2R D =，当022≠+y x 时，),(y x f 连续；当022=+y x 时
22222221)(210),(y x y x y x y x f +=++≤-.即)0,0(0),(lim 0
0f y x f y x ==→→. 3、B 4、D 解：)0,0()0(111222⇒>≥⇒≥++≥z z y x z 是最小值点，由于)0,0(为定义域内点，所以)0,0(也是极小值点. 5.C 解：由方向导数的定义可得.
二、1、 2ln 2、xy xyz xyz
yz --
3、21f z f '+'，2212
2f xz f x f ''+''+' 解：21211f z f z f f x u '+'=⋅'+⋅'=∂∂，故22122222122f xz f x f x f z f x f z
x u ''+''+'=⋅''+'+⋅''=∂∂∂. 4、{2x －4,4y －6,6z －8}
解：grad f ={2x －4,4y －6,6z －8}；grad f |(2,1,2)={0,－2,4}，
|grad f |(2,1,2)=，即f 在点(2，1，2)处方向导数的最大值为.
5、 dy dx +2ln 2
三、解：1cos sin ⋅+⋅=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂v e y v e x
v v z x u u z x z u u )]cos()[sin(y x y y x e xy ++⋅+= ……………5分
1cos sin ⋅+⋅=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂v e x v e y
v v z y u u z y z u u )]cos()[sin(y x x y x e xy ++⋅+= ……………10分
四、解：xy x
z 2=∂∂ y x y z cos 2+=∂∂ （4分） x y x z 22=∂∂∂ （7分） y y
z sin 22-=∂∂ （10分）
五、解：由⎩⎨⎧='+'--='+'0
244022z z y y x z z y y 代入点(,,)-324，解得21,1)4,2,3()4,2,3(-='='--z y ……4分对应的切线方向向量{}=-⎧⎨⎩
⎫⎬⎭=-111212221,,,,………………………………………………6分故切线方程为 x y z +=-=--322241
…………………………………………………………8分法平面方程为232240()()()x y z ++---= 即 2260x y z +-+=………………………10分
六、解：由z x y z y x x y
=+==-++=⎧⎨⎩22032102 得驻点为)1,1(31,31-⎪⎭⎫ ⎝⎛-与………………………………6分 412,022--=-⋅=>=y z z z D z xy yy xx xx ，由D -⎛⎝ ⎫⎭⎪=-<131380,知点-⎛⎝ ⎫⎭
⎪1313,非极值点 …8分由02)1,1(,08)1,1(>=->=-xx z D 知函数z 在点(,)11-处取极小值z (,)111-= ……………10分
七、解：令9),,(-++=xyz xy x z y x F ……2分
对应的切平面法向量{}{}2,4,9,,==z y x F F F n …….6分
切平面方程：0)3(2)2(4)1(9=-+-+-z y x 或94223x y z ++= ….…8分法线方程：
2
34291-=-=-z y x ……..10分八.解：即求在满足122=+y x 条件下)4
31(5y x z --=满足z 最小值的点),,(z y x 作拉格朗日函数)1()431(5),,(22-++--=y x y x y x L λλ ….4分由方程组⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧=-+='=+-='=+-='010*********y x L x L y L x y λλλ ……6分解得：24
258565±==
=λλλy x …8分从而12
85,53,541235,53,54-=-=-====z y x z y x 或（舍去）故)1235,53,54(为满足条件的点。

…..10分。