高等数学作业题集2013版第六章多元函数微分学答案
x x y4(x,y) (2,0)yy
解：（1）
1 xy1
1；
(x,y) (0,1)x2 y21lim
（2
）
11
lim
(x,y) (0,0)(x,y) 42 2lim
sin(xy)sin(xy)sin(xy)
lim x lim limx 2
(x,y) (2,0)(x,y) (2,0)xy 0x 2yxyxylim
y22xyuuv
,y解：令x y u, v，由此得：x
x1 v1 v
2．已知f(x y,) x y，求f(x,y)
u2uv2u2(1 v)x2(1 y)
) ()故代入得：f(u,v) (即：f(x,y) 1 v1 v1 v1 y
3．求下列各极限（1）
1 xy（2
）lim
(x,y) (0,1)x2 y2(x,y) (0,0)lim
x ky
(x,y) (0,0)
limf(x,y)不存在,从而函数f(x,y)在（0，0）处不连续.
z 4
．曲线(1,1处的切线与y轴正向的夹角是多少？
x 1
解:设所求的角为,由偏导数的几何意义知
:
tan
z y
，所以.
65．设f(x,y,z) xy2 yz解:
2
zx
2
，求fxx(0,0,1)，fxz(1,0,2)，fyz(0, 1,0)，fzzx(2,0,1)
（2）讨论函数f(x,y)在（0，0）是否连续解: (1)由偏导数的定义
f(0 x,0) f(0,0)( x)2
fx(0,0) lim lim 0
x 0 x 0 x x
0 ( y)2
f(0,0 y) f(0,0)02 ( y)4
fy(0,0) lim lim 0
y 0 y 0 y y
xy2ky4k
lim (2)因为lim2,其极限值随k的不同而不同,所以极限2y 0x y4y 0k2y4 y4k 12
2 2 3 ***** x y zrrrrrr
三全微分及其应用
1．求函数z
xy
当x 2,y 1, x 0.01, y 0.03时的全增量和全微分
x2 y2
解z
(2 0.01) (1 0.03)2 1
0.0282 2222
(2 0.01) (1 0.03)2 1
zy(y2 x2) 2 x(x y2)2dz
所以k取不同值,上面的极限就有不同的结果,故原极限不存在.
二偏导数
1．求下列函数的偏导数
yx2 y2
)（3）z exysin(x y)（1）z（2）z ln(x 2xxy
x 2y2
（4）x（5）u xysin
z
yz
(6)f(x,t)解: (1) z
x at
x at
(u)du为连续函数
z1y 2 xyx
（3）
x2 y2x2 y***-*****
（4）由不等式0 4而( )lim(2 2) 0 *****x x y2xy2yx2yxy
x2 y2
0由加逼准则有lim4
x x y4y
4．证明下列极限不存在
x 2yx2y
（1）lim（2）lim
(x,y) (0,0)x y(x,y) (0,0)x4 y2
证明: (1)当(x,y)沿y kx(k 1)趋于(0,0)时,
2
x) (y 1，1）处的偏导数f x解
: f
y
(1,1)
(1,1)
f(x,1) x f(1,y)
y
x
x 1 (ecos
***** (y 1) ( y 1
y1 y
(x,y) (0,0)(x,y) (0,0)
x
exsin
x)
x 1
e
y 1
4
xy2
3．设函数f(x,y) x2 y4
0
（1）试计算fx(0,0)，fy(0,0)
fx y2 2zx
fxx 2zfxz 2x
2fxz
fy 2xy z2 fyz 2z fz 2yz x2 (1, 0,2)fy2z
(0 ,1,f0z)zx0
(
fzz 2y fzzx 0 fxx(0,0, 1)
2 3 x 2 3
6．设xy 3xz，求，2，，3，
xy x x y z x y x
3
3Leabharlann 22u1zx1 2 yyx
xy
yx
y2 z2x2 y (2) y xx x(2x2 y)2x
1
(3)
z1
2
y yx 2x y2x
1 z zxy
xexysin(x y) exycos(x y) yexysin(x y) ecosx ( y) x y
(4)
z u
yzxy 1 xz u
xy lnx z yz 1 yz u
zx(y2 x2)
2
y(x y2)2
2
2
z z(y x) x y 2(x y y x)22 x y(x y)
1
0.0278 36
dz
x 2y 1 x 0.01 y 0.03
2.求下列函数的全微分
（1）u xyyzzx（2）z arcsin
x
y
22
（3）z exysin(x y)（4）u xy 3xz
高等数学作业题集
一多元函数的基本概念
1．求下列定义域并画出草图：
x2 y21
（1
）z x y)（2）z arcsin arccos2
2
4x y
（3
）z ln(y x)
(4) u
22
解: (1) {(x,y)x 0,y x}; (2){(x,y) x y 4};
***-*****
(3) {(x,y)y x,x 0,x y 1} (4){(x,y,z)x y z,x y z 1}
解: 3x2y3 6xz2
xy 2u1 9x2y2 2
x yy
2u
6xy3 6z22 x 3u
6y3 x
3
3 u
0
x y z
2r 2r 2r2
7
．验证：r 2 2 2
x y zr
r
证明
: x
2r22y2 z2
23 xr 2rx2 z2
由对称性有:
y2r3 2rx2 y2
z2r3
2r 2r 2ry2 z2x2 z2x2 y22(x2 y2 z2)2r22
xy lnx yz lny z
ux 2y21x 2y2
ysin xycos (5) xzzz
ux 2y2x 2y2 ux 2y242x 2y2
xycos xsin xycos
zz2z yzzz
(6) fx (x at) (x at)2
．求函数f(x,y) exycos(
ft a[ (x at) (x at)]
x 2yx 2kx1 2k
lim
(x,y) (0,0)x yx 0x kx1 ky kx
lim
所以k取不同值,上面的极限就有不同的结果,故原极限不存在.
x2ykx4k
lim (2)当(x,y)沿y kx趋于(0,0)时, lim 2(x,y) (0,0)x4 y2x 0x4 k2x41 k2
2
y kx
《多元函数微分学》练习题参考答案
解：在 L 上任取一点 P ( x, y ),
f (x , y ) = 0
考虑 d = ( x − x0 ) + ( y − y0 ) 在条件 f ( x, y ) = 0 下的极值问题 作 F = ( x − x 0 ) + ( y − y 0 ) + λ f ( x , y ) ，则
' ⎧ ⎪ F x = 2(x − x 0 ) + λ f 'x ( x , y ) = 0 ， ⎨ ' ⎪ ⎩F y = 2( y − y 0 ) + λ f 'y (x , y ) = 0 2 2 2 2 2
P87-练习 4 设 z = f ( xy,
x y ) + g ( ) ，其中 f 有二阶连续偏导数， g 有二阶导数，求 y x
∂2z ． （2000） ∂x∂y
解: 根据复合函数求偏导公式
∂z 1 y = f1′ ⋅ y + f 2′ ⋅ + g ′ ⋅ (− 2 ) , ∂x y x
24
∂2 z ∂ ⎛ ∂z ⎞ ∂ ⎛ 1 y ⎞ = ⎜ ⎟ = ⎜ f1′ ⋅ y + f 2′ ⋅ + g ′ ⋅ ( − 2 ) ⎟ ∂x∂y ∂y ⎝ ∂x ⎠ ∂y ⎝ y x ⎠ x 1 1 x y 1 = f1′ + y[ f11′′ x + f12′′ ⋅ (− 2 )] − 2 f 2′ + [ f 21′′ x + f 22′′ ⋅ (− 2 )] − g ′′ ⋅ 3 − g ′ ⋅ 2 y y y y x x 1 x y 1 = f1′ + xyf11′′ − 2 f 2′ − 3 f 22′′ − 3 g ′′ − 2 g ′ y y x x
《高等数学一》第六章多元函数微分学历年试题模拟试题课后习题大汇总(含答案解析)
第六章多元函数微分学［单选题］1、设积分域在D由直线x+y二0所围成，则| dxdy 如图:［单选题］2、A 9B、4C 3【从题库收藏夹删除】【正确答案】A 【您的答案】您未答题 【答案解析】［单选题］3、 设H 二才，则y=()A V皿2-1)B 、xQnx-1)D【从题库收藏夹删除】【正确答案】C 【您的答案】您未答题 【答案解析】首先设出-,J'二一；，然后求出最后结果中把二】用’’次方代换一下就可以得到结果.［单选题］4、Ft F'y,尸空二dx F f y［% I设Z =则去九£ |（）km ，（心+& J D ）L 『（也几）AK^*°A'X«■【从题库收藏夹删除】【正确答案】D 【您的答案】您未答题【答案解析】本题直接根据偏导数定义得到［单选题］5、 设z=ln （x+弄），示=（）A1B 、X+旷"C1-2妒盂+沙DX + 帘一"【从题库收藏夹删除】 【正确答案】A 【您的答案】您未答题 【答案解析】B 、 lim U m/侃+山+ 3) — / (险用)Ay了0+山』0）—/（兀几）Arlim /(x+Ax.y)-/^)4y|"S 1 I对x求导，将y看做常数，小门•八［单选题］6、设U 了：,；_丁；：£=()【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】<■■-?■■■■■：川［单选题］7、设f(x r x+y) = ^ + x2t则£0,卩)+ £(尽刃二()A丨；B、…C :D ',【从题库收藏夹删除】【正确答案】B【您的答案】您未答题【答案解析】f(x,兀+y)=砂+ F二疏》+兀)/fcy) = ^yX '(^y)=y二兀£(2)+另(“)=曲［单选题］81,ln(x+y)20》x+》21.综上满足:盘+”1［单选题］ 9、函数 的定义域为（）.少（兀+卩）；：：x F+丿()•B 、D【从题库收藏夹删除】【正确答案 【您的答案OOA您未答题【答案解析1 1-+-lim —3 -- :—7 = 1 im ——— - 0 心卩齐_砂+尹 gw 兀 y尸2 』 / 尸於一 —]+_一7 x［单选题］ 10、()•0宀 2护X + (”In X-2芒)妙（y*" - 2侣）矽+ （H In 兀-—2」壬）必【从题库收藏夹删除】【正确答案】D【您的答案】您未答题【答案解析】鸣刁严-F 工=j/lnx-£dz - 3/" -”必 + （疋 In z-［单选题］ 11、dz1-^'【从题库收藏夹删除】【正确答案】B 【您的答案】您未答题 【答案解析】方程B 、 C与必+ （#阮—函数'■ - 一 I'"的确定的隐函数，贝U 一（）•2z口B、” y左右两边求导，dx dx__ -2zdx/-I12、 设Z = X +丿，则在（0,0）处（）.取得极大值无极值无法判定是否取得极值 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】B 【您的答案】您未答题 【答案解析】小务S 釜二心齐2’【从题库收藏夹删除】【正确答案一+ X) — —八)——2&2 — 2/ — 2砂，+ 2”(/+丹B 、 取得极小值B 2-AC<Q t A>0，故取得极小值［单选题］ 13、，则【您的答案您未答题【答案解析7矽B、［单选题］14、dz __ 设z=xA2/y,x=v-2u,y=u+2v ，则J ()2(u - 2v)(u- 3v)A、「(K-2V)(K-3V)B、(加+巧2~)(卄刘C(2#+制(u -2vJ(u+邵)(2u+v)3【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】炭边3兀龛创2A D z z . * 2x(y-7^)—二------ H ---- - -- 1+( ----- 7)- J — ---- 母 -- dv dx dy y y2y2_ 2(v~ 2u)(v+ - V - 2u)) _ 2(y - 2u)(v + 3u)(2V+LT)3［单选题］(2v+u)15、设函数z=ln(x2+y2)，则=()如)B、—：x-yD J - /【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】& 2x & 2y 5c & 2y 2x 2x + 2y 2(x+y) -- • = —: - - = ---- - ;—1 + = ---------------- = ----- =3K F+y3®5?+『’曲勿x2 + y3x2 + y3启+『x3 + y3［单选题］16、设函数，则汕忙丿=().1A、」IzTB、.'■1C、1D、1【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】参见教材P178〜179。
多元函数微分学的应用习题及详细解答
（x, y) 0 下的极值点，下列选项正确的是（ D ）。
A.若fx(x0, y0 ) 0,则f y(x0, y0 ) 0 C.若fx(x0, y0 ) 0,则f y(x0, y0 ) 0
B.若fx(x0, y0 ) 0,则f y(x0, y0 ) 0 D.若fx(x0, y0 ) 0,则f y(x0, y0 ) 0
x 1 y 2 z 1. 1 1 1
5.已知曲面 z x2 y2 z2 上点 P 处的切平面 x 2y 2z 0 平行，求点 P 的坐标以及曲
面在该点的切平面方程。
解：曲面在点 P 处的法向量为 n Fx, Fy, Fz 2x, 2y, 2z 1 ，依题意，n 1, 2, 2 ，
(0, 0) 处取得极小值的一个充分条件是（ A ）。
A. f (0) 1, f (0) 0 C. f (0) 1, f (0) 0
B. f (0) 1, f (0) 0 D. f (0) 1, f (0) 0
(5)设 f (x, y)与（x, y) 均为可微函数，且y (x, y) 0,已知（x0, y0)是f (x, y)在约束条件
在何处？
解：行星表面方程为 x2 y2 z2 36 .令 L 6x y2 xz 60 (x2 y2 z2 36) ，求
解方程组 6 z 2x 0 ， 2 y 2 y 0 ， x 2z 0 ，则可得驻点
x
y
z
(4, 4, 2), ( 3, 0,3), (0, 0, 6) ，结合题意易知 H 在 (4, 4, 2) 处最小，且最小值为 12.
2x a2
2y b2
y
0,
y
b2 a2
x y
所以在点
a, 2
b 2
6-8多元函数微分学习题课
x0
x
此极限为函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )处对x 的
偏导数，记为
z x
，f x x0 x
z ，
x x0
x
x x0 y y0
或
f x ( x0 ,
y0 ).
y y0
y y0
同理可定义函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )处对y
的偏导数， 为
某邻域存在；
z
（3）
f
x
(
x,
y)x
f
y
(
x
,
y)y
,
(x)2 (y)2
当 (x)2 (y)2 0时是无穷小量.
小结三:
由一个方程确定的隐函数的求导法: 1 公式法:F(x,y,z)确定了z=z(x,y),则 z Fx , z Fy .
x Fz y Fz 2 解方程法:方程两边同时对x或者y求导,由复合函数求导法则 解出 z , z .
数，则复合函数 z f [ (t ), (t )] 在对应点t 可
导，且其导数可用下列公式计算：
dz z du z dv ． dt u dt v dt
以上公式中的导数 dz 称为全导数.
dt
如果u ( x, y)及v ( x, y)都在点( x, y)
具有对x 和y 的偏导数，且函数z f (u,v) 在对应
法线方程为 x x0 y y0 z z0 .
Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
15、方向导数
定义 函数的增量 f ( x x, y y) f ( x, y) 与
12-13(二)高数(工)2测试卷(多元函数微分学)解答
上海应用技术学院2012 —2013 学年第 二 学期 《高等数学（工）2》测试卷（多元函数微分学）解答一．单项选择题（每小题2分，共10分）1．设22),(y xy x y x f -+=，则)0,0(f 是),(y x f 的（ C ）。
A. 极大值；B. 极小值；C. 非极值；D. 不能确定。
分析：2)0,0(==xx f A 1)0,0(==xy f B 2)0,0(-==yy f C 02<-B AC 故 )0,0(f 非极值点 选C2．设曲面xy z =上点P 的切平面平行于平面1624=++z y x ，则P 点到已知平面的距离 等于（ C ） A. 21 B.21 C.2124 D.211分析：先求出切点坐标 z xy z y x F -=),,( {}{}1,,,,-==→x y F F F n z y x根据题意 →n 平行于{}1,2,4 1124-==x y ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=842z y x21241241681)4(2)2(4222=++-⨯+-⨯+-⨯=d 故选C3．设)(222y x f y z -+=，其中)(u f 可微，则：=∂∂+∂∂yz x x z y（ B ） A. xyf B. xy 2 C. xyf 2 D.xy分析：x f xz2'=∂∂ f y y y z '-=∂∂22 =∂∂+∂∂y z x x z y xy 2 故选B4．曲面4)cos(2=++-yz ey x x xzπ在点()2,1,0上的切平面方程是（ B ）．A. 0422=+++z y xB. 0422=-++z y xC. 01=-++z y xD. 01=+++z y x 分析： 直接求出切平面方程4)cos(),,(2-++-=yz e y x x z y x F xzπ22)sin()2,1,0()2,1,0(=+--=z e xy x F xz x ππ2)2,1,0()2,1,0(2=+-=z x F y1)2,1,0()2,1,0(=+=yxe F xz z 0)2()1(2)0(2=-+-+-z y x即 0422=-++z y x 故选B5．设函数z x yz xz u ---=3，则函数u 在点()1,2,1-处方向导数的最大值是（ B ）；A ．2B ．17C ．7D ．3 分析： {})1,2,1(),1,2,1(),1,2,1()1,2,1(---=-→z y x u u u gradu{}4,1,0-=梯度矢量的模17就是方向导数的最大值 故选B 二.填空题（每小题3分，共15分） 6．设⎪⎭⎫⎝⎛=x y y e f z x,sin ，其中()v u f ,可微， 则=∂∂x z 122sin x y f e y f x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭。
(完整版)多元函数微分学及其应用习题解答
(((x 2 + y 2 ≤ 1, x+ y }(1- (t + 4) 2 解：令 t=xy ， lim = lim= lim 2=- t →0 t →0习题 8-11. 求下列函数的定义域：(1) z =解： x -x - y ；y ≥ 0, y ≥ 0 ⇒ D ={x, y ) y ≥ 0, x ≥ y }x(2) z = ln( y - x) +；1 - x2 - y 2解： y - x ≥ 0, x ≥ 0,1 - x 2 - y 2 ⇒ D ={ x , y ) y > x ≥ 0 且 x2+ y 2 < 1}(3) u = R 2 - x 2 - y 2- z 2 +1x 2 + y 2+ z 2 - r 2(R > r > 0) ；解： 0 ≤ R 2 - x 2 - y 2 - z 2，0 < x 2 + y 2 + z 2 - r 2 ⇒⇒ D = {x , y , z ) r 2< x 2 + y 2 + z 2 ≤ R 2}(4) u = arccoszx 2 + y 2。
解：z2 2 ≠ 0 ⇒ D = {x, y ) z ≤x 2 + y 2 且 x 2 + y 2≠ 02. 求下列多元函数的极限:：(1) lim ln( x + e y )x →1 x 2 + y 2y →0；解： limx →1y →0ln( x + e y ) x 2 + y 2 = ln(1+ 1)1= ln 2(2) lim 2 - xy + 4x →0xy y →0；1- 2 - xy + 4 2 t + 4 1 x →0xy t 1 4 y →01 / 28x →0 y →0x →0lim x +y = , m 不同时,极值也不同,所以极限不存在 。
(3) lim sin xyx →0x y →5；sin xy sin xy解： lim = 5lim = 5x →0 x 5xy →5y →01 - cos( x2 + y 2 ) (4) lim( x 2 + y 2 )e x 2 y 2；x →0 y →0解：Q 1 - cos( x 2 + y 2 ) = 2(sinx 2 + y 2 2)2 ,∴ l im x →0 y →01 - cos( x2 + y 2 ) 1= 2 ⋅ ⋅ 0 = 0( x 2 + y 2 )e x 2 y 2 2(5) lim( x 2 + y 2 ) xy 。
高数答案（全集）第六章参考答案
高数答案（全集）第六章参考答案第六章常微分方程1. (1) b,c,d (2) a,c (3) b,d2. (1) 二阶,线性 (2) 一阶,非线性 (3) 一阶,非线性 (4) 一阶,非线性3. (1)-(3)均为微分方程0222=+y dxy d ω的解,其中(2) (3)为通解 4. (1)将变量分离,得dx ydy cos 2= 两边积分得 c x y +=-sin 1通解为,sin 1c x y +-=此外,还有解0=y(2)分离变量,得dx x x y y d xx dx dy y y )111(1)1(2112222+-=+++=+或两边积分,得cx x y ln )1ln(ln )1ln(212++-=+即(1+ 2y )(1+ x)2=c 1 2x(3)将变量分离,得1122=-+-yydy xxdx积分得通解21x -+)20(12还有使因子21x -?012=-y 的四个解.x=(±)11 y -, y=(±)11 x - (4)将方程改写为(1+y 2)ex2dx-[]0)1( )e y +(1y=+-dy yex2dx=dy y y ??++-2y11 (e 积分得--=y e e y x arctan 212)1ln(212y +-21(5)令 z=x+y+1,z dx dz sin 1+=分解变量得到dx zdz=+sin 1………………(*) 为了便于积分,用1-sinz 乘上式左端的分子和分母,得到dz z z z se dz zzdz z z )tan sec (cos sin 1sin 1sin 1222-=-=-- 将(*)两端积分得到tanz-secz=x+c22z-∏)=x+c,将z 换为原变量,得到原方程的通解 X+c=-tan(214++-∏y x )6.令y=ux,则dy=udx+xdu 代入原方程得x 2( u 2-3)(udx+xdu)+2 x 2udx=0分离变量得du x dx 1)-u(u u 22-=,即得y 3=c(2y -2x ) 7. 令xy u =,则原方程化为dx x udu 1=,解得c x u ==ln 212,即,ln 2222cx x x y +=由定解条件得4=c ,故所求特解为,ln 4222x x x y +=8. 将方程化为x y xyy +-='2)(1，令x yu =，得,u u x y +'=代入得dx x du u 1112=- 得c x u ln ln arcsin +=，cx xyln arcsin= 9．化为x e x y dx dy x =+，解得)(1xe c xy +=，代入e y =)1(得0=c 特解x e y x = 10．由公式得1)()(-+=-x ce y x ??11.化为x y x y dx dy ln 2=+为贝努里方程令xyu =,则原方程化为dx dy y dx du 2--= 代入方程的x u x dx du ln 1-=-用公式求得])(ln 21[2x c x u -=解得12])(ln 21[1--=x c x y 另为，0=y 也是原方程的解 12．为贝努里方程令x yu =,则原方程化为322x xu dx du -=+用公式求得122+-=-x ce u x解得1122+-=-x cey x13．23x y yx dx dy =-将上式看成以y 为自变量的贝努里方程令x z 1=有3y yz dxdy-=- 22212+-=-y ce z y ，得通解1)2(2212=+--y cex y14．令x y N x y M +-=-=4,32有xNy M ??==??1，这是全微分方程0=duxy x y dy x y dx x y u y x +--=---=?32),()0,0(22)4()3(，即方程得通解为c y x xy =--232 15．化为0122=+-+xdx yx xdy ydx ，得通解为c x xy xy =+-+211ln 16．该方程有积分因子221y x +，)(arctan ))ln(21(2222x y d y x d y x ydx xdy xdy ydx ++=+-++ 17．1c e xe dx e xe e xd dx xe y xx x xx x+-=-==='?21211)2()(c x c x e c e xe x c e dx c e xe y x x x x x x ++-=+-++-=+-=?18．xx x dx x x y x1ln 32ln 12--=+=''? 2ln ln 213)1ln 3(21---=--='?x x x dx x x x y x 21ln 2223)2ln ln 213(2212+--=---=?x x x x dx x x x y x19．令y z '=，则xz z =-'，xx x dxdx e c x c e x e c dx xe e z 111)1(])1([][++-=++-=+??=--?即x e c x y 1)1(++-='得2121c e c x y x ++--=20．令p y ='，则dy dp p dx dy dy dp dx dp y =?==''所以0)(2323=+-=+-p p dy dp y p p p dy dp p y 则得p=0或02=+-p p dy dp y，前者对应解，后者对应方程y dy p p dp =-)1(积分得y c pp11=-即y c y c p dx dy 111+==两边积分得21||ln c x y c y '+='+，因此原方程的解是21||ln c x y c y '+='+及y=c 。
高等数学作业(高升专)答案
高等数学作业答案（高起专）第一章函数作业（练习一）参考答案一、填空题1．函数x x x f -+-=5)2ln(1)(的定义域是 。
解：对函数的第一项，要求02>-x 且0)2ln(≠-x ，即2>x 且3≠x ；对函数的第二项，要求05≥-x ，即5≤x 。
取公共部分，得函数定义域为]5,3()3,2( 。
2.函数392--=x x y 的定义域为 。
解：要使392--=x x y 有意义，必须满足092≥-x 且03>-x ，即⎩⎨⎧>≥33x x 成立，解不等式方程组，得出⎩⎨⎧>-≤≥333x x x 或，故得出函数的定义域为),3(]3,(+∞⋃--∞。
3．已知1)1(2+=-x e f x ，则)(x f 的定义域为 解. 令u e x =-1, 则()u x +=1ln , (),11ln )(2++=∴u u f 即(),11ln)(2++=∴x x f .故)(x f 的定义域为()+∞-,14．函数1142-+-=x x y 的定义域是 .解. ),2[]2,(∞+--∞ 。
5．若函数52)1(2-+=+x x x f ，则=)(x f ．解. 62-x二、单项选择题1. 若函数)(x f y =的定义域是[0，1]，则)(ln x f 的定义域是( ) .A . ),0(∞+B . ),1[∞+C . ]e ,1[D . ]1,0[ 解： C2. 函数x y πsin ln =的值域是)(.A . ]1,1[-B . ]1,0[C . )0,(-∞D . ]0,(-∞ 解： D3．设函数f x ()的定义域是全体实数，则函数)()(x f x f -⋅是（ ）． A.单调减函数； B.有界函数；C.偶函数；D.周期函数 解：A, B, D 三个选项都不一定满足。
设)()()(x f x f x F -⋅=，则对任意x 有)()()()()())(()()(x F x f x f x f x f x f x f x F =-⋅=⋅-=--⋅-=-即)(x F 是偶函数，故选项C 正确。
高等数学作业及答案 精品
微分方程作业11．设L 是一条平面曲线，其上任意一点(,)(0)P x y x >到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y 轴上的截距，且L 过点(1,0).求曲线L 所满足的微分方程.y xy '=-，1|0x y ==]2．利用代换cos u y x=将方程cos 2sin 3cos x y x y x y x e '''-+=化简.[4xu u e ''+=] 3．验证由方程ln()y xy =所确定的函数为微分方程2()20xy x y xy yy y '''''-++-=的解.微分方程作业21．求下列微分方程的通解或特解：（1）2cos 0y y x '-=；[1(sin )y x C -=-+]（2）2(1)x y xy '+=，0|1x y ==；[y =（3）cos d (1)sin d 0xy x e y y -++=，0|4x y π==.[cos 1)4xy e =+] 2．一曲线上任意一点处的法线都过原点，且点(2,2)在该曲线上，求这一曲线的方程. [228x y +=]3．假定物体在空气中的冷却速度是正比于该物体的温度和它周围的空气温度之差. 若室温为020c 时，一物体由0100c 冷却到060c 须经过20分钟，问共经过多少时间方可使此物体的温度从开始时的0100c 降低到030c .[60分钟]微分方程作业31．求下列微分方程的通解或特解： （1）sin cos xy y x e'-=；[sin ()xy ex C =+]（2）3(2)2(2)x y y x '-=+-；[3(2)(2)y x C x =-+-]（3）d sin d y y x x x x +=，|1x y π==. [1(1cos )y x xπ=--] 2．已知某曲线经过点(1,1)，它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求它的方程. [(1ln )y x x =-]3．设可导函数()f x 满足0()cos 2()sin d 1x f x x f t t t x +=+⎰，求()f x .[()sin cos f x x x =+]微分方程作业41．求下列微分方程的通解或特解： （1）40y y '''-=；[412xy C C e =+] （2）6130y y y ''''++=；[312(cos 2sin 2)xy eC x C x -=+]（3）20y y y ''''-+=，0|2x y ==，0|3x y ='=. [2xxy e xe =+]2．设圆柱形浮筒，直径为0.5m ，铅直放在水中，当稍向下压后突然放开，浮筒在水中上下振动的周期为2s ，求浮筒的质量.[约195kg]微分方程作业51．求下列微分方程的通解或特解：（1）22364y y y x x '''-+=-+；[/2212x x y C e C ex =++]（2）452xy y y e '''-+=；[212(cos sin )xx y e C x C x e =++] （3）369(64)xy y y x e '''-+=-；[32312(2)xy e C C x x x =+-+] （4）4xy y xe ''-=,(0)0y =,(0)1y '=.[2(1)xxy x x e e -=-+-]2．设函数()f x 连续，且满足0()2()d ()d x xx f x e tf t t x f t t =+-⎰⎰，求()f x .[()cos sin xf x x x e =++]3．已知21x x y xe e =+，2x xy xe e -=+，23xxx y xe ee -=+-是某二阶常系数非齐次线性微分方程的三个解，求此微分方程.[2y y y '''--(12)xx e =-]无穷级数作业11．判别下列级数的收敛性：（1）111()22n n n ∞=+∑；（2）1(n ∞=∑；（3）211(1cos )n n n ∞=-∑；（4）13(1)n nn n n ∞=+∑. 2．设级数1n n u ∞=∑的部分和为111n s n n n =++++ ，求级数的一般项n u 及和s . [11212n u n n=--；ln 2s =] 3．已知lim 0n n nu →∞=，级数11(1)()n n n n uu ∞+=+-∑收敛，证明级数1n n u ∞=∑也收敛.无穷级数作业21．用比较审敛法或其极限形式判别下列级数的收敛性：（1）21223n n n ∞=++∑；（2）221cos n n n ∞=∑；（3）1sin 2nn π∞=∑；（4）1sin 2n n π∞=∑； （5）11)n n ∞=+；（6）11(0)1nn a a∞=>+∑. 2．若级数21nn a∞=∑及21nn b∞=∑都收敛，证明级数21()nn n ab ∞=+∑也收敛.3．设n n n a b c ≤≤，若级数1nn a∞=∑及1nn c∞=∑都收敛，证明级数1nn b∞=∑也收敛.4．判别下列级数的收敛性：（1）312n n n ∞=∑；（2）1!n n n n ∞=∑；（3）12!()nn n n ∞=∑；（4）2212123()32n n n n ∞-=++∑；（5）2111()3n n n n n ∞=+∑；（6）11()(0)nn a a n ∞=+>∑. 5．判别下列级数是绝对收敛，条件收敛，还是发散？ （1）1(1)n n ∞-=-∑（2）21(1)ln n n n n ∞=-∑；（3）21(2)n n n ∞=-∑；（4）11(1)ln n n n n -∞=--∑. 无穷级数作业31．求下列幂级数的收敛域：（1）20214nnn n x ∞=+∑；（2）210(1)21n n n x n ∞+=-+∑；（3）1n n ∞=. [（1）(2,2)-；（2）[1,1]-；（3）[4,6)]2．求下列幂级数的和函数： （1）1(1)n n n x ∞=-∑；[21()(2)x s x x -=-，(0,2)x ∈]（2）21(1)21n n n xn ∞+=-+∑；[()arctan s x x =，[1,1]x ∈-] （3）1(1)n n n n x ∞=+∑. [32()(1)xs x x =-，(1,1)x ∈-] 无穷级数作业41．将下列函数展开成x 的幂级数： （1）ln()(0)a x a +>；[11(1)ln n nnn a x na-∞=-+∑，a x a -<<] （2）2x；[ln 2!n nn x n ∞=∑，x -∞<<+∞] （3）(1)ln(1)x x ++.[2(1)(1)n nn x x n n ∞=-+-∑，11x -<≤] 2．将下列函数()f x 展开成(1)x -的幂级数：(1) 21()56f x x x =-+；[101(1)(1)2nn n x ∞+=--∑，02x <<](2) 21()(3)f x x =-.[111(1)2n n n n x ∞-+=-∑，13x -<<]空间解析几何作业11．把ABC ∆的BC 边三等分，设分点依次为1D 、2D . 试以向量AB c = 、AC b =表示向量1AD 和2AD .[21133AD c b =+ ，12233AD c b =+]2．在y 轴上求与点(1,3,7)A -和点(5,7,5)B -等距离的点.[(0,2,0)]3．已知模为26的向径OA 与向量(3,4,12)a =同向，求点A 的坐标.[(6,8,24)]4．已知两点A 和(3,0,2)B ，求与向量AB 平行的单位向量及向量AB的方向角.[单位向量：11(,)222±-；方向角：23π、34π、3π] 空间解析几何作业21．已知(1,1,0)AB = ，(1,0,1)AC = ，求BAC ∠、AB AC ⨯和ABC ∆的面积.[/3π；(1,1,1)--2]2．设(2,3,1)a =- ，(1,2,3)b =-，(2,1,2)c = ，向量r满足r a ⊥ ，r b ⊥ ，Prj 14cr = ，求r.[(14,10,2)]3．设ABC ∆的三边长分别为2,3,4，求AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅.[-14.5]4．设||4a = ，||3b = ，(,)6a b π= ，求以2a b + 和3a b - 为边的平行四边形的面积.[30]5．设375a b a b +⊥- ，472a b a b -⊥- ，求(,)a b .[/3π]空间解析几何作业31．已知三点(1,1,1)A -、(2,2,2)B --和(1,1,2)C -，求过ABC ∆的重心且与ABC ∆垂直的直线方程.[321192x y z +-==-] 2．用参数方程表示直线4320x y z x y z -+=⎧⎨+-=⎩.[1,23,x t y t z t =-=-+=]3．求过点(1,2,3)且与直线2403520x y z x y z -+=⎧⎨+-=⎩垂直的平面方程.[161411450x y z --+=]4．求过点(3,1,2)-且通过直线43521x y z-+==的平面方程.[8922590x y z ---=]5．求过点(1,0,4)-，且平行于平面3410x y z -+=，又与直线13112x y z+-==相交的直线方程.[14161928x y z +-==] 空间解析几何作业41．求与坐标原点O 及点(2,3,4)的距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面的方程，它表示怎样的曲面？[曲面方程：222333468290x y z x y z +++++-=；它表示一球面，球心为点24(,1,)33---2．设有xOy 平面上的一条双曲线224936x y -=. 若将这一双曲线绕x 轴旋转一周，则生成一个旋转 叶双曲面，其方程是 ；若将这一双曲线绕y 轴旋转一周，则生成一个旋转 叶双曲面，其方程是 . 3．下列方程表示什么曲面？画出其图形：（1）22442z x y =--；（2）22244x y z -+=；（3）2z y =；（4）(0,0)z xy x y =≥≥.空间解析几何作业51．分别求母线平行于x 轴及y 轴而且通过曲线222222216x y z x z y ⎧++=⎨+-=⎩的柱面方程. 2．画出下列各曲面所围立体的图形，并求立体在xOy 面上的投影区域：（1）226z z x y ==--；[224x y +≤]（2）2222,2z x z x y =-=+；[221x y +≤]（3）21,0,0,1x z y z x y =-==+=；[11x -≤≤，01y x ≤≤-]（4）20,0,0,1,24,4x y z x x y z x ====+==-.[01x ≤≤，042y x ≤≤-.]多元函数微分学作业11．求下列函数的定义域，并画出其图形：（1）2ln()z y x =-（2）22arcsin()z x y =+；（3）ln(arccos(1)z x x =+-.2．计算下列极限：（1）(,)(0,2)limx y →[1/8]（2）2(,)(0,4)1cos lim ln(1)x y xyx y →-+；[2]（3）(,)limx y →多元函数微分学作业21．求下列函数的偏导数：（1）siny z x x=；（2）z =；（3）(1)y z xy =+. 2．求下列函数的二阶偏导数：（1）arctany z x=；（2）z =3．设2(,)(1)f x y x y =+-(,1)x f x '.4．设函数()u f r =二阶可导，且满足方程22224u u x y∂∂+=∂∂，其中r =()f r .[212()ln f r r C r C =++]多元函数微分学作业31．求下列函数的全微分： （1）x z xyy=+；（2）z =；（3）yz x =.2．求函数yz x=当2x =，1y =，0.1x ∆=，0.2y ∆=-时的全增量和全微分. [0.119z ∆=-，d 0.125z =-]3.[2.95]4．已知22zy x x∂=+∂，23z xy y ∂=+∂，且(0,0)0z =，求(,)z f x y =的表达式.[223z xy x y =++]多元函数微分学作业41．设vz u =，23u x y =+，v xy =，求z x∂∂. 2．求2(,23)z f xy x y =+的一、二阶偏导数.3．已知243(,)2f x x x x x =++，221(,)221f x x x x '=-+，求22(,)f x x '.[2221x x ++]4．设变换2u x y v x ay =-⎧⎨=+⎩可把方程2222260z z z x y x y ∂∂∂-+=∂∂∂∂简化为20zu v ∂=∂∂，求常数a .[3] 5．设(,)z f x y =具有二阶连续偏导数，cos ux e v =，sin u y e v =，试证：222222222()u z z z z e u v x y∂∂∂∂+=+∂∂∂∂. 多元函数微分学作业51．设ln x z z y =，求z x ∂∂、zy∂∂.2．设20x y z ++-=，求d z .3．设333z xyz a -=，求2z x y∂∂∂.4．设(,)z f x y z xyz =++，求zx ∂∂.[12121f yzf f xyf ''+''--]5．设(,)F u v 具有连续偏导数，证明由方程(,)0z zF x y y x++=所确定的函数(,)z f x y =满足z zxy z xy x y∂∂+=-∂∂. 多元函数微分学作业61．在曲线23,,x t y t z t ===上求一点，使曲线在此点的切线平行于平面21x y z ++=. [(1,1,1)--或(1/3,1/9,1/27)--]2．求曲线22222264x y z z y x ⎧++=⎨+-=⎩在点(1,1,2)处的切线及法平面方程.[切向量平行于(0,2,1)-] 3．求曲面2221ax by cz ++=在点000(,,)x y z 处的切平面方程.[0001axx byy czz ++=]4．求曲面222x z y =+平行于平面220x y z +-=的切平面方程.[2230x y z +--=]5．试证曲面(,)0f x az y bz --=上任一点处的切平面与直线:x yL z a b==平行，其中f 可微，,a b 为常数.多元函数微分学作业71．求函数322(,)333f x y x x y xy x =-+-的极值.[极小值(2,1)4f =-，极大值(2,1)4f --=]2．某厂家生产两种产品Ⅰ和Ⅱ，出售单价分别为10元与9元，生产x 单位的产品Ⅰ与生产y 单位的产品Ⅱ的总费用是：22400230.01(33)x y x xy y +++++（元）假定销售量等于生产量.求取得最大利润时，两种产品的产量各多少？[120x =，80y =] 3．要造一个容积等于k 的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，方可使它的表面积最小.[/2时，表面积最小]4．在第一卦限内作椭球面222444x y z ++=的切平面，使它在三个坐标轴上的截距平方和最小，求该切平面的方程.[224x y ++=]重积分作业11．画出积分区域，并计算下列二重积分：（1）sin d Dxx σ⎰⎰，D 由y x =，2y x =及2x =所围；[1cos 2-] （2）4d x Dσ，D 由2y x =，2x =及x 轴所围；[161(1)6e -]（3）22()d Dx y x σ+-⎰⎰，D 由y x =，2y x =及2y =所围；[136]（4）sin d Dy x σ⎰⎰，D 由2x y =，1y =及y 轴所围；[1(1sin1)2-]（5）d x yDe σ⎰⎰，D 由y x =，3x y =及2y =所围.[41(4)2e e -] 2．画出积分区域，并交换积分次序： （1）tan 40d (,)d x x f x y y π⎰⎰；（2）212d (,)d xx f x y y -⎰⎰；（3）2220d (,)d y y y f x y x ⎰⎰；（4）220d (,)d y yy f x y x ⎰⎰.3．计算22d xI x y =⎰⎰.[43]4．计算112111224d d d d y y xxy I y e x y e x =+⎰⎰⎰⎰.[38e ]5．求由平面1x y +=，曲面22z x y =+及三坐标面所围立体的体积.[16] 重积分作业21．化下列积分为极坐标形式的二次积分：（1）1d (,)d xx f x y y ⎰⎰；（2）120d (,)d y y f x y x -⎰.2．利用极坐标计算下列二重积分： （1）22d xy De σ+⎰⎰，D 由圆周224x y +=所围；[4(1)e π-]（2）arctand Dyxσ⎰⎰，D 由圆周221x y +=，224x y +=及直线0y =，y x =所围成的在第一象限内的闭区域；[23/64π]（3）1222()d Dx y σ-+⎰⎰，D 由2y x =，y x =所围；1]（4）22()d Dx y σ+⎰⎰，D 由y =，0y =所围.[12π]3．求由曲面224z x y =--与0z =所围立体的体积.[8π]重积分作业3 1．化积分(,,)d I f x y z v Ω=⎰⎰⎰为三次积分，其中Ω分别是：（1）由222z x y =+及2232z x y =--所围； （2）由2y x =，0z =及4z y =-所围. 2．计算三重积分3d d d (1)x y zx y z Ω+++⎰⎰⎰，其中Ω由1x y z ++=及三坐标面所围. [15(ln 2)28-] 3．求由曲面22z x =-与222z x y =+所围立体的体积.[32π]4．计算三重积分4d z v Ω，其中Ω由y x =，2y x =，2z π=及z x =所围.[41(1cos )1816π-] 重积分作业41．计算三重积分2d ze v Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由222x y z +=与2z =所围区域.[4(1)e π-]2．计算三重积分v Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由z =与2222x y z ++=所围立体区域在第一卦限部分.[1/12]3．计算三重积分22()d x y v Ω+⎰⎰⎰，其中Ω是由z =与0z =所围区域. [128/15π]4．求由曲面226z x y =--与z =所围立体的体积.[32/3π]5．求由曲面z =z =所围立体的体积.[41)/3π]重积分作业51．计算曲面面积（1）双曲抛物面22z x y =-被圆柱面221x y +=和224x y +=截出的部分；[/6π]（2）上半球面z =222x y x +=内部的部分；[4(2)π-]（3）曲面2232z x y =-+，(,)x y D ∈，其中D 是xOy 面的三角形，其顶点分别为(0,0)，(0,1)和(2,1).[/12]2．设一薄板所占的区域为2222:1,0x y D y a b +≤≥，且密度均匀，求此薄板的质心.[4(0,)3bπ]3．设Ω是由曲面2222z x y =+和平面4z =所围区域.一物体占有区域Ω，且密度均匀，求此物体的质心.[(0,0,8/3)]曲线积分作业11．计算下列对弧长的曲线积分：（1）32d L x y s ⎰，其中L 为半圆周x =；[256/15]（2）2d Ly s ⎰，其中L 为摆线(sin )x a t t =-，(1cos )y a t =-的一拱；[3256/15a ] （3）d Ly s ⎰，其中L 为由直线y x =及抛物线2x y =所围成的区域的整个边界；[1)/12]（4）d Ls ⎰，其中L 为圆周222x y a +=，直线y x =及x 轴在第一象限内所围扇形的整个边界.[(2/4)2ae a π+-]2．设L 为球面2222x y z a ++=被平面0x y z ++=所截得的圆周，求2d LI y s =⎰.[32/3a π]曲线积分作业21．计算()d ()d Lx y x y x y ++-⎰，其中L 是：（1）抛物线2y x =上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧；[34/3] （2）从点(1,1)到点(4,2)的直线段；[11]（3）先沿直线从点(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到点(4,2)的折线；[14] （4）曲线221x t t =++，21y t =+上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧.[32/3]2．设一个质点在(,)M x y 处受到力F 的作用，F的大小与M 到原点O 的距离平方成反比，F 的方向恒指向原点.此质点由点(,0)A a 沿椭圆22221x y a b+=按逆时针方向移动到点(0,)B b ，求力F所作的功W .[11()k b a ---]曲线积分作业31. 计算曲线积分22(2)d d Lxy y x x y -+⎰，其中L 是由曲线y =x 轴所围区域D 的正向边界曲线.[4/3]2．计算曲线积分22()d ()d Ly x y x x xy y -++⎰，其中L 是沿上半圆周y =从原点到点(2,0)的弧段.[3/4π-] 3．证明曲线积分(1,1)22(0,0)(3)d (4sin )d x y x y x y -+-⎰与路径无关，并计算积分值.[2sin 2-]4．设2d (23)d (2)d z y x x y ax y =--++，且(0,0)1z =，求常数a 及(,)z x y 的表达式. [1a =-，3221z x xy x y =--++]5．计算曲线积分22d d L x y y x I x y -=+⎰ ，其中L 是以点(1,0)为中心，R 为半径的圆周（1R >），取逆时针方向.[2π]。
微积分第六章习题答案
证明： ，而 ，恰好
5.不用求出函数 的导数，说明方程 有几个实根，并指出它们所在的区间。
解： ，分别在区间 上应用罗尔定理得 在 上都有根，而 为三次多项式，所以恰有三个实根。
6.证明恒等式
证明：在 上， ，所以 为常数，令 得此常数为 。又显然 ，所以结论成立。
4.求下列函数的极值点与极值：
（1）
解： ， 上 上 所以 为极大值点，极大值为 。 上 上 所以 为极小值点，极小值为 。
（2）
解： ， 上 上 所以 为极大值点，极大值为 。
（3）
解： ， 上 上 上 所以 为极小值点，极小值为 。 为极大值点，极大值为
5.确定下列函数的单调区间：
（1）
解： 。在 上 ， 上 ， 上 ，所以 ， 为单增区间， 为单减区间。
7.讨论方程 有几个实根。
解：设 ， ，在 上 ， 单增，在 上 ， 单减。所以 为最大值。又有 所以当 时没有实根，当 时有一个实根，当 时有两个实根。
8.判定下列曲线的凹凸性：
（1）
解： 所以函数是凸的。
（2）
解： 所以 上函数是凸的， 上函数是凹的。
（3）
解： 所以函数是凹的。
（4）
解： 所以函数是凹的。
16.设函数 ，求证：当 时， 当 时，有
。
证明：当 时， 所以
即 ，在其中取 即得
6.4函数的单调性与曲线的凹凸性
习题6.4
1.判定函数 的单调性。
解： 只在 处为零，所以函数单调下降。
2.判定函数 的单调性。
解： ，只在 处为零，所以函数单调上升。
3.求下列函数的单调性区间与极值点：