【学霸优课】高考数学(理)一轮复习对点训练：2-9-2函数的综合应用(含答案解析)
高考一轮复习课时作业(人教版)：2-9函数的应用word版含答案
2-9函数的应用A 级 基础达标演练 (时间：40分钟 满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2012·东莞调研)在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%，专家预测经过x 年可能增长到原来的y 倍，则函数y ＝f (x )的图象大致为( )．解析 设原有荒漠化土地面积为b ，由题意可得y ＝ b (1＋10.4%)x . 答案 D2．某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t (分钟)与打出电话费s (元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差( )．A ．10元B ．20元C ．30元 D.403元 解析 设A 种方式对应的函数解析式为S ＝k 1t ＋20， B 种方式对应的函数解析式为S ＝k 2t ，当t ＝100时，100k 1＋20＝100k 2，∴k 2－k 1＝15，t ＝150时，150k 2－150k 1－20＝150×15－20＝10. 答案 A3．(2011·广州二测)如图为某质点在4秒钟内做直线运动时，速度函数v ＝v (t )的图象，则该质点运动的总路程s ＝( )．A ．10 cmB ．11 cmC ．12 cmD ．13 cm解析 ∵该质点运动的总路程为右图阴影部分的面积，∴s ＝12×(1＋3)×2＋2×3＋12×1×2＝11(cm)．答案 B4．(2010·广东深圳)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N *)为二次函数关系(如下图所示)，则每辆客车营运多少年时，其营运的平均利润最大( )．A ．3B ．4C ．5D ．6 解析 由题图可得营运总利润y ＝－(x －6)2＋11， 则营运的年平均利润 y x ＝－x －25x ＋12， ∵x ∈N *，∴yx ≤－2x ·25x ＋12＝2，当且仅当x ＝25x ，即x ＝5时取“＝”． ∴x ＝5时营运的平均利润最大． 答案 C5．国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿酬的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元，则这个人应得稿费(扣税前)为( )．A ．2 800元B ．3 000元C ．3 800元D ．3 818元解析 设扣税前应得稿费为x 元，则应纳税额为分段函数，由题意，得y ＝⎩⎨⎧0 (0≤x ≤800)，(x －800)×14% (800<x ≤4 000)，11%·x (x >4 000).如果稿费为4 000元应纳税为448元，现知某人共纳税420元，所以稿费应在800～4 000元之间，∴(x －800)×14%＝420，∴x ＝3 800. 答案 C二、填空题(每小题4分，共12分)6．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定为________元．解析 设每个售价定为x 元，则利润y ＝(x －80)·[400－(x －90)·20]＝－20[(x －95)2－225]∴当x ＝95时y 最大． 答案 957．现有含盐7%的食盐水为200 g ，需将它制成工业生产上需要的含盐5 %以上且在6%以下(不含5%和6%)的食盐水，设需要加入4%的食盐水x g ，则x 的取值范围是__________．解析 根据已知条件：设y ＝200×7%＋x 4%200＋x ，令5%＜y ＜6%，即(200＋x )5%＜200×7%＋x ·4%＜(200＋x )6%，解得100＜x ＜400. 答案 (100,400)8．(2012·绍兴模拟)2008年我国人口总数为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%，则________年我国人口将超过20亿．(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 7≈0.845 1)解析 由已知条件：14(1＋1.25%)x －2008>20， x －2 008>lg 107lg 8180＝1－lg 74 lg3－3 lg2－1＝28.7则x >2 036.7，即x ＝2 037. 答案 2 037 三、解答题(共23分)9．(11分)围建一个面积为360 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x (单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y (单位：元)(1)将y 表示为x 的函数；(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用． 解 (1)如图，设矩形的另一边长为a m ，则y ＝45x ＋180(x －2)＋180·2a ＝225x ＋360a －360，由已知xa ＝360，得a ＝360x . 所以y ＝225x ＋3602x －360(x ＞0)．(2)∵x ＞0，∴225x ＋3602x ≥2225×3602＝10 800.∴y ＝225x ＋3602x －360≥10 440. 当且仅当225x ＝3602x 时，等号成立．即当x ＝24 m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元．10．(12分)(2012·天津模拟)某民营企业生产A 、B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图①所示，B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②所示(注：利润与投资单位：万元)．(1)分别将A 、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式，并写出它们的函数关系式；(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A 、B 两种产品的生产，怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元(精确到1万元)?解 (1)设投资为x 万元，A 产品的利润为f (x )万元，B 产品的利润为g (x )万元， 由题设f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x (k 1·k 2≠0)， 由题图知f (1)＝14，∴k 1＝14. 又g (4)＝52， ∴k 2＝54.从而f (x )＝14x (x ≥0)，g (x )＝54x (x ≥0)． 所以利润与投资的函数关系式为 A 种产品f (x )＝14x (x ≥0)， B 种产品g (x )＝54x (x ≥0)．(2)设A 产品投入x 万元，则B 产品投入(10－x )万元，设企业利润为y 万元，则 y ＝f (x )＋g (10－x )＝x 4＋5410－x ， ∴0≤x ≤10，令10－x ＝t ， 则0≤t ≤10，则y ＝10－t 24＋54t ＝－14⎝ ⎛⎭⎪⎫t －522＋6516(0≤t ≤10)，当t ＝52时，y max ＝6516≈4，此时x ＝10－254＝3.75.∴当A 产品投入3.75万元，B 产品投入6.25万元时，企业获得最大利润约为4万元．B 级 综合创新备选 (时间：30分钟 满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2011·湖北)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M (单位：太贝克)与时间t (单位：年)满足函数关系：M (t )＝M 02－t30，其中M 0为t ＝0时铯137的含量．已知t ＝30时，铯137含量的变化率是－10ln 2(太贝克/年)，则M (60)＝( )． A ．5太贝克 B ．75ln 2太贝克 C ．150ln 2太贝克 D ．150太贝克解析 由题意M ′(t )＝M 02－t 30⎝ ⎛⎭⎪⎫－130ln 2， M ′(30)＝M 02－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－130ln 2＝－10ln 2，∴M 0＝600，∴M (60)＝600×2－2＝150. 答案 D2．(2011·广东汕头)某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x 、y 应为( )．A ．x ＝15，y ＝12B ．x ＝12，y ＝15C ．x ＝14，y ＝10D ．x ＝10，y ＝14解析 由三角形相似得24－y 24－8＝x20，得x ＝54(24－y )，∴S ＝xy ＝－54(y －12)2＋180，∴当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15. 答案 A二、填空题(每小题4分，共8分)3．碳14的衰变极有规律，其精确性可以称为自然界的“标准时钟”．碳14的“半衰期”是5730年，即碳14大约每经过5730年就衰变为原来的一半．科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生放射性碳14.动植物在生长过程中衰变的碳14，可以通过与大气的相互作用得到补充，所以活着的动植物每克组织中的碳14含量保持不变．死亡后的动植物，停止了与外界环境的相互作用，机体中原有的碳14就按其确定的规律衰变．经探测，一块鱼化石中碳14的残留量约为原始含量的46.5%.设这群鱼是距探测时t 年前死亡的，则t 满足的等式为________，将t 用自然对数的运算式子可以表示为________(只写出运算式子不需要计算出结果，式子中可以出现自然对数、实数之间的四则运算)． 解析 .答案4．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 k m(不超过3 k m 按起步价付费)；超过3 k m 但不超过8 k m 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 k m 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________ k m. 解析 由已知条件y ＝⎩⎨⎧8，0＜x ≤38＋2.15(x －3)＋1，3＜x ≤88＋2.15×5＋2.85(x －8)＋1，x ＞8由y ＝22.6解得x ＝9. 答案 9三、解答题(共22分)5．(10分)(2011·湖南)如图，长方体物体E 在雨中沿面P (面积为S )的垂直方向做匀速移动，速度为v (v ＞0)，雨速沿E 移动方向的分速度为c (c ∈R )．E 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：①P 或P 的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量，假设其值与|v －c |×S 成正比，比例系数为110；②其他面的淋雨量之和，其值为12.记y 为E 移动过程中的总淋雨量．当移动距离d ＝100，面积S ＝32时，(1)写出y 的表达式；(2)设0＜v ≤10,0＜c ≤5，试根据c 的不同取值范围，确定移动速度v ，使总淋雨量y 最少．解 (1)由题意知，E 移动时单位时间内的淋雨量为 320|v －c |＋12，故y ＝100v ⎝ ⎛⎭⎪⎫320|v －c |＋12＝5v (3|v －c |＋10)．(2)由(1)知，当0＜v ≤c 时，y ＝5v (3c －3v ＋10)＝5(3c ＋10)v －15； 当c ＜v ≤10时，y ＝5v (3v －3c ＋10)＝5(10－3c )v ＋15. 故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧5(3c ＋10)v －15，0＜v ≤c ，5(10－3c )v ＋15，c ＜v ≤10.①当0＜c ≤103时，y 是关于v 的减函数， 故当v ＝10时，y min ＝20－3c2.②当103＜c ≤5时，在(0，c ]上，y 是关于v 的减函数；在(c,10]上，y 是关于v 的增函数．故当v ＝c 时，y min ＝50c .6．(12分)(2012·聊城调研)某学校要建造一个面积为10 000平方米的运动场．如图，运动场是由一个矩形ABCD 和分别以AD 、BC 为直径的两个半圆组成．跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其他地方均铺设草皮．已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元．(1)设半圆的半径OA ＝r (米)，设建立塑胶跑道面积S 与r 的函数关系S (r )； (2)由于条件限制r ∈[30,40]，问当r 取何值时，运动场造价最低？最低造价为多少？(精确到元) 解 (1)塑胶跑道面积S ＝π[r 2－(r －8)2]＋8×10 000－πr 22r×2＝80 000r ＋8πr －64π. ∵πr 2＜10 000，∴0＜r ＜100π. (2)设运动场的造价为y 元， y ＝150×⎝ ⎛⎭⎪⎫80 000r ＋8πr －64π＋30×⎝ ⎛⎭⎪⎫10 000－80 000r －8πr ＋64π＝300 000＋120×⎝ ⎛⎭⎪⎫80 000r ＋8πr －7 680π.令f (r )＝80 000r ＋8πr ， ∵f ′(r )＝8π－80 000r 2，当r ∈[30,40]时，f ′(r )＜0，∴函数y ＝300 000＋120×⎝ ⎛⎭⎪⎫80 000r ＋8πr －7 680π在[30,40]上为减函数．∴当r＝40时，y min≈636 510，即运动场的造价最低为636 510元．。
2025年高考数学一轮知识点复习-2.3.2函数性质的综合应用-专项训练【含答案】
第二章函数的概念与性质第三节函数的奇偶性、周期性与对称性第2课时函数性质的综合应用1.如果奇函数f（x）在[3，7]上单调递增且最小值为5，那么f（x）在[－7，－3]上（）A.单调递增且最小值为－5B.单调递减且最小值为－5C.单调递增且最大值为－5D.单调递减且最大值为－52.已知奇函数f（x）的图象关于直线x＝1对称且f（5）＝1，则f（2025）＝（）A.－1B.1C.0D.33.已知函数f（x）（x∈R）满足f（－x）＝2－f（x），若函数y＝r1与y＝f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x m，y m），则∑i=1（x i＋y i）＝（）A.0B.mC.2mD.4m4.已知f（x）是定义域为R的偶函数，f（5.5）＝2，g（x）＝（x－1）f（x），若g（x＋1）是偶函数，则g（－0.5）＝（）A.－3B.－2C.2D.35.（多选）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意实数x，恒有f（2－x）＝f（x）成立，且f（1）＝1，则（）A.（1，0）是函数f（x）的一个对称中心B.函数f（x）的一个周期是4C.f（3）＝－1D.f（2）＝06.（多选）已知函数f（x）的定义域为R，对任意实数x，y满足f（x）＋f（y）＝f（x＋y）＋1，且f（1）＝0，当x＞1时，f（x）＜0，则下列结论正确的是（）A.f（0）＝1B.f（－1）＝2C.y＝f（x）－1为奇函数D.f（x）为增函数7.已知f（x）是定义在R上以3为周期的偶函数，若f（1）＜1，f（5）＝2a－3，则实数a的取值范围为.8.已知f（x）为定义在[－1，1]上的偶函数，且在[－1，0]上单调递减，则满足不等式f（2a）＜f （4a－1）的a的取值范围是.9.（2024·重庆一模）已知f（x）是定义在R上的偶函数且f（0）＝2，g（x）＝f（x－1）是奇函数，则f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（2025）＝.10.定义在（0，＋∞）上的函数f（x）满足下面三个条件：①对任意正数a，b，都有f（a）＋f（b）＝f（ab）；②当x＞1时，f（x）＜0；③f（2）＝－1.（1）求f（1）和f（14）的值；（2）试用单调性定义证明：函数f（x）在（0，＋∞）上是减函数.11.已知对于每一对正实数x，y，函数f（x）满足：f（x）＋f（y）＝f（x＋y）－xy－1，若f（1）＝1，则满足f（n）＝n（n∈N）的n的个数是（）A.1B.2C.3D.412.已知函数f（x）的定义域为R，g（x）＝f（2－x）－f（2＋x），h（x）＝f（2－x）＋f（x），则下述结论正确的是（）A.g（x）的图象关于点（1，0）对称B.g（x）的图象关于y轴对称C.h（x）的图象关于直线x＝1对称D.h（x）的图象关于点（1，0）对称13.设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意a，b∈R，当a＋b≠0时，都有（）＋（）＋＞0.（1）若a＞b，试比较f（a）与f（b）的大小关系；（2）若f（1＋m）＋f（3－2m）≥0，求实数m的取值范围.14.（多选）已知f（x）是定义在R上的偶函数，g（x）是定义在R上的奇函数，且f（x），g（x）在（－∞，0]上单调递减，则（）A.f（f（1））＜f（f（2））B.f（g（1））＜f（g（2））C.g（f（1））＜g（f（2））D.g（g（1））＜g（g（2））15.对于定义域为D的函数y＝f（x），如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足：①f（x）在[m，n]内是单调函数；②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]，则称[m，n]是该函数的“优美区间”.（1）求证：[0，2]是函数f（x）＝12x2的一个“优美区间”；（2）求证：函数g（x）＝4＋6不存在“优美区间”.参考答案与解析1.C奇函数的图象关于原点对称，因为奇函数f（x）在[3，7]上单调递增且最小值为5，所以f（x）在[－7，－3]上单调递增且最大值为－5，故选C.2.B f（x）的图象关于直线x＝1对称，∴f（－x）＝f（x＋2），又f（x）为奇函数，∴f（－x）＝－f（x），∴f（x＋2）＝－f（x），∴f（x＋4）＝f（x），∴f（x）是周期为4的周期函数，∴f（2025）＝f（1）＝f（5）＝1.3.B∵f（x）＋f（－x）＝2，y＝r1＝1＋1，∴函数y＝f（x）与y＝r1的图象都关于点（0，1）对称，∴∑J1x i＝0，∑J1y i＝2×2＝m，∴∑J1（x i＋y i）＝0＋m＝m.4.D因为g（x＋1）是偶函数，所以g（x）的图象关于直线x＝1对称，又g（x＋1）＝xf（x＋1），所以f（x＋1）是奇函数，所以f（x）的图象关于点（1，0）对称，又f（x）为偶函数，所以f（x）的周期T＝4，所以f（－0.5）＝f（0.5）＝－f（1.5）＝－f（5.5）＝－2，所以g（－0.5）＝－1.5×f（－0.5）＝3.5.BCD f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，f（x）关于（0，0）对称，因为f（2－x）＝f（x），所以f（x）关于直线x＝1对称，f（x＋4）＝f（x），且f（1）＝1，所以函数f（x）的周期为4，f（3）＝f（－1）＝－1，f（2）＝f（0）＝0.故选B、C、D.6.ABC对于选项A，令x＝y＝0，得f（0）＝1，故选项A正确；对于选项B，令x＝－1，y＝1，得f（－1）＝2，故选项B正确；对于选项C，令y＝－x，得f（x）＋f（－x）＝2，故f（x）－1＋f（－x）－1＝0，所以y＝f（x）－1为奇函数，故选项C正确；对于选项D，因为f（0）＞f（1），所以f（x）不是增函数，故选项D错误.故选A、B、C.7.（－∞，2）解析：∵f（x）是定义在R上的周期为3的偶函数，∴f（5）＝f（5－6）＝f（－1）＝f（1），∵f（1）＜1，∴f（5）＝2a－3＜1，即a＜2.8.0解析：因为f（x）为定义在[－1，1]上的偶函数，且在[－1，0]上单调递减，所以f（x）在[0，1]上单调递增，所以－1≤2a≤1，－1≤4a－1≤1，｜2a｜＜｜4a－1｜，所以0≤a＜16.9.0解析：∵f（x）是R上的偶函数，且g（x）＝f（x－1）为奇函数，∴f（x）的图象关于点（－1，0）对称，f（x－1）＝－f（－x－1）＝－f（x＋1），∴f（x＋1）＝－f（x－1），f（x＋2）＝－f （x），∴f（x）的周期为4.∵f（0）＝2，∴f（1）＝f（－1）＝0，f（2）＝－f（0）＝－2，f（3）＝－f（1）＝0，f（4）＝－f（2）＝2，∴f（1）＋f（2）＋…＋f（2025）＝[f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）]×506＋f（1）＝0.10.解：（1）令a＝b＝1得f（1）＝f（1）＋f（1），则f（1）＝0，而f（4）＝f（2）＋f（2）＝－1－1＝－2，且f（4）＋f（14）＝f（1）＝0，则f（14）＝2.（2）证明：取定义域中任意的x1，x2，且0＜x1＜x2，∴21＞1，∵当x＞1时，f（x）＜0，∴f（21）＜0，∴f（x2）－f（x1）＝f（x1·21）－f（x1）＝f（x1）＋f（21）－f（x1）＝f（21）＜0，即f（x2）＜f（x1），∴f（x）在（0，＋∞）上是减函数.11.A法一（常规解法）令y＝1，则f（x＋1）＝f（x）＋x＋2，即f（x＋1）－f（x）＝x＋2，所以f（x）－f（x－1）＝x＋1，f（x－1）－f（x－2）＝x，…，f（2）－f（1）＝3，累加得f（x）－f（1）＝2+3－42，则f（x）＝（r3）2－1，所以f（n）＝（r3）2－1，又f（n）＝n，解得n＝－2或n＝1，又n∈N，所以n＝1.故选A.法二（模型解法）由f（x）＋f（y）＝f（x＋y）－xy－1，可设函数f（x）＝12x2＋bx－1，由f（1）＝1，得b＝32，故f（x）＝12x2＋32－1，由f（n）＝n，即12n2＋32n－1＝n，解得n＝－2或n＝1，又n∈N，所以n＝1.故选A.12.C因为函数f（x）的定义域为R，且g（x）＝f（2－x）－f（2＋x），所以g（2－x）＝f[2－（2－x）]－f[2＋（2－x）]＝f（x）－f（4－x），则g（x）＋g（2－x）不一定为0，所以函数g（x）的图象不一定关于点（1，0）对称，选项A错误；g（－x）＝f（2＋x）－f（2－x），即g（－x）＝－g（x），所以函数g（x）为奇函数，则函数g（x）的图象不一定关于y轴对称，选项B错误；因为h（x）＝f（2－x）＋f（x），所以h（2－x）＝f[2－（2－x）]＋f（2－x）＝f（x）＋f（2－x），所以h（2－x）＝h（x），所以函数h（x）的图象关于直线x＝1对称，所以选项C正确，选项D错误.故选C.13.解：（1）因为a＞b，所以a－b＞0，由题意得（）＋o−）－＞0，所以f（a）＋f（－b）＞0.又f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（－b）＝－f（b），所以f（a）－f（b）＞0，即f（a）＞f（b）.（2）由（1）知f（x）为R上的增函数，因为f（1＋m）＋f（3－2m）≥0，所以f（1＋m）≥－f（3－2m），即f（1＋m）≥f（2m－3），所以1＋m≥2m－3，所以m≤4.所以实数m的取值范围为（－∞，4].14.BD因为f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数与奇函数，且两函数在（－∞，0]上单调递减，所以f（x）在[0，＋∞）上单调递增，g（x）在[0，＋∞）上单调递减，即g（x）在R上为减函数，所以f（1）＜f（2），g（2）＜g（1）＜g（0）＝0，所以f（g（1））＜f（g（2）），g（f（1））＞g（f（2）），g（g（1））＜g（g（2）），故B、D正确，C不正确；若f（1）＜f（2）＜0，则f（f（1））＞f（f（2）），故A不正确.综上所述，故选B、D.15.证明：（1）易知f（x）＝12x2在区间[0，2]上单调递增，又f（0）＝0，f（2）＝2，∴f（x）＝12x2在区间[0，2]上的值域为[0，2]，∴区间[0，2]是f（x）＝12x2的一个“优美区间”.（2）设[m，n]是函数g（x）的定义域的子集.由x≠0，可得[m，n]⊆（－∞，0）或[m，n]⊆（0，＋∞），∴函数g（x）＝4＋6在[m，n]上单调递减.假设[m，n]是函数g（x）的“优美区间”，则4+6＝，4+6＝，两式相减得，6－6＝n－m，则6（－）B＝n－m，∵n＞m，∴mn＝6，∴n＝6，则4＋6＝6，显然等式不成立，∴函数g（x）＝4＋6不存在“优美区间”.。
2025年高考数学一轮复习-2.9-函数与方程-专项训练【含答案】
2025年高考数学一轮复习-2.9-函数与方程-专项训练一、基本技能练1.已知a ＝log 637，b ＝log 736，c ＝60.1，则()A.b <c <aB.b <a <cC.c <a <bD.a <b <c2.函数f (x )＝e x ＋4－e －x (e 是自然对数的底数)的图象关于()A.直线x ＝－e 对称B.点(－e ，0)对称C.直线x ＝－2对称D.点(－2，0)对称3.已知x 0是函数f (x )＝x ＋log 2(x ＋1)－4的零点，则(x 0－1)(x 0－2)(x 0－3)(x 0－4)的值()A.为正数B.为负数C.等于0D.无法确定正负4.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，满足f (x ＋2)＝f (－x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则函数y ＝f (x )－x 3的零点个数是()A.2B.3C.4D.55.若正实数a ，b ，c 满足a ＋2－a ＝2，b ＋3b ＝3，c ＋log 4c ＝4，则正实数a ，b ，c 之间的大小关系为()A.b ＜a ＜cB.a ＜b ＜cC.a ＜c ＜bD.b ＜c ＜a6.教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，同时送进室外的新鲜空气.按照某地标准，室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度为0.1%.经测定，刚下课时，某教室空气中含有0.2%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为y %，且y 随时间t (单位：分钟)的变化规律可以用函数y ＝0.05＋λe －t10(λ∈R )描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到当地标准至少需要的时间为()(参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1)A.7分钟B.9分钟C.14分钟D.11分钟7.已知当x ∈(0，＋∞)时，函数f (x )＝k e x 的图象与函数g (x )＝2x2x ＋1的图象有且只有两个交点，则实数k 的取值范围是()8.(多选)在同一直角坐标系中，函数y ＝a x 与y ＝log a (x －2)的图象可能是()9.(多选)已知函数f (x )＝2x －12x ＋1，则下列说法正确的是()A.f (x )为奇函数B.f (x )为减函数C.f (x )有且只有一个零点D.f (x )的值域为[－1，1)10.(多选)已知函数f (x )＝x－1，x ≥m ，x 2－4x －4，x ＜m(m ∈R ，e 为自然对数的底数)，则下列说法正确的是()A.函数f (x )至多有2个零点B.函数f (x )至少有1个零点C.当m ＜－3时，对∀x 1≠x 2，总有f （x 1）－f （x 2）x 2－x 1＜0成立D.当m ＝0时，方程f [f (x )]＝0有3个不同实数根11.已知3x ＝32，y ·log 33＝1，则x ＋y ＝________.12.函数f (x )的图象在区间(0，2)上连续不断，能说明“若f (x )在区间(0，2)上存在零点，则f (0)·f (2)＜0”为假命题的一个函数f (x )的解析式可以为f (x )＝________.二、创新拓展练13.(多选)已知奇函数f (x )的定义域为R ，且在(0，＋∞)上单调递减，若f (－2)＝1，则下列命题中正确的是()A.f (x )有两个零点B.f (－1)＞－1C.f (－3)＜1D.f (2)14.已知函数f (x )，x ≤0，2x |，x ＞0，方程f 2(x )＋2f (x )－m ＝0(m ＞0)有4个不同的实数根，从小到大依次是x 1，x 2，x 3，x 4，则下列说法正确的是()A.x 1＜－3B.x 1＋x 2＜－2C.x 3x 4＝2D.m 可以取到815.已知函数f (x )＝4－x 2＋k (x －4)有2个不同的零点，则k 的取值范围是________.16.已知函数f (x )2x |，0＜x ＜2，x ＋3，x ≥2，若x 1，x 2，x 3均不相等，且f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)，则x 1·x 2·x 3的取值范围是________.参考答案与解析一、基本技能练1.答案B解析因为a ＝log 637＝13log 67>13log 66＝13，log 637<log 66＝1，所以13<a <1.因为b ＝log 736＝13log 76<13log 77＝13，即b <13.因为c ＝60.1>60＝1，c >1.所以b <a <c .2.答案D解析由题意f (－2e －x )＝e －x －2e ＋4－e －(－2e －x )＝e －x －2e ＋4－e 2e ＋x ，它与f (x )之间没有恒等关系，相加也不为0，A ，B 均错；而f (－4－x )＝e －4－x ＋4－e －(－4－x )＝e －x －e 4＋x ＝－f (x )，所以f (x )的图象关于点(－2，0)对称.故选D.3.答案B解析由题可知f (x )在[0，＋∞)上单调递增(增函数＋增函数＝增函数)，且f (3)＝3＋log 24－4<0，f (4)＝2＋log 25－4>0，则x 0∈(3，4)，所以(x 0－1)>0，(x 0－2)>0，(x 0－3)>0，(x 0－4)<0，所以(x 0－1)(x 0－2)(x 0－3)(x 0－4)<0.4.答案B解析由f (x ＋2)＝f (－x )可得f (x )关于x ＝1对称，由函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (x )＝－f (x ＋2)＝－[－f (x ＋2＋2)]＝f (x ＋4)，所以f (x )的周期为4，函数y ＝f (x )－x 3的零点，即y ＝f (x )－x 3＝0的解，即函数y ＝f (x )和y ＝x 3的图象交点，根据f (x )的性质可得如图所示的图象，结合y ＝x 3的图象，由图象可得共有3个交点，即共有3个零点，故选B.5.答案A解析∵y ＝2－x 与y ＝2－x 的图象在(0，＋∞)只有一个交点，∴x ＋2－x －2＝0在(0，＋∞)只有一个根，设为a .令f (x )＝x ＋2－x －2，∵f (2)＝2＋2－2－2＝14＞0，f (1)＝1＋2－1－2＝－12＜0，f (1)f (2)＜0，∴1＜a ＜2.同理可得12<b <1，3<c <4，∴b ＜a ＜c .故选A.6.答案D解析由题意知，当t ＝0时，y ＝0.2，即0.05＋λe 0＝0.2，解得λ＝0.15，∴y ＝0.05＋0.15e －t10，令0.05＋0.15e －t10≤0.1，解得e －t10≤13，∴－t10≤－ln 3，∴t ≥10ln 3≈11，故选D.7.答案A解析由题设，当x ∈(0，＋∞)时，k ＝2xe x（2x ＋1），令h (x )＝2xe x （2x ＋1），则h′(x)＝－2（2x－1）（x＋1）e x（2x＋1）2，所以当0＜x＜12时，h′(x)＞0，则h(x)单调递增，当x＞12时，h′(x)＜0，则h(x)单调递减.又h(x)＞0，且h(x)≤＝e 2e，所以当0＜k＜e2e时，y＝k与h(x)的图象有两个交点.故选A.8.答案BD解析当a＞1时，y＝a x在(－∞，＋∞)单调递增且其图象恒过点(0，1)，y＝log a(x－2)在(2，＋∞)单调递增且其图象恒过点(3，0)，则选项B符合要求；当0＜a＜1时，y＝a x在(－∞，＋∞)单调递减且其图象恒过点(0，1)，y＝log a(x－2)在(2，＋∞)单调递减且其图象恒过点(3，0)，则选项D符合要求；综上所述，选项B，D符合要求.9.答案AC解析由题意得f(－x)＝2－x－12－x＋1＝1－2x1＋2x＝－f(x)，故f(x)为奇函数，又∵f(x)＝2x－12x＋1＝1－22x＋1，∴f(x)在R上单调递增，∵2x＞0，∴2x＋1＞1，∴0＜22x＋1＜2，∴－2＜－22x＋1＜0，∴－1＜f(x)＜1，即函数值域为(－1，1)，令f(x)＝2x－12x＋1＝0，即2x＝1，解得x＝0，故函数有且只有一个零点0.综上可知，AC正确，BD错误.故选AC.10.答案ABC解析作出函数y＝e x－1和y＝－x2－4x－4的图象如图所示，当m＞0时，函数f(x)只有1个零点；当－2＜m≤0时，函数f(x)有2个零点；当m≤－2时，函数f(x)只有1个零点，故选项A，B正确；当m＜－3时，函数f(x)为单调递增函数，故选项C正确；当m＝0时，令t＝f(x)，则f(t)＝0，t1＝－2，t2＝0，当f(x)＝t1＝－2时，该方程有两个解；当f(x)＝t2＝0时，该方程有两个解，所以方程f[f(x)]＝0有4个不同实数根，故选项D错误.综上，故选ABC.11.答案2－log32解析因为3x＝32，y·log33＝1，所以x＝log332＝1－log32，y＝1，∴x＋y＝2－log32.12.答案(x－1)2(答案不唯一)解析函数f(x)的图象在区间(0，2)上连续不断，且“若f(x)在区间(0，2)上存在零点，则f(0)·f(2)＜0”为假命题，可知函数f(x)满足在(0，2)上存在零点，且f(0)·f(2)≥0，所以满足题意的函数解析式可以为f(x)＝(x－1)2.二、创新拓展练13.答案BD解析根据题意可得函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为减函数且f(0)＝0.由f(－2)＝1可得f(2)＝－1.对于A，由f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且1，f(2)＝－1，所以存在x0f(x0)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上有一个零点，同理f(x)在(－∞，0)上有一个零点，又因为f(0)＝0，所以f(x)有三个零点，故A错误；对于B，因为函数f(x)在(－∞，0)上为减函数，所以f(－1)＞1，故B正确；对于C，因为函数f(x)在(－∞，0)上为减函数，所以f(－3)＞f(－2)＝1，故C错误；对于D，1，f(2)＝－1，所以f(2)，故D正确.故选BD.14.答案B画出函数的大致图象如图所示.解析根据函数f(x)，x≤0，2x|，x＞0，已知方程f2(x)＋2f(x)－m＝0有4个不同的实数根，令t＝f(x)，则t2＋2t－m＝0.因为m＞0，所以Δ＝4＋4m＞0，方程t2＋2t－m＝0有两个不同实根分别为t1，t2，因为t1＋t2＝－2，t1t2＝－m＜0，所以t1，t2一正一负，不妨设t1＜0＜t2.要使已知中关于x的复杂方程有4个不等实根，则关于x的2个简单方程f(x)＝t1与f(x)＝t2总共有4个不等实数根，由f(x)的图象可知，f(x)＝t1只有一个解x1，则f(x)＝t2有三个解x2，x3，x4.所以t2∈(0，1]，因为t1＋t2＝－2，所以m＝－t1t2＝t2(t2＋2)∈(0，3]，D错误；由t1＋t2＝－2，t2∈(0，1]得t1∈[－3，－2)，则－3≤21＜－2，解得－log25≤x1＜－2，A错误；由图可知，－1＜x2≤0，所以x1＋x2＜－2，B正确；因为x3，x4是f(x)＝t2的两个解，所以有log2x4＝－log2x3，所以x3x4＝1，C错误.故选B.15.答案解析因为函数f(x)＝4－x2＋k(x－4)有2个不同的零点，所以关于x的方程4－x2＝－k(x－4)在区间[－2，2]内有两个不等的实根，即曲线y＝4－x2(圆x2＋y2＝4的上半部分)与经过定点P(4，0)的直线y＝－k(x －4)有两个不同的交点，如图.过P(4，0)作圆x2＋y2＝4的切线PA，则点O到切线PA的距离d＝|－4k|k2＋1＝2，解得k＝33(舍去)或k＝－33，所以－33<－k≤0，得0≤k<3 3，即k的取值范围是16.答案(2，3)解析不妨设x1＜x2＜x3，由图可得，|log2x1|＝|log2x2|＝－x3＋3∈(0，1)，所以log2x1＝－log2x2，即x1x2＝1，由f(x1)＝f(x2)＝f(x3)得，x3∈(2，3)，所以x1x2x3的取值范围是(2，3).。
【学霸优课】高考数学(理)一轮复习对点训练：5-2-2 数量积的综合应用(含答案解析)
1.已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t.若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB →|AB →|＋4AC →|AC →|，则PB →·PC →的最大值等于( ) A ．13 B ．15C ．19D ．21答案 A解析 依题意，以点A 为坐标原点，以AB 所在的直线为x 轴，AC 所在的直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，所以点P(1,4)，B ⎝⎛⎭⎫1t ，0，C(0，t)，所以PB →·PC →＝⎝⎛⎭⎫1t －1，－4·(－1，t －4)＝⎝⎛⎭⎫1t －1×(－1)－4×(t －4)＝17－1t－4t≤17－21t×4t ＝13(当且仅当1t ＝4t ，即t ＝12时取等号)，所以PB →·PC →的最大值为13，故选A. 2．设向量a ，b 满足|a ＋b|＝10，|a －b|＝6，则a·b ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．5答案 A解析 由|a ＋b|＝10得a 2＋b 2＋2a·b ＝10，①由|a －b|＝6得a 2＋b 2－2a·b ＝6，②①－②得4a·b ＝4，∴a·b ＝1，故选A.3．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC.若AE →·AF →＝1，CE →·CF →＝－23，则λ＋μ＝( ) A.12 B.23C.56D.712答案 C解析 以AB →，AD →为基向量，则AE →·AF →＝(AB →＋λAD →)·(AD →＋μAB →)＝μAB →2＋λAD →2＋(1＋λμ)AB →·AD →＝4(μ＋λ)－2(1＋λμ)＝1①.CE →·CF →＝(λ－1)BC →·(μ－1)DC →＝－2(λ－1)(μ－1)＝－23②，由①②可得λ＋μ＝56. 4．已知点O 为△ABC 的外心，且|AC →|＝4，|AB →|＝2，则AO →·BC →＝________.答案 6解析 因为点O 为△ABC 的外心，且|AC →|＝4，|AB →|＝2，所以AO →·BC →＝AO →·(AC →－AB →)＝A O →·AC →－AO →·AB →＝|AO →||AC →|cos 〈AO →，AC →〉－|AO →||AB →|·cos 〈AO →，AB →〉＝|AC →||AC →|×12－|AB →||AB →|×12＝6. 5．在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE →＝AD →＋μAB →，则μ的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎦⎤0，12 解析 由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB·BCcosB＝(23)2＋22－2×23×2cos30°＝4，∴AC ＝2，∴AC ＝BC ＝2，∴∠CAB ＝30°，∠DAC ＝60°.AD ＝1，∴AE ∈[1,2]，∵AE →＝AD →＋μAB →，∴|AE →|2＝(AD →＋μAB →)2＝|AD →|2＋|μAB →|2＝1＋(23)2μ2＝1＋12μ2，μ2＝|AE →|2－112，∵|AE →|∈[1,2]， ∴μ2∈⎣⎡⎦⎤0，14，由梯形ABCD 知μ≥0，∴μ∈⎣⎡⎦⎤0，12. 6．设G 是△ABC 的重心，且7sinA·GA →＋3sinB·GB →＋37sinC·GC →＝0，则角B 的大小为________．答案 π3解析 ∵7sinA·GA →＋3sinB·GB →＋37sinC·GC →＝0，设三角形的边长顺次为a ，b ，c ，由正弦定理得7a·GA →＋3b·GB →＋37c·GC →＝0，由点G 为△ABC 的重心，根据中线的性质及向量加法法则得：3GA →＝BA →＋CA →，3GB →＝CB →＋AB →，3GC →＝AC →＋BC →， 代入上式得：7a(BA →＋CA →)＋3b(CB →＋AB →)＋37c(AC →＋BC →)＝0，又CA →＝CB →＋BA →，上式可化为：7a(2BA →＋CB →)＋3b(AB →＋CB →)＋37c·(－BA →＋2BC →)＝0，即(27a －3b －37c)BA →＋(－7a －3b ＋67c)BC →＝0，则有⎩⎨⎧ 27a －3b －37c ＝0， ①－7a －3b ＋67c ＝0， ②①－②得37a ＝97c ，即a ∶c ＝3∶1，设a ＝3k ，c ＝k ，代入①得b ＝7k ，∴cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝9k 2＋k 2－7k 26k 2＝12，∴B ＝π3. 7.在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sinx ，cosx)，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1)若m ⊥n ，求tanx 的值；(2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值． 解 (1)∵m ⊥n ，∴m·n ＝0. 故22sinx －22cosx ＝0，∴tanx ＝1. (2)∵m 与n 的夹角为π3，∴cos 〈m ，n 〉＝m·n |m|·|n|＝22sinx －22cosx 1×1＝12，故sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝12.又x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴x －π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，π4，x －π4＝π6，即x ＝5π12，故x 的值为5π12.。
2025年高考数学一轮知识点复习-2.9函数的图象-专项训练【含答案】
第二章函数的概念与性质第九节函数的图象1.下列函数中，其图象与函数f（x）＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是（）A.y＝ln（1－x）B.y＝ln（2－x）C.y＝ln（1＋x）D.y＝ln（2＋x）2.函数f（x）＝x－sin3在[－π，π]上的图象大致为（）3.若函数f（x）＝B＋，＜－1，ln（＋p,≥－1的图象如图所示，则f（－3）＝（）A.－12B.－54C.－1D.－24.把函数f（x）＝ln｜x－a｜的图象向左平移2个单位长度，所得函数在（0，＋∞）上单调递增，则a的最大值为（）A.1B.2C.3D.45.函数y＝f（x）的图象如图①所示，则图②对应的解析式可以表示为（）A.y＝f（｜x｜）B.y＝｜f（x）｜C.y＝f（－｜x｜）D.y＝－f（｜x｜）6.（多选）对于函数f（x）＝lg（｜x－2｜＋1），下列说法正确的是（）A.f（x＋2）是偶函数B.f（x＋2）是奇函数C.f（x）在区间（－∞，2）上单调递减，在区间（2，＋∞）上单调递增D.f（x）没有最小值7.已知函数f（x）的图象如图所示，则函数g（x）＝lo2f（x）的定义域是.8.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝x2－x.若f（a）＜4＋f（－a），则实数a的取值范围是.9.对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝，≤，，＞u设函数f（x）＝－x＋3，g（x）＝log2x，则函数h（x）＝min{f（x），g（x）}的最大值是.10.已知f（x）＝2+2，<0，－2+2，≥0是定义在R上的奇函数.（1）请画出f（x）的大致图象并在图象上标注零点；（2）已知a＞1，若函数f（x）在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围.11.若直角坐标平面内A、B两点满足①点A、B都在函数f（x）的图象上；②点A、B关于原点对称，则点对（A，B）是函数f（x）的一个“姊妹点对”.点对（A，B）与（B，A）可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数f（x2+2（<0),2≥0),则f（x）的“姊妹点对”有（）A.0个B.1个C.2个D.3个12.（多选）某同学在研究函数f（x）＝1+｜｜（x∈R）时，给出了下面几个结论，其中正确的是（）A.f（x）的图象关于点（－1，1）对称B.f（x）是单调函数C.f（x）的值域为（－1，1）D.函数g（x）＝f（x）－x有且只有一个零点13.若函数f（x）＝log2（x＋1），且a＞b＞c＞0，则（），（），（）的大小关系为.14.如图，函数y＝f（x）的图象由曲线段OA和直线段AB构成.（1）写出函数y＝f（x）的一个解析式；（2）提出一个能满足函数y＝f（x）的图象变化规律的实际问题.15.已知函数f（x）＝11a，b满足a＜b.（1）在平面直角坐标系中画出函数f（x）的图象；（2）若函数f（x）的定义域是[a，b]，值域是[ma，mb]（m＞0），求实数m的取值范围.参考答案与解析1.B法一设所求函数图象上任一点的坐标为（x，y），则其关于直线x＝1的对称点的坐标为（2－x，y），由对称性知点（2－x，y）在函数f（x）＝ln x的图象上，所以y＝ln（2－x）.法二由题意知，对称轴上的点（1，0）既在函数y＝ln x的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数解析式逐一检验，排除A、C、D，故选B.2.B函数f（x）＝x－sin3的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），f（－x）＝－x－sin(−）(−）3＝－x－sin3≠f（x），且f（－x）≠－f（x），所以函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数，其图象关于原点不对称，排除选项C、D；当x＝π时，f（x）＝f（π）＝π，排除选项A，故选B.3.C∵f（－1）＝0，∴ln（－1＋a）＝0，∴－1＋a＝1，∴a＝2，又y＝ax＋b过点（－1，3），∴2×（－1）＋b＝3，∴b＝5，∴f（－3）＝－3a＋b＝－6＋5＝－1.4.B把函数f（x）＝ln｜x－a｜的图象向左平移2个单位长度，得到函数g（x）＝ln｜x＋2－a｜的图象，则函数g（x）在（a－2，＋∞）上单调递增，又因为所得函数在（0，＋∞）上单调递增，所以a－2≤0，即a≤2.所以a的最大值为2.5.C对于A，将y＝f（x）的图象在y轴左侧的部分“去除”，将y轴右侧的部分关于y轴作对称，y轴右侧的部分保持不变，可得y＝f（｜x｜）的图象，A错误；对于B，将y＝f（x）的图象在x轴以上的部分保留，x轴以下部分翻折到x轴上方，可得y＝｜f（x）｜的图象，B错误；对于C，将y ＝f（x）的图象在y轴右侧的部分“去除”，将y轴左侧的部分关于y轴作对称，y轴左侧的部分保持不变，可得y＝f（－｜x｜）的图象，C正确；对于D，将y＝f（｜x｜）的图象关于x轴作对称，即可得y＝－f（｜x｜）的图象，D错误.故选C.6.AC f（x＋2）＝lg（｜x｜＋1）为偶函数，A正确，B错误；作出f（x）的图象如图所示，可知f （x）在（－∞，2）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增，C正确；由图象可知函数存在最小值0，D错误.7.（2，8]解析：当f（x）＞0时，函数g（x）＝lo2f（x）有意义，由函数f（x）的图象知满足f（x）＞0时，x∈（2，8].8.（－∞，2）解析：因为f（x）为奇函数，所以f（－x）＝－f（x），所以f（a）＜4＋f（－a）可转化为f（a）＜2，作出f（x）的图象，如图.由图易知a＜2.9.1解析：法一在同一坐标系中，作出函数f（x），g（x）的图象，依题意，h（x）的图象为如图所示的实线部分.易知点A（2，1）为图象的最高点，因此h（x）的最大值为h（2）＝1.当0＜x≤2时，h（x）＝log2x单调递增，当x＞2时，法二依题意，h（x）＝l2，0<≤2，－+3，>2.h（x）＝3－x单调递减，因此h（x）在x＝2时取得最大值h（2）＝1.10.解：（1）根据题意，列表如下，x－2－1012f（x）0－1010f（x）的大致图象如图所示，其中有－2，0，2三个零点.（2）由（1）的函数图象可知，要使f（x）在[－1，a－2]上单调递增，则－1＜a－2≤1，即1＜a≤3，故a的取值范围为（1，3].11.C根据题意可知，“姊妹点对”满足两点：都在函数图象上，且关于坐标原点对称.可作出函数y＝x2＋2x（x＜0）的图象关于原点对称的图象，看它与函数y＝2e（x≥0）的图象的交点个数即可.如图所示，当x＝1时，0＜2＜1，观察图象可得，它们有2个交点.故选C.12.BCD作出y＝f（x）的图象，如图所示，对于A，f（x）的图象关于点（0，0）对称，不关于点（－1，1）对称，故A错误；对于B，f（x）是R上的增函数，故B正确；对于C，由图知，f（x）的值域为（－1，1），故C正确；对于D，令g（x）＝f（x）－x＝0，得1＝0，解得x＝0，所以函数g（x）＝f（x）－x有且只有一个零点，故D正确.13.（）＜（）＜（）解析：由题意可得，（），（），（）分别看作函数f（x）＝log2（x＋1）图象上的点（a，f（a）），（b，f（b）），（c，f（c））与原点连线的斜率.结合图象可知，当a＞b＞c＞0时，（）＜（）＜（）.14.解：（1）当0≤x≤2时，曲线段OA类似指数函数y＝2x，由O（0，0），A（2，3）可得f（x）＝2x－1，当2＜x≤5时，设直线段AB的解析式为y＝ax＋b，将A（2，3），B（5，0）代入直线段AB的解析式，得3=2＋，0=5＋，解得＝－1，=5，此时y＝－x＋5，所以f（x）＝2－1，0≤≤2，－+5，2<≤5.（2）答案不唯一，合理即可.离上课还有5分钟时，小明用了2分钟急速跑（先慢后快）到距离教室3百米的操场找小华来上课，然后两个人用了3分钟时间匀速跑到教室.15.解：（1）因为函数f （x ）＝1y ＝1－1的图象，然后再利用图象变换作出函数f （x ）＝1.（2）由题意得[a ，b ]在f （x ）的增区间内且a ＞0，b ＞0，又f （x ）＝11，＋∞）上单调递增，故（）＝B ，（）＝B ，即1－1＝B ，1－1＝B ，所以a ，b 是方程1－1＝mx 的两个根，即x －1＝mx 2（x ＞1），所以mx 2－x ＋1＝0在区间[1，＋∞）上有两个不相等的实数根，设g （x ）＝mx 2－x ＋10，1）＝－1+1≥0，>1，0，解得0＜m ＜14，故实数m 的取值范围为0。
2018数学理一轮课件：2-9-2 函数的综合应用 精品
撬法·命题法 解题法
[考法综述] 函数的综合问题的考查一般与不等式、数列、方程、解析几何等综合考查，考查的知 识点多，思想方法多，难度适中，多以选择、填空题形式出现，也有解答题形式．
命题法 函数的综合应用 典例 (1)已知 a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，a＋bc－1＝0，求 a 的取值范围； (2)设不等式 2x－1>m(x2－1)对满足|m|≤2 的一切实数 m 的取值都成立，求 x 的取值范围．
撬题·对点题 必刷题
请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD 是边长为 60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个 全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 A，B，C，D 四个点重合于图中的点 P，正好形成一个正四 棱柱形状的包装盒．E，F 在 AB 上，是被切去一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设 AE＝FB＝x(cm)．某 广告商要求包装盒的侧面积 S(cm2)最大，试问 x 应取何值？
注意点 数学思想在函数综合应用问题中的使用 (1)注意应用数形结合思想，将问题进行等价转化． (2)注意应用函数与方程思想，解决函数问题.
1．思维辨析 (1)不存在 x0，使 ax0<xn0<logax0.( × ) (2)在(0，＋∞)上，随着 x 的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于 y＝xa(a>0)的增长速度．( √ ) (3)“指数爆炸”是指数型函数 y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．( × ) (4)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当 x∈(4，＋∞)时，恒有 h(x)<f(x)<g(x)．( √ )
数学(理)一轮对点训练2-9-2 函数的综合应用 Word版含解析
．设函数()＝＋－，其中>>，>>.()记集合＝{(，，)，，不能构成一个三角形的三条边长，且＝}，则(，，)∈所对应的()的零点的取值集合为；()若，，是△的三条边长，则下列结论正确的是．(写出所有正确结论的序号)①∀∈(－∞，)，()>；②∃∈，使，，不能构成一个三角形的三条边长；③若△为钝角三角形，则∃∈()，使()＝.答案(){<≤} ()①②③解析()由已知条件(，，)∈，>>，>>，，，不能构成一个三角形的三条边长，且＝得≤，即≥＋－＝时，有＝，＝，解得＝)，＝≥，∴<≤，即()＝＋－的零点的取值集合为{<≤}．()对于①，∵>>，>>，∴<<<<.此时函数＝＋在(－∞，)上为减函数，得＋>＋，又，，是△的三条边长，∴＋>，即＋>，得＋>，∴＋>，∴∀∈(－∞，)，()＝＋－>，故①正确；对于②，∵＝，＝在∈上为减函数，∴当→＋∞时，与无限接近于零，故∃∈，使＋<，即＋<，所以，，不能构成一个三角形的三条边长，故②正确；对于③，若△为钝角三角形，为最大边，则＋>，＋<，构造函数()＝＋－.又()＝＋－＝>，()＝＋－＝<，∴＝()在()上存在零点，即∃∈()，使＋－＝，即()＝＋－＝，故③正确．综上所述，结论正确的是①②③.．已知的展开式中的常数项为，()是以为周期的偶函数，且当∈[]时，()＝，若在区间[－]内，函数()＝()－－有个零点，则实数的取值范围是．答案解析由＋＝()－·＝－，常数项为－＝，即＝，所以＝＝.函数()是周期为的偶函数，其图象如图所示．函数()＝()－－有个零点，说明函数＝()与直线＝＋有四个交点，直线＝＋是过定点(－)的直线．如图可知当直线＝＋为图中直线位置时符合题意，当直线＝＋过点()时，＝，故满足条件的范围为.．如图为某质点在秒钟内作直线运动时，速度函数＝()的图象，则该质点运动的总路程为.答案解析总路程为(＋)××＋×＋××＝..已知函数()＝＋＋(，∈)．()试讨论()的单调性；()若＝－(实数是与无关的常数)，当函数()有三个不同的零点时，的取值范围恰好是(－∞，－)∪∪，求的值．解()′()＝＋，令′()＝，解得＝，＝－.当＝时，因为′()＝>(≠)，所以函数()在(－∞，＋∞)上单调递增；当>时，∈∪(，＋∞)时，′()>，∈时，′()<，所以函数()在，(，＋∞)上单调递增，在上单调递减；。
高考数学一轮复习专题2.10函数的综合运用练习(含解析)
第十讲 函数的综合运用考向一新概念题【例1】对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab ，a ≤b ，b 2－ab ，a >b .设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R)恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是________．【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－316，0【解析】 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－x ，x ≤0，－x 2＋x ，x >0的图象如图所示．设y ＝m 与y ＝f (x )图象交点的横坐标从小到大分别为x 1，x 2，x 3.由y ＝－x 2＋x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14，得顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14.当y ＝14时，代入y ＝2x 2－x ，得14＝2x 2－x ，解得x ＝1－34(舍去正值)，∴x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34，0.又∵y ＝－x 2＋x 图象的对称轴为x ＝12，∴x 2＋x 3＝1，又x 2，x 3>0，∴0<x 2x 3<⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x 322＝14.又∵0<－x 1<3－14，∴0<－x 1x 2x 3<3－116，∴1－316<x 1x 2x 3<0. 【举一反三】1.设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为( )A .]2,49(--B ．[－1,0]C ．(－∞，－2]D .),49(+∞-【答案】A【解析】令F (x )＝f (x )－g (x )＝x 2－3x ＋4－(2x ＋m )＝x 2－5x ＋4－m ，则由题意知F (x )＝0在[0,3]上有两个不同的实数根，因而2(0)0(3)054(4)0F F m ⎧≥⎪⎪≥⎨⎪∆=-->⎪⎩，即402049m m m -≥⎧⎪--≥⎨⎪>-⎩，解之得－94<m ≤－2，故选A考向二函数性质与零点定理综合运用【例2】已知偶函数 满足 ，当0 时， ，则函数 在区间 内的零点个数为。
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1．设函数f(x)＝a x ＋b x －c x ，其中c>a>0，c>b>0.
(1)记集合M ＝{(a ，b ，c)|a ，b ，c 不能构成一个三角形的三条边长，且a ＝b}，则(a ，b ，c)∈M 所对应的f(x)的零点的取值集合为________；
(2)若a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，则下列结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)
①∀x ∈(－∞，1)，f(x)>0；
②∃x ∈R ，使a x ，b x ，c x 不能构成一个三角形的三条边长；
③若△ABC 为钝角三角形，则∃x ∈(1,2)，使f(x)＝0.
答案 (1){x|0<x≤1} (2)①②③
解析 (1)由已知条件(a ，b ，c)∈M ，c>a>0，c>b>0，a ，b ，c 不能构成一个三角形的三
条边长，且a ＝b 得2a≤c ，即c a ≥2.a x ＋b x －c x ＝0时，有2a x ＝c x ，⎝⎛⎭⎫c a x ＝2，解得x ＝log c a
2，1x ＝log 2c a
≥1，∴0<x≤1，即f(x)＝a x ＋b x －c x 的零点的取值集合为{x|0<x≤1}． (2)对于①，∵c>a>0，c>b>0，∴0<a c <1,0<b c
<1. 此时函数y ＝⎝⎛⎭⎫a c x ＋⎝⎛⎭⎫b c x 在(－∞，1)上为减函数，得⎝⎛⎭⎫a c x ＋⎝⎛⎭⎫b c x >a c ＋b c
，又a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，∴a ＋b>c ，即a c ＋b c
>1，得⎝⎛⎭⎫a c x ＋⎝⎛⎭⎫b c x >1，∴a x ＋b x >c x ，∴∀x ∈(－∞，1)，f(x)＝a x ＋b x －c x >0，故①正确；
对于②，∵y ＝⎝⎛⎭⎫a c x ，y ＝⎝⎛⎭⎫b c x 在x ∈R 上为减函数，∴当x→＋∞时，⎝⎛⎭⎫a c x 与⎝⎛⎭
⎫b c x 无限接近于零，故∃x ∈R ，使⎝⎛⎭⎫a c x ＋⎝⎛⎭
⎫b c x <1，即a x ＋b x <c x ，所以a x ，b x ，c x 不能构成一个三角形的三条边长，故②正确；
对于③，若△ABC 为钝角三角形，c 为最大边，则a ＋b>c ，a 2＋b 2<c 2，构造函数g(x)＝⎝⎛⎭⎫a c x ＋⎝⎛⎭⎫b c x －1.又g(1)＝a c ＋b c －1＝a ＋b －c c
>0， g(2)＝⎝⎛⎭⎫a c 2＋⎝⎛⎭⎫b c 2－1＝a 2＋b 2－c 2c 2
<0，∴y ＝g(x)在(1,2)上存在零点，即∃x ∈(1,2)，使⎝⎛⎭⎫a c x ＋⎝⎛⎭⎫b c x －1＝0，即f(x)＝a x ＋b x －c x ＝0，故③正确．综上所述，结论正确的是①②③.
2．已知⎝⎛⎭
⎫x 2－15x 35的展开式中的常数项为T ，f(x)是以T 为周期的偶函数，且当x ∈[0,1]时，f(x)＝x ，若在区间[－1,3]内，函数g(x)＝f(x)－kx －k 有4个零点，则实数k 的取值范围
是________．
答案 ⎝⎛⎦
⎤0，14 解析 由T k ＋1＝C k 5(x 2)5－
k ·⎝⎛⎭⎫－15x 3k ＝⎝⎛⎭⎫－15k C k 5
x 10－5k ，常数项为10－5k ＝0，即k ＝2，所以T 3＝⎝⎛⎭⎫－152C 25＝2.函数f(x)是周期为2的偶函数，其图象如图所示．函数g(x)＝f(x)－kx －k 有4个零点，说明函数y ＝f(x)与直线y ＝kx ＋k 有四个交点，直线y ＝kx ＋k 是过定点(－1,0)的直线．如图可知当直线y ＝kx ＋k 为图中直线l 位置时符合题意，当直线y ＝kx ＋k
过点A(3,1)时，k ＝14
，故满足条件k 的范围为⎝⎛⎦⎤0，14.
3．如图为某质点在4秒钟内作直线运动时，速度函数v ＝v(t)的图象，则该质点运动的总路程为________cm.
答案 11
解析 总路程为(2＋4)×1×12＋4×1＋12
×2×4＝11. 4.已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋b(a ，b ∈R)．
(1)试讨论f(x)的单调性；
(2)若b ＝c －a(实数c 是与a 无关的常数)，当函数f(x)有三个不同的零点时，a 的取值范
围恰好是(－∞，－3)∪⎝⎛⎭⎫1，32∪⎝⎛⎭
⎫32，＋∞，求c 的值．
解 (1)f′(x)＝3x 2＋2ax ，令f′(x)＝0，解得x 1＝0，x 2＝－2a 3
. 当a ＝0时，因为f′(x)＝3x 2>0(x≠0)，所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；
当a>0时，x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－2a 3∪(0，＋∞)时，f′(x)>0，x ∈⎝⎛⎭
⎫－2a 3，0时，f′(x)<0， 所以函数f(x)在⎝⎛⎭⎫－∞，－2a 3，(0，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭
⎫－2a 3，0上单调递减；
当a<0时，x ∈(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫－2a 3，＋∞时，f′(x)>0，x ∈⎝
⎛⎭⎫0，－2a 3时，f′(x)<0， 所以函数f(x)在(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫－2a 3，＋∞上单调递增，在⎝
⎛⎭⎫0，－2a 3上单调递减． (2)由(1)知，函数f(x)的两个极值为f(0)＝b ，f ⎝⎛⎭⎫－2a 3＝427
a 3＋
b ，则函数f(x)有三个不同的零点等价于
f(0)·f ⎝⎛⎭⎫－2a 3＝b ⎝⎛⎭
⎫427a 3＋b <0， 从而⎩⎪⎨⎪⎧ a>0，－427a 3<b<0或⎩
⎪⎨⎪⎧
a<0，0<b<－427a 3. 又b ＝c －a ，所以当a>0时， 427a 3－a ＋c>0或当a<0时，427a 3－a ＋c<0. 设g(a)＝427
a 3－a ＋c ，因为函数f(x)有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是(－∞，－3)∪⎝⎛⎭⎫1，32∪⎝⎛⎭
⎫32，＋∞， 则在(－∞，－3)上g(a)<0，
且在⎝⎛⎭⎫1，32∪⎝⎛⎭
⎫32，＋∞上g(a)>0均恒成立， 从而g(－3)＝c －1≤0，
且g ⎝⎛⎭⎫32＝c －1≥0，
因此c ＝1.
此时，f(x)＝x 3＋ax 2＋1－a ＝(x ＋1)[x 2＋(a －1)x ＋1－a]，
因函数有三个不同的零点，则x 2＋(a －1)x ＋1－a ＝0有两个异于－1的不等实根， 所以Δ＝(a －1)2－4(1－a)＝a 2＋2a －3>0，且(－1)2－(a －1)＋1－a≠0，
解得a ∈(－∞，－3)∪⎝⎛⎭⎫1，32∪⎝⎛⎭
⎫32，＋∞.综上c ＝1.。