2013高等数学(1)A卷东华大学

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东华大学2012~13(1)线性代数A

东华大学 2012--2013 学年第一学期期末试题A 卷踏实学习，弘扬正气；诚信做人，诚实考试；作弊可耻，后果自负。

考试科目线性代数使用专业全校相关专业教师班号____ 学号姓名考试教室一二三四五六总分试题得分一、填空题（每小题4分，共60分）. 1、行列式1100010001a a a aa a= . 2、设矩阵为1 1 3 2 0,,2 0 10 1A B −⎛⎞⎛==⎜⎟⎜⎝⎠⎝⎞⎟⎠T A A 的转置，则B A T= .3、设1314,17A ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠且满足16A BA A BA −=+,则=B . 4、设A 为阶矩阵，且行列式 33A =−，则 12T A A −= ，A ∗= .5、 125013200−⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠.6、设向量组线性相关，则123(,3,2),(2,1,3),(3,2,1)T T x ααα==−=T x = .7、设，则123235471A ⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠A 的秩为，其伴随矩阵A ∗的秩为 .8、方程组的通解为 123123 123x x x x x x ++=⎧⎨−+=⎩3.9、设方程组123110101111x a x x ⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟−=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠λλλ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠有无穷多解，则λ= ，a = .10、设则3,A O =1()E A −−= .11、设三阶方阵A 的特征值为则2,4,6,3A E −的特征值为，行列式3A E −= .12、已知正交，则当12(1,1,1),(1,2,1)T T αα==−3α= ，321,,ααα两两正交. 13、已知实二次型22212312313(,,)2f x x x ax x x bx x =+−+经正交变换可化为标准形221222323f y y y =+−，则=a ，b = . 14、已知3阶实对称矩阵A 的秩()2r A =，且，若矩阵022=+A A aE A B +=是正定矩阵，则常数a 的取值范围为 . 15、已知矩阵的一个特征值为3，则另一个特征值为112y A ⎛⎞=⎜⎝⎠⎟ ，y = .二、(8分) 求向量组 1232112,29−11,,4636ααα−⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎜⎟===⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠⎝⎠451214,2479αα⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟==⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠的秩和一个极大无关组,并把其余向量用此极大无关组线性表示．三、(8分)已知三阶矩阵A 的逆阵为求伴随矩阵的逆阵()1111121,113A −⎛⎞⎜⎟=⎜⎜⎟⎝⎠⎟T *A 1*.A −四、 (10分) 设 123(1,4,0,2),(2,7,1,3),(0,1,1,),(3,10,,4),T T T a b αααβ===−=（1）取何值时，β不能由a b ，123,,ααα线性表示？（2）取何值时，β可由a b ，123,,ααα线性表示？并写出此表示式．五、(10分) 设矩阵A 与B 相似，且11124233A a −⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠,． 22B b ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⑴ 求a ，b 的值； ⑵ 求可逆矩阵P ，使1P AP B −=．六、（4分）设,TA E αα=− 其中E 是n 阶单位阵，α是维非零列向量，n Tα是α的转置，证明当时，1T αα=A 是不可逆阵.。

高数(工)1、A1测试卷(函数与极限)解答

上海应用技术学院2012—2013 学年第一学期《高等数学（工）1、A1》测试卷（函数与极限）解答一．单项选择题（每小题2分，共10分） 1．函数xx x x f +-=11ln 1)(的定义域是（ C ）． A ．),0()0,1()1,(+∞⋃-⋃--∞ B ．),0(+∞ C ．)1,0()0,1(⋃- D ．),0()0,1(+∞⋃- 2．下列函数为同一函数的是（ D ）． A．()f x =2()g x =B ．11)(2--=x x x f 与1)(+=x x g C ．2lg )(x x f =与x x g lg 2)(= D ．x x f =)(与()22()cos sin g x x x x =⋅+3．设⎪⎩⎪⎨⎧-+=1301)(x x x f 111<=>x x x ，则=→)(lim 1x f x （ B ）．A ． 0B ． 2C ． 3D ．不存在 4．下列函数在指定的变化过程中是无穷小量的是（ C ）． A ．ln (0)x x +→ B ．ln(1)(0)x x x+→C ．)1(sin →x xπ D ．2x - ()x →-∞5．下列极限正确的是（ A ）．A ．1lim sin 1x x x →∞=B ．01lim 1xx e x →⎛⎫+= ⎪⎝⎭C ．()1lim 1xx x e →∞+= D ．sin lim1x xx→∞=二.填空题（每小题3分，共15分）6．设)(x f 是定义在(,)-∞+∞上的奇函数，且当0>x 时，1)(-=x e x f ，则当0<x 时=)(x f 1xe --．7．设14()23xf x =+，则(0)f -=2．8．()()3582332lim(16)x x x x →∞-+=-3535882332321lim 6194416x x x x →∞⎛⎫⎛⎫-⋅+ ⎪ ⎪⋅⎝⎭⎝⎭=-=-⎛⎫- ⎪⎝⎭．9．23lim cos 1x x x x →∞=+0． 10．设当0→x 时，x 4cos 1-与x ax 2sin ⋅是等价无穷小，则常数=a 4．三．计算题（每小题7分，共56分）11．求21132limx xx -+-→．解： )32)(1)(1()3(4lim132lim121x x x x x x x x +++-+-=-+-→→ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（4分） )32)(1(1lim1x x x +++=→ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（5分）81=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（7分） 12．求)lim x xx →+∞．解：)lim x xx →+∞=limx ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（3分）limx →+∞=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（5分） 21=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（7分）13．求2262sin sin 1lim 2sin 3sin 1x x x x x π→+--+．解： 2262sin sin 1lim 2sin 3sin 1x x x x x π→+--+1(sin 1)(2sin 1)lim (sin 1)(2sin 1)x x x x x →+-=--．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（4分） 1sin 1limsin 1x x x →+=-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（5分）1123112+==--．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（7分） 14．设()f x 是x 的三次多项式，已知24()()lim lim 124x x f x f x x x →→==--．试求3()lim 3x f x x →-．解：24()()limlim 124x x f x f x x x →→==-- ⇒ (2)(4)0f f == 由于()f x 是x 的三次多项式，()f x 必含有(2)x -与(4)x -的因式，故可设()(2)(4)()f x A x x x a =---，A 、a 均为待定的常数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（3分）由 2()lim12x f x x →=- ⇒ 2(2)(4)()l i m 2(2)12x A x x x a A a x →---=-=- 由4()lim14x f x x →=- ⇒ 4(2)(4)()l i m 2(4)14x A x x x a A a x →---=-=- ⇒ 12A =，3a = ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（5分） 331(2)(4)(3)()12lim lim 332x x x x x f x x x →→---∴==---．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（7分） 15．求22arctan lim (1)(2)x x x x x x →+∞+⋅++．解：22arctan lim (1)(2)x x x x x x →+∞+⋅++=22arctan lim (1)(2)(1)(2)x x x x x x x x →+∞⎡⎤⋅+⎢⎥++++⎣⎦ ．．．．．．．．．．．．．．(2分) 22arctan lim lim(1)(2)(1)(2)x x x x xx x x x →+∞→+∞⋅=+++++ ．．．．．．．．．．．．．．．(4分) 2= ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（7分）16．求3lim 1xx x x →∞+⎛⎫⎪+⎝⎭．解：3lim 1x x x x →∞+⎛⎫ ⎪+⎝⎭3331lim 11xx x x x →∞⎡⎤⎛⎫⎢⎥+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=⎛⎫+ ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(4分) 32e e e== ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（7分） 17．已知21lim 01x x ax b x →∞⎛⎫+--= ⎪+⎝⎭，试求a ，b ．解：221(1)()(1)11x a x a b x b ax b x x +--++---=++．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(3分) 由已知，必须且只需10a -=及0a b +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(6分)解之得1a =，1b =-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（7分）18．求30tan sin limsin x x xx→-．解：30tan sin lim sin x x x x →-30tan sin lim x x xx →-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(2分)20s i n1c o s l i m c o sx x x x x x →-⎛⎫=⋅⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(4分) 2201sin 2lim cos x x x x x x →⎛⎫ ⎪=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(6分) 12=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（7分）四、综合题（第19题9分，第20题10分） 19．设数列{}n a 、{}n b 满足1n n n b a a -=-，1,2,3,n =，如果00a =，11a =，且{}n b 是公比为2的等比数列，12n n s a a a =+++，试求limnn ns a →∞．解：1101b a a =-={}n b 是公比为2的等比数列，11122n n n b b --∴=⋅=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(2分) ⇒ 112n n n a a ---=⇒ 1210122221n n n n a a a -=-=++++=-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(5分) ()11112121nnnnkkn k k k k k s a ======-=-∑∑∑∑()()2122211122n n n +=+++-+++=--．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(7分)122lim lim 221n n n n n ns na +→∞→∞--∴==-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(9分) 20．设14x =，1(1,2,)n x n +==，证明数列{}n x 极限存在，并求其极限．证明：（1）证明{}n x 有下界：14x =3>．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(1分) 假设3>n x ，⇒3332321=+⋅>+=+n n x x ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(4分) （2）证明{}n x单调下降：1n n n x x x +-=0=< ⇒ n n x x <+1．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(7分) （3）根据极限存在准则，得到数列{}n x 极限存在．设a x n n =∞→lim ，由321+=+n n x x ，两边取极限得到32+=a a ⇒ 0322=--a a ⇒ 3=a ，1-=a （舍去）⇒ 3l i m ==∞→a x n n ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(10分)。

[理学]东华理工高等数学IA练习册答案

第一章函数与极限§1 函数一.是非判断题√ ╳ √ ╳ √二、单项选择题A B A三、填空题1、22()y x y +-2、[)(]1236.-　，，3、[]f f x x x x ()=+<-≥-⎧⎨⎩4222，；，　四、 2()1()116log 16f x x x x x x x x ϕ-∞<<⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩的反函数:，；，；，．五、()1x f x x =+ 六、10()()210121x x f x x x x x x ϕ+<⎧⎪+=+≤<⎨⎪≥⎩，　；，；，．§2 数列的极限一是非判断题╳ ╳ ╳ ╳ √ √ 二．单项选择题B D B B§3 函数的极限一是非判断题√ ╳ ╳ ╳ ╳二．单项选择题C D C C四、极限)(lim 0x x ϕ→不存在. §4无穷小与无穷大1、是非题√ ╳ √ √二．单项选择题C CD C D B C三、l i m ()x x v x →=00 §5 极限的运算法则一、是非题╳╳√二、单项选择题D A三、计算下列极限0 1/2 2 1/5 3/2四、 4,5a b ==-§6极限存在准则，两个重要极限一、是非题√╳╳╳╳二．单项选择题D B A B A C D C D B C三．计算下列极限（1）2 （2）3 （3） 1e -. (4) 2e§7无穷小的比较一、是非题√╳╳√╳二、单项选择题B AC C C C D三、2=n§8 函数的连续性与间断点一．是非题√╳√√╳╳二．单项选择题A C A A C A CBC C三、判断下列函数在指定点处的间断点的类型，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使其连续。

（1）x =2是函数的第二类间断点; x =1是函数的第一类间断点, 并且是可去间断点. 在x =1处, 令y =-2, 则函数在x =1处成为连续的.(2) x =k π(k ≠0)是第二类间断点; x =0和2ππ+=k x (k ∈Z) 是第一类间断点且是可去间断点. 令y |x =0=1, 则函数在x =0处成为连续的;令2 ππ+=k x 时, y =0, 则函数在2ππ+=k x 处成为连续的. 四、讨论函数x x x x f nnn 2211lim )(+-=∞→的连续性, 若有间断点, 判别其类型. 解 ⎪⎩⎪⎨⎧<=>-=+-=∞→1|| 1|| 01|| 11lim )(22x x x x x x x x x f n n n . x =-1为函数的第一类不可去间断点.x =1为函数的第一类不可去间断点.§9 连续函数的运算与初等函数的连续性一．是非题√√╳√╳二．单项选择题A A C D三、 1p = 1q =.四、求下列极限（1）2（2）32e -.（3）1/2(4) 3abc .§10 闭区间上连续函数的性质一．是非题╳√√╳√╳二．单项选择题A B C A C D第二章导数与微分§1 导数的概念一、是非判断题：×√××√二．单项选择题C D A C A C三、下列各题中均假定)(0x f '存在，按照导数的定义观察，A 表示什么？（1）A= )(0x f '-（2）A= )0(f '（3）A= )(20x f '四、在x =0处连续 , 可导, 且y '(0)=0.五、a =2, 此时b =-1.六、()f a '=()g a七、-4§2 函数的求导法则一．是非题×√× × ×××二．单项选择题B BC BD A三、求下列函数在给定点处的导数（1）])0(['f =0，x x x f 52)5(3)(2+-='， 253)0(='f , 1517)2(='f (2) θθθθθθθθρcos sin 21sin 21cos sin +=-+=d d , 42(1)42d d πθρπθ==+ 四、求下列函数的导数（1）'=++y x xl n l n 2222 （2）'=+++-⋅y x x s c e x x x x c o ss i n c s c c s c c o t 22 （3）'=--+y x x l n s e c 31122 （4）'=++y e x x x xx 312(c o s s i n )l n （5）222)tan 1(sec )cot 1()tan 1(csc x x x x x y -++--=' （6）'=+⋅⋅-⋅-⋅⋅y x x x x x xx x x s e c s e ct a n l n l n 12222五、求下列函数的导数（1）22233236)6()3(x x x xe x e x e y ----=-⋅='-⋅='（2）y ')3sin 63(cos 213sin 33cos 21222x x e x e x e xx x +-=--=---. （3）1||)1()1(11)1()1(1122222-=---='--='x x x x x x x y （4）222sin 2cos 212sin 22cos xx x x x x xx y -=⋅-⋅⋅=' （5） y '2222221)]2(211[1x a x x a x a x +=++⋅++=（6） 1ln ln(ln )y x x x '=⋅ （7）)1(2)1(1)1()1()1(1111)11(11112x x x x x x xx x x x x y -+-=+--+-⋅+--='+-⋅+--=' （8）x x x x x x x xy csc 212sec 2tan 1)2(2sec 2tan 1)2(tan 2tan 122=⋅⋅='⋅⋅='⋅=' 六、设)(x f 可导，求dx dy（1）y '=f '(x 2)⋅(x 2)'= f '(x 2)⋅2x =2x ⋅f '(x 2).（2）y '=sin 2x [f '(sin 2x )- f '(cos 2x )].§3 高阶导数一、单项选择题B C A B D二、求下列函数的二阶导数1． -2e -t cos t .2．xx x x x x x x y ++-=+⋅+-='⋅+⋅+-=''1)1()12211)1(1122222 四、2)]([)()()()(x f x f x f x f x f y ''-''=''22)]([)]([)()(x f x f x f x f '-''= 五、]2)1(2sin[21)(π⋅-+=-n x y n n . 六 )50()49(4950)48(4850)48(250)49(1150)50()50( v u v u C v u C v u C v u C v u y ⋅+⋅'+⋅''⋅⋅⋅+''⋅+'⋅+⋅= )50()49(4950)48(4850v u v u C v u C ⋅+⋅'+⋅''=)2sin 2(2cos 22502sin 22249505024928x x x x x -⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅= )2sin 212252cos 502sin (2250x x x x x ++-=. 七、 [])1()1()()1()2(!)1(+-+-----=n n n n x x n y§4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数一．是非题×√二单项选择题B D A三．求由下列方程所确定的隐函数的导数dx dy （1） xy y y -='. (2) y x y x e x y e y ++--='. (3) y '=e y +x e y y ',ye y e xe ey y y y y -=--=-='2)1(11, 3222)2()3()2()3()2()()2(y y e y y y e y y e y y e y y y y y --=-'-=-'---'=''. 四、用对数求导法则求下列函数的导数（1）]111[ln )1(xx x x x y x ++++=' （2） ]1534)2(21[)1()3(254+--+++-+='x x x x x x y 五、dy dx t t t t =++=11211222，dy d x t t t t t222223121214=-⋅+=-+ 六、所求切线方程为)22(22--=x y , 即0222=-+y x ; 所求法线方程为)22(221---=x y , 即0142=--y x . 七、4=dt dV (m 3/min), 因此 πππ2516425442=⋅=⋅=dt dV h dt dh (m/min).§5 函数的微分一、是非题√√× ×二、单项选择题D A B B三、将适当的函数填入下列括号内，使等式成立（1） d ( 2x+c )=2dx (2) d ( ln (x +1) +c )=dx x+11 (3) d( c x +2 )=dx x1 (4) d ( 212x e c --+ )=dx e x 2- (5) d ( c wx w +-cos 1 )=wxdx sin (6) d ( 1t a n 33x c + )=2sec 3xdx 四、下列函数的微分1． dx x x x dx x x dx x dx y dy 22221||)12()1(11)1(arcsin --=--⋅--='-='= 2． dy = ()()()()1ln ln f x e f x f x f x dx x ⎡⎤''+⎢⎥⎣⎦3． dy =dx xxy x y xy y ln ln 22-- 第三章中值定理与导数应用§1 中值定理一、是非判断题××√√×√二．单项选择题C B C C §2 洛比达法则一．是非题√√√××二．单项选择题A D C三求下列极限1．3321323lim 12x x x x x x →-+=--+2．2lim 11x arctgx x π→+∞-=56 20ln 21limln 2x tg x tg x →+=7 3(1)2(1)lim x x x x e e x→+∞+-+=+∞ 8 1lim (1)1x x x e →∞-= 9 lim [ln(2)ln ]2x x x x →+∞+-= 10 0111lim[]ln(1)2x x x →-=+11 1lim ln ln(1)0x x x -→-= 12 0lim 1tgxx x +→=13 1111lim xx xe-→= 14 10lim(1sin )x x x e →+=§3 泰勒公式一．是非题 ×√ ×二．单项选择题 B B三、 )1(!3)1()1(!2)1()1)(1()1(132⋅⋅⋅++-'''++-''++-'+-=x f x f x f f x1)1()()1()!1()()1(!)1(++++++-+n n nn x n f x n fξ 12132)1()]1(1[)1(])1( )1()1()1(1[++++++--+++⋅⋅⋅+++++++-=n n n nx x x x x x θ (0<θ<1).四 ])2[()2(!)2( )2(!3)2()2(!2)2()2)(2()2(ln )(32n n n x o x n f x f x f x f f x -+-+⋅⋅⋅+-'''+-''+-'+= ])2[()2(2)1( )2(231)2(221)2(212ln 13322n n nn x o x n x x x -+-⋅-+⋅⋅⋅--⋅+-⋅--+=-.五、 4523)(cos 3]2)()[sin sin(31tan x x x x x x x θθθ+++=(0<θ<1). 六、 112-七、34=a , 31-=b . 5阶无穷小.§4 函数的单调性与曲线的凹凸性一、是非题 ×× √ × × × × × × 二单选题 D A B D D A D B四、确定下列函数的单调区间(1)函数在（-∞,-1]和[3, +∞)内单调增加, 在[-1, 3]内单调减少.(2) 函数在)2 ,(a -∞, ]32 ,2(a a , (a , +∞)内单调增加, 在) ,32[a a内单调减少.五、求下列函数的拐点及凹或凸的区间(1).曲线在]35 ,(-∞内是是凸的, 在) ,35[∞+内是凹的, 拐点为)2720,35(.(2)曲线在(-∞, -1]和[1, +∞)内是凸的, 在[-1, 1]内是凹的, 拐点为(-1, ln2)和(1, ln2).七、 a =1, b =-3, c =-24, d =16.§5 函数的极值与最值一是非题 ×× × √ × √ × √ 二．单选题 B A B B B A C C 三求下列函数的极值 1. -47为极小值 2.20510为极大值 3. 1ee 为极大值 4. 无极值四极大值.,3五求函数的最大值与最小值 1.最大值为80,最小值为-5 2. 最大值为5/4, 最小值为65- 六. 1x =七 . 宽为5米, 长为10米八 33,222V V r h ππ== 1:1 §6 函数图形的描绘一是非题 ×√ × √ 二选择题 A D C§7 曲率一是非题 ×√ × 二单选题 B B 三 12,2K ρ==四 023s i n (2)K a t =第四章不定积分 § 4-1 不定积分的概念与性质一．填空题1．原函数不定积分 _ 2．积分曲线 3．211x-4．74+-=x y 5． c x x x +--cos tan 三．是非判断题 √ × × √三．单项选择题 B B C C B A 四．计算题1. 258333363258x x x C -++ 2.2333ln(9)x xe C e + 3. 4cos cot x x C -++ 4.1(tan )2x x C ++5. 8()334278ln 3ln 3x xC -+ 6. 3tan 2arcsin arc x x C -+7. tan sec x x C -+ 8. 2arcsin 1x x C --+ 五、(1) 27 (2) 7.11s 六、30,()31cos ,0.x c x F x x c x ⎧+≤⎪=⎨⎪-+>⎩§4-2 换元积分法一、填空题1.a 1 2. 713. 214. 1015. 21-6. 91-7. 218. 2-9. c e x +--2241 10. c x+-)13sin(311. 5112. 51-13. c t ++-)cos(1ϕωω15． c x+1a r c s i n 16.c b ax F a++)(1二．是非判断题 × √ √ √ × ×三．单项选择题 B C B C A C C C四、计算题1． 2311(23)124x C -+ 2 . 21(ln )2x C +3.4. 2cotx C -+5. 21x e C -+-+6.7.ln(1)x x e C -++8.1sin 3arctan 33x C -+ 9.1(ln sin )ln ln sin ln sin d x x C x =+⎰10.2222111sin arctan(sin )21(sin )2d x x C x =++⎰ 11.12.13.14.15.16.17.18. ()2ln11xe x C +--+五、2() 1.f x x =+六、2sin 2()().1sin 414xf x F x x x '==-+§4-3 分部积分法一．单项选择题A A D DB A B二．计算题1、2、2sin 2cos 2sin x x x x C +-+3、4、2111cot 2sin 2x x C x --+ 5、6、22(arcsin )21arcsin 2x x x x x C +--+7、8、(cosln sinln )2x x x C ++9、10、43111sec tan tan 4124x x x x C --+ §4-4 有理函数的积分一．单项选择题 A D BC A B C B C B 二．计算题1、2、2ln 310x x C +-+3、 13ln 12ln 2ln 322x x x C -+++-++ 4、211ln 121x C x --+++ 5、6、21ln ln 12x x C -++7、2222122ln ||arctan(21)arctan(21)84421x x x x C x x +++++-+-+ 8、 2211321ln |1|ln(1)arctan 2233x x x x C +++-+++ 9、 2tan122arctan 33x C ++. 10、ln 1tan 2x C ++ 11、 22sin 1(1)sec tan cos cos x dx x x x C x x-+=-++⎰ 12、21arctansin 2x C + 13、2111cos 3cos4cos212168x x x C --+ 14、 23333(1)313ln(11)2x x x C +-+++++. 15、4424ln(1)x x x C -+++.16、 111l n ||2a r c t a n 111x xx C x x x --+-+++-++. 第五章定积分§5-1 定积分的概念与性质一、填空题1． dx x ⎰12． 0 ， 0 。

2013年普通高等学校招生统一考试数学试题、参考答案(江苏)

数学Ⅰ试题参考公式:样本数据x 1,x 2, ,x n 的方差s 2=1n ∑n i =1x i -x ()-2,其中x -=1n ∑n i =1x i .棱锥的体积公式:V =13Sh ,其中S 是锥体的底面积,h 为高.棱柱的体积公式:V =Sh ,其中S 是柱体的底面积,h 为高.(第5题)一㊁填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答㊃题卡相应位置上∙∙∙∙∙∙∙.1.函数y =3sin(2x +π4)的最小正周期为　▲　.2.设z =(2-i)2(i 为虚数单位),则复数z 的模为　▲　.3.双曲线x 216-y 29=1的两条渐近线的方程为　▲　.4.集合{-1,0,1}共有　▲　个子集.5.右图是一个算法的流程图,则输出的n 的值是　▲　.6.抽样统计甲㊁乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位:环),结果如下:运动员第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为　▲　.7.现有某类病毒记作X m Y n ,其中正整数m ,n (m ≤7,n ≤9)可以任意选取,则m ,n 都取到奇数的概率为　▲　. (第8题)8.如图,在三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中,D ,E ,F 分别是AB ,AC ,AA 1的中点.设三棱锥F -ADE 的体积为V 1,三棱柱A 1B 1C 1-ABC 的体积为V 2,则V 1∶V 2=　▲　.9.抛物线y =x 2在x =1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D (包含三角形内部与边界).若点P (x ,y )是区域D 内的任意一点,则x +2y 的取值范围是　▲　.10.设D ,E 分别是ΔABC 的边AB ,BC 上的点,AD =12AB ,BE =23BC.若→DE =λ1→AB +λ2→AC (λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为　▲　.11.已知f (x )是定义在R 上的奇函数.当x >0时,f (x )=x 2-4x ,则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为　▲　.12.在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),右焦点为F ,右准线为l ,短轴的一个端点为B.设原点到直线BF 的距离为d 1,F 到l 的距离为d 2.若d 2=6d 1,则椭圆C 的离心率为　▲　.13.在平面直角坐标系xOy 中,设定点A (a ,a ),P 是函数y =1x (x >0)图象上一动点.若点P ,A 之间的最短距离为22,则满足条件的实数a 的所有值为　▲　.14.在正项等比数列{a n }中,a 5=12,a 6+a 7=3.则满足a 1+a 2+ +a n >a 1a 2 a n 的最大正整数n 的值为　▲　.二㊁解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答㊃题卡指定区域∙∙∙∙∙∙内作答,解答时应写出文字说明㊁证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)已知向量a =(cos α,sin α),b =(cos β,sin β),0<β<α<π.(1)若a -b =2,求证:a ⊥b;(第16题)(2)设c =(0,1),若a +b =c ,求α,β的值.16.(本小题满分14分)如图,在三棱锥S -ABC 中,平面SAB ⊥平面SBC ,AB ⊥BC ,AS =AB.过A 作AF ⊥SB ,垂足为F ,点E ,G 分别是棱SA ,SC 的中点.求证:(1)平面EFG ∥平面ABC ;(2)BC ⊥SA.17.(本小题满分14分)(第17题)如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A (0,3),直线l :y =2x -4.设圆C 的半径为1,圆心在l 上.(1)若圆心C 也在直线y =x -1上,过点A 作圆C 的切线,求切线的方程;(2)若圆C 上存在点M ,使MA =2MO ,求圆心C 的横坐标a 的取值范围.18.(本小题满分16分)如图,游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ,另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ,然后从B 沿直线步行到C.现有甲㊁乙两位游客从A 处下山,甲沿AC 匀速步行,速度为50m/min .在甲出发2min 后,乙从A 乘缆车到B ,在B 处停留1min (第18题)后,再从B 匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130m/min,山路AC 长为1260m,经测量,cos A =1213,cos C =35.(1)求索道AB 的长;(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?19.(本小题满分16分)设{a n }是首项为a ,公差为d 的等差数列(d ≠0),S n 是其前n 项的和.记b n =nS n n 2+c ,n ∈N *,其中c 为实数.(1)若c =0,且b 1,b 2,b 4成等比数列,证明:S nk =n 2S k (k ,n ∈N *);(2)若{b n }是等差数列,证明:c =0.20.(本小题满分16分)设函数f (x )=ln x -ax ,g (x )=e x -ax ,其中a 为实数.(1)若f (x )在(1,+¥)上是单调减函数,且g (x )在(1,+¥)上有最小值,求a 的取值范围;(2)若g (x )在(-1,+¥)上是单调增函数,试求f (x )的零点个数,并证明你的结论.数学Ⅰ试题参考答案一㊁填空题:本题考查基础知识㊁基本运算和基本思想方法.每小题5分,共计70分.1.π 2.5 3.y =±34x 4.8 5.3 6.2 7.2063 8.1∶24 9.[-2,12]10.12 11.(-5,0)∪(5,+¥) 12.33 13.-1,10 14.12二㊁解答题15.本小题主要考查平面向量的加法㊁减法㊁数量积㊁三角函数的基本关系式㊁诱导公式等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力.满分14分.解:(1)由题意得a -b 2=2,即(a -b )2=a 2-2a ㊃b +b 2=2.又因为a 2=b 2=a 2=b 2=1,所以2-2a ㊃b =2,即a ㊃b =0,故a ⊥b .(2)因为a +b =(cos α+cos β,sin α+sin β)=(0,1),所以cos α+cos β=0,sin α+sin β=1{,由此得,cos α=cos(π-β),由0<β<π,得0<π-β<π,又0<α<π,故α=π-β.代入sin α+sin β=1得,sin α=sin β=12,而α>β,所以α=5π6,β=π6.16.本小题主要考查直线与直线㊁直线与平面以及平面与平面的位置关系,考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分.(第16题)证明:(1)因为AS =AB ,AF ⊥SB ,垂足为F ,所以F 是SB 的中点.又因为E 是SA 的中点,所以EF ∥AB.因为EF ⊄平面ABC ,AB ⊂平面ABC ,所以EF ∥平面ABC.同理EG ∥平面ABC.又EF ∩EG =E ,所以平面EFG ∥平面ABC.(2)因为平面SAB ⊥平面SBC ,且交线为SB ,又AF ⊂平面SAB ,AF ⊥SB ,所以AF ⊥平面SBC ,因为BC ⊂平面SBC ,所以AF ⊥BC.又因为AB ⊥BC ,AF ∩AB =A ,AF ,AB ⊂平面SAB ,所以BC ⊥平面SAB.因为SA ⊂平面SAB ,所以BC ⊥SA.17.本小题主要考查直线与圆的方程,考查直线与直线㊁直线与圆㊁圆与圆的位置关系等基础知识,考查运用数形结合㊁待定系数法等数学思想方法分析解决问题的能力.满分14分.(第17题)解:(1)由题设,圆心C 是直线y =2x -4和y =x -1的交点,解得点C (3,2),于是切线的斜率必存在.设过A (0,3)的圆C 的切线方程为y =kx +3,由题意,3k +1k 2+1=1,解得k =0或-34,故所求切线方程为y =3或3x +4y -12=0.(2)因为圆心在直线y =2x -4上,所以圆C 的方程为(x -a )2+[y -2(a -2)]2=1.设点M (x ,y ),因为MA =2MO ,所以x 2+(y -3)2=2x 2+y 2,化简得x 2+y 2+2y -3=0,即x 2+(y +1)2=4,所以点M 在以D (0,-1)为圆心,2为半径的圆上.由题意,点M (x ,y )在圆C 上,所以圆C 与圆D 有公共点,则2-1≤CD ≤2+1,即1≤a 2+(2a -3)2≤3.由5a 2-12a +8≥0,得a ∈R ;由5a 2-12a ≤0,得0≤a ≤125.所以点C 的横坐标a 的取值范围为0,12éëêêùûúú5.18.本小题主要考查正余弦定理㊁二次函数的最值以及三角函数的基本关系㊁两角和的正弦等基础知识,考查数学阅读能力和分析解决实际问题的能力.满分16分.解:(1)在△ABC 中,因为cos A =1213,cos C =35,所以(第18题)sin A =513,sin C =45.从而sin B =sin[π-(A +C )]=sin(A +C )=sin A cos C +cos A sin C =513×35+1213×45=6365.由正弦定理AB sin C =AC sin B ,得AB =AC sin B ×sin C =12606365×45=1040(m).所以索道AB 的长为1040m .(2)假设乙出发t 分钟后,甲㊁乙两游客距离为d ,此时,甲行走了(100+50t )m,乙距离A 处130t m,所以由余弦定理得d 2=(100+50t )2+(130t )2-2×130t ×(100+50t )×1213=200(37t 2-70t +50),因0≤t ≤1040130,即0≤t ≤8,故当t =3537(min)时,甲㊁乙两游客距离最短.(3)由正弦定理BC sin A =AC sin B ,得BC =AC sin B ×sin A =12606365×513=500(m).乙从B 出发时,甲已走了50×(2+8+1)=550(m),还需走710m 才能到达C.设乙步行的速度为v m /min,由题意得-3≤500v -71050≤3,解得125043≤v ≤62514,所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在125043,625éëêêùûúú14(单位:m /min)范围内.19.本小题主要考查等差㊁等比数列的定义㊁通项㊁求和等基础知识,考查分析转化能力及推理论证能力.满分16分.解:由题设,S n =na +n (n -1)2 d.(1)由c =0,得b n =S n n =a +n -12d.又因为b 1,b 2,b 4成等比数列,所以b 22=b 1b 4,即(a +d 2)2=a (a +32d ),化简得d 2-2ad =0.因为d ≠0,所以d =2a.因此,对于所有的m ∈N *,有S m =m 2a.从而对于所有的k ,n ∈N *,有S nk =(nk )2a =n 2k 2a =n 2S k .(2)设数列b {}n 的公差是d 1,则b n =b 1+(n -1)d 1,即nS n n 2+c =b 1+(n -1)d 1,n ∈N *,代入S n 的表达式,整理得,对于所有的n ∈N *,有(d 1-12d )n 3+(b 1-d 1-a +12d )n 2+cd 1n =c (d 1-b 1).令A =d 1-12d ,B =b 1-d 1-a +12d ,D =c (d 1-b 1),则对于所有的n ∈N *,有An 3+Bn 2+cd 1n =D. (*)在(*)式中分别取n =1,2,3,4,得A +B +cd 1=8A +4B +2cd 1=27A +9B +3cd 1=64A +16B +4cd 1,从而有7A +3B +cd 1=0,　①19A +5B +cd 1=0,②21A +5B +cd 1=0,{③由②,③得A =0,cd 1=-5B ,代入方程①,得B =0,从而cd 1=0.即d 1-12d =0,b 1-d 1-a +12d =0,cd 1=0.若d 1=0,则由d 1-12d =0,得d =0,与题设矛盾,所以d 1≠0.又因为cd 1=0,所以c =0.20.本小题主要考查导数的运算及利用导数研究函数的性质,考查函数㊁方程及不等式的相互转化,考查综合运用数学思想方法分析与解决问题及推理论证能力.满分16分.解:(1)令f ′(x )=1x -a =1-ax x <0,考虑到f (x )的定义域为(0,+¥),故a >0,进而解得x >a -1,即f (x )在(a -1,+¥)上是单调减函数.同理,f (x )在(0,a -1)上是单调增函数.由于f (x )在(1,+¥)上是单调减函数,故(1,+¥)⊆(a -1,+¥),从而a -1≤1,即a ≥1.令g′(x )=e x -a =0,得x =ln a.当x <ln a 时,g′(x )<0;当x >ln a 时,g′(x )>0.又g (x )在(1,+¥)上有最小值,所以ln a >1,即a >e .综上,有a ∈(e,+¥).(2)当a ≤0时,g (x )必为单调增函数;当a >0时,令g′(x )=e x -a >0,解得a <e x ,即x >ln a ,因为g (x )在(-1,+¥)上是单调增函数,类似(1)有ln a ≤-1,即0<a ≤e -1.结合上述两种情况,有a ≤e -1.(ⅰ)当a =0时,由f (1)=0以及f ′(x )=1x >0,得f (x )存在唯一的零点;(ⅱ)当a <0时,由于f e ()a =a -a e a =a (1-e a )<0,f ()1=-a >0,且函数f (x )在e a ,[]1上的图象不间断,所以f (x )在(e a ,1)上存在零点.另外,当x >0时,f ′(x )=1x -a >0,故f (x )在(0,+¥)上是单调增函数,所以f (x )只有一个零点.(ⅲ)当0<a ≤e -1时,令f ′(x )=1x -a =0,解得x =a -1.当0<x <a -1时,f ′(x )>0,当x >a -1时,f ′(x )<0,所以,x =a -1是f (x )的最大值点,且最大值为f a ()-1=-ln a -1.①当-ln a -1=0,即a =e -1时,f (x )有一个零点x =e .②当-ln a -1>0,即0<a <e -1时,f (x )有两个零点.实际上,对于0<a <e -1,由于f e ()-1=-1-a e -1<0,f a ()-1>0,且函数f (x )在[e -1,a -1]上的图象不间断,所以f (x )在(e -1,a -1)上存在零点.另外,当x ∈(0,a -1)时,f ′(x )=1x -a >0,故f (x )在(0,a -1)上是单调增函数,所以f (x )在(0,a -1)上只有一个零点.下面考虑f (x )在(a -1,+¥)上的情况.先证f (e a -1)=a (a -2-e a -1)<0.为此,我们要证明:当x >e 时,e x >x 2.设h (x )=e x -x 2,则h′(x )=e x -2x ,再设l (x )=h′(x )=e x -2x ,则l′(x )=e x -2.当x >1时,l′(x )=e x -2>e-2>0,所以l (x )=h′(x )在(1,+¥)上是单调增函数.故当x >2时,h′(x )=e x -2x >h′(2)=e 2-4>0,从而h (x )在(2,+¥)上是单调增函数,进而当x >e 时,h (x )=e x -x 2>h (e)=e e -e 2>0.即当x >e 时,e x >x 2.当0<a <e -1,即a -1>e 时,f (e a -1)=a -1-a e a -1=a (a -2-e a -1)<0,又f (a -1)>0,且函数f (x )在[a -1,e a -1]上的图象不间断,所以f (x )在(a -1,e a -1)上存在零点.又当x >a -1时,f ′(x )=1x -a <0,故f (x )在(a -1,+¥)上是单调减函数,所以f (x )在(a -1,+¥)上只有一个零点.综合(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ),当a ≤0或a =e -1时,f (x )的零点个数为1,当0<a <e -1时,f (x )的零点个数为2.数学Ⅱ(附加题)21.【选做题】本题包括A ㊁B ㊁C ㊁D 四小题,请㊃选定其中两小题∙∙∙∙∙∙∙,并㊃在相应的答题区域内作答∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明㊁证明过程或演算步骤.(第21-A 题)A.[选修4-1:几何证明选讲](本小题满分10分)如图,AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ,C ,AC 经过圆心O ,且BC =2OC.求证:AC =2AD.B.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵A =-10éëêùûú02,B =12éëêùûú06,求矩阵A -1B.C.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为x =t +1,y =2{t (t 为参数),曲线C 的参数方程为x =2tan 2θ,y =2tan {θ(θ为参数).试求直线l 和曲线C 的普通方程,并求出它们的公共点的坐标.D.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分)已知a ≥b >0,求证:2a 3-b 3≥2ab 2-a 2b.【必做题】第22题㊁第23题,每题10分,共计20分.请在答㊃题卡指定区域∙∙∙∙∙∙内作答,解答时应(第22题)写出文字说明㊁证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)如图,在直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中,AB ⊥AC ,AB =AC =2,A 1A =4,点D 是BC 的中点.(1)求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值;(2)求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值.23.(本小题满分10分)设数列{a n }:1,-2,-2,3,3,3,-4,-4,-4,-4, ,(-1)k -1k , ,(-1)k -1ìîíïïïïïïïïk k 个, ,即当(k -1)k 2<n ≤k (k +1)2(k ∈N *)时,a n =(-1)k -1k.记S n =a 1+a 2+ +a n (n ∈N *).对于l ∈N *,定义集合P l ={n S n 是a n 的整数倍,n ∈N *,且1≤n ≤l }.(1)求集合P 11中元素的个数;(2)求集合P 2000中元素的个数.数学Ⅱ(附加题)参考答案21.【选做题】A.[选修4-1:几何证明选讲]本小题主要考查圆的切线性质㊁相似三角形判定与性质,考查推理论证能力.满分10分.证明:连结OD.因为AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ,C,(第21-A 题)所以∠ADO =∠ACB =90°.又因为∠A =∠A ,所以Rt ΔADO ∽Rt ΔACB.所以BC OD =AC AD .又BC =2OC =2OD ,故AC =2AD.B.[选修4-2:矩阵与变换]本小题主要考查逆矩阵㊁矩阵的乘法,考查运算求解能力.满分10分.解:设矩阵A 的逆矩阵为a b éëêùûúc d ,则-10éëêùûúa b éëêùûúc d =10éëêùûú,即-a -b éëêùûúd =10éëêùûú,故a =-1,b =0,c =0,d =12,从而A 的逆矩阵为A -1=-100éëêêêùûúúú12,所以A -1B =-100éëêêêùûúúú1212éëêùûú06=-1-2éëêùûú03.C.[选修4-4:坐标系与参数方程]本小题主要考查参数方程与普通方程的互化以及直线与抛物线的位置关系等基础知识,考查转化问题的能力.满分10分.解:因为直线l 的参数方程为x =t +1,y =2{t (t 为参数),由x =t +1得t =x -1,代入y =2t ,得到直线l 的普通方程为2x -y -2=0.同理得到曲线C 的普通方程为y 2=2x.联立方程组y =2(x -1),y 2=2x {,解得公共点的坐标为(2,2),(12,-1).D.[选修4-5:不等式选讲]本小题主要考查利用比较法证明不等式,考查推理论证能力.满分10分.证明:2a 3-b 3-(2ab 2-a 2b )=2a (a 2-b 2)+b (a 2-b 2)=(a 2-b 2)(2a +b )=(a -b )(a +b )(2a +b ).因为a ≥b >0,所以a -b ≥0,a +b >0,2a +b >0,从而(a -b )(a +b )(2a +b )≥0,即2a 3-b 3≥2ab 2-a 2b.22.【必做题】本小题主要考查异面直线㊁二面角㊁空间向量等基础知识以及基本运算,考查运用空间向量解决问题的能力.满分10分.(第22题)解:(1)以A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ,则A (0,0,0),B (2,0,0),C (0,2,0),D (1,1,0),A 1(0,0,4),C 1(0,2,4),所以A 1→B =(2,0,-4),C 1→D =(1,-1,-4).因为cos〈A 1→B ,C 1→D 〉=A 1→B ㊃C 1→D A 1→B C 1→D =1820×18=31010,所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为31010.(2)设平面ADC 1的法向量为n 1=(x ,y ,z ),因为→AD =(1,1,0),AC →1=(0,2,4),所以n 1㊃→AD =0,n 1㊃AC →1=0,即x +y =0且y +2z =0,取z =1,得x =2,y =-2,所以,n 1=(2,-2,1)是平面ADC 1的一个法向量.取平面AA 1B 的一个法向量为n 2=(0,1,0),设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ.由cos θ=n 1㊃n 2n 1n 2=29×1=23,得sin θ=53.因此,平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为53.23.【必做题】本小题主要考查集合㊁数列的概念和运算㊁计数原理等基础知识,考查探究能力及运用数学归纳法的推理论证能力.满分10分.解:(1)由数列a {}n 的定义得a 1=1,a 2=-2,a 3=-2,a 4=3,a 5=3,a 6=3,a 7=-4,a 8=-4,a 9=-4,a 10=-4,a 11=5,所以S 1=1,S 2=-1,S 3=-3,S 4=0,S 5=3,S 6=6,S 7=2,S 8=-2,S 9=-6,S 10=-10,S 11=-5,从而S 1=a 1,S 4=0×a 4,S 5=a 5,S 6=2a 6,S 11=-a 11,所以集合P 11中元素的个数为5.(2)先证:S i (2i +1)=-i (2i +1)(i ∈N *).事实上,①当i =1时,S i (2i +1)=S 3=-3,-i (2i +1)=-3,故原等式成立;。

2013-2014高等数学A(1)_A卷答案

π 和 y 轴所围成的图形绕 y 轴所围成的图形 2
π
六 (7 分) 求由曲线 y = arcsin x (0 ≤ x ≤ 1) ， y = 绕 y 轴旋转的旋转体体积. 解： Vy = π
∫
π 2
0
sin ydy = π ∫
2
π 2
0
2 1 − cos 2 y 1 ⎡1 ⎤2 π . dy = π ⎢ y − sin 2 y ⎥ = 2 4 ⎣2 ⎦0 4
−1 0
−1
−1
0
t 0 dt = [t − 2 ln(2 + t ) ]−1 = 1 − 2 ln 2 . 2+t
三、计算下列各题. (每小题 6 分，满分 24 分) 1.
∫ x( x
1
2
+ 1)
dx . (拆项) 解： ∫
1 1 x dx = ∫ ( − 2 )dx = ln | x | − ln( x 2 + 1) + C . x( x + 1) x x +1 2
x − 1 ln x = 0 ； f (1) = 0 ；
因 f (1 ) = f (1 ) = f (1) ，故 f ( x) 在 x = 1 处连续. (2) f −′(1) = lim −
x →1
−
+
−1 − ln x f ( x) − f (1) 1 − x ln x x = lim = = = 0； lim lim 1 x →1− x →1− x −1 x −1 1 − x x →1− − 2 1 −x
∫
四 (7 分) 试分析函数 f ( x ) = | x − 1| ln x ， ( x > 0) 在 x = 1 处的连续性和可导性(说明理由). 解：(1) f (1 ) = lim f ( x) = 1 − x ln x = 0 ； f (1 ) = lim f ( x) = − +

东华大学样题及答案(finished)

东华大学高等数学实验试题A考试时间：90分钟（附参考解答）班级学号姓名得分上机考试说明：1. 开考前可将准备程序拷到硬盘, 开考后不允许用移动盘，也不允许上网；2. 领座考生试卷不同，开卷，可利用自己备用的书和其他资料，但不允许讨论，也不允许借用其他考生的书和资料。

3. 解答(指令行，答案等)全部用笔写在考卷上。

一、计算题（60分）要求：写出M 函数（如果需要的话）、MATLAB 指令和计算结果。

1．解线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=+--=-+=-+14235231543421431321x x x x x x x x x x x 并求系数矩阵的行列式。

指令行：A=[5 1 -1 0;1 0 3 -1;-1 -1 0 5;0 0 2 4];b=[1;2;3;-1];x=A\b,d=det(A) 结果：x 1=1.4, x 2= -5.9, x 3=0.1, x 4= -0.3. 行列式=70.设 f(x,y) = 4 sin (x 3y)，求 3,22==∂∂∂y x y x f 。

2．指令行：syms x y; f=diff(4*sin(x^3*y),x); f=diff(f,y); f=subs(f,x,2); f=subs(f,y,3) 结果：1063.63．求方程 3x 4+4x 3-20x+5 = 0 的所有解。

指令行：roots([3 4 0 –20 5]) 结果：-1.5003 - 1.5470i, -1.5003 + 1.5470i, 1.4134, 0.2539matlab 求导命令diff 调用格式:diff(函数) ，求的一阶导数；diff(函数， n) ，求的n 阶导数(n 是具体整数)；diff(函数，变量名)，求对的偏导数；diff(函数，变量名，n) ，求对的n 阶偏导数；在符号表达式或矩阵中进行符号替换SyntaxR = subs(S)R = subs(S, new)R = subs(S, old, new)R = subs(S, old, new) 利用new 的值代替符号表达式中old 的值，old 为符号变量或是字符串变量名。

东华大学参考答案2012-2013几何与多元微积分A(上)_A卷

1 ⎛ 7 14 ⎞ ，故交点为 ⎜ ,3, ⎟ ； 3 3⎠ ⎝3
sin ϕ =
4、设 a = 解：
π (1,1,2) ⋅ (2,−1,1) 1 = ，夹角为 . 6 2 (1,1,2) ⋅ (2,−1,1)
G G G K G G G π 3 , b = 1 ， a , b 的夹角为，求以 a + 2b 与 a − 3b 为邻边的平行四边形的面积. 6
x
， Fy = xz +
z x2 + y2 + z2
x2 + y2 + z2
， Fx = xy +
z x2 + y2 + z2
Fx (1,0,−1) =
1 2
， Fy (1,0,−1) = −1 ， Fz (1,0,−1) = −
1 2
∂z ∂x
=−
(1, 0 , −1)
Fx ∂z = 1， ∂y Fz
(−1) n (n + 1) 2 n +1 解：设 s ( x ) = ∑ x (2n + 1)! n=0
∫
x
0
s ( x)dx = ∑ =
(−1) n (n + 1) x 2 n + 2 (2n + 1)! (2n + 2) n=0
∞
x ∞ (−1) n x 2 n +1 x = sin x ∑ 2 n =0 (2n + 1)! 2
所以 f ( x, y ) 在(0,0)点连续. (2)可微性： f x (0,0) = lim
Δx →0
f (Δx,0) − f (0,0) Δx
= lim
Δx sin Δx 2 Δx 3 Δx Δx

东华大学2013-2014几何与多元微积分A(上)_A卷

东华大学2013----2014学年第二学期试卷 A 卷踏实学习，弘扬正气；诚信做人，诚实考试；作弊可耻，后果自负。

课程名称几何与多元微积分A (上) 使用专业_____全校各专业________教师班号姓名_____ ____学号_______ __考试教室一二三四五六七总分试题得分一、填空题（每小题4分，共32分）1、收敛级数1n ∞=∑的和= 。

2、级数111(1)n n n n∞+=−−∑ （绝对收敛，条件收敛，发散）。

3、设则(1,1,4),(2,0,2),a b =−=− a b i = ；和夹角的余弦为 a b 。

(,)(4,3)1lim 1x y x y x y →≠+−−4、= 。

5、直线,2,1x t y t z t==−+=+22,3,56和x s y s z s =+=+=+的交点为，这两条直线确定的平面方程为。

22(1)1z x y ⎧⎪=⎨−+=⎪⎩6、曲线的参数方程为。

7、设幂级数在1(1)n nn a x ∞=−∑1x =−条件收敛，则该幂级数的收敛半径为。

8、已知向量(2,3,6),(1,2,2)a b =−= −共一起点，c 在沿a 与b 所成的角平分线上，且长为= c 。

二、解答下列各题（每题7分，共35分）1、求点到直线(3,1,4)−4,33,53x t y t z t =−=+=−+的距离。

2、证明函数(,)f x y =当时极限不存在。

(,)(0,0)x y →3、已知二元函数(1)ln(1x y zxe x y +)=+++，计算全微分(1,0)dz4、设22(,y z f x y )x =+，求（1）z x ∂∂（2）2z x y ∂∂∂，其中f 具有连续的二阶偏导数。

x 展开成x 的幂级数并求()(0)n f 5、将函数()arctan f x =三、（8分）（1）求幂级数11n n n ∞=∑的收敛域及和函数；（2）求常数项级数11(1)n n n +∞=−∑的和。

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东华大学 2013----2014 学年第一学期试卷A 卷
踏实学习，弘扬正气；诚信做人，诚实考试；作弊可耻，后果自负。

课程名称高等数学（1）使用专业卓越工程师计划相关专业教师班号姓名学号考试教室
一．填空题（每小题 4分，总计 40 分）
1、222111lim(1)(1)(1)23n n
→∞-
-⋅⋅⋅-= 。

2、计算31lim()31x x x x →∞+-= 。

3、计算n = 。

4、设x
y x =,则=dy 。

5、设()y f x y =+,其中f 二阶可导,则y '= 。

6、设()()(ln )f x g x f x e =, f 一阶可导，求(1)g '= 。

7、求曲线sin
,2cos x t t
y t
=+⎧⎨=-⎩在1=t 点处的法线方程。

8、曲线y shx =的拐点的横坐标是。

9、曲线211
x x y x --=-的渐近线有。

10、()x f x xe =按x 的幂展开的n 次泰勒多项式。

二．选择题（每小题 3分，总计18分）
1、下列判断是错误的[ ]
（A ）两个无穷小量之和仍是无穷小量；（B ）两个无穷大量之和仍是无穷大量；
（C ）两个无穷小量之积仍是无穷小量；（D ）两个无穷大量之积仍是无穷大量；
2、当0x →是x 的[ ]
（A ）等价无穷小；（B ）同阶无穷小；
（C ）高阶无穷小；（D ）低阶无穷小；
3、已知()x φ在x a =处连续,则下列函数在x a =处不可导的是[ ]
（A ）()()x a x φ-；（B ）()x a x φ-；
（C ）()()x a x φ-；（D ）2()()x a x φ-；
4、0x =是1121arctan 01()0
2x x e x x e f x x π--⎧-≠⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩ 的[ ]间断点. （A ）可去间断点；（B ）无穷间断点；
（C ）跳跃间断点；（D ）振荡间断点；
5、若()f x 为可导的偶函数,则曲线()y f x =在任一点(,)x y 和点(,)x y -处的切
线斜率[ ]
（A ）彼此相等；（B ）互为相反数；
（C ）互为倒数；（D ）不能确定其关系。

6、设1)
()()(lim 2-=--→a x a f x f a x ，则[ ] （A ）x a =为)(x f 的极大值点；（B ）x a =为)(x f 的极小值点；
（C ）x a =为)(x f 的驻点,但不是极值点；（D ）以上都不对。

三．解答下列各题（每小题5分，总计15 分）
1
、求0x x →
2、求函数23
()(25)f x x x =-的单调区间。

3、设函数253x y +=，求()n y 。

四、（8分）设22(cos 1)0(),10a x x f x x
ax bx x -⎧<⎪=⎨⎪++≥⎩
当,a b 取何值时, ()f x 在(,)-∞+∞内处处可导?
五、（7分）一个公司一天能制造x 百个A 级轮胎和y 百个B 级轮胎,其中04
x ≤≤且40105x y x
-=-, A 级轮胎的利润是B 级轮胎利润的2倍。

为获得最大利润每类轮胎应各制造多少?
2.236≈)
六、（7分）直径为8米的一球形铁球被一层均匀的冰所覆盖。

如果冰以103/米分的速率融化,当冰层厚为2米时冰层的厚度衰减会有多快?
七、（5分）设函数)(x f 在闭区间[-1,1]上连续,在开区间(-1,1)内可导,且有(1)1f -=,(1)1f =-试证明存在(1,1)ξ∈-,使[()]()()f f f ξξξξξ'+=-.。