高等数学下试题及参考答案华南农业大学精选
高数(下学期)试卷及参考答案
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2010--2011学年第2学期 考试科目： 高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业一、单项选择题（本大题共５小题，每小题３分，共１５分）１．与三坐标轴夹角均相等的单位向量为 （ ）Ａ．(1,1,1) Ｂ．111(,,)333 Ｃ． Ｄ．111(,,)333--- ２．设lnxz y=，则11x y dz ===（ ）Ａ．dy dx - Ｂ．dx dy - Ｃ．dx dy + Ｄ．0３．下列级数中收敛的是 （ ）Ａ．1n ∞= Ｂ．1n ∞= Ｃ．113n n ∞=∑ Ｄ．113n n ∞=∑４．当||1x <时，级数11(1)n n n x ∞-=-∑是 （ ）Ａ．绝对收敛 Ｂ．条件收敛 Ｃ．发散 Ｄ．敛散性不确定 ５．设函数()p x ，()q x ，()f x 都连续，()f x 不恒为零，1y ，2y ，3y 都是()()()y p x y q x y f x '''++=的解，则它必定有解是 （ ）Ａ．123y y y ++ Ｂ．123y y y +- Ｃ．123y y y -- Ｄ．123y y y ---二、填空题（本大题共５小题，每小题３分，共１５分） １．微分方程''6'90y y y -+=的通解为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．２．设有向量(4,3,1)a →=，(1,2,2)b →=-，则2a b →→-＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿． ３．过点(1,1,0)-且与平面32130x y z +--=垂直的直线方程是＿＿＿＿＿＿． ４．设2cos()z xy =，则zy∂∂＝＿＿＿＿＿＿＿． ５．设L 为曲线2y x =上从点(0,0)到点(1,1)的一线段，则32(2)Lx y dx +⎰＿＿＿．三、计算题（本大题共７小题，每小题6分，共４2分） １．求微分方程2(12)(1)0x y dx x dy +++=的通解．２．设22()xyz x y =+，求z x ∂∂及2z x y∂∂∂．３．判断级数23112123!10101010nn ⋅⋅⋅+++++的敛散性．４．设一矩形的周长为2，现让它绕其一边旋转，求所得圆柱体体积为最大时矩形的面积及圆柱体的体积．５．将函数2()x f x xe -=展开成x 的幂级数，并确定其收敛域．６．设(,)z z x y =是由方程2z x y z e +-=确定的隐函数，求全微分dz .７．计算二重积分cos Dydxdy y⎰⎰，其中D是由y =y x =围成的区域．四、解答题（本大题共4小题，每小题７分，共２8分） １．计算曲线积分22(2)()Lxy x dx x y dy -++⎰，其中L 是由曲线2y x =和2y x =所围成的区域的正向边界曲线．２．计算二重积分Dσ⎰⎰，其中区域D 由221x y +≤，0x ≥及0y ≥所确定．３．设()u f xyz =，(0)0f =，(1)1f '=，且3222()ux y z f xyz x y z ∂'''=∂∂∂，试求u 的表达式．４．计算曲面积分=++，I xdydz ydzdx zdxdy)∑其中∑为上半球面z=参考答案一、选择题（本大题共５小题，每小题３分，共１５分） １．Ｃ ２．Ｂ ３．Ｃ ４．Ａ ５．Ｂ 二、填空题（本大题共５小题，每小题３分，共１５分） １．312()x y C C x e =+ ２．(7,8,0) ３．11321x y z+-==- ４．22sin()xy xy - ５．710三、计算题（本大题共７小题，每小题６分，共４２分） １．求微分方程2(12)(1)0x y dx x dy +++=的通解． 解：21112x dx dy x y=-++⎰⎰．．．．．．．．．．（１分） 221111(1)(12)21212d x d y x y+=-+++⎰⎰．．．．．．．．．（５分）2ln(1)ln |12|ln x y C +=-++，即2(1)(12)x y C ++=．．．．．．（６分） ２．设22()xyz x y =+，求z x ∂∂及2z x y∂∂∂．解：设v z u =，22u x y =+，v xy =．．．．．．．．．．（１分）22222222()(ln())xyz z u z v x y x y y x y x u x v x x y∂∂∂∂∂=+=+++∂∂∂∂∂+．．．．．．．．．．（３分） 243342222222222(2)()[(21ln())ln()]()xy z x x y y x y xy xy x y x y x y x y ∂++=++++++∂∂+．（６分） ３．判断级数23112123!10101010nn ⋅⋅⋅+++++的敛散性．解：11(1)!10lim lim !10n n n n n nu n u n ρ++→∞→∞+==．．．．．．．．．．（３分） 1lim10n n →∞+==∞．．．．．．．．．．．（５分）所以级数发散．．．．．．．．（６分）４．设一矩形的周长为2，现让它绕其一边旋转，求所得圆柱体体积为最大时矩形的面积及圆柱体的体积．解：设矩形两边长分别为,x y ．则1x y +=，假设绕长度为y 的一边旋转，则圆柱体体积为2V x y π=．．．．．．．．．．．．（２分）作拉氏函数2(,,)(1)F x y x y x y λπλ=++-．．．．．．．．（３分） 解方程组22001xy x x y πλπλ+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩．．．．．．．．．．．．．．．．（４分） 得可能的极值点21(,)33．．．．．．．．．．．．．．（５分）由题意知道其一定是所求的最值点，所以最大体积为427π，对应面积为29．．．．．．．．．．（６分） ５．将函数2()x f x xe -=展开成x 的幂级数，并确定其收敛域．解：因为212!!n xx x e x n =+++++ ．．．．．．．（１分）所以2221(1)222!2!xnnn x x x en -=-+++-+⋅⋅ ．．．．．．．．．．（３分）23112211()(1)(1)222!2!2(1)!x n nnn n n n x x x x f x xex n n +∞---===-+++-+=-⋅⋅⋅-∑（５分）收敛域为(,)-∞+∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．（６分）６．设(,)z z x y =是由方程2z x y z e +-=确定的隐函数，求全微分dz . 解：2(,,)z F x y z x y z e =+--．．．．．．．．（１分） 1,2,1z x y z F F y F e ===--．．．．．．．．．．．（３分） 所以12,11y x z zz z F F z z yx F e y F e∂∂=-==-=∂+∂+．．．．．．．．．（５分） 故1(2)1z z z dz dx dy dx ydy x y e∂∂=+=+∂∂+．．．．．．．．．．（６分） ７．计算二重积分cos Dydxdy y ⎰⎰，其中D 是由y =y x =围成的区域．解：积分区域为：2{(,)|01,}D x y y y x y =≤≤≤≤．．．．．．．．（１分）210cos cos y y Dyy dxdy dy dx y y =⎰⎰⎰⎰．．．．．．．．．．（３分） 1(1)cos y ydy =-⎰．．．．．．．．．．．．（５分） 1cos1=-．．．．．．．．．（６分）四、解答题（本大题共４小题，每小题７分，共２８分） １．计算曲线积分22(2)()Lxy x dx x y dy -++⎰，其中L 是由曲线2y x =和2y x =所围成的区域的正向边界曲线． 解：22(2)()(12)LDxy x dx x y dy x d σ-++=-⎰⎰⎰．．．．．．（２分）212)xdx x dy =-⎰．．．．．．．．（４分） 1312322(22)x x x x dx =--+⎰．．．．．．．．（６分）130=．．．．．．（７分） ２．计算二重积分Dσ⎰⎰，其中区域D 由221x y +≤，0x ≥及0y ≥所确定．解：'DD σθ=．．．．．．．．．．（２分）12d πθ=⎰⎰．．．．．．．．．．．．（４分） 224d ππθ-=⎰．．．．．．（６分）＝(2)8ππ-=．．．．．．．．．（７分）３．设()u f xyz =，(0)0f =，'(1)1f =，且3222()ux y z f xyz x y z ∂'''=∂∂∂，试求u 的表达式．解：22(),()()u u yzf xyz zf xyz xyz f xyz x x y∂∂''''==+∂∂∂1.5CM3222()3()()uf xyz xyzf xyz x y z f xyz x y z∂''''''=++∂∂∂．．．．．．．．（２分） 因为3222()u x y z f xyz x y z∂'''=∂∂∂，所以()3()0f xyz xyzf xyz '''+=令xyz t =，得3()()0tf t f t '''+=．．．．．．（４分）解之得113311(),(1)1,1,()由得所以f t C t f C f t t --'''====．．．．．（５分）解得22332233(),(0)0,0,()22由得所以f t t C f C f t t =+===．．．．．（６分）即233()()2u f xyz xyz ==．．．．．．．（７分）４．计算曲面积分)I xdydz ydzdx zdxdy ∑=++，其中∑为上半球面z = 解：因为在曲面∑上a ，所以()I a xdydz ydzdx zdxdy ∑=++⎰⎰．．．．．．．．．．（１分）补曲面2221{(,,)|0,}x y z z x y a ∑==+≤，1∑取下侧．．．．．．．．．．（２分） 由高斯公式得1()I a xdydz ydzdx zdxdy ∑+∑=++⎰⎰＝342(111)323a dv a a a ππΩ++=⨯=⎰⎰⎰．．（４分）而1)xdydz ydzdx zdxdy ∑++100Dzdxd y dxdy ∑===．．．．．．．（６分）故)I xdydz ydzdx zdxdy ∑=++＝114()()2a xdydz ydzdx zdxdy a π∑+∑∑-++=⎰⎰⎰⎰．．．．．．．（７分）。
2011高等数学下试卷及答案
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2010--2011学年第2学期 考试科目： 高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业一、单项选择题（本大题共５小题，每小题３分，共１５分）１．与三坐标轴夹角均相等的单位向量为 （ ）Ａ．(1,1,1) Ｂ．111(,,)333 Ｃ． Ｄ．111(,,)333--- ２．设lnxz y=，则11x y dz ===（ ）Ａ．dy dx - Ｂ．dx dy - Ｃ．dx dy + Ｄ．0３．下列级数中收敛的是 （ ）Ａ．1n ∞= Ｂ．1n ∞= Ｃ．113n n ∞=∑ Ｄ．113n n∞=∑４．当||1x <时，级数11(1)n n n x ∞-=-∑是 （ ）Ａ．绝对收敛 Ｂ．条件收敛 Ｃ．发散 Ｄ．敛散性不确定 ５．设函数()p x ，()q x ，()f x 都连续，()f x 不恒为零，1y ，2y ，3y 都是()()()y p x y q x y f x '''++=的解，则它必定有解是（ ）（今年不作要求）Ａ．123y y y ++ Ｂ．123y y y +- Ｃ．123y y y -- Ｄ．123y y y ---二、填空题（本大题共５小题，每小题３分，共１５分）１．微分方程''6'90y y y -+=的通解为＿＿＿＿＿．（今年不作要求） ２．设有向量(4,3,1)a →=，(1,2,2)b →=-，则2a b →→-＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿． ３．过点(1,1,0)-且与平面32130x y z +--=垂直的直线方程是＿＿＿＿＿＿． ４．设2cos()z xy =，则zy∂∂＝＿＿＿＿＿＿＿． ５．设L 为曲线2y x =上从点(0,0)到点(1,1)的一线段，则32(2)Lx y dx +⎰＿＿＿．三、计算题（本大题共７小题，每小题6分，共４2分） １．求微分方程2(12)(1)0x y dx x dy +++=的通解．２．设22()xyz x y =+，求z x ∂∂及2z x y∂∂∂．３．判断级数23112123!10101010nn ⋅⋅⋅+++++的敛散性．４．设一矩形的周长为2，现让它绕其一边旋转，求所得圆柱体体积为最大时矩形的面积及圆柱体的体积．５．将函数2()x f x xe -=展开成x 的幂级数，并确定其收敛域． ６．设(,)z z x y =是由方程2z x y z e +-=确定的隐函数，求全微分dz. ７．计算二重积分cos Dydxdy y⎰⎰，其中D 是由y y x =围成的区域．四、解答题（本大题共4小题，每小题７分，共２8分） １．计算曲线积分22(2)()Lxy x dx x y dy -++⎰，其中L 是由曲线2y x =和2y x =所围成的区域的正向边界曲线． ２．计算二重积分Dσ⎰⎰，其中区域D 由221x y +≤，0x ≥及0y ≥所确定．３．设()u f xyz =，(0)0f =，(1)1f '=，且3222()ux y z f xyz x y z ∂'''=∂∂∂，试求u 的表达式．（今年不作要求）４．计算曲面积分)I xdydz ydzdx zdxdy ∑=++，其中∑为上半球面z =（今年不作要求）参考答案一、选择题（本大题共５小题，每小题３分，共１５分） １．Ｃ ２．Ｂ ３．Ｃ ４．Ａ ５．Ｂ 二、填空题（本大题共５小题，每小题３分，共１５分） １．312()x y C C x e =+ ２．(7,8,0) ３．11321x y z+-==- ４．22sin()xy xy - ５．710三、计算题（本大题共７小题，每小题６分，共４２分） １．求微分方程2(12)(1)0x y dx x dy +++=的通解． 解：21112x dx dy x y =-++⎰⎰．．．．．．．．．．（１分） 221111(1)(12)21212d x d y x y+=-+++⎰⎰．．．．．．．．．（５分） 2ln(1)ln |12|ln x y C +=-++，即2(1)(12)x y C ++=．．．．．．（６分） ２．设22()xyz x y =+，求z x ∂∂及2zx y∂∂∂．解：设v z u =，22u x y =+，v xy =．．．．．．．．．．（１分）22222222()(ln())xy z z u z v x y x y y x y x u x v x x y∂∂∂∂∂=+=+++∂∂∂∂∂+．．．．．．．．．．（３分）243342222222222(2)()[(21ln())ln()]()xy z x x y y x y xy xy x y x y x y x y ∂++=++++++∂∂+．（６分） ３．判断级数23112123!10101010n n ⋅⋅⋅+++++的敛散性．解：11(1)!10lim lim !10n n n n n nu n u n ρ++→∞→∞+==．．．．．．．．．．（３分） 1lim10n n →∞+==∞．．．．．．．．．．．（５分）所以级数发散．．．．．．．．（６分）４．设一矩形的周长为2，现让它绕其一边旋转，求所得圆柱体体积为最大时矩形的面积及圆柱体的体积．解：设矩形两边长分别为,x y ．则1x y +=，假设绕长度为y 的一边旋转，则圆柱体体积为2V x y π=．．．．．．．．．．．．（２分）作拉氏函数2(,,)(1)F x y x y x y λπλ=++-．．．．．．．．（３分） 解方程组22001xy x x y πλπλ+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩．．．．．．．．．．．．．．．．（４分） 得可能的极值点21(,)33．．．．．．．．．．．．．．（５分）由题意知道其一定是所求的最值点，所以最大体积为427π，对应面积为29．．．．．．．．．．（６分） ５．将函数2()x f x xe -=展开成x 的幂级数，并确定其收敛域．解：因为212!!n xx x e x n =+++++ ．．．．．．．（１分）所以2221(1)222!2!xnnn x x x en -=-+++-+⋅⋅ ．．．．．．．．．．（３分）23112211()(1)(1)222!2!2(1)!x n nnn n n n x x x x f x xex n n +∞---===-+++-+=-⋅⋅⋅-∑（５分）收敛域为(,)-∞+∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．（６分）６．设(,)z z x y =是由方程2z x y z e +-=确定的隐函数，求全微分dz . 解：2(,,)z F x y z x y z e =+--．．．．．．．．（１分） 1,2,1z x y z F F y F e ===--．．．．．．．．．．．（３分） 所以12,11y x z z z z F F z z y x F e y F e ∂∂=-==-=∂+∂+．．．．．．．．．（５分） 故1(2)1zz z dz dx dy dx ydy x y e ∂∂=+=+∂∂+．．．．．．．．．．（６分） ７．计算二重积分cos Dydxdy y ⎰⎰，其中D 是由y =及y x =围成的区域． 解：积分区域为：2{(,)|01,}D x y y y x y =≤≤≤≤．．．．．．．．（１分）210cos cos y y Dyy dxdy dy dx y y =⎰⎰⎰⎰．．．．．．．．．．（３分） 1(1)cos y ydy =-⎰．．．．．．．．．．．．（５分） 1cos1=-．．．．．．．．．（６分）四、解答题（本大题共４小题，每小题７分，共２８分） １．计算曲线积分22(2)()Lxy x dx x y dy -++⎰，其中L 是由曲线2y x =和2y x =所围成的区域的正向边界曲线． 解：22(2)()(12)LDxy x dx x y dy x d σ-++=-⎰⎰⎰．．．．．．（２分） 212)xdx x dy =-⎰．．．．．．．．（４分） 1312322(22)x x x x dx =--+⎰．．．．．．．．（６分）130=．．．．．．（７分） ２．计算二重积分Dσ⎰⎰，其中区域D 由221x y +≤，0x ≥及0y ≥所确定． 解：'DD σθ=．．．．．．．．．．（２分）120d πθ=⎰⎰．．．．．．．．．．．．（４分） 224d ππθ-=⎰．．．．．．（６分）＝(2)8ππ-=．．．．．．．．．（７分）３．设()u f xyz =，(0)0f =，'(1)1f =，且3222()ux y z f xyz x y z ∂'''=∂∂∂，试求u 的表达式．解：22(),()()u u yzf xyz zf xyz xyz f xyz x x y∂∂''''==+∂∂∂3222()3()()uf xyz xyzf xyz x y z f xyz x y z∂''''''=++∂∂∂．．．．．．．．（２分） 因为3222()u x y z f xyz x y z∂'''=∂∂∂，所以()3()0f xyz xyzf xyz '''+=令xyz t =，得3()()0tf t f t '''+=．．．．．．（４分）解之得113311(),(1)1,1,()由得所以f t C t f C f t t --'''====．．．．．（５分）解得22332233(),(0)0,0,()22由得所以f t t C f C f t t =+===．．．．．（６分）即233()()2u f xyz xyz ==．．．．．．．（７分）４．计算曲面积分)I xdydz ydzdx zdxdy ∑=++，其中∑为上半球面z = 解：因为在曲面∑a ，所以()I a xdydz ydzdx zdxdy ∑=++⎰⎰．．．．．．．．．．（１分）补曲面2221{(,,)|0,}x y z z x y a ∑==+≤，1∑取下侧．．．．．．．．．．（２分） 由高斯公式得1()I a xdydz ydzdx zdxdy ∑+∑=++⎰⎰＝342(111)323a dv a a a ππΩ++=⨯=⎰⎰⎰．．（４分） 而111()00a xdydz ydzdx zdxdy azdxdy dxdy ∑∑∑++===⎰⎰⎰⎰⎰⎰．．．．．（６分）故)I xdydz ydzdx zdxdy ∑=++＝114()()2a xdydz ydzdx zdxdy a π∑+∑∑-++=⎰⎰⎰⎰．．．．．．．（７分）。
2017-2018学年高等数学期末试卷A及参考答案
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2017~2018学年第2学期 考试科目：高等数学B Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．设{3,1,1}=a,{2,0,1}=b ，则23-=a b .2．函数zy u x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在点(1,1,2)处的全微分为 ．3．设{(,)1}D x y x y =+≤，则二重积分(||)Dx y dxdy +=⎰⎰ ．4．幂级数21(1)2nn n n x +∞=-∑的收敛区间为 ．5．微分方程2(1)2x y xy '''+=满足初始条件(0)1,(0)3y y '==的特解为 ．二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．平面3380x y --=与z 轴的位置关系是（ ）A ．平行于z 轴；B ．垂直于z 轴；C ．斜交于z 轴；D ．包含z 轴．2．函数(3)zxy x y =--的极值点是（）（A ）(0,0)； （B ）(1,1)； （C ）(3,0)； （D ）(0,3) 3．2111(,)xdx f x y dy =⎰⎰ （ ）A ．12112(,)xdy f x y dx ⎰⎰； B ．2111(,)xd y f x y dx ⎰⎰；C ．12112(,)ydy f x y dx ⎰⎰； D ．2211(,)ydy f x y dx ⎰⎰．4．下列级数收敛的是 （ ）A ．11(2)n n n n +∞=++∑； B ．132nn n n +∞=⋅∑； C ．11ln n n n +∞=+∑； D．1n +∞=． 5．差分方程120t ty y +-=的通解为 （ ）A ．2t t y C =；B ．2t t y Ct =⋅；C ．12()2t t y C t C =+⋅；D ．12()2t t y t C t C =+⋅．三、计算题（本大题共6小题，每小题8分，共48分） 1. 求过点(2,0,2)-且与212:123x y z L --==垂直的平面方程．2. 设函数ln()z y xy =，求2z x y ∂∂∂及22zy ∂∂．3. 设2ln z u v =，32,yu x y v x=+=，求dz ．4．试将函数()lg f x x =展开成1x -的幂级数，并求展开式成立的区间．5．计算二重积分sin DyI dxdy y=⎰⎰，其中D 是由直线y x =及2y x =所围成的闭区域．6．设方程组dD Y dt αβ=+；dYY dtγ=，其中，()D D t =表示国民债务，()Y t 表示国民收入， 0,0,0αβγ>>>均为已知常数,若0(0)D D =，0(0)Y Y =，求()D t 和()Y t四、解答题（本大题共3小题，第1题 10分，第2、3题各6分，共 22 分） 1．某工厂生产甲、乙两种产品的日产量分别为x 件和y 件，总成本函数为22(,)1000812C x y x xy y =+-+ (元)。
华农高数下期末试卷
装订线华南农业大学期末考试试卷（A卷）2009~2010学年第2学期考试科目：高等数学AⅡ考试类型：（闭卷）考试考试时间：120 分钟学号姓名年级专业题号一二三四总分得分评阅人一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．微分方程'220y y x---=是（）A．齐次方程B．可分离变量方程C．一阶线性方程D．二阶微分方程2．过点(1,2,--且与直线25421x y z+-==-垂直的平面方程是（）A．4250x y z+-+=B．4250x y z++-= C．42110x y z+-+=D．42110x y z++-=3．设(,)ln()2yf x y xx=+，则(1,1)yf=（）A．0 B．13C．12D．24．若lim0nnu→∞=，则级数1nnu∞=∑（）A．可能收敛，也可能发散B．一定条件收敛C．一定收敛D．一定发散5．下列级数中发散的是（）A ．112nn∞=∑B．111(1)nn n∞-=-∑C．111n n n∞=+∑D．311(1)n n n∞=+∑得分装订线二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．微分方程"4'50y y y-+=的通解为____________________。
2．设有向量(4,3,0),(1,2,2)a b==-，则2a b+=____________________。
3．设有向量(1,1,0),a b==-，它们的夹角为θ，则c o sθ=____________________。
4．设xz y=，则dz=____________________。
5．设L是圆周229x y+=（按逆时针方向绕行），则曲线积分2(22)(4)Lxy y dx x x dy-+-⎰ 的值为____________________。
三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）1．已知arctanxzy=，求2,z zx x y∂∂∂∂∂。
高等数学下试卷及答案 2复习课程
2009高等数学下试卷及答案2仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2008--2009学年第2学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业一．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。
将答案写在横线上）1．微分方程"2'40y y y ++=的通解为_______________。
（今年不作要求）2．设y z x =，则dz = 。
3．设L 是圆周221x y +=，L 取逆时针方向,则2Lydx xdy +=⎰__________。
4．设0,||3,||1,||2a b c a b c ++====, 则a b b c c a ⋅+⋅+⋅= 。
5. 级数11(1)n n ∞-=-∑是____________级数(填绝对收敛,条件收敛或发散)。
二．单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。
） 1．过点(2,3,1)-且垂直于平面2310x y z +++=的直线方程是（ ）A ．231231x y z -++==B ．231231x y z -+-==-- C ．231231x y z -+-== D ．231231x y z ---==-仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢32．设22()z y f x y =+-，其中()f u 是可微函数,则zy∂=∂ （ ）A ．22'12()yf x y +-B ．22'12()yf x y --C ．2222'1()()x y f x y +--D ．222'1()y f x y -- 3．下列级数中收敛的是（ ）A．1n ∞= B ．11n nn ∞=+∑C ．112(1)n n ∞=+∑ D．1n ∞=4. 设Ｄ：4122≤+≤y x ，f 在D 上连续，则⎰⎰+Dd y x f σ)(22在极坐标系中等于（ ）Ａ. dr r rf ⎰21)(2π Ｂ. dr r rf ⎰212)(2πＣ. ⎰⎰-102202])()([2dr r f r dr r f r π Ｄ. ⎰⎰-12202])()([2dr r rf dr r rf π5.一曲线过点，且在此曲线上任一点),(y x M 的法线斜率ln xk y x=-，则此曲线方程为（ ）A. 21ln 22x y e=B. 21ln 21)2x y e =C. 21ln 212x y x e =+ D. 21ln 2x y e =三．计算题（本大题共6小题，每小题5分， 共30分）1．已知2sin()z y xy x =+，求z x ∂∂，2zx y∂∂∂。
11学年第二学期大学数学2试卷(A卷)-参考答案
2011-2012学年第 2 学期 大学数学Ⅱ 华南农业大学期末考试试卷（A 卷）-参考答案 一、1. 0.8； 2. 31e --； 3. 518； 4. 416 ； 5. )1(t ； 6. (4.412，5.588) 二、1. B 2. C 3. A 4. B 5. C 6. D 三、1. 解 设A =“任取一产品，经检验认为是合格品” B =“任取一产品确是合格品” 依题意()0.9,()0.1,()0.95,()0.02P B P B P A B P A B ==== （2分） 则（1）()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B =+0.90.950.10.020.857.=⨯+⨯=（5分）（2） ()(|)0.90.95(|)0.9977()0.857P B P A B P B A P A ⨯===. （8分） 2. 解 (1) 由2114a a -+=得1231().22舍去或a a ==- (3分) (2) X 的分布律为 (5分) (3) X 的分布函数为 0,10,111,12,1244()113,23,234241111,3,3424x x x x F x x x x x <⎧<⎧⎪⎪⎪≤<⎪≤<⎪⎪⎪==⎨⎨+≤<⎪⎪≤<⎪⎪⎪⎪≥++≥⎩⎪⎩ (8分)3. 解（1）111011{1}{11}12x x P X P X e dx e dx e ---<=-<<===-⎰⎰. (3分)（2）当0y ≤时，()()()20F y P Y y P X y =<=<=； (5分) 当0y >时，()()(20x x F y P X y P X dx dx --=<=<== (8分)所以2Y X =的密度函数为0,0()()0y f y F y y ≤⎧⎪'==>. (10分)4. 解 （1）因为随机变量X 与Y 相互独立， ( 1分)所以它们的联合密度函数为：3,03,0(,)()()0,y X Y e x y f x y f x f y -⎧≤≤>==⎨⎩其他(3分)（2）{}(,)y x P Y X f x y dxdy <<=⎰⎰3300[]x y edy dx -=⎰⎰ (6分) 330(1)x e dx -=-⎰3390181()333xx e e --=+=+()9183e -=+ (8分)（3）解：由密度函数可知~(0,3),~(3)X U Y E (10分) 所以，22(30)311(),(),12439D X D Y -==== (12分) 由X 与Y 相互独立，得3131()()()4936D X Y D X D Y -=+=+= (14分) 四、1. 解 检验假设 20:0.0004H σ=，21:0.0004H σ≠. （1分） 依题意，取统计量：222(1)~(1)n S n χχσ-=-，15n =. （3分） 查表得临界值：220.0252(1)(14)26.1n αχχ-==，220.97512(1)(14) 5.63n αχχ--==, （5分） 计算统计量的观测值得： 22140.02521.8750.0004χ⨯==. （6分） 因2220.9750.025(14)(14)χχχ<<，故接受原假设0H ，即认为总体方差与规定的方差无显著差异. （8分） 2. 解 (1)(2) 解 因为F =5.6681>0.01(3,16) 5.29F =，所以拒绝0H ，即认为不同的贮藏方法对粮食含水率的影响在检验水平0.01α=下有统计意义. (8分)3. 解 2.10=x ，239=y (2分)6.252.10101066221012=⨯-=-=∑=x n x l i i xx (3分)6622392.101025040101=⨯⨯-=-=∑=y x n y x l i i i xy (4分)故1662ˆ25.8625.6xy xx l l β==≈；01ˆˆ23925.8610.224.77y x ββ=-=-⨯=- (6分) 因此所求回归直线方程为 ˆ24.7725.86y x =-+ (8分)。
高等数学B-下册-历年考试题目及答案
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2004学年第2学期 考试科目 高等数学（经济类）考试类型：（闭卷） 考试时间： 120分钟学号 姓名 专业年级一、填空题（每空2分）1．设函数()f x 可微，若()()01,11,1lim2x f x f x x →+--=，则11x y fx==∂∂= 。
2．设(){}22,4D x y xy y =+≤，则(),Df x y dxdy ⎰⎰在极坐标系下的二次积分为。
3．()200sin limx y xy x→→= 。
4．级数1025n n +∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑= 。
5．设2x xy z y e =+，则()1,2z y∂∂= 。
6．320y y y '''-+=的通解为 。
7．设收益函数()260R x x x =-（元），当产量10x =时，其边际收益是 。
8. 差分方程12n n n y y n +-=⋅的通解为 。
9. 函数()sin 2x z e x y -=+在点04π⎛⎫⎪⎝⎭，处的全微分为 。
10. 若级数211p n n∞+=∑发散，则p ≤ 。
二、选择题（每题3分）1. 若lim 0n n u →∞=，则级数1n n u ∞=∑（ ）A 条件收敛B 发散C 不能确定D 收敛2. 设22D 14x y ≤+≤：，则二重积分Ddxdy ⎰⎰=（ ） A π B 4π C 3π D 15π3. 微分方程3xy y '+=满足条件()10y =的特解是（ ）()11313111A B x C D x x x ⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭4. 设点()00，是函数(),f x y 的驻点，则函数(),f x y 在()00，处（ ） A 必有极大值 B 可能有极值，也可能无极值 C 必有极小值 D 必无极值5. 若级数1n n u ∞=∑及1n n v ∞=∑都发散，则（ ）A()1nn n uv ∞=+∑必发散 B ()1n n n u v ∞=∑必发散C()1nn n uv ∞=+∑必发散 D ()221n n n u v ∞=+∑必发散三、计算题（每题8分） 1. ()arctan z xy =，求dz2. 设()22,z f x y xy =-，f 可微，求zx∂∂ 3. 求级数13nnn x n ∞=⋅∑的收敛域 4. 将函数()14f x x=-展开成()2x -的幂级数，并确定收敛区间 5. 求由抛物面225z x y =--与平面1z =所围成的立体的体积。
2010高等数学下试卷及答案
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2009~2010学年第2学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业一、 单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程'220y y x ---=是（ ）A ．齐次方程B ．可分离变量方程C ．一阶线性方程D ．二阶微分方程2．过点(1,2,--且与直线25421x y z +-==-垂直的平面方程是（ ）A ．4250x y z +-+=B ．4250x y z ++-=C ．42110x y z +-+=D ．42110x y z ++-= 3．设(,)ln()2yf x y x x=+，则(1,1)y f =（ ） A ．0 B ．13 C ．12D ．24．若lim 0n n u →∞=，则级数1n n u ∞=∑（ ）A ．可能收敛，也可能发散B ．一定条件收敛C ．一定收敛D ．一定发散5．下列级数中发散的是（ ）A ．112n n ∞=∑ B ．11(1)n n ∞-=-∑ C ．n ∞= D ．n ∞= 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．微分方程"4'50y y y -+=的通解为______。
（今年不作要求）2．设有向量(4,3,0),(1,2,2)a b ==-，则2a b +=____________________。
3．设有向量(1,1,0),a b ==-，它们的夹角为θ，则c o s θ=____________________。
4．设x z y =，则dz =____________________。
5．设L 是圆周229x y +=（按逆时针方向绕行），则曲线积分2(22)(4)Lxy y dx x x dy -+-⎰的值为____________________。
三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）1．已知arctan x z y =，求2,z z x x y∂∂∂∂∂。
2009高等数学下试卷及答案
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2008--2009学年第2学期 考试科目：高等数学A Ⅱ考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业一．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。
将答案写在横线上） 1．微分方程"2'40y y y ++=的通解为_______________。
（今年不作要求） 2．设y z x =，则dz = 。
3．设L 是圆周221x y +=，L 取逆时针方向,则 2Lydx xdy +=⎰Ñ__________。
4．设0,||3,||1,||2a b c a b c ++====u r, 则a b b c c a ⋅+⋅+⋅= 。
5. 级数1(1)n n ∞-=-∑是____________级数(填绝对收敛,条件收敛或发散)。
二．单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。
）1．过点(2,3,1)-且垂直于平面2310x y z +++=的直线方程是（ ）A ．231231x y z -++==B ．231231x y z -+-==-- C．231231x y z -+-== D ．231231x y z ---==- 2．设22()z y f xy =+-，其中()f u 是可微函数,则zy ∂=∂ （ ）A ．22'12()yf x y +-B ．22'12()yf x y --C ．2222'1()()x y f x y +--D ．222'1()y f x y -- 3．下列级数中收敛的是（ ）A ．1n ∞=B ．11n nn ∞=+∑C ．112(1)n n ∞=+∑D ．n ∞=4. 设Ｄ：4122≤+≤y x ，f 在D 上连续，则⎰⎰+Dd y x f σ)(22在极坐标系中等于（ ）Ａ. dr r rf ⎰21)(2π Ｂ. dr r rf ⎰212)(2πＣ. ⎰⎰-1222])()([2dr r f r dr r f r π Ｄ. ⎰⎰-1222])()([2dr r rf dr r rf π5. 一曲线过点，且在此曲线上任一点),(y x M 的法线斜率ln xk y x=-，则此曲线方程为（ ）A. 21ln 22x y e=B. 21ln 21)2x y e =C. 21ln 2122x y x e =+ D. 21ln 2x y e =三．计算题（本大题共6小题，每小题5分， 共30分）1．已知2sin()z y xy x =+，求z x∂∂，2z x y ∂∂∂。
高等数学下试题及参考答案
华南农业大学期末考试试卷〔A 卷〕2021~2021 学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：〔闭卷〕考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业〔估计不考或考的可能性比拟小的题目已删除〕一、填空题〔本大题共5小题，每题3分，共15分〕 1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。
2. 向量(,1,5)a λ=与向量(2,7,1)b =-垂直，则λ= 。
3．直线223314x y z -+-==-与平面3x y z ++=的夹角为 。
4．设2y z x =，则zy∂=∂ 。
5．当参数p 满足条件 时，级数111p n n∞+=∑收敛。
二、单项选择题〔本大题共5小题，每题3分，共15分〕1．微分方程2'cos y y x =的通解是 〔 〕A ．1sin y x C =-+ B ．1sin y x C =+C ．1sin y C x =-+D ．1sin y C x=+2．求极限(,)(0,2)sin()limx y xy x→= 〔 〕A ．1B ．2C ．不存在D ．y3．通过y 轴和点(3,2,1)--的平面方程为 〔 〕A ．30x y +=B ．30x z +=C ．30x z +=D ．30x y +=4．D 是由曲线221x y += 围成的闭区域，则3Ddxdy =⎰⎰ 〔 〕A ．πB ．3πC ．0D ．2π 5．级数2010(sin10)n n ∞=∑ 〔 〕A ．发散B ．条件收敛C ．绝对收敛D ．不能判定三、计算题〔本大题共7小题，每题7分，共49分〕'yy x y=+的通解。
1(1)nn n n x∞=+∑的和函数。
3．设由方程ln y zz x=确定隐函数(,)z z x y =，求全微分dz 。
4.求曲线积分3()Lx y ds +⎰，其中L 为连接点(1,0)及(0,1)的直线段。
5.计算22xy De dxdy --⎰⎰，其中222{(,)|}D x y x y a =+≤。
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华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2013~2014学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．微分方程'ln xy y y =的通解 。
2. 设有向量(4,3,0)a =r ，(1,2,2)b =-r ，则数量积a b ⨯=r r。
3．过点(-1,1,0)且与平面3+2-130x y z -=垂直的直线方程是 。
4．设2sin()z xy =，则zy∂=∂ 。
5．交换积分次序2220(,)y ydy f x y dx ⎰⎰ 。
二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．设L 为直线0,0,1x y x ===及1y =所围成的正方形边界，取正向，则322()()Lx xy dx x y dy +++⎰Ñ等于 （ ）A ．1-B ．1C ．12 D ．142．已知a i j k =++r r r r，则垂直于a r 且垂直于x 轴的单位向量是（ ）A ．()i k ±-r rB ．()2j k ±-r rC ．)2j k ±+r rD ．()2i j k ±-+r r r3．设ln z xy =（），则11x y dz===（ ）A ．dy dx -B ．dx dy +C ．dx dy -D ．04．对于级数1(1)np n n∞=-∑，有 （ ）A ．当1p >时条件收敛B ．当1p >时绝对收敛C ．当01p <≤时绝对收敛D ．当01p <≤时发散 5．设10(1,2,)n u n n≤<=L ，则下列级数中必定收敛的是 （ ）A ．1n n u ∞=∑ B ．1(1)nn n u ∞=-∑ C．1n ∞=D ．21(1)n n n u ∞=-∑三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1.计算二重积分arctanDyd xσ⎰⎰，其中D 是22{(,)10}x y x y y x +≤≤≤，。
2.设,f g 均为连续可微函数，(,)()u f x xy g x xy =+，求,u ux y∂∂∂∂。
3．设由方程z xyz e =确定隐函数(,)z z x y =，求全微分dz 。
4.判定级数12!nn n n n ∞=∑的敛散性。
5.使用间接法将函数24()4f x x=-展开成x 的幂级数，并确定展开式成立的区间。
6．求微分方程'cos yy x x x-=满足初始条件22x y ππ==-的特解。
7．计算二重积分Dσ⎰⎰，其中D是由曲线y =2y x =所围成的闭区域。
四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分） 1．L 是连接以(1,0)-为起点和(1,2)为终点的一条曲线，问当a 为何值时，曲线积分2322(6)(2)Lxy y dx a xy x y dy -+-⎰与积分路径无关，并计算此时的积分值。
2．要造一个容积等于定数k 的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，才能使它的表面积最小。
3．设()f x 在||1x <上有定义，在0x =某邻域有一阶连续的导数且0()lim 0x f x a x →=>，求证：（1）11()n f n ∞=∑发散；（2）-111()n n f n ∞=∑（-1）收敛。
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2013~2014学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ参考答案 一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．Cx y e = 2．(6,-8,-11) 3．11321x y z+-==- 4．22cos()xy xy 5．12(,)x dx f x y dy ⎰⎰二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．C 2．B 3．B 4．B 5．D三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1．计算二重积分arctanDyd xσ⎰⎰，其中D 是22{(,)10}x y x y y x +≤≤≤，。
解：在极坐标中D 为{(,)001}4r r πθθ≤≤≤≤，………………3分arctanDDyd rd dr x σθθ=⎰⎰⎰⎰………………5分 140d rdr πθθ=⎰⎰………………6分264π=………………7分2.设,f g 均为连续可微函数，(,)()u f x xy g x xy =+，求,u u x y∂∂∂∂。
解：'''12((,)(,))()(1)(,)()zf x xy yf x xyg x xy y f x xy g x xy x∂=+++++∂…4分''2(,)()(,)()uxf x xy g x xy xf x xy g x xy y∂=+++∂………………7分 3.设由方程z xyz e =确定隐函数(,)z z x y =，求全微分dz 。
解：设(,,)z F x y z xyz e =-………………1分,,z x y z F yz F xz F xy e ===-………………4分,y x z zz z F F z yz z xzx F e xy y F e xy∂∂=-==-=∂-∂-………………6分 ()zzdz ydx xdy e xy=+-………………7分 4.判定级数12!nn n n n ∞=∑的敛散性。
解：11112!lim lim 2(1)!n n n n n n n nu n n u n n ρ+++→∞→∞+==+()………………4分 11lim (1)122n n en →∞=+=<………………………………6分 所以级数14!nn n n n ∞=∑发散………………………………7分5.使用间接法将函数24()4f x x =-展开成x 的幂级数，并确定展开式成立的区间。
解:211(11)1x x x x =+++-<<-QL 211(11)1x x x x=-++-<<+L ………………1分24111()()421122f x x xx ==+--+………………3分242214162nn x x x =+++++L L ………………5分展开式成立的区间为(2,2)-………………7分 6.求微分方程'cos yy x x x-=满足初始条件22x y ππ==-的特解。
解：原方程化为'cos yy x x x-= 11()()(())(cos )dx dxp x dxp x dxx x y e Q x e dx C e x x e C --⎰⎰⎰⎰=+=⋅+⎰⎰………………2分(sin )x x C =+………………5分 由22x yππ==-，得2C =-，特解为(sin 2)y x x =-………………7分7.计算二重积分Dσ⎰⎰，其中D 是由曲线y 2y x =所围成的闭区域。
解：2{(,)|01,D x y x x y =≤≤≤≤………………2分210xDdx σ=⎰⎰⎰………………4分714402()3x x dx =-⎰………………5分 655=………………7分四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）4．1.L 是连接以(1,0)-为起点和(1,2)为终点的一条曲线，问当a 为何值时，曲线积分2322(6)(2)Lxy y dx a xy x y dy -+-⎰与积分路径无关，并计算此时的积分值。
解：令23226,(2)P xy y Q a xy x y =-=-，则22(4),123Q Pa y xy xy y x y∂∂=-=-∂∂………………2分 令Q Px y∂∂=∂∂，得3a =-，曲线积分与路径无关………………3分 选择路径1212:0(11),:1(02)L L L L y x L x y =+=-≤≤=≤≤，，………………5分 2232220(6)(2)3(2)4Lxyy dx a xy x y dy y y dy -+-=--=⎰⎰………………7分2.要造一个容积等于定数k 的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，才能使它的表面积最小。
解：设水池的长、宽、高分别为,,x y z ，水池的表面积为A ，则22,A xy xz yz xyz k =++=………………2分令22()F xy xz yz xyz k λ=+++-………………4分2020220x yz F y z yz F x z xz F x y xy xyz k λλλ=++=⎧⎪=++=⎪⎨=++=⎪⎪=⎩………………5分解得2x y z ===………………7分 3.设()f x 在||1x <上有定义，在0x =某领域有一阶连续的导数且0()lim 0x f x a x →=>，求证：（1）11()n f n ∞=∑发散；（2）-111()n n f n ∞=∑（-1）收敛。
解：因为0()lim0x f x a x →=>，所以当n 充分大后1()0f n>………………1分 又因为改变级数前面有限项不影响级数敛散性，所以可认为11()n f n ∞=∑是正项级数………………2分（1）因为01()()lim lim 01x n f f x n a xn→→+∞==>………………3分 11n n ∞=∑发散，所以11()n f n ∞=∑发散………………4分 （2）因为0()lim0x f x a x→=>，所以0lim ()0x f x →=又0lim ()(0)x f x f →=（连续），所以(0)0f =………………5分所以00()(0)()'(0)limlim 0x x f x f f x f a x x→→-===> 又'()f x 在0x =连续，得0lim ()(0)0x f x f a →''==>由极限性质得，当n 充分大时，1()f n单调递减………………5分又由0lim ()(0)x f x f →=得1lim ()0n f n→+∞=由莱布尼兹判别法得-111()n n f n ∞=∑（-1）收敛。
………………7分。