【华农期末复习卷】高数期末试题
高数(下学期)试卷及参考答案
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2010--2011学年第2学期 考试科目： 高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业一、单项选择题（本大题共５小题，每小题３分，共１５分）１．与三坐标轴夹角均相等的单位向量为 （ ）Ａ．(1,1,1) Ｂ．111(,,)333 Ｃ． Ｄ．111(,,)333--- ２．设lnxz y=，则11x y dz ===（ ）Ａ．dy dx - Ｂ．dx dy - Ｃ．dx dy + Ｄ．0３．下列级数中收敛的是 （ ）Ａ．1n ∞= Ｂ．1n ∞= Ｃ．113n n ∞=∑ Ｄ．113n n ∞=∑４．当||1x <时，级数11(1)n n n x ∞-=-∑是 （ ）Ａ．绝对收敛 Ｂ．条件收敛 Ｃ．发散 Ｄ．敛散性不确定 ５．设函数()p x ，()q x ，()f x 都连续，()f x 不恒为零，1y ，2y ，3y 都是()()()y p x y q x y f x '''++=的解，则它必定有解是 （ ）Ａ．123y y y ++ Ｂ．123y y y +- Ｃ．123y y y -- Ｄ．123y y y ---二、填空题（本大题共５小题，每小题３分，共１５分） １．微分方程''6'90y y y -+=的通解为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．２．设有向量(4,3,1)a →=，(1,2,2)b →=-，则2a b →→-＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿． ３．过点(1,1,0)-且与平面32130x y z +--=垂直的直线方程是＿＿＿＿＿＿． ４．设2cos()z xy =，则zy∂∂＝＿＿＿＿＿＿＿． ５．设L 为曲线2y x =上从点(0,0)到点(1,1)的一线段，则32(2)Lx y dx +⎰＿＿＿．三、计算题（本大题共７小题，每小题6分，共４2分） １．求微分方程2(12)(1)0x y dx x dy +++=的通解．２．设22()xyz x y =+，求z x ∂∂及2z x y∂∂∂．３．判断级数23112123!10101010nn ⋅⋅⋅+++++的敛散性．４．设一矩形的周长为2，现让它绕其一边旋转，求所得圆柱体体积为最大时矩形的面积及圆柱体的体积．５．将函数2()x f x xe -=展开成x 的幂级数，并确定其收敛域．６．设(,)z z x y =是由方程2z x y z e +-=确定的隐函数，求全微分dz .７．计算二重积分cos Dydxdy y⎰⎰，其中D是由y =y x =围成的区域．四、解答题（本大题共4小题，每小题７分，共２8分） １．计算曲线积分22(2)()Lxy x dx x y dy -++⎰，其中L 是由曲线2y x =和2y x =所围成的区域的正向边界曲线．２．计算二重积分Dσ⎰⎰，其中区域D 由221x y +≤，0x ≥及0y ≥所确定．３．设()u f xyz =，(0)0f =，(1)1f '=，且3222()ux y z f xyz x y z ∂'''=∂∂∂，试求u 的表达式．４．计算曲面积分=++，I xdydz ydzdx zdxdy)∑其中∑为上半球面z=参考答案一、选择题（本大题共５小题，每小题３分，共１５分） １．Ｃ ２．Ｂ ３．Ｃ ４．Ａ ５．Ｂ 二、填空题（本大题共５小题，每小题３分，共１５分） １．312()x y C C x e =+ ２．(7,8,0) ３．11321x y z+-==- ４．22sin()xy xy - ５．710三、计算题（本大题共７小题，每小题６分，共４２分） １．求微分方程2(12)(1)0x y dx x dy +++=的通解． 解：21112x dx dy x y=-++⎰⎰．．．．．．．．．．（１分） 221111(1)(12)21212d x d y x y+=-+++⎰⎰．．．．．．．．．（５分）2ln(1)ln |12|ln x y C +=-++，即2(1)(12)x y C ++=．．．．．．（６分） ２．设22()xyz x y =+，求z x ∂∂及2z x y∂∂∂．解：设v z u =，22u x y =+，v xy =．．．．．．．．．．（１分）22222222()(ln())xyz z u z v x y x y y x y x u x v x x y∂∂∂∂∂=+=+++∂∂∂∂∂+．．．．．．．．．．（３分） 243342222222222(2)()[(21ln())ln()]()xy z x x y y x y xy xy x y x y x y x y ∂++=++++++∂∂+．（６分） ３．判断级数23112123!10101010nn ⋅⋅⋅+++++的敛散性．解：11(1)!10lim lim !10n n n n n nu n u n ρ++→∞→∞+==．．．．．．．．．．（３分） 1lim10n n →∞+==∞．．．．．．．．．．．（５分）所以级数发散．．．．．．．．（６分）４．设一矩形的周长为2，现让它绕其一边旋转，求所得圆柱体体积为最大时矩形的面积及圆柱体的体积．解：设矩形两边长分别为,x y ．则1x y +=，假设绕长度为y 的一边旋转，则圆柱体体积为2V x y π=．．．．．．．．．．．．（２分）作拉氏函数2(,,)(1)F x y x y x y λπλ=++-．．．．．．．．（３分） 解方程组22001xy x x y πλπλ+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩．．．．．．．．．．．．．．．．（４分） 得可能的极值点21(,)33．．．．．．．．．．．．．．（５分）由题意知道其一定是所求的最值点，所以最大体积为427π，对应面积为29．．．．．．．．．．（６分） ５．将函数2()x f x xe -=展开成x 的幂级数，并确定其收敛域．解：因为212!!n xx x e x n =+++++ ．．．．．．．（１分）所以2221(1)222!2!xnnn x x x en -=-+++-+⋅⋅ ．．．．．．．．．．（３分）23112211()(1)(1)222!2!2(1)!x n nnn n n n x x x x f x xex n n +∞---===-+++-+=-⋅⋅⋅-∑（５分）收敛域为(,)-∞+∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．（６分）６．设(,)z z x y =是由方程2z x y z e +-=确定的隐函数，求全微分dz . 解：2(,,)z F x y z x y z e =+--．．．．．．．．（１分） 1,2,1z x y z F F y F e ===--．．．．．．．．．．．（３分） 所以12,11y x z zz z F F z z yx F e y F e∂∂=-==-=∂+∂+．．．．．．．．．（５分） 故1(2)1z z z dz dx dy dx ydy x y e∂∂=+=+∂∂+．．．．．．．．．．（６分） ７．计算二重积分cos Dydxdy y ⎰⎰，其中D 是由y =y x =围成的区域．解：积分区域为：2{(,)|01,}D x y y y x y =≤≤≤≤．．．．．．．．（１分）210cos cos y y Dyy dxdy dy dx y y =⎰⎰⎰⎰．．．．．．．．．．（３分） 1(1)cos y ydy =-⎰．．．．．．．．．．．．（５分） 1cos1=-．．．．．．．．．（６分）四、解答题（本大题共４小题，每小题７分，共２８分） １．计算曲线积分22(2)()Lxy x dx x y dy -++⎰，其中L 是由曲线2y x =和2y x =所围成的区域的正向边界曲线． 解：22(2)()(12)LDxy x dx x y dy x d σ-++=-⎰⎰⎰．．．．．．（２分）212)xdx x dy =-⎰．．．．．．．．（４分） 1312322(22)x x x x dx =--+⎰．．．．．．．．（６分）130=．．．．．．（７分） ２．计算二重积分Dσ⎰⎰，其中区域D 由221x y +≤，0x ≥及0y ≥所确定．解：'DD σθ=．．．．．．．．．．（２分）12d πθ=⎰⎰．．．．．．．．．．．．（４分） 224d ππθ-=⎰．．．．．．（６分）＝(2)8ππ-=．．．．．．．．．（７分）３．设()u f xyz =，(0)0f =，'(1)1f =，且3222()ux y z f xyz x y z ∂'''=∂∂∂，试求u 的表达式．解：22(),()()u u yzf xyz zf xyz xyz f xyz x x y∂∂''''==+∂∂∂1.5CM3222()3()()uf xyz xyzf xyz x y z f xyz x y z∂''''''=++∂∂∂．．．．．．．．（２分） 因为3222()u x y z f xyz x y z∂'''=∂∂∂，所以()3()0f xyz xyzf xyz '''+=令xyz t =，得3()()0tf t f t '''+=．．．．．．（４分）解之得113311(),(1)1,1,()由得所以f t C t f C f t t --'''====．．．．．（５分）解得22332233(),(0)0,0,()22由得所以f t t C f C f t t =+===．．．．．（６分）即233()()2u f xyz xyz ==．．．．．．．（７分）４．计算曲面积分)I xdydz ydzdx zdxdy ∑=++，其中∑为上半球面z = 解：因为在曲面∑上a ，所以()I a xdydz ydzdx zdxdy ∑=++⎰⎰．．．．．．．．．．（１分）补曲面2221{(,,)|0,}x y z z x y a ∑==+≤，1∑取下侧．．．．．．．．．．（２分） 由高斯公式得1()I a xdydz ydzdx zdxdy ∑+∑=++⎰⎰＝342(111)323a dv a a a ππΩ++=⨯=⎰⎰⎰．．（４分）而1)xdydz ydzdx zdxdy ∑++100Dzdxd y dxdy ∑===．．．．．．．（６分）故)I xdydz ydzdx zdxdy ∑=++＝114()()2a xdydz ydzdx zdxdy a π∑+∑∑-++=⎰⎰⎰⎰．．．．．．．（７分）。
华农高数下期末试卷
装订线华南农业大学期末考试试卷（A卷）2009~2010学年第2学期考试科目：高等数学AⅡ考试类型：（闭卷）考试考试时间：120 分钟学号姓名年级专业题号一二三四总分得分评阅人一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．微分方程'220y y x---=是（）A．齐次方程B．可分离变量方程C．一阶线性方程D．二阶微分方程2．过点(1,2,--且与直线25421x y z+-==-垂直的平面方程是（）A．4250x y z+-+=B．4250x y z++-= C．42110x y z+-+=D．42110x y z++-=3．设(,)ln()2yf x y xx=+，则(1,1)yf=（）A．0 B．13C．12D．24．若lim0nnu→∞=，则级数1nnu∞=∑（）A．可能收敛，也可能发散B．一定条件收敛C．一定收敛D．一定发散5．下列级数中发散的是（）A ．112nn∞=∑B．111(1)nn n∞-=-∑C．111n n n∞=+∑D．311(1)n n n∞=+∑得分装订线二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．微分方程"4'50y y y-+=的通解为____________________。
2．设有向量(4,3,0),(1,2,2)a b==-，则2a b+=____________________。
3．设有向量(1,1,0),a b==-，它们的夹角为θ，则c o sθ=____________________。
4．设xz y=，则dz=____________________。
5．设L是圆周229x y+=（按逆时针方向绕行），则曲线积分2(22)(4)Lxy y dx x x dy-+-⎰ 的值为____________________。
三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）1．已知arctanxzy=，求2,z zx x y∂∂∂∂∂。
华南农业大学2013-2014(1)高等代数1期末考试试卷(A卷)
2013学年第一学期 高等代数Ⅰ(A 卷)一、选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 1. 下列关于多项式理论的说法中正确的是( ).A. 零多项式整除任意多项式B. 零多项式不整除零多项式C. 零多项式只能整除零多项式D. 零多项式的次数为零2. 设有n 维向量组（I ）：r ααα,,,21 和（II ）：)(,,,21r m m >ααα ，则( ).A. 向量组（I ）线性无关时，向量组（II ）线性无关B. 向量组（I ）线性无关时，向量组（II ）线性相关C. 向量组（I ）线性相关时，向量组（II ）线性相关D. 向量组（I ）线性相关时，向量组（II ）线性无关3. 设A 为n m ⨯矩阵，齐次线性方程组0=Ax 仅有零解的充要条件是( ).A. A 的列向量线性相关B. A 的列向量线性无关C. A 的行向量线性相关D. A 的行向量线性无关 4. 设,A B 为n 级方阵，0A ≠，且0AB =，则有( ).A. 0A =或0B =B. 0BA =C. 222()A B A B -=-D. 0B = 5. 设A 和B 都是n 级实对称矩阵, 通过非退化线性替换能将实二次型12(,,,)T n f x x x X AX =L 化为实二次型12(,,,)T n g y y y Y BY =的充分必要条件是( ).A. A 与B 具有相同的秩B. A 与B 具有相同的符号差C. A 与B 具有相同的正惯性指数D. A 与B 具有相同的负惯性指数, 并且A 与B 具有相同的符号差二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）1. 设四级行列式D 的第四列元素分别为1,0,2,3，且它们对应的余子式分别为2,3,1,2-，则D =__________.2. 设向量组123(,1,1),(0,2,3),(1,0,1)k ααα===线性相关，则=k __________.3. 设A 为n 级方阵, 且满足2240A A E +-=, 这里E 表示n 级单位矩阵, 那么1A -= .4. 已知矩阵方程100021(1,2,3)011X ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 则X ＝_________________.5. 若()222,,2332f x y z x y z yz λ=+++是正定二次型，则λ的取值范围 是_________________.三、判别题（本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分） （请在你认为正确的小题对应的括号内打“√”，否则打“⨯”） 1.（ ）有理数域为最小的数域.2.（ ）设,A B 是两个n 级方阵，则A B B A -=--.3.（ ）若两个向量组等价，则它们所包含的向量的个数相同.4.（ ）若矩阵A 的所有1r +级子式全为零，则A 的秩为r .5.（ ）合同变换不改变实矩阵的对称性和正定性. 四、解答题（本大题共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分）1. 设43232()421659,()254,f x x x x x g x x x x =--++=--+ 求()(),()f x g x .2. 计算行列式1111111111111111x x x x ---+---+--.3. 求向量组1234(2,1,3,1),(3,1,2,0),(1,3,4,2),(4,3,1,1)αααα=-=-=-=- 的一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示.4. 讨论k 取何值时，线性方程组 12312321231,21,x x kx x x x x kx x k⎧++=-⎪-+=-⎨⎪-++=⎩(1) 有唯一解；(2) 无解； (3) 有无穷多个解，并求出此方程组的通解.5. 作非退化线性替换X CY =化实二次型221231223(,,)4f x x x x x x x =-+为规范形.五、证明题（本大题共 4 小题，共 25 分） 1. （本小题7分）证明：n 维向量组12,,,n ααα线性无关的充要条件是任一n维向量β都可由12,,,n ααα线性表出.2. （本小题6分）设A 是n 级方阵且0A =，证明：存在一个非零矩阵B 使得AB O =.3. （本小题6分）设A 是n 级方阵且0A ≠，B 是n m ⨯矩阵，证明: ()()R AB R B =.4. （本小题6分）设1122,AO B O A B O A O B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 证明：如果1A 与1B 合同，2A 与2B 合同，则A 与B 合同.。
高等数学下试卷及答案 2复习课程
2009高等数学下试卷及答案2仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2008--2009学年第2学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业一．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。
将答案写在横线上）1．微分方程"2'40y y y ++=的通解为_______________。
（今年不作要求）2．设y z x =，则dz = 。
3．设L 是圆周221x y +=，L 取逆时针方向,则2Lydx xdy +=⎰__________。
4．设0,||3,||1,||2a b c a b c ++====, 则a b b c c a ⋅+⋅+⋅= 。
5. 级数11(1)n n ∞-=-∑是____________级数(填绝对收敛,条件收敛或发散)。
二．单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。
） 1．过点(2,3,1)-且垂直于平面2310x y z +++=的直线方程是（ ）A ．231231x y z -++==B ．231231x y z -+-==-- C ．231231x y z -+-== D ．231231x y z ---==-仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢32．设22()z y f x y =+-，其中()f u 是可微函数,则zy∂=∂ （ ）A ．22'12()yf x y +-B ．22'12()yf x y --C ．2222'1()()x y f x y +--D ．222'1()y f x y -- 3．下列级数中收敛的是（ ）A．1n ∞= B ．11n nn ∞=+∑C ．112(1)n n ∞=+∑ D．1n ∞=4. 设Ｄ：4122≤+≤y x ，f 在D 上连续，则⎰⎰+Dd y x f σ)(22在极坐标系中等于（ ）Ａ. dr r rf ⎰21)(2π Ｂ. dr r rf ⎰212)(2πＣ. ⎰⎰-102202])()([2dr r f r dr r f r π Ｄ. ⎰⎰-12202])()([2dr r rf dr r rf π5.一曲线过点，且在此曲线上任一点),(y x M 的法线斜率ln xk y x=-，则此曲线方程为（ ）A. 21ln 22x y e=B. 21ln 21)2x y e =C. 21ln 212x y x e =+ D. 21ln 2x y e =三．计算题（本大题共6小题，每小题5分， 共30分）1．已知2sin()z y xy x =+，求z x ∂∂，2zx y∂∂∂。
高等数学B-下册-历年考试题目及答案
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2004学年第2学期 考试科目 高等数学（经济类）考试类型：（闭卷） 考试时间： 120分钟学号 姓名 专业年级一、填空题（每空2分）1．设函数()f x 可微，若()()01,11,1lim2x f x f x x →+--=，则11x y fx==∂∂= 。
2．设(){}22,4D x y xy y =+≤，则(),Df x y dxdy ⎰⎰在极坐标系下的二次积分为。
3．()200sin limx y xy x→→= 。
4．级数1025n n +∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑= 。
5．设2x xy z y e =+，则()1,2z y∂∂= 。
6．320y y y '''-+=的通解为 。
7．设收益函数()260R x x x =-（元），当产量10x =时，其边际收益是 。
8. 差分方程12n n n y y n +-=⋅的通解为 。
9. 函数()sin 2x z e x y -=+在点04π⎛⎫⎪⎝⎭，处的全微分为 。
10. 若级数211p n n∞+=∑发散，则p ≤ 。
二、选择题（每题3分）1. 若lim 0n n u →∞=，则级数1n n u ∞=∑（ ）A 条件收敛B 发散C 不能确定D 收敛2. 设22D 14x y ≤+≤：，则二重积分Ddxdy ⎰⎰=（ ） A π B 4π C 3π D 15π3. 微分方程3xy y '+=满足条件()10y =的特解是（ ）()11313111A B x C D x x x ⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭4. 设点()00，是函数(),f x y 的驻点，则函数(),f x y 在()00，处（ ） A 必有极大值 B 可能有极值，也可能无极值 C 必有极小值 D 必无极值5. 若级数1n n u ∞=∑及1n n v ∞=∑都发散，则（ ）A()1nn n uv ∞=+∑必发散 B ()1n n n u v ∞=∑必发散C()1nn n uv ∞=+∑必发散 D ()221n n n u v ∞=+∑必发散三、计算题（每题8分） 1. ()arctan z xy =，求dz2. 设()22,z f x y xy =-，f 可微，求zx∂∂ 3. 求级数13nnn x n ∞=⋅∑的收敛域 4. 将函数()14f x x=-展开成()2x -的幂级数，并确定收敛区间 5. 求由抛物面225z x y =--与平面1z =所围成的立体的体积。
高等数学下试题及参考答案华南农业大学
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2013~2014学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．微分方程'ln xy y y =的通解 。
2. 设有向量(4,3,0)a =，(1,2,2)b =-，则数量积a b ⨯= 。
3．过点(-1,1,0)且与平面3+2-130x y z -=垂直的直线方程是 。
4．设2sin()z xy =，则zy∂=∂ 。
5．交换积分次序2220(,)yydy f x y dx ⎰⎰ 。
二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．设L 为直线0,0,1x y x ===及1y =所围成的正方形边界，取正向，则322()()Lx xy dx x y dy +++⎰等于 （ ）A ．1-B ．1C ．12 D ．142．已知a i j k =++，则垂直于a 且垂直于x 轴的单位向量是 （ ）A ．()i k ±- B．()2j k ±- C．()2j k ±+ D．)i j k -+ 3．设ln z xy =（），则11x y dz === （ ）A ．dy dx -B ．dx dy +C ．dx dy -D ．04．对于级数1(1)np n n∞=-∑，有 （ ）A ．当1p >时条件收敛B ．当1p >时绝对收敛C ．当01p <≤时绝对收敛D ．当01p <≤时发散5．设10(1,2,)n u n n≤<=，则下列级数中必定收敛的是 （ ） A ．1n n u ∞=∑ B ．1(1)nn n u ∞=-∑ C．n ∞=．21(1)n n n u ∞=-∑三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）计算二重积分arctanDy d xσ⎰⎰，其中D 是1.22{(,)10}x y x y y x +≤≤≤，。
2011(1)高数试卷参考答案
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2011~2012学年第1 学期 考试科目：高等数学A Ⅰ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．0sin 5lim2x xx→= 。
2．曲线2x xe e y -+=在点(0,1)处的曲率是 。
3．设()0f x >，且可导，[]ln ()y f x =，则dy = 。
4．不定积分⎰=。
5．反常积分60x e dx +∞-⎰= 。
二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．设2,01(),,12x x f x x x ⎧<≤=⎨<<⎩在点1x =处必定 （ ） A ．连续但不可导 B ．连续且可导C ．不连续但可导D ．不连续，故不可导 2．曲线y =在点4x =处的切线方程是 （ ）A ．114y x =- B ．112y x =+C ．114y x =+D ．124y x =+3．下列函数在区间[1,1]-上满足罗尔定理条件的是 （ ）A ．21x B ．3x C ．xD ．211x + 4．设()f x 为可导函数，则下列等式中正确的是 （ ） A ．()()f x dx f x '=⎰ B ．()()df x dx f x C dx =+⎰C ．()()d f x dx f x =⎰D ．()()d f x dx f x dx =⎰5．已知()0232ax x dx -=⎰，则a = （ ）A ．1-B ．0C ．12D ．1三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）1. 求极限 ()011lim x x x e x x e →---。
2. 设函数1sin 2 ,0(), ,0x x f x a bx x +≤⎧=⎨+>⎩在点 0x =处可导，求,a b 的值。
3. 设参数方程()1sin cos x t t y t t=-⎧⎪⎨=⎪⎩确定y 是x 的函数，求dy dx 。
高等数学下试题及参考答案
华南农业大学期末考试试卷（A卷）2016~2017学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。
2. 设向量(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ= 。
3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为 。
4．设yz u x =，则du = 。
5．级数11(1)np n n∞=-∑，当p 满足 条件时级数条件收敛。
二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程2()'xy x y y+=的通解是（ ）A ．2x y Ce =B ．22x y Ce =C ．22y y e Cx =D ．2y e Cxy = 2．求极限(,)(0,0)limx y →= （ ）A ．14 B ．12- C ．14- D ．123．直线:327x y zL ==-和平面:32780x y z π-+-=的位置关系是（ ） A ．直线L 平行于平面π B ．直线L 在平面π上 C ．直线L 垂直于平面π D ．直线L 与平面π斜交4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤，则Dσ= （） A ．33()2b a π- B ．332()3b a π- C ．334()3b a π- D ．333()2b a π-5．下列级数收敛的是 （ ）A ．11(1)(4)n n n ∞=++∑ B ．2111n n n ∞=++∑ C ．1121n n ∞=-∑ D．1n ∞=三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特解。
1. 求2. 计算二重积分22Dx y dxdy x y++⎰⎰，其中22{(,):1,1}D x y x y x y =+≤+≥。
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学生填写）
： 姓名： 学号： 命题： 黄寿生 审题： 审批： ------------------------------------------------ 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ----------------------------------------------------------- （答题不能超出密封装订线）
班级（学生填写）： 姓名： 学号： ------------------------------------------------ 密 ---------------------------- 封
--------------------------- 线 ------------------------------------------------
22. 求函数3
52sin x
y x x =-+的一阶导数和二阶导数
23.
2ln(1)y x =-, 求y ''.
四. 计算题（二）(四题选三题，每小题6分，总分18分)
24．方程()0sin 2
=-y xy π确定y 是x 的函数，求1
0-=='
y x y .
班级（学生填写）： 姓名： 学号： ------------------------------------------------ 密 ---------------------------- 封
--------------------------- 线 ------------------------------------------------ （答题不能超出密封线）
24*求由方程0sin 21
=+-y y x 所确定的隐函数的二阶导数22dx
y d .
25求曲线⎪⎩⎪⎨⎧==-t
t
e
y e
x 2，在0=t 相应的点处的切线与法线方程. ．
26. 由方程2ln(1)
arctan x t y t t
⎧=+⎨=-⎩确定y 是x 的隐函数，求)(x y '.
.
27. 设函数()y y x =由方程()()sin cos y x
x y =所确定，求()y x '.
五．证明题（每小题5分， 共10分）
28. 设()()()f x x a x =-ϕ，其中()x ϕ为连续函数。
证明：()f x 在点x a =处的导数
存在且等于()a ϕ。
29．若函数)(x f 对任意实数21,x x 有)()()(2121x f x f x x f =+，且1)0(='f ，证明
)()(x f x f ='。
两边对x 求导： ()
02cos 2
='⋅-'+y y y y x y ππ
π
21
1
0-
='⇒-==y x y 24*.求由方程0sin 21
=+-y y x 所确定的隐函数的二阶导数22dx
y d .
解： 将原方程的两边对x 求导： 0cos 211=⋅+-dx dy
y dx dy
于是
y
dx dy cos 22-= 上式两端再对x 求导,得3
222
)cos 2(sin 4)cos 2(sin 2y y y dx dy
y
dx y d --=--= 25求曲线⎪⎩⎪⎨⎧==-t
t
e
y e
x 2，在0=t 相应的点处的切线与法线方程. 解：因为
2
1
20
-=-==-=t t
t t e e dx
dy
所以切线方程： 042=-+x y 法线方程： 032=+-x y
26. 由方程2ln(1)
arctan x t y t t ⎧=+⎨=-⎩确定y 是x 的隐函数，求)(x y '.
解： ⎩⎨
⎧-=+=t t y t x arctan )
1ln(2Θ 2
1211
12
2t t t t dt dx dt d dx dy =++-==∴ϕ
27. 设函数()y y x =由方程()
()sin cos y
x
x
y =所确定，求()y x ¢
将原方程的两边取对数：
ln sin ln cos y x x y = 对上式两边求导 ()()ln sin cot ln cos tan +=-dy dy
x y x y x y dx dx
整理得：
ln cos cot ln sin tan -=+dy y y x dx x x y
五．证明题
28.设()()()f x x a x =-ϕ，其中()x ϕ为连续函数。
证明：()f x 在点x a =处的导数存在且等于()a ϕ. 证明： 由于()()()()
()lim
lim lim ()x a
x a x a f x f a x a x f a x x a x a
→→→--'===--ϕϕ， 又()x ϕ为连续函数则有lim ()()x a
x a →=ϕϕ.故()()f a a '=ϕ.
29. 若函数)(x f 对任意实数21,x x 有)()()(2121x f x f x x f =+，且1)0(='f ，证明
)()(x f x f ='。
证明：
00()()()lim
()()(0)lim )h h f x h f x f x h
f x f h f x h →→+-'=⋅-+=
00()()()(0)lim
()(0)
lim ()h h f x f h f x f h
f h f f x h →→⋅-⋅=-= )()0()(x f f x f ='⋅=。