高等数学下试题及参考答案华南农业大学

华南农业大学期末考试试卷（A

卷）

2013~2014学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟

一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 分方程'ln xy y y =的通解 。

1．微

2. 设有向量(4,3,0)a =，(1,2,2)b =-，则数量积a b ⨯= 。 3．过点(-1,1,0)且与平面3+2-130x y z -=垂直的直线方程是 。 4．设2sin()z xy =，则

z

y

∂=∂ 。 5．交换积分次序22

20

(,)y y

dy f x y dx ⎰⎰ 。

二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

L 为直线0,

0,1x y x ===及1y =所围成的正方形边界，取

1．设

正向，则322()()L

x xy dx x y dy +++

⎰等于 （ ）

A ．1-

B ．1

C ．

12 D ．1

4

2．已知a i j k =++，

则垂直于a 且垂直于x 轴的单位向量是 （ ）

A ．()i k ±-

B ．)2j k ±

- C

．()2j k ±+ D ．

)i j k ±-+ 3．设ln z xy =（），则11

x y dz

=== （ ）

A ．dy dx -

B ．dx dy +

C ．dx dy -

D ．0

4．对于级数1(1)n

p n n

∞

=-∑，有 （ ）

A ．当1p >时条件收敛

B ．当1p >时绝对收敛

C ．当01p <≤时绝对收敛

D ．当01p <≤时发散 5．设1

0(1,2,)n u n n

≤<

=，则下列级数中必定收敛的是 （ ） A ．1n n u ∞

=∑ B ．1(1)n

n n u ∞

=-∑ C

．n ∞=．2

1

(1)n n n u ∞

=-∑

三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1.计算二重积分

arctan

D

y

d x

σ⎰⎰，其中D 是

22{(,)10}x y x y y x +≤≤≤，。

2.设,f g 均为连续可微函数，(,)()u f x xy g x xy =+，求

,u u

x y

∂∂∂∂。 3．设由方程z xyz e =确定隐函数(,)z z x y =，求全微分dz 。

4.判定级数12!

n

n n n n ∞

=∑的敛散性。

5.使用间接法将函数2

4

()4f x x =-展开成x 的幂级数，并确定展开式成立的区间。 6．求微分方程'cos y

y x x x

-=

满足初始条件2

2

x y ππ

=

=-

的特解。

7

．计算二重积分D

σ⎰⎰，其中D

是由曲线y =2y x =所围成的闭区域。

四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分） 1．L 是连接以(1,0)-为起点和(1,2)为终点的一条曲线，问当a 为何

值时，曲线积分2322(6)(2)L

xy y dx a xy x y dy -+-⎰与积分路径无关，并计算此时的积

分值。

2．要造一个容积等于定数k 的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，才能使它的表面积最小。

3．设()f x 在||1x <上有定义，在0x =某邻域有一阶连续的导数且0()

lim

0x f x a x →=>，求证：（1）11()n f n ∞

=∑

发散；（2）-11

1()n n f n ∞

=∑（-1）收敛。 华南农业大学期末考试试卷（A 卷）

2013~2014学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ参考答案

一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．Cx y e = 2．(6,-8,-11) 3．11321

x y z

+-==

- 4．22cos()xy xy 5

．1

2

(,)x dx f x y dy ⎰⎰

二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

1．C 2．B 3．B 4．B 5．D

三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1．计算二重积分arctan

D

y

d x

σ⎰⎰，其中D 是22{(,)10}x y x y y x +≤≤≤，。 解：在极坐标中D 为{(,)001}4

r r π

θθ≤≤

≤≤，………………3分

arctan

D

D

y

d rd dr x σθθ=⎰⎰⎰⎰………………5分 140

d rdr π

θθ=⎰⎰………………6分

2

64

π=………………7分

2.设,f g 均为连续可微函数，(,)()u f x xy g x xy =+，求,u u x y

∂∂∂∂。 解：

'''12((,)(,))()(1)(,)()z

f x xy yf x xy

g x xy y f x xy g x xy x

∂=+++++∂…4分 ''2(,)()(,)()u

xf x xy g x xy xf x xy g x xy y

∂=+++∂………………7分 3.设由方程z xyz e =确定隐函数(,)z z x y =，求全微分dz 。 解：设(,,)z F x y z xyz e =-………………1分

,,z x y z F yz F xz F xy e ===-………………4分

,y x z z

z z F F z yz z xz

x F e xy y F e xy

∂∂=-==-=∂-∂-………………6分 ()z

z

dz ydx xdy e xy

=

+-………………7分