《高等数学》 2013.6.6

《高等数学》第十四次习题答疑 2013.6.6P.201 习题11-25、一力场由横轴正方向的恒力F所构成。

试求当一质量为m 的质点沿圆周222x y R+=按逆时针方向移过位于第一象限的那段弧长时场力所做的功。

【解】恒力F所做的功为 1110x y LLLF F d r F d x F d y F d x←→←→⋅=+=⎰⎰⎰注意到：2221co s ,sin sin ,co s ::02x y Rx R y R d x R d d y R d L θθθθθθθπ+=∴==→=-=→故11220(sin )(co s )L L F d r F d x F R d R F R Fππθθθ⋅==⋅-=--=-⎰⎰⎰P.214 习题11-36、验证下列(,)(,)P x y dx Q x y dy +在整个xO y 平面内是某一函数(,)u x y 的全微分，并求这样的一个(,)u x y （1）(2)(2)x y dx x y dy+++；（2）22xydx x dy+；（3）4sinsin 3cos 3cos 3cos 2x y xdx y xdy-； （4）2232(38)(812)yx y xy dx x x y ye dy++++；（5）22(2cos cos )(2sin sin )x y y x dx y x x y dy++-。

【解】判据：?P Q yx∂∂=∂∂（1）(2)(2)x y dx x y dy+++(2)2;(2)2P Q P x y x y yyxxy∂∂∂∂∂=+==+==∂∂∂∂∂因此，(2)(2)x y dx x y dy+++是某个(,)u x y 的全微分。

求(,)u x y ： 注意到：(,)u u d u x y d x d y P d x Q d yxy∂∂=+=+∂∂，故有,u u P Q xy∂∂==∂∂今2......(1.1);2......(1.2)u u x y x y xy∂∂=+=+∂∂（1.1）式两边对x 积分，得2(,)(2)2()......(1.3)2xu x y x y d x xy g y =+=++⎰（1.3）式两边对求y 偏导数，得2'()......(1.4)u x g y y∂=+∂ 比较（1.4）式与（1.2）式，得21'()()......(1.5)2g y y g y y d yy C =→==+⎰将（1.5）式代入（1.3）式，得221(,)()2......(1.6)2u x y x y xy C =+++（2）22xydx x dy+；2(2)2;()2P Q P x y x x x yyx xy∂∂∂∂∂=====∂∂∂∂∂因此，22xydx x dy+为某个(,)u x y 的全微分。

求(,)u x y ： 今22......(2.1);......(2.2)u u P xy Q x xy∂∂====∂∂（2.1）式两边对x 积分，得2(,)2()......(2.3)u x y x y d xx y g y ==+⎰（2.3）式两边对求y 偏导数，得2'()......(2.4)u x g y y∂=+∂ 比较（2.4）式与（2.2）式，得'()0()......g y g y C =→= 将（2.5）式代入（2.3）式，得 2(,)......(2.6)u x y x C =+（3）4sinsin 3cos 3cos 3cos 2x y xdx y xdy-(4sin sin 3cos )12sin cos cos 36sin 2cos 3;(3cos 3cos 2)6sin 2cos 3Px y x x x y x y y y Q P y x x y xxy∂∂===∂∂∂∂∂=-==∂∂∂因此，4sinsin 3cos 3cos 3cos 2x y xdx y xdy-是某个(,)u x y 的全微分。

求(,)u x y ： 今2sin 2sin 3......(3.1);3co s 2co s 3......(3.2)u u P x y Q x y xy∂∂====-∂∂（3.1）式两边对x 积分，得(,)(2s i n 2s i n 3)c o s 2s i n 3(u x y x y d x x y g y==-⋅+⎰（3.3）式两边对求y 偏导数，得3c o s 2c o s 3'()......(3.4)u x y gy y∂=-+∂ 比较（3.4）式与（3.2）式，得'()0()......g y g y C =→= 将（3.5）式代入（3.3）式，得(,)c o s 2s i n 3....u x y x y C=-⋅+ （4）2232(38)(812)yx y xy dx x x y ye dy++++222322(38)316;(812)316yP x y xy x xy y y Q P x x y ye x xy xxy∂∂=+=+∂∂∂∂∂=++=+=∂∂∂因此，2232(38)(812)yx y xy dx x x y ye dy++++是某个(,)u x y 的全微分。

求(,)u x y ：今223238......(4.1);812......(4.2)yu u P x y xy Q x x y ye xy∂∂==+==++∂∂（4.1）式两边对x 积分，得22322(,)(38)4()......(4.3)u x y x yx y d xx y x yg y =+=++⎰（4.3）式两边对求y 偏导数，得328'()......(4.4)u x x y g y y∂=++∂比较（4.4）式与（4.2）式，得'()12()12121212.()12(1).....(4.5)yyyyyyg y y eg y y e d y y d ey ee d y g y ey C =→===-=→=-+⎰⎰⎰ 将（4.5）式代入（4.3）式，得 322(,)412(1)......(4.6)yu x y x y xy e y C =++-+ （5）22(2coscos )(2sin sin )x y y x dx y x x y dy++-22(2cos cos )2sin 2cos ;(2sin sin )2cos 2sin P x y y x x y y x y y Q P y x x y y x x y xxy∂∂=+=-+∂∂∂∂∂=-=-=∂∂∂因此，22(2cos cos )(2sin sin )x y y x dx y x x y dy++-是某个(,)u x y 的全微分。

求(,)u x y ： 今222co s co s ......(5.1);2sin sin ......(5.2)u u P x y y x Q y x x y xy∂∂==+==-∂∂（5.1）式两边对x 积分，得222(,)(2c o sc o s )c o ss i n ()......(5.3)u x y x y y x d xx y y x gy =+=++⎰（5.3）式两边对求y 偏导数，得2s i n 2s i n '().......(5.4)u x y y x gy y∂=-++∂ 比较（5.4）式与（5.2）式，得'()0().....(g y g y C =→=将（5.5）式代入（5.3）式，得22(,)cos sin ......(5.6)u x y x y y x C =++P.219 习题11-42、按对面积的曲面积分的定义证明公式12(,,)(,,)(,,)f x y z d S f x y z d S f x y z d S ∑∑∑=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中∑是由1∑和2∑组成的。

【证明】由对面积的曲面积分的定义可知m a x {}1(,,)l i m (,,)i ni i i i S i f x y z d Sf Sξης∆→=∑=∆∑⎰⎰我们分割∑成1∑和2∑时，使得它们的公共边界线仅一条（见图示） 于是有 1212()()()(,,)(,,)(,,)i i i i iii ii iiif S f S fS ξηςξηςξης∑+∑∑∑∆=∆+∆∑∑∑ 当m ax {i S λ=∆的直径}0→时，上式两端取极限，得12(,,)(,,)(,,)f x y z d S f x y z d S f x y z d S∑∑∑=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰命题证毕。

P.255 习题12-13、根据级数收敛与发散的定义判定下列级数的敛散性： （3）2sin ()sin ()......sin () (66)6n πππ++++【解】利用三角函数积化和差的公式：1s i n s i n [c o s ()c o s ()]2αβαβαβ=--+ 将级数的通项改造一下：12[c o s ()c o s ()]2s i n ()261261212sin ()sin ()662sin ()2sin ()12122121co s()co s()1212,(1,2,......)2sin ()12n n n n n u n n n ππππππππππππ⋅--+==⋅==-+-==则级数前n 项之部分和n s 为12......13352121[(co s co s)(co sco s)......(co sco s)]1212121212122sin ()12121[co s co s]12122sin ()12n n n s u u u n n n s ππππππππππ=+++=-+=-+-++-=+→=-当项数n→∞时，21co s12n π+在[1,1]-+之间来回地振荡，因此极限不存在，也就所以考察级数的极限不存在，即级数发散。

P.268 习题12-24、判定下列级数的敛散性： （2）4444123............1!2!3!!nn +++++【解】用比值审敛法判定4444144(1)1111limlim/lim()lim(1)(1)!!1111limlim (1)01011n n n n n nn n u n nn u n n n nn nn n+→∞→∞→∞→∞→∞→∞++==⋅=⋅+=+++=⋅+=⋅=<+表明：考察级数收敛（4）12sin ()3nnn π∞=∑【解】用比较审敛法判定将考察级数与已知敛散性的级数12()3n n ∞=∑作比较：0312s i n ()s i n ()s i n ()s i n ()3333l i ml i m l i m l i m 21()()()()3333n nn n nnn n n n n n nππππππππππ→∞→∞→∞→←→===⋅=表明：考察级数与12()3nn ∞=∑的敛散性相同，而12()3n n ∞=∑为首项123a =，公比23q=2(1)3q =<的收敛的等比级数，因此考察级数也收敛。