第六章多元函数微积分复习概要

第六章多元函数微积分复习要点一、基本概念及相关定理1.多元函数的极限定义：函数(,)z f x y =在区域D 内有定义，当点P(x ,y )D ∈沿任意路径无限趋于点000(,)P x y (0P P ≠)时, (,)f x y 无限趋于一个确定的常数A,则称常数A 是函数(,)z f x y =当P(x ,y )趋于000(,)P x y 时的极限.记作0lim (,)x xy y f x y A →→=,或00(,)(,)lim(,)x y x y f x y A →=,或(,)f x y A →,00(,)(,)x y x y →,或lim (,)f x y A ρ→=,或(,)f x y A →,0ρ→.其中，ρ= 2.二元函数连续的定义：函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域0()U P 内有定义，如果对任意0(,)()P x y U P ∈，都有0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=（或0lim ()()P P f P f P →=），则称函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处连续.3.偏导数的定义：函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域0()U P 内有定义.（1）函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处对x 的偏导数定义为00000(,)(,)lim x f x x y f x y x∆→+∆-∆，记作00x x y y zx ==∂∂，或00x x y y f x==∂∂，或00(,)x z x y '，或00(,)x f x y '，即x x y y zx==∂∂=00000(,)(,)lim x f x x y f x y x∆→+∆-∆.（2）函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处对y 的偏导数定义为00000(,)(,)lim y f x y y f x y y∆→+∆-∆，记作00x x y y zy ==∂∂，或00x x y y f y==∂∂，或00(,)y z x y '，或00(,)y f x y '，即x x y y zy==∂∂=00000(,)(,)lim y f x y y f x y y∆→+∆-∆.而称z x∂∂，或f x ∂∂，或(,)x z x y '，或(,)x f x y '及[z y ∂∂，或f y∂∂，或(,)y z x y '，或(,)y f x y ']为（关于x 或关于y ）偏导函数.高阶偏导数：22(,)xx z zf x y x x x∂∂∂⎛⎫''== ⎪∂∂∂⎝⎭或(,)xx z x y ''， 2(,)xy z zf x y y x x y∂∂∂⎛⎫''== ⎪∂∂∂∂⎝⎭或(,)xy z x y ''， 2(,)yx z zf x y x y y x⎛⎫∂∂∂''== ⎪∂∂∂∂⎝⎭或(,)yx z x y ''， 22(,)yyz zf x y y y y⎛⎫∂∂∂''== ⎪∂∂∂⎝⎭或(,)yy z x y ''. 同理可得，三阶、四阶、…，以及n 阶偏导数.4.全微分定义：设函数(,)z f x y =在点(,)P x y 的某一邻域()U P 内有定义，若函数在点(,)x y 的全增量(,)(,)z f x x y y f x y ∆=+∆+∆-可表示为()z A x B y ρ∆=∆+∆+，其中A 、B 不依赖于x ∆、y ∆，仅于x、y有关，ρ=，则称函数(,)z f x y =在点(,)x y 处可微分，称A x B y ∆+∆为函数(,)z f x y =在点(,)x y 的全微分，记为dz ，即dz A x B y =∆+∆.可微的必要条件：若函数(,)z f x y =在点(,)x y 处可微分，则（1）函数(,)z f x y =在点(,)x y 的偏导数z x ∂∂、zy∂∂必存在；（2）全微分为z z dz x y z x y z dx dy x y∂∂+∂∂∂=∆+∆=∂∂∂. 推广：函数(,,)u f x y z =在点(,,)x y z 的全微分为u u udu dx dy dz x y z∂∂∂=++∂∂∂.可微的充分条件：若函数(,)z f x y =的偏导数z x∂∂、z y∂∂在点(,)x y 处连续⇒(,)z f x y =在点(,)x y 处可微分.5.复合函数微分法（5种情况，由简单到复杂排列）： （1）含有多个中间变量的一元函数(,,)z f u v w =，()u u x =，()v v x =，()w w x =，则dz z du z dv z dwdx u dx v dx w dx∂∂∂=++∂∂∂， 称此导数dzdx为全导数；（2）只有一个中间变量的二元复合函数 情形1：()z f u =，(,)u u x y =，则z dz ux du x∂∂=∂∂ ，z dz u y du y∂∂=∂∂. 情形2：(,,)z f x y u =，(,)u u x y =，则z f z u x x u x∂∂∂∂=+∂∂∂∂ ，z f z u y y u y∂∂∂∂=+∂∂∂∂. zx wv u xx zuyxzy yuxx其中，f x∂∂与z x∂∂是不同的，z x∂∂是把复合函数[,,(,)]z f x y u x y =中的y 看作不变量而对x 的偏导数；f x∂∂是把函数(,,)f x y u 中的y 及u 看作不变量而对x 的偏导数。

f y ∂∂与zy∂∂与也有类似的区别. （3）中间变量为两个，自变量也为两个的二元复合函数设(,)z f u v =，(,)u x y ϕ=，(,)v x y ψ=，则z z u z vx u x v x∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂ ，z z u z v y u y v y∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂. （4）中间变量多于两个的二元复合函数设(,,)z f u v w =，(,)u u x y =，(,)v v x y =，(,)w w x y =，则z z u z v z wx u x v x w x∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂ ，z z u z v z w y u y v y w y∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂. 6.隐函数微分法 （1）一元隐函数设方程(,)0F x y =确定了y 是x 的函数()y f x =，则方法1：方程(,)0F x y =两边对x 求导，见x 对x 求导，见y 对y 求导，对y 求导时再乘以y '； 方法2：x y F dydx F '=-'.（2）二元隐函数zy yux xvzy y u xx v yx w设方程(,,)0F x y z =确定了z 是x 、y 的函数(,)z f x y =，则x z F z x F '∂=-'∂，y z F zy F '∂=-'∂.7.多元函数的极值 极值存在的必要条件函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处具有偏导数，且取得极值，则必有00(,)0x f x y '=，00(,)0y f x y '=.使得00(,)0x f x y '=，00(,)0y f x y '=同时成立的点00(,)x y ，称为函数(,)z f x y =的驻点（或稳定点）. 极值存在的充分条件函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某邻域0()U P 内连续，且具有一阶及二阶连续偏导数.又点00(,)x y 是函数(,)z f x y =的稳定点，令00(,)xx A f x y ''=，00(,)xy B f x y ''=， 00(,)yyC f x y ''=. Ⅰ.若20B AC -<，则（1）当0A >时,函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处取得极小值;（2）当0A <时，函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处取得极大值.Ⅱ. 若20B AC ->，则稳定点00(,)x y 不是函数(,)z f x y =的极值点.Ⅲ. 若20B AC -=，则稳定点00(,)x y 可能是极值点，也可能不是极值点，需另行判断.8.二重积分的定义及性质在有界闭区域D 上的有界函数(,)z f x y =，通过“分割、代替、求和、取极限”的过程，而得到的具有特定结构的和的极限01lim (,)(,)=ni i i i Df f x y d λξησσ→= ∆∑⎰⎰记为，被称为函数(,)z f x y =在D 上的二重积分；它的几何意义是曲顶柱体的体积.在直角坐标系下，用平行于坐标轴的直线网划分区域D ，则(,)(,)DDf x y d f x y dxdy σ =⎰⎰⎰⎰.性质：下面均假定函数(,)z f x y =有界闭区域D 上可积，则1.(,)(,)DDkf x y d k f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰（k 为常数）；2.[(,)(,)](,)(,)DDDf x yg x y d f x y d g x y d σσσ±=±⎰⎰⎰⎰⎰⎰.3.若在闭区域D 上(,)1f x y ≡，则区域D 的面积DA d σ=⎰⎰.4.若12D D D =⋃，且12D D =∅，则12(,)(,)(,)DD D f x y d f x y d f x y d σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰.5.在区域D 上，(,)(,)f x y g x y ≤，则(,)(,)DDf x y dg x y d σσ≤⎰⎰⎰⎰，(,)(,)DDf x y d f x y d σσ≤⎰⎰⎰⎰.6.设M 、m 是函数(,)z f x y =在闭区域D 上的最大值和最小值,A 是D 的面积，则(,)DmA f x y d MA σ≤≤⎰⎰.7.设函数(,)z f x y =在闭区域D 上连续，A 是D 的面积，则在D 上至少存在一点(,)ξη,使得(,)(,)Df x y d f A σξη=•⎰⎰.二、计算方法 1.求二重极限的方法（1）若把点00(,)x y 代入二元函数(,)z f x y =中，函数值00(,)f x y 存在，则函数值就是极限值；（2）若把点00(,)x y 代入二元函数(,)z f x y =中，函数值00(,)f x y 无意义，则一元函数求极限的所有方法，全部可以应用到求二重极限中去(如重要极限，等价无穷小替换等).2.求偏导数及高阶偏导数的方法（1）求多元函数关于其中一个自变量的偏导数，只需要将另外的所有自变量看作常量，再用一元函数的求导方法求导，就可以得到所选定的自变量的偏导数了；（2）求高阶偏导数方法22xz z x x '∂∂⎛⎫= ⎪∂∂⎝⎭或(,)[(,)]xx x x z x y z x y ''''=， 2yz z x y x '∂∂⎛⎫= ⎪∂∂∂⎝⎭或(,)[(,)]xy x y z x y z x y ''''=， 2xz z y x y '⎛⎫∂∂= ⎪∂∂∂⎝⎭或(,)[(,)]yx y x z x y z x y ''''=， 22yz z y y '⎛⎫∂∂= ⎪∂∂⎝⎭或(,)[(,)]yy y y z x y z x y ''''=. 3.求全微分的方法求多元函数(,)z f x y =（或(,,)u f x y z =）的全微分，先求出关于自变量的所有偏导数z x∂∂，z y∂∂（或u x ∂∂，u y∂∂，u z∂∂），则全微分z z dz dx dy x y ∂∂=+∂∂（或u u udu dx dy dz x y z∂∂∂=++∂∂∂）. 4.多元复合函数求导的方法根据题设条件，分清哪些是中间变量，那些是自变量，画出关系图，根据“同路相乘，异路相加”的原则，求出所需要的导数.如1 (,,,)z f x y u v =，(,)u u x y =，(,)v v x y =，关系图为：则z f z u z vx x u x v x∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂ ，z f z u z v yy u y v y∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂. 如2 (,,)z f u v w =，(,)u u x y =，(,)v v x y =，(,)w w x y =，关系图： 则z z u z v z wx u x v x w x ∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂ ， z z u z v z w y u y v y w y∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂. 5.隐函数求导及求偏导的方法 （1）一元隐函数求导法则设方程(,)0F x y =确定了y 是x 的函数()y f x =，则方法1：方程(,)0F x y =两边对x 求导，见x 对x 求导，见y 对y 求导，对y 求导时再乘以y '；zy yu x xvy x zy yuxx v y x w方法2：x y F dydx F '=-'. （2）二元隐函数①设方程(,,)0F x y z =确定了z 是x 、y 的函数(,)z f x y =，则x z F z x F '∂=-'∂，y z F zy F '∂=-'∂.②把方程(,,)0F x y z =中的看作隐函数，方程两边求出全微分dz Adx Bdy =+，则zA x∂=∂，z B y ∂=∂.（有时可能简单些）注意：首先，一定要分清所给函数是较简单函数或具体复合函数或抽象复合函数或隐函数，然后按照它们的各自特性，使用各自不同求导公式，进行求偏导数，全微分或高阶偏导数。