匀变速直线运动公式的推导

. 专业资料 ① 速度位移公式：202vvt

=as2

② 位移公式：s=2

02

1attv

③ 位移中点的瞬时速度公式：2

202

2vvvts



④ 中间时刻的瞬时速度：2tv=atvvvt21200=v（某段时间的平均速度等于该段时间中间时刻的瞬时速度） ⑤ 末速度公式：atvvt0 ⑥ 加速度公式：t

vvat0



⑦ 任意两个连续相等的时间的位移差公式：x=2aT

⑧ 初速度为0时，那么末速度v=at，有1T末、2T末、3T末……的瞬时速度比为自然数比 ⑨ 初速度为0时，那么位移2

2

1ats，有1T、2T、3T……的位移比

为自然数的平方比 同时还有第1个T位的移比第2个T的位移比第3个T的位移……即位移差之比为奇数比 ⑩从静止开始通过连续相等的位移所用时间的比，有第1段位移的用时比第2段位移的用时比第3段位移的用时……即时差比为1nn的比

同时还有前一个位移所用时间比前二个位移所用时间比前三个位移所用时……即位移用时比为自然数开根比 同时还有第一段位移未、第二段位移未、第三段位移未……的瞬时速 . 专业资料 度比为自然数开根比

匀变速直线运动公式的推导 加速度即为一次函数图象的斜率；加速度的方向与斜率的正负一致 1、由速度公式和位移公式可以推导出的公式 ①202vvt=as2

202vvt=2020vatv=2202taatv=20212attva=as2

位移中点的瞬时速度 ∵202vvt=as2 ∴s=avvt22022s=avvt4202 ②设位移中点瞬时速度是2sv

∵2022vvs=22as=2202vvt ∴22sv=2202vvt2sv=2

202vvt

③设初速度是0v

,加速度a,时间是t

因为位移s=202

1attv

平均速度v=ts=atv2

1

0

因为中间时刻的瞬时速度2tv=tav210=atv2

1

0=v

所以某段时间的平均速度等于该段时间中间时刻的瞬时速度 ④x=2aT（做匀变速直线运动的物体，在任意两个连续相等的时间的位移差为定值。设

加速度为a，连续相等的时间为T，位移差为x） 证明：设第1个T时间的位移为1x

；第2个T时间的位移为2x……第n个T时间的位移 . 专业资料 为nx

由x=202

1attv

得：1x

=2021aTTv

2x=2020212212aTTvTaTv=2023aTTv

nx=2020121121TnaTnvnTanTv=20212aTnTv

∴x=12xx=23xx=1nnxx=2aTa=2Tx 2 ①因为初速度是0，那么末速度v=at 1T末、2T末、3T末……瞬时速度为aT,2aT,3aT…… 所以瞬时速度的比为 v1：v2：v3……＝1：2：3：……：n ②s=22

1at

所以1T、2T、3T……nT位移 为22

1at,2221ta, 2321ta……221nta

那么他们的比为 S1：S2：S3：……：ns＝12：22：32：……：n2 ③第一个T位移=1s

=221aT （初速度为0）

第二个T位移=12ss

=2221221aTTa=223aT （初速度为at）

第三个T位移=23ss

=22221321TaTa=225aT （初速度为2at）

…… 第n个T位移=1nnss=2212121TnanTa=2212aTn [初速度为（2n-1）at] 所以第一个T、第二个T、第三个T……第n个T的位移之比为： . 专业资料 SⅠ：SⅡ：SⅢ：……：ns

＝1:3:5:……:12n

④从静止开始通过连续相等的位移所用时间的比 设每一个位移为s

对第一个s有s=2121at1t=as2 对前两个s有s2=2221aT2T=as4=21t

因此2t=12tT

=121t

对前3个s,有s3=2321aT3T=as6=31t

因此3t

=23TT=231t

对前4个s,有s4=2421aT4T=as8=41t

因此4t

=34TT=41t-31t=341t

有第1段位移所用时间比第2段位移所用时间 得1t

：2t：3t：……=1：12：23：34：……1nn

有前一个位移所用时间比前二个位移所用时间 得1t：2T：3T：4T

：……=1：2：3：……n

对于从静止开始通过连续相等的位移有第一个s末、第二个s末、……第n个s末的速度之比： v1：v2：v3……＝1：2：3：……n ∵202vvt=as2

∴21tv=as21tv

=as2 . 专业资料 22tv=as42tv=as4

…… 逐差法 是把连续的数据（必须是偶数个）s1、s2、s3……ns

从中间对半分成两组，每组有m=

2

n

个数据，前一半为s1、s2、s3……ms

，后一半为1ms、2ms……ns，将后一半的第一

个数据减去前一半的第一个数据得

1s=1ms- s1，2s=2ms- s2……ms=ns-ms，则由这些差值求得加速度分别为：

1a=21mTs，2a=22mTs……ma=

2mT

sm取这样得到的加速度的平均值

a=

m

aaam21=2221Tmsssm

=222211Tmssssssmnmm =222121Tmssssssmnmm 逐差法的应用 如果有数据三组：s1，s2，s3，则加速度表达式为a=2132Tss，即舍去第二组数据。

如果有四组数据s1，s2，s3，s4，则加速度表达式为a=2221432Tssss。如果有五组数据s1，s2，s3，s4，s5，则加速度表达式为a=221436Tssss，即舍去了中间一组数据。有六组数据s1，s2，s3，s4，s5，s6，则加速度表达式为a=



223216543T

ssssss . 专业资料 小结 1、对于时间来说，有时间、时间段和时刻，研究时，其相邻差恒等 ①1T、2T是指连续时间，对应的问题是连续时间的位移，相邻时间差恒等，有 s=2021attv

当0v

=0时，前后时间的位移比等于自然数的平方比，（助记连续时间的位移比是自平比）

②第1个T时间、第2个T时间或第1个T时间、第2个T时间，是指某1时间段，相邻时间段恒等。对应的问题是位移，这一时间段的位移有 x=12xx

相邻位移比为奇数比即第一个t秒、第二个t秒、……第n个t秒的位移比等于奇数比应用比较广泛，应熟记（时间段的位移比是奇数比） ③1T末、2T末是指某1时刻，相邻时刻差恒等，对应的问题是瞬时速度，0v、tv

即为

瞬时速度，0v

=0时，相邻瞬时速度比为自然数比（时刻速度比是自然比）

2、对于位移来说，研究时，位移由静止开始连续相等 ①第1段位移所用时间比第2段位移所用时间（孤立位移用时比根大减根小） 得1t

：2t：3t：……=1：12：23：34：……1nn

②前一个位移所用时间比前二个位移所用时间（连续位移用时比根自比） 得1t：2T：3T：4T

：……=1：2：3：……n此特点应用比较广泛，应熟记

③第一个s末、第二个s末、……第n个s末的速度之比（位移末的速度比根自比） 得v1：v2：v3……＝1：2：3：……n 匀变速直线运动的解题思路 1、加速度恒等不变，加速度等于0时，运动为匀速直线运动，速度、位移保持不变，问题简单，解题时应首先考虑加速度