高等数学(微积分)课件--§8.7二重积分

引例2：平面薄片的质量
设有一平面薄片，占有 xoy 面上的闭区域 D ，在 点( x , y ) 处的面密度为 ( x , y ) ，假定 ( x , y ) 在 D 上连续，平面薄片的质量为多少？ y 将薄片分割成若干小块， ( i , i ) 取典型小块，将其近似
看作均匀薄片，
f , ;如果当各小闭区域的直径中的最大值
i i i i 1
趋于零时,这和的极限存在,则称此极限为函数在闭 区域上的二重积分， 记作 f x, y d
f x, y d lim f ,
D
0 i i i 1
n
D
i
f x, y 叫做被积函数, f x, y d 叫做被积表达式, d 叫做面积元素, x 与 y 叫做积分变量，
1
2 x x
2
f ( x , y ) dy
1 dx 0
2
2 x
f ( x , y ) dy
y 2 x
y 2x x
2
原式
0 dy 1
1
2 y 1 y
2
f ( x , y ) dx .
16
例题与讲解


例：改变积分 0 dx 的次序 解： y
2a
2a
2 ax 2 ax x
2 D
0
1
dx
x x
2
( x y ) dy
2
4

[x
0
1
2
( x x )
2
1 2
( x x )] dx
33 140
.
18
例题与讲解

例：求积分 x e
2

其中D是以(0,0)、 D (1,1)、 (0,1)为顶点的三角形区域。 解： e y dy 无 法 用 初 等 函 数 表 示
D 叫做积分区域，i 1
n
f i ,i 叫做积分和。 i
6
关于二重积分定义的说明


(1)在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意的. (2)当在闭区域上连续时，定义中和式的极限必存在， 即二重积分必存在. (3)在直角坐标系中,若用平行于坐标轴的直线网划 分,则 f x, y d f x, y dxdy; 面积元素 d dxdy 二重积分的几何意义

0 x y 1 , x y xy ,
V
( x y ) d xyd
D

( x y xy ) dy 1 1 3 [ x (1 x ) (1 x ) ]dx 0 2
7 24 .
21
0 dx 0
11 xD Nhomakorabea利用极坐标计算二重积分

其中D是椭圆闭区域 x y 1 ( 0 b a ) 2 2 a b 解 区域 D 的面积 ab ,
在D上
2
2
0 x y a
2 2
2
,
a
2
1 e e
0
x y
2
2
e ,
由性质 6 知

2 2
e
D
(x y )
2 2
d e ,
y 2( x)
D
y 1( x )
a
b
D
y 1( x )
a
b
其中函数 1 ( x ) 、 2 ( x ) 在区间 [ a , b ] 上连续.
11
X-型积分区域上计算二重积分

将二重积分的值看作以D为底,以z=f(x,y)为曲 面的“曲顶柱体”体积。 z f ( x, y)
1
y y
y
e x dx

解： e x dx 不 能 用初 等函 数表 示
先改变积分次序.
原式 I
y x
y
dx e x dy
1 2
1
x
y x
2
x
2


1
1 2
x ( e e ) dx
x
3 8
e
1 2
e.
20
例题与讲解
例：求由下列曲面所围成的立体体积 z x y , z xy , x y 1, x 0 , y 0 . 解 曲面围成的立体如图： 所 围 立 体 在 xoy 面 上 的 投 影 是 一个三角形.
2a
17
2a
2a
例题与讲解

例：求积分 ( x y )dxdy
2

其中D是由抛物线 D y=x2和x=y2围成的闭区域。 解： 曲 线 的 交 点 x y 两
2
y x ( 0 , 0 ) , (1,1 ), 2 x y
2
y x
2
( x y )dxdy
D D
y

当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积． D 当被积函数小于零时,二重积分是柱体体积的负值． 一般,D上的二重积分等于部分区域上的柱体体积 x o 的代数和。
7
二重积分的性质(1~5)

性质1 kf x, y d
D
D
k f x, f d （k为常数）
D
dx
a
b
2( x)
1 ( x )
f ( x , y ) dy .
12
Y-型积分区域上计算二重积分

c Y-型积分区域D：
y d , 1 ( y ) x 2 ( y ).
［Y－型］
d d
x 1( y )
D
x 2( y)
x 1( y )
D
c
c
x 2( y)
垂直y轴作平行截面

D
f ( x , y )d

d
c
dy
2( y)
1 ( y )
f ( x , y ) dx .
13
其它类型的积分区域



X型区域的特点:穿过区域且平行于y轴的直线 与区域边界相交不多于两个交点. Y型区域的特点:穿过区域且平行于x轴的直线 与区域边界相交不多于两个交点. 若区域如图，则必须分割. 在分割后的三个区域上分 别使用积分公式

解
x r cos 在 极 坐标 系下 y r sin
x y 1
2 2
所以圆方程为 r 1 ,
直线方程为 r
1 sin cos
x y1
,

D
f ( x , y ) dxdy


2
d
0

1 1
f ( r cos , r sin ) rdr .
m

D
f ( x , y )d M

性质7(二重积分中值定理) 设函数f(x,y)在闭区 域D上连续,则在D上至少存在一点(,),使得

D
f ( x , y )d f ( , )
9
例题与讲解

例：不做计算,估计 I
e
D
(x y )
2
2
d
y
2
dxdy

2
积分时必须考虑次序
x
D
2
e
2
y
2
dxdy
3
dy
0
1
y
x e
2
y
2
dx
0


1
e
y

y
0
3
dy

1
e
y
2

y
2
0
6
dy
2
1
(1 ). 6 e
19
2
例题与讲解

例：计算积分 I
y


1 2
1 4
dy
y
y
1 2
e x dx
dy
1 2

D
f ( r cos , r sin ) rdrd .
22
极坐标下化二次积分(１)

若积分区域特征如下图
,
r 1 ( )
r 2 ( )
D
1 ( ) r 2 ( ).
o


A

D
f ( r cos , r sin ) rdrd
1 d d . g ( x , y ), 则有

D D

D
f ( x , y ) d g ( x , y ) d .
D

D
f ( x , y )d

D
f ( x , y ) d .
8
二重积分的性质(6~7)

性质6(估值不等式) 设M、m分别是f(x,y)在闭 区域D上的最大值和最小值,为D的面积,则
a
a
2
2
ab
e
D
(x y )
d ab e
.
10
直角坐标下计算二重积分


应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积” 的方法，可以在直角坐标下计算二重积分。 X-型积分区域D： a x b , 1 ( x ) y 2 ( x ). ［X－型］
y 2( x)
sin cos
24
极坐标下化二次积分(2)

若积分区域特征如下图
,