高中数学新人教A版必修5习题 2.1 数列的概念与简单表示法1

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数列的概念与简单表示法
A组 基础巩固
1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( )

A．1，12，13，14，…
B．－1，－2，－3，－4，…
C．－1，－12，－14，－18，…
D．1，2，3，…，n
解析：对于A，an＝1n，n∈N*，它是无穷递减数列；对于B，an＝－n，n∈N*，它也是无穷

递减数列；D是有穷数列；对于C，an＝－12n－1，它是无穷递增数列．
答案：C
2．数列23，45，67，89，…的第10项是( )

A.1617 B.1819
C.2021 D.2223
解析：由题意知数列的通项公式是an＝2n2n＋1，
∴a10＝2×102×10＋1＝2021.故选C.
答案：C
3．下列四个数中，是数列{n(n＋1)}中的一项的是( )
A．380 B．39
C．32 D．23
解析：分别令n(n＋1)＝380,39,32,23解出n∈N*即可，验证知n＝19时，19×20＝380.
答案：A

4．数列－13×5，25×7，－37×9，49×11，…的通项公式an为( )

A．(－1)n＋11n＋n＋
B．(－1)n＋1nn＋n＋
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C．(－1)n1n＋n＋
D．(－1)nnn＋n＋
解析：观察式子的分子为1,2,3,4，…，n，…，分母为3×5，5×7,7×9，…，(2n＋1)(2
n
＋3)，…，而且正负间隔，故通项公式an＝(－1)nnn＋n＋.
答案：D
5．已知数列{an}的通项公式是an＝n3n＋1，那么这个数列是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．摆动数列 D．常数列

解析：an＝n3n＋1＝13＋1n是关于n的增函数，故选A.

答案：A
6．已知数列3，3，15，21，33，…，n－，…，则9是这个数列的( )
A．第12项 B．第13项
C．第14项 D．第15项
解析：依题意，该数列的通项公式为an＝n－.令an＝9，得n＝14，故选C.
答案：C
7．已知数列{an}的通项公式是an＝n2－8n＋12，那么该数列中为负数的项一共有________
项．
解析：令an＝n2－8n＋12<0，解得2答案：3
8．下列有四种说法，其中正确的说法有________．
①数列a，a，a，…是无穷数列；②数列0，－1，－2，－3，…不一定是递减数列；③
数列{f(n)}可以看做是一个定义域为正整数N*或它的有限子集{1,2，…，n}的函数值；④已
知数列{an}，则{an＋1－an}也是一个数列．
解析：说法①④显然正确；对于②，数列只给出前四项，后面的项是不确定的，所以不
一定是递减数列；对于③，数列可以看做是一个定义域为正整数N*或它的有限子集{1,2，…，
n
}的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，所以③不正确．

答案：①②④
9．在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式是关于n的一次函数．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求a2 013；
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(3)2 014是否为数列{an}中的项？
解：(1)设an＝kn＋b(k≠0)，则

有 k＋b＝2，17k＋b＝66，
解得k＝4，b＝－2.
∴an＝4n－2.
(2)a2 013＝4×2 013－2＝8 050.
(3)令2 014＝4n－2，解得n＝504∈N*，
∴2 014是数列{an}的第504项．

10．已知数列{an}的通项公式是an＝1n2＋5n＋4.
(1)你能判断该数列是递增的，还是递减的吗？
(2)该数列中有负数项吗？
解：(1)对任意n∈N*，

∵an＋1－an＝1n＋2＋n＋＋4－1n2＋5n＋4

＝－n＋n＋2＋n＋＋n2＋5n＋<0，
∴数列{an}是递减数列．
(2)令an<0，即1n2＋5n＋4<0，
∴n2＋5n＋4<0⇒(n＋4)(n＋1)<0⇒－4而n∈N*，故数列{an}没有负数项．

B组 能力提升
11．已知函数f(x)＝ －3ax＋x，ax－7，x若数列{an}满足an＝f(n)(n∈N*)，
且{an}是递减数列，则实数a的取值范围是( )
A.13，1 B.13，12

C.13，56 D.56，1

解析：由题意得 1－3a<0，0- 4 -

答案：C
12．已知数列{an}满足a1<0，an＋1an＝2(n∈N*)，则数列{an}是________数列(填“递增”或
“递减”)．
解析：由已知a1<0，an＋1＝2an(n∈N*)，
得an<0(n∈N*)．
又an＋1－an＝2an－an＝an<0，
所以{an}是递减数列．
答案：递减
13．已知数列{an}的通项公式为an＝(m2－2m)(n3－2n)且为递减数列，求m的取值范围．
解：∵数列为递减数列，∴an＋1∴an＋1－an＝(m2－2m)＝(m2－2m)·(3n2＋3n－1)<0.
∵n∈N*，

∴3n2＋3n－1＝3n＋122－74≥5>0.
∴m2－2m<0.解得014．数列{an}中，an＝n2n2＋1.
(1)求数列的第7项；
(2)求证：此数列的各项都在区间(0,1)内；

(3)区间13，23内有无数列的项？若有，有几项？

解：(1)a7＝7272＋1＝4950.
(2)∵an＝n2n2＋1＝1－1n2＋1，
∴0(3)∵13

∴12∴n＝1，即在区间13，23内有且只有一项a1.