二次互反定律在数论中的应用
高斯的数学贡献
2010－2011学年第一学期《数学史》课程论文课程号：任课教师成绩高斯的重要数学贡献高斯（C.F.Gauss,1777—1855年）德国数学家、物理学家和天文学家。
高斯的研究领域，遍及纯粹数学和应用数学的各个领域，并且开辟了许多新的数学领域，从最抽象的代数数论到内蕴几何学，都留下了他的足迹。
从研究风格、方法乃至所取得的具体成就方面，他都是18、19世纪之交的中坚人物。
德国数学家F.克莱因曾经这样说过：“如果我们把18世纪的数学家想象为一系列的高山峻岭，那么最后一个令人肃然起敬的巅峰就是高斯；如果把19世纪的数学家想象为一条条江河，那么其源头就是高斯。
”高斯和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家。
高斯是近代数学奠基者之一，在历史上影响之大，可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列，有“数学王子”之称。
1.高斯的生平简介高斯1777年4月30日出生于德国布伦兹维克的一个贫苦农民家庭。
幼时家境贫苦，聪敏异常。
他很幸运，有一位鼎力支持他成才的母亲，高斯的母亲对他的才华极为珍视。
1784年，7岁的高斯上学了。
1787年，高斯10岁，他进入了学习数学的班次。
那时的高斯已经表现出了非同一般的创造力与计算能力。
高斯的计算能力，更主要的是高斯独到的数学方法和非同一般的创造力，使得他的数学老师布特纳对他刮目相看。
他们一起学习，互相帮助，高斯由此开始了真正的数学研究。
1788年，11岁的高斯进入了文科学校，他在新的学校里，所有的功课都极好，特别是古典文学、数学尤为突出。
经过引见，布伦兹维克公爵召见了14岁时的高斯。
这位朴实、聪明但家境贫寒的孩子赢得了公爵的同情，从此，公爵成为了高斯继续学习的资助人。
1792年，高斯进入布伦兹维克的卡罗琳学院继续学习。
此时，15岁的高斯就思考过第五公设问题。
1795—1798年，在公爵的资助下，已打下良好基础的高斯在格丁根大学学习。
高斯在那里受到系统而严格的科学教育，很快就脱颖而出，作出了名扬世界的一系列重大贡献。
数论与解析数论简史
数论与解析数论简史王志伟 200800090156 数学与应用数学数学王子Gauss曾经说过：数学是科学的女王，而数论是数学的女王。
Gauss在数学、物理、天文各方面都取得了非凡的成就，但他却始终对数论情有独钟。
数论，以其纯粹的数学本质，常常被认为是最美的数学，数学的中心。
与其他数学分支，比如几何、分析不同，数论并非是源于实际需要而创立的一门学科，其起源很有可能是出自数字游戏和Pythagoras学派以数字为图腾的宗教文化。
数论曾经被认为是数学家的游戏、最纯的数学学科、唯一不会有什么应用价值的分支。
但是现在随着网络加密技术的发展，数论也找到了自己用武之地——密码学。
前几年破解MD5码的王小云老师就是山大数论学派出身。
而在其他理论中，数论也表现出了一些意想不到的价值。
在量子理论中，Hermite算子是最基本的概念之一，它的思想起源就是19世纪Hermite为解决数论问题而创立的Hermite型。
我们在代数中常见的理想、环等概念最开始是出自Dedekind的数论著作中。
最近的一个例子，Grothendieck为解决Weil猜想而对代数几何进行了革命性的改造。
此类例子还有很多，在此不一一列举。
在古代对数论贡献最大的当属古希腊人。
最著名的一些成果大概就是Euclid在《几何原本》中提到的Euclid算法、素数无限多个，算数基本定理等内容，这些我们在初等数论中都可以见到。
另一个对数论有重大贡献的古希腊人当属Diophantus，他探讨了很多不定方程，为纪念，我们现在就称这些方程为Diophantus方程，著名的费马大定理就是一个Diophantus 方程问题。
当然，中国古代在数论方面也作出了一定的贡献：众所周知、大名鼎鼎的中国剩余定理，被数学界唯一承认的中国的定理。
在经过漫长的中世纪之后，数论进入了一个辉煌的发展时期。
推动数论发展的第一个重要人物首推Fermat，一个在数论界享有崇高地位的法国律师、业余数学家。
《平方剩余》课件
探索《平方剩余》的奥秘：从基础概念到应用的完整介绍。
什么是平方剩余？
学习平方剩余是理解数论中重要概念的关键。了解平方剩余是什么以及其与 数学中其他概念的联系。
平方剩余的相关概念和定义
探索平方剩余的核心概念，包括剩余类，勒让德符号等。了解这些定义对后 续内容的重要性。
二次剩余和二次非剩余
探索平方剩余定理及其在数学竞赛中的应用。
Euler判别定理
深入研究Euler判别定理的原理和证明，并探讨其在平方剩余问题中的应用。
Jacobi符号和Legendre符号
介绍Jacobi符号和Legendre符号的定义和性质，以及在数论中的重要作用。
平方剩余的判别方法
二次探测法
解释如何使用Leabharlann 次探测法判断数 的平方剩余。Hensel定理和Hensel引理
研究Hensel定理和Hensel引理的证明和应用，以及其在平方剩余问题中的重要性。
费马小定理和欧拉定理
解释费马小定理和欧拉定理以及它们与平方剩余的关系和应用。
平方剩余与离散对数问题
深入研究平方剩余与离散对数问题之间的联系和应用。
平方剩余在数学竞赛中的应用
探索平方剩余在数学竞赛中的应用，包括奥林匹克竞赛和其他数学竞赛中的 典型问题。
深入研究平方剩余的分类，了解二次剩余和二次非剩余之间的关系以及其在 数论中的应用。
模意义下的平方剩余
将平方剩余的概念引入模意义中，探讨模意义下平方剩余的特性和运算规律。
平方剩余的性质
欧拉判别准则
解释欧拉判别准则在判断平方剩余的作用和重要性。
二次互反律
介绍二次互反律对平方剩余的影响和应用。
平方剩余定理
2 ElGamal加密算法
maple 求legendre符号 数论
在数论中，Legendre符号（也称为Legendre符号）是一个重要的概念，用于研究二次剩余和二次非剩余以及模素数的性质。
而在求解Legendre符号的过程中，maple这一数学软件成为了很多学者和数学爱好者的首选工具之一。
在本文中，我将深入探讨Legendre符号的概念及其在数论中的应用，同时结合maple软件，为大家提供一些相关的操作实例和个人观点。
1. Legendre符号的概念解释Legendre符号是由18世纪的法国数学家Adrien-Marie Legendre引入的，用来刻画模素数性质和二次剩余的性质。
对于整数a和奇素数p，Legendre符号的定义是：\[ \left(\frac{a}{p}\right) = \begin{cases}0, & \text{如果} a \equiv 0 \pmod{p} \\1, & \text{如果} a \text{是模}p\text{的二次剩余} \\-1, & \text{如果} a \text{是模}p\text{的二次非剩余}\end{cases}\]Legendre符号的定义涉及到了模素数的二次剩余和二次非剩余的概念，这对于数论中一些重要的问题，如费马小定理、二次探测定理等都具有重要的理论和实际意义。
2. Legendre符号在数论中的应用Legendre符号在数论中有着广泛的应用，比如在勒让德定理、二次互反律定理等中都起着至关重要的作用。
通过Legendre符号的性质和计算，我们可以推导出一些模素数的性质和规律，从而解决一些数论中的问题。
在证明勒让德定理时，Legendre符号是不可或缺的工具，它将模素数的二次剩余和二次非剩余的问题转化为了符号的计算与分析问题。
除了理论证明中的应用，Legendre符号在密码学、编码理论等领域中也有很多实际的应用。
其中，Legendre符号在椭圆曲线加密算法中的应用就是一个很好的例子。
浅谈丢番图算术中的互反律定理
IT 大视野数码世界 P .42其流程如下所示（图3）：图3基于风险评估的定级流程3.结语当前信息技术发展迅猛，信息安全形势日益严峻，信息安全等级保护作为基础至关重要。
本文笔者提出的基于假想信息安全事件对客体侵害程度的定级方法以国家指导方法为蓝本，增加信息安全事件等级为评判依据，适合已建、待建等所有信息系统的定级工作；基于信息系统风险评估的定级方法适合已建信息系统的定级工作，通过结合反复进行的系统风险评估工作，将定级作为风险评估的一项成果，降低定级工作的时间、人力成本。
两种定级方法将有助于信息安全等级保护工作开展，为定级工作提供一定的参考作用。
参考文献[1]GB 17859-1999, 计算机信息系统 安全保护等级划分准则[S].[2]GB/T 22240-2008, 信息安全技术 信息系统安全等级保护定级指南[S].[3]GB/Z 20986-2007, 信息安全技术 信息安全事件分类分级指南[S].[4]周元德,董凤翔,胡波.基于等级保护的信息安全风险评估方法[J].铁道工程学报,2006(09):89-92.[5]张建军,等.信息安全风险评估探索与实践[M].北京:中国标准出版社, 2005.浅谈丢番图算术中的互反律定理苏沿帆 成都实验外国语学校（西区）摘要：求解丢番图方程是数论中的一个中心问题。
而互反律是数学家们在理解各式各样的丢番图算术问题中反复遇到的奇妙现象。
互反律现象的背后有着深刻的数学理论。
对其持续不断地研究也直接促进了近现代代数数论的迅速发展。
而这其中，高斯的二次互反律是最早发现并证明的一个互反律定理。
在这篇论文中，我们通过研究费马的著名的二平方和问题的古典证明，形象地揭示了互反律在求解丢番图方程的过程中所发挥的关键性作用。
1.导引I would like to stress how surprising this theorem (Gauss’ law of quadratic reciprocity) is to me. Why should the number of solutions to a congruence modulo p, have anything to do with which congruence class p lies in modulo something else? What have these twoquestions to do with each other? On the face of it, absolutely nothing.——Richard Taylor (The Institute for Advanced Study)数论的历史可以追溯到公元前1750年的古巴比伦王国时代。
国外数学名著系列
国外数学名著系列一、欧几里得的《几何原本》二、卡尔·弗里德里希·高斯的《算术研究》《算术研究》是德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯于1801年发表的一部关于数论的著作。
该书首次提出了同余理论，并系统研究了二次互反律、二次剩余等数论问题。
高斯在书中提出的许多理论和方法，对后来的数论研究产生了重要影响，奠定了现代数论的基础。
三、大卫·希尔伯特的《几何基础》《几何基础》是德国数学家大卫·希尔伯特于1899年出版的一部关于几何学的著作。
该书对欧几里得的《几何原本》进行了深刻的反思和改进，提出了几何学公理系统，并探讨了欧氏几何、非欧几何以及拓扑学等几何学分支的基本问题。
希尔伯特在书中提出的许多理论和方法，对20世纪数学的发展产生了重要影响。
四、约翰·冯·诺伊曼的《量子力学的数学基础》《量子力学的数学基础》是美国数学家约翰·冯·诺伊曼于1932年出版的一部关于量子力学的著作。
该书系统阐述了量子力学的数学原理，提出了希尔伯特空间、自伴算符等概念，并解决了量子力学中的许多基本问题。
冯·诺伊曼在书中提出的许多理论和方法，对量子力学的发展产生了重要影响，奠定了现代量子力学的基础。
五、安德烈·魏尔斯特拉斯的《函数论》《函数论》是德国数学家安德烈·魏尔斯特拉斯于19世纪中期发表的一系列关于函数论的论文。
这些论文系统研究了实数域上的连续函数、可微函数和解析函数，提出了魏尔斯特拉斯级数、魏尔斯特拉斯函数等概念。
魏尔斯特拉斯在书中提出的许多理论和方法，对现代分析学的发展产生了重要影响，奠定了实分析的基础。
本系列将陆续介绍更多国外数学名著，敬请期待。
希望这些著作能激发读者对数学的兴趣，为数学学科的发展贡献自己的力量。
六、勒内·笛卡尔的《几何学》《几何学》是法国哲学家、数学家勒内·笛卡尔于1637年发表的一部著作。
高斯介绍-精品文档
要点二
天文观测与编目
他进行了大量的天文观测，编制了许多星表，为天文学的 发展提供了丰富的数据基础。
感谢您的观看
THANKS
数学成就
01
02
03
数论贡献
高斯在数论领域有着卓越 的贡献，如证明了费马大 定理的一个特例。
几何学研究
他在几何学方面也有重要 突破，如研究了非欧几何 的一些性质。
概率论与统计学
他奠定了概率论与数理统 计的基础，为这些领域的 发展做出了杰出贡献。
其他领域成就
天文学
高斯在天文学领域也有一定的成就， 如计算出行星轨道的精确数值。
物理学
他在物理学方面也有所建树，特别是 在电磁学理论研究领域。
晚年与传承
晚年生活
高斯在晚年依然保持着对数学的热情，并继续为数学界做出 贡献。
学术传承
他的学生和追随者继承了他的学术思想，并将其发扬光大， 为数学和其他领域的发展做出了重要贡献。
02
高斯的数学成就
数学分析
微积分学
高斯在微积分学领域做出了杰出贡献，他改进了牛顿和莱布尼茨的微积分理论 ，并引入了严格的ε-δ定义，使微积分的基础更加牢固。
奠定了坚实基础。
04
高斯的遗产与影响
数学领域的贡献
微分几何的奠基人
高斯在研究曲面内蕴几何的基础上，建立了微分几何学的重要基 础，为现代微分几何的发展奠定了基础。
正态分布与最小二乘法
他在概率论中提出了正态分布的概念，并发展了最小二乘法，为统 计学的发展作出了重要贡献。
数论成果
高斯在数论领域也取得了杰出成果，如二次互反律等，为代数数论 的发展奠定了基础。
高斯介绍
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人教A版选修3-1数学史选讲第六讲近代数学两巨星第二课数学王子——高斯课件 (共28张PPT)
贵人资助——如虎添翼
u 15岁 进入布伦瑞克工业大学,开始对高等数学作研究。 独立发现: 二项式定理的一般形式；数论上的二次互逆定理、 素数定理、算术-几何平均数
18岁时，高斯转入哥廷根大学学习 发现了质数分布定理；最小二乘法；高斯钟形曲线 (正态分布曲线)，并在概率计算中大量使用
有关高斯的故事，哪一 个故事让你感受最深？ 你从中得到什么启发？
议一议
高斯对数学思考和应用的方法， 对你今后数学学习有何启发？
不知道自己缺点的人，一辈子都不会想要改善。成功的花，人们只惊慕她现时的明艳！然而当初她的芽儿，浸透了奋斗的泪泉，洒遍了牺牲的血雨。成功的条件在于勇气和 信乃是由健全的思想和健康的体魄而来。成功了自己笑一辈子，不成功被人笑一辈子。成功只有一个理由，失败却有一千种理由。从胜利学得少，从失败学得多。你生而有 前进，形如蝼蚁。你一天的爱心可能带来别人一生的感谢。逆风的方向，更适合飞翔。只有承担起旅途风雨，才能最终守得住彩虹满天只有创造，才是真正的享受，只有拚 活。知识玩转财富。志不立，天下无可成之事。竹笋虽然柔嫩，但它不怕重压，敢于奋斗、敢于冒尖。阻止你前行的，不是人生道路上的一百块石头，而是你鞋子里的那一 爱，不必呼天抢地，只是相顾无言。最值得欣赏的风景，是自己奋斗的足迹。爱的力量大到可以使人忘记一切，却又小到连一粒嫉妒的沙石也不能容纳。生活不可能像你想 不会像你想的那么糟。时间告诉你什么叫衰老，回忆告诉你什么叫幼稚。不要总在过去的回忆里缠绵，昨天的太阳，晒不干今天的衣裳。实现梦想往往是一个艰苦的坚持的 到位，立竿见影。那些成就卓越的人，几乎都在追求梦想的过程中表现出一种顽强的毅力。世界上唯一不变的字就是“变”字。事实胜于雄辩，百闻不如一见。思路决定出 细节决定成败，性格决定命运虽然你的思维相对于宇宙智慧来说只不过是汪洋中的一滴水，但这滴水却凝聚着海洋的全部财富；是质量上的一而非数量上的一；你的思维拥 所有过不去的都会过去，要对时间有耐心。人总会遇到挫折，总会有低潮，会有不被人理解的时候。如果你希望成功，以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟，以希 个人不知道他要驶向哪个码头，那么任何风都不会是顺风。沙漠里的脚印很快就消逝了。一支支奋进歌却在跋涉者的心中长久激荡。上天完全是为了坚强你的意志，才在道 碍。拥有资源不能成功，善用资源才能成功。小成功靠自己，大成功靠团队。炫耀什么，缺少什么；掩饰什么，自卑什么。所谓正常人，只是自我防御比较好的人。真正的 防而又不受害。学习必须如蜜蜂一样，采过许多花，这才能酿出蜜来态度决定高度。外在压力增加时，就应增强内在的动力。我不是富二代，不能拼爹，但为了成功，我可 站在万人中央成为别人的光。人一辈子不长不短，走着走着，就进了坟墓，你是要轰轰烈烈地风光下葬，还是一把骨灰撒向河流山川。严于自律：不能成为自己本身之主人 他周围任何事物的主人。自律是完全拥有自己的内心并将其导向他所希望的目标的惟一正确的途径。生活对于智者永远是一首昂扬的歌，它的主旋律永远是奋斗。眼泪的存 伤不是一场幻觉。要不断提高自身的能力，才能益己及他。有能力办实事才不会毕竟空谈何益。故事的结束总是满载而归，就是金榜题名。一个人失败的最大原因，是对自 的信心，甚至以为自己必将失败无疑。一个人炫耀什么，说明内心缺少什么。一个人只有在全力以赴的时候才能发挥最大的潜能。我们的能力是有限的，有很多东西飘然于 之外。过去再优美，我们不能住进去；现在再艰险，我们也要走过去！即使行动导致错误，却也带来了学习与成长；不行动则是停滞与萎缩。你的所有不甘和怨气来源于你 你可以平凡，但不能平庸。懦弱的人只会裹足不前，莽撞的人只能引为烧身，只有真正勇敢的人才能所向披靡。平凡的脚步也可以走完伟大的行程。平静的湖面锻炼不出精 生活打造不出生活的强者。人的生命似洪水在奔流，不遇着岛屿、暗礁，难以激起美丽的浪花人生不怕重来，就怕没有将来。人生的成败往往就在于一念之差。人生就像一 为你在看别人耍猴的时候，却不知自己也是猴子中的一员！人生如天气，可预料，但往往出乎意料。人生最大的改变就是去做自己害怕的事情。如果不想被打倒，只有增加 你向神求助，说明你相信神的能力；如果神没有帮助你，说明神相信你的能力。善待自己，不被别人左右，也不去左右别人，自信优雅。活是欺骗不了的，一个人要生活得 象这杯浓酒,不经三番五次的提炼呵,就不会这样一来可口！生命不止需要长度，更需要宽度。时间就像一张网，你撒在哪里，你的收获就在哪里。世上最累人的事，莫过于 你感到痛苦时，就去学习点什么吧，学习可以使我们减缓痛苦。当世界都在说放弃的时候，轻轻的告诉自己：再试一次。过错是暂时的遗憾，而错过则是永远的遗憾！很多 结果，但是不努力却什么改变也没有。后悔是一种耗费精神的情绪后悔是比损失更大的损失，比错误更大的错误所以不要后悔。环境不会改变，解决之道在于改变自己。积 成功者的最基本要素。激情，这是鼓满船帆的风。风有时会把船帆吹断；但没有风，帆船就不能航行。即使道路坎坷不平，车轮也要前进；即使江河波涛汹涌，船只也航行 粹取出来的。浪费时间等于浪费生命。老要靠别人的鼓励才去奋斗的人不算强者；有别人的鼓励还不去奋斗的人简直就是懦夫。不要问别人为你做了什么，而要问你为别人 遥远的梦想和最朴素的生活，即使明天天寒地冻，金钱没有高贵，低贱之分。金钱在高尚人的手中，就会变得高尚；金钱在庸俗人手中，就会变得低级庸俗。涓涓细流一旦 大海也就终止了呼吸。漫无目的的生活就像出海航行而没有指南针。如果我没有，我就一定要，我一定要，就一定能。上一秒已成过去，曾经的辉煌，仅仅是是曾经。其实 在昨天，而是失败在没有很好利用今天。千万人的失败，都有是失败在做事不彻底，往往做到离成功只差一步就终止不做了。强者征服今天，懦夫哀叹昨天，懒汉坐等明天 只是不来的人，要来，千军万马也是挡不住的。求人不如求己；贫穷志不移；吃得苦中苦；方为人上人；失意不灰心；得意莫忘形。人们总是在努力珍惜未得到的，而遗忘 告诉我，无理取闹的年龄过了，该懂事了。时间是个常数，但也是个变数。勤奋的人无穷多，懒惰的人无穷少。手莫伸,伸手必被捉。党与人民在监督,万目睽睽难逃脱。汝 不伸能自觉,其实想伸不敢伸,人民咫尺手自缩。思考是一件最辛苦的工作，这可能是为什么很少人愿意思考的原因。我们不能成为贵族的后代，但我们可以成为贵族的祖先 年后的自己。自信！开朗！豁达！无论现在的你处于什么状态，是时候对自己说：不为模糊不清的未来担忧，只为清清楚楚的现在努力。无人理睬时，坚定执着。万人羡慕 志者常立志，有志者立常志，咬定一个目标的人最容易成功。心随境转是凡夫，境随心转是圣贤。学会以最简单的方式生活，不要让复杂的思想破坏生活的甜美。要无条件 的时候。一个人能走多远，要看他有谁同行；一个人有多优秀，要看他有谁指点；一个人有多成功，要看他有谁相伴。成功在优点的发挥，失败是缺点的累积。从绝望中寻 辉煌。当你跌到谷底时，那正表示，你只能往上，不能往下！当你决定坚持一件事情，全世界都会为你让路。贫穷本身并不可怕，可怕的是贫穷的思想，以及认为自己命中 了贫穷的思想，就会丢失进取心，也就永远走不出失败的阴影请享受无法回避的痛苦。人的一生就是体道，悟道，最后得道的过程。人生就是一万米长跑，如果有人非议你 一点，这样，那些声音就会在你的身后，你就再也听不见了。人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有久久不会退去的余香。人生可如蚁而美如神。 变故、循环不已的痛苦和欢乐组成的。那种永远不变的蓝天只存在于心灵中间，向现实的人生去要求未免是奢望。是我们不认识自己的智慧，不明白自己拥有全宇宙的力量 是被命运安排！做好自己其他的让别人说去吧！成功不是凭梦想和希望，而是凭努力和实践成功就是简单的事情不断地重复做。荆棘的存在是为了野草不轻易地任人践踏。 人贪安逸易失志没有目标的人永远为有目标的人去努力。没有人可以做你的双拐，你必须学会独立去闯荡。每天叫醒自己的不是闹钟，而是梦想。能把在面前行走的机会抓 都会成功。你既然认准一条道路何必去打听要走多久!你可以选择这样的“三心二意”：信心、恒心、决心；创意、乐意。你若花开，蝴蝶自来。盆景秀木正因为被人溺爱 梁之材的梦。潜龙怎能久卧于深水，勤奋，是步入成功之门的通行证。
数论高斯记号 -回复
数论高斯记号-回复在数论中，高斯记号（Gauss's notation）是一种用来描述剩余类的性质和关系的符号表示方法。
它由德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯于1796年创立，被广泛应用于数论、代数和离散数学等领域。
高斯记号的核心思想是将整数的剩余类抽象成符号形式。
具体来说，设p 是一个奇素数，对于任意一个整数a，高斯记号[a p]定义为：[a p]={0, 若a≡0 (mod p);1, 若a不是p的倍数且a是一个较小后p的二次剩余;-1, 若a不是p的倍数且a是一个较小后p的二次非剩余。
}这个定义相当于将剩余类0、二次剩余和二次非剩余分别对应为0、1和-1。
高斯记号在讨论和描述剩余类的性质和关系时，提供了一种简明、直观的符号表示方法。
高斯记号有一些基本的性质和运算规则，下面我们分步介绍。
1. 高斯记号的基本性质（1）若a≡b (mod p)，则有[a p]=[b p]。
这是因为剩余类的定义只和同余关系有关，与具体的整数值无关。
（2）若a≡0 (mod p)，则有[a p]=0。
这是因为0是p的倍数，所以不满足二次剩余和二次非剩余的定义。
（3）若a、b均不是p的倍数，且满足a≡b (mod p)，则有[a p]=[b p]。
这是因为如果a和b同余，那么它们既可能都是二次剩余，也可能都是二次非剩余。
（4）若a、b均不是p的倍数，则有[a p][b p]=[ab p]。
这是高斯记号的一个重要的乘法规则，它告诉我们两个数的乘积的高斯记号等于两个数的高斯记号的乘积。
2. 高斯记号的平方剩余与平方非剩余我们知道，对于一个素数p，整数a的二次剩余是指整数x满足x^2≡a (mod p)，而整数a的二次非剩余是指不存在整数x满足x^2≡a (mod p)。
高斯记号提供了一种简洁的方式来判断一个数是二次剩余还是二次非剩余。
（1）若p是奇素数，且a是p的二次剩余，那么有[a p]=1。
数学学中的几何与数论
数学学中的几何与数论 数学是一门精巧而又深奥的学科，涉及多个分支和领域。在数学学中，几何与数论是两个重要的分支。几何研究空间、形状和位置的关系，而数论研究整数的性质和关系。尽管这两个领域在表面上看起来截然不同，然而它们之间存在着密切的联系和相互影响。本文将探讨几何与数论在数学学中的重要性及其相互关系。
1. 几何在数论中的应用 几何在数论中扮演着重要的角色。首先，几何形状的研究对于理解数论中的许多概念至关重要。例如，二次曲线可以用来研究整数的性质和分布。二次曲线的图形可以帮助我们理解平方数的分布规律，进一步研究与此相关的数论问题。此外，几何图形也可以用来表示数论中的运算规则和定理，使得数学概念更加具体和直观。
其次，几何方法在解决数论问题时常常发挥重要的作用。研究几何对象的性质和性质的证明，可以提供数论问题的洞见和切入点。在求解数论难题时，通常很难直接从整数的性质入手，而利用几何形状和性质的证明，可以引出一系列关于整数的性质和关系。几何方法的运用使得数论问题更加具体化和可视化，有助于我们更加深入地理解问题的本质。
2. 数论在几何中的应用 与几何在数论中的应用相反，数论也在几何研究中发挥着重要的作用。几何研究的很多问题可以转化为数论问题，从而通过数论的方法来解决。例如，可以将关于整数点的问题转化为与整数的性质和关系有关的问题，然后通过数论方法来解决。这种转化可以提供新的思路和方法，帮助我们更好地理解和解决几何问题。
数论方法还可以用来证明几何定理和性质。通过数论方法的运用，我们可以使用数论的定理和技巧，来推导和证明几何定理。这种跨学科的应用，丰富了数学研究的方法和手段，进一步推动了数学的发展。
3. 几何与数论的交叉学科 几何与数论的相互关系不仅仅体现在它们在数学学中的应用和互相影响上，还体现在它们之间的交叉学科。几何与数论的交叉学科是数学研究中的一个重要领域，涵盖了几何和数论的共同问题和方法。