分析课习题
分析化学精品课程习题及试题
第一章 习 题1. 名词解释：误差 偏差 相对平均偏差 标准偏差 相对标准偏差 有效数字 置信区间 置信概率2. 说明下列各组之间的关系。
误差与准确度 偏差与精密度 准确度与精密度3. 判断下列情况引起的误差是那种误差？（1）天平的砝码锈蚀。
（2）天平的零点有微小波动。
（3）被测试液中有少量干扰物质存在。
（4）被测试剂和滴定剂反应不完全。
（5）读取滴定管读数时，最后一位数字估计不准确。
（6）用移液管移取溶液时，没有用待移取溶液润洗。
（7）滴定过程中，滴定剂不慎溅到外面。
（8）重量分析中，被测离子沉淀不完全。
（9）分析过程中，不慎加错了试剂。
（10）光度法测定磷含量时，电压突然升高引起读数改变。
4. 下列数据各有几位有效数字？（1）3.08 （2）1.0002 （3）0.003678 （4）4500 （5）12.2530 （6）1.03×10-5（7）pH = 8.79 （8）3.5×103 （9）0.21% （10）pH = 11.65. 根据有效数字规则计算下列各式。
（1）6.25×2.1364 + 1.5×10-5 + 0.4685÷0.025 – 37.66357（2）0.02643×24.49×2500÷3.855()(3)0.0906721.12162.21××3 1.41931000××-13.40（1）－6 （2）419.8 （3）0.02666. 用正确的有效数字表示下列物质的质量，用准确度为0.1g 天平称取5g 试样；用分度值为0.001g 的天平称取200mg 试样；用万分之一的天平称取10mg 试样。
7. 将浓度为5.61L mol -⋅的盐酸50mL 与浓度为0.21061L mol -⋅的盐酸50mL 混合，计算混合后的盐酸浓度。
（2.91mol-⋅）L8. 用无水碳酸钠标定盐酸的浓度时，两次标定的结果分别是0.10241⋅、Lmol-0.10321⋅，求它们相对误差是多少？mol-L（0.78%）9. 用甲醛法测定某铵盐试样中氮的含量，五次测定的结果如下：20.43%，20.61%，20.33%，20.78%，20.50%。
仪器分析习题课(光学分析部分)
（3）待测元素吸收线和试样中共存元素的吸收线重叠，可选择待测 元素的其它吸收灵敏线作分析线，若其它吸收灵敏线的测定灵敏度过低， 可采取分离干扰元素的方法解决。
C(Mg)=5.62 ng·mL-1
第六章：原子吸收分光光度分析
1.简述原子吸收分光光度分析的基本原理，并从原理上 比较发射光谱法和原子吸收分光光度法的区别？
答：原子吸收分光光度分析中，被测试样在原子化中经 雾化、蒸发、干燥、离解、原子化过程后，被测元素被转化 为基态原子，由锐线光源辐射的锐线为被测元素所吸收而减 弱，透过光线经单色器分光后而为检测器所接收，被测元素 的吸光度与试样中的浓度成正比，此既为原子吸收分光光度 分析的基本原理。
优点：分析速度快，灵敏度高，选择性好，检测限低， AAS较AES受原子化温度影响小，设备也较便宜，AES适合 于多元素同时分析。
2．何谓锐线光源，AAS为何使用锐线光源？ 答：锐线光源是指能辐射出半宽度很窄的发射线的光源。 原子吸收光谱由于受谱线变宽的影响，谱线具有一定的 轮廓，而试样中被测元素的基态原子总数是与积分吸收成正 比的，但是由于原子吸收谱线的半宽度太小，其积分吸收是 不能直接测定的。但若使用锐线光源，由于其发射线宽度远 小于吸收线宽度，而两者的中心频率是重合的，而峰值吸收 与积分吸收成正比，因此，可利用测量峰值吸收来代替积分 吸收，此时峰值吸收与被测元素浓度成正比。
3．在原子吸收分光光度计中，为什么不采用连续光源（例如钨丝 灯或氘灯），而在分光光度计中则需要采用连续光源？
答：原子吸收光谱为线状光谱，其半宽度很小，仅10-2—10-3nm，如 要测量其积分吸收，则要求入射光的通带宽度应远小于原子吸收线的半 宽度,若采用连续光源，则要求单色器的分辨率很高，至少应在五十万分 之一，这在当前技术条件下难以作到。一般分光光度计的通带宽度均大 于0.1nm，若直接测量原子吸收，则由于其通带宽度远大于原子吸收线的 半宽度，由待测元素原子产生的吸收占通带内的入射光的比例很小（约 1%以内），导致测量的误差太大，因此原子吸收分光光度法中，不采用 连续光源，而采用空心阴极灯等锐线光源作光源，测量原子的峰值吸收。
工业药物分析习题课1
3、凡属于药典收载的药品其质量不符合规定 标准的均 A、不得生产、不得销售、不得使用 B、不得出厂、不得销售、不得供应 C、不得出厂、不得供应、不得实验 D、不得出厂、不得销售、不得使用 E、不得制造、不得销售、不得应用
4、中国药典主要内容分为 A、正文、含量测定、索引 B、凡例、制剂、原料 C、鉴别、检查、含量测定 D、前言、正文、附录 E、凡例、正文、附录 5、药典规定的标准是对药品质量的 A、最低要求 B、最高要求 C、一般要求 D、行政要求 E、内部要求
36、碘量法测定青霉素时空白实验的目的是 （ C） A、消除温度影响 B、为了计算方便 C、消除降解产物等杂质的影响 D、矫正标准溶液 E、使与对照品条件一致 47、TLC法鉴别四环素类药物时，在固定相和流动相 中加EDTA的目的是什么？（D） A、调节展开系统的PH值 B、与四环素类药物络合，改善色谱行为 C、防止四环素类分解 D、克服因痕量金属离子存在而引起的拖展现象 E、克服因痕量金属离子存在而引起的荧光淬灭现象
√
√
23、两步滴定法测定阿司匹林片是因为 A、片剂中有其他酸性物质 B、片剂中有其他碱性物质 C、需用碱定量水解 D、阿司匹林具有酸碱两性 E、使滴定终点明显 24、中国药典中含芳伯氨基的药品大多采用下列哪种方法进行含 量测定？ A、氧化还原电位滴定法 B、非水溶液中和法 C、用永停法指示等当点的重氮化滴定法D、用电位法指示等当点 的银量法 E、用硫化银薄膜电极指示等当点的银量法 25、非那西丁含量测定：精密称取本品0.3630g，加稀盐酸回流1 小时后，放冷，用亚硝酸钠滴定液（0.1010mol/L）滴定，消耗 20.00ml。每1ml亚硝酸钠滴定液（0.1mol/L）相当于17.92mg的 C10H13NO2，计算非那西丁的含量 A、95.6% B、96.6% C、97.6% D、98.6% E、 99.7%
光化学分析法习题课
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问答题
1. 何谓元素的共振线、灵敏线、最后线、分析线，它们之间有何 联系？
解：由激发态向基态跃迁所发射的谱线称为共振线(resonance line)。共振线具有最小的激发电位，因此最容易被激发，为该 元素最强的谱线。
灵敏线(sensitive line) 是元素激发电位低、强度较大的谱线， 多是共振线(resonance line)。
1．原子吸收光谱法中的物理干扰可用下述哪一种方法消 除： A．释放剂 ； B．保护剂； C．标准加入法；D．扣除背景； 2．光的波长、频率、能量之间具有下列关系： A．波长越长，频率越低，能量越小； B．波长越长，频率越高，能量越小； C．波长越长，频率越低，能量越大； D．波长越长，频率越高，能量越大； 3．光学分析法中，使用内标法进行定量分析的方法是： A．紫外分光光度法；B．可见光分光光度法； C．原子吸收光谱法；D．发射光谱分析法； 4．发射光谱分析法进行定性分析时的根据是： A．谱线的强度；B．谱线的波长； C．谱线的黑度；D．谱线的多少；
摄取铁光谱是由于铁的光谱谱线较多，而且每条谱线的波 长都已经精确测定，并载于谱线表内，因此可以用铁个谱 线作为波长的标尺，进而确定其它元素的谱线位置。
• 3.请简要写出高频电感耦合等离子炬 (ICP) 光源 的优点。 [答] 温度高可达 10000 K，灵敏度高可达10-9； 稳定性好，准确度高，重现性好； 线性范围宽可达 4~5 个数量级； 可对一个试样同时进行多元素的含量测定； 自吸效应小； 基体效应小; 无电极污染。
7.在原子发射光谱中，公式I=acb，当b=1时，表示 ________________，在低浓度 b=__________。 8.产生红外光谱的必要条件是__________。 9.分析线和内标线符合均称线对的元素应该是 _____电 位和_______电位相近。 10.红外光谱研究最多的就是基本振动频率,而这种分子 振动主要有两种形式,分别为( )振动和( )振 动. 11.AAS是基于( )对特征辐射的吸收而进行分析的方 法;UV-VIS是基于( )对特征辐射的吸收而进行分析 的方法.按其辐射的外形,前者表现为( )光谱,后者为( ) 光谱.
谢惠民数学分析习题课讲义部分题目解答
数学分析习题课讲义问题解答第一章引论1.3.2练习题1.关于Bernoulli 不等式的推广:(1)证明:当12-≤≤-h 时Bernoulli 不等式nh h n+≥+1)1(仍成立;(2)证明:当0≥h 时成立不等式2)1()1(2h n n h n-≥+,并推广之;(3)证明:若),,2,1(1n i a i =->且同号,则成立不等式∑∏==+≥+ni in i iaa 111)1(.2.阶乘!n 在数学分析以及其他课程中经常出现,以下是几个有关的不等式,它们都可以从平均不等式得到:(1)证明:当1>n 时成立nn n )21(!+<;【证明】利用平均值不等式,有n nk nk kk n ∏∑==≥111所以nn n )21(!+≤因为1>n ,所以取等号的条件n === 21不满足,故nn n 21(!+<.(2)利用)1(]2)1)[(1()!(2n n n n ⋅⋅-⋅= 证明:当1>n 时成立nn n 62(!+<;【证明】利用平均值不等式,有n nk nk k n k k n k n ∏∑==-+≥-+11)1()1(1所以nn n n n n 62(]6)2)(1([!+<++≤(3)比较(1)和(2)中两个不等式的优劣,并说明原因;(4)证明:对任意实数r 成立nn k r n rk n n )(1)!(1∑=≤.【证明】利用平均值不等式,有n nk rn k rkk n ∏∑==≥111所以nn k r n rk n n )(1)!(1∑=≤3.证明几何平均值-调和平均值不等式:若0>k a ,n k ,,2,1 =,则有∑∏==≥nk knnk k a n a 1111)(【证明】利用平均值不等式,有n nk kn k ka a n ∏∑==≥11111所以∑∏==≥nk knnk k a n a 1111)(4.证明:当c b a ,,为非负数时成立333cb a ca bc ab abc ++≤++≤.【证明】由于cabc ab c b a a c c b b a ++≥++⇒≥-+-+-2222220)()()(所以33)(3)(2cabc ab cb a ca bc ab c b a ++≥++⇒++≥++利用平均值不等式,有323)(33abc ca bc ab ca bc ab =⋅⋅≥++所以33abc ca bc ab ≥++5.证明下列不等式:(1)b a b a -≥-和b a b a -≥-;【证明】利用三点不等式,有ab b a b b a =+-≥+-)(由对称性知ba b a ≥+-所以ba ab b a b a -=--≥-),max((2)∑∑∑===≤≤-n k k nk knk ka aaa 1121;有问:左边可否为∑=-nk k a a 21?【证明】利用(1)的结论,有∑∑∑====-≤-nk knk knk kaa aaa 21111反复利用三点不等式,有∑∑∑∑∑=====≤≤++≤+≤+=nk knk knk knk k nk ka aa a aa a a a132121211再利用这个结论,有∑∑∑===≤≤-nk knk knk ka aaa 2211(3)bb aa ba b a +++≤+++111;【证明】显然函数x x x x f +-=+=1111)(是单调增加的,所以有bb aa ba b ba a ba b a ba b a +++≤+++++=+++≤+++111111(4)nnnna b a a b a -+≤-+)()(.【证明】利用三点不等式,有nnn n n n n n n b a b a b a a a b a a a b a )()()()(+≤+=+≤+-+=+-+第二章数列极限2.7.3参考题第一组参考题1.设}{12-k a ,}{2k a 和}{3k a 都收敛,证明:}{n a 收敛.【证明】设}{12-k a ,}{2k a 和}{3k a 分别收敛于数c b a ,,.取}{12-k a 的一个子列}{36-k a ,它收敛于数a ,同时它又是}{3k a 的子列,所以也收敛于数c ,所以c a =.取}{2k a 的一个子列}{6k a ,它收敛于数b ,同时它又是}{3k a 的子列,所以也收敛于数c ,所以c b =.于是有b a =.对任给的0>ε,存在正整数1N 与2N ,当1N n >时有εa a n <--12,当2N n >时有εa a n <-2.现取),max(221N N N =,当N n >时有εa a n <-,故}{n a 收敛于a .2.设}{n a 有界,且满足条件2+≤n n a a ,3+≤n n a a ,+∈N n ,证明:}{n a 收敛.【证明】由条件2+≤n n a a 知}{12-k a 与}{2k a 都是单调增加的数列,又有界,故都收敛.由条件3+≤n n a a 知}{3k a 单调增加,又有界,故收敛.利用1的结论知}{n a 收敛.3.设}{1++n n a a 和}{2++n n a a 都收敛,证明:}{n a 收敛.【证明】设}{1++n n a a 和}{2++n n a a 分别收敛于数b a ,.那么有ab a a a a a a n n n n n n n n -=+-+=-++∞→++∞→)]()[(lim )(lim 1212ba a a a a a a n n n n n n n n -=+-+=-+++∞→+∞→)]()[(lim )(lim 2211进而有)]()[(lim )(lim 1122=-+-=-+++∞→+∞→n n n n n n n n a a a a a a 故2)]()[(lim 21lim 22a a a a a a n n n n n n n =--+=++∞→∞→5.设∑=-+=nk n nka 12)11(,+∈N n ,计算n n a ∞→lim .【解】由于∑∑∑∑====++≤++=-+≤++nk n k n k n k nknn k n k n k n k n n 122122121221111111)11(111而2121lim lim 12=+=∞→=∞→∑n n n k n nk n 211111lim2=++∞→n n ,21111lim 2=++∞→nnn 故41lim =∞→n n a 7.设p a a a ,,,10 是1+p 个给定的数,且满足条件010=+++p a a a .求)1(lim 10p n a n a n a p n +++++∞→ 【解】)1(lim 10p n a n a n a p n +++++∞→ 1)[(lim 121p n a n a n a a a p p n +++++----=∞→()1([lim 1n p n a n n a p n -+++-+=∞→ 01(lim 1=++++++=∞→np n pa n n a p n 8.证明:当10<<k 时,0])1[(lim =-+∞→kkn n n 【证明】(这里用到后面将要学习的等价无穷小知识)0lim ]1)11[(lim ])1[(lim 1==-+=-+-∞→∞→∞→k n k k n k k n n k nn n n 12.证明:nnn n n)2(e !)e(<<.【证明】利用数列})11{(nn+单调增加趋于e ,有!)e(!!)1()11()211()111(e 21n nn n n n n n n n n n<⇒>+=+++> 利用1.3.2中题2的结论:nn n )21(!+<,有nn n n n n n n n n n n n )2(e !!2)1()11(e <⇒>+=+>14.设n na n 2131211-++++= ,+∈N n ,证明:}{n a 收敛.【证明】一方面,有01211212111<++-+=++-+=-+nn n n n n a a n n 另一方面,有n n n a n 2124323221-++++++++> n n n 21(2)34(223(21--+++-+-+= 221212221->-++-=n n 根据单调有界定理知}{n a 收敛.15.设已知存在极限na a a n n +++∞→ 21lim ,证明:0lim =∞→n an n .【证明】设T T na a a n n→=+++ 21,∞→n ,于是1)1(---=n n n T n nT a ,2≥n ,由此得0])11([lim lim1=-=--=-∞→∞→T T T nT n a n n n n n 17.设对每个n 有1<n x 和41)1(1≥-+n n x x ,证明}{n a 收敛,并求其极限.【证明】显然有0>n x ,2≥n .所以有1211)21()1(41+++≤⇒+-≤-≤n n n n n n x x x x x x 根据单调有界定理知}{n a 收敛,且可设收敛于数10≤≤A ,于是有41)1(≥-A A ,解得21=A .18.设b a =1,c a =2,在3≥n 时,221--+=n n n a a a ,证明}{n a 收敛,并求其极限.【证明】由于)(21211-----=-n n n n a a a a ,所以)(21()()21(21221b c a a a a n n n n --=--=----,进而有b bc a b c a n n n n +-----=+-++-+--=---)()21(1)21(1]21()21()21)[((11032 ,于是32lim c b a n n +=∞→.第二组参考题1.设n a n +++= 21,+∈N n ,证明:}{n a 收敛.【证明】利用不等式1111211+-=+-+-≤+-n n n n n ,+∈N n 以及221-≤-n n ,3≥n 有2213411231+≤≤+-+-++≤+-+-++≤ n n n n a n 又因为}{n a 是单调增加的数列,利用单调有界定理知}{n a 收敛.2.证明:对每个正整数n ,成立不等式n k n nk n 2e!1)11(0->+∑=.【证明】利用1.3.2中题1的结论:∑∏==+≥+ni in i iaa 111)1(,),,2,1(1n i a i =->且同号,当2≥n 时有∑∑∑===---++=-==+nk n k k n k k k n n n k n k n k n n k n C n 200)11()11(!111)!(!!11)11(∑∑==--++=----++>nk nk n k k k n k n k 22)2)1(1(!111111(!111 n k k n k nk n k nk 2e !1)!2(121!1020->--=∑∑∑===当1=n 时,2e22->显然成立.3.求极限)e !π2sin(lim n n n ∞→.【解】利用命题2.5.4,有1(π21!!(π2e !π2)11!!(π211(π200n N n k n n n k n n N nk n k +=+<<++=++∑∑==所以nn n n n n π2sin e)!π2sin(1π2sin<<+,4≥n 利用夹逼准则知π2)e !π2sin(lim =∞→n n n 4.记n S n 1211+++= ,+∈N n .用n K 表示使得n S k ≥的最小下标,求极限nn n K K 1lim +∞→.【解】由条件知n K K n S n n 1+≤≤与01lim=∞→nn K 因为γn S n n =-∞→)ln (lim 而nn n K n K K n K S K n n 1ln ln ln +-≤-≤-所以)ln (lim )ln (lim n n n n K n γK n -≥≥-∞→∞→于是γK n n n =-∞→)ln (lim 所以11)]ln 1()ln [(lim lnlim 11=+-+--=+∞→+∞→n n n nn n K n K n K K 故elim 1=+∞→nn n K K 5.设∑==nk k n n Cnx 02ln 1,+∈N n ,求n n x ∞→lim .【解】利用Stolz 定理,有220112)1(ln ln lim ln 1limlim n n C CCn x nk kn n k k n n nk k nn n n -+-==∑∑∑=+=+∞→=∞→∞→1211ln lim 12)ln (ln lim 01+-++=+-=∑∑=∞→=+∞→n kn n n C Cnk n nk k nk n n )12()32(11ln 22ln lim 01+-+-++--++=∑∑=+=∞→n n k n n k n n nk n k n 11ln 12ln (lim 2110∑∑==∞→-++--++=n k n k n k n n k n n 2112ln lim 21)12ln 12(ln lim 211=++=+++++=∞→=∞→∑n n n n n n n n n k n 6.将二项式系数⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n n ,,1,0 的算术平均值和几何平均值分别记为n A 和n G .证明:(1)2lim =∞→n n n A ;(2)e lim =∞→n n n G .【证明】由于n nnA n n n n =⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+ 10)11(,所以有22lim 2lim lim ===∞→∞→∞→n n n nn nn n nn A 因为)!(!!k n k n k n -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛,所以21)!!1!0()!(n n G n nn ⨯⨯⨯=+ ,所以有)!!2!1ln(2!ln )1(exp(lim ])!!2!1()!([lim lim 21212n n n n n n G n n n n n n n ⨯⨯⨯-+=⨯⨯⨯=∞→+∞→∞→ 12!ln )1ln(exp(lim )12)!1ln(2!ln )1()!1ln()2(exp(lim +-+=++-+-++=∞→∞→n n n n n n n n n n n n )21exp(212ln)1(exp(lim =+++=∞→n n n n 7.设∑==nk kn aA 1,+∈N n ,数列}{n A 收敛.又有一个单调增加的正数数列}{n p ,且为正无穷大量.证明:lim2211=+++∞→nnn n p a p a p a p【证明】利用Stolz 定理,有nn n n n n n n n p A A p A A p A p p a p a p a p )()(lim lim 1122112211-∞→∞→-++-+=+++ nnn n n n n p A p A p p A p p A p p +-++-+-=--∞→11232121)()()(lim 0lim lim lim )(lim11=+-=+--=∞→∞→∞→++∞→n n n n n n nn nn n n A A A p p A p p 8.设}{n a 满足1)(lim 12=∑=∞→ni i n n aa ,证明:13lim 3=∞→n n a n .【证明】令∑==ni in aS 12.因为1)(lim 12=∑=∞→ni i nn aa ,所以}{n a 不会恒为零,故}{n S 当n 足够大时是单调增加的正数列.若+∞=∞→n n S lim ,则01limlim 12==∑=∞→∞→ni i n n n a a ;若}{n S 收敛,则0lim 0lim 2=⇒=∞→∞→n n n n a a ;即总有0lim =∞→n n a .所以1lim )(lim lim 11211111==-=++∞→++++∞→+∞→n n n n n n n n n n n S a a a S a S a 以及+∞=∞→n n S lim ,故31)(1lim )1(lim lim )(lim lim 2121213313333=++=--+==⋅=+++∞→+∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n n n n n n n n nn S S S S a S S n n S n S S a n na 所以13lim 3=∞→n n a n 12.设10<<λ,}{n a 收敛于a .证明:λa a λa λa λa n n n n n -=++++--∞→1)(lim 0221 【证明】令a a b n n -=,那么)]()()[(lim )(lim 010221a b λa b λa b a λa λa λa n n n n n n n n n ++++++=++++-∞→--∞→ λa b λb λb λλa b λb λb n n n n n n n n n n -++++=+++++++=-∞→∞→-∞→1)(lim )1(lim )(lim 0101 故只需要证明)(lim 01=+++-∞→b λb λb n n n n 存在正数M 使得M b n <恒成立.对任给的0>ε,存在正整数N ,当N n >时有εb n <.所以当N n >时有估计11101b λb λb λb λb b λb λb n N N n N N n n n n n n ++++++≤+++-+---- M λλελλn N n N n )()1(1++++++≤--- M λN ελN n -++-≤)1(11因为0lim =-∞→Nn n λ,所以存在正整数N N >1,当1N n >时有εMN λN n )1(1+<-,此时有估计ελb λb λb n n n )111(01+-≤+++- 故)(lim 01=+++-∞→b λb λb n n n n 17.令20≥y ,221-=-n n y y ,+∈N n .设nn y y y y y y S 10100111+++=.证明:24lim 200--=∞→y y S n n 【证明】令10-+=a a y ,1≥a .可归纳得出nna ay n 22-+=,+∈N n ,即12211++=n na a y n .当1=a ,即20=y 时有2≡n y ,于是24121212120012--=→+++=+y y S n n ,∞→n ,命题成立;当1>a 时,有)1111(111)1()1)(1(121211211022222222222210+++++----=--=+++=n n n n n n aa a a a a a a a a a a a a y y y n 于是a a a a a a a a a S n k k n nk n n n 1)1111(lim 1)1111(lim 1lim 2212220222=----=----=+++∞→=∞→∞→∑而aa a a a y y 12)()(2411200=--+=----.第三章实数系的基本定理第四章函数极限4.5.2参考题7.对一般的正整数n 计算极限30sin sin limxxn nx x -→.【解】31030)sin )1sin((sin lim sin sin lim x x x k kx x x n nx nk x x ∑=→→---=-31031021sin 2sin 2sin 4lim ]2cos )21[cos(2sin 2lim x xk x k x x x x k x n k x n k x ∑∑=→=→--=--=6)1()1(2121--=--=∑=n n k k n k 11.设函数f 在),0(+∞上单调增加,且有1)()2(lim =+∞→x f x f x .证明:对每个0>a ,成立1)()(lim =+∞→x f ax f x .【证明】当1>a 时,存在正整数k 使得k k a 221≤≤-,于是)2()(lim )2()()2()2()()2(lim )()(lim 112x f ax f x f ax f x f x f x f x f x f ax f k x k x x -+∞→-+∞→+∞→==)2()(lim )2()()2()2(lim )2()(lim 11x f ax f x f ax f x f x f x f ax f k x k k k x k x +∞→-+∞→-+∞→==由于f 单调增加,所以1)2()(1≥-x f ax f k ,1)2()(≤x f ax f k,所以有)()(lim1)()(limx f ax f x f ax f x x +∞→+∞→≤≤故1)()(lim=+∞→x f ax f x 当10<<a 时,利用上述结果,有1)((1lim )()(1lim )()(lim ===+∞→=+∞→+∞→t f atf ax f x f x f ax f t t ax x x 当1=a 时显然,故对每个0>a ,成立1)()(lim =+∞→x f ax f x .第五章连续函数第六章导数与微分6.1.4练习题6.2.4练习题6.3.4练习题6.4.2参考题第一组参考题1.利用导数的定义计算极限xx x x sin )sin 1()tan 1(lim 10100--+→.【解】利用导数的定义,有xx x x sin )sin 1()tan 1(lim 10100--+→x x x x x x x x sin 1)sin 1(lim sin tan tan 1)tan 1(lim 100100---+-+=→→20))1((1))1((010010='++⨯'+===x x x x 2.设231)(2++=x x x f ,计算)0()100(f ,要求相对误差不超过1%.【解】由于2111)2)(1(1)(+-+=++=x x x x x f 所以101101)100()2(!100)1(!100)(+-+=x x x f 所以)211(!100)0(101)100(-=f 取!100)0()100(≈f,则相对误差为01.0121211(!100)211(!100!100101101101<-=---.3.设f 在点a 处可导,0)(≠a f .计算n n a f n a f ])()1([lim +∞→.【解】)()1(ln exp(lim ])()1([lim a f n a f n a f n a f n n n +=+∞→∞→由于)()(exp(1)()1()(1exp(lim ))()1(ln exp(lim a f a f xa f x a f a f a f x a f x x x '=-+=++∞→+∞→利用Heine 归结原则,有))()(exp()()1([lim a f a f a f n a f n n '=+∞→5.设0)0(=f ,)0(f '存在.定义数列)()2(1(222nn f n f n f x n +++= ,+∈N n ,试求n n x ∞→lim .【解】由于xx f x f x f f x x )(lim 0)0()(lim)0(00→→=--=',所以对任给的0>ε,存在0>δ,当δx <<0时有])0([)(])0([εf x x f εf x +'<<-'取11[+=δN ,当N n >时有δnn<<20,所以有])0()[21(])0(21(222222εf nnn n x εf n n n n n +'+++<<-'+++ 而n n n n n n 2121222+=+++ 所以εf x n nn <'-+)0(12故2)0(lim )0(lim 2)]0(12[lim 0f x f x f x n n n n n n n n '=⇒'-='-+=∞→∞→∞→6.求下列数列极限:(1))sin 2sin 1(sinlim 222n nn n n +++∞→ ;【解】运用上题的结论,考虑函数x x f sin )(=,即得21)0(21)sin 2sin 1(sinlim 222='=+++∞→f n n n n n (2))]1()21)(11[(lim 222n nn n n +++∞→ .【解】运用上题的结论,考虑函数)1ln()(x x f +=,即得e ))0(21exp(1(2111[(lim 222='=+++∞→f n n n n n 7.设xx y -+=11,计算)()(x y n ,+∈N n .【解】由于x xx x y ---=---=1121)1(2,通过求导找规律直接可得2122121)()1(2!)!32()1(2!)!12()(--+----+--=n nn n n x n x n x y ,2≥n 以及xx y -+-='-121)1(238.设f 在R 上有任意阶导数,证明:对每个正整数n 成立)(1)(1)]1([)1()1(1n n n n n xf x x f x -+-=【证明】用数学归纳法,当1=n 时,右式='='-=)1(1])1([2xf x xf 左式;假设当n k =时成立)(1)(1)]1([)1()1(1k k k k k xf x x f x -+-=;当1+=n k 时有)1(11)1(11([)1()]1([)1(+-+++⋅-=-n n n n n n x f x x x f x ∑+=-+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=10)1(1)(11([1)1(n k k n n k n x f x x k n })]1()[1()]1([{)1()(1)1(11n n n n n x f x n x f x x -+-+++⋅-=)1(1])1(1[)(1)(1xf x n x f x x n n n n +++-'⋅-=)1(1)]1(1)1(1[)(1)1(3)(2xf x n x f x x f x n x n n n n n n +++++--+-⋅-=1(1)1(2xf x n n ++=由归纳原理知命题成立.10.证明组合恒等式:(1)112-=⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑n nk n k n k ,+∈N n ;【证明】考虑恒等式∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+nk k nx k n x 1)1(,对x 求导得∑=--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+nk k n x k n k x n 111)1(,再令1=x 即得112-=⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑n nk n k n k (2)2122)1(-=⋅+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑n nk n n k n k ,+∈N n .【证明】由(1)可知∑=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+n k kn x k n k x nx 11)1(,对x 求导得∑=---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-++nk k n n x k n k x x n x n 11221])1()1()1[(再令1=x 即得2122)1(-=⋅+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑n nk n n k n k 第二组参考题1.(1)求∑=n k kx 1sin 和∑=nk kx 1cos ;【解】利用积化和差公式)cos()cos(sin sin 2y x y x y x --+=-可知2cos)21cos(])21cos()21[cos(sin 2sin 211x x n x k x k kx x nk n k -+=--+=-∑∑==于是有2sin2)21cos(2cos sin 1x xn x kx nk +-=∑=,π2k x ≠,Z ∈k 当π2k x =时有0sin 1=∑=nk kx ;同样地,利用公式)sin()sin(cos sin 2x y y x y x --+=可知2sin)21sin(])21sin()21[sin(cos 2sin 211x x n x k x k kx x nk n k -+=--+=∑∑==于是有2sin22sin )21sin(cos 1x xx n kx nk -+=∑=,π2k x ≠,Z ∈k 当π2k x =时∑=nk kx 1cos 发散;(2)求∑=nk kx k 1sin 和∑=n k kx k 1cos .【解】利用(1)的结论,对结果求导即知4.证明:Legendre 多项式nnn n n x xn x P )1(d d !21)(2-=满足方程)()12()()(11x P n x P x P n n n +='-'-+【证明】直接计算可得])1()1(2[d d )!1(21)1(d d )!1(21)(2111122211nn n n n n n n n x x n xn x x n x P -++=-+='++++++++])1(2)1[(d d !21])1([d d !211222211-++-+-=-=n n n n n n n n n x nx x x n x x x n ])1)(11[(d d )!1(21)(1221---+--+=n nn n n x x x n x P ])1[(d d )!1(21)()12(121----++=n nn n n x x n x P n )()()12(1x P x P n n n -'++=5.证明:Legendre 多项式满足方程)()1()(2)()1(2=++'-''-x P n n x P x x P x n n n 【证明】考虑函数nx y )1(2-=,求导得12)1(2--='n x nx y ,即nxy y x 2)1(2='-,两边求1+n 次导数,利用Leibniz 公式,有∑∑+=-+++=-++='-1)1()(11)1()(21)()(2)()1(n k k n k k n n k k n k k n y x C n y x C即])1([2)1()1(2)1()()1()()1()2(2n n n n n y n xy n y n n xy n y x ++=++++-+++整理得)()1()2(2)1(2)1(n n n y n n xy y x +=+-++故0)1(2)1()()1()2(2=++--++n n n y n n xy y x 所以)()1()(2)()1(2=++'-''-x P n n x P x x P x n n n 第七章微分学的基本定理7.2.4练习题10.设f 在]1,1[-上有任意阶导数,0)0()(=n f,+∈∀N n ,且存在常数0≥C ,使得对所有+∈N n 和]1,1[-∈x 成立不等式n n C n x f !)()(≤.证明:0)(≡x f .【证明】写出nn n n n n x n ξf x n ξf x n f x f f x f !)(!)()!1()0()0()0()()()(1)1(=+-++'+=-- ,x ξ≤,所以有nn n Cxξf n x x f ≤=)(!)()(若10<≤C ,那么0)(→≤n C x f ,∞→n 此时有0)(≡x f ,]1,1[-∈x ;若1≥C ,那么当Cx C 2121<<-时有021)(→≤nx f ,∞→n 此时有0)(≡x f ,]21,21[CC x -∈,在这之上有0)0()(=n f ,+∈∀N n ,故以此类推可知分别在]22,21[C C ,]21,22[CC --,…等区间上都有0)(≡x f ,从而有0)(≡x f ,]1,1[-∈x .11.设f 在],[b a 上二阶可微,且0)()(='='b f a f .证明:存在),(b a ξ∈,使得成立)()()(4)(2a fb f a b ξf --≥''.【证明】写出2121))((21)())((21))(()()(a x ξf a f a x ξf a x a f a f x f -''+=-''+-'+=2222))((21)())((21))(()()(b x ξf b f b x ξf b x b f b f x f -''+=-''+-'+=其中b ξx ξa <<<<21.取2ba x +=,则分别有4)(2)()()2(21a b ξf a f b a f -''+=+,4)(2)()(2(22a b ξf b f b a f -''+=+以上两式相减可得4)()]()([21)()(0212a b ξf ξf a f b f -''-''+-=移项后,由三点不等式可得)(])()([21)()()(4122ξf ξf ξf a f b f a b ''≤''+''≤--其中))(,)(max()(21ξf ξf ξf ''''=''.13.设f 在),[+∞a 上二阶可微,且0)(≥x f ,0)(≤''x f ,证明:在a x ≥时0)(≥'x f .【证明】假设存在),[0+∞∈a x 使得0)(0<'x f ,那么当0x x ≥时)()(0x f x f '≤',进而有)()()()()()(0000x f x x ξf x x x f x f '-≤'-=-,x ξx ≤≤0,只需再令)()(000x f x f x x '->便得0)(<x f ,这与0)(≥x f 矛盾,所以在a x ≥时0)(≥'x f .14.设f 在)1,1(-上1+n 阶可微,0)0()1(≠+n f,+∈N n ,在10<<x 上有n n n n x n x θf x n f x f f x f !)()!1()0()0()0()()(1)1(+-++'+=-- ,其中10<<θ,证明:11lim 0+=→n θx .【证明】由导数定义可知xθf x θf fn n x n )0()(lim)0()()(0)1(-=→+1)(1)1(0)0(!])!1()0()0()0()([lim +--→----'--=n nn n n x x θx f n x n f x f f x f 而其中又有1)(1)1(0)0(!])!1()0()0()0()([lim +--→----'--n nn n n x x x f n x n f x f f x f 1)0()0()(lim 11)!1(!)0(!)(lim )1()()(0)()(0+=-+=+-=+→→n f x f x f n x n n f n x f n n n x n n x 所以11lim 1lim 1)0()0(00)1()1(+=⇒+=→→++n θθn f fx x n n 15.证明:在1≤x 时存在)1,0(∈θ,使得2)(1arcsin x θx x -=,且有31lim 0=→θx .【证明】利用Lagrange 中值定理知存在ξ介于0与x 之间使得210arcsin arcsin ξx x -=-当0=x 时任取)1,0(∈θ;当10≤<x 时有10<<x ξ,令xξθ=,故存在)1,0(∈θ使得2)(1arcsin x θx x -=所以31))(arcsin (arcsin lim arcsin arcsin lim arcsin 1lim lim 4022220222020=+-=-=-=→→→→x x x x x x x x x x x x θx x x x 故31lim 0=→θx 16.设f 在)(0x O δ上n 阶可微,且0)()(0)1(0===''-x fx f n ,0)(0)(≠x f n .证明:当δh <<0时,成立h h θx f x f h x f )()()(000+'=-+,10<<θ,且成立11lim -→=n h nθ.【证明】利用Lagrange 中值定理知存在ξ介于0x 与h x +0之间使得hξf x f h x f )()()(00'=-+因而有100<-<h x ξ,令hx ξθ0-=,则成立h h θx f x f h x f )()()(000+'=-+,10<<θ.所以有1100000)()()()()()(--⋅'-+'='--+n n n θh θx f h θx f h h x f x f h x f 而!)(!)(lim )()()(lim 0)(0)1(00000n x f h n h x f h h x f x f h x f n n h n h =+='--+-→→)!1()()!1()(lim )()(lim )()()(lim 0)(0)1(010001000-=-+='-+'='-+'-→-→-→n x f t n t x f t x f t x f h θx f h θx f n n t n t n h 故10101lim 1lim -→-→=⇒=n h n h nθn θ7.3.2参考题第一组参考题1.设有n 个实数n a a a ,,,21 满足12)1(31121=--++--n a a a n n 证明:方程0)12cos(3cos cos )(21=-+++=x n a x a x a x f n 在区间2π,0(中至少有一个根.【证明】构造辅助函数x n n a x a x a x F n )12sin(123sin 3sin )(21--+++= 则可见0)2π()0(==F F .对F 在区间]2π,0[上用Rolle 定理,就知道)()(x f x F ='在区间)2π,0(中有零点.2.设0≠c ,证明:方程0345=+++c bx ax x 至少有两个根不是实根.【证明】设c bx ax x x f +++=345)(,那么22234)345(345)(x b ax x bx ax x x f ++=++='若03452=++b ax x 有两个相同实根,那么0≥'f ,此时f 严格单调增加,故方程只有一个实根,还有四个根不是实根;若03452=++b ax x 无实根,那么f 严格单调增加,同上;若03452=++b ax x 有两不同实根21x x <,那么f 在),(1x -∞,),(2+∞x 上严格单调增加,在),(21x x 上严格单调减少,此时方程至多有3个实根,还有两个根不是实根.3.设0≠a ,证明:方程n n na x a x 222)(+=+只有一个实根0=x .【证明】设n n na x a xx f 222)()(+-+=,那么])([2)(1212--+-='n n a x x n x f 当0>a 时,0)(<'x f ;当0<a 时,0)(>'x f .总之f 是严格单调的,故至多有一个实根,而0=x 是它的一个实根,所以方程只有一个实根0=x .4.设f 在],[b a 上连续,在),(b a 内可微,且满足条件0)()(>b f a f ,0)2()(<+ba f a f 证明:对每个实数k ,在),(b a 内存在点ξ,使成立0)()(=-'ξkf ξf .【证明】因为0)2()(<+b a f a f ,0)2()(<+b a f b f ,所以f 在)2,(b a a +和),2(b ba +上分别存在一个零点1x 与2x .构造辅助函数)(e )(x f x g kx-=,那么0)()(21==x g x g ,于是存在),(21x x ξ∈使得有0)(='ξg ,0)]()([e =-'-ξkf ξf ξk ,故0)()(=-'ξkf ξf .5.设∑==nk xλkk c x f 1e)(,其中n λλ,,1 为互异实数,n c c ,,1 不同时为0.证明:f 的零点个数小于n .【证明】用数学归纳法.当1=n 时xλc x f 1e )(1=,而01≠c ,此时f 没有零点;假设当n 时命题成立;当1+n 时,不妨令01≠+n c ,那么e )(0eee)(11)(11)(11111==⇒===∑∑∑+=-+=-+=n k x λλk n k xλλk xλn k xλk k k k c x g c c x f 而∑+=--='12)(11e )()(n k x λλk kk c λλx g 的零点个数至多有1-n 个,所以g 的零点个数至多有n 个,即f 的零点个数至多有n 个.根据归纳原理知命题成立.7.设f 在],[b a 上连续,在),(b a 内可微,但不是线性函数,证明:存在),(,b a ηξ∈,使成立)()()()(ηf ab a f b f ξf '>-->'【证明】构造辅助函数)()()()()()(a f a x ab a f b f x f x g -----=因为f 不是线性函数,所以g 不恒为零,而0)()(==b g a g ,所以存在),(b a c ∈使得0)(≠c g ,不妨设为0)(>c g .于是存在),(,b a ηξ∈,使成立0)()()(>'=--ξg a c a g c g ,0)()()(<'=--ηg bc b g c g 即有)()()()(ηf ab a f b f ξf '>-->'8.设f 在],[b a 上二阶可微,0)()(==b f a f ,且在某点),(b a c ∈处有0)(>c f ,证明:存在),(b a ξ∈,使0)(<''ξf .【证明】利用Lagrange 中值定理,存在),(1c a ξ∈与),(2b c ξ∈使得0)()()(1>'=--ξf a c a f c f ,0)()()(2<'=--ξf cb c f b f 再次利用此定理,存在),(21ξξξ∈使得)()()(1212<''=-'-'ξf ξξξf ξf 9.利用例题7.1.3的方法(或其他方法)解决以下问题:(1)设f 在],[b a 上三阶可微,且0)()()(=='=b f a f a f ,证明:对每个],[b a x ∈,存在),(b a ξ∈,使成立)()(!3)()(2b x a x ξf x f --'''=【证明】当),(b a x ∈时构造辅助函数)()()()()()()(22t f b t a t b x a x x f t g -----=那么有0)()()(===x g b g a g ,于是存在b ξx ξa <<<<21使得0)()(21='='ξg ξg ,又)())](()(2[)()()()(2t f a t a t b t b x a x x f t g '---+---='所以0)(='a g ,于是存在2211ξηξηa <<<<使得0)()(21=''=''ηg ηg ,最后存在21ηξη<<使得)()(3)()(0)()()()(60)(22b x a x ξf x f ξf b x a x x f ξg --'''=⇒='''---⇒='''当a x =或b x =时任取),(b a ξ∈等式都成立.(2)设f 在]1,0[上五阶可微,且0)1()1()1()32(31(=''='===f f f f f ,证明:对每个]1,0[∈x ,存在)1,0(∈ξ,使成立3)5()1)(32)(31(!5)()(---=x x x ξf x f 【证明】当}32,31{\)1,0[∈x 时构造辅助函数)()1)(3231()132)(31()()(33t f t t t x x x x f t g -------=重复(1)中的操作,最终存在)1,0(∈ξ使等式成立.当31=x 或32=x 或1=x 时任取),(b a ξ∈等式都成立.(3)设f 在],[b a 上三阶可微,证明:存在),(b a ξ∈,使成立)()(121)]()()[(21)()(3ξf a b b f a f a b a f b f '''--'+'-+=【证明】【法一】设2a b c +=,2a b h -=,待证等式化为)(32)]()([)()(3ξf x h c f h c f h h c f h c f '''-+'+-'+-=+令K x h c f h c f h h c f h c f 332)]()([)()(-+'+-'+-=+构造辅助函数K x x c f x c f x x c f x c f x g 332)]()([)()()(++'+-'---+=那么0)()0(==h g g ,利用Rolle 中值定理,存在),0(1h x ∈使得0)(1='x g ,而)(]2)()([)(x xh xK x c f x c f x x g =++''--''='所以0)()0(1==x h h ,于是存在),0(12x x ∈使得0)(2='x h ,而Kx c f x c f x h 2)()()(++'''--'''-='所以有)()(2)()(222ξf K ξf x c f x c f K '''=⇒'''=+'''+-'''=【法二】考虑函数)]()()[(21)()()(a f x f a x a f x f x F '+'---=,3)()(a x x G -=那么0)()()()(='=='=a G a G a F a F ,连续运用Cauchy 中值定理,知)(121)()()()()()()()()()()()()()(ξf ξG ξF a G c G a F c F c G c F a G b G a F b F b G b F '''-=''''='-''-'=''=--=其中b c ξa <<<.(4)设f 在],[b a 上二阶可微,证明:对每个),(b a c ∈,有),(b a ξ∈,使成立))(()())(()())(()()(21b c a c c f a b c b b f c a b a a f ξf --+--+--=''【证明】构造辅助函数)())(())()(())(())()(())(())()(()(x f b c a c b x a x c f a b c b a x c x b f c a b a c x b x a f x g -----+----+----=那么有0)()()(===c g b g a g ,于是存在c ξb ξa <<<<21使得0)()(21='='ξg ξg ,进而知存在),(21ξξξ∈使得0)(=''ξg ,即))(()())(()())(()()(21b c a c c f a b c b b f c a b a a f ξf --+--+--=''10.设b a <<0,f 在],[b a 上可微,证明:存在),(b a ξ∈,使成立)()()()(1ξf ξξf b f a f b a b a '-=-【证明】利用Cauchy 中值定理,知存在),(b a ξ∈,使成立)()(1)()(11)()()()()()(122ξf ξξf ξξξf ξf ξa b a a f b b f b a a bf b af b f a f b a b a '-=--'=--=--=-16.设f 在]2,0[上二阶可微,且1)(≤x f ,1)(≤''x f ,证明:2)(≤'x f .【证明】写出21))((21))(()()0(x ξf x x f x f f -''+-'+=22)2)((21)2)(()()2(x ξf x x f x f f -''+-'+=其中2021≤≤≤≤ξx ξ.两式相减得])()2)(([21)(2)0()2(2122x ξf x ξf x f f f ''--''+'=-所以2122)()2)((21)0()2()(2x ξf x ξf f f x f ''--''+-≤'])2[(21)0()2(22x x f f +-++≤44212=⨯+≤故2)(≤'x f 18.设当],0[a x ∈时有M x f ≤'')(.又已知f 在),0(a 中取到最大值.证明:Ma a f f ≤'+')()0(.【证明】设f 在点),0(a b ∈处取得最大值,由Fermat 定理知0)(='b f .写出))(()()(1a b ξf a f b f -''+'='bξf f b f )()0()(2''+'='其中),(1a b ξ∈,),0(2b ξ∈.由此有估计Mab ξf b a ξf a f f ≤''+-''='+')()()()()0(21第二组参考题5.设f 在],[b a 上可微,)()(b f a f '=',证明:存在),(b a ξ∈,使成立aξa f ξf ξf --=')()()(【证明】考虑函数x a f x f x g )()()('-=,那么0)()(='='b g a g ,待证式为aξa g ξg ξg --=')()()(.考虑辅助函数⎪⎩⎪⎨⎧=≤<--=ax b x a ax a g x g x G ,0,)()()(若)()(a g b g =,那么有0)()(==a G b G ,于是存在),(b a ξ∈使得0)(='ξG ,即aξa g ξg ξg a ξa g ξg a ξξg --='⇒=-+--')()()(0)()()())((2若)()(a g b g >,那么0)()()()()()())(()(22<--=-+--'='a b b g a g a b a g b g a b b g b G 以及0)(>b G ,所以在b x =的某个左邻域],[b δb -内有点c 使得0)()(>>b G c G ,从而)(x G 在),(b a 内取到最大值,故存在),(b a ξ∈使得0)(='ξG .若)()(a g b g <,同理.6.设f 在],[b a 上连续,在),(b a 内可微,又有),(b a c ∈使成立0)(='c f ,证明:存在),(b a ξ∈,满足ab a f ξf ξf --=')()()(【证明】构造辅助函数ab x a f x f x g ---=e)]()([)(那么ab xa b a f x f x f x g -----'='e ])()()([)(.如果0)(='c g ,那么取c ξ=即可.如果0)(>'c g ,那么)()(a f c f <,于是0)(<c g ,所以存在),(0c a x ∈使得0)()()(0<--='ac a g c g x g ,由达布定理知存在),(0c x ξ∈使得0)(='ξg .如果0)(<'c g ,同理.7.设f 在],[b a 上连续,在),(b a 上可微,0)(=a f ,0)(>x f ,],(b a x ∈∀,证明:对每个0>α,存在),(,21b a x x ∈,使成立)()()()(2211x f x f αx f x f '='【证明】只需考虑1>α的情形.构造辅助函数)(ln )(x f x F =,],(b a x ∈,则-∞=+→)(lim x F ax .记λb F =)(,可取),(b a c ∈使得1)(-=λc F ,由Lagrange 中值定理知)()()(11ξF cb c F b F c b '=--=-,),(1b c ξ∈再取),(c a d ∈使得cb ab αλd F ---=)(,由Lagrange 中值定理知)(1)()()(12ξF αcb αc b a b a b αd b d F b F ξF '>-=--->--=',),(2d a ξ∈由达布定理可知存在),(3b a ξ∈使得)()(13ξF αξF '='.8.设f 在),(+∞-∞上二阶连续可微,1)(≤x f ,且有4)]0([)]0([22='+f f ,证明:存在ξ,使成立0)()(=''+ξf ξf .【证明】在]2,0[上利用Lagrange 中值定理,知存在)2,0(1∈x 使得1)(2)0()2()(11≤'⇒-='x f f f x f 同理存在)0,2(2-∈x 使得1)(2)0()2()(22≤'⇒---='x f f f x f 构造辅助函数22)]([)]([)(x f x f x h '+=,]2,2[-∈x ,于是2)(1≤x h ,2)(2≤x h ,4)0(=h ,所以h 在)2,2(-∈ξ处取到最大值,于是0)(='ξh ,即有)()]()([2='''+ξf ξf ξf 由于3)]([4)]([22≥-≥'ξf ξf ,所以0)(≠'ξf ,故0)()(=''+ξf ξf .9.设f 在),(+∞-∞上二阶连续可微,且对所有R ,∈h x 成立。
分析化学课上习题整理
黄婧例：某物称重2.1750g，真值为2.1751g；另一物重0.2175g，真值为0.2176g。
它们的Ea 和Er各为多少？Ea1=2.1750-2.1751= -0.0001gEr1=(-0.0001/2.1751)*100%= -0.005%Ea2=0 . 2175-0 . 2176= -0.0001gEr2=(-0.0001/ 0. 2176)*100%= -0.05%例：测定某试样中的铁含量时，得到铁的百分含量如下：57.64，57.58，57.54，57.60，57.55，求di, dr,đ ,đr。
解：=（57.64+57.58+57.54+57.60+57.55）/5=57.58 di分别为：0.06，0，-0.04，0.02，-0.03 dr分别为：0.1，0，-0.07，0.04，-0.05đ=（0.06+0+0.04+0.02+0.03）/5=0.03đr=（0.03/57.58）*100%=0.05%例：有两组数据，xi-di1:0.3, 0.2, -0.4, 0.2, -0.1, 0.4, 0, 0.3, 0.2, -0.3,求出：đ1=0.24 đ2=0.24两批数据均差相同，但明显看出，2数据中有两个-0.7，0.9的特大偏差，2数据较分散。
而均差没能反映出这种特异值。
例：用丁二酮戊重量法测定钢铁中Ni的百分含量，得到下列结果：10.48，10.37，10.47，10.43，10.40，计算分析结果的个别偏差，个别相对偏差，均差，相对均差，标准偏差和变异系数。
解：đ= 0.036đr=0.35%s=0.046s r=0.44%例1：某试样中铁的五次测定结果如下：39.10，39.12，39.19，39.17，39.22，试写出分析报告。
置信度分别为90%和95%。
x=39.16, S=0.052选定P=90%时，n=5,f=5-1=4 t=2.13Fe=39.16+ 0.05=39.11-39.21选定P=95%时，n=5,f=5-1=4 t=2.78Fe=39.16+ 0.06=39.10-39.22例2：测定SiO2的百分含量，得到下列数据28.62，28.59，28.51，28.48，28.52，28.63，求平均值，标准偏差，变异系数及置信度分别为90%和95%的平均值的置信区间。
分析化学习题
0
[M] cM
[M]
[M](1
i[L]i )
1
1
i[L]i
1
[M L] cM
[M][L]1 [M](1 i[L]i
)
1
1[L] i[L]i
01[L]
┇
n
[M Ln ] cM
n[L]n 1 n[L]n
0n[L]n
δ值的大小与络合物本身的性质有关，与配体的 浓度大小有关。
习题p249
络合滴定及氧化还原 滴定习题课
2014.05.27
第七章 络合滴定法
溶液中各级络合物型体的分布
cM：金属离子的分析浓度 [L]：络合剂平衡浓度
CM=[M]+[ML]+[ML2]+···+[MLn] =[M]+β1[M][L]+β2[M][L]2+ ···+βn[M][L]n = [M](1+ β1 [L] + β2 [L] 2 + ···+ βn[L]n ) M离子各型体MLi的平衡浓度 [MLi]=δiCM
查表知pH=10时，EBT-Zn的pZnt=12.2
pZn 'ep =pZnt lgZn 12.2 5.25 6.95
pZn 'ep 与pZn 'sp 相近，所以可以用EBT作指示剂 pZn ' =pZn 'ep -pZn 'sp =6.95-6.40=0.55 终点误差Et= 105.5 -10-5.5 100% 0.01%
24．在pH=2.0时，用20.00 mL 0.02000mol/LEDTA 标准溶液滴定20.00 mL 2.0×10-2mol/ LFe3+。问 当EDTA加入19.98mL,20.00 mL，20.02 mL 和 40.00 mL 时，溶液中pFe(Ⅲ)如何变化？
保险案例分析-习题课
5、案例：某人妻子生产，为防万一，他给钱让小舅子 张三帮忙办理投保“母婴安康险”。没想到，张三在办 理投保时以自己作为投保人和受益人。作为保险兼业代 理人的院方虽然知道张三投保不符合保险利益原则，但 没有提出异议而接受了投保。事后发生保险事故，保险 公司应否承担赔偿责任？案情：１９９６年上海郊县有 一农村妇女因患高血压休息在家，８月投保保险金额为 ２０万元、期限２０年的人寿保险，投保时隐瞒了病情。 １９９７年２月该妇女高血压病情发作，不幸去世。被 保险人的丈夫作为家属请求保险公司给付保险金。 问题：问保险公司是否履行给付责任？
2.问题：以下各属何种风险管理技术？ A：安装防火门（ ） B：安装防盗门（ ） C：为保证货款安全而拒绝赊销（ ）
3.问题：以下几种情况各属于何种保险？ （1）某人向A、B两家保险公司签订了一份保险合同。 （ ） （2）某人向A保险公司投保了100万元财产损失险， A 公司随后将其中的20%向B保险公司投保。（ ） （3）某企业有100万元财产，该企业首先在甲保险公司 投保了50万元财产险，随后又在乙保险公司投保了40万 元财产险，这是否为重复保险？（ ） 如其他不变，该企业随后在乙保险公司投保了90万元， 这是否为重复保险？（ ）
9.分析：游客对故宫博物院没有保险利益。因为 保险利益是投保方对保险标的所具有的法律上 承认的经济利益，当保险标的安全存在时投保 方可以由此而获得经济利益。若保险标的受损， 则会蒙受经济损失。在本案例中，保险标的 （即故宫）的存在不会为投保人（即游客）带 来法律上承认的经济利益，保险标的发生事故 也不会给投保人造成经济损失，所以该旅客对 故宫博物院没有保险利益。
10.分析：（1）保险人不承担赔偿责任。 因为承租人对该房屋已经没有保险利益。 （2）房东不能以被保险人的身份索 赔。因为保单转让没有经过保险人办理批 单手续，房东与保险人没有保险关系。
仪器分析课外习题集
仪器分析课习题第一章电磁辐射基础1 对下列单位进行换算：（1）1.50ÅX射线的波数（cm-1） (6.66×107) （2） 670.7nm 锂线的频率（HZ）（4.47×1014) （3）3300cm-1波数的波长（nm）（3030）（4）Na 5889.95Å相应的能量（eV）（2.11）2 写出下列各种跃迁所需的能量范围（eV）（1）原子内层电子跃迁 (1.2×102-1.2×106) （2）原子外层电子跃迁（6.2-1.7)（3）分子的电子跃迁（6.2-1.7)（4）分子振动能级跃迁（0.5-0.02)（5）分子转动能级跃迁 (2×10-2-4×10-7)3 某种玻璃的折射率为1.7000,求光在此玻璃介质中的传播速度.(1.76×1010cm/s)4 辐射通过空气与玻璃界面时,其反射损失大约有多少? (～4%)5 解释下列名词(1)单重态与三重态(2)原子荧光与分子荧光(3)选择跃迁与禁阻跃迁(4)激发电位与共振电位6 阐明光谱项符号和能级图的意义7 用光谱项符号写出Mg 2852Å(共振线)的跃迁 (31S0-31P1)8 下列哪种跃迁不能产生,为什么?(1) 31S0-31P1(2) 31S-31D2(3) 33P2-33D3(4) 43S1-43P1(31S-31D2) 第二章原子发射光谱分析法1 解释下列名词(1)激发电位和电离电位;(2)原子线和离子线;(3)共振线和共振电位;(4)等离子体;(5)谱线的自吸.2 计算Cu3273.96Å和Na5895.92Å的激发电位(eV) (3.78,2.10)3 谱线自吸对光谱分析有什么影响?4 说明影响原子发射光谱分析中谱线强度的主要因素.5 阐述原子发射光谱定性分析的原理,怎样选择摄谱法定性分析时的主要工作条件.6 光谱定性分析摄谱时,为什么要用哈德曼光栏?7 推导摄谱法原子发射光谱定量分析的基本关系式.8 选择分析线应根据什么原则?9 下表中列出铅的某些分析线,若测定水中痕量铅应选用哪条谱线,当试样中含量为0.1%时是否仍选用此线.说明理由铅线波长/Å 激发电位/ eV2833.071 4.372802.001 5.742873.321 5.632663.171 5.972393.791 6.5010 说明选择内标元素及内标线的原则?11 说明缓蚀剂在矿石定量分析中所起的作用?12 采用K4047.20 Å作分析线时,受Fe4045.82 Å和弱氰带的干扰,可用何种物质消除此干扰?13 为什么在碳电极直流电弧光源中采用惰性气氛?14 分析下列试样应选用什么光源:(1)矿石的定性、半定量；(2)合金中的铜（～x%）;(3)钢中的锰（0.0 x-0.X%）;(4)污水中的Cr.Mn.Cu.Fe.V.Ti等(ppm- x%).15分析下列试样时应选用什么类型的光谱仪:(1)矿石的定性、半定量；(2)高纯Y2O3中的稀土杂质元素;(3)卤水中的微量铷、铯.16说明乳剂特性曲线的制作及其在光谱定性和定量分析中的作用.17 简述ICP光源的特点及应用.18 试比较摄谱法与光电法.19 绘出原子发射光谱仪的方框图,并指出各部件的具体名称及主要作用.20 当试样量很少而又必须进行多元素测定时,应选用下列那种方法:(1) 单道ICP-AES;(2)原子吸收光谱法;(3)摄谱法原子发射光谱法21 若光栅刻痕为1200条/mm,当入射光垂直照射时,求3000 Å波长光的一级衍射角. (21.10)22 当一级光谱波长为5000Å时,其入射角为60°,反射角(衍射角)为-40°,此光栅的刻痕数应为多少条/ mm? (446条/ mm) 23 有某红外光栅(72条/ mm),当入射角为50°,反射角为20°时,其一级和二级光谱的波长为多少(um)? (15.4,7.7) 24 当某光栅(1250条/ mm)的焦距为1.6m时,计算其一级和二级光谱的倒线色散率. (5Å/ mm,2.5 Å/ mm) 25 若光栅宽度为50 mm,刻痕数为1200条/ mm,此光栅的理论分辨率应为多少?( 60000 )26 上述光栅能否将铌3094.18Å与铝3092.71Å分开?为什么?27 试对棱镜光谱与光栅光谱进行比较.28 若光谱工作范围为200-400nm,应选用什么材料制作棱镜和透镜,为什么?第三章原子吸收与原子荧光光谱法1 试比较原子吸收与分子吸收光谱法.2 解释下列名词:(1)多普勒变宽(2)自然宽度(3)压力变宽(4)振子强度(5)光谱通带3 计算在火焰温度为3000K时, Na5890Å谱线的激发态与基态原子数的比值(Pj/P0=2). (6×10-4)4 原子吸收光度计的单色器倒线色散率为16Å/ mm,欲测定Si2516.1Å的吸收值,为了消除多重线Si2514.3Å和Si2519.2Å的干扰,应采取什么措施?5采用那些措施才能检测到原子吸收信号,并说明其理由.6 简述常用原子化器的类型及其特点.7 测定人发中硒时,应选用何种火焰,并说明其理由.8 分析矿石中的锆时,应选用何种火焰,并说明其理由.9 怎样能使空心阴极灯处于最佳工作状态?如果不处于最佳状态时,对分析工作有什么影响?10 火焰的高度和气体的比例对被测元素有什么影响,试举例说明.11 说明原子吸收光谱中产生背景的主要原因及影响.12 如何用氘灯法校正背景,此法尚存在什么问题?13 什么是原子吸收光谱分析中的化学干扰?用哪些方法可消除此类干扰?14 在测定血清中钾时,先用水将试样稀释40倍,再加入钠盐至800ug/mL.试解释此操作的理由,并说明标准溶液应如何配制?15 指出下列原子荧光跃迁的类型(共振、非共振)（1）Cu 3274Å(42S1/2-42P1/2)（2）Cd 2288Å(51S0-51P1)（3）Sn 3034Å(53P1-53P)（4）As 2350Å(42S3/2-42P1/2)16 试从产生原理上对原子荧光与原子发射光谱进行比较.17 试从仪器部件及光路结构对原子与原子荧光仪进行比较.18 欲测定下述物质,应选用哪一种原子光谱法,并说明其理由:(1)血清中锌和镉(Zn 2ug/ml,Cd 0.003ug/ml）;(2)鱼肉中汞的测定（x ppm）；(3)水中砷的测定(0.x ppm)；(4)矿石中La、Ce、Pr、Nd、Sm的测定(0.00x-0.x%)；(5)废水中Fe、Mn、Al、Ni、Co、Cr的测定(ppm-0.x%)。
1～9章分析化学习题课答案解析
17
3 、 六 次 甲 基 四 胺 的 pKb=8.85 ， 用 它 配 制 缓 冲 溶 液 时 的 pH 缓 冲 范 围 是 4.15~6.15 ，NH3的pKb=4.74，其pH缓冲范围是 8.26~10.26 。
4、用0.100mol· L-1 HCl滴定同浓度NH3溶液（pKb=4.74）时，pH突跃范围为 6.3～4.3。若0.100mol· L-1HCl滴定同浓度的某碱B（pKb=3.74）时，pH突 跃范围是 7.3~4.3 。 5、在下列物质中， NH4Cl( NH3 pKb=4.74 ) 、 苯 酚 （ pKa=9.96 ） 、 Na2CO3( H2CO3 pKa1=6.38、pKa2=10.25)、NaAc( HAc pKa=4.74)、HCOOH(pKa=3.74) 其中能用强碱标准溶液直接滴定的物质是 其中能用强酸标准溶液直接滴定的物质是 HCOOH Na2CO3 。 。
21
8、用 NaOH标准溶液滴定浓度均为 0.1mol/L 的HCl-H3PO4
混合液，在滴定曲线上出现几个突跃 （
8．由计算器算得
D．2.1 (二位) ）
算规则将结果修约为（
A．0.016445 C．0.01644
11
9.25 0.21334 的结果为0.0164449。按有效数字运 1.200 100
D
B．0.01645 D．0.0164
9．下列有关随机误差的叙述中不正确的是（ C ）
A．随机误差在分析中是不可避免的 B．随机误差出现正误差和负误差的机会是均等的 C．随机误差具有单向性 D．随机误差是由一些不确定的偶然因素造成的 10．指出下列表述中错误的表述（ A ） A．置信水平愈高,测定的可靠性愈高
（B） c(FeSO4) = 2c(H2C2O2) （D） c(FeSO4) = 4c(H2C2O2)
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一、
1. 用万分之一的分析天平称取样品，其称量误差为（）
A.0.0001g
B.0.0002g
C.0.001g
D.0.002g
2. 衡量样本平均值的离散程度时，应采用（）
（A）标准偏差（B）相对标准偏差
（C）极差（D）平均值的标准偏差
3．用移液管移取溶液时，下面操作正确的是（）
A.移液管垂直置于容器液面上方
B.移液管竖直插入溶液底部
C.移液管倾斜约30℃，使管尖与容器壁接触
D.容器倾斜约30℃，与竖直的移液管端接触
4．在滴定分析法测定中出现的下列情况，哪种导致系统误差?( )
（A）试样未经充分混匀（B）滴定管的读数读错
（C）滴定时有液滴溅出（D）砝码未经校正
5．可用于直接配制标准溶液的是( )
（A）KMnO4(A.R) （B）K2Cr2O7(G.R.)
（C）Na2S2O3·5H2O(A.R) （D）NaOH(A.R)
6．某弱酸H A的Ka=1.0×10-5，则其0.1mol/L水溶液的pH值为：( ) （A） 1.0 （B） 2.0 （C） 3.0 （D） 3.5 7．用EDTA测定无色金属离子时，终点呈现的颜色是（）
(A)EDTA与金属离子生成的配合物的颜色(B)游离指示剂的颜色
(C)金属指示剂与金属离子生成配合物的颜色
8．以下表述正确的是（）
(A).二甲酚橙只适于PH＞6时使用 (B).二甲酚橙既适用于酸性溶液也使用于碱性溶液
(C).铬黑T指示剂只适用于酸性溶液 (D).铬黑T指示剂适用于弱碱性溶液9．间接碘量法(即滴定碘法)中加入淀粉指示剂的适宜时间是：( )
（A）滴定开始时（B）临近终点即滴定至时溶液呈浅黄色时
-离子的红棕色退尽，溶液呈无色时（D）在标准溶液滴定了（C）滴定至I
3
近50%
10．莫尔法测定Cl-含量时，要求介质的pH在6.5～10.0范围内，若酸度过高，则( )
（A）AgCl沉淀不完全；（B）AgCl沉淀易胶溶；
（C）AgCl沉淀吸附Cl-增强；（D）Ag2CrO4沉淀不易形成；\ 11．沉淀重量法中，称量形的摩尔质量越大，将使( )
(A) 沉淀易于过滤洗涤(B) 沉淀纯净
(C) 沉淀的溶解度减小(D) 测定结果准确度越高12．用佛尔哈法测定Ag+，滴定剂是( )
(A)NaCl (B)NaBr (C)NH4SCN (D)Na2S 13．用KMnO4滴定H2O2之前，加入几滴MnSO4的作用是（）
（A）氧化剂（B）诱导反应剂（C）催化剂（D）还原剂
二．填充题
1. 对某盐酸溶液浓度测定4次的结果为：0.2041,0.2049,0.2039,0.2043,则x为________，s 为_______ _。
5. H2A的质子条件式(PCE)为。
2. 强碱滴定弱酸，弱酸浓度增大10倍，突跃增加个pH单位；强碱
滴定强酸，强酸浓度增大10倍，突跃增加个pH单位。
络合滴定中K′MY增大10倍，滴定突跃增加个单位。
3. 氧化还原反应滴定进行的条件（T ≥ 99.9%），当n1 = n2 = n = 1时，要求Δϕ
≥。
三、
1 ．计算pH = 9.0, C NH 3 = 0.10 时的 lgK’ZnY
已知logKZnY=16.5; pH = 9.0时,
4.1lg Y (H )=α,
2.0lg Zn(O H )=α;
pH = 9.0, C NH 3 = 0.10 时，1.5lg )Zn(N H 3
=α
2. 取废水样100.0mL,用H 4SO 4酸化后，加入0.01667mol/L K 2Cr 2O 7溶液25.00mL ，使水样中的还原性物质在一定条件下被完全氧化。
然后用0.1000 mol/L FeSO 4标准溶液滴定剩余的Cr 2O 72-，用去了15.00mL 。
计算废水样的化学耗氧量（COD ）。
解: 由于没有共存金属离子和络合物副反应
ZnY Y Zn ZnY ZnY
lg lg lg lg lg ααα+--='K K （3分） Y (H ))Zn(N H Zn(O H )ZnY ZnY
lg )1lg(lg lg 3ααα--+-='K K （3分） 0.104.1)11010lg(5.16lg 1.52.0ZnY
=--+-='K （4分）。