浅谈小学平面图形面积公式的推导
平面图形公式
一.公式：1.长方形：周长=(长+宽)×2——【长=周长÷2-宽；宽=周长÷2-长】字母公式：C=(a+b)×2面积=长×宽字母公式：S=ab2.正方形：周长=边长×4字母公式：C=4a面积=边长×边长字母公式：S=a3.平行四边形的面积=底×高字母公式： S=ah4.三角形的面积=底×高÷2 ——【底=面积×2÷高；高=面积×2÷底】字母公式： S=ah÷25.梯形的面积=（上底+下底）×高÷2字母公式： S=（a+b）h÷2【上底=面积×2÷高－下底，下底=面积×2÷高-上底；高=面积×2÷（上底+下底）】二.平行四边形面积公式推导：剪拼、平移1.三角形面积公式推导：旋转平行四边形可以转化成一个长方形；两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，长方形的长相当于平行四边形的底；平行四边形的底相当于三角形的底；长方形的宽相当于平行四边形的高；平行四边形的高相当于三角形的高；长方形的面积等于平行四边形的面积，平行四边形的面积等于三角形面积的2倍，因为长方形面积=长×宽，所以平行四边形面积=底×高。
因为平行四边形面积=底×高，所以三角形面积=底×高÷22.梯形面积公式推导：旋转两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，平行四边形的底相当于梯形的上下底之和；平行四边形的高相当于梯形的高；平行四边形面积等于梯形面积的2倍，因为平行四边形面积=底×高，所以梯形面积=(上底+下底)×高÷2 等底等高的平行四边形面积相等；等底等高的三角形面积相等；等底等高的平行四边形面积是三角形面积的2倍。
长方形框架拉成平行四边形，周长不变，面积变小。
长方形和正方形的面积计算公式推导
03 正方形面积计算公式推导
基于几何解释的方法
总结词
几何解释法是推导正方形面积计算公式的直观方法。
详细描述
通过引入正方形对角线和边长的概念，我们可以轻易地得出正方形的面积等于对角线长度的平方。
基于数学归纳法的方法
总结词
数学归纳法是一种普遍用于证明数学命题的方法。
详细描述
首先从n=1开始，得出面积是1；然后假设对n-1个正方形，其面积为(n-1)^2；最后证明n个正方形时，其面积 是n^2。
基于实际应用的方法
总结词
实际应用法是基于正方形面积的实际应用场景来推导其计算 公式。
详细描述
正方形通常被应用于各种实际场景，如土地测量、建筑规划 等。在这些场景中，我们通常需要计算正方形的面积以便进 行各种计算和分析。
基于几何解释的方法
总结词
几何解释法是推导长方形面积计算公式 的直观方法。
VS
详细描述
长方形和正方形面积计算公式的来源
长方形和正方形面积计算公式都是基于几何的基本定 理和推导得出的。
几何学在日常生活中的应用
除了计算长方形和正方形面积外，几何学在日常生活 中还有许多应用，如建筑设计、工程测量、地图绘制 等。
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通过引入长方形的长和宽，我们可以得出 长方形的面积等于长和宽的乘积。
基于数学归纳法的方法
总结词
数学归纳法是一种普遍用于证明数学命题的 方法。
详细描述
首先从n=1开始，得出面积是1；然后假设 对n-1个长方形，其面积为(n-1)*width；最 后证明n个长方形时，其面积是n*width。
基于实际应用的方法
$面积 = 边长^2$
小学六年级平面图形面积公式推导导学稿
平面图形面积公式推导：(转化思想方法）（1）长方形面积：（数方格）（2）正方形的面积：（3)平行四边形：把平行四边形，沿（）剪开，把三角形平移，拼成（），这两个图形的（）相等，平行四边形的底和长方形的（）相等，平行四边形的高和长方形的（）相等，因为长方形的面积=长×宽，所以平行四边形的面积=（）×（）。
（4）三角形：两个（）的三角形拼成一个（），三角形的底和平行四边形的（）相等，三角形的高和平行四边形的（）相等，因为平行四边形的面积=底×高，所以三角形的面积=（）。
（5）梯形：两个（）的梯形拼成一个（），梯形的（）和平行四边形的底相等，梯形的高和平行四边形的（）相等，因为平行四边形的面积=底×高，所以梯形的面积=（）。
（6）圆：把圆分成若干等分，剪开后拼成近似（），长方形的长近似于圆（），宽近似于（），长方形面积=长×宽，所以圆的面积=（）.2、立体图形体积公式推导：（转化思想方法）（1）圆柱体：把圆柱切开，拼成一个近似（），这个长方体的底面积等于圆柱的（），高等于圆柱的（），长方体的体积=底面积×高，所以圆柱体积=（）。
（2）圆柱体：把圆柱切开，拼成一个近似（），这个长方体的长等于圆柱的（），宽等于圆柱的（），长方体的高等于圆柱的（），长方体的体积=长×宽×高，所以圆柱体积=（）。
（3）圆柱体切开拼成近似长方体，（）没有变，（）变了。
表面积增加了两个（），增加的表面积=（）。
实验操作：1、圆柱侧面展开图：把圆柱沿高剪开，侧面展开图是（），长方形的长等于圆柱（），宽等于圆柱（），长方形面积＝长×宽，所以圆柱侧面积＝（）×（）。
当侧面展开图是正方形时，圆柱的（）和（）相等。
2、把圆柱沿底面直径切开，表面积增加两个长方形，长等于圆柱的（），宽等于圆柱的（）。
当切面是正方形时，（）和（）相等。
3、推导圆锥体积的实验中，圆柱和圆锥必须（）。
面积推导公式
一、平行四边形面积的计算：1、平行四边形面积公式的推导过程：沿着平行四边形一条高，剪出一个三角形或梯形，通过平移就把平行四边形转化成长方形，平行四边形的面积和长方形的一样，平行四边形的底是长方形的长，高是长方形的宽。
因为长方形的面积=长×宽，所以平行四边形的面积=底×高2、字母公式：S = a ×h3、计算平行四边形面积时，必须是对应的底和高相乘。
4、把一个长方形拉成一个平行四边形，形状变了，面积变小了，周长不变。
把一个平行四边形拉成一个长方形，形状变了，面积变大了，周长不变。
二、三角形面积的计算：1、三角形面积公式的推导过程：用两个完全相同的三角形拼成一个平行四边形；三角形的面积是平行四边形面积的一半，三角形的底是平行四边形的底，高是平行四边形的高，因为平行四边形面积=底×高，所以三角形的面积公式= 底×高÷22、字母公式：S= a ×h ÷2a= s × 2 ÷hh= s × 2 ÷a3、计算三角形面积时，必须是对应的底和高相乘再除以2.4、如果一个三角形和一个平行四边形等底等高，那么这个三角形的面积一定是平行四边形面积的一半；反之平行四边形的面积一定是三角形的2倍。
三、梯形面积的计算：1、梯形面积公式的推导过程：用两个完全相同的梯形拼成一个平行四边形；这个平行四边形的底是梯形的上底与下底的和，平行四边形的高是梯形的高，梯形面积是平行四边形的一半；因为平行四边形面积= 底×高，所以梯形的面积=（上底+下底）×高÷22、字母公式：s = ( a + b ) ×h ÷2h = s × 2 ÷ ( a + b )a = s × 2 ÷ h - bb = s × 2 ÷ h – a四、补充公式：长方形周长=（长+宽）×2 长方形面积=长×宽正方形周长=边长×4 正方形面积=边长×边长1平方米=100平方分米。
几何画板在小学平面图形面积公式推导中的应用探讨获奖科研报告
几何画板在小学平面图形面积公式推导中的应用探讨获奖科研报告摘要：在新课程改革理念不断完善的今天，信息技术在数学课堂中的应用是非常广泛的，几何画板可以在数学教学中起到辅助作用，在数学教学中应用广泛。
本文通过介绍几何画板在小学平面图形面积公式推导中的运用，对几何画板在小学数学教学中的意义加以分析。
关键词：几何画板平面图形面积公式几何画板是由美国的公司研发出来的，其在运用中流程并不复杂，而且可以实现良性互动，在数学教学中应用是比较广泛的。
几何画板是一类新型的教学软件，在数学教学中，其可以数显数量的变化，找出数量变化的关系，并且可以激发学生的学习兴趣。
在小学数学课堂中巧妙运用几何画板，可以将学生的积极性充分调动起来。
一、小学平面图形面积公式的推导（一）平行四边形面积的公式推导平行四边形面积公式的推导要在长方形面积公式总结的基础上完善，在平行四边形中，拼凑长方形，长方形的长就是平行四边形的底，长方形的宽作为平行四边形的高，通过对长方形的面积公式推导，分析出长方形的面积是长×宽，那么，平行四边形的面积公式则为底×高。
在运用几何画板进行操作的过程中，应该先在几何画板上制作两条相互平行的线段，然后借助几何画板可以移动的优势，在平行线上实现图形的切割和补充，将平行四边形拼凑成长方形。
（二）三角形面积公式的推导在三角形面积公式的推导中，要在学习平行四边形面积公式的基础上进行，两个三角形可以组成一个平行四边形，三角形的底和高分别是平行四边形的底和高，但是平行四边形是由两个等底和等高的三角形拼凑的，所以三角形的面积应该是平行四边形面积的一半。
在运用几何画板的过程中，先在几何画板上制作一个三角形，然后再制作一个与第一个三角形等底等高的三角形，将两个三角形拼凑，组成一个平行四边形。
（三）梯形面积的推导梯形面积的公式是借助平行四边形的公式提出的，两个等高，并且上底和下底相同的梯形可以拼凑成一个平行四边形，平行四边形的底是梯形上底和下底的和，梯形的高也是平行四边形的高，但是梯形的面积是平行四边形的一半。
推导面积公式与体积公式
推导面积公式与体积公式数学作为一门抽象而又实用的学科，涉及到各种各样的公式。
其中，面积公式和体积公式是我们在学习几何学时经常遇到的内容。
本文将从几何学的角度出发，推导一些常见的面积公式和体积公式。
一、推导面积公式1.1 矩形的面积公式我们从最简单的形状开始推导，考虑一个矩形，它的长为a，宽为b。
我们可以将矩形分成若干个小正方形，每个小正方形的边长都为a。
那么，矩形的面积就是这些小正方形的面积之和。
设矩形的面积为S，小正方形的边长为a，那么可以得到以下等式：S = a * a + a * a + ... + a * a （共有b个小正方形）化简得：S = a^2 * b这就是矩形的面积公式。
1.2 三角形的面积公式接下来，我们推导一下三角形的面积公式。
设三角形的底边长为b，高为h。
我们可以将三角形划分成一个矩形和两个直角三角形，如下图所示：```/|\/ | \/ | \/ | \/ | \/_____|____\b h```矩形的面积为b * h，两个直角三角形的面积分别为1/2 * b * h。
所以，三角形的面积就是这三个部分的面积之和：S = b * h + 1/2 * b * h + 1/2 * b * h化简得：S = 1/2 * b * h这就是三角形的面积公式。
1.3 圆的面积公式最后，我们来推导一下圆的面积公式。
设圆的半径为r。
我们可以将圆划分成许多个小扇形，每个小扇形的面积近似等于一个小三角形的面积。
这个小三角形的底边长为r，高为r，所以它的面积为1/2 * r * r。
假设圆被划分成n个小扇形，那么圆的面积就是这些小扇形的面积之和。
所以，可以得到以下等式：S = 1/2 * r * r + 1/2 * r * r + ... + 1/2 * r * r （共有n个小扇形）化简得：S = n * 1/2 * r * r根据圆的定义，n趋近于无穷大时，这个近似等式就趋近于圆的真实面积。
渗透在平面图形的面积公式推导中的方法与策略
渗透在平面图形的面积公式推导中的方法与策略摘要：本文详细阐述了笔者在教学中如何让学生在平面图形的面积公式推导中亲历探究的过程，积极主动构建，真正理解面积计算公式，以与同行共享。
关键词：平面图形面积公式推导方法策略认知心理学认为，教材里的知识结构是客观存在的，要使这种知识结构转化为学生的认知结构，必须有一个建构的过程。
而这个建构过程绝不是像复印机那样直接“复印”上去的，而是在学生已有的认知结构的基础上，经过个体的主动参与及内心体验，逐步感悟、同化新知识，并充实、完善或改组原有的认知结构，从而形成新的认知结构的过程。
因此我们在教学面积公式推导时必须做到以下几点：一、平面图形的面积公式推导中，亲历探究的过程，积极主动建构，真正理解面积计算公式《课标》中指出：空间与图形这部份知识教学，应注重使学生探索现实世界中有关空间与图形的问题；应注重使学生通过观察、操作、推理等手段，逐步认识简单几何体和平面图形的形状、大小及变换。
因此在平面图形面积公式教学时，我们不能单纯地让学生记住计算公式，例如：S=abs=ahs=ah/2等，然后机械地应用公式进行计算，这不是我们教学的最终的目的，而要让学生通过动手操作，理解平面图形面积公式的推导的过程，真正理解公式是如何获得的，在教学过程中注重学习方法、思维方法、探索方法的获取，让学生主动获取知识，同时也让学生知道这些知识是如何被发现的，结论是如何获得的，体现“方法比知识更重要”这一新的教学价值观。
案例1：在教学《长方形的面积计算》公式推导的环节中是作如下安排的：第一环节：数方格图感知长方形的面积。
先让学生数出以下两个长方形的面积，每格表示1平方厘米。
学生先感知一个长方形里有几个1平方厘米，面积就是多少平方厘米？初步知道长方形的面积可以用数方格的方法知道它们的面积。
师进行引导：如果用这种方法去求（度量）一个较大图形或物体的面积（如操场），你会感到怎样？第二个环节：自主探索，获取新知。
平面图形推导过程
1、数论是人类知识最古老的一个分支，然而他的一些最深奥的秘密与其最平凡的真理是密切相连的。
2、数学是研究现实生活中数量关系和空间形式的数学。
3、我总是尽我的精力和才能来摆脱那种繁重而单调的计算。
4、一个数学家越超脱越好。
5、数学是各式各样的证明技巧。
6、数学是锻炼思想的体操。
7、整数的简单构成，若干世纪以来一直是使数学获得新生的源泉。
8、数学是研究抽象结构的理论。
9、历史使人贤明，诗造成气质高雅的人，数学使人高尚，自然哲学使人深沉，道德使人稳重，而伦理学和修辞学则使人善于争论。
10、数学方法渗透并支配着一切自然科学的理论分支。
它愈来愈成为衡量科学成就的主要标志了。
1．平行四边形面积计算公式推导过程：转化图形：将平行四边形沿高剪开，拼成一个长方形。
寻找关系：长方形的面积 = 长×宽= = =平行四边形的面积 = 底×高推导公式：平行四边形的面积=底×高S=ɑ h2．三角形面积计算公式推导过程：转化图形：将两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形。
寻找关系：平行四边形的面积 = 底 × 高2个三角形的面积 = 底 × 高 推导公式：三角形的面积=平行四边行的面积÷2 =底×高÷2S=ah ÷23．梯形面积计算公式推导过程： 转化图形：将两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形。
寻找关系：平行四边形的面积 = 底 × 高2个梯形的面积 = （上底+下底） × 高 推导公式：梯形的面积 = 平行四边行的面积÷2 = 底 × 高÷2 =（上底+下底）× 高÷2 S=（a+b ）×h ÷2= = = = = =。
引导学生总结平面形的面积计算公式并进行讲解和澄清
引导学生总结平面形的面积计算公式并进行讲解和澄清面积是几何学中的一个重要概念，它用于衡量平面图形所占据的空间大小。
正确理解和运用面积计算公式对于学习几何学和解决实际问题都具有重要意义。
本文将引导学生总结平面形的面积计算公式，并进行讲解和澄清。
一、矩形的面积计算公式矩形是最简单的平面图形之一，它有四条边，其中相邻的两条边长度相等，且相邻两条边垂直。
矩形的面积计算公式即为长度乘以宽度，表示为S = l × w，其中S表示矩形的面积，l表示矩形的长度，w表示矩形的宽度。
二、正方形的面积计算公式正方形是一种特殊的矩形，它的四条边长度相等且相邻两条边垂直。
正方形的面积计算公式与矩形相同，也是长度乘以宽度，即S = l ×w。
但由于正方形的长度和宽度相等，所以可以简化为S = a^2，其中S表示正方形的面积，a表示正方形的边长。
三、三角形的面积计算公式三角形是另一种常见的平面图形，它有三条边和三个内角。
当已知三角形的底边长度和高的情况下，可以使用三角形的面积计算公式进行求解。
三角形的面积计算公式为S = 1/2 × b × h，其中S表示三角形的面积，b表示三角形的底边长度，h表示三角形的高。
四、梯形的面积计算公式梯形也是一种特殊的平面图形，它有两条平行边和两条非平行边。
当已知梯形的上底长、下底长和高的情况下，可以使用梯形的面积计算公式进行求解。
梯形的面积计算公式为S = 1/2 × (a + b) × h，其中S表示梯形的面积，a表示梯形的上底长，b表示梯形的下底长，h表示梯形的高。
五、圆的面积计算公式圆是一种特殊的平面图形，它由一个中心点和一条半径组成。
圆的面积计算公式为S = π × r^2，其中S表示圆的面积，π是一个数学常数，约等于3.14，r表示圆的半径。
总结：通过以上的讲解和澄清，我们可以清楚地了解各种平面图形的面积计算公式。
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浅谈小学平面图形面积公式的推导
发表时间：
2015-06-15T11:26:48.177Z 来源：《教育学》2015年7月总第81期供稿 作者： 王得琴
[导读] 小学平面图形的教学十分重要，它为小学生以后学习更为复杂的数学图形知识起到至关重要的奠基作用，所以教师一定要高度重
视。
王得琴
辽宁省朝阳市朝阳县北沟门子乡中心小学 122600
小学平面图形的教学十分重要，它为小学生以后学习更为复杂的数学图形知识起到至关重要的奠基作用，所以教师一定要高度重视。
下面就小学平面图形面积公式的推导浅谈一下我的看法。
小学的图形面积始终贯穿于整个小学阶段的教学中，在两个学段中（1-3年级）和（4-6年级），主要以图形的认识和图形的测量为基
础。推导通过认识图形的形状，并用数方格的方法来比较图形面积的大小，来感知物体表面的大小，能通过方格的多少来比较出图形面积
的大小；通过测量，从测量线段的长，以长方形的周长和面积为基础，体验出周长与面积的区别，并以长方形的面积为基础，通过剪、
拼、数方格等方法，推导出三角形、平行四边形、梯形等规则图形的面积。
小学数学图形面积的教学，教材先让学生初步认识面积概念和认识面积单位。通过让学生观察课本封面、桌子表面、黑板面等认识这
些物体都有表面，引出
“物体表面或平面图形的大小叫做它的面积。”然后让学生学习面积单位，在介绍几种面积单位时，说明它的含义，初
步形成各种面积单位大小的概念。
在小学图形面积的编排中，是以长方形面积公式为基础，以图形转化推导面积公式的常用方法，并在图形的转化中，应用了平移旋
转。
面积公式的推导，长方形面积计算公式是导出其他平面几何图形的面积公式的基础。导出长方形面积计算公式一般分两步走，先用面
积单位来量，可以让学生用学具摆一摆；再用数方格的方法来计算，使学生感到这样很麻烦。然后通过操作，得到长方形所含的面积单位
数正好等于长和宽的乘积，从而概括出长方形面积的计算公式；正方形（是长与宽相等的特殊的长方形）面积计算公式，可以引导学生自
己从长方形面积公式中直接类推而得；平行四边形面积公式在长方形的基础上推导，然后在平行四边形的基础上推导三角形和梯形的面积
计算公式。
在平面图形面积公式的推导中，从平行四边形、三角形到梯形的面积公式的推导都是以化归的思想方法为核心，通过多次孕育、化隐
为显，让学生在获得结论的同时，感悟到数学思想方法的意义与作用。
在教学平行四边形面积的时候，基本上都有这样几个环节：一是让学生利用手中的平行四边形和剪刀，通过折一折、剪一剪、拼一
拼，想办法求出平行四边形的面积；二是指导学生利用割补的方法，把平行四边形转化成长方形，求出长方形的面积也就求出了平行四边
形的面积。
找出平行四边形与长方形之间的关系，得出平行四边形的面积=底×高。引导学生思考是怎样求出这个平行四边形的面积的？运用平行
四边形割补的方法把它变成长方形，抓住长方形与平行四边形之间的关系，通过求长方形的面积求出平行四边形的面积。这时化归的思想
方法处于隐性阶段，初步的孕育，并没有进行提炼。让学生在一步一步的反思过程中通过观察、比较、感悟到化归这一数学思想方法。
在以上面积的推导过程中体现了以下思想：
长方形的面积（正方形）：统一思想（用标准单位测量面积）；数形结合思想（把测量过程转化成计算方法）。
平行四边形的面积推导体现以下思想：转化思想（转化成所学的长方形的面积，突出转化的可能性：转化前后图形关系的比较）；对
应思想（转化后长方形的各部分分别相当于原图形的哪个部分）。
三角形的面积推导体现以下思想：转化思想；对应思想；一般化思想（从个例到一般，突出各种三角形都能转化成平行四边形）。
梯形的面积推导体现以下思想：转化思想（转化方法的灵活性：梯形可通过多种方式转化成已经学过的图形，如三角形、长方形、平
行四边形）；整体化思想（用梯形公式统整所有已学的面积公式）。
圆的面积推导体现以下思想：转化思想（转化的特殊方法），极限思想（无限切分与无限接近）。
总而言之，小学数学平面图形的面积推导都是建立在学生已有知识的基础上实施的，都是从学生已经掌握的图形面积的公式中转化得
出的。在平面图形面积公式推导教学过程中，引导学生动脑、动口、动手，引导学生自主探究、自主学习，运用好转化等思想，发展学生
的空间观念，培养学生学习数学的浓厚兴趣，把知识学得更牢固。