平面图形的推导过程及公式
平面图形公式
一.公式：1.长方形：周长=(长+宽)×2——【长=周长÷2-宽；宽=周长÷2-长】字母公式：C=(a+b)×2面积=长×宽字母公式：S=ab2.正方形：周长=边长×4字母公式：C=4a面积=边长×边长字母公式：S=a3.平行四边形的面积=底×高字母公式： S=ah4.三角形的面积=底×高÷2 ——【底=面积×2÷高；高=面积×2÷底】字母公式： S=ah÷25.梯形的面积=（上底+下底）×高÷2字母公式： S=（a+b）h÷2【上底=面积×2÷高－下底，下底=面积×2÷高-上底；高=面积×2÷（上底+下底）】二.平行四边形面积公式推导：剪拼、平移1.三角形面积公式推导：旋转平行四边形可以转化成一个长方形；两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，长方形的长相当于平行四边形的底；平行四边形的底相当于三角形的底；长方形的宽相当于平行四边形的高；平行四边形的高相当于三角形的高；长方形的面积等于平行四边形的面积，平行四边形的面积等于三角形面积的2倍，因为长方形面积=长×宽，所以平行四边形面积=底×高。
因为平行四边形面积=底×高，所以三角形面积=底×高÷22.梯形面积公式推导：旋转两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，平行四边形的底相当于梯形的上下底之和；平行四边形的高相当于梯形的高；平行四边形面积等于梯形面积的2倍，因为平行四边形面积=底×高，所以梯形面积=(上底+下底)×高÷2 等底等高的平行四边形面积相等；等底等高的三角形面积相等；等底等高的平行四边形面积是三角形面积的2倍。
长方形框架拉成平行四边形，周长不变，面积变小。
平面图形的推导过程及公式
平面图形的推导过程及公式Prepared on 22 November 2020周长：圆、椭圆或其他闭合的曲线的周界长度。
面积：物体的表面—平面图形的大小，叫做它们的面积。
圆面积推导过程：1、把圆16等份分割后拼插成近似的平行四边形,平行四边形的底相当于圆周长的四分之一（C/4=πr/2）,高等于圆半径的2倍(2r),所以S=πr/2·2r=πr22、把圆16等份分割后可拼插成近似的等腰三角形。
三角形的底相当于圆周长的1/4,高相当于圆半径的4倍,所以S=1/2·2πr/4r=πr23、把圆分割后,可拼成近似的等腰梯形。
梯形上底与下底的和就是圆周长的一半,高等于圆半径的2倍,所以S=1/2·πr·2r=πr2 。
4、小结:无论我们把圆拼成什么样的近似图形,都能推导出圆的面积公式S=πr2,验证了原来猜想的正确。
说明在求圆的面积时,都要知道半径。
三角形面积推导过程：1：把一个等腰三角形对折，然后从中间剪开拼成了一个长方形，这个长方形的底是三角形的底的一半，高是三角形的高，因为长方形的面积是长×宽，长方形的面积等于三角形的面积，所以三角形的面积是底×高÷2。
2：把一个直角三角形的上面对折下来，然后剪开，把它补在一边，拼成了一个长方形。
这个长方形的长是三角形的底，高是三角形高的一半，所以也能推出三角形的面积是底×高÷2。
3：把一个三角形沿着两边的重点对折，然后又把底边的重点这样对折，折成了一个长方形，这个长方形的底是三角形底的一半，宽是三角形高的一半，再乘以2，也可以推出三角形的面积是底×高÷24：把一个长方形沿对角线折叠，因为长方形的面积是长×宽，长方形是两个三角形拼成的，所以，三角形的面积是底×高÷2梯形面积推导过程：1、用两个完全一样的梯形通过旋转拼成了一个长方形，观察后发现：梯形的上下底之和相当于长方形的长、梯形的高相当于长方形的宽、梯形的面积=长方形的面积÷2（或梯形的面积等于长方形的面积的一半），根据拼成图形的面积公式是：长方形的面积=长×宽，所以：梯形的面积=（上底+下底）×高÷22、梯形的上下底之和相当于平行四边形的底，梯形的高相当于平行四边形的高，梯形的面积相当于平行四边形面积的一半。
平面图形的周长、面积计算公式
平面图形的周长、面积的计算公式1、长方形（a 长、b 宽、c 周长、s 面积） b a二、正方形（s 面积、a 边长、c 周长）1、长方形的周长=（长+宽）×2 2、长=长方形的周长÷2－宽 C=(a+b)2 a=c÷2－b 3、宽=长方形的周长÷2－长 b=c÷2－a 1、长方形的面积=长×宽 2、长=长方形的面积÷宽 S=ab b=s ÷b 3、宽=长方形的面积÷长 b=s ÷aa a3、正方形的面积=边长×边长 s=a ×a 或者s=a21、正方形周长=边长×4 C=4a2、边长=正方形周长÷4 a=c ÷4三、平行四边形（a 底、h 高）a四、三角形 （a 底、h 高、s 面积）ah1、平行四边形的面积=底×高S=ah2、底=平行四边形的面积÷高 a=s ÷h3、高=平行四边形的面积÷底 h=s ÷ah 1、三角形的面积=底×高÷2 S=ah ÷22、底=三角形的面积×2÷高 a=s ×2÷h3、高=三角形的面积×2÷底 h=s×2÷a五、梯形（a 上底、b 下底、h 高、s 面积） a b六、圆（r 半径、d 直径、o 圆心、s 面积、c 周长）h1、梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 S=(a+b)×h ÷22、高=梯形的面积÷（上底+下底）×2h=s ÷ (a+b)×23、（上底+下底）=梯形的面积÷高×2 (a+b)=s ÷h ×24、上底=梯形的面积÷高×2－下底 a=s ÷h ×2－brd o1、圆的周长=直径×圆周率 C=d ∏2、圆的周长=半径×2×圆周率 C=2∏r3、圆的面积=圆周率×半径的平方S=∏ r 2七、扇形常见立体图形的表面积、体积计算公式 一、长方体二、正方体面积=圆周率×半径的平方×360nS=∏ r2×360nh a 1、长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2S 表=(ab+ah+bh)×22、体积=长×宽×高 V=abha a1、长方体的表面积= 棱长×棱长×6 S 表=a ×a×62、体积=棱长×棱长×棱长 V=a ×a×a三、圆柱体三、圆锥体h1、侧面积=半径×2×∏ ×高S 侧=2∏ rh2、底面积=圆周率×半径的平方 S 底=∏r 23、表面积=侧面积+2个底面积， s 表=2∏ rh+2∏r 2。
推导面积计算公式的方法
推导面积计算公式的方法面积是几何学中一个重要的概念，它描述了一个平面图形所占据的空间大小。
在数学中，有许多不同的图形，如矩形、三角形、圆形等，它们都有各自的面积计算公式。
本文将介绍一些常见图形的面积计算方法，并简要推导它们的计算公式。
一、矩形的面积计算方法矩形是最简单的图形之一，它由四条边组成，且相邻两边互相垂直。
矩形的面积计算公式为：面积 = 长 ×宽。
这个公式的推导非常直观，可以通过将矩形划分为若干个小正方形来理解。
假设矩形的长为a，宽为b，我们可以将矩形划分为a ×b个小正方形，每个小正方形的边长都是1。
因此，矩形的面积就等于所有小正方形的面积之和，即a × b。
二、三角形的面积计算方法三角形是另一个常见的图形，它由三条边和三个内角组成。
计算三角形的面积有多种方法，其中最常用的方法是利用底边和高的关系。
三角形的面积计算公式为：面积 = 底边 ×高 / 2。
这个公式的推导可以通过将三角形划分为两个等腰三角形来理解。
假设三角形的底边为a，高为h，我们可以将三角形划分为两个等腰三角形，每个等腰三角形的底边为a，高为h。
因此，三角形的面积就等于两个等腰三角形的面积之和，即a × h / 2。
三、圆形的面积计算方法圆形是一种没有边界的图形，它由一个圆心和一条半径组成。
计算圆形的面积需要用到圆周率π，它是一个无理数，约等于3.14159。
圆形的面积计算公式为：面积= π × 半径²。
这个公式的推导可以通过将圆形划分为许多个小扇形来理解。
假设圆形的半径为r，我们可以将圆形划分为许多个小扇形，每个小扇形的面积可以近似看作是一个三角形的面积，即底边为r，高为r。
因此，圆形的面积就等于所有小扇形的面积之和，即π × r²。
四、其他图形的面积计算方法除了矩形、三角形和圆形，还有许多其他图形，如梯形、正方形、菱形等，它们都有各自的面积计算方法。
平面图形和立体图形的计算公式
平面图形和立体图形的计算公式1、正方形（C：周长 S：面积 a：边长）周长＝边长×4 C=4a 面积=边长×边长 S=a×a=2a2、正方体（V:体积 a:棱长）表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6体积=棱长×棱长×棱长 V=a×a×a=3a3、长方形（ C：周长 S：面积 a：边长）周长=(长+宽)×2 C=2(a+b)面积=长×宽 S=ab4、长方体（V:体积 s:面积 a:长 b: 宽 h:高）(1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh)(2)体积=长×宽×高 V=abh5、三角形（s：面积 a：底 h：高）面积=底×高÷2 s=ah÷2三角形高=面积×2÷底三角形底=面积×2÷高6、平行四边形（s：面积 a：底 h：高）面积=底×高 s=ah7、梯形（s：面积 a：上底 b：下底 h：高）面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷28、圆形（S：面积 C：周长л d=直径 r=半径）(1)周长=直径×л=2×л×半径 C=лd=2лr(2)面积=半径×半径×л=π2r9、圆柱体（v:体积 h:高 s：底面积 r:底面半径 c:底面周长）(1)侧面积=底面周长×高=ch(2лr或лd) (2)表面积=侧面积+底面积×2 (3)体积=底面积×高（4）体积＝侧面积÷2×半径10、圆锥体（v:体积 h:高 s：底面积 r:底面半径）体积=底面积×高÷3。
附录A 平面图形的几何性质
n
同理 I y
I
， Ai
y
i 1
n
I xy
I Ai xy
i 1
§A.2 惯性矩 惯性积 惯性半径
三、惯性积的性质
y -x x
当 x 、 y 轴中有一轴为对称轴
A
A
I xy
xyd A
A
y
y
2n
lim
Ai 0
i 1
xi
yi Ai
O
x
n
lim Ai 0 i 1
xi yi Ai
xi
r2 z2
yC 0 Sz 0
z dA
z dz
dA 2 r2 z2 dz
r
y
Sy
zdA
A
r
z2
2r3 r2 z2 dz
o
0
3
zC
Sy A
2r3
r2
3 2
4r
3
§A.1 形心和静矩
三、组合图形的静矩和形心
组合图形——由几个简单图形（如矩形、圆形等） 组成的平面图形
如：
§A.1 形心和静矩
Ix Iy
2
4
I
2 xy
故
I I
x0 y0
Ix
2
Iy
1 2
(Ix
I
y
)2
4
I
2 xy
§A.4 转轴公式 主惯性矩
4.主惯性矩的性质
当Ix1取极值时，对应的方位为1
令 dI x1
d
(I x I y )sin 21 2I xy cos 21 0
1
得到
tg21
2I xy Ix I
常见的平面图形常用公式
常见的平面图形常用公式如直线、射线、角、三角形、平行四边形、长方形(正方形)、梯形和圆也差不多上几何图形，这些图形所表示的各个部分都在同一平面内,称为平面图形。
常见平面图形常用公式：长方形S=ab C=(a+b)2正方形S=aa 或对角线对角线2 C=4a平行四边形S=ah三角形S=ah2梯形S=(a+b)h2圆形S=rr C=d椭圆S=rr平面图形名称符号周长C和面积S正方形a边长C=4aS=a2长方形a和b-边长C=2(a+b)S=ab三角形a,b,c-三边长h-a边上的高s-周长的一半A,B,C-内角其中s=(a+b+c)/2 S=ah/2=ab/2sinC=[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2=a2sinBsinC/(2sinA)四边形d,D-对角线长-对角线夹角S=dD/2sin平行四边形a,b-边长h-a边的高-两边夹角S=ah=absin菱形a-边长-夹角D-长对角线长d-短对角线长S=Dd/2=a2sin梯形a和b-上、下底长h-高m-中位线长S=(a+b)h/2 =mh圆r-半径d-直径C=rS=r2=d2/4扇形r扇形半径a圆心角度数C=2r+2(a/360)S=r2(a/360)弓形l-弧长b-弦长h-矢高r-半径-圆心角的度数S=r2/2(/180-sin)=r2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h2)1/2 =r2/360 - b/2[r2-(b/2)2]1/2=r(l-b)/2 + bh/22bh/3圆环R-外圆半径r-内圆半径D-外圆直径d-内圆直径S=(R2-r2)=(D2-d2)/4椭圆D-长轴d-短轴S=Dd/4立方图形名称符号面积S和体积V 正方体a-边长S=6a2V=a3长方体a-长b-宽c-高S=2(ab+ac+bc)V=abc棱柱S-底面积h-高V=Sh棱锥S-底面积h-高V=Sh/3棱台S1和S2-上、下底面积h-高V=h[S1+S2+(S1S1)1/2]/3拟柱体S1-上底面积S2-下底面积S0-中截面积h-高V=h(S1+S2+4S0)/6圆柱r-底半径h-高C底面周长S底底面积S侧侧面积S表表面积C=2rS底=r2S侧=ChS表=Ch+2S底V=S底h=r2h空心圆柱R-外圆半径r-内圆半径h-高V=h(R2-r2)直圆锥r-底半径h-高V=r2h/3圆台r-上底半径R-下底半径h-高V=h(R2+Rr+r2)/3球r-半径d-直径V=4/3d2/6球缺h-球缺高r-球半径a-球缺底半径V=h(3a2+h2)/6=h2(3r-h)/3a2=h(2r-h)球台r1和r2-球台上、下底半径h-高V=h[3(r12+r22)+h2]/6圆环体R-环体半径D-环体直径r-环体截面半径d-环体截面直径V=22Rr2=2Dd2/4桶状体D-桶腹直径d-桶底直径h-桶高V=h(2D2+d2)/12(母线是圆弧形,圆心是桶的中心)“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。
平面图形的推导过程及公式
平面图形的推导过程及公式Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT周长：圆、椭圆或其他闭合的曲线的周界长度。
面积：物体的表面—平面图形的大小，叫做它们的面积。
圆面积推导过程：1、把圆16等份分割后拼插成近似的平行四边形,平行四边形的底相当于圆周长的四分之一（C/4=πr/2）,高等于圆半径的2倍(2r),所以S=πr/2·2r=πr22、把圆16等份分割后可拼插成近似的等腰三角形。
三角形的底相当于圆周长的1/4,高相当于圆半径的4倍,所以S=1/2·2πr/4r=πr23、把圆分割后,可拼成近似的等腰梯形。
梯形上底与下底的和就是圆周长的一半,高等于圆半径的2倍,所以S=1/2·πr·2r=πr2 。
4、小结:无论我们把圆拼成什么样的近似图形,都能推导出圆的面积公式S=πr2,验证了原来猜想的正确。
说明在求圆的面积时,都要知道半径。
三角形面积推导过程：1：把一个等腰三角形对折，然后从中间剪开拼成了一个长方形，这个长方形的底是三角形的底的一半，高是三角形的高，因为长方形的面积是长×宽，长方形的面积等于三角形的面积，所以三角形的面积是底×高÷2。
2：把一个直角三角形的上面对折下来，然后剪开，把它补在一边，拼成了一个长方形。
这个长方形的长是三角形的底，高是三角形高的一半，所以也能推出三角形的面积是底×高÷2。
3：把一个三角形沿着两边的重点对折，然后又把底边的重点这样对折，折成了一个长方形，这个长方形的底是三角形底的一半，宽是三角形高的一半，再乘以2，也可以推出三角形的面积是底×高÷24：把一个长方形沿对角线折叠，因为长方形的面积是长×宽，长方形是两个三角形拼成的，所以，三角形的面积是底×高÷2梯形面积推导过程：1、用两个完全一样的梯形通过旋转拼成了一个长方形，观察后发现：梯形的上下底之和相当于长方形的长、梯形的高相当于长方形的宽、梯形的面积=长方形的面积÷2（或梯形的面积等于长方形的面积的一半），根据拼成图形的面积公式是：长方形的面积=长×宽，所以：梯形的面积=（上底+下底）×高÷22、梯形的上下底之和相当于平行四边形的底，梯形的高相当于平行四边形的高，梯形的面积相当于平行四边形面积的一半。
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周长：圆、椭圆或其他闭合的曲线的周界长度。
面积：物体的表面—平面图形的大小，叫做它们的面积。
圆面积推导过程：
1、把圆16等份分割后拼插成近似的平行四边形,平行四边形的底相当于圆周长的四分之一（C/4=πr/2）,高等于圆半径的2倍(2r),所以S=πr/2·2r=πr2
2、把圆16等份分割后可拼插成近似的等腰三角形。
三角形的底
相当于圆周长的1/4,高相当于圆半径的4倍,所以S=1/2·2πr/4r=πr2
3、把圆分割后,可拼成近似的等腰梯形。
梯形上底与下底的和就是圆周长的一半,高等于圆半径的2倍,所以S=1/2·πr·2r=πr2 。
4、小结:无论我们把圆拼成什么样的近似图形,都能推导出圆的面积公式S=πr2,验证了原来猜想的正确。
说明在求圆的面积时,都要知道半径。
三角形面积推导过程：
1：把一个等腰三角形对折，然后从中间剪开拼成了一个长方形，这个长方形的底是三角形的底的一半，高是三角形的高，因为长方形的面积是长×宽，长方形的面积等于三角形的面积，所以三角形的面积是底×高÷2。
2：把一个直角三角形的上面对折下来，然后剪开，把它补在一边，拼成了一个长方形。
这个长方形的长是三角形的底，高是三角形高的一半，所以也能推出三角形的面积是底×高÷2。
3：把一个三角形沿着两边的重点对折，然后又把底边的重点这样对折，折成了一个长方形，这个长方形的底是三角形底的一半，宽是三角形高的一半，再乘以2，也可以推出三角形的面积是底×高÷2
4：把一个长方形沿对角线折叠，因为长方形的面积是长×宽，长方形是两个三角形拼成的，所以，三角形的面积是底×高÷2
梯形面积推导过程：
1、用两个完全一样的梯形通过旋转拼成了一个长方形，观察后发现：梯形的上下底之和相当于长方形的长、梯形的高相当于长方形的宽、梯形的面
积=长方形的面积÷2（或梯形的面积等于长方形的面积的一半），根据拼成图形的面积公式是：长方形的面积=长×宽，所以：梯形的面积=（上底+下底）×高÷2
2、梯形的上下底之和相当于平行四边形的底，梯形的高相当于平行四边形的高，梯形的面积相当于平行四边形面积的一半。
根据拼出图形的面积公式是：平行四边形的面积=底×高，所以：梯形的面积=（上底+下底）×高÷2
平行四边形面积推导过程：
平行四边形：由长方形面积推导而来的，把平行四边形的一角切割平移至另外一角，拼成一个长方形，长方形的长就是平形四边形的底，宽就是平行四边形的高，因为长方形的面积是长*宽，所以平形四边形的面积就是底*高圆形：把一个圆沿半径剪成若干等份，再让一系列圆心角互相咬合，便拼成了一个近似的长方形；而且，平分的份数越多，拼成的与长方形越近似；可以想象，若能无限分割，则就拼成了一个长方形，长相当于圆周长的一半，宽就是圆的半径，所以S长=a*b=πr*r=πr²
所以S圆=πr²
三角形：把两个完全相同的三角形拼成一个平行四边形，拼成的平行四边形的底等于三角形的底，高等于三角形的高，每个三角形的面积是这个拼成的平行四边形面积的一半，因为平行四边形的面积＝底×高，所以三角形的面积＝底×高÷2.用字母表示为S=ah÷2.
平行四边形：由长方形面积推导而来的，把平行四边形的一角切割平移至另外一角，拼成一个长方形，长方形的长就是平形四边形的底，宽就是平行四边形的高，因为长方形的面积是长*宽，所以平形四边形的面积就是底*高梯形：由平行四边形面积得到。
两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，平行四边形的底就梯形的上底+下底，平行四边形的高就是梯形的高，因为平行四边形的面积是底*高，所以梯形的面积为（上底+下底）*高/2。