弧度制
弧度制的概念
§3弧度制 1．弧度制(1)弧度制的定义在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角．它的单位符号是 ，读作 ．以弧度作为单位来度量角的单位制，叫作弧度制．(2)角度制与弧度制的互化①弧度数(ⅰ)正角的弧度数是一个 ； (ⅱ)负角的弧度数是一个 ；(ⅲ)零角的弧度数是 ； (ⅳ)弧度数与十进制实数间存在 ．②弧度数的计算|α|＝ ．如图：③角度制与弧度制的换算④一些特殊角的度数与弧度数的对应关系 度0° 1° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度思考2．弧长公式与扇形面积公式已知r 为扇形所在圆的半径，n 为圆心角的度数，α为圆心角的弧度数．角度制 弧度制 弧长公式l ＝|n |πr 180 扇形面积公式S ＝|n |πr 23601．下列说法中，错误的说法是( )A ．半圆所对的圆心角是π r adB ．周角的大小是2πC ．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D ．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度2．时针经过一小时，时针转过了( )A ．π6 radB ．－π6 radC ．π12rad D ．－π12 rad3．若θ＝－5，则角θ的终边在( )A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限4．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( )A ．1B ．4C ．1或4D ．2或4 角度与弧度的互化【例1】 设α1＝510°，α2＝－750°，β1＝4π5，β2＝－11π6. (1)将α1，α2用弧度表示出来，并指出它们各自终边所在的象限；(2)将β1，β2用角度表示出来，并在－360°～360°范围内找出与它们终边相同的所有的角．(1)原则：牢记180°＝π rad ，充分利用1°＝π180rad 和1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°进行换算． 1．将下列角度与弧度进行互化：(1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－115π.用弧度制表示终边相同的角【例2】 (1)把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z)的形式，其中0≤α<2π；(2)若β∈[－4π，0)，且β与(1)中α终边相同，求β.2．(1)把－1 125°化为2k π＋α(k ∈Z ，0≤α＜2π)的形式是( )A ．－6π－π4B ．－6π＋7π4C ．－8π－π4D ．－8π＋7π4 (2)在0°～720°范围内，找出与角22π5终边相同的角．弧长公式与面积公式的应用【例3】 一个扇形的面积为1，周长为4，求该扇形圆心角的弧度数．。
1.1.2弧度制
零角 负角
0 负实数
探究2：度与弧度的换算
思考：我们知道圆周角是360°，那么以弧度为单 位度量是多少弧度？由此可得度与弧度有怎样的 换算关系？ 360o 2 rad
180 rad
o
思考：根据上述关系，1°等于多少弧度？1rad等 于多少度？
1
180
rad
180 1rad
A.第一象限 C.第三象限
例2、把下列各角化为2k (0 2 , k z )的形式： 16 （ 1 ） 3 （2） - 315
11 （3） - 7
2 例3、在[0 ,720 ]中找出与 终边相同的角 . 5
如图, 设长度为r的线段0A绕端点O旋转形成的角为 l ，弧长为l , 则 | | , r
思考：一个扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心 角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并 求出这个扇形的最大面积.
小 结
（1）弧度制的概念；
（ 2）“角化弧”时，将n 乘以 ；“弧化角”时， 180 180
将 乘以
（3）弧长公式： l
；
| | r
r 为圆半ห้องสมุดไป่ตู้．）
1 1 2 扇形面积公式： S lr r （其中 l为圆心角 所 2 2
对的弧长， 为圆心角的弧度数，
探究1：弧度的概念
思考：在平面几何中，1°的角是怎样定义的？
将圆周分成360等份，每一段圆弧所对的 圆心角就是1°的角。 这种用度作为单位来度量角度的单位制 叫做角度制。
弧度制定义:
如图，把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角 叫做1弧度的角，记作1rad，读作1弧度. 用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧 度制. B
§1.1.2 弧度制
杨延龙
身高：2.26米 体重：125千克
1米=3.28043英尺
1千克=0.4536磅
在角度的度量里面， 也有类似的情况，一个 是角度制，另外一种度 量制---弧度制.
学习目标:
1． 使学生理解弧度的意义，能正确地进行弧度与 角度的换算，熟记特殊角的弧度数. 2． 掌握弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式， 会利用弧度制解决某些简单的实际问题. 3． 了解角的集合与实数集R之间可以建立起一一 对应关系. 学习重点:理解并掌握弧度制定义，熟练地进行角 度制与弧度制的互化换算，弧度制的运用. 学习难点:弧度的概念
例1：（1）把67°30′化成弧度。
1 解：67 30' 67 2
1 3 67 30' rad 67 rad 180 2 8
3 （2）把 —π 弧度化成度。 5
3 3 rad 180 108 解： 5 5
例2用弧度制表示：
1、终边在x轴上的角的集合 解：x x k , k Z 2、终边在y轴上的角的集合
0
6
4
3
2 3 5 2 3 4 6
3 2
2
2、用弧度为单位表示角的大小时， “弧度”二字通常省略不 写，但用“度”（°）为单位不能省略。 3、用弧度为单位表示角时，通常写 成“多少π”的形式。如无 特别要求，不用将π化成小数。
四、课堂小结：
1.弧度制定义 2.角度与弧度的互化 3.特殊角的弧度数
设弧AB的长为L，
若L=r， L = 1 弧度 则∠AOB=
B O
r
L=r 1弧度 A r
L = 2 弧度 若L=2r，则∠AOB = r
弧度制
例３．利用弧度制证明下列关于扇形的公式：
（） 1 l R;
1 (2)S= R 2 ; 2
1 (3)S= lR. 2
用弧度制表示终边相同的角
(1)将－1 500° 表示成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指出它是第 几象限角； 2π (2)在0° ～720° 范围内，找出与角 5 终边相同的角．
3π 3 (2)β1＝ 5 ＝ 5 ×180° ＝108° ，设θ＝108° ＋k· 360° (k∈Z)，则由－720° ≤θ<0° ， 即－720° ≤108° ＋k · 360° <0° ，得k＝－2，或k＝－1. 故在－720° ～0° 范围内，与β1终边相同的角是－612° 和－252° . π β2＝－3＝－60° ，设γ＝－60° ＋k· 360° (k∈Z)，则由－720° ≤－60° ＋ k· 360° <0° ，得k＝－1，或k＝0. 故在－720° ～0° 范围内，与β2终边相同的角是－420° .
布置作业
教材 第10页 A组1、2、3
（三）弧度与角度的换算
360°=2π rad
180°=π rad
运用新知
例1按照下列要求，把67°30′化成弧度：
（1）精确值；
（2）精确到0.001的近似值. 135 ) 解：（1） 因为 6730' ( 2 135 3 所以 6730' rad rad 180 2 8 （2）利用计算器计算
r
2 r
逆时针方向 逆时针方向 逆时针方向 顺时针方向 顺时针方向 未旋转 逆时针方向 逆时针方向
2
1 -2
180 360
r
2r
57.30 114.60 180
90°的弧度制
90°的弧度制90°的弧度制等于π/2弧度。
在数学中，角度的单位有两种，一种是度数制，另一种是弧度制。
度数制是将圆周分成360等分，每个等分为1°。
而弧度制是用圆的半径为单位来衡量角度的大小。
为了理解90°的弧度制，我们可以先回顾一下弧度制的定义。
在一个圆的圆心处，从圆心向圆上任意一点引出一条弧，该弧所对应的角的大小就是该弧所对应的圆心角。
如果这条弧长度等于圆半径的长度，那么这个圆心角对应的弧度就是1弧度。
类似地，如果弧长是圆半径的两倍，那么这个圆心角对应的弧度就是2π弧度。
弧度制通过将圆周的长度与圆的半径联系起来，使得角度的表示更加方便和准确。
回到90°的弧度制，我们可以通过以下公式来计算弧度制的值：弧度制= (角度/180) * π将90°代入公式中，即可计算得出90°的弧度制的值：90°的弧度制= (90/180) * π = (1/2) * π = π/2弧度换句话说，90°的弧度制等于π/2弧度。
弧度制的优点在于，它能够更好地描述角度之间的关系和计算。
在很多数学和物理问题中，弧度制更加方便和自然。
例如，在三角函数的计算中，弧度制能够提供更简洁的表达式和更直观的解释。
此外，弧度制还可以更直观地理解圆的相关性质，如圆周角、弧度等于1时的圆周长等。
总结一下，90°的弧度制等于π/2弧度。
弧度制是一种将角度通过圆的半径来衡量的单位制度，能够更好地描述角度之间的关系和计算。
弧度制在数学和物理中有着广泛的应用，并且能够提供更精确和直观的解释和计算。
弧度制
按照下列要求,把 ° 化成弧度 化成弧度: 例1 按照下列要求 把67°30′化成弧度 (1)精确值 精确值
135 解： 67 30′ = 2
o o
135 3 67 30′ = rad × = π rad 180 2 8
o
π
按照下列要求,把 ° 化成弧度 化成弧度: 例1 按照下列要求 把67°30′化成弧度 (2)精确到 精确到0.001的近似值 的近似值. 精确到 的近似值 (2)利用计算器 (2)利用计算器
1. 圆心角、弧长和半径之间的关系： 圆心角、弧长和半径之间的关系： 角是由射线绕它的端点旋转而成的， 角是由射线绕它的端点旋转而成的，在旋 转的过程中射线上的点必然形成一条圆弧， 转的过程中射线上的点必然形成一条圆弧， 圆弧 不同的点所形成的圆 弧的长度是不同的， 弧的长度是不同的， 但都对应同一个圆心角。 但都对应同一个圆心角。
思考:如果一个半径为r的圆的圆 心角α所对的弧长是l,那么α的弧 度数是多少? l α= α的弧度数的绝对值是 角α的弧度数的绝对值是 r
r为半径 l为角 所对弧的长 为半径, 为角 为半径 为角α所对弧的长 α的正负由角 的终边旋转方向决定 的正负由角α的终边旋转方向决定 的正负由角
角度制与弧度制的换算
②1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧） 弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧） 的大小， 的大小，而 1 是圆的
o
1 360
所对的圆心角（或该弧） 所对的圆心角（或该弧）
的大小； 的大小；
不论是以“ 弧度” 还是以“ ③ 不论是以 “ 弧度 ” 还是以 “ 度 ” 为单位的角 的大小都是一个与半径大小无关的定值． 的大小都是一个与半径大小无关的定值．
§1.1.2 弧度制(一)
π/3
课堂讲练
③ 练习2：用弧度制表示下列角的集合： 终边在x轴上； {α|α= kπ,k∈Z} 终边在y轴上： {α|α= (2k+1)π/2,k∈Z} y 5π/2 π/2 4π 2π x
3π π
④练习3：用弧度制表示下列角的集合：
o 3π/2 7π/2
终边在第一象限：
{α|2kπ＜α＜2 kπ+π/2 , k∈Z}
o
x
终边在第三象限； {α|2kπ+π＜α＜2 kπ+3π/2 , k∈Z} 终边在第四象限. {α|2kπ+3π/2 {α|2kπ- π/2 ＜＜ α＜ α＜ 22 kπ+2π kπ , k, ∈ kZ} ∈Z} ②用弧度制表示与下列角的终边相同的角的集合： 0° 30° {α|α= 2kπ , k∈Z}
l r
⑥ 探究：完成书P6表1.1-1后，讨论：半径为r的圆心角α所对弧 长为l，则α弧度数=？
AB 的长
πr 2πr r 2r -πr 0
OB旋转的方向 ∠AOB的弧度数 ∠AOB的度数 逆时针方向 逆时针方向 逆时针方向 顺时针方向 顺时针方向 不转动
π 2π
1 -2 -π 0
180 360
练习：已知 限。
是第二象限角，求 所在的象 2
探究1：弧度的概念 思考1：在平面几何中，1°的角是怎 样定义的？
将圆周分成360等份，每一段圆弧 所对的圆心角就是1°的角. 思考2：在半径为r的圆中，圆心角n° 所对的圆弧长如何计算？
2r l n 360
思考3：如图，把长度等于半径长的 圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角， 记作1rad，读作1弧度. 那么，1弧度 圆心角的大小与所在圆的半径的大小是 否有关？为什么？ r
弧度制
３６０°＝ ２π弧度 １８０°＝π弧度 思考：１°＝＿＿ ＿＿弧度
180 180
１弧度＝＿＿＿＿°
例３．把９０°换成用弧度来表示．
例４．把２２°３０′化成弧度制．
8
例５．把 弧度化成度
解：
4
弧度
1800
4
4
450
角 度
0o 30o 600 900
弧 度
06 32
§1.1.2弧度制
1、1°的角是怎样定义的？
把一个周角360等分，每一份就 为1°的角
用度作单位度量角的单位制叫 角度制
１．弧度制
弧度制：和半径相等的圆弧对应
的圆心角为１弧度． 记作：１rad．通常可以省略rad．
(1)若 AB 长度等于半径r，
则∠ＡＯＢ＝１rad
B
(2)若 Ac 长度等于２r，
回顾小结： １．弧度制公式：
l
r
２．１°＝
弧度
180
１弧度＝ 180 °
３．终边相同的角．
例６．用弧度表示终边在 ，上的角
的集合．
4
分析： ＝４５°
4
用角度制表示：
/ 360o k 45o,k Z
解：
/
2k
4
,
k
Z
练习2（１）用弧度表示终边在６０°上 的角的集合．
（２）用弧度表示终边在Ｙ轴上的 角的集合．
（3）用弧度表示终边在Ｘ轴上的 角的集合．
练习3、∠ＡＯＢ＝６０度，半径r＝ ２．求∠ＡＯＢ所对的圆弧的长．
A
AB
则∠Ａ果圆半径为r，弧为 l ，
则该弧对应圆心角 为?
l
r
例１．已知 AB ＝３，r＝２， 求∠ＡＯＢ
1.1.2弧度制
o
3 2k 0 2 270 +K·3600
0 0 +K · 360 0 2 k x 0＋ K · 0 或 360 360 2 2k
终边在y轴上： {β| β=900+K∙1800 ，K∈Z}
例3:用弧度制表示
（1）终边落在45°角的终边上的所有角的集合 （2）第Ⅱ象限角的集合
一一对应
1.1.2弧度制
复习：
按逆时针方向旋转所形成的角叫做 正角； 按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角 ；
如果射线没有旋转，那么也把它看成一个角， 叫做 零角 。
角的终边（除端点外）在第几象限，就说 这个角是第几 象限角 。
与角 终边相同的角的集合是
{ | k 360 , k Z }
用弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制。
一一对应
正角 零角
正实数 零 负实数
负角
思考：
弧度制
1度角等于多少弧度？
1
180
rad 0.01745rad
1弧度角等于多少度？
1rad
180
度 57.30
2、例题： （1）把67 30化为弧度； 3 （2）把 π 化为角度； 5 (3)把下列特殊角化为弧度数
o
度
0 0 300 450 600 900 1200 1350 1500 2 3 5
4 3 2 3 4 6
3 2
2
例2：请用弧度制表示下列角度的范围。
锐角：{θ|0°＜θ＜90°}，
直角： {θ|θ=90°} 钝角： {θ|90°＜θ＜180°} 平角： {θ|θ=180°} 周角： {θ|θ=360°} 0°到90°的角：{θ|0°≤θ<90°}； 小于90°角：{θ|θ＜90°} 0°到180°的角：{θ|0°≤θ<180°} 0°到360°的角：{θ|0°≤θ<360°}
1.1.2 弧度制
思考:终边在过直角坐标系原点的直线上角 的集合共同特征是怎样的?
用弧度制表示角
用弧度制表示顶点在原点，始边重合x轴非负半轴， 终边落在下图中阴影部分内的角的集合(包括边界)．
3．在坐标平面内，画出下列角的终边： 11 23 8 11 (1) π；(2) π；(3)－ π；(4)－ π. 4 6 3 3
1°=
π —— 弧度 ≈ 0．01745弧度
180
180 1弧度 =（——）°≈ 57．30°= 57°18′
π
度 弧 度
0 0 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 2700 3600
0
6
2 3 5
4 3 2 3 4 6
3 2
2
三、弧长公式与扇形面积公式
弧长与扇形面积公式的应用
(1)已知扇形周长为10，面积为4，求扇形圆心角的 弧度数；
(2)已知一扇形的圆心角是72°，半径为20，求扇形 的面积； (3)已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何 值时，扇形的面积最大？最大值是多少？
4.一扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角α等于多少弧 度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积？
三 角 函 数
1.1 任意角和弧度制 1.1.2 弧度制
1．理解并掌握弧度制的定义，理解1 弧度的定义，能熟练进行弧度与角度 的互化．
2．理解弧度制表示的弧长、扇形面 积公式，能运用弧长、扇形面积公式 计算．
一、弧度制的概念
1.什么是1弧度的角？
2.角的弧度数与实数的关系？
3.任意角的弧度数如何计算？ 二、角度值与弧度值的互化 1.1º =？ 2.1rad = ？ 三、弧长公式和扇形面积公式 L=？ S扇形=？
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
弧度制说课稿
下面我将从（1）教材（2）教法（3）学法（4）教学过程（5）教学反思。
说教材
1、教材的分析
说课内容是中等职业教育课程改革国家规划新教材《数学》（基础模块）上册弧度制。通
过本节弧度制的学习，我们很容易找出与角对应的实数而且在弧度制下的弧长公式。另外弧
度制为今后学习三角函数带来很大方便。
2、教材的处理
根据学生专业特点，我将两课时合为一个课时：
即：将弧度制的概念与弧度制的运用合并为一节课
3、教学目标
知识目标：理解弧度制的概念，能进行角度和弧度的转化，掌握圆心角与弧长公式，
会解决实际问题
能力目标：通过对角度和弧度关系的探究，让学生体会过程的重要性，提高分析归纳
能力。
情感目标：注重教学过程中师生间、学生间的交流，鼓励学生大胆尝试、发现规律，
激发学生学习兴趣，并获得成功的情感体验。
4、重点、难点
教学重点：使学生理解弧度的意义，圆心角的大小公式和弧长公式。
教学难点：能正确进行弧度与角度的换算。
说教法
1、教师要以学生为主体，创设和谐、愉悦互动的环境。
教学过程设问、引导、启发、发现式教学方法。
2、采用了多媒体辅助教学，以提高课堂效率.
说学法
1、学情 学生在初中已经学过角的度量单位“度”
正因为如此才会激发学生为何学习弧度的兴趣。
2、学法 指导学生学会提炼问题结论，
指导学生学会解决实际问题.
教学过程分析
（一）问题导入：
回忆1°的角是如何定义的？
教师应说明用度作为单位不足之处（1）书写时单位容易忘记（2）它是
六十进制运算麻烦。
复习度量角的大小第一种单位制—角度制的定义。
复习圆心角与圆周角的概念。
设计意图：这样引入主要是考虑到学生可能提出：为什么要引入和如何引入弧度制？
（二）、讲解新课：
提出课题：弧度制—另一种度量角的单位制，它的单位是rad 读作弧 度。
弧度制的定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度 的角。
规 定：
正角的弧度数是正数，
负角的弧度数是负数，
零角的弧度数是0
用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）
设计意图:在教师引导下让学生带着问题去独立思考，自主学习，并通过对问题的思考提高理
解能力，强化自我意识，促进由学会到会学转化，形成良好的思维品质。
（三）、公式推导
1、创设情境，引导学生探索发现,当角用弧度制表示时,
其绝对值等于圆弧长与半径的比,即:
并由学生推导出弧长公式：
说明：一定是用弧度制表示的角
2.角度制与弧度制的换算：
360°=2p rad 180°=p rad
注意：
1、弧度与角度的换算，可以利用科学计算器进行，也可用《中学数学用表》进行。
2、一般地，“弧度”与“rad“通常略去不写，而只写这个角所对应的弧度数.
3、采用弧度制后，角与实数之间就建立了一一对应关系.
设计意图：教师通过带领学生进行公式的推导，融教学内容于解答启迪之中，从而完善学生
的知识结构。
（四）、习题讲解
例1 把角度化成弧度：（1） （2） （3）
例2 把弧度化成角度：（1） （2） （4）
练习 ：103页 习题5.2-1
设计意图：使学生能够熟练掌握度与弧度之间的转化及一些特殊角的弧度数为后面的学习做
准备。
（五）实践应用
例3 某机械采用带传动,由发动机的主动轴带着工作机的从动轮
转动.设主动轮A的直径为100mm，从动轮B的直径为280mm
问主动轮A旋转，从动轮B旋转的角是多少？（精确到 ）
例4 求如图5-12所示的公路弯道部分
弧AB的长（单位m，精确到0.1 m）
设计意图：使学生能够把学到的知识运用到实践当中去
（六）、归纳小结
1、弧度与角度的换算；
2、弧度的意义；
3、弧度制计算公式及简单运用。
作业：P105
习题5.2第2、3、4、5
板书设计
教学反思
在本教材中，5.1-1是弧度制的基本概念，5.1-2是利用弧度制解决实际中的问题，我认
为本节知识，对于汽修和机械加工专业而言应以实践为主，因此将5.2-1和5.2-2合为一节
课。首先介绍弧度制的相关知识，后半节课着重让学生自己解决实践中的问题。
一个新的概念出现之后，不能只停留在表面，需要深入思考，掌握其内容，理解其
本质，知道其外延。当然，学生对新概念的再思考，来源于教师的引导，引导取决于教师本
身对概念的理解和把握，也需要教师精心设计一些问题引发学生对新概念的再思考、再加工。
所以，我认为：学生思维品质的培养和提升，取决于教师独具匠心的“问”和学生积极主动
的“思”。对于本课题中问题的设计，我也注意到：问题要能够引发学生的思考，并且能够让
学生再思考。从而培养了学生思考问题的严密性和严谨性，同时也为专业课学习打下了基础。