数学高考中常考常新的永恒主题——谈函数中的数学思想方法
高考数学专题复习常用数学思想方法
常用数学思想方法1. 函数与方程的思想方法:在数学解题中,有时需要把一个变量看作是另一个或另几个变量的函数,从而把题目转化为对函数的研究; 有时题目中已经直接或间接地给出了某个函数,这时我们就可以充分挖掘和利用这个函数的性质使它为解题服务; 有时我们可以依据条件去构造函数,通过对这个新的函数的研究去达到解题的目的.这些解题的思路都是在函数和变量的思想指导下启发出来,这种解题方法即为函数的思想方法.有大量的数学问题都可以转化为方程问题,也有许多数学问题从表面上看,与方程没有多少直接联系,但是从分析这些问题的数量关系入手,往往又可以把这些数学关系放到一个或几个方程中去解决,因此在解题中主动进行这种由未知向已知的转化,有意识地通过方程解决问题就成为解题中的一个常用的指导思想,这就是方程思想.方程(或不等式)与函数是互相联系的,在一定条件下,它们可以互相转化,如解方程0)(=x f 就是求函数)(x f 的零点;解不等式)()(x g x f >,就是由两个函数值的大小关系确定自变量的取值范围,这种形成了它们之间的内在规律.例1. 设对所有实数,x 不等式04)1(log 12log 2)1(4log 222222>+++++a a a a x a a x 恒成立,求实数a 的取值范围.分析及解: 首先从化简的角度,应将不等式化简, 令,21log 2t aa =+则有 022)3(2>+-+t tx x t (*) 由题设上式对任意R x ∈恒成立,当且仅当2)3(44032<⋅+-=∆>+t t t t ⇒.603-<>->t t t 或∴,0>t 即,021log 2>+aa 解出.10<<a 此题还可以这样求解:由(*)式分离主元得,0]22[322>+-+t x x x 即 ,0]1)1[(322>⋅+-+t x x 从而有1)1(322+-<-x x t (**) 上式对任意R x ∈均成立,t -只要小于右端的最小值,即,0<-t 亦即,021log 2>+aa 解出 .10<<a 此解法是利用函数思想求解的,(**)式中1)1(322+-x x 为x 的函数,其定义域R x ∈,不妨设=)(x g 1)1(322+-x x ≥0,(**)式的实质是t -,需小于)(x g 的任一函数值,因此只需小于)(x g 的最小值即可. 故 0<-t .例2. 证明: 对于一切大于1的自然数,n 恒有.221)1211()511)(311(nn +>-+++ 分析及解: 原不等式等价于:.2121)1211()511)(311(>+-+++nn 我们可视不等式的左边为变量为自然数n 的函数,利用其单调性求解.令n nn n f (21)1211()511)(311()(+-+++=≥2且)*N n ∈ 则有 n n n n n f ()1(21)1211)(1211()511)(311()1(++++-+++=+ ≥2且)*N n ∈8221)1211()()1(++++=+n n n n f n f )32)(12(22+++=n n nn n n (11)1(4)1(22>-++=≥2且)*N n ∈∴),()1(n f n f >+即)(n f 是单调增函数, (n ≥2且)*N n ∈又,21641645165311)2(=>=+=f∴当 ,3,2=n 时,恒有.21)(>n f 故n nn (221)1211()711)(511)(311(+>-++++ ≥2且)*N n ∈ 注: 利用函数的单调性来证明不等式.例3. (1)证明下面的命题: 一次函数),0()(≠+=k h kx x f 若n m <,,0)(,0)(>>n f m f 则对于任意的],,[n m x ∈都有;0)(>x f(2)试用上面的结论证明下面的命题: 若c b a ,,均为实数,且1<a ,,1,1<<c b 则.1->++ca bc ab分析及解: 本题是由一次函数h kx x f +=)(的图象编拟的,要求用函数思想给出证明,我们不妨从函数的单调性入手.当0>k 时,h kx x f +=)(在],[n m 上是增函数,当∈x ],[n m 时,则有f (m )<f (x )<f (n ).∵,0)(>m f ∴.0)(>x f当0<k 时,h kx x f +=)(在[m,n ]上是减函数,当∈x ],[n m 时,有f (m )>f (x )>f (n ).∵f (n )>0, ∴.0)(>x f综上所述,当k ≠0时,对于任意∈x ],[n m ,都有.0)(>x f(2)题目要求用第(1)小题的结论证明该命题,所以首先需要构造一次函数. 注意到欲证不等式等价于(b+c )a+bc +1>0,因此可构造函数f (x )=(b+c )x+bc+1,).1,1(-∈x当0=+c b 时,f (a )=bc +1=,012>+-b 即ab+bc+ca >-1. 当0≠+c b 时,f (x )=(b+c )x+bc+1为一次函数. ∵f (-1)=-b -c +bc +1=(1-b)(1-c )>0, f (1)=b +c +bc +1=(1+b )(1+c )>0,∴由第(1)小题的结论,对于任意)1,1(-∈a ,都有f (a )>0.即ab+bc+ca +1>0.综上所述,恒有ab+bc+ca>-1.例4.某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y 与月份数x 的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数c ab y x +=（其中c b a ,,为常数），已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，请说明理由。
高考数学：数学解题七大基本思想方法
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高考数学：数学解题七大基本思想方法数学学科有自己独特的思维模式，所以在解决数学问题时，就要以数学的基本方法去考虑，这样才能在最有效的时间内答对题目。
第一：函数与方程思想(1)函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时，起着重要作用(2)方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础注：高考把函数与方程思想作为七种重要思想方法重点来考查第二：数形结合思想(1)数学研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面(2)在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系数形结合中，选择、填空侧重突出考查数到形的转化，在解答题中，考虑推理论证严密性，突出形到数的转化第三：分类与整合思想(1)分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法(2)从具体出发，选取适当的分类标准(3)划分只是手段，分类研究才是目的(4)有分有合，先分后合，是分类整合思想的本质属性(5)含字母参数数学问题进行分类与整合的研究，重点考查学生思维严谨性与周密性第四：化归与转化思想(1)将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决问题化归为已解决问题(2)灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法(3)高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化第五：特殊与一般思想(1)通过对个例认识与研究，形成对事物的认识(2)由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论(3)由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程(4)构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程(5)高考以新增内容为素材，突出考查特殊与一般思想必成为命题改革方向第六：有限与无限的思想(1)把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路(2)积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决的方向(3)立体几何中求球的表面积与体积，采用分割的方法来解决，实际上是先进行有限次分割，再求和求极限，是典型的有限与无限数学思想的应用(4)随着高中课程改革，对新增内容考查深入，必将加强对有限与无限的考查第七：或然与必然的思想(1)随机现象两个最基本的特征，一是结果的随机性，二是频率的稳定性(2)偶然中找必然，再用必然规律解决偶然(3)等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验、随机事件的分布列、数学期望是考查的重点。
高中数学常见思想方法总结
高中常见数学思想方法方法一 函数与方程的思想方法函数是中学数学的一个重要概念，它渗透在数学的各部分内容中，一直是高考的热点、重点内容.函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数特征，重在对问题的变量的动态研究，从变量的运动变化、联系和发展角度拓宽解题思路.方程的思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解.函数与方程的思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质,达到化难为易，化繁为简的目的.有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的.【例1】 设等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，已知3121312,0,0a S S =><.（1）求公差d 的取值范围；（2）指出1S 、2S 、…、12S 中哪一个值最大，并说明理由.【分析】 （1）利用公式n a 与n S 建立不等式，容易求解d 的范围；（2）利用n S 是n 的二次函数，将n S 中哪一个值最大，变成求二次函数中n 为何值时n S 取最大值的函数最值问题.【解】（1） 由3a ＝12a d +＝12,得到1a ＝12－2d ，所以12S ＝121a ＋66d ＝12(12－2d )＋66d ＝144＋42d >0，13S ＝131a ＋78d ＝13(12－2d )＋78d ＝156＋52d <0.解得：2437d -<<-. （2）解法一：（函数的思想）n S ＝21115(1)(12)222na n n d dn d n ++=+- ＝22124124552222d d n d d ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦因为0d <，故212452n d ⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦最小时，n S 最大.由2437d -<<-得12465 6.52n d ⎛⎫<--< ⎪⎝⎭，故正整数n ＝6时212452n d ⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦最小，所以6S 最大. 解法二：（方程的思想）由0d <可知12313a a a a >>>>.因此，若在112n ≤≤中存在自然数n ，使得0n a >，10n a +<，则n S 就是1S ，2S ，，n S 中的最大值．121300S S >⎧⎨<⎩⇒1150260d a d a d ⎧+>->⎪⎨⎪+<⎩⇒6700a a >⎧⎨<⎩, 故在1S 、2S 、…、12S 中6S 的值最大．【点评】 数列的通项公式及前n 项和公式实质上是定义在自然数集上的函数，因此可利用函数思想来分析,即用函数方法来解决数列问题；也可以利用方程的思想，利用不等式关系，将问题进行算式化，从而简洁明快.由此可见，利用函数与方程的思想来解决问题，要求灵活地运用、巧妙的结合，发展了学生思维品质的深刻性、独创性.【例1】 在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15922=+y x 的左右顶点为A,B ，右顶点为F ，设过点T （m t ,）的直线TA,TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x ，),(22y x N ，其中m>0,0,021<>y y（1）设动点P 满足422=-PB PF ,求点P 的轨迹；（2）设31,221==x x ，求点T 的坐标； （3）设9=t ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）.【解】 （1）由题意知)0,2(F ，)0,3(A ，设),(y x P ，则4)3()2(2222=---+-y x y x化简整理得29=x . （2）把21=x ，312=x 代人椭圆方程分别求出)35,2(M ，)920,31(N 直线)3(31:+=x y AM ① A B O F直线)3(65:--=x y BN ② ①、②联立得107,3T ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （3）),9(m T ， 直线)3(12:+=x m y TA ，与椭圆联立得)8040,80)80(3(222++--m m m M 直线)3(6:-=x m y TB ，与椭圆联立得)2020,20)20(3(222+-+-m m m N 直线2222222224020203(20)8020:3(80)3(20)20208020m m m MN y x m m m m m m +⎛⎫-+++=- ⎪--++⎝⎭--++, 化简得222220103(20)204020m y x m m m ⎛⎫-+=-- ⎪+-+⎝⎭令0y =，解得1x =，即直线MN 过x 轴上定点(1,0).【点评】 本题主要考查求简单曲线的方程，考查直线与椭圆的方程等基础知识，考查运算求解能力和探究问题的能力.而且，本题在解决问题时，无论求点的坐标，还是求点P 的轨迹方程，都灵活运用了方程的思想，特别是在证明过程中更是很好地利用方程的有关知识，使问题画繁为简，华难为易.方法二 数形结合的思想方法正确利用数形结合，应注意三个原则：（1）等价性原则数形信息的转换应该是等价的、充要的.要注意由于图形的直观性，往往可以成为严格推证的启导，但有时不能完整表现数的一般性，考虑问题可能不完备.（2）双向性原则数形结合的含意是双向的，即考虑问题既注意代数问题几何化，也注意几何问题代数化，而不仅仅指前者.（3）简单性原则有了解题思路，思考用几何方法，还是代数方法，还是两者兼而用之，要取决于解题的简单性原则，而不能形而上学地让几何问题代数化，代数问题几何化成为一种机械模式.运用数形结合的思想方法解题的途径主要有三条:第一，以形助数：把一些数式的几何意义明朗化，构造出解题的几何模型，突显问题的直观性，使解题思路变得形像而通畅;第二，以数助形：利用几何图形或图像图表中隐含的数式特征，构造出解题的代数模型(必要时建立坐标系)，突显问题的本质，另辟解题的捷径;第三，数形互助：根据问题的需要，将以形助数和以数助形二方面结合运用.数形结合的应用是广泛的，数与形的结合点主要集中在以下几个方面：1.研究函数的性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性、值域与最值等)，可从函数图像的直观性得到鲜明的启示.2.利用数轴与坐标系(包括直角坐标系、极坐标系)，使数与点对应，使函数与图像、方程与曲线结合，使代数与几何联结.这样，可利用坐标或向量的运算，探索几何图形的相关性质；利用函数图像与方程曲线的直观性，探索函数或方程的性质.3.从统计图表、图像中，收集分析出“数”的信息，由破译的数量关系建立代数模型，探索相关的结论.这类数形信息的转换能力是近年高考的新亮点.4.三角函数与单位圆、三角函数曲线的联系.5.复平面与复数、向量的沟通.6.利用类比法、换元法(如三角换元)、构造法、坐标法等构造代数问题的几何模型、几何问题的代数模型，开辟解题的新思路.【例1】 （12年上海模拟）若函数()()y f x x R =∈满足(2)()f x f x -=，且[1,1]x ∈-时，2()1f x x =-，函数lg(1),11(),00,01x x g x x xx ->⎧⎪⎪=-<⎨⎪≤≤⎪⎩，则函数()()()h x f x g x =-在区间[5,6]-内的零点个数为_________.【答案】 9【解】 由题意，直接求解会很麻烦，且不易得到正确的答案，所以该题中求()()()h x f x g x =-的零点,可以转化为求()f x 与()g x 两函数图像的交点.则画出()f x 与()g x 的图像,由于()f x 在[1,1]x ∈-上为2()1f x x =-,且为周期函数,周期为2,而()g x 是分段函数,注意其图像共分为三部分,如图,可等共有9个交点,其中有一个易错点,即其中1个交点为(1,0)很容易被遗漏.【点评】 要求()()()h x f x h x =-在区间[5,6]-内的零点的个数，可转化为求()f x 与()h x 交点的个数，可以作出图形，观察图形易得交点的个数.本题体现了数形结合的思想,正是运用数形结合的思想方法解题的途径中的以形助数.【例2】 函数y =f (x )的图像为圆心在原点的两段圆弧，试解不等式f (x )＞f (－x )十x ．【解】 解法一：（以数助形） 由题意及图像，有⎪⎩⎪⎨⎧<≤---≤<-=011101)(22x x x x x f ， （1）当0<x ≤1时, f (x )>f (－x )+x 得21x ->－2)(1x --+x , 解得0<x <552; （2）当－1≤x <0时, 得－21x ->2)(1x --+x , 解得－1≤x <－552, ∴ 原不等式的解集为[－1, －552)∪(0, 552). 解法二：（数形互助） 由图象知f (x )为奇函数，∴ 原不等式为f (x )>2x ，而方程f (x )= 2x 的解为x =±552，据图像可知原不等式解集为[－1, －552)∪(0, 552). 【点评】 本题以形看数（解式，奇偶性），以数解形（曲线交点A 、B ），最后以形解数（不等式），这才是真正意义上的数形结合，扬长避短．方法三 分类讨论的思想方法1.通常引起分类讨论的原因，大致可归纳为如下几点：(1)涉及的数学概念是分类定义的；(2)涉及运算的数学定义、公式或运算性质、法则是分类给出的；(3)涉及题中所给的限制条件或研究对像的性质而引起的；(4)涉及数学问题中参变量的不同取值导致不同结果而引起的；(5)涉及的几何图形的形状、位置的变化而引起的；(6)一些较复杂或非常规的数学问题，需要采用分类讨论的解题策略解决的.2.分类讨论的步骤一般可分为以下几步：(1)确定讨论的对像及其范围；(2)确定分类讨论的标准，正确进行分类；(3)逐类讨论，分级进行；(4)归纳整合，作出结论.其中最重要的一条是“不漏不重”.学生必须对相关知识点或涉及的概念、定义、定理相当清楚，对于一些结论成立的条件掌握牢固，这样才能在解题时思路清晰，才能知道何时必须进行分类讨论，而何时无须讨论，从而可以知道怎样进行分类讨论.【例1】（12年上海二模）点),(y x Q 是函数122-=x y 图像上的任意一点，点(0,5)P ，则P 、Q 两点之间距离的最小值是______________.【答案】 11【解】 ①当2102x -<时，222221,(5)(6)92x y PQ x y y =-=+-=--. 63y -=±时，即y ＝9或y ＝3，PQ 取最小值0，但222x y =-都为负数，∴不成立； ②当2102x -≥时，212x y =-，2222(5)(4)11PQ x y y =+-=-+.当y ＝4时，PQ 取最小值为11．综上所述，P 、Q 两点之间距离的最小值为11．【点评】 由于题中给出的是绝对值函数，需要利用分类讨论的思想去掉绝对值，然后再求解.体现了数学概念是分类定义的而引起的分类讨论.【例2】设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和0(1,2,3,)n S n >=，求q 的取值范围.【分析】在应用等比数列前n 项和的公式时，由于公式的要求，分q ＝1和q ≠1两种情况.【解】{}n a 是等比数列，且前n 项和0(1,2,3,)n S n >=，110a S ∴=>，且0q ≠当1q =时，10n S na =>；当1q ≠时，1(1)01n n a q S q-=>-，即10(1,2,3,)1nq n q ->=-. 上式等价于1010n q q ⎧->⎨->⎩ ①或1010n q q ⎧-<⎨-<⎩ ②,由①得1q >,由②得11q -<<,∴q 的取值范围为()()1,00,-+∞.【点评】本题正是分类讨论中运算的数学定义、公式或运算性质、法则是分类给出的体现.【例4】已知实数0a ≠,函数()2,1,2, 1.x a x f x x a x +<⎧=⎨--≥⎩若()()11f a f a -=+,则a 的值为________. 【答案】 34-【解】首先讨论1a -，1a +与1的关系.当0a >时，11a -<，11a +<，所以()()1121f a a a a -=---=--；()12(1)32f a a a a +=++=+.因为()()11f a f a -=+，所以132a a --=+，所以34a =-； 当0a <时，11a ->，11a +>，所以()()1212f a a a a -=-+=-；()1(1)231f a a a a +=-+-=--.因为()()11f a f a -=+，所以231a a -=--，所以32a =-（舍去）. 综上，满足条件的34a =-. 【点评】本题的解题关键在于讨论1a -，1a +与1的关系，正是体现了数学问题中参变量的不同取值导致不同结果而引起的分类讨论.方法四 概括归纳的思想方法概括是在思维中将同一种类型的对像共同的本质属性集中起来，结合为一般类型的属性.归纳是一种逻辑型的思维形状，是从几个特殊情形做出一般结论的不完全的属性.一类是性质和法则的归纳，如数列的基本性质，对数运算的法则的归纳过程；另一类是解题方法的归纳，如向量在物理中的应用等；第三类是归纳猜想，如由表格所给数据归纳几个连续奇数的和等.【例2】在数列{n a }中，1a =13 ，且前n 项的算术平均数等于第n 项的2n -1倍（n ∈N*）．（1）写出此数列的前5项；（2）归纳猜想{n a }的通项公式，并用数学归纳法证明．【分析】（1）利用数列{n a }前n 项的算术平均数等于第n 项的2n -1倍，推出关系式，通过n =2，3，4，5求出此数列的前5项；（2）通过（1）归纳出数列{n a }的通项公式，然后用数学归纳法证明．第一步验证n =1成立；第二步，假设n =k 猜想成立，然后证明n =1k +时猜想也成立.【解】 （1）由已知1a =13，123n a a a a n++++ =（2n -1）n a ，分别取n =2，3，4，5，得2111153515a a ===⨯，()312111145735a a a =+==⨯， ()4123111277963a a a a =++==⨯，()512341114491199a a a a a =+++==⨯， 所以数列的前5项是：113a =，2115a =，3135a =，4163a = ，5199a = . （2）由（1）中的分析可以猜想1(21)(21)n a n n =-+（n ∈N*）． 下面用数学归纳法证明：①当n =1时，猜想显然成立.②假设当n =k （k ≥1且k ∈N*）时猜想成立，即1(21)(21)k a k k =-+ ． 那么由已知，得12311(21)1k k k a a a a a k a k +++++++=++， 即21231(23)k k a a a a k k a +++++=+．所以221(2)(23)k k k k a k k a +-=+，即1(21)(23)k k k a k a +-=+，又由归纳假设，得11(21)(23)(21)(21)k k k a k k +-=+-+， 所以11(21)(23)k a k k +=++，即当1n k =+时，猜想也成立. 综上①和②知，对一切n ∈N*，都有1(21)(21)n a n n =-+成立． 【点评】 本题考查数列的项的求法，通项公式的猜想与数学归纳法证明方法的应用，注意证明中必须用上假设，考查计算能力，分析问题解决问题的能力．正是体现了概括归纳的思想方法.方法五化归与等价变换的思想方法在解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，需将原问题转化成一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的），通过对新问题的求解，达到解决原问题的目的.这一思想方法我们称之为“转换化归思想”.而转换化归思想的基本原则就是：化难为易，化生为熟，化繁为简，化未知为已知.1.利用转换化归思想解决数学问题时必须明确三个问题：（1）把什么东西进行转换化归，即化归对像；（2）化归转换到何处，即化归转换的目的；（3）如何进行转换化归，即转换化归的方法.2. 化归与转化常遵循以下几个原则.（1）目标简单化原则：将复杂的问题向简单的问题转化；（2）和谐统一性原则：即化归应朝着使待解决问题在表现形式上趋于和谐，在量、形关系上趋于统一的方向进行，使问题的条件和结论更均匀和恰当；（3）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决；（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决；（5）正难则反原则：即当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解．3．转化与化归常用到的方法（1）直接转化法：把问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题．（2）换元法：运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题．（3）数形结合法：研究原问题中数量关系（解式）与空间形式（图形）关系，通过互相变换获得转化途径．（4）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题．（5）坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题，是转化方法的一个重要途径．（6）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化途径．（7）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题．（8）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的．（9）加强命题法：在证明不等式时，原命题难以得证，往往把命题的结论加强，即命题的结论加强为原命题的充分条件，反而能将原命题转化为一个较易证明的命题，比如在证明不等式时：原命题往往难以得证，这时常把结论加强，使之成为原命题的充分条件，从而易证．（10）补集法：如果下面解决原问题有困难，可把原问题结果看作集合A ，而包含该问题的整体问题的结果类比为全集U ，通过解决全集U 及补集使原问题得以解决.化归与等价变换的思想方法所涉及到的具体问题很多很多，如果不断努力地用这种方法去解决一些数学问题或数学范畴以外的问题时，往往会出现事半功倍的奇特效果.【例1】 设x 、y ∈R 且22326x y x +=，求22x y +的范围.【解】 方法一：等价转化法(转化为函数问题)由22623x y x -=≥0得0≤x ≤2.设22k x y =+，则22y k x =-，代入已知等式得：2620x x k -+=， 即2132k x x =-+，其对称轴为x =3. 由0≤x ≤2得k ∈[0,4].所以22x y +的范围是：0≤22x y +≤4.方法二：数形结合法（转化为解几何问题）： 由22326x y x +=得()221132y x -+=，即表示如图所示椭圆，其一个顶点在坐标原点.22x y +的范围就是椭圆上的点到坐标原点的距离的平方.由图可知最小值是0,距离最大的点是以原点为圆心的圆与椭圆相切的切点.设圆方程为22x y k +=，代入椭圆中消y 得2620x x k -+=.由判别式3680k ∆=-=得4k =,所以22x y +的范围是：2204x y ≤+≤.方法三： 三角换元法，对已知式和待求式都可以进行三角换元（转化为三角问题）： 由22326x y x +=得()221132y x -+=，设1cos 6sin 2x y αα-=⎧⎪⎨=⎪⎩，则 2222233112cos cos sin 12cos cos 222x y ααααα+=+++=++- []215cos 2cos 0,422αα=-++∈ 所以22x y +的范围是：2204x y ≤+≤.优秀学习资料 欢迎下载【点评】本题运用多种方法进行解答，实现了多种角度的转化，联系了多个知识点，有助于提高发散思维能力.而且各种方法的运用，分别将代数问题转化为了其它问题，属于问题转换题型,正是体现了熟悉化原则，将不熟悉的知识转化为自己熟悉的知识.【例2】设等比数列｛a n ｝的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n +1、S n 、S n +2成等差数列，则q =___________.【答案】-2【解】q a a S 112+=，11S a =，23111S a a q a q =++∵1322S S S =+ ∴12111222a q a q a a =++(a 1≠0)∴2q =-或0q =（舍去）.【点评】 由于该题为填空题，我们不防用特殊情况来求q 的值.如：213,,S S S 成等差，求q 的值.这样就避免了一般性的复杂运算.既体现简单化原则，也是特殊化方法的使用，正是转化与化归的思想方法的典型体现。
高中数学中常用的数学思想方法
高中数学中常用的数学思想方法专题一、函数与方程的思想一、专题概览函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，通过建立函数关系式、确定函数的定义域或值域，结合函数的知识解决具体问题的一种思想。
这种思想方法的实质是揭示问题数量关系的本质特征，突出对问题中变量动态的研究，从变量联系、发展和运动角度指导解题思路。
方程思想是分析数学问题中变量间的相等关系，从而建立方程（组）将问题解决的一种思想方法。
方程与函数有着必然联系，方程f(x)=0的解就是函数y=f(x)的图像与x 轴交点的横坐标，函数y=f(x)也可以看作是二元方程f(x)-y=0。
确定变化过程的某个或某些量，往往要建立某个或某些量的方程，通过解方程（组）来求得这些量。
函数与方程之间可以相互转化，在等式的意义下，方程是函数关系式中的动中求静，函数则是方程的静中求动。
函数与方程思想是每年高考的必考内容，它涉及三大题型，难度有高、中、低三个档次。
函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围问题；二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，化难为易，化繁为简。
二、例题选粹1、 (08全国Ⅱ卷)设1a >，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是（ ）A 、B 、C 、(25)，D 、(2 2、若关于x 的方程01222=+++a a x x 有实数根，则实数a 的取值范围是 。
3、（08江苏）满足条件的三角形ABC 的面积的最大值是 ．4、（08天津）设1>a ，若仅有一个常数c 使得对于任意的[]a a x 2,∈，都有],[2a a y ∈满足方程c y x a a =+log log ，这时，a 的取值的集合为 。
5、若实数x 、y 、z 满足4,5,3322223=+=+=+x z z y y x ，则zx yz xy ++的最小值是（ ）A 、632++B 、632-+C 、632--D 、632+-6、已知三个实数a 、b 、c 成等比数列，且a+b+c=m(m 为正实数)，求b 的值的集合。
高中数学函数四大思想总结
高中数学函数四大思想总结高中数学中的函数最核心的思想可以总结为四个方面，分别是函数的定义域与值域思想、单调性思想、奇偶性思想和周期性思想。
第一，函数的定义域与值域思想。
在高中数学中，函数的定义域与值域的确定是非常重要的。
定义域指的是函数能够取到的自变量的值的范围，值域则是函数能够取到的因变量的值的范围。
这个思想在解决函数的范围和取值问题时非常关键。
第二，单调性思想。
单调性指的是函数在定义域内的变化趋势。
由于学生在学习中常常会遇到函数的增减性和凹凸性等问题，使用单调性思想可以更好地解决这些问题。
单调函数的概念和性质是高中数学中非常重要的内容，它不仅体现了函数的变化趋势，同时也反映了函数的导数的意义。
第三，奇偶性思想。
奇偶性在函数的对称性与图像的性质方面起到了重要的作用。
奇函数是指满足$f(-x)=-f(x)$的函数，而偶函数是指满足$f(-x)=f(x)$的函数。
通过利用奇偶性的性质，可以更好地简化函数的计算和图像的观察，同时也可以推导出更多的函数性质和结论。
第四，周期性思想。
周期函数是指满足$f(x+T)=f(x)$的函数，其中T称为函数的周期。
周期性思想在高中数学的解题中扮演了非常重要的角色。
通过刻画函数图像的周期性，可以更好地理解和分析函数的特点，推导出函数的周期和对称轴等性质，进一步简化问题。
综上所述，高中数学中的函数主要体现了函数的定义域与值域思想、单调性思想、奇偶性思想和周期性思想。
这四个思想在理论学习和实际问题中的应用非常广泛，是高中数学中的核心内容。
通过深入理解和应用这些思想，可以更好地掌握函数的概念和性质，提高数学解题的能力。
函数思想在高中数学解题中的运用
157神州教育函数思想在高中数学解题中的运用李冉四川省仁寿第一中学校南校区摘要：高中数学是学生高中阶段学习的重要科目之一，高考数学在高考成绩中占相当大的比重，其同时也是学习其他科目的基础。
高中数学学习涉及到许多数学思维以及数学解题技巧，因此，在高中数学学习过程中，我们高中生应当熟悉数学基础知识并能够灵活运用数学思维解题。
函数思想是高中阶段重要的数学思想，掌握函数思想既是对学生数学思维的一种培养，同时能够提高学生的解题效率，本文主要论述了函数思想在高中数学解题中的运用。
关键词：函数思想；高中数学；解题运用引言：高中数学是一门逻辑严密的传统学科，它能够培养我们高中生的逻辑思维能力与数学思想。
在解答数学问题的过程中，通过严密的逻辑进行问题分析，借助数学技巧与数学思维，不仅能够简化问题，也能够快速高效解决相关题目。
函数是高中数学中重要组成部分，函数思想适用范围广，且适用于多种数学题目的解题。
因此，我们高中生应加强对自己函数思想的培养，以实现自身数学解题效率的提高。
一、函数思想在不等式中的应用高中数学知识体系的重要组成部分之一就是不等式，对于不等式的问题的求解，常常要应用函数思维进行解决。
通过函数的数学特性，极值点、零点等进行快速计算，进而能够在解题过程中迅速明确解题思路，甚至可以通过简单口算就能够直接求出答案，减少了不必要的计算过程，避免了时间的浪费。
例1已知不等式x 2+nx+6>5x+n，当0≤n ≤2恒成立，求x 可取值的范围。
解析：在解该题目时，我们可先将不等式进行变换，再根据不等式构造相应函数，根据函数求救问题。
第一步，变换不等式得x 2+nx-5x+6-n>0，则可得构造函数y=x 2+nx-5x+6-n；问题的求解则转化为，当0≤n ≤2时，x 取何值可使y ＞0；这样只需对函数进行因式分解，即可快速确定答案取值，本题中进一步变换，y=(x-1)(x+6+n)；即当x-1与x+6+n 同时为正或同时为负时等式成立，带入n 的取值范围，再求x 的范围就非常简单了。
高中数学函数的思想方法学法指导
函数的思想方法
孟兆福
杨继
函数的思想方法就是运用运动和变化的观点，集合和对应的思想，去分析问题的数量 关系，通过类比、联想、转化合理地构造函数，运用函数的图象和性质，使问题获得解决。
函数的思想方法，是最重要的、最基本的数学思想方法之一，它是贯穿于整个高中数学的
一条主线．作为函数这一章的小结与复习，下面运用函数的思想方法来研究一些问题。
解：将原方程改写为 a(x 2) 2 2x 7 。由于 x 2 时，上式不成立。故
2x 7
a (x 2) 2 (x 2)
①
若要 a 为正整数，则须 2x
7 (x
2
2) 。解得
3
所以 x 只能在 3, 1,0,1 中取值，代入①中，可知仅当
x 1( x Z, 且x 2) ， x 3, 1,1 时，能保证
程的解。
三、利用函数的奇偶性：利用奇偶性可把高次式转化为一次式，也可使求解问题避开复杂
的讨论。 例 5. 已知 (4x y) 7 x 7 5x y 0 ，求 5x y 的值。
解：条件等式可变形为 (4x y) 7 (4x y)
(x 7 x)
构 造 函 数 f (x ) x 7 x ， 上 式 转 化 f (4x y) f ( x) ， 由 f ( x ) 是 奇 函 数 ， 可 得
(新高考)2020版高考数学二轮复习第一部分思想方法数学思想方法第1讲函数与方程思想课件理
方法点睛
(1)对于方程有解、不等式恒成立问题或存在性问题，往往可以分离参数，然后再构 造函数，把问题转化为求函数的值域或最值问题来解决．
(2)不等式有解、恒成立求参数的方法： g(a)>f(x)恒成立，则 g(a)>f(x)max. g(a)<f(x)恒成立，则 g(a)<f(x)min. g(a)>f(x)有解，则 g(a)>f(x)min. g(a)<f(x)有解，则 g(a)<f(x)max. (3)分离参数法是求参数范围的常用方法，恰当合理的参变分离有助于问题的解决， 有时需要分类讨论．
B．(1，＋∞) D．(0,1)
解析：构造函数 g(x)＝ln xf(x)(x>0)，则 g′(x)＝1xf(x)＋ln xf′(x)＝fx＋xlnx xf′x>0， 所以函数 g(x)＝ln xf(x)在(0，＋∞)上单调递增，而lfnxx>0⇔ln xf(x)>0⇔g(x)>0⇔g(x)>g(1) ⇒x>1，故选 B.
2asinC＝ 3c，a＝1，则△ABC 的周长的最大值为( C )
A. 3＋1
B. 2＋1
C．3
D．4
解析：∵2asin C＝ 3c，
∴2sin Asin C＝
3sin
C，∴sin
A＝
3 2.
∵△ABC 为锐角三角形，∴A＝π3.
由正弦定理，得sinb
B＝sinc
C＝sina
A＝
2， 3
∴b＝ 23sin B，c＝ 23sin C，
A. 2－1
B. 3－1
C．0
D．2
解析：如图，∵A→B·A→D＝－1，AB＝2，AD＝1， ∴|A→B|·|A→D|cos∠BAD＝－1， ∴2cos∠BAD＝－1，cos∠BAD＝－12， ∴∠BAD＝120°.
函数的数学思想总结
函数的数学思想总结函数是数学中最基础也是最重要的概念之一。
它在数学的各个分支中都得到了广泛的应用和发展，如微积分、代数、几何等。
函数的数学思想包括了自变量、因变量、映射关系、图像等多个方面，下面我将从以下几个方面来总结函数的数学思想。
首先，函数的数学思想体现在自变量和因变量的关系上。
函数是一种映射关系，将自变量的取值通过某种规则映射到因变量的取值上。
函数的数学思想要求必须存在唯一的映射关系，即一个自变量只能对应一个因变量。
这种关系可以用函数的解析式来表示，如f(x) = x^2，表示自变量x 的平方是因变量f(x)。
函数的数学思想要求能够描述出这种映射关系，从而能够通过自变量的取值来确定因变量的取值。
其次，函数的数学思想还体现在图像上。
函数的图像是函数解析式在坐标系中的几何表示，能够直观地反映出函数自变量和因变量之间的关系。
函数的数学思想要求能够通过图像来分析和研究函数的性质，如函数的增减性、奇偶性、周期性等。
通过函数的图像，还可以通过对称关系来求解一些问题，如求函数的零点、极值点等。
再次，函数的数学思想还涉及到函数的运算。
函数的数学思想要求能够通过函数之间的运算来得到新的函数，这种运算包括函数的加减乘除、复合运算、逆运算等。
通过函数的运算，能够得到更加复杂和抽象的函数，从而能够更好地描述和研究实际问题。
函数的运算不仅仅是简单地计算，更是一种抽象和推理的思维方式。
最后，函数的数学思想还包括函数的应用。
函数是数学与实际问题联系的桥梁，能够将实际问题转化为数学问题进行研究和解决。
函数的数学思想要求能够将实际问题抽象为函数的形式，通过函数的分析和求解来得到问题的答案。
函数在物理、经济、工程等领域中得到了广泛的应用，成为解决实际问题的重要工具。
综上所述，函数的数学思想体现在自变量和因变量的关系、图像上的几何表示、运算与推理以及应用等多个方面。
函数的数学思想是数学研究和发展的基础，也是理解和应用数学的关键。
高考数学中的函数思维
高考数学中的函数思维高考数学中的函数思维，不仅仅是对函数概念的理解和运用，更是对于数学思维的训练和提升。
在这个过程中，函数的特性和应用是必须掌握的重点，而且这些知识点又相互交织，需要我们进行深入的思考和分析。
一、掌握基本概念函数是高中数学中非常基础和重要的一个概念，作为数学的基石，掌握函数概念是学好高中数学的必要条件。
而其中最基础的就是函数定义，即自变量和因变量之间的关系。
掌握函数定义，我们才能进行函数运算，了解函数的分类和特性。
二、掌握函数的特性函数的特性是我们在解题过程中必须掌握的知识点，尤其是对于复合函数和反函数的理解，往往与我们解题的难度有着密切的关系。
同时我们还需要了解函数的奇偶性、周期性、单调性、极值等重要特性，这些特性在解一些典型的高考数学题目中都有着重要的作用。
三、掌握函数的应用函数在高考数学中不仅仅是一个理论概念，还有着广泛的应用，它能解决我们所面临的很多实际问题，如极值问题、函数图象的分析、应用题等。
其中，函数应用题是我们需要思考的重点，它也是我们运用数学思维解决实际问题的重要手段。
在解这类问题时，我们需要把问题抽象成函数问题，然后再分析解决。
四、培养数学思维高考数学中的函数思维，离开了数学思维也是枉然的。
数学思维是指我们通过数学知识来解决问题的一种思维方式，同时也是我们在高考中必须具备的重要能力。
在理解和运用函数知识的同时，我们也需要锻炼自己的数学思维能力。
在解决问题时，我们需要遵循“从简单到复杂”、“从具体到抽象”的思路，同时也需要注意方法的适用性和灵活性，积极运用逻辑和推理的思维方式。
总之，高考数学中的函数思维是我们在学习和应用数学知识中必须掌握和提高的能力。
我们需要在掌握函数概念的基础上，深入思考函数的特性和应用，同时也需要锻炼自己的数学思维能力。
只有不断地提高自己的数学思维水平，才能在高考中取得好成绩。
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Ｕ 考试指导
●杨腾虎
ｉｆ引导的条件状语从句是各类考试命题的热
点。在学习时，应抓住要点，方可达到巧学妙记之
“神效”。 要点一：条件句放在前，逗号要放句中间。 ｉｆ意为“如果”，是连词，专门用来引导条件状语 从句。由ｉｆ引导的条件状语从句，既可位于主句之 前，也可位于主句之后。当从句在前时，必须用一个 逗号与主句隔开。例如： 如果你不小心，车子会撞到你。 Ａ ｃａｒ ｍａｙ ｈｉｔ ｙｏｕ（主句）ｉｆ ｙｏｕ ａｒｅ ｎｏｔ ｃａｒ￣（从句）． Ｉｆ ｙｏｕ ａｌｅ ｎｏｔ ｃ￣ｈａ（从句），ａ ｃａｒｍａｙ ｈｉｔ ｙｏｕ（主句）． 要点二：四种情况需牢记，一般现在替将来。 在该句型中：当主句是一般将来时，或主句的谓 语含有情态动词，或当主句的谓语含有ｗａｎｔ，ｗｉｓｈ， ｈ０ｐｅ等动词，或当主句是祈使句时，与其连用的条件 状语从句的谓语动词通常用一般现在时代替一般将 来时。例如： 如果他明天不能准时来，我们就不知道应该怎 么办。 Ｉｆ ｈｅ ｗｏｎ’ｔ ｃｏｍｅ ｏｎ ｔｉｍｅ ｔｏｍｏｒｒｏｗ，ｗｅ ｗｏｎ’ｔ ｋｎｏｗ ｗｈａｔ ｔ０ ｄ０． ３９ Ⅱｈｅ ｄｏｅｓｎ’ｔ ｃｏｍｅ Ｏｉｌ ｔｉｍｅ ｔｏｍｏｒｒｏｗ，Ｗｅ ｗｏｎ’ｔ ｋｎｏｗ ｗｈａｔ ｔｏ ｄｏ． 要点三：同义句，来转换，三种情况要记清。
对ｉｆ条件状语从句同义句转换的途径有：
①借助“祈使句＋ａｎｄ／ｏｒ＋句子（谓语通常用将
来时态）”这一句型来转换。其中，ａｎｄ表示句意顺
承；ｏｒ表示转折，意为“否则”。例如：
ｆ ｙｏｕ ｗｏｒｋ ｈａｒｄ，ｙｏｕ’１１ ｐａｓｓ ｔｈｅ ｅｘａｉｎ ｅａｓｉｌｙ．
＝
Ｗｏｒｋ ｈａｒｄ．ａｎｄ ｙｏｕ’１１ ｐａｓｓ ｔ｝１ｅ ｅｘａｍ ｅａｓｉｌｙ．
＝
Ｗｏｒｋ ｈａｒｄ．ｏｒ ｙｏｕ ｗｏｎ’ｔ ｐａｓｓ ｔｈｅ ｅｘａｌＴｌ ｅａｓｉｌｙ．
②借助介词 小或ｗｉｔｈｏｕｉ来转化条件状语从
句。例如：
Ｉｆｔｈｅｒｅ ｉｓ ｌｉＰ ｗａｔｅｒ，ｔｈｅ ｆｉｓｈ ｍａｙ ｄｉｅ．
＝
Ｆｉｓｈ ｍａｙ ｄｉｅ ｗｉｔｈｏｕｔ ｗａｔｅｒ．
Ｉｆ ｙｏｕ ｈｅｌｐ ｍｅ．Ｉ’Ｕ ｆｉｎｉｓｈ ｍｙ ｔａｓｋ ｓｏｏｎ．
＝
Ｗｉｔｈ ｙｏｕｒ ｈｅｌｐ／ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｈｅｌｐ ｏｆ ｙｏｕ．Ｉ’Ｕ ｆｉＩ１ｉｓｈ
ｍｙ ｔａｓｋ ＳＯＰｎ．’ 一
③借助动词不定式短语来转化。试体会：
Ｉｔ ｗｉ１１ ｂｅ ａ ｐｉｔｙ ｉｆ ｗｅ ｌｅａｖｅ ｈｉｍ ａｌｏｎｅ ａｔ ｈｏｍｅ．
＝
Ｉｔ ｗｉ１１ ｂｅ ａ ｐｉｔｙ ｔｏ ｌｅａｖｅ ｈｉｍ ａｌｏｎｅ ａｔ ｈｏｍｅ．
‘
（作者单位：江西省永丰二中）
数学思想方法是数学知识的精髓，是知识转化
的桥梁，是数学思想和数学方法的总称。数学思想
是在一定的数学知识、数学方法的基础上形成的，反
过来，数学思想对理解、掌握、运用数学知识和数学
方法，解决数学问题起到促进和深化的作用。在函
数问题中蕴含了许多数学思想方法，是高考中常考
常新的永恒主题。那么，在函数中有哪些思想方法
呢？下面举例介绍，供读者参考。
一
、
方程思想
方程思想就是分析数学问题中的变量间的等量
关系，从而建立方程（组）或者构造方程，通过解方程
（组），或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问
题获得解决。
例定义在Ｒ上的任意函数厂（ ）都可以表示
成一个奇函数ｇ（ ）和一个偶函数ｈ（ ）之和，如果
厂（ ）：ｌｇ（１０ ＋１）， ∈Ｒ，求，ｌ（ ）、ｇ（ ）解析式。
分析：从方程的观点来看，由已知条件有厂（ ）
＝ｇ（ ）＋ｈ（ ），把条件中的 换为一 ，有厂（一 ）
＝ｇ（一 ）＋ｈ（一 ）＝一ｇ（ ）＋ｈ（ ），可得一组方
程，然后解之。
解：由已知厂（ ）＝ｇ（ｚ）＋ｈ（ ），且ｆ（一 ）：
ｇ（一 ）＋ （一 ）＝一ｇ（ ）＋ｈ（ ），联立方程组解
得ｇ（ ）＝ ｝［．厂（ ）一．厂（一 ）］＝ ｝，ｈ（ ）＝
吉［ ）＋ 一 ）］＝ｌｇ（１０ ＋１）一号。
评注：用方程思想解题是高中数学学习中经常
用到的思想方法，关键是如何建立方程或方程组，本
题中视ｈ（ ）、ｇ（ ）为两个变量，建立等量关系，然
后通过解方程（组）使问题获得解决。
二、函数思想
函数思想是运用运动变化的观点分析问题，构
造函数从而利用函数的性质解题。在解题中，要善
于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式，巧用
函数的性质，这是应用函数思想的关键。
三、数形结合思想
借助于图象研究函数的性质是一种常用方法。
函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了
数形结合的特征与方法，运用数形结合的思想有助
于理解题意，探求解题思路，检验解题结果。
四、类比思想
当要解决一个抽象问题时，有时常先解决类似的具
体问题，再类比解决抽象问题，类比联想可以发现新的
数学知识，类比可以寻到解决问题的方法和途径，可以
培养学生的发散思维，创造思维及合清推理能力。
五、分类讨论思想
分类讨论思想是按一定标准将所研究对象分成
若干种情况，把一个复杂问题分解成若干个小问题，
从而获解的思想。在函数中分类讨论的知识点主要
有：研究一元二次函数的值域；研究指数与对数函数
的单调性等问题。分类的原则是不重不漏，分类的
方法是明确讨论对象，确定对象的全体，确立分类标
准，正确进行分类，其中确立分类标准是关键。
六、转化与化归思想
转化与化归思想是指将待求问题转化归纳为可
解决的问题的一种数学思想。所谓“化归”，就是说
在解决问题时，将原问题进行变形，使之转化，直至
最终归结为我们所熟悉的，或易于解决的，或已经解
决的新问题。问题转化的基本策略是：复杂化为简
单，陌生化成熟悉，抽象化成具体，含糊化成明朗。
（作者单位：河南省中牟县第一高级中学）