高考文科数学函数专题讲解及高考真题精选(含答案)

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高考数学最新真题专题解析—函数的图象及性质

高考数学最新真题专题解析—函数的图象及性质考向一由函数图像求解析式【母题来源】2022年高考全国乙卷（文科）【母题题文】如图是下列四个函数中的某个函数在区间[3,3]-的大致图像，则该函数是（）A. 3231x x y x -+=+B. 321x x y x -=+C. 22cos 1x x y x =+D.22sin 1x y x =+ 【答案】A【试题解析】设()321x x f x x -=+，则()10f =，故排除B; 设()22cos 1x x h x x =+，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0cos 1x <<，所以()222cos 2111x x x h x x x =<≤++，故排除C;设()22sin 1x g x x =+，则()2sin 33010g =>，故排除D.故选：A. 【命题意图】本类题主要考查函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、对称性、周期性等规律性质，属于中档题目.【命题方向】这类试题命题形式主要有由函数的性质及解析式选图，试题难度不大，多为中低档题，函数图像是历年高考的热点，其重点是基本初等函数的图像以及函数的性质在图像上的直观体现．常见的命题角度有：（1）由函数的图像来研究函数的性质；（2）由函数图像求解析式；（3）由解析式判断大致图像．【得分要点】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1) 从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2) 从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3) 从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4) 从函数的周期性，判断图像的循环往复.(5) 从函数的特征点，排除不合要求的图象．考向二由解析式判断图像【母题来源】2022年高考全国乙卷（文科）【母题题文】函数()33cos x x y x -=-在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的图象大致为（） A. B. C. D.【答案】A【试题解析】令()()33cos ,,22x x f x x x ππ-⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，则()()()()()33cos 33cos x x x x f x x x f x ---=--=--=-，所以()f x 为奇函数，排除BD ；又当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，330,cos 0x x x -->>，所以()0f x >，排除C.故选：A. 【命题意图】本类题主要考查函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、对称性、周期性等规律性质，属于中档题目.【命题方向】这类试题命题形式主要有由函数的性质及解析式选图，试题难度不大，多为中低档题，函数图像是历年高考的热点，其重点是基本初等函数的图像以及函数的性质在图像上的直观体现．常见的命题角度有：（1）由函数的图像来研究函数的性质；（2）由函数图像求解析式；（3）由解析式判断大致图像．【得分要点】函数图象的识辨可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势．（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性．（4）从函数的周期性，判断图像的循环往复.（5）从函数的特征点，排除不合要求的图象．真题汇总及解析1．函数()22cos6x x y x -=-的图像大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】利用排除法求解，先判断函数的奇偶性，再利用函数的变化情况判断即可【详解】定义域为R ，因为()()()22cos(6)22cos6()x x x x f x x x f x ---=--=--=-，所以函数为奇函数，所以排除AB ，当012x π<<时，062x π<<，则cos60x >，因为当012x π<<时，220x x -->，所以当012x π<<时，()22cos60x x y x -=->，所以排除D ，故选：C 2．从函数y x =，2y x ，2x y -=，sin y x =，cos y x =中任选两个函数，记为()f x 和()g x ，若()()()h x f x g x =+或()()()h x f x g x =-的图象如图所示，则()h x =（）A ．2sin x x -B ．cos x x +C ．2sin x x -+D ．cos x x -【答案】C【解析】【分析】根据图象可知函数()h x 过定点(0,1)，当0x <时()1h x >，为减函数；当0x >时()0h x >或()0h x <交替出现，结合排除法和选项中函数的图象与性质，即可得出结果.【详解】由图象可知，函数()h x 过定点(0,1)，当0x <时，()1h x >，为减函数；当0x >时，()0h x >或()0h x <交替出现.若2()sin h x x x =-，则()00h =，不符合题意，故A 错误；若()cos h x x x =+，则(0)1h =，即函数()h x 过定点(0,1)，又1cos 1x -≤≤，当1x <-时，()cos 0h x x x =+<，不符合题意，故B 错误；若()cos h x x x =-，则(0)1h =-，不符合题意，故D 错误.故选：C3．函数()2cos sin ln 2cos x f x x x-=⋅+的部分图象大致为（） A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】先判断函数的奇偶性得函数为奇函数，进而排除AB 选项，再根据0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时的函数符号排除D 选项得答案.【详解】解：由题意可知，函数()f x 的定义域为R ，因为2cos()2cos ()sin()ln sin ln ()2cos()2cos x x f x x x f x x x----=-=-⋅=-+-+，所以()f x 为奇函数，图象关于原点对称，排除选项A ，B ；当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin 0,2cos 2cos 0x x x >+>->，所以2cos 012cos x x -<<+，所以2cos ()sin ln02cos x f x x x-=⋅<+，排除D. 故选：C.4．已知R α∈，则函数()e x x f x α=的图象不可能是（） A ． B ．C ．D ．【答案】C【分析】令12α=、2α=、1α=-，结合导数研究()f x 的单调性及值域判断可能的图象，即可得答案.【详解】当12α=时，()e x x f x =且0x ≥，则12()e x x f x x-'=，所以1(0,)2上 ()0f x '>，()f x 递增；1(,)2+∞上 ()0f x '<，()f x 递减，且(0)0f =，所以A 图象可能；当2α=时，2()0ex x f x =≥且R x ∈，则(2)()e x x x f x '-=，所以(,0)-∞上()0f x '<，()f x 递减，(0,2)上 ()0f x '>，()f x 递增，(2,)+∞上 ()0f x '<，()f x 递减，所以B 图象可能；当1α=-时，1()e xf x x =且0x ≠，则21()e x x f x x +'=-，所以(,1)-∞-上()0f x '>，()f x 递增，(1,0)-上 ()0f x '<，()f x 递减，(0,)+∞上 ()0f x '>，()f x 递增，又0x <时()0f x <，而0x >时()0f x >，所以D 图象可能；综上，排除A 、B 、D.故选：C5．函数()2222x xx x f x -+=+的部分图象大致是（） A ． B ． C ． D ．【答案】B【分析】先判断()f x 的奇偶性，可排除A ，再由单调性、特值点排除选项C 、D ，即可得出答案.【详解】函数的定义域为R ，因为()()2222x x x x f x f x -+-==+，所以()f x 是偶函数，排除选项A ；当x →+∞时，考虑到22y x x =+和22x x y -=+的变化速度，知x →+∞时，()0f x →，故排除选项C ，D ．故选：B ．6．函数()22x f x x -=⋅在区间[]22-,上的图象可能是（） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据特殊值判断即可；【详解】解：∵()()22x f x x f x --=⋅=，∴()f x 是偶函数，函数图象关于y 轴对称，排除A ，B 选项；∵()()122f f ==，∴()f x 在[0,2]上不单调，排除D 选项．故选：C7．下图中的函数图象所对应的解析式可能是（）A ．112x y -=-B ．112xy =-- C ．12x y -=-D ．21x y =--【答案】A【解析】【分析】根据函数图象的对称性、奇偶性、单调性以及特殊点，利用排除法即可求解.【详解】解：根据图象可知，函数关于1x =对称，且当1x =时，1y =-，故排除B 、D 两项；当1x >时，函数图象单调递增，无限接近于0，对于C 项，当1x >时，12x y -=-单调递减，故排除C 项.故选：A.8．函数()x b f x a -=的图像如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是（）A ．1a >，0b <B ．1a >，0b >C ．01a <<，0b >D ．01a <<，0b <【答案】D【解析】【分析】由函数的单调性得到a 的范围，再根据函数图像平移关系分析得到b 的范围.【详解】由函数()x b f x a -=的图像可知，函数()x b f x a -=在定义域上单调递减，01a ∴<<，排除AB 选项；分析可知：函数()x b f x a -=图像是由x y a =向左平移所得，0b ∴->，0b ∴<.故D 选项正确. 故选：D9．已知函数()f x ax b =+的图象如图所示，则函数()x g x a b =+的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】由函数()f x ax b =+的图象可得1a >，1b <-，从而可得()x g x a b =+的大致图象．【详解】由()f x ax b =+的图象可得(0)1f b =<-，(1)0f a b =+>，所以1a >，1b <-，故函数()x g x a b =+为增函数，相对x y a =向下平移大于1个单位故选：B10．设函数f (x )＝2x ，则如图所示的函数图象对应的函数解析式是（）A ．y ＝f (|x ）B ．y ＝－|f (x )| ）C ．y ＝－f (－|x ）D ．y ＝f (－|x ）【答案】C【解析】由题意结合指数函数的图象及函数图象的变换可得函数图象对应的函数解析式，即可得解.【详解】由图象可知函数图象对应的函数解析式是||2x y -=-，所以函数图象对应的函数解析式是y ＝－f (－|x |).故选：C .【点睛】本题考查了指数函数的图象及函数图象变换的应用，属于基础题.11．函数()cos f x x x =的图像大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】先根据函数奇偶性的概念可知()()f x f x -=-，即函数()f x 为奇函数，排除选项D ；再利用三角函数的性质排除BC 即得.【详解】()cos()cos ()f x x x x x f x -=--=-=-，∴函数()f x 为奇函数，排除选项D ；当(0,)2x π∈时，0x >，0cos 1x <<， 0()f x x ∴<<，排除选项BC ．故选：A ．12．下列各个函数图像所对应的函数解析式序号为（）①||()e sin x f x x = ②()ln ||=-g x x x ③2()sin =t x x x ④2e ()xh x x =A ．④②①③B ．②④①③C ．②④③①D ．④②③①【答案】A【解析】【分析】先通过函数定义域和奇偶性进行判断，再利用导数对①求导，求其在()0,π上的最大值．【详解】()f x ，()t x 的定义域为R ，()g x ，()h x 的定义域为{}|0x x ≠2e ()0xh x x =>在定义域内恒成立，则前两个对应函数分别为④②当()0,πx ∈时，则()e sin x f x x =()π()e sin cos 2e sin 4x x f x x x x ⎛⎫'=+=+ ⎪⎝⎭，令()0f x '>，则30π4x <<()f x 在30,π4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在3π,π4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则3π432()(π)e 542f x f ≤=>①对应的为第三个函数故选：A ．。

函数模块5年高考真题汇总通用版(含答案)

答案解释考点01函数概念与单调性考点02函数周期性与奇偶性应用又因为x 不恒为0，可得()1e e 0a x x --=，即()1e e a x x -=，则()1x a x =-，即11a =-，解得2a =.故选：D.5．（2022·全国·统考高考真题）已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +-=--=．若()y g x =的图像关于直线2x =对称，(2)4g =，则()221k f k ==∑（）A ．21-B ．22-C ．23-D ．24-【答案】D【分析】根据对称性和已知条件得到()(2)2f x f x +-=-，从而得到()()()352110f f f +++=- ，()()()462210f f f +++=- ，然后根据条件得到(2)f 的值，再由题意得到()36g =从而得到()1f 的值即可求解.【详解】因为()y g x =的图像关于直线2x =对称，所以()()22g x g x -=+，因为()(4)7g x f x --=，所以(2)(2)7g x f x +--=，即(2)7(2)g x f x +=+-，因为()(2)5f x g x +-=，所以()(2)5f x g x ++=，代入得[]()7(2)5f x f x ++-=，即()(2)2f x f x +-=-，所以()()()()35212510f f f +++=-⨯=- ，()()()()46222510f f f +++=-⨯=- .因为()(2)5f x g x +-=，所以(0)(2)5f g +=，即()01f =，所以()(2)203f f =--=-.因为()(4)7g x f x --=，所以(4)()7g x f x +-=，又因为()(2)5f x g x +-=，联立得，()()2412g x g x -++=，所以()y g x =的图像关于点()3,6中心对称，因为函数()g x 的定义域为R ，所以()36g =因为()(2)5f x g x ++=，所以()()1531f g =-=-.所以()()()()()()()()221123521462213101024()k f f f f f f f f f k =+++++++++=----=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=∑ .故选：D【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.6．（2022·全国·统考高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==∑（）A ．3-B ．2-C ．0D ．1【答案】A【分析】法一：根据题意赋值即可知函数()f x 的一个周期为6，求出函数一个周期中的()()()1,2,,6f f f 的值，即可解出．【详解】[方法一]：赋值加性质因为()()()()f x y f x y f x f y ++-=，令1,0x y ==可得，()()()2110f f f =，所以()02f =，令0x =可得，()()()2f y f y f y +-=，即()()f y f y =-，所以函数()f x 为偶函数，令1y =得，()()()()()111f x f x f x f f x ++-==，即有()()()21f x f x f x ++=+，从而可知()()21f x f x +=--，()()14f x f x -=--，故()()24f x f x +=-，即()()6f x f x =+，所以函数()f x 的一个周期为6．因为()()()210121f f f =-=-=-，()()()321112f f f =-=--=-，()()()4221f f f =-==-，()()()5111f f f =-==，()()602f f ==，所以一个周期内的()()()1260f f f +++= ．由于22除以6余4，所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑．故选：A ．[方法二]：【最优解】构造特殊函数由()()()()f x y f x y f x f y ++-=，联想到余弦函数和差化积公式()()cos cos 2cos cos x y x y x y ++-=，可设()cos f x a x ω=，则由方法一中()()02,11f f ==知二、填空题考点03函数图像应用一、单选题-的大致图像，1．（2022·全国·统考高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[3,3]则该函数是（）A ．3231x xy x -+=+B ．321x xy x -=+C ．2y =【答案】A【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解【详解】设()321x x f xx -=+，则()10f =，故排除B;设()22cos 1x x h x x =+，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0cos 1x <<，．．．．A．10π9BC．4π3D【答案】C【分析】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭，即可得到．．．．【答案】D【分析】先判断函数的奇偶性，得是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．．．．．【答案】B【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由(4)f 的近似值即可得出结果．【详解】设32()22x x y f x ==+32()22x x x f x -=-=-+，344240,2-⨯>+排除选项D ；考点04函数性质综合应用一、单选题1．（2022·全国·统考高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==∑（）A ．3-B ．2-C ．0D ．1【答案】A【分析】法一：根据题意赋值即可知函数()f x 的一个周期为6，求出函数一个周期中的()()()1,2,,6f f f 的值，即可解出．【详解】[方法一]：赋值加性质因为()()()()f x y f x y f x f y ++-=，令1,0x y ==可得，()()()2110f f f =，所以()02f =，令0x =可得，()()()2f y f y f y +-=，即()()f y f y =-，所以函数()f x 为偶函数，令1y =得，()221k f k ==∑（）A ．21-B ．22-C ．23-D ．24-【答案】D【分析】根据对称性和已知条件得到()(2)2f x f x +-=-，从而得到()()()352110f f f +++=- ，()()()462210f f f +++=- ，然后根据条件得到(2)f 的值，再由题意得到()36g =从而得到()1f 的值即可求解.【详解】因为()y g x =的图像关于直线2x =对称，所以()()22g x g x -=+，因为()(4)7g x f x --=，所以(2)(2)7g x f x +--=，即(2)7(2)g x f x +=+-，因为()(2)5f x g x +-=，所以()(2)5f x g x ++=，代入得[]()7(2)5f x f x ++-=，即()(2)2f x f x +-=-，所以()()()()35212510f f f +++=-⨯=- ，()()()()46222510f f f +++=-⨯=- .因为()(2)5f x g x +-=，所以(0)(2)5f g +=，即()01f =，所以()(2)203f f =--=-.因为()(4)7g x f x --=，所以(4)()7g x f x +-=，又因为()(2)5f x g x +-=，联立得，()()2412g x g x -++=，所以()y g x =的图像关于点()3,6中心对称，因为函数()g x 的定义域为R ，所以()36g =因为()(2)5f x g x ++=，所以()()1531f g =-=-.所以()()()()()()()()221123521462213101024()k f f f f f f f f f k =+++++++++=----=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=∑ .故选：D【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.3．（2021·全国·统考高考真题）设0a ≠，若x a =为函数()()()2f x a x a x b =--的极大值点，则（）A ．a b <B ．a b>C ．2ab a <D ．2ab a >【答案】D【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到,a b 所满足的关系，由此确定正确选项.【详解】若a b =，则()()3f x a x a =-为单调函数，无极值点，不符合题意，故a b ¹.()f x ∴有x a =和x b =两个不同零点，且在x a =左右附近是不变号，在x b =左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，∴在x a =左右附近都是小于零的.当a<0时，由x b >，()0f x ≤，画出()f x 的图象如下图所示：由图可知b a <，a<0，故2ab a >.当0a >时，由x b >时，()0f x >，画出()f x 的图象如下图所示：由图可知b a >，0a >，故2ab a >.综上所述，2ab a >成立.故选：D933⎝⎦。

2020年高考文科数学专题二函数含习题答案

2020年高考文科数学专题二函数含习题答案函数是中学数学中的重点内容，是描述变量之间依赖关系的重要数学模型．本章内容有两条主线：一是对函数性质作一般性的研究，二是研究几种具体的基本初等函数——一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数．研究函数的问题主要围绕以下几个方面：函数的概念，函数的图象与性质，函数的有关应用等．§2－1 函数【知识要点】要了解映射的概念，映射是学习、研究函数的基础，对函数概念、函数性质的深刻理解在很多情况下要借助映射这一概念．1、设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射．记作f：A→B，其中x叫原象，y叫象．2、设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种映射叫做集合A上的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A．其中x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域．所有函数值构成的集合{y｜y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域．函数的值域由定义域与对应法则完全确定．3、函数是一种特殊的映射．其定义域和值域都是非空的数集，值域中的每一个元素都有原象．构成函数的三要素：定义域，值域和对应法则．其中定义域和对应法则是核心．【复习要求】1．了解映射的意义，对于给出对应关系的映射会求映射中指定元素的象与原象．2．能根据函数三要素判断两个函数是否为同一函数．3．掌握函数的三种表示法(列表法、图象法和解析法)，理解函数符号f(x)(对应法则)，能依据一定的条件求出函数的对应法则．4．理解定义域在三要素的地位，并会求定义域．【例题分析】例1 设集合A和B都是自然数集合N．映射f：A→B把集合A中的元素x映射到集合B中的元素2x＋x，则在映射f作用下，2的象是______；20的原象是______．【分析】由已知，在映射f 作用下x 的象为2x ＋x ．所以，2的象是22＋2＝6；设象20的原象为x ，则x 的象为20，即2x ＋x ＝20．由于x ∈N ，2x ＋x 随着x 的增大而增大，又可以发现24＋4＝20，所以20的原象是4．例2 设函数⎩⎨⎧>++-≤-=,0,22,0,1)(2x x x x x x f 则f (1)＝______；若f (0)＋f (a )＝－2，则a的所有可能值为______．【分析】从映射的角度看，函数就是映射，函数解析式就是映射的法则．所以f (1)＝3．又f (0)＝－1，所以f (a )＝－1，当a ≤0时，由a －1＝－1得a ＝0；当a ＞0时，由－a 2＋2a ＋2＝－1，即a 2－2a －3＝0得a ＝3或a ＝－1(舍)．综上，a ＝0或a ＝3．例3 下列四组函数中，表示同一函数的是( ) (A)22)(,t y x y ==(B)2|,|t y x y ==(C)1,112+=--=x y x x y (D)x x y x y 2,==【分析】(A)(C)(D)中两个函数的定义域均不同，所以不是同一函数．(B)中两个函数的定义域相同，化简后为y ＝｜x ｜及y ＝｜t ｜，法则也相同，所以选(B)．【评析】判断两个函数是否为同一函数，就是要看两个函数的定义域与法则是否完全相同．一般有两个步骤：(1)在不对解析式进行变形的情况下求定义域，看定义域是否一致．(2)对解析式进行合理变形的情况下，看法则是否一致．例4 求下列函数的定义域 (1);11--=x y(2);3212-+=x x y(3);)1()3lg(0-+-=x xx y(4);2|2|12---=x x y解：(1)由｜x －1｜－1≥0，得｜x －1｜≥1，所以x －1≥1或x －1≤－1，所以x ≥2或x ≤0．所以，所求函数的定义域为{x ｜x ≥2或x ≤0}． (2)由x 2＋2x －3＞0得，x ＞1或x ＜－3．所以，所求函数的定义域为{x ｜x ＞1或x ＜－3}．(3)由⎪⎩⎪⎨⎧=/-=/>-,01,0,03x x x 得x ＜3，且x ≠0，x ≠1，所以，所求函数的定义域为{x |x ＜3，且x ≠0，x ≠1}(4)由⎩⎨⎧=/=/≤≤-⎩⎨⎧=/-≥-⎩⎨⎧≠--≥-,4,0,112|2|01,02|2|0122x x x x x x x 且即，，得，所以－1≤x ≤1，且x ≠0．所以，所求函数定义域为{x ｜－1≤x ≤1，且x ≠0}．例5 已知函数f (x )的定义域为(0，1)，求函数f (x ＋1)及f (x 2)的定义域．【分析】此题的题设条件中未给出函数f (x )的解析式，这就要求我们根据函数三要素之间的相互制约关系明确两件事情：①定义域是指x 的取值范围；②受对应法则f 制约的量的取值范围在“已知”和“求”当中是一致的．那么由f (x )的定义域是(0，1)可知法则f 制约的量的取值范围是(0，1)，而在函数f (x ＋1)中，受f 直接制约的是x ＋1，而定义域是指x 的范围，因此通过解不等式0＜x ＋1＜1得－1＜x ＜0，即f (x ＋1)的定义域是(－1，0)．同理可得f (x 2)的定义域为{x ｜－1＜x ＜1，且x ≠0}．例6 如图，用长为l 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形的底边长为2x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数关系式，并指出定义域．解：根据题意，AB ＝2x ．⋅--==2π2,πxx l AD x 所以，.)2π2(π212π2222lx x x x x l x y ++-=+--=⋅⋅根据问题的实际意义．AD ＞0，x ＞0．解.π20,02π2,0+<<⎪⎩⎪⎨⎧>-->l x xx l x 得所以，所求函数定义域为⋅+<<}π20|{lx x 【评析】求函数定义域问题一般有以下三种类型问题．(1)给出函数解析式求定义域(如例4)，这类问题就是求使解析式有意义的自变量的取值范围．正确的解不等式或不等式组在解决这类问题中是重要的．中学数学中常见的对变量有限制的运算法则有：①分式中分母不为零；②偶次方根下被开方数非负；③零次幂的底数要求不为零；④对数中的真数大于零，底数大于零且不等于1；⑤y ＝tan x ，则2ππ+≠k x ，k ∈Z ． (2)不给出f (x )的解析式而求定义域(如例5)．其解决办法见例5的分析．(3)在实际问题中求函数的定义域(如例6)．在这类问题中除了考虑解析式对自变量的限制，还应考虑实际问题对自变量的限制．另外，在处理函数问题时要有一种随时关注定义域的意识，这是极其重要的．比如在研究函数单调性、奇偶性、最值等问题时，首先要考虑的就是函数的定义域．例7 (1)已知21)1(x xxf -=，求f (x )的解析式； (2)已知221)1(xx x x f +=+，求f (3)的值；(3)如果f (x )为二次函数，f (0)＝2，并且当x ＝1时，f (x )取得最小值－1，求f (x )的解析式； (4)*已知函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )＝2x 的图象关于直线x ＝1对称，求f (x )的解析式．【分析】(1)求函数f (x )的解析式，从映射的角度看就是求对应法则，于是，我们一般有下面两种方法解决(1)这样的问题．方法一．⋅-=-=1)1(111)1(2xxx xxf 通过这样“凑型”的方法，我们可以明确看到法则f是“原象对应于原象除以原象的平方减1”．所以，⋅-=1)(2x xx f 方法二．设t x =1，则tx 1=．则1111)(22-=-=t t t t t f ，所以⋅-=1)(2x x x f 这样，通过“换元”的方法也可以明确看到法则是什么． (2)用“凑型”的方法，.7)3(,2)(.2)1(1)1(2222=-=-+=+=+f x x f xx x x x x f 所以 (3)因为f (x )为二次函数，并且当x ＝1时，f (x )取得最小值－1，所以，可设f(x)＝a(x－1)2－1，又f(0)＝2，所以a(0－1)2－1＝2，所以a＝3．f(x)＝3(x－1)2－1＝3x2－6x＋2．(4)这个问题相当于已知f(x)的图象满足一定的条件，进而求函数f(x)的解析式．所以，可以类比解析几何中求轨迹方程的方法求f(x)的解析式．设f(x)的图象上任意一点坐标为P(x，y)，则P关于x＝1对称点的坐标为Q(2－x，y)，由已知，点Q在函数y＝g(x)的图象上，所以，点Q的坐标(2－x，y)满足y＝g(x)的解析式，即y＝g(2－x)＝22－x，所以，f(x)＝22－x．【评析】由于已知条件的不同，求函数的解析式的常见方法有象(1)(2)所用到的“凑形”及“换元”的方法；有象(3)所用到的待定系数法；也有象(4)所用到的解析法．值得注意的是(4)中所用的解析法．在求函数解析式或者求轨迹方程时都可以用这种方法，是一种通法．同时也表明函数和它的图象与曲线和它的方程之间有必然的联系．例8 已知二次函数f(x)的对称轴为x＝1，且图象在y轴上的截距为－3，被x轴截得的线段长为4，求f(x)的解析式．解：解法一设f(x)＝ax2＋bx＋c，由f(x)的对称轴为x＝1，可得b＝－2a；由图象在y轴上的截距为－3，可得c＝－3；由图象被x轴截得的线段长为4，可得x＝－1，x＝3均为方程ax2＋bx＋c＝0的根．所以f(－1)＝0，即a－b＋c＝0，所以a＝1．f(x)＝x2－2x－3．解法二因为图象被x轴截得的线段长为4，可得x＝－1，x＝3均为方程f(x)＝0的根．所以，设f(x)＝a(x＋1)(x－3)，又f(x)图象在y轴上的截距为－3，即函数图象过(0，－3)点．即－3a＝－3，a＝1．所以f(x)＝x2－2x－3．【评析】二次函数是非常常见的一种函数模型，在高中数学中地位很重．二次函数的解析式有三种形式：一般式y＝ax2＋bx＋c；顶点式y ＝a (x －h )2＋k ，其中(h ，k )为顶点坐标；双根式y ＝a (x －x 1)(x －x 2)，其中x 1，x 2为函数图象与x 轴交点的横坐标，即二次函数所对应的一元二次方程的两个根．例9 某地区上年度电价为0.8元／kW·h ，年用电量为a kW·h ．本年度计划将电价降到0.55元／kW·h 至0.75元／kW·h 之间，而用户期望电价为0.40元／kW·h ．经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k )．该地区电力的成本价为0.30元／kW·h ．(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y 与实际电价x 的函数关系式；(2)设k ＝0.2a ，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20％?解：(1)依题意，当实际电价为x 元／kW·h 时，用电量将增加至,4.0a x k+-故电力部门的收益为)75.055.0)(3.0)(4.0(≤≤-+-=x x a x ky ．(2)易知，上年度的收益为(0.8－0.3)a ，依题意，%),201)(3.08.0()3.0)(4.02.0(+-≥-+-a x a x a且0.55≤x ≤0.75，解得0.60≤x ≤0.75．所以，当电价最低定为0.60元／kW·h 时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20％．练习2－1一、选择题 1．已知函数xx f -=11)(的定义域为M ，g (x )＝ln(1＋x )的定义域为N ，则M ∩N ＝( ) (A){x ｜x ＞1}(B){x ｜x ＜1}(C){x ｜－1＜x ＜1} (D)∅2．图中的图象所表示的函数的解析式为( )(A))20(|1|23≤≤-=x x y (B))20(|1|2323≤≤--=x x y(C))20(|1|23≤≤--=x x y (D)y ＝1－｜x －1｜(0≤x ≤2)3．已知f (x －1)＝x 2＋2x ，则=)1(xf ( )(A)x x 212+(B)112-x(C)22143x x x ++(D)212xx + 4．已知⎪⎩⎪⎨⎧≥<<--≤+=2,3,21,,1,3)(2x x x x x x x f 若f (x )＝3，则x 的值是( )(A)0 (B)0或23 (C)3± (D)3二、填空题5．给定映射f ：(x ，y )→(x ＋2y ，x －2y )，在映射f 下(0，1)的象是______；(3，1)的原象是______． 6．函数2||3)(--=x xx f 的定义域是______． 7．已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出则f [g (1)]的值为______；满足f [g (x )]＞g [f (x )]的x 的值是______．8．已知函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )＝2x 的图象关于点(0，1)对称，则f (x )的解析式为______．三、解答题9．已知f (x )＝2x＋x －1，⎩⎨⎧<-≥=),0(1),0()(2x x x x x g 求g (－1)，g [f (1)]的值．10．在如图所示的直角坐标系中，一运动物体经过点A (0，9)，其轨迹方程为y ＝ax 2＋c (a ＜0)，D ＝(6，7)为x 轴上的给定区间．为使物体落在区间D 内，求a 的取值范围．11．如图，直角边长为2cm的等腰Rt△ABC，以2cm／s的速度沿直线l向右运动，求该三角形与矩形CDEF重合部分面积y(cm2)与时间t的函数关系(设0≤t≤3)，并求出y的最大值．§2－2 函数的性质【知识要点】函数的性质包括函数的定义域、值域及值的某些特征、单调性、奇偶性、周期性与对称性等等．本章着重研究后四个方面的性质．本节的重点在于理解与函数性质有关的概念，掌握有关判断、证明的基本方法以及简单的应用．数形结合是本节常用的思想方法．1．设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对于D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数．设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对于D内任意一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，则这个函数叫做偶函数．由奇函数定义可知，对于奇函数y＝f(x)，点P(x，f(x))与点P (－x，－f(x))都在其图象上．又点P 与点P '关于原点对称，我们可以得到：奇函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；通过同样的分析可以得到，偶函数的图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形．2．一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为A ，区间M ⊆A ．如果取区间M 中的任意两个值x 1，x 2，改变量∆x ＝x 2－x 1＞0，则当∆y ＝f (x 2)－f (x 1)＞0时，就称函数y ＝f (x )在区间M 上是增函数；当∆y ＝f (x 2)－f (x 1)＜0时，就称函数y ＝f (x )在区间M 上是减函数．如果一个函数在某个区间M 上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M 上具有单调性，区间M 称为单调区间．在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的．3．一般的，对于函数f (x )，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域中的每一个值时，f (x ＋T )＝f (x )都成立，那么就把函数y ＝f (x )叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期．4．一般的，对于函数f (x )，如果存在一个不为零的常数a ，使得当x 取定义域中的每一个值时，f (a ＋x )＝f (a －x )都成立，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．【复习要求】1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；会用定义证明函数的单调性，会利用函数的单调性处理有关的不等式问题；2．了解函数奇偶性的含义．能判断简单函数的奇偶性． 3．了解函数周期性的含义．4．了解函数单调性、奇偶性和周期性之间的联系，并能解决相关的简单问题．【例题分析】例1 判断下列函数的奇偶性． (1);1)(-=x xx f(2);11)(+=xx f (3)f (x )＝x 3－3x ；(4);11lgxxy -+= (5)⋅+-=1212xx y 解：(1)解01≥-x x，得到函数的定义域为{x ｜x ＞1或x ≤0}，定义域区间关于原点不对称，所以此函数为非奇非偶函数．(2)函数的定义域为{x ｜x ≠0}，但是，由于f (1)＝2，f (－1)＝0，即f (1)≠f (－1)，且f (1)≠－f (－1)，所以此函数为非奇非偶函数．(3)函数的定义域为R ，又f (－x )＝(－x )3－3(－x )＝－x 3＋3x ＝－f (x )，所以此函数为奇函数． (4)解011>-+xx，得－1＜x ＜1，又),(11lg 11lg )(1)(1lg)(x f xxx x x x x f -=-+-=+-=---+=-所以此函数为奇函数．(5)函数的定义域为R ，又)(21211212)(x f x f xxxx -=+-=+-=---，所以此函数为奇函数．【评析】由函数奇偶性的定义，可以得到下面几个结论：①一个函数是奇(或偶)函数的必要不充分条件是定义域关于原点对称； ②f (x )是奇函数，并且f (x )在x ＝0时有定义，则必有f (0)＝0； ③既是奇函数又是偶函数的函数，其解析式一定为f (x )＝0．判定函数奇偶性按照其定义可以分为两个步骤： ①判断函数的定义域是否关于原点对称； ②考察f (－x )与f (x )的关系．由此，若以奇偶性为标准可以把函数分为奇函数，偶函数，既奇又偶函数和非奇非偶函数四类．例2 设函数f (x )在R 上有定义，给出下列函数：①y ＝－｜f (x )｜；②y ＝xf (x 2)；③y ＝－f (－x )；④y ＝f (x )－f (－x )．其中必为奇函数的有______．(填写所有正确答案的序号)【分析】①令F (x )＝－｜f (x )｜，则F (－x )＝－｜f (－x )｜，由于f (x )与f (－x )关系不明确，所以此函数的奇偶性无法确定．②令F (x )＝xf (x 2)，则F (－x )＝－xf [(－x )2]＝－xf (x 2)＝－F (x )，所以F (x )为奇函数． ③令F (x )＝－f (－x )，则F (－x )＝－f [－(－x )]＝－f (x )，由于f (x )与f (－x )关系不明确，所以此函数的奇偶性无法确定．④令F (x )＝f (x )－f (－x )，则F (－x )＝f (－x )－f [－(－x )]＝f (－x )－f (x )＝－F (x )，所以F (x )为奇函数．所以，②④为奇函数．例3 设函数f (x )在R 上有定义，f (x )的值不恒为零，对于任意的x ，y ∈R ，恒有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，则函数f (x )的奇偶性为______．解：令x ＝y ＝0，则f (0)＝f (0)＋f (0)，所以f (0)＝0，再令y ＝－x ，则f (0)＝f (x )＋f (－x )，所以f (－x )＝－f (x )，又f (x )的值不恒为零，故f (x )是奇函数而非偶函数．【评析】关于函数方程“f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )”的使用一般有以下两个思路：令x ，y 为某些特殊的值，如本题解法中，令x ＝y ＝0得到了f (0)＝0．当然，如果令x ＝y ＝1则可以得到f (2)＝2f (1)，等等．令x ，y 具有某种特殊的关系，如本题解法中，令y ＝－x ．得到f (2x )＝2f (x )，在某些情况下也可令y ＝x1，y ＝x ，等等．总之，函数方程的使用比较灵活，要根据具体情况作适当处理．在不是很熟悉的时候，要有试一试的勇气．例4 已知二次函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 满足f (1＋x )＝f (1－x )，求b 的值，并比较f (－1)与f (4)的大小．解：因为f (1＋x )＝f (1－x )，所以x ＝1为二次函数图象的对称轴，所以12=-b，b ＝－2．根据对称性，f (－1)＝f (3)，又函数在[1，＋∞)上单调递增，所以f (3)＜f (4)，即f (－1)＜f (4)．例5 已知f (x )为奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ， (1)求f (－1)的值；(2)当x ＜0时，求f (x )的解析式．解：(1)因为f (x )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)＝－(12－2×1)＝1．(2)方法一：当x ＜0时，－x ＞0．所以，f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－2(－x )]＝－x 2－2x ．方法二：设(x ，y )是f (x )在x ＜0时图象上一点，则(－x ，－y )一定在f (x )在x ＞0时的图象上．所以，－y ＝(－x )2－2(－x )，所以y ＝－x 2－2x ．例6 用函数单调性定义证明，函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)在区间),2(+∞-ab上为增函数．证明：设),2(21+∞-∈abx x 、，且x 1＜x 2 f (x 2)－f (x 1)＝(ax 22＋bx 2＋c )－(ax 12＋bx 1＋c )＝a (x 22－x 12)＋b (x 2－x 1) ＝a (x 2＋x 1)(x 2－x 1)＋b (x 2－x 1)＝(x 2－x 1)[a (x 1＋x 2)＋b ] 因为x 1＜x 2，所以x 2－x 1＞0，又因为),2(21+∞-∈abx x 、，所以0)(,2121>++->+b x x a ab x x ，所以f (x 2)－f (x 1)＞0，函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)在区间),2(+∞-ab上为增函数．例7 已知函数f (x )是定义域为R 的单调增函数． (1)比较f (a 2＋2)与f (2a )的大小；(2)若f (a 2)＞f (a ＋6)，求实数a 的取值范围．解：(1)因为a 2＋2－2a ＝(a －1)2＋1＞0，所以a 2＋2＞2a ，由已知，f (x )是单调增函数，所以f (a 2＋2)＞f (2a )．(2)因为f (x )是单调增函数，且f (a 2)＞f (a ＋6)，所以a 2＞a ＋6，解得a ＞3或a ＜－2．【评析】回顾单调增函数的定义，在x 1，x 2为区间任意两个值的前提下，有三个重要的问题：∆x ＝x 2－x 1的符号；∆y ＝f (x 2)－f (x 1)的符号；函数y ＝f (x )在区间上是增还是减．由定义可知：对于任取的x 1，x 2，若x 2＞x 1，且f (x 2)＞f (x 1)，则函数y ＝f (x )在区间上是增函数；不仅如此，若x 2＞x 1，且函数y ＝f (x )在区间上是增函数，则f (x 2)＞f (x 1)；若f (x 2)＞f (x 1)，且函数y ＝f (x )在区间上是增函数，则x 2＞x 1；于是，我们可以清晰地看到，函数的单调性与不等式有着天然的联系．请结合例5例6体会这一点．函数的单调性是极为重要的函数性质，其与其他问题的联系、自身的应用都很广泛，在复习中要予以充分注意．例8 设f (x )是定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的奇函数，且它在区间(－∞，0)上是减函数． (1)试比较f (－2)与－f (3)的大小；(2)若mn ＜0，且m ＋n ＜0，求证：f (m )＋f (n )＞0．解：(1)因为f (x )是奇函数，所以－f (3)＝f (－3)，又f (x )在区间(－∞，0)上是减函数，所以f (－3)＞f (－2)，即－f (3)＞f (－2)． (2)因为mn ＜0，所以m ，n 异号，不妨设m ＞0，n ＜0，因为m ＋n ＜0，所以n ＜－m ，因为n ，－m ∈(－∞，0)，n ＜－m ，f (x )在区间(－∞，0)上是减函数，所以f (n )＞f (－m )，因为f (x )是奇函数，所以f (－m )＝－f (m )，所以f (n )＞－f (m )，即f (m )＋f (n )＞0．例9 函数f (x )是周期为2的周期函数，且f (x )＝x 2，x ∈[－1，1]． (1)求f (7.5)的值；(2)求f (x )在区间[2n －1，2n ＋1]上的解析式．解：(1)因为函数f (x )是周期为2的周期函数，所以f (x ＋2k )＝f (x )，k ∈Z ．所以f (7.5)＝f (－0.5＋8)＝f (－0.5)＝41． (2)设x ∈[2n －1，2n ＋1]，则x －2n ∈[－1，1]．所以f (x )＝f (x －2n )＝(x －2n )2，x ∈[2n －1，2n ＋1]．练习2－2一、选择题1．下列函数中，在(1，＋∞)上为增函数的是( ) (A)y ＝x 2－4x(B)y ＝｜x ｜(C)xy 1(D)y ＝x 2＋2x2．下列判断正确的是( )(A)定义在R 上的函数f (x )，若f (－1)＝f (1)，且f (－2)＝f (2)，则f (x )是偶函数 (B)定义在R 上的函数f (x )满足f (2)＞f (1)，则f (x )在R 上不是减函数(C)定义在R 上的函数f (x )在区间(－∞，0]上是减函数，在区间(0，＋∞)上也是减函数，则f (x )在R 上是减函数(D)不存在既是奇函数又是偶函数的函数3．已知函数f (x )是R 上的奇函数，并且是周期为3的周期函数，又知f (1)＝2．则f (2)＝( ) (A)－2(B)2(C)1(D)－14．设f (x )是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是( ) (A)f (x )f (－x )是奇函数(B)f (x )｜f (－x )｜是奇函数 (C)f (x )－f (－x )是偶函数(D)f (x )＋f (－x )是偶函数二、填空题5．若函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)是增函数，则m 的取值范围是______；f (1)的取值范围是______．6．已知函数f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数．当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝x －x 4，则当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝______．7．设函数xa x x x f ))(1()(++=为奇函数，则实数a ＝______．8．已知函数f (x )＝x 2－cos x ，对于]2π,2π[-上的任意x 1，x 2，有如下条件：①x 1＞x 2； ②;2221x x > ③｜x 1｜＞x 2．其中能使f (x 1)＞f (x 2)恒成立的条件序号是______ 三、解答题9．已知函数f (x )是单调减函数． (1)若a ＞0，比较)3(aa f +与f (3)的大小； (2)若f (｜a －1｜)＞f (3)，求实数a 的取值范围．10．已知函数).,0()(2R ∈=/+=a x xa x x f (1)判断函数f (x )的奇偶性；(2)当a ＝1时，证明函数f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数．11．定义在(0，＋∞)上的函数f (x )满足①f (2)＝1；②f (xy )＝f (x )＋f (y )，其中x ，y 为任意正实数，③任意正实数x ，y 满足x ≠y 时，(x －y )[f (x )－f (y )]＞0恒成立． (1)求f (1)，f (4)的值； (2)试判断函数f (x )的单调性；(3)如果f (x )＋f (x －3)≤2，试求x 的取值范围．§2－3 基本初等函数(Ⅰ)本节复习的基本初等函数包括：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和幂函数，三角函数在三角部分复习．函数的图象上直观地反映着函数的性质，学习函数的“捷径”是熟知函数的图象．熟知函数图象包括三个方面：作图，读图，用图．掌握初等函数一般包括以下一些内容：首先是函数的定义，之后是函数的图象和性质．函数的性质一般包括定义域，值域，图象特征，单调性，奇偶性，周期性，零点、最值以及值的变化特点等，研究和记忆函数性质的时候应全面考虑．函数的定义(通常情况下是解析式)决定着函数的性质，我们可以通过解析式研究函数的性质，也可以通过解析式画出函数的图象，进而直观的发现函数的性质．【知识要点】1．一次函数：y ＝kx ＋b (k ≠0) (1)定义域为R ，值域为R ； (2)图象如图所示，为一条直线；(3)k ＞0时，函数为增函数，k ＜0时，函数为减函数；(4)当且仅当b ＝0时一次函数是奇函数．一次函数不可能是偶函数． (5)函数y ＝kx ＋b 的零点为⋅-kb2．二次函数：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)通过配方，函数的解析式可以变形为⋅-++=a b ac ab x a y 44)2(22 (1)定义域为R ：当a ＞0时，值域为),44[2+∞-ab ac ；当a ＜0时，值域为]44,(2ab ac --∞；(2)图象为抛物线，抛物线的对称轴为abx 2-=，顶点坐标为)44,2(2a b ac a b --．当a ＞0时，抛物线开口向上；当a ＜0时，抛物线开口向下．(3)当a ＞0时，]2,(a b --∞是减区间，),2[+∞-a b是增区间；当a ＜0时，]2,(a b --∞是增区间，),2[+∞-ab是减区间．(4)当且仅当b ＝0时，二次函数是偶函数；二次函数不可能是奇函数．(5)当判别式∆＝b 2－4ac ＞0时，函数有两个变号零点aacb b 242-±-；当判别式∆＝b 2－4ac ＝0时，函数有一个不变号零点ab 2-；当判别式∆＝b 2－4ac ＜0时，函数没有零点． 3．指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1) (1)定义域为R ；值域为(0，＋∞)．(2)a ＞1时，指数函数为增函数；0＜a ＜1时，指数函数为减函数； (3)函数图象如图所示．不具有奇偶性、周期性，也没有零点．4．对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)，对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 互为反函数． (1)定义域为(0，＋∞)；值域为R ．(2)a ＞1时，对数函数为增函数；0＜a ＜1时，对数函数为减函数；(3)函数图象如图所示．不具有奇偶性、周期性，(4)函数的零点为1．5．幂函数y＝xα(α∈R)幂函数随着α的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：(1)所有的幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且图象都通过点(1，1)；(2)如果α＞0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数；(3)如果α＜0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地接近y轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地接近x轴．要注意：因为所有的幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且当x∈(0，＋∞)时，xα＞0，所以所有的幂函数y＝xα(α∈R)在第一象限都有图象．根据幂函数的共同性质，可以比较容易的画出一个幂函数在第一象限的图象，再根据幂函数的定义域和奇偶性，我们可以得到这个幂函数在其他象限的图象，这样就能够得到这个幂函数的大致图象．6．指数与对数(1)如果存在实数x，使得x n＝a(a∈R，n＞1，n∈N＋)，则x叫做a的n次方根．负数没有偶次方根．),1()(+∈>=N n n a a n n ；⎩⎨⎧=为偶数时当为奇数时当n a n a a n n |,|,)( (2)分数指数幂，)0(1>=a a a n n；,0()(>==a a a a n m m n nm n ，m ∈N *，且nm为既约分数)． *N ,,0(1∈>=-m n a aa nm nm ，且nm为既约分数)． (3)幂的运算性质a m a n ＝a m ＋n ，(a m )n ＝a mn ，(ab )n ＝a n b n ，a 0＝1(a ≠0)．(4)一般地，对于指数式a b ＝N ，我们把“b 叫做以a 为底N 的对数”记为log a N ，即b ＝log a N (a ＞0，且a ≠1)． (5)对数恒等式：Na alog ＝N ．(6)对数的性质：零和负数没有对数(对数的真数必须大于零!)；底的对数是1，1的对数是0． (7)对数的运算法则及换底公式：N M NMN M MN a a a a a a log log log ;log log )(log -=+=； M M a a log log αα=；bNN a a b log log log =.(其中a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1，M ＞0，N ＞0).【复习要求】1．掌握基本初等函数的概念，图象和性质，能运用这些知识解决有关的问题；其中幂函数主要掌握y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，21,1x y xy ==这五个具体的幂函数的图象与性质．2．准确、熟练的掌握指数、对数运算；3．整体把握函数的图象和性质，解决与函数有关的综合问题．【例题分析】例1 化简下列各式： (1)31522732-⨯；(2)031π2)27102(412-+-；(3)21)972()71()027.0(231+----；(4)log 2[log 3(log 464)]；(5)4015018lg 5lg 2lg g g --+．解：(1)⋅=⨯=⨯=⨯---3432)3()2(2732123135253152 (2)⋅=-+=-+=-+--41243232)2764()49(π2)27102()412(3121315.0(3)443549310)925(49)103()972()71()027.0(21313321231-=+-=+-=+-----(4)log 2[log 3(log 464)]＝log 2[log 3(log 443)]＝log 2[log 33]＝log 21＝0．(5) .145lg 45lg4050lg 852lg40150lg 8lg 5lg 2lg ==⨯=--+g 【评析】指数、对数运算是两种重要的运算，在运算过程中公式、法则的准确、灵活使用是关键．例2 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值为8，试确定f (x )的解析式．解：解法一设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，依题意⎪⎩⎪⎨⎧==-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=+--=++,7,4,4,,8441,1242c b a ab ac c b a c b a 解之得解之得所以所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7．解法二f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)，为f (2)＝－1，f (－1)＝－1，所以抛物线的对称轴为212)1(2=-+=x ，又f (x )的最大值为8，所以8)21()(2+-=x a x f .因为(－1，－1)点在抛物线上，所以8)211(12+--=-a ，解得a ＝－4．所以所求二次函数为7448)21(4)(22++-=+--=x x x x f .例3 (1)如果二次函数f (x )＝x 2＋(a ＋2)x ＋5在区间(2，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是______．(2)二次函数y ＝ax 2－4x ＋a －3的最大值恒为负，则a 的取值范围是______． (3)函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对于任意t ∈R 均有f (2＋t )＝f (2－t )，则f (1)，f (2)，f (4)的大小关系是_______．解：(1)由于此抛物线开口向上，且在(2，＋∞)上是增函数，画简图可知此抛物线对称轴22+-=a x 或与直线x ＝2重合，或位于直线x ＝2的左侧，于是有222≤+-a ，解之得6-≥a . (2)分析二次函数图象可知，二次函数最大值恒为负的充要条件是“二次项系数a ＜0，且判别式∆＜0”，即⎩⎨⎧<--<0)3(416,0a a a ，解得a ∈(－∞，－1)．(3)因为对于任意t ∈R 均有f (2＋t )＝f (2－t )，所以抛物线对称轴为x ＝2，又抛物线开口向上，做出函数图象简图可得f (2)＜f (1)＜f (4)．例4 已知函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m 的范围．解：当m ＝0时，f (x )＝－3x ＋1，其图象与x 轴的交点为)0,31(，符合题意；当m ＜0时，注意到f (0)＝1，又抛物线开口向下，所以抛物线与x 轴的两个交点必在原点两侧．所以m ＜0符合题意；当m ＞0时，注意到f (0)＝1，又抛物线开口向上，所以抛物线与x 轴的两个交点必在原点同侧(如果存在)，所以若满足题意，则⎩⎨⎧>-=-≥--=∆,0232,04)3(2mm a b m m 解得0＜m ≤1．综上，m ∈(－∞，1]．【评析】在高中阶段，凡“二次”皆重点，二次函数，一元二次方程，一元二次不等式，二次曲线都应着重去理解、掌握．例2、3、4 三个题目充分体现了数形结合思想及运动变化思想的运用．这两种数学思想在函数问题的解决中被普遍使用．例5 (1)当a≠0时，函数y＝ax＋b与y＝b ax的图象只可能是( )(2)函数y＝log a x，y＝log b x，y＝log c x，y＝log d x的图象分别是图中的①、②、③、④，则a，b，c，d的大小关系是______．【分析】(1)在选项(A)中，由y＝ax＋b图象可知a＜0，b＞1，所以b a＜b0＝1(根据以为底的指数函数的性质)，所以y＝b ax＝(b a)x应为减函数．在选项(B)中，由y＝ax＋b图象可知a＞0，b＞1，所以b a＞b0＝1，所以y＝b ax＝(b a)x应为增函数．在选项(C)中，由y＝ax＋b图象可知a＞0，0＜b＜1，所以b a＜b0＝1，所以y＝b ax＝(b a)x应为减函数．与图形提供的信息相符．在选项(D)中，由y＝ax＋b图象可知a＜0，0＜b＜1，所以b a＞b0＝1，所以y＝b ax＝(b a)x应为增函数．综上，选C．(2)如图，作直线y＝1与函数y＝log a x，y＝log b x，y＝log c x，y＝log d x的图象依次交于A，B，C，D四点，则A，B，C，D四点的横坐标分别为a，b，c，d，显然，c＜d＜a＜b．【评析】在本题的解决过程中，对函数图象的深入分析起到了至关重要的作用．这里，对基本初等函数图象的熟悉是前提，对图象的形态的进一步研究与关注是解决深层问题要重点学习的，例4中“注意到f (0)＝1”，例5中“作直线y ＝1”就是具体的表现，没有“熟悉”和“深入的研究”是不可能“注意到”的，也作不出“直线y ＝1”．例6 已知幂函数)()(22123Z ∈=-+k xx f k k ．(1)若f (x )为偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，求f (x )的解析式； (2)若f (x )在(0，＋∞)上是减函数，求k 的取值范围．解：(1)因为f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以021232>-+k k ，解得－1＜k ＜3，因为k ∈Z ，所以k ＝0，1，2，又因为f (x )为偶函数，所以k ＝1，f (x )＝x 2． (2)因为f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以021232<-+k k ，解得k ＜－1，或k ＞3(k ∈Z )．例7 比较下列各小题中各数的大小 (1)21log ,0,6.0log 6.02；(2)lg2与lg(x 2－x ＋3)；(3)0.50.2与0.20.5； (4)332与；(5)21log ,32,)21(3131；(6)a m ＋a －m 与a n ＋a －n (a ＞0，a ≠1，m ＞n ＞0)【分析】(1)函数y ＝log 2x 在区间(0，＋∞)上是增函数，所以log 20.6＜log 21＝0，函数y ＝log 0.6x 在区间(0，＋∞)上是减函数，所以01log 21log 6.06.0=> 所以216.0log 06.0log 2<<. (2)由于2411)21(322>+-=+-x x x ，所以lg2＜lg(x 2－x ＋3)． (3)利用幂函数和指数函数单调性．0.50.2＞0.20.2＞0.20.5．(4)因为9)3(,8)2(636==.根据不等式的性质有.323<(5)因为;32)21(,)728()21(,27821313131>>>即所以比较32与log 32，只需比较3233log 与log 32，因为y ＝log 3x 是增函数，所以只需比较323与2的大小，因为3332289)3(=>=，所以2332>，所以2log 323>，综上，.2log 32)21(331>>(6))1)((1)(--=+-+++--n m n m nm n n m m a a a aa a a a ，当a ＞1时，因为m ＞n ＞0，a m ＞a n ，a m ＋n ＞1，所以a m ＋a－m＞a n ＋a －n ；当0＜a ＜1时，因为m ＞n ＞0，a m ＜a n ，a m ＋n ＜1，所以a m ＋a －m ＞a n ＋a －n ．综上，a m ＋a －m ＞a n ＋a －n ．例8 已知a ＞2，b ＞2，比较a ＋b ，ab 的大小．【分析】方法一(作商比较法)b a ab b a 11+=+，又a ＞2，b ＞2，所以211,211<<b a ，所以1<+abba ，所以a ＋b ＜ab ．方法二(作差比较法))]2()2([21)]2()2[(21)222(21a b b a ab b ab a ab b a ab b a -+-=-+-=-+=-+，因为a ＞2，b ＞2，所以2－a ＜0，2－b ＜0，所以a ＋b －ab ＜0，即a ＋b ＜ab ．方法三(构造函数)令y ＝f (a )＝a ＋b －ab ＝(1－b )a ＋b ，将y 看作是关于a 的一次函数，因为1－b ＜0，所以此函数为减函数，又a ∈(2，＋∞)，y 最大＜f (2)＝(1－b )×2＋b ＝2－b ＜0，所以a ＋b －ab ＜0，即a ＋b ＜ab ．【评析】两个数比较大小的基本思路：如果直接比较，可以考虑用比较法(包括“作差比较法”与“作商比较法”，如例8的方法一与方法二)，或者利用函数的单调性来比较(如例7(1)(2)(3)，例8的方法三)．如果用间接的方法可以尝试对要比较的两数进行适当的变形，转化成对另两个数的比较，也可以考虑借助中间量来比较(如例7(4)(5)(6))．。

高考十年高考文数分项版(新课标1专版)专题02 函数(解析版)

一．基础题组1. 【2012全国1，文2】函数1y x =+(x ≥－1)的反函数为( )A ．y ＝x 2－1(x ≥0)B ．y ＝x 2－1(x ≥1)C ．y ＝x 2＋1(x ≥0)D ．y ＝x 2＋1(x ≥1) 【答案】A2. 【2011课标，文3】下列函数中,既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是( )A.3y x =B.||1y x =+C.21y x =-+ D.||2x y -=【答案】B【解析】由偶函数,排除A 、C 选项;在(0,)+∞上单调递增,排除D,故选B.3. 【2011全国1，文2】函数2(0)y x x =≥的反函数为( )（A ）2()4x y x R =∈ （B ）2(0)4x y x =≥ （C ）24y x =()x R ∈ （D ）24(0)y x x =≥4. 【2008全国1，文1】函数1y x x =- ）A ．{|1}x x ≤B ．{|0}x x ≥C ．{|10}x x x ≥或≤D ．{|01}x x ≤≤【答案】D 【解析】5. 【2007全国1，文8】设1a >，函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为12，则a =（） A.2 B.2 C.22 D.4【答案】：D【解析】：∵1a >，∴函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上为增函数，∴1log 2log 2a a a a -=，解得4a =.6. 【2005全国1，文7】)21( 22≤≤-=x x x y 反函数是（A ）)11( 112≤≤--+=x x y（B ）)10( 112≤≤-+=x x y（C ）)11( 112≤≤---=x x y（D ）)10( 112≤≤--=x x y【答案】B7. 【2005全国1，文13】若正整数m 满足151210210m m -<<，则m = 。

文科数学高考真题分类汇编函数综合及其应用答案

x
x
x
16．①③④【解析】对于①，根据题中定义， f (x) A 函数 y = f (x) ，x D 的值域
为 R ，由函数值域的概念知，函数 y = f (x) ， x D 的值域为 R b R, a D f (a) = b ，所以①正确；对于②，例如函数 f ( x) = (1) |x| 的值域(0,1] 包含于区间[−1,1]，
∴ p = −0.2t2 +1.5t − 2 = −0.2(t − 3.75)2 + 0.8125 ∴当 t = 3.75 分钟时，可食用率最大． 7．D【解析】设年平均增长率为 x ，原生产总值为 a ，则 (1 + p)(1 + q)a = a(1+ x)2 ，解得
x = (1+ p)(1+ q) −1 ，故选 D．
4．B【解析】因为第一次邮箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗
油量V = 48 升．而这段时间内行驶的里程数 S = 35600−35000 = 600千米．所以这段时间内，该车每 100 千米平均耗油量为 48 100 = 8 升，故选 B．
600 5．B 【解析】采用特殊值法，若 x = 1, y = 2, z = 3, a = 1,b = 2,c = 3 ，则 ax + by + cz = 14 ，
因此人均通勤时间
g(x)
=
30 n x%+ 40 n
n
(2x
+
1800 x
−90)
n
(1− x%) ,
x% +40 n
n
(1
− x %)
0 ,30
x ≤30
，

高考文科数学试题分项版解析专题05-函数图象与方程(Word解析版)【10页】

考纲解读明方向分析解读1.高考主要考查由函数解析式画出函数的图象,两个函数图象的交点出现的情况.近几年考查了用图象表示函数.2.在数学中,由“形”到“数”比较明显,由“数”到“形”需要意识,而试题中主要是由“数”到“形”.在解答题中,要注意推理论证的严密性,避免出现以图代证的现象,利用图象研究函数的性质,特别是在判断非常规方程根的个数时,此法有时“妙不可言”,这是数形结合思想在“数”中的重要体现.分析解读函数与方程思想是中学数学最重要的思想方法之一,由于函数图象与x轴的交点的横坐标就是函数的零点,所以可以结合常见的二次函数、对数函数、三角函数等内容进行研究.本节内容在高考中分值为5分左右,属于难度较大题.在备考时,注意以下几个问题:1.结合函数与方程的关系,求函数的零点;2.结合零点存在性定理或函数的图象,对函数是否存在零点进行判断;3.利用零点(方程实根)的存在性求有关参数的取值或范围是高考中的热点问题.命题探究练扩展2018年高考全景展示1．【2018年浙江卷】函数y=sin2x的图象可能是A. B. C. D.【答案】D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．2．【2018年全国卷Ⅲ文】函数的图像大致为A. AB. BC. CD. D【答案】D【解析】分析：由特殊值排除即可详解：当时，，排除A,B.,当时，,排除C 故正确答案选D.点睛：本题考查函数的图像，考查了特殊值排除法，导数与函数图像的关系，属于中档题。

2017年高考全景展示1．【2017课标1，文8】函数sin21cosxyx=-的部分图像大致为A．B．C．D．【答案】C【解析】【考点】函数图象【名师点睛】函数图像问题首先关注定义域，从图象的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的奇偶性排除部分选择支，从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值利用特值检验，较难的需要研究单调性、极值等，从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等确定图象． 2.【2017课标3，文7】函数2sin 1xy x x =++的部分图像大致为（）ABD ．C D 【答案】D【考点】函数图像【名师点睛】(1)运用函数性质研究函数图像时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.(2)在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去f “”，即将函数值的大小转化自变量大小关系3.【2017天津，文8】已知函数||2,1,()2, 1.x x f x x x x +<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是（A ）[2,2]-（B）[-（C）[-（D）[-【答案】A 【解析】试题分析：首先画出函数()f x 的图象，当0a >时，()2xg x a =+的零点是20x a =-<，零点左边直线的斜率时112->-，不会和函数()f x 有交点，满足不等式恒成立，零点右边()2xg x a =+，函数的斜率12k =，根据图象分析，当0x =时，2a ≤，即02a <≤成立，同理，若0a < ，函数()2xg x a =+的零点是20x a =->，零点右边()()2x g x a f x =+<恒成立，零点左边()2xg x a =--，根据图象分析当0x =时，22a a -≤⇒≥-，即20a -≤< ，当0a =时，()()f x g x ≥恒成立，所以22a -≤≤，故选A.【考点】1.分段函数；2.函数图形的应用；3.不等式恒成立.【名师点睛】一般不等式恒成立求参数1.可以选择参变分离的方法，转化为求函数最值的问题； 2.也可以画出两边的函数图象，根据临界值求参数取值范围；3.也可转化为()0F x >的问题，转化讨论求函数的最值求参数的取值范围.2016年高考全景展示1. 【2016高考新课标1文数】函数22xy x e =-在[]2,2-的图像大致为（）（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】D 【解析】试题分析：函数f (x )=2x 2–e |x |在[–2,2]上是偶函数,其图象关于y 轴对称,因为22(2)8,081f e e =-<-<,所以排除,A B 选项；当[]0,2x ∈时,4x y x e '=-有一零点,设为0x ,当0(0,)x x ∈时,()f x 为减函数,当0(,2)x x ∈时,()f x 为增函数．故选D.考点：函数图像与性质【名师点睛】函数中的识图题多次出现在高考试题中,也可以说是高考的热点问题,这类题目一般比较灵活,对解题能力要求较高,故也是高考中的难点,解决这类问题的方法一般是利用间接法,即由函数性质排除不符合条件的选项.2.【2016高考新课标2文数】已知函数f (x )（x ∈R ）满足f (x )=f (2-x )，若函数y =|x 2-2x -3| 与y =f (x ) 图像的交点为（x 1,y 1），(x 2,y 2)，…，（x m ,y m ），则1=mi i x =∑（）(A)0 (B)m (C) 2m (D) 4m 【答案】B 【解析】考点：函数的奇偶性，对称性.【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2a bx +=；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数的图象有对称中心.3. 【2016高考浙江文数】函数y =sin x 2的图象是（）【答案】D 【解析】试题分析：因为2sin =y x 为偶函数，所以它的图象关于y 轴对称，排除A 、C 选项；当22x π=，即x =时，1max y =，排除B 选项，故选D.考点：三角函数图象.【方法点睛】给定函数的解析式识别图象，一般从五个方面排除、筛选错误或正确的选项：（1）从函数的定义域，判断图象左右的位置，从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的周期性，判断函数的循环往复；（5）从特殊点出发，排除不符合要求的选项.4.【2016高考山东文数】已知函数2||,()24,x x m f x x mx m x m≤⎧=⎨-+>⎩ 其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________________. 【答案】()3,+∞ 【解析】试题分析：画出函数图象如下图所示：由图所示，要()f x b =有三个不同的根，需要红色部分图像在深蓝色图像的下方，即2224,30m m m m m m m >-⋅+->，解得3m >考点：1.函数的图象与性质；2.函数与方程；3.分段函数【名师点睛】本题主要考查二次函数函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念.解答本题，关键在于能利用数形结合思想，通过对函数图象的分析，转化得到代数不等式.本题能较好的考查考生数形结合思想、转化与化归思想、基本运算求解能力等.5. 【2016高考浙江文数】设函数f (x )=x 3+3x 2+1．已知a≠0，且f (x )–f (a )=(x –b )(x –a )2，x ∈R ，则实数a =_____，b =______．【答案】－2；1．【解析】考点：函数解析式.【思路点睛】先计算()()f x f a -，再将()()2x b x a --展开，进而对照系数可得含有a ，b 的方程组，解方程组可得a 和b 的值．。

(2021年整理)高考文科数学函数专题讲解及高考真题精选(含问题详解)

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高考文数真题及答案解析

高考文数真题及答案解析在中国的高中教育中，高考是一道重要的关卡，而数学和文学是高考的两个主要科目。

通过高考，考生可以决定自己的高等教育路径和未来的发展方向。

因此，高考文数的真题和答案解析对于考生来说具有重要意义。

在本文中，我们将分析一些高考数学和文学的真题，并提供相关的解析和思路。

对于数学部分，我们选择了一道典型的高考真题，来看看解题的思路及答案解析。

【数学篇】题目：已知函数y=4x-2f(2-x)，其中f(x)是函数自变量x的奇函数。

已知点A在y轴上，点A和函数图象上的点B所在的直线交于点C，且ABC三点共线。

已知AC的斜率是1/2，且AB的斜率不存在。

解析：首先，我们需要明确一些基本的数学概念。

奇函数是指满足f(x)=-f(-x)的函数，也就是说，关于原点对称。

根据题目中的条件，f(x)是一个奇函数。

可以推断，由于A点在y轴上，点B将在函数的图像上的两个对称点之一。

根据题目中的已知条件，斜率AB不存在。

这意味着直线AB垂直于x轴。

由于点B和点C都在函数图象上，我们可以推断点C也在该函数图象上。

另外，已知AC的斜率是1/2。

考虑到点A在y轴上，我们可以得出结论，直线AC的斜率等于4，即k=4。

根据已知条件，我们可以列出方程式：1/2 = (f(0) - f(2))/(0 - 2)通过简单计算，我们得出f(0) = f(2) 和 f(2) = -4f(0)综上所述，我们可以整理出以下几个结论：1. f(x)是一个奇函数，关于原点对称。

2. 点A和点B是函数图象上的对称点。

3. 斜率AC等于4。

4. f(0) = f(2) 和 f(2) = -4f(0)至此，我们可以解答这道题目。

由于题干中没有给出具体的函数表达式，因此无法进一步推导解答。

但通过上述思路，我们可以清晰地理解题目中的条件，并在解答过程中遵循逻辑性和推理性，进而解决问题。

【文学篇】在高考文学部分，理解文本和表达观点是非常重要的。

下面是一篇诗歌的摘录，让我们一起进行解读。

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函数【1.２.1】函数的概念（1)函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应(包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f )叫做集合A 到B 的一个函数,记作:f A B →.②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数. (2)区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <,满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间,记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间,记做(,)a b ;满足a x b ≤<,或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间,分别记做[,)a b ，(,]a b ;满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意:对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ,前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <.（３)求函数的定义域时,一般遵循以下原则：①()f x 是整式时,定义域是全体实数.②()f x 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数.③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1. ⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零(负)指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集.⑧对于求复合函数定义域问题,一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数,求其定义域,根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（４）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的.事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数,这个数就是函数的最小(大)值．因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同.求函数值域与最值的常用方法：①观察法:对于比较简单的函数,我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值.③判别式法:若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数,故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值.④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值.⑤换元法:通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题.⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法:利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．【1.2.２】函数的表示法（5)函数的表示方法表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种.解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法:就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.图象法:就是用图象表示两个变量之间的对应关系. (6)映射的概念①设A 、B 是两个集合,如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个元素,在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应(包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →.②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈.如果元素a 和元素b 对应,那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．〖1．３〗函数的基本性质【1.3．1】单调性与最大(小）值(１）函数的单调性函数的单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．<．ｘ．2．时，都有f(．．ｘ．1．)<．．ｆ．(．ｘ．2．)．,那么就说f(ｘ)在这个区间上是增函数．．．． x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o（1）利用定义(２）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增) （４)利用复合函数如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< ．x ．2．时，都有f ．（．x ．1．）．>f(．．．ｘ．2．)．，那么就说f(x ）在这个区间上是减函数．．．. y=f(X)yx ox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义 (2）利用已知函数的单调性(3)利用函数图象(在某个区间图象下降为减)(4）利用复合函数②在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数,减函数减去一个增函数为减函数.③对于复合函数[()]y f g x =,令()u g x =，若()y f u =为增,()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减,则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增,()u g x =为减,则[()]y f g x =为减;若()y f u =为减,()u g x =为增,则[()]y f g x =(2)打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -减函数．（3）最大(小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 任意的x I ∈，都有()f x M ≤；(2）存在0x I ∈,使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x max ()f x M =.②一般地,设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：(１）对于任意的x I ∈,都有()f x m ≥;（2)存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值,记作max ()f x m =．【1.３.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x,都有f(．．-．x ．）＝．．-．f(x)．．．．，那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（１)利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2)利用图象(图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x ．）．=．f ．（．x ．）．,那么函数ｆ(x ）叫做偶函数．．．．(1）利用定义(要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象(图象关于ｙ轴对称)②若函数()f x 为奇函数,且在0x =处有定义,则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反. ④在公共定义域内，两个偶函数(或奇函数）的和(或差)仍是偶函数(或奇函数），两个偶函数(或奇函数）的积（或商)是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积(或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象(１）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域; ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性)； ④画出函数的图象．利用基本函数图象的变换作图:要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象．①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩 01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象 ()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去(2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系. (3)用图函数图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关系问题提供了“形”的直观性,它是探求解题途径,获得问题结果的重要工具.要重视数形结合解题的思想方法.第二章基本初等函数(Ⅰ)〖2.1〗指数函数【2．1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>,且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根.当n 是奇数时,a 的n 次方当n 是偶数时，正数a 的正的n 负的n 次方根用符号表示；0的n 次方根是０；负数a 没有n 次方根.,这里n 叫做根指数,a 叫做被开方数．当n 为奇数时,a 为任意实数；当n 为偶数时,0a ≥．③根式的性质:n a =；当n 为奇数时，a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是:0,,,mnaa m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0.②正数的负分数指数幂的意义是: 1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >.0的负分数指数幂没有意义．注意口诀:底数取倒数,指数取相反数．(3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)rrrab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数〖2.2〗对数函数【2．2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且,则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =,其中a 叫做底数，N 叫做真数.②负数和零没有对数.③对数式与指数式的互化:log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>．(2）几个重要的对数恒等式log 10a =,log 1a a =,log b a a b =.（3)常用对数与自然对数常用对数：lg N ,即10log N ;自然对数:ln N ，即log e N (其中 2.71828e =…). （4)对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法:log log log a a aM M N N-= ③数乘：log log ()na a n M M n R =∈ ④log a N a N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式:log log (0,1)log b a b N N b b a =>≠且【2．2.2】对数函数及其性质（5）对数函数(6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ,值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=.如果对于y 在C 中的任何一个值,通过式子()x y ϕ=,x 在A 中都有唯一确定的值和它对应,那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数,记作1()x fy -=，习惯上改写成1()y f x -=．(7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域;②从原函数式()y f x =中反解出1()x fy -=；③将1()x fy -=改写成1()y f x -=,并注明反函数的定义域.(8)反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y fx -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y fx -=的值域、定义域.③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上.④一般地,函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数.〖2．3〗幂函数(１)幂函数的定义y x =叫做幂函数，其中x 为自变量,α是常数．（２）幂函数的图象(3）幂函数的性质①图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象.幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称）；是奇函数时，图象分布在第一、三象限（图象关于原点对称);是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限.②过定点:所有的幂函数在(0,)+∞都有定义,并且图象都通过点(1,1)．③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点,并且在[0,)+∞上为增函数.如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数,在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．④奇偶性:当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数.当qpα=（其中,p q 互质,p和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则q p y x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时,则q py x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q py x =是非奇非偶函数．⑤图象特征:幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >,其图象在直线y x =上方,当1α<时，若01x <<,其图象在直线y x =上方,若1x >，其图象在直线y x =下方．〖补充知识〗二次函数（１）二次函数解析式的三种形式①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠③两根式:12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（２)求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式.②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式. ③若已知抛物线与x 轴有两个交点,且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便．（3)二次函数图象的性质①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线,对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a--． ②当0a >时,抛物线开口向上,函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2b a -+∞上递增,当2bx a=-时,2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递增，在[,)2ba -+∞上递减，当2bx a=-时,2max 4()4ac b f x a -=．③二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时,图象与x 轴有两个交点11221212(,0),(,0),||||M x M x M M x x =-（4)一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及,但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理(韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质,系统地来分析一元二次方程实根的分布.设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ,且12x x ≤.令2()f x ax bx c =++,从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a②对称轴位置：2bxa=-③判别式：∆④端点函数值符号．（５）二次函数2()(0)f x ax bx c a=++≠在闭区间[,]p q上的最值设()f x在区间[,]p q上的最大值为M，最小值为m，令1()2x p q=+．(Ⅰ）当0a>时(开口向上)①若2bpa-<，则()m f p=②若2bp qa≤-≤,则()2bm fa=-③若2bqa->，则()m f q=①若2bxa-≤，则()M f q=②bx->,则()M f p=(Ⅱ)当0a<时(开口向下)①若2bpa-<,则()M f p=②若2bp qa≤-≤，则()2bM fa=-③若2bqa->，则()M f q=①若2xa-≤,则()m f q=②2xa->,则(m f=x xxxx(q)xxfxfxxxx第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念:对于函数))((D x x f y ∈=,把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。