高考文科数学解答题专题训练(一)三角函数

大题专项练(一)三角函数

A组基础通关

1.已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且c cos B+(b-2a)cos C=0.

(1)求角C的大小;

(2)若c=2,求△ABC的面积S的最大值.

因为c cos B+(b-2a)cos C=0,

所以sin C cos B+(sin B-2sin A)cos C=0,

所以sin C cos B+sin B cos C=2sin A cos C,

所以sin(B+C)=2sin A cos C.

又因为A+B+C=π,

所以sin A=2sin A cos C.

又因为A∈(0,π),所以sin A≠0,

所以cos C=1

2

.

又C∈(0,π),所以C=π

3

.

(2)由(1)知,C=π

3

,

所以c2=a2+b2-2ab cos C=a2+b2-ab.

又c=2,所以4=a2+b2-ab.

又a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立,

所以ab≤4.所以△ABC面积的最大值(S△ABC)max=(1

2absinC)

max

=1

2

×4×sinπ

3

=√3.

2.如图,在梯形ABCD中,∠A=∠D=90°,M为AD上一点,AM=2MD=2,∠BMC=60°.

(1)若∠AMB=60°,求BC ;

(2)设∠DCM=θ,若MB=4MC ,求tan θ.

由∠BMC=60°,∠AMB=60°,得∠CMD=60°.

在Rt △ABM 中,MB=2AM=4;在Rt △CDM 中,MC=2MD=2.

在△MBC 中,由余弦定理,得BC 2=BM 2+MC 2-2BM ·MC ·cos ∠BMC=12,BC=2√3. (2)因为∠DCM=θ,

所以∠ABM=60°-θ,0°<θ<60°.

在Rt △MCD 中,MC=

1; 在Rt △MAB 中,MB=

2

sin (60°-θ)

,

由MB=4MC ,得2sin(60°-θ)=sin θ, 所以√3cos θ-sin θ=sin θ, 即2sin θ=√3cos θ,

整理可得tan θ=√3

2.

3.已知向量m =(2a cos x ,sin x ),n =(cos x ,b cos x ),函数f (x )=m ·n -√3

2

,函数f (x )在y 轴上的截距为√3

2

,与y

轴最近的最高点的坐标是(π

12,1). (1)求函数f (x )的解析式;

(2)将函数f (x )的图象向左平移φ(φ>0)个单位,再将图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍,得到函数y=sin x 的图象,求φ的最小值.

f (x )=m ·n -√32=2a cos 2x+b sin x cos x-√3

2,

由f (0)=2a-√3

2=√3

2,得a=√3

2,

此时,f (x )=√3

cos 2x+b

sin 2x ,

由f (x )≤√34

+b

2

4

=1,得b=1或b=-1,

当b=1时,f (x )=sin (2x +π3),经检验(π

12

,1)为最高点;

当b=-1时,f (x )=sin (2x +2π

3),经检验(π

12,1)不是最高点.

故函数的解析式为f (x )=sin (2x +π

3).

(2)函数f (x )的图象向左平移φ个单位后得到函数y=sin 2x+2φ+π

3的图象,横坐标伸长到原来的2倍后得到函数y=sin x+2φ+π

3的图象,

所以2φ+π3

=2k π(k ∈Z ),φ=-π6+k π(k ∈Z ),

因为φ>0,所以φ的最小值为5π

6

.

4.函数f (x )=A sin (ωx +π

6)(A>0,ω>0)的最大值为2,它的最小正周期为2π.

(1)求函数f (x )的解析式;

(2)若g (x )=cos x ·f (x ),求g (x )在区间[-π6,π

4]上的最大值和最小值.

由已知f (x )最小正周期为2π,

所以2π

ω=2π,解得ω=1. 因为f (x )的最大值为2,

所以A=2,

所以f (x )的解析式为f (x )=2sin (x +π

6).

(2)因为f (x )=2sin (x +π

6)=2sin x cos π

6+2cos x sin π

6=√3sin x+cos x ,

所以g (x )=cos x ·f (x )=√3sin x cos x+cos 2x=√3

2sin 2x+

1+cos2x

2

=sin (2x +π

6)+1

2

.

因为-π6

≤x ≤π4

,所以-π6

≤2x+π6

≤2π3

,

于是,当2x+π6=π2,即x=π6时,g (x )取得最大值32;当2x+π6=-π6,即x=-π

6时,g (x )取得最小值0. 5.已知函数f (x )=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的一系列对应值如表:

(1)求f (x )的解析式;

(2)若在△ABC 中,AC=2,BC=3,f (A )=-1

2(A 为锐角),求△ABC 的面积.

由题中表格给出的信息可知,函数f (x )的周期为T=3π

4?(-π

4)=π,

所以ω=2π

π=2.

注意到sin(2×0+φ)=1,也即φ=π

2+2k π(k ∈Z ), 由0<φ<π,所以φ=π

.

所以函数的解析式为f (x )=sin (2x +π

2

)=cos 2x.

(2)∵f (A )=cos 2A=-1

2,且A 为锐角,∴A=π

3.

在△ABC 中,由正弦定理得,BC sinA

=

AC

sinB

, ∴sin B=AC ·sinA

BC

=2×√3

2

3=√3

3,

∵BC>AC ,∴B

3,∴cos B=√6

3,

∴sin C=sin(A+B )=sin A cos B+cos A sin B=√3

×

√6

+1×

√3

=

3√2+√3

, ∴S △ABC =1

2·AC ·BC ·sin C=1

2×2×3×

3√2+√3

6=

3√2+√3

2

. 6.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对边分别为a ,b ,c ,C=π4

,b=4,△ABC 的面积为6. (1)求c 的值; (2)求cos(B-C )的值.

已知C=π

4,b=4,

因为S △ABC =1

ab sin C ,

即6=1

2×4a ×√2

2,解得a=3√2,

由余弦定理,得c 2=b 2+a 2-2ab cos C=10,解得c=√10.

(2)由(1)得

cos B=a 2+c 2-b

2

2ac

=√5

5,

由于B 是三角形的内角,得sin B=√1-cos 2B =2√5

5,

所以cos(B-C )=cos B cos C+sin B sin C=√5

5×√2

2+2√55×√22=3√10

10.

B 组 能力提升

7.如图,在凸四边形ABCD 中,C ,D 为定点,CD=√3,A ,B 为动点,满足AB=BC=DA=1.

(1)写出cos C 与cos A 的关系式;

(2)设△BCD 和△ABD 的面积分别为S 和T ,求S 2+T 2的最大值.

在△BCD 中,由余弦定理,得BD 2=BC 2+CD 2-2·BC ·CD cos C=4-2√3cos C ,

在△ABD 中,BD 2=2-2cos A ,

所以4-2√3cos C=2-2cos A ,即cos A=√3cos C-1.

(2)S=12

·BC ·CD ·sin C=

√3·sinC

2

,T=12AB ·AD sin A=12

sin A ,

所以S 2+T 2=34sin 2C+14sin 2A=34(1-cos 2C )+14(1-cos 2A )=-32cos 2C+√32cos C+3

4

=-32(cosC -√36

)2

+7

8

.

由题意易知,C ∈(30°,90°),所以cos C ∈(0,√3

2),

当cos C=√3

6时,S 2+T 2有最大值7

8.

8.某城市在进行规划时,准备设计一个圆形的开放式公园.为达到社会和经济效益双丰收,园林公司进行如下设计,安排圆内接四边形ABCD 作为绿化区域,其余作为市民活动区域.其中△ABD 区域种植花木后出售,△BCD 区域种植草皮后出售,已知草皮每平方米售价为a 元,花木每平方米的售价是草皮每平方米售价的三倍.若BC=6 km,AD=CD=4 km .

(1)若BD=2√7 km,求绿化区域的面积;

(2)设∠BCD=θ,当θ取何值时,园林公司的总销售金额最大.

在△BCD 中,BD=2√7,BC=6,CD=4,

由余弦定理,得cos ∠BCD=BC 2+CD 2-BD 22BC ·CD

=62+42-(2√7)2

2×6×4

=12

.

因为∠BCD ∈(0°,180°),所以∠BCD=60°, 又因为A ,B ,C ,D 四点共圆, 所以∠BAD=120°.

在△ABD 中,由余弦定理,得BD 2=AB 2+AD 2-2AB ·AD cos ∠BAD , 将AD=4,BD=2√7代入化简,得AB 2+4AB-12=0, 解得AB=2(AB=-6舍去).

所以S 四边形ABCD =S △ABD +S △BCD =1

2×2×4sin 120°+1

2×4×6sin 60°=8√3(km 2), 即绿化空间的面积为8√3 km 2.

(2)在△BCD 、△ABD 中分别利用余弦定理得 BD 2=62+42-2×6×4cos θ, ① BD 2=AB 2+42-2×4AB cos(π-θ),

②

联立①②消去BD ,得AB 2+8AB cos θ+48cos θ-36=0, 得(AB+6)(AB+8cos θ-6)=0, 解得AB=6-8cos θ(AB=-6舍去).

因为AB>0,所以6-8cos θ>0,即cos θ<34

.

S △ABD =12AB ·AD sin(π-θ)=12(6-8cos θ)×4sin θ=12sin θ-16sin θcos θ,S △BCD =1

2BC ·CD sin

θ=1

2×6×4sin θ=12sin θ.

因为草皮每平方米售价为a 元,则花木每平方米售价为3a 元,设销售金额为y 百万元. y=f (θ)=3a (12sin θ-16sin θcos θ)+12a sin θ=48a (sin θ-sin θcos θ),

f'(θ)=48a (cos θ-cos 2θ+sin 2θ)=48a (-2cos 2θ+cos θ+1)=-48a (2cos θ+1)(cos θ-1),

令f'(θ)>0,解得-12

又cos θ<34,不妨设cos θ0=34

,

则函数f (θ)在(θ0,

2π

3

)上为增函数; 令f'(θ)<0,解得cos θ<-1

2,

则函数f (θ)在(2π

3,π)上为减函数,

所以当θ=2π

3时,f (θ)max =36√3a.

答:(1)绿化区域的面积为8√3 km 2;(2)当θ=2π

3时,园林公司的销售金额最大,最大为36√3a 百万元.