安培环路定理
§9.4 磁场的安培环路定理概述
思考：如图，平行的无限长直截流导线 A 和 B，电流强度均为 I， 垂直纸面向外，两根截流导线之间相距为 a，则 （1） AB 中点（p点）的磁感应强度 Bp 0 （2）磁感应强度B 沿图中环路L的线积分 l B dl 0I
2、求解具有某些对称性的磁场分布 求解条件：电流分布（磁场分布）具有某些对称性， 以便可以找到恰当的安培环路 L ，使积分
2018/10/30 重庆邮电大学理学院 7
L
B dl B 2r 0 I内
r R:
I
内
I
B内
P
B外
0 I 1 B外 2r r
r R:
2 I Ir 2 I r 2 内 R2 R
L
L
o
r
I
R
P
B
B内
0 Ir r 2 2R
(穿过L )
I I
i
1
2I2
(穿过L )
I 2I
i
1
2018/10/30
重庆邮电大学理学院
成立条件：稳恒电流的磁场
L : 场中任一闭合曲线 — 安培环路（规定绕向）
S2
S0
Ii
(穿 过L )
I
B:
i
: 穿过以 L 为边界的任意曲
面的电流的代数和. 与空间所有电流有关
S1
L
r
o
R
1 r
r
B 方向与 I 指向满足右旋关系
2018/10/30 重庆邮电大学理学院
8
练习：无限长均匀载流圆柱体（R , I ）如图，求通过 截面 S（ 2 R , h ）的磁通量.
安培环路定理
无限长圆柱面电流，圆柱外磁场分布与电流集中在轴线上的 直线电流产生的磁场相同；圆柱内处处磁场为0。 B分布曲线为：
I
B
0 I 2R
R
1
r
B0
0 I 1 B 2r r
2
r
L
o
R
r
例 15.7 一环形载流螺绕环，匝数为
N ，螺绕环轴线半径为R ，通有电 流 I ，求管内磁感应强度。
分析对称性,作积分回路如图 计算环流
Bdl I
0 l
i
B
空间所有电流共同产生 在场中任取的一闭合线 L绕行方向上的任一线元 环路所包围的电流 与L套连的电流
L dl
I3
I1
Ii
L
I 2 dl
电流分布
比较
静电场
?
l
磁 场
E dl 0
l
Bdl I
0 i
i
电场有保守性，它是 保守场，或有势场.
环管内截面上宽为dr、高为h的一窄条面积通过的磁通量为：
0 NIh d Bhdr dr 2r
0 NIh R 1 0 NIh R2 dr ln 全部截面的磁通量为： d R 2 r 2 R1
2 1
本次课结束
课后作业
15.7 15.15
谢谢！
15.15 在长直导线近旁放一矩形线圈与其共面，线圈各边分别平 行和垂直于长直导线。线圈长度为l，宽为b，近边距长直导线距 离为a，长直导线中通有电流I。当矩形线圈中通有电流I1时，它受 到的磁力的大小和方向如何？它又受到多大的磁力矩？
磁场没有保守性，它是 非保守场，或无势场.
1 E d S qi 0 S
13.9 安培环路定理
r 1
推广到一般情况
I3
电流分布
∫
说明： 说明：
L
B ⋅ dl = µ o ∑ I内
I1> 0
I2< 0
1）安培环路定理只适用于稳恒 ） 电流（闭合或伸展到∞ 电流（闭合或伸展到∞）； 2） I 流向与 绕向成右手 ） 内 流向与L绕向成右手 关系时I 为正， 关系时 内为正， I内 流向与 绕向成左手 流向与L绕向成左手 关系时为负； 关系时为负； 3）环路上各点的磁场为所有 ） 电流的贡献； 电流的贡献； 4） 磁场是有旋场 ）
I
n
I
B = µ0nI
管外场强仍为零。 管外场强仍为零。
7 第13章 电流和磁场
求无限大平面电流的磁场。 例3 求无限大平面电流的磁场。
？
解 平板上下两侧的磁场平行于 平板，且垂直于平板电流， 平板，且垂直于平板电流， 又是面对称的。 又是面对称的。 取回路，环量为 取回路，
I
B
b
P
a
d
B'
∫ B⋅dl = ∫
L
I
B = µ0N / 2πr I
0
若螺绕环的截面很小， 若螺绕环的截面很小，
N B = µ0 I = µ nI 内 0 2π r
若在外部再做一个环路， 若在外部再做一个环路，可得
r =r
N
o
R 1
h
R2
r
dr
∑Ii =0
螺绕环内的磁通量为
B =0 外
R 2
1
S
Φm = ∫ B⋅ dS = ∫R
R 1
§13.9 安培环路定理
静电场: 静电场 磁 场:
《大学物理》安培环路定理
根据安培环路定理得
B 2r
0
r2 R2
I
B
0I 2R
B
0 2
I R2
r
r
O
R
（r＜R） 载流圆柱体的磁场分布曲线
ll.7 安培环路定理
例4 载流螺绕环的磁场分布。 所谓螺绕环，就是将细导线N匝密绕在内径为R1，
外径为R2的圆环上（如图所示）。接通稳恒电流I， 求环内外的磁场分布。
解 在圆环轴线所在平面内，
b B dl d B dl 0
d
c B dl 0
ll.7 安培环路定理
b
LB dl a B dl B l
穿过矩形环路的电流强度： Ii I n l
安培环路定理：
B dl L
o Ii
B l 0I nl
B 0nI
ll.7 安培环路定理
例2 计算无限长载流圆柱体的磁场。设圆柱体 导线的半径为R，轴向电流I均匀地通过导线横截面。
取半径为r的圆周L为环路，
方向如图。
(1)当 r>R2 (2) 当 r<R1 (3)当R1<r<R2
B=0 B=0
R2 R1 r
环路 L 磁感应线
ll.7 安培环路定理
B dl B dl B2r 0 NI
L
L
B 0 NI 2r
0
B
0 NI
2r
0
r R1 R1 r R2
r R2
i 1
ll.7 安培环路定理
2．环路L不围绕电流I
B dl B' dl ' B cosdl B' cos 'dl '
0I 2r
rd
2.3 安培环路定理
的磁感应强度
相当于P不动线 相当于 不动线 圈作-dL2位移 圈作
ˆ ˆ µ0 I dl 2 ⋅ (dl1 × r12 ) µ0 I (−dl 2 × dl1 ) ⋅ r12 − B(r2 ) ⋅ dl 2 = − = 2 2 ∫) ∫ 4π ( L r12 4π ( L ) r12
1 1
运用A ⋅ ( B × C ) = ( A × B ) ⋅ C
空间所有电流 产生的磁感应 强度矢量和
∫ B ⋅ dl = µ ∑ I
0 L L内
穿过闭合环 路的电流
安培环路定理的微分形式
利用斯托克斯定理
∫ B ⋅ dl = µ ∑ I
0 L L内 L内
∫∫ (∇ × B) ⋅ d S =µ ∫∫ j ⋅ d S
0 S S
∇ × B = µ0 j
微分形式
说明B的旋度不为零 说明 的旋度不为零——有旋场 的旋度不为零 有旋场
Ω − Ω'+ω = 0, ⇒ ω = Ω'−Ω
可看成是场点坐标r 可看成是场点坐标 2的函数
坐标r 坐标 2的函数
泰勒展开
代入前式
Ω' ≈ Ω + dl 2 ⋅ ∇Ω →
µ0 I − B(r2 ) ⋅ dl 2 = − dl 2 ⋅ ∇Ω 4π
µ0 I B= ∇Ω 4π
反映了载流线圈与磁偶极子是等价的 两个讨论磁化的模型是等价的 在下面证明安培环路定理时直接引用
磁感应线与环共轴
∫ B ⋅ d l = B ⋅ 2πr = µ0 ∑ Ii = µ0 NI
L S内
µ 0 NI B= 2π r
形式上与无限长螺 线管内磁场一样
R>>d n = N , B = µ 0 nI
安培环路定理
11
例1 求长直密绕螺线管内磁场
解 1) 对称性分析螺旋管内为均匀场,方向沿轴向,
外部磁感强度趋于零，即
. B0
2 ) 选回路 L .
磁场 的B方向与电流
成右螺I 旋.
M
NB
++++++++++++
P
LO
B dl B dl B dl B dl B dl
l
MN
NO
OP
PM
oR r
解
0rR
Bdl L1
2 rB 0
B0
r R
Bdl
L2
2 rB 0I
B
0I
2π r
总结出用安培环路定理求解磁场分布的思路
➢ 对称性分析
➢ 选环路 L并规定绕向
➢ 由LB dl
0
求I内
。B
dl
磁感线
l与 成I 右螺旋
B dl
0I
rd
0I
d
2π r
2π
B dl
l
0I
（3）电流在回路之外
d
I
B1
r1
dl1
B2
dl2
r2
l
B1
0I
2π r1
，
B2
0I
2π r2
B1
dl1
B2
dl2
0I
2π
d
B1 dl1 B2 dl2 0
l B d l 0
（4）如果闭合回路L不在垂直于电流的平面 内，而是任意形状的空间曲线
第四节 安培环路定理
本讲主要内容: 一.安培环路定理的表述
安培环路定理的推导与应用
安培环路定理的推导与应用安培环路定理是电磁学中的重要定律之一，它描述了电流在闭合回路中所围成的磁通量与电路中的总电流的关系。
本文将对安培环路定理的推导进行讲解，并介绍一些其在实际应用中的例子。
一、安培环路定理的推导安培环路定理是由法国物理学家安培在19世纪初提出的。
它的数学表达形式是：∮B·dl = μ0·I其中，∮B·dl表示磁场B在闭合回路上的环路积分，μ0为真空中的磁导率，I为该回路中的总电流。
推导安培环路定理的基本思路是利用法拉第电磁感应定律和高斯定理。
我们知道，根据法拉第电磁感应定律，磁感应强度B的变化率与电场强度E的闭合回路积分之比等于贯穿该回路的总电流I：∮(B·dl)/(dt) = -∫E·ds = -dΦE/dt其中，ΦE表示电场的通量。
再根据高斯定理，可以将闭合回路上的磁场积分转化为磁通量的二重积分：∮B·dl = ∬(∇×B)·dS结合以上两个式子，可得到安培环路定理的数学表达式：∬(∇×B)·dS = -μ0·dΦE/dt = -μ0·d/dt(∬E·dS)经过进一步的推导和化简，可以得到安培环路定理的最终形式。
二、安培环路定理的应用安培环路定理可以应用于各种电磁场问题的求解中，下面将介绍几个实际应用的例子。
1. 电磁铁电磁铁是一种利用电流通过线圈时产生的磁场吸引铁磁物质的装置。
根据安培环路定理，可以计算电磁铁中磁场的分布情况，从而设计合适的线圈参数，使得电磁铁的吸引力能够满足实际需求。
2. 变压器变压器是一种利用电磁感应原理来改变电压的装置。
在变压器的设计和工作过程中，安培环路定理可以用来分析和计算铁芯中的磁场分布情况，从而确定绕组的布置和匝数比。
3. 电感电感是电路中常见的一种元件，它的基本单位是亨利(Henry)。
利用安培环路定理，可以计算电感器中的磁场分布情况，从而更好地理解和分析电感元件的特性。
安培环路定理的理解
安培环路定理的理解导论：安培环路定理，也被称为安培定理或安培第二定律，是电磁学中的重要定理之一。
它描述了电流通过闭合回路时产生的磁场以及磁场对电流的影响。
本文将从安培环路定理的基本原理、推导过程以及应用领域三个部分展开，详细介绍安培环路定理的理解。
一、基本原理：安培环路定理表明，穿过任一闭合回路的电流的总和与该闭合回路内磁场投影的总和成正比。
简单来说，通过一个闭合回路的电流所产生的磁场，可以通过该闭合回路内磁场的总和来表示。
这个总和即为电流通过该回路的环路积分。
二、推导过程：安培环路定理的推导基于两个基本事实：1. 磁场的自旋定理：磁场是由电流引起的，可以看作是沿着电流方向旋转的箭头。
2. 磁场的环路积分为零：当穿过闭合回路的电流为零或磁场垂直于回路时，磁场的环路积分为零。
基于以上两个事实，可以得出安培环路定理的数学表达式：∮B·dl = μ0·I其中，∮B·dl表示磁场B沿闭合回路的环路积分，μ0为真空中的磁导率，I为通过闭合回路的电流。
三、应用领域：安培环路定理在电磁学中具有广泛的应用，以下列举几个常见的领域：1. 电感计算：根据安培环路定理，可以通过测量磁场以及回路的几何形状和位置，计算出电感的数值。
这在电路设计以及电动机设计中十分重要。
2. 电磁感应：在电磁感应现象中，安培环路定理用于计算感应电动势。
当磁场发生变化时，由安培环路定理可以推导出法拉第电磁感应定律。
3. 磁场分析：通过安培环路定理，可以分析磁场的分布以及变化。
尤其在磁铁和电磁铁的设计和应用中，安培环路定理起着重要的作用。
4. 电磁波传播：在电磁学中，电磁波的传播也可以通过安培环路定理来解释。
当电磁波通过任意闭合回路时，根据安培环路定理，磁场以及电场的总和都保持不变。
结语：安培环路定理作为电磁学中的重要定理，深刻揭示了电流与磁场之间的相互关系。
通过安培环路定理的应用，我们可以更好地理解电磁现象和电磁学原理，进而在电磁领域的研究和应用中发挥更大的作用。
环路定理
∫ B dl = ∑I
L 0 L内
i
∫ B dl = ∑I
L 0
内
几点说明: 几点说明:
1)B是L上dl处的磁感应强度,是由空间所 ) 是 上 处的磁感应强度 处的磁感应强度, 有电流共同产生叠加的结果. 有电流共同产生叠加的结果. 2)I内是被 所包围的电流,∑I内则是 所包 ) 是被L所包围的电流 所包围的电流, 则是L所包 围的电流代数和. 围的电流代数和. 3)定理揭示了真空中B的环流只跟被包围的 )定理揭示了真空中 的环流只跟被包围的 电流代数和有关,没有被L所包围的电流对 所包围的电流对B 电流代数和有关,没有被 所包围的电流对 的环流没有贡献. 的环流没有贡献. 4)∫LB d l ≠ o 说明为非保守场 也称涡旋场 . ) 说明为非保守场(也称涡旋场 也称涡旋场). 5)学习时注意与电场的高斯定理进行比较. )学习时注意与电场的高斯定理进行比较.
× × × × ×
×
×
×
R1 R2 解:分析磁场分布: 分析磁场分布: 已知:R1,R2匝数N 已知: 匝数 电流I 电流
作半径为r的安培环路 作半径为 的安培环路L 的安培环路
π 当 R R << r 取圆周的平均值代替 2 r 2 1
R +R 2 L =2 π 1 平 2 0NI N B= = 0nI n = L L 平 平
R r L
1)作半径为 r (R ≤ r < ∞) ) 的安培环路L 的安培环路L
r
R
也是以中心 轴线为对称 的分布. 的分布.
∫ B dl = ∑I = I ∫ B dl = ∫ Bcos0 dl = I B∫ dl =B2πr = I I
BC
电场安培环路定理公式
电场安培环路定理公式电场安培环路定理，又称为法拉第环路定理，是电磁学中的一个基本定理。
它描述了电场的环路积分与该环路所围面积内的电流之间的关系。
根据安培环路定理，电场的环路积分等于该环路内部的电流总和除以介质的电导率。
安培环路定理是电磁学中的一个重要概念，它是由法拉第在19世纪提出的。
在他的实验中，法拉第发现通过电导体中的电流所产生的磁场可以影响到该电导体周围的电场。
这个发现揭示了电磁场的相互作用性质，为电磁学的发展奠定了基础。
根据电场安培环路定理，当一个闭合回路中存在电流时，该回路内的环路积分等于该回路所围面积内的电流总和除以介质的电导率。
这个定理可以用一个简单的公式来表示：∮E·dl = I/ε其中，∮E·dl表示电场的环路积分，I表示该回路所围面积内的电流总和，ε表示介质的电导率。
这个公式的意义在于，它描述了电场的环路积分与该环路内的电流之间的关系。
通过测量电场的环路积分，我们可以获得该环路内的电流大小。
这对于电磁学的研究和应用具有重要的意义。
在实际应用中，电场安培环路定理可以用来计算电路中的电流分布。
通过测量电场的环路积分，我们可以确定电路中不同位置的电流强度，从而帮助我们分析电路的特性和性能。
这对于电路设计和故障诊断都非常重要。
除了在电路中的应用外，电场安培环路定理还可以应用于电磁波的传播研究。
通过测量电场的环路积分，我们可以了解电磁波的传播路径和强度分布，从而帮助我们优化电磁波的传输和接收。
电场安培环路定理是电磁学中的一个重要定理，它描述了电场的环路积分与该环路内的电流之间的关系。
通过测量电场的环路积分，我们可以获得电路中的电流分布和电磁波的传播特性。
这对于电路设计、故障诊断和电磁波传播研究都具有重要的意义。
电场安培环路定理的应用范围非常广泛，它为电磁学的发展做出了重要贡献。