高中数学 第一章 三角函数 1.3 三角函数的诱导公式(一)学案(含解析)新人教A版必修4
第一课时 三角函数的诱导公式(一)
[提出问题]
问题1：锐角α的终边与π＋α角的终边位置关系如何？它们与单位圆的交点的位置关系如何？任意角α与π＋α呢？
提示：无论α是锐角还是任意角，π＋α与α的终边互为反向延长线，它们与单位圆的交点关于原点对称．
问题2：任意角α与－α的终边有怎样的位置关系？它们与单位圆的交点有怎样的位置关系？试用三角函数的定义验证－α与α的三角函数值的关系．
提示：α与－α的终边关于x 轴对称，它们与单位圆的交点P 1与P 2关于x 轴对称，设
P 1的坐标为(x ，y )，则P 2的坐标为(x ，－y )．sin(－α)＝－y ＝－sin α，cos(－α)＝x ＝
cos α，tan(－α)＝－y
x
＝－tan α.
问题3：任意角α与π－α的终边有何位置关系？它们与单位圆的交点的位置关系怎样？试用三角函数定义验证α与π－α的各三角函数值的关系．
提示：
α与π－α的终边关于y 轴对称，如图所示，设P 1(x ，y )是α的终边与单位圆的交点，则π－α与单位圆的交点为P ′(－x ，y )，P 1，P ′关于y 轴对称，由三角函数定义知，sin(π－α)＝y ＝sin α，cos(π－α)＝－x ＝－cos α，tan(π－α)＝y
－x
＝－tan α.
[导入新知] 1．诱导公式二
(1)角π＋α与角α的终边关于原点对称． 如图所示．
(2)公式：sin(π＋α)＝－sin_α. cos(π＋α)＝－cos_α.
tan(π＋α)＝tan_α. 2．诱导公式三
(1)角－α与角α的终边关于x 轴对称． 如图所示．
(2)公式：sin(－α)＝－sin_α. cos(－α)＝cos_α. tan(－α)＝－tan_α. 3．诱导公式四
(1)角π－α与角α的终边关于y 轴对称．
如图所示．
(2)公式：sin(π－α)＝sin_α. cos(π－α)＝－cos_α. tan(π－α)＝－tan_α. [化解疑难]
对诱导公式一～四的理解
(1)公式两边的三角函数名称应一致．
(2)符号由将α看成锐角时α所在象限的三角函数值的符号决定．但应注意，将α看成锐角只是为了公式记忆的方便，事实上α可以是任意角.
[例1] (1)sin(－1 200°)；(2)tan 945°；(3)cos 119π
6
.
[解] (1)sin(－1 200°)＝－sin 1 200°＝－sin(3×360°＋120°)＝－sin 120°＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－
32
；
(2)tan 945°＝tan(2×360°＋225°)＝tan 225°＝tan(180°＋45°)＝tan 45°＝1； (3)cos 119π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫20π－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝cos π6＝32.
[类题通法]
利用诱导公式解决给角求值问题的步骤
[活学活用]
求sin 585°cos 1 290°＋cos(－30°)sin 210°＋tan 135°的值． 答案：tan θ
[例2] 化简：(1)
π－α＝________； (2)
＋α
α－－180°－α
－α－
＝________.
[答案] (1)1 (2)－1 [类题通法]
利用诱导公式一～四化简应注意的问题
(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的； (2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变；
(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切． [活学活用] 化简：
π－θ
π－θ
π－θ
－cos θ
π＋θ
.
答案：tan θ
[例3] (1)已知sin β＝3，cos(α＋β)＝－1，则sin(α＋2β)的值为( )
A ．1
B ．－1 C.13
D ．－1
3
(2)已知cos(α－55°)＝－1
3，且α为第四象限角，求sin(α＋125°)的值．
[解] (1)D
(2)∵cos(α－55°)＝－1
3<0，且α是第四象限角，
∴α－55°是第三象限角， ∴sin(α－55°)＝－1－cos
2
α－
＝－223
.
∵α＋125°＝180°＋(α－55°)， ∴sin(α＋125°)＝sin[180°＋(α－55°)] ＝－sin(α－55°)＝22
3.
[类题通法]
解决条件求值问题的策略
(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． [活学活用]
已知sin(π＋α)＝－1
3
，求cos(5π＋α)的值．
解：当α是第一象限角时，cos(5π＋α)＝－22
3；当α是第二象限角时，cos(5π＋
α)＝223
.
3.忽视对参数的讨论导致错误
[典例] 化简：cos ⎣
⎢
⎡⎦
⎥⎤n ＋
π
4
＋α＋cos ⎣
⎢
⎡⎦
⎥⎤n －
π
4
－α(n ∈Z)＝________.
[解析] 原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋π4＋α＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤n π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α.
当n ＝2k (k ∈Z)时，
原式＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋α＋cos －π4＋α
＝2cos π
4＋α.
当n ＝2k ＋1(k ∈Z)时，
原式＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α ＝－2cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋α. 故原式＝⎩⎪⎨
⎪⎧
2cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋α，n 为偶数，－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α，n 为奇数.
[答案] ⎩⎪⎨
⎪⎧
2cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋α，n 为偶数，－2cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋α，n 为奇数
[易错防范]
1．本题易混淆n π＋α(n ∈Z)和2k π＋α(k ∈Z)的区别，不对n 进行奇偶性的讨论，错
用诱导公式一，得出2cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋α的错误答案． 2．在化简三角函数式时，若含有参数，要注意是否需要进行分情况讨论． [成功破障] 化简：
α＋n π＋
α－n πα＋n π
α－n π
(n ∈Z)．
答案：原式＝⎩⎪⎨⎪⎧
2cos αn 为偶数，
－2
cos αn 为奇数
[随堂即时演练]
1.如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－55，255，则cos(π－θ)的值为( )
A ．－25
5
B ．－
55
C.55
D ．25
5
答案：C
2．已知sin(π＋α)＝4
5，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是( )
A ．－35 B.35
C ．±35 D.45
答案：B
3．设tan(5π＋α)＝m ，则α－3π＋
π－α－α－
π＋α
＝______.
答案：m ＋1
m －1
4.
－
sin 495°＋
－
的值是________．
答案：2－2
5．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π6的值． 答案：－
3
3
[课时达标检测]
一、选择题
1．sin(－225°)＝( ) A.
2
2
B ．－
22
C.12
D.32 答案：A
2．已知sin(π＋α)＝－1
2，那么cos α的值为( )
A ．±12 B.12
C.32
D ．±
32
答案：D
3．若cos(－80°)＝k ，则tan 100°＝( ) A.
1－k
2
k
B ．－1－k
2
k
C.
k
1－k
2
D ．－
k
1－k
2
答案：B
4．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝13，则tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2π3＋α＝( ) A.1
3 B ．－1
3
C.23
3
D ．－23
3
答案：B 5．若α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，3π2，tan(α－7π)＝－34，则sin α＋cos α的值为( ) A ．±15
B ．－1
5
C.15 D ．－7
5
答案：B 二、填空题
6．已知cos(508°－α)＝12
13，则cos(212°＋α)＝________.
答案：1213
7．设函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β都是非零实数，且满足f (2 016)＝－1，则f (2 017)的值为________．
答案：1
8．已知f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
sin πx
x ，
f x －
－x
，
则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫116的值为________． 答案：－2 三、解答题 9．化简：1＋2sin 280°·cos 440°
sin 260°＋cos 800°.
解：原式＝
1＋
－
＋
＋＋
＋
＝
1－2sin 80°·cos 80°
－sin 80°＋cos 80°
＝sin 2
80°＋cos 2
80°－2sin 80°·cos 80°－sin 80°＋cos 80°
＝－
2
－sin 80°＋cos 80°
＝|cos 80°－sin 80°|
cos 80°－sin 80°
＝
sin 80°－cos 80°
cos 80°－sin 80°
＝－1.
10．已知cos(α－75°)＝－1
3，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．
解：∵cos(α－75°)＝－1
3<0，且α为第四象限角，
∴α－75°是第三象限角． ∴sin(α－75°)＝－1－cos 2
α－
＝－
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫－132
＝－223.
∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)] ＝－sin(α－75°)＝22
3
.
11．已知
1＋
θ＋1－
θ－
＝3＋22，
求[cos 2
(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos(π－θ)＋2sin 2
(θ－π)]·1
cos
2
－θ－2π
的
值．
解：由
1＋θ＋1－ta
θ－
＝3＋22，
得(4＋22)tan θ＝2＋22， 所以tan θ＝2＋224＋22＝2
2
，
故[cos 2(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos(π－θ)＋2sin 2
(θ－π)]·1
cos 2
－θ－2π
＝(cos 2θ＋sin θcos θ＋2sin 2
θ)·1cos 2θ
＝1＋tan θ＋2tan 2
θ
2 2＋2×
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫2
2
2＝2＋
2
2
.
＝1＋
新人教A版必修4高中数学1.3三角函数的诱导公式(1)教学案
高中数学 1.3三角函数的诱导公式(1)教学案新人教A版必修4 学习目标： 1、利用单位圆探究得到诱导公式二，三，四，并且概括得到诱导 公式的特点。2、理解求任意角三角函数值所体现出来的化归思想。 3、能初步运用诱导公式进行求值与化简。 教学重点： 诱导公式的探究，运用诱导公式进行求值与化简，提高对单位圆与三角函数关系的认识。 教学难点： 诱导公式的灵活应用 教学过程： 一、复习引入： 1、诱导公式一:（角度制表示） （） （弧度制表示） （）
2、诱导公式（一）的作用： 其方法是先在0o―360o内找出与角α终边相同的角，再把它写成诱导公式（一）的形式，然后得出结果。 二、讲解新课： 由正弦函数、余弦函数的定义，即可得sin α=y ， cos α=x, sin(180o+α)=-y, 所以 :sin(180o+α诱导公式二： 类比公式二的得来，得： 诱导公式三： 类比公式二,三的得来，得： 诱导公式四： P 0
对诱导公式一，二，三，四用语言概括为： α+k ·2π（k ∈Z ），—α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值， 前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号． （函数名不变，符号看象限。） 三、例题讲解 例1．将下列三角函数转化为锐角三角函数。 （1）cos π9 13 (2)sin(1+π) (3)sin(5π-) (4)cos(π513 -) 例2．求下列三角函数值： （1）cos210o； (2)sin （— 4 5π ）
变式练习 1、 求下列三角函数值：（1）11sin 6π；（2）17sin()3 π - ． （3）sin(－3 4π )； (4)cos(－60o)－sin(－210o) 2、求下列三角函数值： (1)cos （—420o） （2）sin(π6 7-) (3)sin(—1305o) (4)cos(π6 79 -) 例3.化简 ) 180sin()180cos() 1080cos()1440sin(?--?-?-?-?+?αααα
高中数学第一章三角函数第3节三角函数的诱导公式第2课时诱导公式五六教案含解析新人教A版必修4
第2课时 诱导公式五、六 [核心必知] 1．预习教材，问题导入 根据以下提纲，预习教材P 26～P 27的内容，回答下列问题． 如图所示，设α是任意角，其终边与单位圆交于点P 1(x ，y )，与角 α的终边关于直线y ＝x 对称的角的终边与单位圆交于点P 2. (1)P 2点的坐标是什么？ 提示：P 2(y ，x )． (2)π 2－α的终边与角α的终边关于直线y ＝x 对称吗？它们的正弦、余弦值有何关 系？ 提示：对称．sin ? ????π2－α＝cos α，cos ? ?? ??π2－α＝sin α. 2．归纳总结，核心必记 (1)诱导公式五和公式六
(2)诱导公式的记忆 诱导公式一～六可归纳为k ·π 2±α的形式，可概括为“奇变偶不变，符号看象限”： ①“变”与“不变”是针对互余关系的函数而言的． ②“奇”、“偶”是对诱导公式k ·π 2 ±α中的整数k 来讲的． ③“象限”指k ·π2±α中，将α看成锐角时，k ·π 2±α所在的象限，根据“一全 正，二正弦、三正切，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号． [问题思考] (1)诱导公式五、六中的α是任意角吗？ 提示：是． (2)在△ABC 中，角A 2与角B ＋C 2的三角函数值满足哪些等量关系？ 提示：∵A ＋B ＋C ＝π，∴A 2＝π2－B ＋C 2， ∴sin A 2＝sin ? ????π2－ B ＋ C 2＝cos B ＋C 2， cos A 2＝cos ? ?? ??π2－ B ＋ C 2＝sin B ＋C 2. [课前反思] (1)诱导公式五： ； (2)诱导公式六： .
高中数学 第一章 三角函数 1.3 三角函数的诱导公式(一)学案(含解析)新人教A版必修4
第一课时 三角函数的诱导公式(一) [提出问题] 问题1：锐角α的终边与π＋α角的终边位置关系如何？它们与单位圆的交点的位置关系如何？任意角α与π＋α呢？ 提示：无论α是锐角还是任意角，π＋α与α的终边互为反向延长线，它们与单位圆的交点关于原点对称． 问题2：任意角α与－α的终边有怎样的位置关系？它们与单位圆的交点有怎样的位置关系？试用三角函数的定义验证－α与α的三角函数值的关系． 提示：α与－α的终边关于x 轴对称，它们与单位圆的交点P 1与P 2关于x 轴对称，设 P 1的坐标为(x ，y )，则P 2的坐标为(x ，－y )．sin(－α)＝－y ＝－sin α，cos(－α)＝x ＝ cos α，tan(－α)＝－y x ＝－tan α. 问题3：任意角α与π－α的终边有何位置关系？它们与单位圆的交点的位置关系怎样？试用三角函数定义验证α与π－α的各三角函数值的关系． 提示： α与π－α的终边关于y 轴对称，如图所示，设P 1(x ，y )是α的终边与单位圆的交点，则π－α与单位圆的交点为P ′(－x ，y )，P 1，P ′关于y 轴对称，由三角函数定义知，sin(π－α)＝y ＝sin α，cos(π－α)＝－x ＝－cos α，tan(π－α)＝y －x ＝－tan α. [导入新知] 1．诱导公式二 (1)角π＋α与角α的终边关于原点对称． 如图所示． (2)公式：sin(π＋α)＝－sin_α. cos(π＋α)＝－cos_α.
tan(π＋α)＝tan_α. 2．诱导公式三 (1)角－α与角α的终边关于x 轴对称． 如图所示． (2)公式：sin(－α)＝－sin_α. cos(－α)＝cos_α. tan(－α)＝－tan_α. 3．诱导公式四 (1)角π－α与角α的终边关于y 轴对称． 如图所示． (2)公式：sin(π－α)＝sin_α. cos(π－α)＝－cos_α. tan(π－α)＝－tan_α. [化解疑难] 对诱导公式一～四的理解 (1)公式两边的三角函数名称应一致． (2)符号由将α看成锐角时α所在象限的三角函数值的符号决定．但应注意，将α看成锐角只是为了公式记忆的方便，事实上α可以是任意角. [例1] (1)sin(－1 200°)；(2)tan 945°；(3)cos 119π 6 . [解] (1)sin(－1 200°)＝－sin 1 200°＝－sin(3×360°＋120°)＝－sin 120°＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－ 32 ；
1.3 三角函数的诱导公式(第一课时) 最新 学案
§1.3 三角函数的诱导公式 (一) 自主学习 1．设α为任意角，则π＋α，－α，π－α的终边与 (1)公式一： sin(α＋2k π)＝________， cos(α＋2k π)＝________， tan(α＋2k π)＝________，其中k ∈Z . (2)公式二： sin(π ＋α)＝__________， cos(π＋α)＝__________， tan(π ＋α)＝________. (3)公式三： sin(－α)＝________， cos(－α)＝________， tan(－α)＝________. (4)公式四： sin(π－α)＝________， cos(π－α)＝__________， tan(π－α)＝__________. 你能否利用π＋α与 α终边之间的对称关系，从任意角三角函数的定义出发推导诱导公式二吗？ 对点讲练 给角求值问题 例1 求下列各三角函数值． (1)sin(－1 200°)；(2)cos 47π 6 ；(3)tan 945°. 回顾归纳 此类问题是给角求值，主要是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．如果是负角，一般先将负角的三角函数化为正角的三角函数，要记住一些特殊角的三角函数值． 变式训练1 求sin 1 200°·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan(－495°)的值． 给值求值问题 例2 已知sin (3π－α) cos (3π－α) ＝2， 求sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)的值． 回顾归纳 (1)诱导公式的使用将三角函数式中的角都化为单角．(2)弦切互化是本题的一个重要技巧，值得关注． 变式训练2 已知cos ????π6－α＝33 ，求cos ????5π6＋α－sin 2????α－π 6的值． 化简三角函数式 例3 化简： sin (－2π－θ)cos (6π－θ)tan (2π－θ) cos (θ－π)sin (5π＋θ). 回顾归纳 解答此类题目的关键是正确运用诱导公式，如果含有参数k (k 为整数)一般需按k 的
高中数学必修四教案-1.3 三角函数的诱导公式(7)-人教A版
1.3三角函数的诱导公式 （第1课时） 一、教材分析 （一）教材的地位与作用： 1、本节课教学内容“诱导公式（二）、（三）、（四）”是人教版数学4，第一章1、3节内容，是学生已学习过的三角函数定义、同角三角函数基本关系式及诱导公式（一）等知识的延续和拓展，又是推导诱导公式（五）的理论依据。 2、求三角函数值是三角函数中的重要问题之一。诱导公式是求三角函数值的基本方法。诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求0°～90°角的三角函数值问题。诱导公式的推导过程，体现了数学的数形结合和归纳转化思想方法，反映了从特殊到一般的数学归纳思维形式。这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法具有重大的意义。
五、教学过程 【环节一：明确目标，揭示意义】 （一）创设问题情景，引导学生观察、联想，导入课题 教师活动：用屏幕显示【1.3三角函数的诱导公式】 教师活动：重现已有相关知识，为学习新知识作铺垫。 1、提问：试叙述三角函数定义 2、提问：试写出诱导公式（一） 3、提问：试说出诱导公式的结构特征 4、板书诱导公式（一）及结构特征： 教师活动：质疑，导出课题 能不能把他们都转化为锐角进行求解 教师活动：板书标题 1.3三角函数的诱导公式 【环节二：巧设疑云，轻松渗透】设置问题情境，渗透数学思想 教师活动：请同学们思考这个问题。用屏幕显示 学生活动：回答，思考解法。 教师活动：第三组我们不会求怎么办？你是如何思考的？有什么想法？我们可以考虑将复杂问题简单化，将未知问题已知化。 学生活动：思考作答。
教师活动：用屏幕显示【探究απ+的诱导公式】 教师活动：用屏幕显示的终边位置关系如何？ 的终边与角）角（ααπ+1 学生活动：观察图像，思考作答。 教师活动：系？的三角函数值有什么关的三角函数值与角角ααπ+)2( 学生活动：观察图像，思考作答 教师活动：教师做好引导 【环节三：形成概念，升华认知】 教师活动：这是我们本节课的第一个知识点。 板书 诱导公式二 诱导公式二： 用弧度制可表示如下： 师生活动：公式（二）的结构特征和作用： 教师活动：类比公式二，我们来探究公式三 用屏幕显示 的终边有什么关系？ 的终边与角）（给定一个角ααα -1 系？的三角函数值有什么关三角函数值与角）（αα-2 学生活动：小组合作探究 学生活动：分组汇报探究方法和结论 教师活动：这是我们本节课的第三个知识点。板书（公式（三））。 板书 诱导公式三 诱导公式二： 用弧度制可表示如下： 师生活动：（公式三）的结构特征和作用： 教师活动：用屏幕显示 学生活动：独立探究 学生活动：汇报探究方法和结论 教师活动：点评、板书公式四 教师活动：用屏幕显示 系？的三角函数值有什么关的三角函数值与角角）（ααπ-2终边的关系 的终边的与角）角（ααπ-1
人教A版高中数学必修4第一章 三角函数1.3 三角函数的诱导公式教案(1)
课题：1. 3三角函数的诱导公式(第1课时) 教材：人教A版高中数学必修4 Ⅰ．教学内容解析 本节课的教学内容是三角函数的诱导公式中的公式二至公式四，是三角函数的主要性质。前面学生已经学习了诱导公式一和任意角的三角函数的定义，在此基础上继续学习公式二至公式四为下节课研究公式五，公式六以及以后的三角函数求值、化简打好基础。三角函数的诱导公式是圆的对称性的“代数表示”，利用对称性，让学生自主发现终边分别关于原点或坐标轴对称的角的三角函数值之间的关系，使得“数”与“形”得到紧密结合，成为一个整体.诱导公式的学习和推证过程还体现了三角函数之间的内部联系，是定义的延伸与应用，在本章中起着承上启下的作用. 诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求0°～90°角的三角函数值.诱导公式的推导过程，体现了“数形结合”和复杂到简单的“转化”的数学思想方法，反映了从特殊到一般的归纳思维形式．对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法具有积极的作用. 本节课的重点是诱导公式的探究，即利用三角函数的定义借助单位圆，通过寻找角的终边的对称性与角终边与单位圆交点的对称性发现并推导出诱导公式，从而提高对数学知识之间（圆的对称性与三角函数性质）联系的认识。 Ⅱ．教学目标设置 1.能借助三角函数的定义及单位圆的对称性推导出诱导公式,会利用诱导公式进行简单的三角函数式的求值与化简. 2.学生经历自主探究发现问题（任意角的三角函数值与 α α π α π- + -, ,的三角函数值 之间的内在联系），提出研究方法（利用坐标的对称关系，从三角函数的定义得出相应的关系式）并完成推导过程，体会数形结合及转化思想的运用. 3.在探究活动中，学生通过独立思考和合作交流，发展思维，从探索中获得成功的体验，感受数学中结构的对称美，形式的简洁美。 Ⅲ．学生学情分析 授课班级学生敦化市实验中学实验班学生． 1.学生已有认知基础
2019-2020年高中数学 1.3.1三角函数的诱导公式(一)教案 新人教A版必修4
2019-2020年高中数学 1.3.1三角函数的诱导公式（一）教案 新人教A 版必修4 一、教学目标： 1.借助单位圆，推导出正弦、余弦和正切的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题 2.通过公式的应用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程，培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力。 二、重点与难点： 重点：四组诱导公式的记忆、理解、运用。 难点：四组诱导公式的推导、记忆及符号的判断； 三、学法与教学用具： （1）、与学生共同探讨，应用数学解决现实问题； （2）、通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯． 四、教学过程： 创设情境：我们知道，任一角都可以转化为终边在内的角，如何进一步求出它的三角函数值？ 我们对范围内的角的三角函数值是熟悉的，那么若能把内的角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值，则问题将得到解决，这就是数学化归思想 研探新知 1. 诱导公式的推导 由三角函数定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等，即有公式一： ) (tan )2tan()(cos )2cos() (sin )2sin(Z k k Z k k Z k k ∈=+∈=+∈=+α πααπααπα （公式一） 诱导公式（一）的作用：把任意角的正弦、余弦、正切化为之间角的正弦、余弦、正切。 【注意】：运用公式时，注意“弧度”与“度”两种度量制不要混用，如写成 ，3 cos )3603 cos( π π =︒⋅+k 是不对的 【讨论】：利用诱导公式（一），将任意范围内的角的三角函数值转化到角后，又如何将角间的角转化到角呢？ 除此之外还有一些角，它们的终边具有某种特殊关系，如关于坐标轴对称、关于原点对称等。那么它们的三角函数值有何关系呢？ 若角的终边与角的终边关于轴对称，那么与的三角函数值之间有什么关系？特别地，角与角的终边关于轴对称，由单位圆性质可以推得： α αααα αtan )tan(cos )cos(sin )sin(-=-=--=- （公式二） 特别地，角与角的终边关于轴对称，故有
2020-高中数学 第一章 三角函数 1.3.1 诱导公式(一)学案(含解析)新人教A版必修4
学习资料
1。3 三角函数的诱导公式考试标准 课标要点学考 要求 高考 要求 π±α与α的正弦、余弦、正切值的关系 b b 错误!±α与α的正弦、余弦值的关系 b b 知识导图 学法指导 1.熟练掌握相应角的终边上点的坐标的特点，如α与－α的终边关于x轴对称，则两角对应的终边上的点的坐标可分别写为（x，y）和(x，－y)． 2．诱导公式的目的在于将任意角的三角函数化为锐角的三角函数． 3．观察公式一至公式四的结构特征，可以将它们统一成一句话“函数名不变,符号看象限”． 4．观察公式五和公式六的结构特征,可以将它们统一成一句话“函数名改变，符号看象限"． 第1课时诱导公式（一)
错误!诱导公式一～四的理解 (1）公式一～四中角α是任意角． （2)公式一概括为：终边相同的角的同名三角函数值相等． （3）公式一、二、三、四都叫诱导公式，它们可概括如下： ①记忆方法：2kπ＋α，－α,π±α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，概括为“函数名不变，符号看象限”． ②解释:“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号"是指等号右边是正号还是负号;“看象限”是指假设α是锐角,要看原函数名在本公式中角的终边所在象限是取正值还是负值，如sin(π＋α)，若α看成锐角，则π＋α的终边在第三象限，正弦在第三象限取负值，故sin（π＋α)＝－sinα. [小试身手］ 1．判断下列命题是否正确。（正确的打“√”，错误的打“×") （1）点P（x，y）关于x轴的对称点是P′（－x，y)．（) （2)诱导公式中的符号是由角α的象限决定的．(） (3)诱导公式一、二、三、四函数的名称都不变．（） 答案:(1）×（2)×（3)√ 2．对于诱导公式中的角α，下列说法正确的是（） A．α一定是锐角 B．0≤α〈2π
湖北省宜昌市葛洲坝中学高中数学四：1.3三角函数的诱导公式(一)学案
1.3三角函数的诱导公式（一） ¤本课目标：（1）识记诱导公式. （2）理解和掌握公式的内涵及结构特征,会初步运用诱导公 式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简和证 明。 ¤知识要点： 1．角α与(180°＋α)的终边关系如何? 角α与(180°－α)的终边关系如何? 角α与－α的终边关系如何? 2．=+)sin(απ ;=+)cos(απ ；=+)tan(απ 3．=-)sin(α ；=-)cos(α ；=-)tan(α 4．=-)sin(απ ；=-)cos(απ ；=-)tan(απ 5．=-)2 sin(απ ；=-)2cos(απ 6．=+)2sin(απ ；=+)2 cos(απ 一句话概括2～6： ¤例题精讲： 【例1】将下列三角函数转化为锐角三角函数： （1）61sin()5 π= （2）218cos()11 π-= （3）13cos 9 π=
(4）sin(1)π+= (5)121sin()5 π-= （6）123cos()7 π-= 【练习】(1)35cos()4π= （2）46sin()3 π-= 【例2】将下列三角函数转化为锐角三角函数: (1)cos361︒= （2）sin1100︒= （3）sin(123)-︒= (4)cos115︒= （5）sin1730︒= (6）cos(898)-︒= 【练习】（1）cos700︒= （2）sin(1300)-︒= 【例3】利用公式求下列三角函数值： (1)cos225︒ ; （2）11sin 3π； （3)16sin()3 π-； (4）cos(2040)-︒
【练习】 (1)cos(420)-︒; (2）7sin()6 π-; (3）79cos()6π-； (4）sin(1215)-︒ ¤课堂总结:诱导公式的口诀：
高中数学 第一章 三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 第1课时 三角函数的诱导公式(一)限时规范训
第1课时 三角函数的诱导公式（一） 【基础练习】 1．化简1－sin 2 1 180°的结果是( ) A ．cos 100° B ．cos 80° C ．sin 80° D ．cos 10° 【答案】B 【解析】原式＝1－sin 2 1 180°＝1－sin 2 100°＝cos 2 100°＝cos 2 80°＝cos 80°.故选B ． 2．(2018年某某某某校级月考)已知sin(π＋α)＝3 5，α是第四象限的角，则cos(α－ 2π)＝( ) A ．45 B ．－45 C ．±4 5 D ．35 【答案】A 【解析】由sin(π＋α)＝35，得sin α＝－3 5，而cos(α－2π)＝cos α且α是第四 象限角，所以cos α＝1－sin 2 α＝45 .故选A ． 3．下列等式恒成立的是( ) A ．cos(－α)＝－cos α B ．sin(360°－α)＝sin α C ．tan(2π－α)＝tan(π＋α) D ．cos(π＋α)＝cos(π－α) 【答案】D 【解析】根据诱导公式可得cos(－α)＝cos α，sin(360°－α)＝－sin α，tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan(π＋α)，可得A ，B ，C 都不正确，再由cos(π＋α)＝－cos α＝cos(π－α)，可得D 正确．故选D ． 4．sin 2 (2π－α)＋cos(π＋α)·cos(π－α)＋1的值是( ) A ．1 B ．2 C ．0 D ．2sin 2 α 【答案】B
【解析】原式＝sin 2α＋(－cos α)·(－cos α)＋1＝sin 2α＋cos 2 α＋1＝1＋1＝2.故选B ． 5．化简sin 2 α＋π·cos π＋α cos 3－α－π·tan 2 α－2π的结果是( ) A ．1 B ．－1 C ．cos α D ．1cos α 【答案】A 【解析】sin 2α＋π·cos π＋α cos 3－α－π·tan 2 α－2π ＝sin 2 α·－cos α－cos 3α·tan 2 α ＝sin 2 α cos 2 α·sin 2αcos 2 α ＝1.故选A ． 6．(2019年某某某某模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝32，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－α的值为________． 【答案】 3 2 【解析】因为3π4－α＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝32 . 7．(2019年某某某某期末)已知3sin(α－π)＝cos α，则tan(π－α)的值是________． 【答案】1 3 【解析】因为3sin(α－π)＝－3sin(π－α)＝－3sin α，所以－3sin α＝cos α，则tan α＝sin αcos α＝－13.所以tan(π－α)＝－tan α＝1 3 . 8．求值：(1)sin 1 650°；(2)cos ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫－ 28π3. 【解析】(1)sin 1 650°＝sin(4×360°＋210°)＝sin 210°＝sin(180°＋30°)＝－sin 30°＝－1 2 . (2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－28π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－10π＋2π3＝cos 2π3 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3＝－cos π3＝－12. 9．已知 cos 180°＋αsin α＋360°sin 540°＋α sin －α－180°cos －180°－α ＝lg 1310 ，求
2019-2020年高中数学1.3第12课时三角函数的诱导公式(1)教案理新人教A版必修4
2019-2020年高中数学1.3第12课时三角函数的诱导公式（1）教案理新 人教A 版必修4 课时：12 课型：新授课 教学目标： 一、知识目标： （1）识记诱导公式。 （2）理解和掌握公式的内涵及结构特征，会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简和证明。 2、能力目标： （1）通过诱导公式的推导，培养学生的观察力、分析归纳能力，领会数学的归纳转化思想方法。 （2）通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式。 （3）通过基础训练题组和能力训练题组的练习，提高学生分析问题和解决问题的实践能力。 教学重点与难点： 二．教学重点：诱导公式的推导及应用。 教学难点：相关角边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识。 三．教学过程： 1.引导学生观察演示（一）【用几何画板演示】，从三角函数的定义及几何意义入手，很容易就可以得到透导公式（1），因为终边相同，所以三角函数一定相同 （一）.诱导公式（一） sin (2k π+α) ， , （k∈Z） 例1：化简下列各式： (1). Sin3610 (2). tan3900 (3).sin0 例2：化简：cos(－174π)－sin(－17π 4) 2.引导学生观察演示（二）【用几何画板演示】，从三角函数的定义及几何意义入手，很容易就可以得到透导公式（2），因为终边在一边直线上，所以坐标对称，根据三角函数的定义及
三角函数线就可以得出 （二）. 诱导公式（二） sin(+)=－sin ， cos(+)=－cos ，(+)= 例3：(1).sin210 (2).cos420 例4：若α是第三象限角，则＝________. 3. 引导学生观察演示（三）【用几何画板演示】，从三角函数的定义及几何意义入手，很容易就可以得到透导公式（2），因为终边在关于X 对称，所以根据坐标对称，根据三角函数的定义及三角函数线就可以得出 （三）. 诱导公式（三） sin(-)=sin ， cos(-)=－cos ，(-)=- 例5： ，求 例6：已知函数f(x)=++1， ，求函数的最小值。 （四）. 诱导公式（四） Sin(－)=－sin ， cos(－)=cos ， (－)=－ 例7：(1).sin(-2100 ) (2). tan(-4200 ) 例8：已知函数f (x )＝a sin(k πx -α)＋b cos(k πx -β)，k ，且f (xx)＝3，求f (xx)的值。 解析：当k 为奇数时-3，当k 为偶数时为3 （四）强化练习： 1.记,那么( B ) A. B.- C. D.- 2. 已知f (α)＝ π－α π－α－π－α α ，则f ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫－ 31π3的值为(B) A.12 B ．－1 3 C ．－12 D.13 3. 已知sin(3π＋α)＝2cos(-)，求下列各式的值： (1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α； (2)sin 2 α＋sin 2α. 解：解：由已知得sin α＝2cos α. (1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－1 6. (2)原式＝sin 2 α＋2sin αcos α sin 2α＋cos 2 α
高中数学 第一章 三角函数 1.3 三角函数的诱导公式(1)课时提升作业2 新人教A版必修4-新人教
三角函数的诱导公式(一) 一、选择题(每小题3分，共18分) 1.计算sin2150°+sin2135°+2sin210°+cos2225°的值是( ) A. B. C. D. 【解析】选A.原式=sin230°+sin245°-2sin30°+cos245°=+-1+=. 2.(2014·某某高一检测)sin的值是( ) A. B.- C. D.- 【解析】选A.sin=sin=sin=. 3.已知sin(π+θ)<0，cos(θ-π)>0，则下列不等关系中必定成立的是( ) A.sinθ<0，cosθ>0 B.sinθ>0，cosθ<0 C.sinθ>0，cosθ>0 D.sinθ<0，cosθ<0 【解析】选B.sin(π+θ)=-sinθ<0，所以sinθ>0； cos(θ-π)=-cosθ>0，所以cosθ<0，应选B. 4.cos(k∈Z)的值为( ) A.± B. C.- D.± 【解析】选A.当k=2n(n∈Z)时，原式=cos=；
当k=2n+1(n∈Z)时，原式=cos=-cos=-. 5.(2014·某某高一检测)已知sin(π+α)=，且α是第四象限角，那么cos(α-2π)的值是( ) A. B.- C.± D. 【解析】选A.sin(π+α)=-sinα=， 所以sinα=-； cos(α-2π)=cosα==. 【变式训练】已知cos(π+α)=-，则tan(α-9π)=. 【解析】cos(π+α)=-cosα=-，cosα=， 所以tanα=±， tan(α-9π)=-tan(9π-α)=-tan(π-α)=tanα=±. 答案：± 6.已知tan=，则tan= ( ) A. B.- C. D.- 【解题指南】解答本题时注意+=π.
高中数学第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式第1课时课后习题新人教A版必修4
第1课时诱导公式二、三、四 课后篇巩固探究 1.已知sin,则角θ的终边在() A.第一或第二象限 B.第二或第三象限 C.第一或第四象限 D.第三或第四象限 解析由已知得-sin θ=,所以sin θ=-,故角θ的终边在第三或第四象限. 答案D 2.sin--cos--tan的值为() A.-2 B.0 C. D.1 解析原式 =-sin-cos-tan =-sin-cos-tan- =-+cos+tan=-+1=1. 答案D 3.若cos(π-α)=-,则cos(-2π-α)的值为() A. B.± C.- D.± 解析∵cos(π-α)=-cos α=-,∴cos α=.
∴cos(-2π-α)=cos(-α)=cos α=. 答案A 4.已知tan(π-α)=,则 - =() A. B.- C. D.-解析由已知得-tan α=,所以tan α=-. 于是 -- =- -- =-. 答案B 5.记cos(-80°)=k,则tan 100°等于() A.- B.- - C. -D.- - 解析∵cos(-80°)=cos 80°=k,sin 80°=-°-,∴tan 100°=-tan 80°=-- . 故选B. 答案B 6.若角7π-α的终边与单位圆的交点坐标是,则cos(α-2 018π)=() A.± B.± C. D.- 解析依题意,sin(7π-α)=,即sin α=,于是cos α=±,故cos(α-2 018π)=cos α=±.答案A 7.设函数f(x)(x∈R)满足f(x+π)=f(x)+sin x.当0≤x<π时,f(x)=0,则f=() A. B. C.0 D.-
精品2019高中数学第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式知识巧解学案新人教A版必修54
1.3 三角函数的诱导公式 疱工巧解牛 知识•巧学 一、公式二(π+α与α的三角函数关系) 1.公式 sin(π+α)=-sin α cos(π+α)=-cos α tan(π+α)=tan α 2.公式二的推导 设β∈［0,2π),α∈［0, 2π］，则以下四种情形中有且仅有一种成立.β=α,β∈［0,2 π)或β=π-α,β∈［2 π,π)或β=π+α,β∈［π,23π)或β=2π-α,β∈［23π ,2π). 在以上四种情形中，π+α的终边可由角α的终边按逆时针方向旋转π rad 而得到， 即角π+α终边上的点关于原点的对称点一定在角α的终边上. 如图1-3-2，不妨设α为任意角，若角α的终边与单位圆交于点P(x ，y)，则其反向延长线(即π+α角的终边)与单位圆交于点P′(-x ，-y). 图1-3-2 由于单位圆的半径是1，即r=1，根据任意角的正弦、余弦函数的定义，可得sin α=y ，cos α=x ，tan α= x y ;sin(π+α)=-y ，cos(π+α)=-x,tan(π+α)=x y x y =--. 于是，我们得到公式二. 特别地，由于角π+α与角α的终边关于原点对称，故有公式成立. 二、公式三(-α与α的三角函数关系) 1.公式 sin(-α)=-sin α cos(-α)=cos α tan(-α)=-tan α 2.公式三的推导
由于360°-α角是与-α角的终边相同的角，所以它的同名三角函数值相等，而α与-α是按不同的方向旋转形成的绝对值大小相同的角.显然，α角与-α角的终边关于x 轴对称. 设角α的终边与单位圆相交于点P(x ，y)，则角-α的终边与单位圆的交点为P′(x，-y)，如图1-3-3. 图1-3-3 由于单位圆的半径r=1，根据任意角的正弦、余弦函数的定义，可得sin α=y ，cos α=x ，tan α= x y ，sin(-α)=-y ，cos(-α)=x ，tan(-α)=x y x y -=-. 于是，我们得到公式三.特别地,角-α与角α的终边关于x 轴对称,故有公式成立. 学法一得 因为正、余弦函数的定义域是x∈R ，正切函数的定义域是x≠ 2 π +k π,k∈Z ，它们都关于原点对称.故由该公式可知正弦与正切函数是奇函数，余弦函数是偶函数. 三、公式四(π-α与α的三角函数关系) 1.公式 sin(π-α)=sin α cos(π-α)=-cos α tan(π-α)=-tan α 2.公式四的推导 由于sin(π+α)=-sin α，cos(π+α)=-cos α，tan(π+α)=tan α， sin(-α)=-sin α，cos(-α)=cos α，tan(-α)=-tan α， 所以sin(π-α)=sin ［π+(-α)］=-sin(-α)=sin α， cos(π-α)=cos ［π+(-α)］=-cos(-α)=-cos α， tan(π-α)=tan ［π+(-α)］=tan(-α)=-tan α. 于是，我们得到公式四.特别地，角π-α与角α的终边关于y 轴对称，故有公式成立. 学法一得 两个互为补角的角的正弦值相等，余弦值、正切值互为相反数.例如 216s in 65s in ==ππ,2 1 3cos 32cos -=-=ππ,224cos 43cos -=-=ππ. 四、诱导公式 1.公式一、二、三、四都叫做诱导公式，抛去各自的特点，可把它们概括如下：
高中数学学案3：1.3 三角函数的诱导公式(第一课时)
1.3 三角函数的诱导公式（第一课时） 【课前准备】 1．课时目标 （1）正确理解诱导公式（二）～（四）的内容与推导，掌握诱导公式（二）～（四）； （2）会利用相应的诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，能运用其进行化简、求值及证明；（3）要特别注意区分诱导公式中的函数符号． 2．基础预探 （1）诱导公式（二）：sin （π+α）=________，cos （π+α）=________，tan （π+α）=________； （2）诱导公式（三）：sin （－α）=________，cos （－α）=________，tan （－α）=________； （3）诱导公式（四）：sin （π－α）=________，cos （π－α）=________，tan （π－α）=________； （4）我们可以用一段话来概括公式（一）～（四）：α+2k π（k ∈Z ），－α，π±α的三角函数值，等于α的________，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号． 【知识训练】 1．sin210°=（ ） A ． 23 B ．－23 C ．21 D ．－2 1 2 ） A ．sin2－cos2 B ．cos2－sin2 C ．±（sin2－cos2） D ．sin2+cos2 3．设函数f （x ）=a sin （πx +α）+b cos （πx +β），其中a ，b ，α，β都是非零实数，且满足 f （2011）=－2012，则f （2012）的值为（ ） A ．1 B ．－1 C ．2012 D ．－2012 4．tan690°的值为________． 5．已知cos α=31，且－2π ＜α＜0，求α αααtan cos π2sin πtan ⋅-+⋅--）（）（）（的值．
全国通用版2018_2019高中数学第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式第1课时诱导公式二三四检测新人教A版必修
第一章 1.3 第1课时 诱导公式二、三、四 A 级 基础巩固 一、选择题 1．对于诱导公式中的角α，下列说法正确的是( D ) A ．α一定是锐角 B ．0≤α<2π C ．α一定是正角 D ．α是使公式有意义的任意角 2．下列各式不正确的是( B ) A ．sin(α＋180°)＝－sin α B ．cos(－α＋β)＝－cos(α－β) C ．sin(－α－360°)＝－sin α D ．cos(－α－β)＝cos(α＋β) 3．cos(－20π 3)等于( C ) A ．12 B ． 32 C ．－12 D ．－ 32 [解析] cos(－20π3)＝cos 20π3＝cos(6π＋2π3)＝cos 2π3＝cos(π－π3)＝－cos π 3＝ －1 2 ． 4．(2016·潍坊高一检测)tan300°＝( B ) A ． 3 B ．－ 3 C ． 33 D ．－ 33 [解析] tan300°＝tan(360°－60°)＝tan(－60°) ＝－tan60°＝－3． 5．sin600°＋tan240°的值是( B ) A ．－ 32 B ． 32 C ．－1 2＋ 3 D ．1 2 ＋ 3 [解析] sin600°＋tan240°＝sin(360°＋240°)＋tan(180°＋60°)＝sin240°＋tan60°＝sin(180°＋60°)＋tan60°＝－sin60°＋tan60°＝－ 32＋3＝32 ． 6．已知tan5°＝t ，则tan(－365°)＝( C )
A ．t B ．360°＋t C ．－t D ．与t 无关 [解析] tan(－365°)＝－tan365°＝－tan(360°＋5°)＝－tan5°＝－t ． 二、填空题 7．(2016·四川卷)sin750°＝1 2 ． [解析] sin750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin30°＝1 2． 8．已知α∈(0，π2)，tan(π－α)＝－34，则sin α＝3 5． [解析] 由于tan(π－α)＝－tan α＝－34，则tan α＝3 4， 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ sin αcos α＝34 ， sin2α＋cos2α＝1， 得sin α＝±35，又α∈(0，π 2)，所以sin α>0． 所以sin α＝3 5． 三、解答题 9．求值：(1)sin1 320°；(2)cos(－31π 6 )． [解析] (1)sin1 320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin240° ＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－ 32 ． (2)cos(－31π6)＝cos(－6π＋5π6)＝cos 5π 6 ＝cos(π－π6)＝－cos π6＝－3 2． 10．已知 ＋α α＋ ＋α －α－ －180°－α ＝lg 13 10，求 π＋αcos α π－α －1]＋ α－2πcos απ－α＋α－2π 的值． [解析]∵＋αα＋ ＋α －α－－180°－α ＝ －cos αα＋α － ＋α ＋α
专题1.3 三角函数的诱导公式重难点题型(举一反三)(解析版)
专题1.3三角函数的诱导公式重难点题型【举一反三系列】 【知识点1 诱导公式】 诱导公式一：sin(2)sin k απα+=，cos(2)cos k απα+=，tan(2)tan k απα+=，其中k Z ∈ 诱导公式二： sin()sin παα+=-， c o s ()c o s παα+=-，tan()tan παα+=，其中k Z ∈ 诱导公式三： sin()sin αα-=-， cos()cos αα-=，tan()tan αα-=-，其中k Z ∈ 诱导公式四：sin()sin παα-=， cos()cos παα-=-，tan()tan παα-=-，其中k Z ∈ 诱导公式五：sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭， cos sin 2παα⎛⎫ -= ⎪⎝⎭ ，其中k Z ∈ 诱导公式六：sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， cos sin 2παα⎛⎫ +=- ⎪⎝⎭ ，其中k Z ∈ 【知识点2 诱导公式的记忆】
记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角90k α⋅±(k 为常整数)的三角函数值：当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变，然后α的三角函数值前面加上当视α为锐角时原函数值的符号 . 【考点1 利用诱导公式求值】 【方法点拨】对任意角求三角函数值，一般遵循“化负为正，化大为小”的化归方向，但是在具体的转化过程中如何选用诱导公式，方法并不唯一，这就需要同学们去认真体会，适当选择，找出最好的途径，完成求值． 【例1】（2018秋•道里区校级期末）已知点(1,1)P 在角α的终边上，求下列各式的值． （Ⅰ） 2 cos()sin()tan()sin () 2 παπαπ παα+-++-； （Ⅱ）22 33sin( )cos()22cos sin tan() ππ ααααπα+--+-． 【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义求得sin α，cos α，tan α的值，再利用诱导公式即可求得要求式子的值． 【答案】解：角α终边上有一点(1,1)P ， 1x ∴=，1y = ，||r OP == sin y r α∴= = ，cos x r α==，tan 1y x α==， ∴ （Ⅰ）2 2cos()sin()cos sin 1tan 3tan()sin ()2cos παπαααπααπαα+--===-+++-； （Ⅱ）2222 33sin( )cos()(((cos )(sin )1222211cos sin tan()tan 2122 cos sin ππααααααπαααα+-⨯--===--+-----． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 【变式1-1】（2019春•龙潭区校级月考）已知1 tan()2 πα+=-，求下列各式的值： （1）2cos()3sin()4cos(2)sin(4) παπααππα--+-+-；
1.3 三角函数的诱导公式-人教A版高中数学必修四讲义(解析版)
知识点一诱导公式一 设角α的终边与单位圆的交点为P，由三角函数定义知P点坐标为(cos α，sin α)． 思考角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？角π＋α的终边与单位圆的交点P1(cos(π＋α)，sin(π＋α))与点P(cos α，sin α)呢？它们的三角函数之间有什么关系？ 答案角π＋α的终边与角α的终边关于原点对称，P1与P也关于原点对称，它们的三角函数关系如下：诱导公式一 sin(π＋α)＝－sin α， cos(π＋α)＝－cos α， tan(π＋α)＝tan α. 知识点二诱导公式二 思考角－α的终边与角α的终边有什么关系？角－α的终边与单位圆的交点P2(cos(－α)，sin(－α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？它们的三角函数之间有什么关系？ 教材要点学科素养学考高考考法指津高考考向 1.α π+与α的正弦、余 弦、正切值的关系 数学抽象水平1 水平1 1.熟练掌握相应角的终 边上点的坐标的特点。 2.使用诱导公式的目的 在于将任意角的三角函 数转化为锐角的三角函 数。 【考查内容】诱导公式的 应用，三角函数的基本关 系式。 【考查题型】选择题、填 空题 【分值情况】5分 2.α -与α的正弦、余弦、 正切值的关系 数学抽象水平1 水平 1 3.α π-与α的正弦、余 弦、正切值的关系 数学抽象水平1 水平1 4.α π ± 2 与α的正弦、余 弦、正切值的关系 数学抽象水平1 水平1 第三讲三角函数的诱导公式 知识通关
答案 角－α的终边与角α的终边关于x 轴对称，P 2与P 也关于x 轴对称，它们的三角函数关系如下： 诱导公式二 知识点三 诱导公式三 思考 角π－α的终边与角α的终边有什么关系？角π－α的终边与单位圆的交点P 3(cos(π－α)，sin(π－α))与点P (cos α，sin α)有怎样的关系？它们的三角函数之间有什么关系？ 答案 角π－α的终边与角α的终边关于y 轴对称，P 3与P 也关于y 轴对称，它们的三角函数关系如下： 诱导公式三 梳理 公式一～三都叫做诱导公式，它们分别反映了2k π＋α(k ∈Z )，π＋α，－α，π－α的三角函数值与α的三角函数之间的关系，这三组公式的共同特点是： 2k π＋α(k ∈Z )，π＋α，－α，π－α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．简记为“函数名不变，符号看象限”． 知识点四 诱导公式四 完成下表，并由此总结角α，角π 2－α的三角函数值间的关系． (1)sin π6＝12，cos π3＝12，sin π6＝cos π3； (2)sin π4＝22，cos π4＝22，sin π4＝cos π4 ；