高等流体力学——计算
一、 计算题
1．在球坐标系下，θcos 33⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞r a V v r ，θθsin 2133⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+-=∞r a V v ，0=ϕv ，试证明：
a r = 是流面。
[解]：
2．设有一定常流动为：z y u 2+= z x v 2+= y x w +=
求：速度梯度张量，变形速度张量，应力张量，偏应力张量以及作用在球面
1222=++z y x 上的合力。（设流体介质的动力粘性系数为μ，压力函数为p ）
[解]：速度梯度张量 ⎪
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=
∂∂=∇022101110z w z v z u y w y v y
u
x w x v x
u
x u V i j 应力张量 ⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=++-=+-=p p p s s p p P ij kk ij ij ij ij μμμμμμδμδτδ333232)31
(2
偏应力张量 ⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=+=033302320)31
(2μμ
μμ
μμδμτij kk ij ij s s 变形速度张量 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=02
3
23
2301
2310)(21)(21)(21)
(21)(21)(21z w y
w z v x w z u z v y w y v x v
y u z u x w y
u x v x u
S 球面上的合力
s P e F S
r δ⋅=⎰
i z y x r e e e e αϕθϕθϕ=++=
cos sin sin cos sin
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛---==p p p p P ij μμμμμμ333232
⎰⎰
⎰==π
π
δθαϕδϕ
δα0
20
sin ij i ij S
i p s p F
δθϕμθϕμθϕϕδϕ
π
π
)cos 3sin sin 2cos sin (-sin 0
20⎰⎰++=p e x δθϕμθϕθϕμϕδϕ
π
π
)cos 3sin sin -cos sin (2sin 0
20⎰⎰++p e y δθϕθϕμθϕμϕδϕ
π
π
)cos sin sin 3 cos sin (3sin 0
20
⎰⎰
-++p e z
δθϕμθϕμθϕϕδϕ
π
π
)cos 3sin sin 2cos sin (-sin 0
20⎰⎰++=p e F x δθϕμθϕθϕμϕδϕ
π
π
)cos 3sin sin -cos sin (2sin 0
20⎰⎰++p e y δθϕθϕμθϕμϕδϕ
π
π
)cos sin sin 3 cos sin (3sin 0
20
⎰⎰
-++p e z
⎰⎰⎰-++=π
ππ
ππ
πϕδϕθ
ϕϕδϕθ
ϕμϕδϕϕθ
μ0
20
020
20
sin cos sin cos 3sin cos 3p e e e F z y x
0sin cos 2) 3 3(0
=-+=⎰πϕδϕϕπμμy y x e p e e
x
θ
o
r z
y
φ
3．一无限平板的上半空间充满粘性不可压缩流体，平板初始由静止开始于某时刻起沿自身平行方向作周期性的振动，若运动规律为)cos(0t u u ω=，运动中压力不变。求：平板运动所引起流体的运动状态。
[解]：⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪
⎨⎧∆+∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂∆+∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂y y y y x y
x x y x x
x y
x u v y p y u u x u u t u u v x p y u u x u u t
u
y u x
u ρρ110 不考虑质量力、压力，并 u y =0
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂=∆=∂∂=∂∂220y u v u v t
u x
u x x x
x
⎩
⎨
⎧=∞→==0 cos
0 0x x u y t u u y ω 由边界条件，速度分布具有：
)cos(0y t e u u y x αωα-=-
)sin(0y t e u t
u y x
αωωα-=∂∂- )]sin()[cos()(0y t y t e u y
u y x
αωαωαα-+--=∂∂- )]sin()cos()cos()[sin(202
2y t y t y t y t e u y
u y
x αωαωαωαωαα-+---+-=∂∂- )sin(2)sin(200y t e u y t e u y y αωαναωωαα-=--- 22ναω=
ν
ωα2=
)2cos(20y t e
u u y x ν
ωων
ω-
=-
4．不可压缩流体在无界流场中有一对方向相反、强度相等为Γ的线涡，分别置于（h ,0）和（h -,0）两点。这时有无穷远速度为∞V 的均匀来流恰好使得这两个涡线停滞不动。求其流线方程。
[解]：点涡 (0, h ) 和 (0, -h ) 相互感生的速度场使得相应点涡位置的速度为 -V ∞ ，确定Γ 强度，再作叠加。
线涡 ),0(h Γ t h ===ζηξ 0 感生的速度场 教材 p 165（5-5-15）
22222222),0()()(2)
()(10041h y x e x e h y Γt z h y x dt Γrot V y x h h h -+---=-+-+++=⎰∞+∞- ππ （1）
⎰⎰∞+∞-∞+∞--+-+⨯∇=-+-+++=2
222
22222),0()()(4)()(10041t z h y x dt
e Γt z h y x dt Γrot V z h h h
ππ dt e t z h y x •Γz h ⎰+∞∞-⨯-+-+∇=
))
()(1
(4222π a a a ⨯∇+⨯∇=⨯∇ ) (ϕϕϕ
dt e t z h y x e t e h y e x •Γz z y x h
⎰∞+∞-⨯-+-++-+-=23222])()([)-z ()(4π dt t z h y x e x e h y •Γy
x h
⎰∞
+∞--+-+---=
2
3222])()([)(4 π ⎰+∞∞--+-+---=
23222]
)()([])[(4t z h y x dt
e x e h y •Γy x h π +∞
=-∞
=⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎣⎡-+-+-+----=t t y x h z t h y x h y x z
t e x e h y •Γ22222)()(])([])[(
4 π
（0, h ）
（0, -h ）
Γ
Γ
O
V ∞
由题意：
x x h h
y x y x h h e V h e h Γh y x e x e h y Γh V
∞-===---=-+---
=-2
,02
2),0()
2(2)2( )()(2),0(ππ ∞=hV Γh π4
同理，线涡 ),0(h Γ-
t h =-==ζηξ 0 感生的速度场
2
2
),0()()(2h y x e x e h y ΓV y
x h h ++-+-=--
π （2） x x h h
y x y x h h e V h
e Γh y x e x e h y Γh V
∞--==--=-=++-+-=ππ4)()(2),0(,02
2
),0(
∞--=hV Γh π4
分别将 ∞=hV Γh π4和∞--=hV Γh π4带入(1)、(2) 式 ，得到位于( 0, h )和( 0, - h )两点的涡线感生的速度场及无穷远来流的速度场：
2
2
),0()
()(2h y x e x e h y hV V y x h -+---=∞ 22),0()()(2h y x e x e h y hV V y
x h ++-+=∞-
x e -V
∞
于是，总的速度场为：
])
()(2)()(2[2
222x y x y x T e h y x e x e h y h h y x e x e h y h V V
-++-+--+--=∞ y x T e h y x h y x x hV e h y x h y h h y x h y h V V ])
(1
)(1[2]1)()(2)()(2[2
2222222-+-+++-+++--+-=∞∞ y x T e h y x h y x xy
h V e h y x h y x h y h x h y hx y x V V ]
)(][)([8])(][)([58442
2222222242222244-++++++-++--++-=∞∞ 流线方程
dy
xy
h dx h y h x h y hx y x 24222224485844=+--++-
高等计算流体力学讲义(3)
高等计算流体力学讲义（3） §2 Riemann 问题 1．预备知识：Euler 方程解的结构 我们讨论Euler 方程解的结构。在上一节，我们已经得到，在均熵流动条件下，有 const R =±，沿a u dt dx ±= （1） 其中 a u R 1 2 -± =±γ。且全场 S const =。 （2） 在这种情况下，Euler 方程的光滑解有如下几种可能。 1）在求解域中，Riemann 不变量a u R 12 -±=±γ均不为常数。 这是最一般的情况，Euler 方程的解比较复杂，通常无解析解。 2）均匀流：Riemann 不变量a u R 1 2 -±=±γ均为常数。此时，令 R R ±± =， 有： 0000 ()/2 1 () 4 u R R a R R γ+-+-=+-= -， 可见，此时流动是均匀的。 3）简单波：有一个Riemann 不变量在某区域内为常数（00R R or R R ++-- ==）。 以0R R ++=的情况为例。此时 021 R u a R γ++ =+ =-。 （3） 且沿 dx u a dt =-，有 2 1 u a const γ- =-。 这个常数具体的数值与特征线的起点有关。由此我们知道，沿 dx u a dt =-，有
00 ()/21 () 4 u R const a R const γ++=+-= -。 这说明，沿 dx u a dt =-，u 和a 均为常数，即特征线是直线。由均熵条件，密度ρ和压力p 沿特征线 dx u a dt =-也为常数。参见上图，由于u a u -<，所以流线dx u dt =（或流体质点）从左侧穿过特征线dx u a dt =-，这种简单波称为左简单波或向后简单波。简单波可以分为压缩波和稀疏波（膨胀波）两类。设流线与dx u a dt =-交点处，流线的切线方向为ξ 。把（3）式沿ξ 求方向导数，得： 201u a ξγξ ∂∂+=∂-∂ 当 0u ξ ∂>∂，有 ()0,0,0,0a p u c ρξξξξ ∂∂∂∂-<<<>∂∂∂∂。 此时，压力密度沿流线减小，且特征线 dx u a dt =-是发散的。这种简单波称为稀疏波。当0u ξ ∂<∂，有 ()0,0,0,0a p u c ρξξξξ ∂∂∂∂->>><∂∂∂∂。 t x u
高等计算流体力学讲义(2)
高等计算流体力学讲义（2） 第二章 可压缩流动的数值方法 §1. Euler 方程的基本理论 0 概述 在计算流体力学中，传统上，针对可压缩Navier －Stokes 方程的无粘部分和粘性部分分别构造数值方法。其中最为困难和复杂的是无粘部分的离散方法；而粘性项的离散相对简单，一般采用中心差分离散。所以，本章主要研究无粘的Euler 方程的解法。在推广到Navier －Stokes 方程时，只需在Euler 方程的基础上，加上粘性项的离散即可。Euler 方程是一种典型的非线性守恒系统。下面我们将讨论一般的非线性守恒系统以及Euler 方程的一些数学理论，作为研究数值方法的基础。 1非线性守恒系统和Euler 方程 一维一阶非线性守恒系统(守恒律)可写为下列一般形式 =??+??x F t U ，0,>∈t R x （1） 其中U 称为守恒变量，是有m 个分量的列向量，即T m u u u U ),...,(21=。T m f f f F ),...,(21=称为通量函数，是U 的充分光滑的函数，且满足归零条件，即： 0)(lim =→U F U 即通量是对守恒变量的输运，守恒变量为零时，通量也为零。 守恒律的物理意义 设U 的初始值为：0(,0)(),U x U x x =∈R 。如果0()U x 在x ∈R 中有紧支集（即0U 在有限区域以外恒为零），则0(,)()U x t dx U x dx =??R R 。即此时虽然(,)U x t 的分布可以随时 间变化，但其总量保持守恒。 多维守恒律可以写为 )(=++??+??k H j G i F t U （2） 守恒律的空间导数项可以写为散度形式。 守恒系统（1）可以展开成所谓拟线性形式
高等计算流体力学讲义(8)
高等计算流体力学讲义（8） 第三章 不可压缩流动的数值方法 §1 基本方程及其性质 一、基本方程 考虑不可压缩NS 方程： 0?=u （1） ()p t ρρρτ?+?=-?+??u uu f （2） 其中粘性应力为， 2τμ=S （3） 12 ()T = ?+?S u u 如果粘性系数为常数， τμ?=?u （4） 经无量纲化，常粘性系数不可压缩NS 方程可以写为： ()p t υ?=?+?=-?+??u u uu f u ， 其中/υμρ=为运动粘性系数。NS 方程也可以写为无量纲化形式 01()R e p t ?=?+?=-?+ ??u u uu f u 其中ρ已经吸收到p 中（p 代表/p ρ）。不可压缩方程的边界条件为： 固体壁面：wall =u u ， 进口条件：in =u u ，
出口条件： n ?=?u 0。 不可压缩方程中的压力场可以相差任一常数而对速度场无影响，所以压力场只是在相差任意常数的条件下是确定的。为了确定全场压力值，还应指定流场中某一点的压力。 二、不可压N －S 方程的特点： （1） 方程为二阶偏微分方程，二阶项中包含参数μ（粘性系数）。 边界层、分离、湍流… （2） 方程是非线性的，表现为对流项()?uu 。 对一维问题，非线性项为u u x ??。假定u 的波数为k 的Fourier 分量为 ()s i n u u t k x = （5） 则：21sin 22 u u u kx x ?=? 。即振幅由212 u u → ；波数由2k k →。也就是说，振幅呈现非线性变化，且可以产生高频成分。粘性的作用，使得解的结构进一步复杂化，考虑模型方程 2 2 1Re u u t x ??= ?? 把（5）式带入模型方程，得 2 (/Re)()k t u t e -= 可见，雷诺数越大，或频率越低（流动结构的尺度越大），振幅衰减越慢。 综上所述：由于非线性的作用，会产生高频的流动结构；在大雷诺数的条件下，这些高频结构有较长的生命周期，并且与衰减缓慢的低频结构相互作用，使得流动表现出复杂的的非线性、多尺度特征。 （3） 没有压力对时间的偏导数。 由于方程表现出很强的椭圆形，不能利用比较成熟的发展型偏微分方程的数值求解的理论和方法，造成数值求解的困难。尤其是没有明显的计算压力的方程，严格地说，必须耦合求解动量方程和连续方程才能求出压力场和速度场。这种做法，计算量是非常巨大的。目前，不可压缩流动的数值方法还远不如可压缩流动的数值方法更成熟。 三、耦合求解方案 NS 方程的一种可能的求解方案是动量方程和连续方程完全耦合求解，例如可以采用下面的方法。 1 ,,1/2 1/2 11/2 ,,,,,()[]2 n n i j i j n n n n n i j i j h i j i j i j p L t υ +++++-++= ++?u u D uu G u u f
流体力学计算公式
1、单位质量力：m F f B B = 2、流体的运动粘度：ρ μ=v （μ[动力]粘度，ρ密度） 3、压缩系数：dp d dp dV V ρρκ?=?-=11（κ的单位是N m 2）体积模量为压缩系数的倒数 4、体积膨胀系数：dT d dT dV V v ρρα?-=?=11（v α的单位是C K ?1,1） 5、牛顿内摩擦定律：为液体厚）为运动速度，以应力表示为y u dy du dy du A T (,μτμ== 6、静止液体某点压强：为该点到液面的距离）h gh p z z g p p ()(000ρρ+=-+= 7、静水总压力： )h (为受压面积，为受压面形心淹没深度为静水总压力，A p ghA A p p c ρ== 8、元流伯努利方程;'2221112w h g p z g u g p z ++=++ρρ('w h 为粘性流体元流单位重量流体由过流断面1-1运动至过流断面2-2的机械能损失，z 为某点的位置高度或位置水头，g p ρ为测压管高度或压强水头，g u ρ2是单位流体具有的动能，u gh g p p g u 22'=-=ρ，u gh C g p p g C u 22'=-=ρC 是修正系数，数值接近于1） 9、总流伯努利方程:w h g v g p z g v g p z +++=++222 221221111αραρ(α为修正系数通常取1） 10、文丘里流量计测管道流量：)21)(41()()(42 122211g d d d k h k g p z g p z k Q -=?=+-+=πμρρμ 11、沿程水头损失一般表达式：g v d l h f 22 λ=（l 为管长，d 为管径，v 为断面平均流速，g
清华大学 任玉新---高等计算流体力学
主要内容 任玉新 1.Basics 2.Methods for compressible flows 1) The mathematical properties of Euler equations 2) Shock wave and entropy conditions 3) Riemann problem and the Godunov scheme 4) Approximate Riemann solvers: HLL solver and Roe solver 5) TVD scheme 6) ENO/WENO scheme 7) The compact scheme 1
3.Methods for incompressible flows 1) The staggered and the colocated grids 2) The MAC method 3) The SIMPLE method 4) The projection method 5) Other methods 6) Solution of N-S equations on the nonstaggered grid References [1] E. F. Toro, Riemann solvers and numerical methods for fluid dynamics, Springer, 1997 (First edition) [2] J.D. Anderson, Computational fluid dynamics: basics with applications, Springer (清华大学出版社影印版) 2
高等流体力学
扩散：指流体在没有对流混合情况下，流体由分子的随机运动引起的质量传递的一种性质。 本构方程：是反应物体的外部效应与内部结构之间关系的方程。对动力的粘性流体而言，外部黏性应力与内部变形速度之间的关系成为本构方程。 变形速度张量：[]? ??? ? ?????=zz zy zx yz yy yx xz xy xx s εεεεεεεεε,,,,,,,其中，z y v x zz yy xx ??= ??=??=ω εεμε,,， ???? ????+??==x v y yx xy μεε21，?? ? ????+??==z x zx xz μωεε21，???? ????+??==y z v zy yz ωεε21 雷诺应力：在不可压缩流体的雷诺方程中，j i -μμρ称为雷诺应力（i ，j>1,2,3）当i=j 时为法相雷诺应力，不等时称为均向雷诺应力。 镜像法：是确定干扰后流场的方法之一，是一种特别的奇点法。 粘性：流体微团发生相对滑移时产生切向阻力的性质。 不可压缩流体： 0=Dt D ρ 的流体称为不可压缩流体。不可压缩均质流体：C =ρ 可压缩流体：密度随温度和压强变化的流体称为可压缩流体。 紊流：是一种随机的三维非定常有旋流动。紊流的基本特征：1，不规则流动状态；2，参数随时间空间随机变化；3，空间分布大小形状各不相同漩涡；4，具有瞬息万变的流动特征；5，流动参数符合概率规律；6，相邻参数有关联。 流体：通常说能流动的物质为流体，液体和气体易流动，我们把液体和气体称之为流体。严格地说：在任何微小剪切力的持续作用下，能够连续不断变形的物质称为流体，流体显然不能保持一定的形状，即具有流动性。 耗散函数：i i ij x p ??μ' 称为耗散函数Γ，Γ表示单位时间内单位体积流体由机械能耗散成热能 i i ij ij i i ij x v div x p ????????+??? ??-=??=Γμμεδμμμ232'' 应力张量：[]??? ? ??????=zz zy zx yz yy yx xz xy xx p p p p p p p p p p ,,,,,,称为应力张量，它是描述运动黏性流体内任一点应力 状态的物理量。
高等流体力学
概念 第一章绪论 连续介质：但流体力学研究的是流体的宏观运动，不以分子作为流动的基本单元，而是以流体质点为基本单元，把流场看做是由无数流体质点组成的连续体。 流体质点：流场中一个体积很小并可以忽略其几何尺寸，但与分子相比，这个体积可容纳足够多的分子数目的流体元，有一个稳定的平均特性，即满足大数定律 理想流体：忽略流体黏性的流体，即μ=0. 可压缩流体与不可压缩流体：简单地讲，密度为常数的流体为不可压缩流体，如水、石油及低速流动的气体。反之，密度不为常数的流体为可压缩流体。牛顿流体与非牛顿流体：根据流体流动时切应力与流速梯度之间的关系，即牛顿内摩擦定律。凡是符合牛顿内摩擦定律的成为牛顿流体，如水、空气、石油等。否则为非牛顿流体，如污泥、泥石流、生物流体、高分子溶液等 动力粘度与运动粘度：动力粘度又成为动力黏度系数，动力黏度是流体固有的属性。运动粘度又称为运动粘性系数，运动黏性系数则取决于流体的运动状态 体积力与表面力：体积力亦称质量力，是一种非接触力，即外立场对流体的作用，且外立场作用于流体每一质点上，如重力、惯性力、离心力。表面力是一种表面接触力，指流体与流体之间或流体与物体之间的相互作用，主要指压力、切应力、阻力等 定常流与非定常流：又称恒定流与非恒定流。若流场中流体质点的所有运动要素均不随时间变化，则这种流动称为定常流；反之只要有一个运动要素随时间变化则为非定常流 大气层分为5层：对流层、同温层、中间层、电离层及外逸层 第二章流体运动学 描述流体质点的位置、速度及加速度的两种方法，即拉格朗日法和欧拉法 质点导数：亦称随体导数，表示流体质点的物理量对时间的变化率，亦即跟随流体质点求导数 那布拉P9 流体质点的运动轨迹称为迹线 流线：此曲线上任一点的切线方向就是该点流速方向 依照一定次序经过流场中某一固定点的各个质点连线称为脉线，也叫序线。流体线：在流场中任意指定的一段线，该段线在运动过程中始终保持由原来那些规定的质点所组成。
流体力学复习要点(计算公式)
第一章 绪论 单位质量力：m F f B m = 密度值：3 m kg 1000=水ρ，3 m kg 13600=水银 ρ ，3 m kg 29.1=空气 ρ 牛顿内摩擦定律：剪切力：dy du μτ=， 内摩擦力：dy du A T μ= 动力粘度：ρυμ= 完全气体状态方程：RT P =ρ 压缩系数： dp d 1dp dV 1ρρκ= -=V （N m 2 ） 膨胀系数：T T V V V d d 1d d 1ρρα-==(1/C ?或1/K) 第二章 流体静力学+ 流体平衡微分方程：01;01;01=??-=??-=??-z p z y p Y x p X ρρρ 液体平衡全微分方程：)(zdz ydy xdx dp ++=ρ 液体静力学基本方程：C =++=g p z gh p p 0 ρρ或 绝对压强、相对压强与真空度：a abs P P P +=；v a abs P P P P -=-= 压强单位换算：水银柱水柱mm 73610/9800012===m m N at 2/101325 1m N atm = 注： h g P P →→ρ ； P N at →→2m /98000乘以 2/98000m N P a = 平面上的静水总压力：（1）图算法 Sb P = 作用点e h y D +=α sin 1 ) ()2(32121h h h h L e ++= 若01 =h ，则压强为三角形分布，3 2L e y D = = 注：①图算法适合于矩形平面；②计算静水压力首先绘制压强分布图， 且用相对压强绘制。 （2）解析法 A gh A p P c c ρ== 作用点A y I y y C xc C D + = 矩形123bL I xc = 圆形64 4d I xc π= 曲面上的静水总压力： x c x c x A gh A p P ρ==；gV P z ρ= 总压力z x P P P += 与水平面的夹角 x z P P arct an =θ 潜体和浮体的总压力：0=x P 排浮gV F P z ρ== 第三章 流体动力学基础 质点加速度的表达式??? ? ? ? ??? ??+??+??+??=??+??+??+??= ??+??+??+??=z u u y u u x u u t u a z u u y u u x u u t u a z u u y u u x u u t u a z z z y z x z z y z y y y x y y x z x y x x x x A Q V Q Q Q Q Q G A = === ? 断面平均流速重量流量质量流量体积流量g udA m ρρ 流体的运动微分方程： t z t y t x d du z p z d du y p Y d du x p X = ??-=??-=??- ρρρ1;1;1 不可压缩流体的连续性微分方程 ：0z u y u x u z y x =??+ ??+?? 恒定元流的连续性方程：dQ A A ==2211d u d u 恒定总流的连续性方程：Q A A ==2211νν 无粘性流体元流伯努利方程：g 2u g p z g 2u g p z 2 2222 111++=++ρρ 粘性流体元流伯努利方程：w 22222111'h g 2u g p z g 2u g p z +++=++ρρ
高等流体力学第3讲
第三讲 流体静力学 一、 静止流体中的应力特性 静止流体中，流体质点之间没有相对运动，切应力必然为0，又由于流体分子之间的引力很小，流体质点之间几乎不能承受拉力。因此，在静止流体中，只能存在指向作用面的法向应力。即 n p =-p n （3-1） 式中的p n 就是工程流体力学中的流体静压力。上式也可以写成张量形式 P ==0 00000p p p -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥ ⎢⎥-⎣⎦ =p 00000011⎡⎤ ⎢⎥1⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦ = p I （3-2） 式中I 为单位张量。 静止流体中任意一点处的应力无论来自何方均相等，即任意一点处的静压力与作用方向无关。 二、 欧拉平衡方程 惯性坐标系中，任何流体处于静止状态的必要条件是：作用在物体上的合外力为0，即 0∑=F （4-3） 在静止流场中任取一个流体团作为研究对象，作用在其上的质量力可表示为 d ρττ ⎰⎰⎰f （a ） 表面力可表示为 d d A A p A p A -=-⎰⎰⎰⎰n n （b ） 根据第一个平衡条件（3-3）可得 d d =0A ρτp A τ -⎰⎰⎰⎰⎰f n （c ） 根据高斯定理可知，若物理量p 在封闭空间τ中连续且存在连续的一阶导数，则有 d =d A p A p ττ ∇⎰⎰⎰⎰⎰n （d ）
将（d）式代入（c）式则可得
d 0ρp ττ -∇=⎰⎰⎰（）f 由于流体团是任意选取的，所以要使上式成立，则被积函数在该体积内任意点上的数值必须为0，于是有 =0ρp -∇f 或 1 =p ρ ∇f （3-4） 这就是欧拉平衡微分方程式，其在直角坐标系中可写为 111x y z p f ρx p f ρy p f ρz ⎧∂=⎪∂⎪⎪∂=⎨∂⎪⎪∂=⎪∂⎩ （3-5） 同时，合力矩为0是自动满足的。 三、 静压流场的质量力条件（自学） 对于所有的静止流体，（3-4）式均成立，现对其两端同时取旋度可得 1111==+=p p p p ρρρρ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ∇⨯∇⨯∇∇⨯∇∇⨯∇∇⨯∇ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （）f 上式中应用了标量函数梯度的旋度为0这一结论，现证明之 p ∇⨯∇（）=p p p x y z ⎛⎫∂∂∂∇⨯++ ⎪∂∂∂⎝⎭i j k = x y z p p p x y z ∂ ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂i j k =p p p p p p y z z y x z z x x y y x ⎛⎫⎛⎫ ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫---+- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ i j k =0（矢量） 将上式与（3-4）式进行点乘则有
高等流体力学
高等流体力学 第一章 流体力学的基本概念 连续介质：流体是由一个紧挨着一个的连续的质点所组成的，没有任何空隙的连续体，即所谓的连续介质。 流体质点：是指微小体积内所有流体分子的总和。 欧拉法质点加速度：z u u y u u x u u t u dt du a x z x y x x x x x ??+??+??+??== z u u y u u x u u t u dt du a y z y y y x y y y ??+??+??+??= = z u u y u u x u u t u dt du a z z z y z x z z z ??+??+??+??== 质点的随体导数：质点携带的物理量随时间的变化率称为质点的随体导数，用dt d 表示。在欧拉法描述中的任意物理量Q 的质点随体导数表述如下： k Q u t Q dt dQ k ??+??= 式中Q 可以是标量、矢量、张量。质点的随体导数公式对任意物理量都成立，故将质点的 随体导数的运算符号表示如下： k u t dt d k ??+??= 其中 t ??称为局部随体导数，k u k ?? 称为对流随体导数，即在欧拉法描述的流动中，物理量的质点随体导数等于局部随体导数与对流随体导数之和。 体积分的随体导数： ()dV divv dt d dV v div t dS u dV t dV dt d v v n s v v ?? ? ???Φ+Φ=??????Φ+?Φ?=Φ+?Φ?=Φ??????????????()dV adivv dt da dV av div t a dS au dV t a adV dt d v v n s v v ?? ????+=??????+??=+??=?????????????? 变形率张量： 11ε 12ε13ε D ij = 21ε 22ε 23ε 31ε 32ε 33ε 其中ii ε表示所在方向的线性变形率，其余ij ε（j i ≠）为角变形率。D ij 为变形张量。
高等流体力学第5讲
第五讲 气动函数及压力波 一、 气流参数 （一）滞止参数 如果按照一定的过程将气流速度滞止到零，此时气流的参数就叫做滞止参数。滞止状态的概念可以很形象地用图5-1来表示。它是假想把某一点处的气流引入一个容积很大的贮气箱，使其速度滞止到零。 根据一元稳定绝能流动的能量方程式 22 1122 1122 h v h v +=+ 可知气体的焓值随气流速度的减小而增大。如果把气流由速度v 1=v （焓h 1=h ）绝能地滞止到v 2=0，此时所对应的焓值h 2就称为滞止焓，用符号h *表示，则 *21 2 h h v =+ 如果研究的是定热比容的完全气体，h =c p T ，则式（9一22）可改 p c v T T /2 12 * + = （5－1） 式中 T *称为滞止温度，它是把气流速度绝能滞止到零时的温度。 将式(5—1)两边同除以T ，则有 2 * 222 1111/1/()12212p kR k v T T v c T v T k c -=+=+=+ - 所以 *21 1Ma 2 k T T -=+ （5－2） 前面得到了滞止温度与温度的比与Ma 数的关系式，下面我们来推导一下其它滞止参数的表达式。完全气体的状态方程和滞止状态的状态方程可表示为p =ρRT 和p *=ρRT * ，两者相除则有 ***()()p p ρρT T =。 （a ） 对等熵流动有p */ ρ*k =常数，p / ρk =常数，两者相比，则有 **()k p p ρρ=。 （b ） 由式（a ）和（b ）可得 图5-1 滞止参数模型
** 21 1 1() (1Ma )2 k k k k k p p T T ---==+ （5－3） 11 * * 21 1 1()(1Ma )2 k k k ρρT T ---==+ （5－4） 由式（9－2、3、4）可知，气流参数与其滞止参数的比值只是气流Ma 数的函数。这种函数关系是分析和计算气体流动的基础，在气体动力学中占有非常重要地位。 这里应强调的是，在气体动力学中，引进滞止状态的概念是把它作为一个参考状态。对一元流动来讲，每个截面都对应有自己的滞止状态，而与实际流动中的过程无关。也就是说，滞止参数是一个点函数。 引入滞止焓后，一元稳定流动的能量方程可表式为 * 1*2h h w q s -=- （5－5） 对绝能流动而言，有 * *21h h =或*h =常数。 由此可知：一元稳定绝能流动的滞止焓沿流程为一常数，同佯对完全气体，因为 h *=c p T *，所以其滞止温度也保持不变。通过进一步的理论分析可证明，在绝能等熵流动中，所有的滞止参数沿流程都不变。 （二）临界状态参数 将c 2=kRT 及c *2=kRT *引入到绝能等熵的能量方程后，则有 22*121 c v k RT k k +==--常数 （5－6） 由上式可知，c 与v 的关系函数满足椭圆方 程，关系曲线如图5-2所示。从中可以看出， 在气流由滞止状态绝能地向最大流速状态 的变化过程中，必然要经历这样一种状态.即v =c 或Ma=1的状态。气体动力学中称这种状态为临界状态，所对应的气流参数称为气 流的临界状态参数，并标以下标cr ，如p cr 、T cr 、v cr 和c cr 等。显然，v cr =c cr 。 在式(5－6)中令c =v =c cr ，则可得 cr c = （5－7） max /cr v c = （5－8） 利用Ma 数的定义、式(5－2)、(5－3)和（5－4），可得 */2/(1)cr T T k =+， （5－9） * 1 /[2/(1)]k k cr p p k -=+， （5－10） 1*1 /[2/(1)] k cr ρρk -=+。 （5－11） 图5-2 c v 曲线 c
高等流体力学——计算
一、 计算题 1．在球坐标系下，θcos 33⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞r a V v r ，θθsin 2133⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛+-=∞r a V v ，0=ϕv ，试证明： a r = 是流面。 [解]： 2．设有一定常流动为：z y u 2+= z x v 2+= y x w += 求：速度梯度张量，变形速度张量，应力张量，偏应力张量以及作用在球面 1222=++z y x 上的合力。（设流体介质的动力粘性系数为μ，压力函数为p ） [解]：速度梯度张量 ⎪ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂= ∂∂=∇022101110z w z v z u y w y v y u x w x v x u x u V i j 应力张量 ⎪ ⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛---=++-=+-=p p p s s p p P ij kk ij ij ij ij μμμμμμδμδτδ333232)31 (2
偏应力张量 ⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=+=033302320)31 (2μμ μμ μμδμτij kk ij ij s s 变形速度张量 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=02 3 23 2301 2310)(21)(21)(21) (21)(21)(21z w y w z v x w z u z v y w y v x v y u z u x w y u x v x u S 球面上的合力 s P e F S r δ⋅=⎰ i z y x r e e e e αϕθϕθϕ=++= cos sin sin cos sin ⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛---==p p p p P ij μμμμμμ333232 ⎰⎰ ⎰==π π δθαϕδϕ δα0 20 sin ij i ij S i p s p F δθϕμθϕμθϕϕδϕ π π )cos 3sin sin 2cos sin (-sin 0 20⎰⎰++=p e x δθϕμθϕθϕμϕδϕ π π )cos 3sin sin -cos sin (2sin 0 20⎰⎰++p e y δθϕθϕμθϕμϕδϕ π π )cos sin sin 3 cos sin (3sin 0 20 ⎰⎰ -++p e z δθϕμθϕμθϕϕδϕ π π )cos 3sin sin 2cos sin (-sin 0 20⎰⎰++=p e F x δθϕμθϕθϕμϕδϕ π π )cos 3sin sin -cos sin (2sin 0 20⎰⎰++p e y δθϕθϕμθϕμϕδϕ π π )cos sin sin 3 cos sin (3sin 0 20 ⎰⎰ -++p e z ⎰⎰⎰-++=π ππ ππ πϕδϕθ ϕϕδϕθ ϕμϕδϕϕθ μ0 20 020 20 sin cos sin cos 3sin cos 3p e e e F z y x 0sin cos 2) 3 3(0 =-+=⎰πϕδϕϕπμμy y x e p e e x θ o r z y φ
流体力学计算题及答案
例1：用复式水银压差计测量密封容器内水面的相对压强，如图所示。已知：水面高程z 0=3m,压差计各水银面的高程分别为z 1=0.03m, z 2=0.18m, z 3=0.04m, z 4=0.20m, 水银密度 3/13600m kg ρ='，水的密度3/1000m kg ρ= 。试求水面的相对压强p 0。 解： a p z z γz z γz z γp =-----+)(')(')(3412100Θ )()('1034120z z γz z z z γp ---+-=∴ 例2：用如图所示的倾斜微压计测量两条同高程水管的压差。该微压计是一个水平倾角为θ的Π形管。已知测压计两侧斜液柱读数的差值为L=30mm ，倾角θ=30°，试求压强差p 1 – p 2 。 解： 224131)()(p z z γz z γp =-+--Θ θL γz z γp p sin )(4321=-=-∴ 例3：用复式压差计测量两条气体管道的压差（如图所示）。两个U 形管的工作液体为水银，密度为ρ2 ，其连接管充以酒精，密度为ρ1 。如果水银面的高度读数为z 1 、 z 2 、 z 3、 z 4 ，试求压强差p A – p B 。
解： 点1 的压强 ：p A )(21222z z γp p A --=的压强：点 )()(33211223z z γz z γp p A -+--=的压强：点 B A p z z γz z γz z γp p =---+--=)()()(3423211224 )()(32134122z z γz z z z γp p B A ---+-=-∴ 例4：用离心铸造机铸造车轮。求A-A 面上的液体总压力。 解： C gz r p +??? ??-=2 22 1ωρΘ a p gz r p +?? ? ??-=∴2 22 1ωρ 在界面A-A 上：Z = - h a p gh r p +?? ? ??+=∴2221ωρ?? ? ??+=-=∴ ? 2420 218122)(ghR R rdr p p F a R ωπρπ 例5：在一直径d = 300mm ，而高度H = 500mm 的园柱形容器中注水至高度h 1 = 300mm ，使容器绕垂直轴作等角速度旋转。如图所示。 (1)试确定使水之自由液面正好达到容器边缘时的转数n 1； (2)求抛物面顶端碰到容器底时的转数n 2，此时容器停止旋转后水面高度h 2将为多少？ 解：(1)由于容器旋转前后，水的体积不变(亦即容器中空气的体积不变)，有： 1421 4 221ππd L d H h ?=-() ∴=-==L H h mm m 2400041(). 在xoz 坐标系中，自由表面1的方程： g r z 22 20ω= 对于容器边缘上的点，有： m L z m d r 4.015.02 0==== )/(67.1815.04 .08.9222 20 s rad r gz =??== ∴ω ∵ωπ=260n / ∴= =?=n r 1602601867 21783ωππ ..(/min) (2)当抛物面顶端碰到容器底部时，这时原容器中的水将被甩出一部分，液面为图中2 图
高等流体力学
有限空间中变系数一维扩散方程的分析解 摘要 在纵向有限初始溶质自由域变系数的条件下得到一维对流方程的解析解，研究了两个扩散的问题。第一，研究了均匀流中溶质的依时扩散。第二，研究了不均匀流场中溶质的位变扩散，因为流场不均匀性，我们认为速度大小与空间位置有关，扩散系数与速度的平方成比例，在有限空间中，用速度线性插值来代表扩散系数的微小增长。输入条件分别为持续均匀和递增投入溶质，各自比较了解析解和数值解，数值解的计算中，采用速度线性插值来代替扩散系数，即扩散系数与速度成比例。解析解由拉普拉斯变换获得，在这个过程中引入了新的独立空间和时间变量。溶质传输时，时间和流场非均匀性对扩散系数的影响，我们分别在图解的帮助下进行了了研究。 2.均匀流中的依时扩散 2.1均匀持续输入 一维对流变系数扩散方程 其中C代表纵向x处、t时间的溶质浓度，D为溶质扩散系数，u为介质流速度。为了研究均匀流中初始溶质为有限域的依时扩散，我们考虑 m为系数，mt为无量纲量，m=0，t=0时f（mt）=1。前述代表均匀流扩散，后面的代表初始扩散。系数D0和u0分别定义为初始扩散系数和均匀流速度。这样，微分方程（1）在初始和边界条件下可以写为： 其中输入条件假设为源，第二种不稳定均匀条件假设为x=L。C0为参考浓度。 为了方便地应用拉普拉斯变换，必须将微分方程中的依时系数换到方程左边，因此我们引入新的独立变量 mt为无量纲量，所以X与x的量纲相同，X为新的空间变量，动坐标，它与开始介绍的参考文献中的变量不同。引入新的空间变量后，初始和边界值问题可以表示为
为了摆脱依时系数，采用下面的变换 T的量纲与时间变量t相同，T是新的时间变量。而且，选择f（mt）时必须确保t=0时T=0，这样才能使初始条件在新的时间域中不变。引入新的时间变量，初始和边界条件问题（方程8—11）可以表示为 现在，（X，T）域中，初始和边界值问题（13—16）与Cleary and Adrian在（x，t）中的相似。利用拉普拉斯变换，期望的数值解可以写为： X=x/f（mt），X0=L/f（mt），T可以从方程12得到。 2.2 递增性输入条件 由于不同的原因，输入浓度源可能随着时间而增长。为了表示这种情形，考虑在输入条件方程（5）的右边加入C0F(t)，其中F(t)为递增方程。但是这种情况可能也可以描述为混合型或者第三种条件，如下：
高等流体力学作业参考答案-20121215
高等流体力学作业参考答案-20121215 第二章流体力学的基本概念 随堂作业：粘性不可压缩均质流体定常运动（绝热过程）方程组在二维直角坐标系中的形式解： 粘性流体0μ≠，不可压缩均质流体C ρ=，定常流动0t =?，绝热0q =，二维直角坐标 系 0z ?=?。 连续性方程： 0u v x y + =?? 运动方程： , , xy xx x xy yy y P P du F dt x y P P dv F dt x y ρ ρρρ??=++ =+ + 本构方程：12, 312,3xx yy xy u u v P P x x y v u v P P y x y u v P x y μμμ?? =-+-+?? ???????? =-+-+?? ???????? =+ ?
二流线与迹线，加速度 1(2) 2 2 2 2 ,,0,cx cy u v w x y x y == =++c 是常数,试画出流线族; 解： 流线的微分方程为 dx dy u v =,将2 2 2 2 ,cx cy u v x y x y = = ++代入得 2 2 2 2 dx dy cx cy x y x y = ++,积分后 得ln ln x y C -=,得,y Cx z B ==，其中B 、C 为积分常数。 1(8)
2 2 ,2,u x y v xy =-=-求通过1,1x y ==的一条流线; 解: 流线的微分方程为 dx dy u v =,将22 ,2u x y v xy =-=-代入,得 2 2 2dx dy x y xy = --,积分得 32 3y x y C -=,其中C 为积分常数。将1,1x y ==代入,求得2C =-。所求流线方程为 32 320y x y -+=。 1(11)设,,0u x t v y t ω=+=-+=,求通过1,1x y =-=-的流线及0t =时通过 1,1x y =-=-的迹线; 解: 因为0ω=所以流动属于二维运动,z C = 。流线的微分方程为 dx dy u v =,将,u x t v y t =+=-+代入得 d x d y x t y t = +-+,积分整理得 2
高等流体力学习题答案
高等流体力学习题答案 高等流体力学学习题答案 高等流体力学是力学的一个重要分支，研究流体的运动规律和性质。在学习高 等流体力学的过程中，解题是非常重要的环节。本文将为大家提供一些高等流 体力学学习题的答案，帮助大家更好地理解和掌握这门学科。 题目一：在一个封闭的容器中，有一定质量的气体，初始状态下气体的温度、 压力和体积分别为T1、P1和V1。当气体发生等温膨胀时，求膨胀后气体的温度、压力和体积。 解答：根据等温膨胀的特点，气体的温度保持不变。根据理想气体状态方程PV = nRT，其中n为气体的摩尔数，R为气体常数。由于等温膨胀，温度和摩尔数不变，所以有P1V1 = P2V2。解得P2 = P1V1/V2。由于温度不变，所以V2 = V1。代入上式，可得P2 = P1。所以膨胀后气体的温度、压力和体积分别为T1、P1和V1。 题目二：一个圆柱形容器中装有水，高度为H，底面半径为R。求水的压力随 深度的变化规律。 解答：根据流体静力学原理，水的压力与深度成正比。设水的密度为ρ，重力 加速度为g，则单位深度上的压力为ρg。由于水的压力随深度线性增加，所以 在高度为H的位置，水的压力为P = ρgH。由于底面积为πR^2，所以水的总 压力为P_total = ρgHπR^2。 题目三：一个半径为r的球在水中下沉，求球下沉的速度。 解答：根据阿基米德原理，物体在液体中受到的浮力等于物体排开液体的重量。设球的密度为ρ_s，水的密度为ρ_w，重力加速度为g，球的体积为V，则球的
重力为G = ρ_sgVg，球受到的浮力为F = ρ_wVg。根据牛顿第二定律，球受到 的合外力等于质量乘以加速度，即G - F = ρ_sgVg - ρ_wVg = (ρ_s - ρ_w)Vg = m_ag，其中m_a为球的有效质量。所以球下沉的加速度为a = (ρ_s - ρ_w)g。 根据运动学公式v = u + at，其中v为球下沉的速度，u为初始速度，t为时间。由于球的初始速度为0，所以球下沉的速度为v = at = (ρ_s - ρ_w)gt。 通过以上的解答，我们可以看到高等流体力学学习题的答案都是基于一些基本 的原理和公式进行推导和计算的。在学习高等流体力学时，要牢固掌握这些基 本原理和公式，理解其背后的物理意义，才能更好地解决实际问题。同时，还 需要多做一些习题，加强对知识的理解和应用能力。希望本文的答案能对大家 的学习有所帮助。
高等流体力学第2讲
第二讲 流体运动微分方程 一、应力张量 作用在流体上的力可以分为两类，即质量力和表面力两大类。作用在连续介质表面上的表面力通常用作用在单位面积上的表面力——应力来表示，参见图2-1，即 0lim n A A ∆→∆=∆P p （2-1） 式中 n 为表面积ΔA 的外法线方向；ΔP 为作用在表面积ΔA 上的表面力。p n 除了与空间位置和时间有关外，还与作用面的取向有关。因此，有 (,,)n n M t =p p n 需要特别指出，○ 1应力p n 表示的是作用在以n 为外法线方向的作用面上应力，其下标n 并不表示应力的方向，而是受力面的外法线方向，见图2-1；○ 2一般来说，应力p n 的方向并不与作用面的外法线n 一致，p n 除了有n 方向的分量p nn 外，还有τ方向 的分量p n τ。只有当p n τ=0时p n 才与n 的方向一致；○ 3图中ΔA 右侧的流体通过ΔA 作用在左侧流体上的力为ΔP =p n ΔA ，而ΔA 左侧的流体通过ΔA 作用在右侧流体上的 力为ΔP =p －n ΔA ，这两个力互为作用力和反作用力，所以有 n n A A -∆=-∆p p 可得 p n =-p -n （2-2） n －
x y z n n n =++n i j k （2-3） 设ΔABC 的面积为ΔS ，于是ΔMBC 、ΔMCA 、ΔMAB 的面积可分别以ΔS x 、ΔS y 、ΔS z 表示为 x x y y z z S Sn S Sn S Sn ∆=∆⎧⎪ ∆=∆⎨⎪∆=∆⎩ （2-4） 四面体的体积可表示为 1 3 V Sh ∆=∆ 式中h 为M 点到ΔABC 的距离。根据达朗贝尔原理，可给出四面体受力的平衡方程为 0x x y y z z n S S S S V ---∆+∆+∆+∆+∆=p p p p f 当四面体趋近于M 点时，h 为一阶小量，ΔS 为二阶小量，ΔV 为三阶小量，略去高阶小量后可得 0x x y y z z n S S S S ---∆+∆+∆+∆=p p p p 再考虑式（2-2）和（2-4）可得 n x x y y z z n n n =++p p p p （2-5） 上式在直角坐标系中的投影可表示为 nx x xx y yx z zx p n p n p n p =++ ny x xy y yy z zy p n p n p n p =++ （2-6） nz x xz y yz z zz p n p n p n p =++ 上式也可以用矩阵形式表示为 xx xy xz nx ny nz x y z yx yy yz zx zy zz p p p p p p =n n n p p p p p p ⎡⎤⎢⎥ ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣ ⎦ （2-7） 也可以表示为 n =⋅p n P 式中 P =xx xy xz yx yy yz zx zy zz p p p p p p p p p ⎡⎤⎢ ⎥ ⎢⎥⎢⎥⎣ ⎦ （2-8）