北师大版九年级数学上云南省大姚县实验中学至(一)
直角三角形边角关系复习
【导学步骤】 ：1、师生知识回顾 （1） 、直角三角形三边的关系: 勾股定理 a +b =c
2 2 2
（2） 、直角三角形两锐角的关系：两锐角互余 ∠ A + ∠ B = 900 （3） 、直角三角形边与角之间的关系:
北 30 ° 西 45 ° B 南 O 东 A
sin A
b a , cos A , c c a tan A , b
北 东
A 550 250 ┌ C D
D
D
B
30 A
0
50m
60 ┌ B C
0
A
L
B
┌ C
AD
20 tan 55 0 tan 25 0
CD
L tan tan
距离、高、 宽：
CD
50 tan 60 0 tan 30 0
五、变式题：P24 做一做 六、当堂训练：P24 随堂练习 课 1.说一说本节课我有哪些收获?学会了哪些方法！ 堂 小 结
（4） 、方位角 2、学生读题、审题，画出示意图，教师纠正 3、师生分析问题，解决问题 4、教师板书解题过程 5、反思： （1）.根据题意，画出示意图.将实际问题转化为数学问题. （2）.用三角函数和方程的思想解决关于直角三角形的问题. 解题思路
实际问题
过点作垂线
数学问题 (构成直角三角形)
代数方法 求出方程的解 (设未知数列方程)
讨解决问题途径。
点
教 学 难 点
根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图.
预 习 提 纲 1、直角三角形的边角有那些关系？ 2、地图上的方向是如何规定的？ 3、什么叫仰角、俯角? 教学设计 过 程 与 方 法
一.创设问题情境，引入新课 直角三角形就像一个万花筒，为我们展现出了一个色彩斑澜的世界.我们在 欣赏了它神秘的“勾股” 、知道了它的边的关系后，接着又为我们展现了在它的 世界中的边角关系，它使我们现实生活中不可能实现的问题，都可迎刃而解.它 在航海、工程等测量问题中有着广泛应用，例如测旗杆的高度、树的高度、塔高 等. 下面我们就来看一个问题(多媒体演示). 如图,小明想测量塔 CD 的高度.他在 A 处仰望塔顶,测得仰角为 300,再往塔的方向前进 50m 至 B 处,测得仰角为 600,那么该塔有多高?(小 明的身高忽略不计,结果精确到 1m). 现在你能完成这个问题吗? 用到那些知识? 要解决这问题,我们仍需将其数学化. 请与同伴交流你是怎么想的? 准备怎么去做? 二.出示学习目标（学生齐读） 三、展示标杆题 P23 问题情境
云南省昆明市师范大学实验中学昆明校区2024-2025学年上学期10月考试九年级数学试题
云南省昆明市师范大学实验中学昆明校区2024-2025学年上学期10月考试九年级数学试题一、单选题1．下列图形中，是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．下列函数中，y 关于x 的二次函数是（）A ．2y ax bx c =++B ．()1y x x =-C ．21y x =D ．()221y x x =--3．已知二次函数21y x =-+的图象上有三点()13,y -，()21,y -，()32,y 则1y ，2y ，3y 的大小关系是（）A ．123y y y <<B ．132y y y <<C ．312y y y <<D ．321y y y <<4．一元二次方程220x x -=的解是（）A ．13x =，21x =B ．12x =，20x =C ．13x =，22x =-D ．12x =-，21x =-5．已知二次函数的解析式为22y x x =-+，下列关于函数图象的说法正确的是（）A ．对称轴是直线1x =-B ．图象经过原点C ．开口向上D ．图象有最低点6．抛物线212y x =经过平移得到抛物线()21632y x =-+，平移过程正确的是（）A ．先向左平移6个单位，再向上平移3个单位B ．先向左平移6个单位，再向下平移3个单位C ．先向右平移6个单位，再向上平移3个单位D ．先向右平移6个单位，再向下平移3个单位7．方程2650x x --=经过配方后，所得的方程是（）A ．2(6)30x -=B ．2(6)41x -=C ．2(3)4x -=D ．2(3)14x -=8．关于方程2340x -=四种的说法正确的是（）A ．有两个相等的实数根B ．无实数根C D ．两实数根的积为43-9．函数数y ax c =+与二次函数2y ax bx c =++在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．10．如图，△ABC 中，∠C =70°，∠B =30°，将△ABC 绕点A 顺时针旋转后，得到△AB ´C ´，且C ´在边BC 上，则∠B ´C ´B 的度数为（）A ．30°B ．40°C ．46°D ．60°11．某校七年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为每两班之间赛两场，共需安排42场比赛．设七年级共有x 个班，则下列方程正确的是（）A ．()142x x -=B ．()11422x x +=C ．()142x x +=D ．()11422x x -=12．如图，在平面直角坐标系中，画ABC V 关于点O 成中心对称的图形时，由于紧张对称中心选错，画出的图形是DEF ，请你找出此时的对称中心是（）A ．()2,0B ．()2,1C ．()1,2D ．()1,013．如图，以()1,4-为顶点的二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴负半轴交于A 点，则一元二次方程20ax bx c ++=的正数解的范围是（）A ．23x <<B ．34x <<C ．45x <<D ．56x <<14．如图1是莲花山景区一座抛物线形拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为2136y x =-，正常水位时水面宽AB 为36m ，当水位上升5m 时水面宽CD 为（）A ．10mB ．12mC ．24mD ．48m15．定义运算：()()2a b a b a b ⊗=+-，例如()()4342343⊗=+⨯-，则函数()21y x =+⊗的最小值为（）A ．21-B ．9-C ．7-D ．5-二、填空题16．在平面直角坐标系中，点()3-2，关于原点的对称点坐标为．17．将抛物线()2213y x =++沿x 轴翻折后对应的函数解析式为．18．抛物线2y ax bx c =++的部分图象如图所示，则当0y >时，x 的取值范围是．19．如图，在四边形ABCD 中，790AB AD AC DAB DCB ==∠=∠=︒，，，则四边形ABCD 的面积为．三、解答题20．解方程：(1)2430x x -+=；(2)()()2151x x x -=-．21．如图，()3,2A -，()1,2B --，()1,1C -，将ABC V 向右平移3个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，可以得到111A B C △．(1)画出平移后的111A B C △，并写出1A ，1B ，1C 的坐标；(2)画出ABC V 绕点C 顺时针旋转90︒后得到的22A B C ，并写出点2A 的坐标：(3)在x 轴上存在点P ，使得11PAC 面积为32，直接写出点P 的坐标．22．已知关于x 的一元二次方程2()210x k x k ++-=-．(1)求证：不论k 取何值，该方程都有两个不相等的实数根．(2)若方程的一个根为1-，求k 的值和方程的另一个根．23．社区利用一块矩形空地ABCD 建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知52m AD =，28m AB =，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x 米的道路．已知铺花砖的面积为2640m ．(1)求道路的宽是多少米？(2)该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时；可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10125元24．如图，点O 是等边ABC V 内一点，将BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60︒得到ADC △，连接OD ．(1)求证：COD △是等边三角形；(2)当105AOC ∠=︒，150BOC ∠=︒时，试判断AOD △的形状25．某商场将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品在原售价的基础上每件每降价1元，其销量可增加10件．(1)求商场经营该商品原来一天可获利润元．(2)设后来该商品每件降价x 元，商场一天可获利润y 元．①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？②求出y 与x 之间的函数关系式，当x 取何值时，商场获利润最大？26．问题探究如图1，在正方形ABCD 中，对角线AC BD ，相交于点O ．在线段AO 上任取一点P （端点除外），连接PD PB ，．将线段DP 绕点P 逆时针旋转，使点D 落在BA 的延长线上的点Q 处．（1）求证：PD PB =；（2）探究AQ 与OP 的数量关系，并说明理由．迁移探究如图2，将正方形ABCD 换成菱形ABCD ，且60ABC ∠=︒，其他条件不变．试探究AQ 与CP 的数量关系，并说明理由．27．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标为(,)P h k ，0h ≠.（1）若该函数图象过点(2,1),(5,7),3h =.①求该函数解析式；②01t x t +，函数图象上点()00,Q x y 到x 轴的距离最小值为1，则t 的值为______；（2）若点P 在函数23y x x c =-+的图象上，且122a ，求h 的最大值.。
2023北京北师大实验中学初三(上)期中数学
北师大实验中学2023-2024学年度第一学期期中试卷初三年级数学班级 姓名 学号 成绩一、 单项选择题（本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题意。
每小题2分，共16分）1. 抛物线23(1)5y x 的顶点坐标为（ ） A. (15)，B. (05)，C. (18)，D. (08)， 2. 用配方法解一元二次方程2640x x ，配方正确的是（ ） A.2(3)13xB.2(3)5xC.2(3)13xD.2(3)5x3. 如图，A ，B ，C 是某社区的三栋楼，若在AC 中点D 处建一个5G 基站，其覆盖半径为200m ，则这三栋楼中在该5G 基站覆盖范围内的是（ ）A. A ，B ，C 都不在B. 只有BC. 只有A ，CD. A ，B ，C4. 已知点1(3,)A y ，2(1)B y ，，3(4,)C y 在抛物线2(2)5y x 上，则123,,y y y 的大小关系是（ ）A. y <y <y B. y <y <y C. y <y <y D. y <y <y5. 如右图，在ABC △中，90,60ACB A ∠∠，6AB .将△ABC 绕点C 沿逆时针方向旋转至△A′B′C 的位置，此时，点A′恰好在AB 上，则点B 与点B′的距离是（ ）A. 6B. 3√ 3C. 2√ 3πD. 3√ 3π6. 如右图，在正三角形网格中，以某点为中心，将MNP △旋转，得到111M N P △，则旋转中心是（ ）A. 点AB. 点B C . 点C D. 点D7.如右图，不等边ABC △内接于O ，下列结论不成立的是（ ）A ． 2AOB ACB ∠∠ B. 12 ∠∠ C. ∠3∠4 D. 3ABC ∠∠1+∠8. 抛物线2(0)y ax bx c a 过(0,0)和(3,3)，且对称轴为直线x =t .现有下面四个推断：①若t =1，则a =1； ②若t >1，则a >1； ③若t <1，则a <1；④存在实数λ，使得a (1-λt )为定值.其中推断正确的是（ ） A.①③ B. ①④ C.①②③ D. ①③④ 二、 填空题（共8道小题，每题2分，共16分）9. 点(1,3)M 关于原点的对称点的坐标为 ．10. 若圆锥的底面半径是5，侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的母线长为 ．11. 若1x 是一元二次方程230x x k 的一个根，则k 的值为______．B12. 如右图，DEC △与ABC △关于点C 成中心对称, 3,2,AB AC 90CAB ，则AE 的长是_______．13. 若关于x 的一元二次方程220ax x ＝有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是 ．14. 如图，⊙O 与直线l 相离，圆心O 到直线l 的距离OB＝，OA ＝6，将直线l 绕点A 顺时针旋转30°后得到的直线m 刚好与⊙O 相切于点C ，则⊙O 的半径是 .15. 如图，AB 是半圆O 的直径，点C ，D 在半圆O 上．若∠ABC ＝50°，则BDC 的度数是 .16. 矩形ABCD 中，5AB ，3BC ，点E 是AB 边上的一个动点，连接DE ，DEB 的角平分线EF 交CD 边于点F ，若DG EF 于点G ，连接AG BG 、，则AG BG 的最小值是 .三、 解答题（共12道小题，17,27,28题，每题7分，18~20,23,24题，每题5分，21题4分，22,25,26题，每题6分，共68分）17. 选择合适的方法解方程：（1） 2481;x （2）2233xx .18. 已知关于x 的一元二次方程2(5)260x k x k． （1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程恰有一个根小于-1，求k 的取值范围．AB19. 如图，D 是等边三角形ABC 内一点，将线段AD 绕点A 顺时针旋转60°，得到线段AE ，连接CD ，BE ． （1）求证：△AEB ≌△ADC ；（2）连接DE ，若∠ADC ＝96°，求∠BED 的度数．20. 如图，A ，B 是⊙O 上的两点，120AOB ∠，C 是 AB 的中点.求证：四边形OACB 是菱形.21. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，ABC △的三个顶点的坐标分别为 0,3A ， 1,3B ， 2,1C ．（1）将ABC △绕着点O 顺时针旋转90°得到'''A B C △，其中点A 与点A 对应，点B 与点B 对应，请在坐标系中画出'''A B C △，并写出点B 的坐标； （2）若点 ,P a b 是ABC △内部任意一点，请直接写出这个点绕着点O 顺时针旋转90°得到的点P 的坐标．CE22. 已知二次函数24y x x c ，它的图象过点(2,3A ），并且与y 轴交于点B .（1）求二次函数的解析式和点B 坐标；（2）当14x 时，结合函数图象，直接写出函数值y 的取值范围；（3）若直线y kx b 也经过点A ，B 两点，直接写出关于x 的不等式24kx b x x c 的解集.23. 已知：⊙O 和圆外一点P ，求作：过点P 的O 的切线． 作法：①作射线PO ，交O 于点,M N ；②以P 为圆心，PO 为半径作P ,以O 为圆心，MN 的长为半径画弧交P 于点A ；③连接,PA OA ,OA 交O 于点B ； ④作直线PB .所以直线PB 为O 的切线．（1）使用直尺和圆规进行尺规作图，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明．证明：∵OA =MN ，OB =OM ,∴1.2OB OA∵PO PA ，∴.PB OA ⊥（ ）（填推理的依据） ∴半径OB BP ．∴直线PB 为O 的切线．（ ）（填推理的依据）P24. 某公司以每件50元的价格购进一种商品，规定销售时的单价不低于成本价，又不高于每件70元，在销售过程中发现这种商品每天的销售量y （件）与每件的销售单价x （元）满足一次函数关系：101000y x ＝-．（1）当x ＝60时，每件的利润是 元，总利润为 元； （2）若设总利润为w 元，则w 与x 的函数关系式是 ； （3）销售单价定为多少元时，此时利润最大，最大利润是多少？25. 如图，AB 是⊙O 的直径，直线PQ 经过⊙O 上的点E ，AC ⊥PQ 于点C ，交⊙O 于D ， AE 平分∠BAC ． （1）求证：直线PQ 是⊙O 的切线; （2）若AD =6， EC =2，求CD 的长．26. 在平面直角坐标系xOy 中，点1Ay （-2,），223B a y （，）,3C m y （,）三个点在抛物线22y x x a ＝0a （）上．（1）当1a 时，直接写出抛物线的对称轴及1y 和2y 的大小关系； （2）若m ＝3，13y y ，则a 的值是 ；（3）若对于任意24m ≤≤，都满足132y y y ，求a 的取值范围．Q27. 如图，在正方形ABCD 中，将线段AB 绕点A 逆时针旋转α（90°<α<180°）得到线段AE ，作∠BAE 的角平分线交边CD 于点P ，连接ED 并延长交射线AP 于点F ，连接CF .（1） 依题意补全图1，求∠AFE 的大小； （2） 写出线段ED 与CF 的数量关系，并证明；（3） 连接CE ，点G 是CE 的中点，AB =2，直接写出线段DG 的最小值.图1 备用图E28. 在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，对于点A 和线段BC ，给出如下定义：若将线段BC 绕点A 顺时针旋转90°可以得到O 的弦B C （B ,C 分别是B ,C 的对应点），则称线段BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”.（1）如图1，点A ,1B ,1C ,2B ,2C ,3B ,3C 的横、纵坐标都是整数．①在线段11B C ,22B C ,33B C 中，⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”是_______； ②若线段DE 是⊙O 的以点P 为中心的“关联线段”，则点P 的坐标是 ； （2）如图2，已知点(2,0)Q ,若直线+3y x b 上存在⊙O 的以点Q 为中心的“关联线段”,求出b 的取值范围.（3）已知△ABC 中,点(2,)C t ,1AC BC,AB,AB ,直线+3y x b交x 轴于点M ,若AB 是⊙O 的以点M 为中心的“关联线段”,直接写出t 的最大值，以及此时b 的值.图1 图2。
2022-2023学年云南师大实验中学九年级(上)期中数学试卷(含解析)
……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………2022-2023学年云南师大实验中学九年级（上）期中数学试卷第I 卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 为推动世界冰雪运动的发展，我国于2022年2月2日至20日举办了北京冬奥会、如图是冬奥会会标征集活动中的部分参选作品，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A.B.C.D.2. 研究发现新冠肺炎病毒大小约为0.000000125米，数0.000000125用科学记数法表示为( )A. 125×10−9B. 12.5×10−8C. 1.25×10−7D. 1.25×10−63. 下列运算正确的是( )A. (−a 3)2=a 6B. a 8÷a 2=a 4C. a 3+a 3=a 6D. a ⋅a 5=a 54. 为了调查某校学生的视力情况，在全校的1000名学生中随机抽取了30名学生，下列说法正确的是( )A. 此次调查属于全面调查B. 1000名学生是总体C. 样本容量是30D. 被抽取的每一名学生称为个体5. 不等式组{6+3x ≥05x−12−7<0的解集在数轴上表示正确的是( )A.B.……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………C.D.6. 数学课上，同学们探讨利用不同画图工具画角的平分线的方法．小旭说：我用两块含30°的直角三角板就可以画角平分线．如图，取OM =ON ，把直角三角板按如图所示的位置放置，两直角边交于点P ，则射线OP 是∠AOB 的平分线，小旭这样画的理论依据是( )A. SSAB. HLC. ASAD. SSS7. 如图，《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著.该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”.大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？(椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆)设这批椽有x 株，则符合题意的方程是( )A.6210x=3B. 6210x−1=3 C. 3(x −1)=6210xD. 3(x −1)=6210x−1……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………8. 如图，已知直线y =kx −2，根据图象可知不等式kx −2<0的解集是( )A. x >1B. x >−2C. x <1D. x <−29. 如图，⊙O 的半径为1，点A 为⊙O 上一点，如果∠BAC =60°，那么BC 的长是( )A. √3B. 2√3C. 2D. 310. 如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过点D作DH ⊥BC 于点H ，连接OH ，若OA =4，OH 的长为1.5，则S 菱形ABCD =( )A. 24B. 12C. 8D. 611. 如图，在一块四边形ABCD 空地中植草皮，测得AB =3m ，BC =4m ，DA =13m ，CD =12m ，且∠ABC =90°.若每平方米草皮需要200元，则需要元投入．( )A. 16800B. 7200C. 5100D. 无法确定12. 抛物线y =ax 2+bx +c(a ≠0)的对称轴为直线x =1，与x 轴的一个交点坐标为(−1,0)，其部分图象如图所示，下列结论：①4ac <b 2；②方程ax 2+bx +c =0的两个根是x 1=−1，x 2=3；③3a +c >0；④当y >0时，x 的取值范围是−1≤x <3；⑤m 为任意实数时，(m 2−1)a +(m −1)b ≤0其中结论正确的个数是( )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个第II 卷（非选择题）……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………二、填空题（本大题共6小题，共18.0分） 13. 49的相反数是______．14. 如图，AB//CD ，∠A =30°，∠F =40°，则∠C =______．15. 分解因式：36x 2−4=______．16. 一个多边形的每一个外角都为36°，则这个多边形是______边形． 17. 一圆锥的底面半径为2，母线长3，则这个圆锥的表面积为______．18. 在矩形ABCD 中，AB =4，AD =8，点P 为对角线BD 垂直平分线上一点，且PD =5，则AP 的长是______ ．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）19. 先化简，再求值((a +1−3a−1)÷a 2+4a+4a−1，其中a =2．四、解答题（本大题共5小题，共40.0分。
云南师范大实验中学2025届九年级数学第一学期期末学业质量监测模拟试题含解析
云南师范大实验中学2025届九年级数学第一学期期末学业质量监测模拟试题 请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图，正六边形ABCDEF 内接于O ，正六边形的周长是12，则O 的半径是（ ）A ．3B ．2C ．22D ．23 2．如图，，如果增加一个条件就能使结论成立，那么这个条件可以是A ．B ．C ．D ．3．下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）A ．210x x -+=B ．240x +=C ．2210x x ++=D ．2410x x -+=4．sin45°的值等于（ ）A ．B ．C ．D ．15．已知二次函数y=﹣x 2+x+6及一次函数y=﹣x+m ，将该二次函数在x 轴上方的图象沿x 轴翻折到x 轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），请你在图中画出这个新图象，当直线y=﹣x+m 与新图象有4个交点时，m 的取值范围是（ ）A．﹣254＜m＜3 B．﹣254＜m＜2 C．﹣2＜m＜3 D．﹣6＜m＜﹣26．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能是( )A．3.5B．4.2C．5.8D．77．对于二次函数213y x,下列说法正确的是（）A．图象开口方向向下；B．图象与y轴的交点坐标是（0，-3）；C．图象的顶点坐标为（1，-3）；D．抛物线在x＞-1的部分是上升的．8．关于x的一元二次方程x2+ax﹣1=0的根的情况是（）A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根9．sin45°的值是（）A．12B．22C．32D．310．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是点A和B，AC是⊙O的直径．若∠P＝60°，PA＝6，则BC的长为__________．12．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AB=6，1cos3A ，那么AC=_____．13．张华在网上经营一家礼品店，春节期间准备推出四套礼品进行促销，其中礼品甲45元/套，礼品乙50元/套，礼品丙70元/套，礼品丁80元/套，如果顾客一次购买礼品的总价达到100元，顾客就少付x元，每笔订单顾客网上支付成功后，张华会得到支付款的80%．①当x=5时，顾客一次购买礼品甲和礼品丁各1套，需要支付_________元；②在促销活动中，为保证张华每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的六折，则x 的最大值为________．14．若点A （1，y 1）和点B （2，y 2）在反比例函数y ＝﹣2x的图象上，则y 1与y 2的大小关系是_____． 15．一个圆锥的侧面展开图是半径为8的半圆，则该圆锥的全面积．．．是______________. 16．小明同学身高1.5米，经太阳光照射，在地面的影长为2米，他此时测得旗杆在同一地面的影长为12米，那么旗杆高为_________米．17．若函数y =mx 2+(m +2)x +12m +1的图象与x 轴只有一个交点，那么m 的值为___．18．如图，圆锥的底面直径20AB cm =，母线30,PB cm PB =的中点D 处有一食物，一只小蚂蚁从点A 出发沿圆锥表面到D 处觅食，蚂蚁走过的最短路线长为___________三、解答题(共66分)19．（10分）如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在BC 上，BD=DC ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E ，⊙O 经过A ，B ，D 三点．（1）求证：AB 是⊙O 的直径；（2）判断DE 与⊙O 的位置关系，并加以证明；（3）若⊙O 的半径为3，∠BAC=60°，求DE 的长．20．（6分）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a 和b ，规定a ☆b ＝ab 2＋2ab ＋a.如：1☆3＝1×32＋2×1×3＋1＝16. (1)求(－2)☆3的值；(2)若132a +☆＝8，求a 的值． 21．（6分）如图，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A （－1，0），与y 轴交于点B （0，2），直线y ＝12x －1与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D ，点P 是线段CD 上方的抛物线上一动点，过点P 作PF 垂直x 轴于点F ，交直线CD 于点E ，（1）求抛物线的解析式；（2）设点P 的横坐标为m ，当线段PE 的长取最大值时，解答以下问题．①求此时m 的值．②设Q 是平面直角坐标系内一点，是否存在以P 、Q 、C 、D 为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．22．（8分）解方程：3x （x ﹣1）=x ﹣1．23．（8分）黄山景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为6元，当销售单价定为8元时，每天可以销售200件.市场调查反映：销售单价每提高1元，日销量将会减少10件.物价部门规定：销售单价不低于6元，但不能超过12元，设该纪念品的销售单价为x （元），日销量为y （件）.（1）直接写出y 与x 的函数关系式.（2）求日销售利润w （元）与销售单价x （元）的函数关系式.并求当x 为何值时，日销售利润最大，最大利润是多少？24．（8分）如图，王华同学在晚上由路灯AC 走向路灯BD ，当他走到点P 时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC 的底部，当他向前再步行12 m 到达Q 点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD 的底部．已知王华同学的身高是1.6 m ，两个路灯的高度都是9.6 m(1)求两个路灯之间的距离；(2)当王华同学走到路灯BD 处时，他在路灯AC 下的影子长是多少？25．（10分）如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，且AB CD ⊥，垂足为E ．（1）求证：BCD A ∠=∠；（2）若15,20BD AC ==，求CD 的长．26．（10分）如图，在等腰直角三角形ABC 中，ACB 90?,AC BC 4∠===D 是AB 的中点，E ，F 分别是AC ，BC ．上的点(点E 不与端点A ，C 重合)，且AE CF =连接EF 并取EF 的中点O ，连接DO 并延长至点G ，使GO OD =，连接DE ，DF ，GE ，GF(1)求证:四边形EDFG 是正方形;(2)直接写出当点E 在什么位置时，四边形EDFG 的面积最小?最小值是多少?参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、B【分析】根据题意画出图形，求出正六边形的边长，再求出∠AOB=60°即可求出O 的半径．【详解】解：如图，连结OA,OB,∵ABCDEF 为正六边形，∴∠AOB=360°×16=60°，∴△AOB是等边三角形，∵正六边形的周长是12，∴AB=12×16=2,∴AO=BO=AB=2，故选B．【点睛】本题考查了正多边形和圆，以及正六边形的性质，根据题意画出图形，作出辅助线求出∠AOB=60°是解答此题的关键.2、D【解析】求出∠DAE=∠BAC，根据选项条件判定三角形相似后，可得对应边成比例，再把比例式化为等积式后即可判断．【详解】解：∵∠1=∠2，∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，∴∠DAE=∠BAC，A、∵∠DAE=∠BAC，∠D=∠C，∴△ADE∽△ACB，∴，∴，故本选项错误；B、∵，∠DAE=∠BAC，∴△ADE∽△ACB，∴，∴，故本选项错误；C、∵，∠DAE=∠BAC，∴△ADE∽△ACB，∴，∴，故本选项错误；D、∵∠DAE=∠BAC，，∴△ADE∽△ABC，∴，∴，故本选项正确；故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质的应用，比例式化等积式，特别要注意确定好对应边，不要找错了．3、D【分析】根据根的判别式△=b2-4ac的值的符号，可以判定个方程实数根的情况，注意排除法在解选择题中的应用．【详解】解：A．∵△=b2-4ac=1-4×1×1=-3＜0，∴此方程没有实数根，故本选项错误；B．240x=-x+=变形为24∴此方程有没有实数根，故本选项错误；C．∵△=b2-4ac=22-4×1×1=0，∴此方程有两个相等的实数根，故本选项错误；D．∵△=b2-4ac=42-4×1×1=12，∴此方程有两个不相等的实数根，故本选项正确．故选：D．【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．4、B【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解．【详解】sin45°=．故选B．【点睛】错因分析：容易题.失分的原因是没有掌握特殊角的三角函数值.【解析】如图，解方程﹣x2+x+6=0得A（﹣2，0），B（3，0），再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为y=（x+2）（x﹣3），即y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3），然后求出直线•y=﹣x+m经过点A（﹣2，0）时m的值和当直线y=﹣x+m 与抛物线y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时m的值，从而得到当直线y=﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围．【详解】如图，当y=0时，﹣x2+x+6=0，解得x1=﹣2，x2=3，则A（﹣2，0），B（3，0），将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y=（x+2）（x﹣3），即y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3），当直线y=﹣x+m经过点A（﹣2，0）时，2+m=0，解得m=﹣2；当直线y=﹣x+m与抛物线y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时，方程x2﹣x﹣6=﹣x+m有相等的实数解，解得m=﹣6，所以当直线y=﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围为﹣6＜m＜﹣2，故选D．【点睛】本题考查了抛物线与几何变换，抛物线与x轴的交点等，把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解决此类问题常用的方法.6、D【详解】解：根据垂线段最短，可知AP的长不可小于3∵△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，∴AB=1，∴AP的长不能大于1．≤≤∴3PA6故选D．7、D【解析】二次函数y=2（x+1）2-3的图象开口向上，顶点坐标为（-1，-3），对称轴为直线x=-1；当x=0时，y=-2，所以图像与y轴的交点坐标是（0，-2）；当x＞-1时，y随x的增大而增大，即抛物线在x＞-1的部分是上升的，故选D.【解析】∵△=24a+＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选D．9、B【解析】将特殊角的三角函数值代入求解．【详解】解：sin45°=22．故选：B.【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．10、B【解析】根据轴对称图形的概念先求出图形中轴对称图形，再根据中心对称图形的概念得出其中不是中心对称的图形．【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误，B、是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项正确，C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误，D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误．故选：B．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180︒，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，难度适中．二、填空题(每小题3分,共24分)11、23【分析】连接AB，根据PA，PB是⊙O的切线可得PA=PB，从而得出AB=6，然后利用∠P＝60°得出∠CAB为30°，最后根据直角三角形中30°角的正切值进一步计算即可.【详解】如图，连接AB，∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA=PB，∵∠P＝60°，∴△ABP为等边三角形，∴AB=6，∵∠P＝60°，∴∠CAB=30°，易得△ABC为直角三角形，∴BCtan30 AB=︒,∴BC=AB×tan30︒=23，故答案为：23.【点睛】本题主要考查了圆中切线长与三角函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.12、2【解析】如图所示，在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=6,cosA=13，∴cosA=13 ACAB=，则AC=13AB=13×6=2，故答案为2.13、1 25【分析】①当x=5时，顾客一次购买礼品甲和礼品丁各1套，需要支付45+80-5=1元．②设顾客每笔订单的总价为M元，当0＜M＜100时，张军每笔订单得到的金额不低于促销前总价的六折，当M≥100时，0.8（M-x）≥0.6M，对M≥100恒成立，由此能求出x的最大值．【详解】解：（1）当x=5时，顾客一次购买礼品甲和礼品丁各1套，需要支付：45+80-5=1元．故答案为：1．（2）设顾客一次购买干果的总价为M 元，当0＜M ＜100时，张军每笔订单得到的金额不低于促销前总价的六折，当M ≥100时，0.8（M-x ）≥0.6M ，解得，0.8x ≤0.2M.∵M ≥100恒成立,∴0.8x ≤200解得：x ≤25.故答案为25.【点睛】本题考查代数值的求法，考查函数性质在生产、生活中的实际应用等基础知识，考查运算求解能力和应用意识，是中档题．14、y 1＜y 1【分析】由k=-1可知，反比例函数y ＝﹣2x的图象在每个象限内，y 随x 的增大而增大，则问题可解. 【详解】解：∵反比例函数y ＝﹣2x中，k ＝﹣1＜0， ∴此函数在每个象限内，y 随x 的增大而增大，∵点A （1，y 1），B （1，y 1）在反比例函数y ＝﹣2x 的图象上，1＞1， ∴y 1＜y 1，故答案为y 1＜y 1．【点睛】本题考查了反比例函数的增减性，解答关键是注意根据比例系数k 的符号确定，在各个象限内函数的增减性解决问题.15、48π【分析】首先利用圆的面积公式即可求得侧面积，利用弧长公式求得圆锥的底面半径，得到底面面积，据此即可求得圆锥的全面积． 【详解】解：侧面积是：221122832r πππ=⨯⨯=， 底面圆半径为：28242ππ⨯÷=， 底面积2416ππ=⨯=，故圆锥的全面积是：321648πππ+=，故答案为：48π【点睛】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．16、9【解析】设旗杆高为x 米，根据同时同地物高与影长成正比列出比例式，求解即可．【详解】设旗杆高为x 米， 根据题意得，1.5212x = 解得：x=9，故答案为：9【点睛】本题主要考查同一时刻物高和影长成正比．考查利用所学知识解决实际问题的能力．17、0或【分析】由题意可分情况进行讨论：①当m=0时，该函数即为一次函数，符合题意，②当m ≠0时，该函数为二次函数，然后根据二次函数的性质进行求解即可．【详解】解：由题意得：①当m=0时，且m+2=2，该函数即为一次函数，符合题意；②当m ≠0时，该函数为二次函数，则有：∵图象与x 轴只有一个交点，∴()()224241210b ac m m m -=+-+=，解得：12,4747m m ==-，综上所述：函数与x 轴只有一个交点时，m 的值为：0或47±故答案为：0或 【点睛】 本题主要考查二次函数的图像与性质及一次函数的性质，熟练掌握二次函数的图像与性质及一次函数的性质是解题的关键．18、【分析】先将圆锥的侧面展开图画出来，然后根据弧长公式求出'APA ∠的度数，然后利用等边三角形的性质和特殊角的三角函数在即可求出AD 的长度．【详解】圆锥的侧面展开图如下图：∵圆锥的底面直径20AB cm =∴底面周长为20π设'APA n ∠=︒ 则有3020180n ππ= 解得120n =60APB ∴∠=︒又PA PB =∴APB △为等边三角形D 为PB 中点AD PB ∴⊥3sin 60303AD AP ∴=︒== ∴蚂蚁从点A 出发沿圆锥表面到D 处觅食，蚂蚁走过的最短路线长为153故答案为：153．【点睛】本题主要考查圆锥的侧面展开图，弧长公式和解直角三角形，掌握弧长公式和特殊角的三角函数值是解题的关键．三、解答题(共66分)19、（1）证明见解析；（2）DE 与⊙O 相切；（333【分析】（1）连接AD ，根据等腰三角形三线合一性质得到AD ⊥BC ，再根据90°的圆周角所对的弦为直径即可证得AB 是⊙O 的直径；（2）DE 与圆O 相切，理由为：连接OD ，利用中位线定理得到OD ∥AC ，利用两直线平行内错角相等得到∠ODE为直角，再由OD 为半径，即可得证；（3）由AB=AC ，且∠BAC=60°，得到DABC 为等边三角形，连接BF ，DE 为DCBF 中位线，求出BF 的长，即可确定出DE 的长．【详解】解：（1）证明：连接AD ，∵AB=AC ，BD=DC ，∴AD ⊥BC ，∴∠ADB=90°，∴AB 为⊙O 的直径；（2）DE 与⊙O 相切，理由为：连接OD ，∵O 、D 分别为AB 、BC 的中点，∴OD 为△ABC 的中位线，∴OD ∥BC ，∵DE ⊥BC ，∴DE ⊥OD ，∵OD 为⊙O 的半径，∴DE 与⊙O 相切；（3）解：连接BF ，∵AB=AC ，∠BAC=60°，∴△ABC 为等边三角形，∴AB=AC=BC=6，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠AFB=∠DEC=90°，∴AF=CF=3，DE ∥BF ，∵D 为BC 中点，∴E 为CF 中点，DE=12BF ， 在Rt △ABF 中，∠AFB=90°，AB=6，AF=3，∴BF=22226333F AB A -=-=，则DE=12BF=332．【点睛】本题考查圆；等腰三角形；平行线的性质．20、 (1)－32；(2) a ＝1.【解析】分析：（1）原式利用题中的新定义化简，计算即可得到结果；（2）已知等式利用题中的新定义化简，即可求出a 的值．详解：（1）（-2）☆3=-2×32+2×（-2）×3+（-2）=-32；（2）132a +☆=2111323222a a a +++⨯+⨯⨯+=8a+8=8， 解得：a=1．点睛：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21、（1）y ＝﹣x 1+x +1；（1）①m ＝14；②存在以P 、Q 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，点Q 的坐标为719751951,,,,,416416416⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【分析】（1）由题意利用待定系数法，即可求出抛物线的解析式；（1）①由题意分别用含m 的代数式表示出点P ，E 的纵坐标，再用含m 的代数式表示出PE 的长，运用函数的思想即可求出其最大值；②根据题意对以P 、Q 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形分三种情况进行讨论与分析求解.【详解】解：（1）将A （﹣1，0），B （0，1）代入y ＝﹣x 1+bx+c ，得：102550b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得：b=1,c=1 ∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 1+x+1．（1）①∵直线y ＝12x-1与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D ， ∴点C 的坐标为（0，-1），点D 的坐标为（1，0），∴0＜m ＜1．∵点P 的横坐标为m ，∴点P 的坐标为（m ，﹣m 1+m+1），点E 的坐标为（m ，12m+3）， ∴PE ＝﹣m 1+m+1﹣（12 m+3）＝﹣m 1+12m+3＝﹣（m ﹣14）1+4916． ∵﹣1＜0，0＜14＜1， ∴当m ＝14时，PE 最长． ②由①可知，点P 的坐标为（14，3516）． 以P 、Q 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形分三种情况（如图所示）：①以PD 为对角线，点Q 的坐标为951416⎛⎫⎪⎝⎭，；②以PC 为对角线，点Q 的坐标为719416⎛⎫⎪⎝⎭﹣，； ③以CD 为对角线，点Q 的坐标为751416⎛⎫ ⎪⎝⎭，﹣． 综上所述：在（1）的情况下，存在以P 、Q 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，点Q 的坐标为719751951,,,,,416416416⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查二次函数图像的综合问题，解题关键是熟练掌握待定系数法求解析式、函数的思想求最大值以及平行四边形的性质及平移规律等知识．22、x 1=1或x 1=13【解析】移项后提取公因式x ﹣1后利用因式分解法求得一元二次方程的解即可．【详解】解：3x （x ﹣1）=x ﹣1，移项得：3x （x ﹣1）﹣（x ﹣1）=0整理得：（x ﹣1）（3x ﹣1）=0x ﹣1=0或3x ﹣1=0解得：x 1=1或x 1=13. 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键是先移项，然后提取公因式，防止两边同除以x ﹣1，这样会漏根．23、（1）10280y x =-+；（2）()210171210w x =--+，x=12时，日销售利润最大，最大利润960元【分析】（1）根据题意得到函数解析式；（2）根据题意得到w=（x-6）（-10x+280）=-10（x-17）2+1210，根据二次函数的性质即可得到结论．【详解】解：（1）根据题意得，20010(8)10280y x x =--=-+，故y 与x 的函数关系式为10280y x =-+；（2）根据题意得，()2(6)(10280)10171210w x x x =--+=--+ 100,612x -<≤≤∴当17x <时，w 随x 的增大而增大，当12x =时，960w =最大，答：当x 为12时，日销售利润最大，最大利润960 元.【点睛】此题考查了一元二次方程和二次函数的运用，利用总利润=单个利润×销售数量建立函数关系式，进一步利用性质的解决问题，解答时求出二次函数的解析式是关键．24、（1）18；（2）3.6【分析】（1）依题意得到△APM ∽△ABD ，得到MP AP BD AB=再由它可以求出AB ； （2）设王华走到路灯BD 处头的顶部为E ，连接CE 并延长交AB 的延长线于点F 则BF 即为此时他在路灯AC 的影子长，容易知道△EBF ∽△CAF ，再利用它们对应边成比例求出现在的影子．【详解】解：(1)由对称性可知AP ＝BQ ，设AP ＝BQ ＝x m ，∵MP ∥BD ，∴△APM ∽△ABD ， ∴MP AP BD AB= ， ∴1.69.6＝212x x +， 解得x ＝3，∴AB ＝2x ＋12＝18(m)，即两个路灯之间的距离为18米(2)设王华走到路灯BD 处头的顶部为E ，连接CE 并延长交AB 的延长线于点F ，则BF 即为此时他在路灯AC 下的影子长，设BF ＝y m ，∵BE ∥AC ，∴△FEB ∽△FCA ， ∴BE BF AC FA = ，即1.69.6＝18y y +， 解得y ＝3.6，当王华同学走到路灯BD 处时，他在路灯AC 下的影子长3.6米．【点睛】此题主要考查相似三角形的应用，两个问题都主要利用了相似三角形的性质：对应边成比例．25、（1）见解析；（2）1．【分析】（1）先根据垂径定理得出BC BD =，然后再利用圆周角定理的推论即可得出BCD A ∠=∠；（2）先根据勾股定理求出AB 的长度，然后利用ABC 的面积求出CE 的长度，最后利用垂径定理可得CD=2CE ，则答案可求．【详解】（1）证明：∵AB 为⊙O 的直径，AB CD ⊥，BC BD ∴=，BCD A ∴∠=∠；（2）解：∵AB 为⊙O 的直径，∴90ACB ∠=，BC BD =，15BC BD ∴==，又∵20AC = ∴2222152025AB AC BC =+=+=．∵1122AC BC AB CE ⨯⨯=⨯⨯， 即152025CE ⨯=⨯，解得12CE =，∵AB 为⊙O 的直径，AB CD ⊥，∴224CD CE ==．【点睛】本题主要考查垂径定理，圆周角定理的推论，勾股定理，掌握垂径定理，圆周角定理的推论，勾股定理是解题的关键．26、（1）详见解析；（2）当点E 为线段AC 的中点时，四边形EDFG 的面积最小，该最小值为4【解析】（1）连接CD ，根据等腰直角三角形的性质可得出∠A=∠DCF=45°、AD=CD ，结合AE=CF 可证出△ADE ≌△CDF （SAS ），根据全等三角形的性质可得出DE=DF 、ADE=∠CDF ，通过角的计算可得出∠EDF=90°，再根据O 为EF 的中点、GO=OD ，即可得出GD ⊥EF ，且GD=2OD=EF ，由此即可证出四边形EDFG 是正方形； （2）过点D 作DE′⊥AC 于E′，根据等腰直角三角形的性质可得出DE′的长度，从而得出2≤DE ＜22，再根据正方形的面积公式即可得出四边形EDFG 的面积的最小值．【详解】(1)证明:连接CD ，如图1所示.∵ABC ∆为等腰直角三角形，90ACB ︒∠=，D 是AB 的中点，∴A DCF 45,AD CD ︒∠=∠==在ADE ∆和CDF ∆中AE CF A DCF AD CD =⋅∠=∠⋅=，∴ ADE CDF(SAS)∆≅∆，∴DE DF,ADE CDF =∠=∠,∵ADE EDC 90︒∠+∠=，∴EDC CDF EDF 90︒∠+∠=∠=，∴EDF ∆为等腰直角三角形.∵O 为EF 的中点，GO OD =，∴GD EF ⊥，且GD 2OD EF ==，∴四边形EDFG 是正方形;(2)解:过点D 作DE AC '⊥于E′，如图2所示.∵ABC ∆为等腰直角三角形，ACB 90,AC BC 4︒∠===， ∴DE 2,AB 2'==E′为AC 的中点， ∴222DE ≤< (点E 与点E′重合时取等号).∴2BDFG 4 DE 8S ≤=<四边形∴当点E 为线段AC 的中点时，四边形EDFG 的面积最小，该最小值为4【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、等腰直角三角形以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）找出GD ⊥EF 且GD=EF ；（2）根据正方形的面积公式找出4≤S 四边形EDFG ＜1．。
北京师范大学附属实验中学 2021-2022学年九年级上学期开学数学试卷
北京师范大学附属实验中学2021-2022学年九年级上学期开学数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题．．．．北京市6月某日10个区县的最高气温如下表：(单位：℃)大兴通州平谷门头沟延庆昌平最高气温323230322932则这10个区县该日最高气温的中位数是（）.A．32B．3130．下列命题是假命题的是(．两组对边分别相等的四边形是平行四边形．对角线互相垂直的四边形是菱形．四个内角都相等的四边形是矩形．既是菱形又是矩形的四边形是正方形16．如图，菱形ABCD 中，10AB =，AC ，BD 交于点O ，若E 是AD 边的中点，AOE ∠则OE 的长等于，ADO ∠的度数为．17．已知一次函数4y kx =-的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积等于2，则k 是．18．▱ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是边AB 上的一个动点（不与A三、解答题21．已知：在ABC 中，90ABC ∠=︒求作：矩形ABCD ．作法：如下，①分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 两弧分别交于点M ，N ；②作直线MN ，交边AC 于点O ；③作射线BO ，以点O 为圆心，以BO 接CD ，AD ；之间的数量关系．27．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，网格的中心标记为点O ．按要求画四边形，使它的四个顶点均落在格点上，且点O 为其对角线交点：(1)在图1中画一个两边长分别为2和4的矩形；(2)在图2中画一个平行四边形，使它有且只有一条对角线与（1）中矩形的对角线相等；(3)在图3中画一个正方形，使它的对角线与（1）中所画矩形的对角线相等．28．正方形ABCD 中，点M 是对角线AC 的中点．（1）如图1，点P 在线段AM 上（不与点A ，M 重合），过点P 作PF CD ⊥于点F ，作PE PB ⊥且PE 交CD 于点E ．求证：DF EF =．（2）如图2所示建立直角坐标系，点B 与原点重合，点(0,2)A ，点(2,0)C ．若点P 在线段AC 上，PE PB ⊥，且PE 交直线CD 于点E ．求出当PCE ∆是等腰三角形时，P 点A，点B在x轴的负半轴上．若点29．在平面直角坐标系xOy中，点(0,6)AB上，且PQ为某个一边与x轴平行的矩形的对角线，则称这个矩形为点随矩形”．下图为点P，Q的“伴随矩形”的示意图．B-，点C的横坐标为1-，则点B，C的“伴随矩形（1）若点(3,0)（2）点M，N的“伴随矩形”是正方形．①当正方形面积为4，且点M到y轴的距离为3时，写出点B的坐标，函数解析式；②当正方形的对角线长度为32时，原点O与所有正方形上各点所连线段的长记为直接写出m的取值范围．。
2023-2024学年云南师大实验中学九年级(上)期末数学试卷+答案解析
2023-2024学年云南师大实验中学九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.两千多年前，中国人就开始使用负数，如果支出150元记作元，那么元表示( )A. 收入100元B. 支出100元C. 收入50元D. 支出50元2.我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为( )A. B. C. D.3.如图，四条直线a，b，c，d，其中，，，则( )A. B. C. D.4.下列运算结果正确的是( )A. B. C. D.5.点关于y轴对称的点的坐标为( )A. B. C. D.6.若一个多边形的每一个外角都是，则这个多边形的边数是( )A. 7B. 8C. 9D. 107.一元二次方程的根的情况是( )A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 无法确定8.如图，在中，，，，则等于( )A. B. C. D.9.对于反比例函数，下列说法中错误的是( )A. y随x的增大而减小B. 图象分布在一、三象限C. 图象与坐标轴无交点D. 图象关于直线对称10.市政府为了贯彻落实“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展荒山绿化，打造美好家园，促进旅游发展.某工程队承接了90万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前30天完成了任务.设原计划每天绿化的面积为x万平方米，则所列方程正确的是( )A. B.C. D.11.如图，已知，且AD：：1，则：( )A. 2：3B. 4：9C. 5：4D. 4：512.观察下列按一定规律排列的n个数：x，，，，……，按照上述规律，第2024个单项式是( )A. B. C. D.13.在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式，则下列说法错误的是( )A. 样本的方差是2B. 样本的中位数是3C. 样本的众数是3D. 样本的平均数是314.如图，在中，，由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD与AC交于点E，点F为BC的中点，连接EF，若，则的周长为( )A.B.C.D.15.我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少.割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”.“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为圆，以圆内接正十二边形面积近似估计圆的面积，可的半径为1，运用“割圆术”得的估计值为如图，若用半径为1的圆的内接正六边形面积作近似估计，可得的估计值为( )A. 3B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分。
2023北京北师大实验中学初三(上)开学考数学试题及答案
初三年级数学
班级
姓名
学号
成绩
一、 选择题（本题共 8 小题，每小题 2 分，共 16 分）
1. 下列是最简二次根式的是（ ）
A. 3
1 B.
2
C. 4
D. 12
2. 下列函数中，y 是 x 的二次函数的是（ ）
A． y ax2 bx c B． y 2x
的图象，求 m 的取值范围．
25. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC,点 D 为 AB 边上一点（不与点 A， B 重合），作射线 CD，过点 A 作 AE⊥CD 于 E，在线段 AE 上截取 EF=EC，连接 BF 交 CD 于 G. （1）依题意补全图形； （2）求证：∠CAE=∠BCD （3）判断线段 BG 与 GF 之间的数量关系，
（2）∵四边形 AECF 是矩形， ∴∠AEB=90°. ∵ AE BE ， AB 2 ，
∴ AE BE 2 .
∴ AC 5 2 10 ...............................4 分
在 Rt△AEC 中， EC 2 2 .
∴ BC 2 2 2 3 2 ...............................6 分
2a b c ；
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②
B. ①③
C. ②③ D. ①②③
二、 填空题（本题共 8 小题，每小题 2 分，共 16 分）
9. 已知正比例函数 = 过点 (1,3), 则 的值为
.
10. 如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，D 是 AB 的中点. 若
∠A＝40°，则∠BDC＝
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y
x
O y x
o
y x
o
o
y x
A
B
C
A D
B
C
初中数学试卷
云南省大姚县实验中学2014至2015学年九年级数学（上）期末模拟试题（一）
一、选择题（每题3分共30分）
1、如图是由5个大小相同的正方体组成的几何体，它的俯视图为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2、方程x 2=4x 的解是（ ） A ． x=4
B ． x=2
C ． x=4或x=0
D ． x=0
3、 两个相似三角形的面积比是9:16，则这两个三角形的相似比是（ ）
A ．3:4
B ． 9:16
C ．9:4
D ．3:16 4、在反比例函数y =
1−m x
的图象的每一条曲线上，y 都随x 的增大而增大，则m 的值可以
是（ ） A.2 B.1 C.0 D. －1
5、如果矩形的面积为6cm 2，那么它的长y cm 与宽x cm 之间的函数关系用图象表示大致是（ ）
A B C D
6、在一个不透明的布袋中，有大小、形状完全相同，颜色不同的15个球，从中摸出红球的概率为13
，则袋中红球的个数为（ ）A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
7、已知一矩形的两边长分别为10 cm 和15 cm ，其中一个内角的平分线分长边为两部分，这两部分的
长为（ ） A.6 cm 和9 cm B. 5 cm 和10 cm C. 4 cm 和11 cm D. 7 cm 和8 cm 8、已知反比例函数y ＝
x
2
k -的图象位于第一、第三象限，则k 的取值范围是（ ）． （A ）k ＞2 （B ） k ≥2 （C ）k ≤2 （D ） k ＜2
9、某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元.设每半年发放的资助金额的平均增长率为x ，则下面列出的方程中正确的是（ ） A. 438
=389 B. 389
=438 C. 389(1+2x )=438 D. 438(1+2x )=389
10、如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（ ）
A B C D 二、填空题：（每题3分，共18分）
11、已知x=2是一元二次方程x 2+mx+2=0的一个解，则m 的值是 。
12、已知一元二次方程：x 2﹣3x ﹣1=0的两个根分别是x 1、x 2，则x 12x 2+x 1x 22的值为 。
13、反比例函数2
2)12(--=m x
m y ，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，则m 的值时 。
14、如下图是一张矩形纸片，
，若将纸片沿
折叠，使
落在
上，点的对应点
为点，若
，则。
15、如下图，在△ABC 中，点D 在AB 上，请再添加一个适当的条件，使△ADC ∽△ACB ，那么要添加的条件是 。
（只需填写满足要求的一个条件即可）。
第14题图 第15题图
16、已知菱形的周长为30cm ，两个相邻内角的度数之比为1:2，则较短对角线的长为_____ 。
三、解答题：（52分）
金戈铁制卷
17、（6分）如右图，在长为，宽为的矩形的四个角上分别截去四个全
等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80％，求所截去小正方形的边长.
18、 （6分）如图，已知菱形BEDF 内接于∆ABC ，点E 、D 、F 分别在AB 、AC 和BC 上， 若AB BC ==1512，，求菱形边长。
A
E D
B F C
19、（6分）如图，等边三角形ABC 的边长为6 cm ，点P 自点B 出发，以1 cm/s 的速度向终点C 运动；点Q 自点C 出发，以1 cm/s 的速度向终点A 运动．若P ,Q 两点分别同时从B ，C 两点出发，问经过多少时间△PCQ 的面积是23cm 2?
20、（6分）已知关于x 的方程x 2﹣（m+2）x+（2m ﹣1）=0． （1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．
21、（6分）如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 是△ABC 外角的平分线，已知∠BAC=∠ACD ． （1）求证：△ABC ≌△CDA ；（2）若∠B=60°，求证：四边形ABCD 是菱形．
22、（7分）小莉的爸爸买了今年七月份去上海看世博会的一张门票，她和哥哥两人都很 想去观看，可门票只有一张，读九年级的哥哥想了一个办法，拿了八张扑克牌，将数字为 1、2、3、5的四张牌给小莉，将数字为4、6、7、8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则 进行：小莉和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，
如果和为偶数，则小莉去；如果和为奇数，则哥哥去．
第17题图
(1)请用树状图或列表的方法求小莉去上海看世博会的概率；
(2)哥哥设计的游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种公平的游戏规则．
23、（7分）某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元.为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120 元，每张贺年卡应降价多少元?24、（8分）如图，已知一次函数y kx b
=+的图象与反比例函数8
y
x
=-的图象交于A，B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是－2，求：
（1）一次函数的解析式；
（2）△AOB的面积．
N
M
B
A。