平面几何图形面积练习题
小升初数学几何热点“求阴影部分面积”专项练习(含解答)
小升初数学几何热点“求阴影部分面积”专项练习求平面图形中阴影部分的面积，是每年小升初考试中的几何热点，思维能力要求高，学生失分率高。
由于阴影部分的图形常常不是以基本几何图形的形状出现，没法直接利用课本中的基本公式来计算，所以比较麻烦。
家长辅导孩子处理这类型的几何题，除了要让孩子熟练地掌握平面图形的概念和面积公式之外，关键还在于懂得如何“巧用方法、妙在变形”。
以下是小学阶段常见的求阴影面积的方法，家长可以让孩子边做边总结方法，逐一攻关，体验解题思维的乐趣。
一、几何图形计算公式1.正方形：周长＝边长×4 C=4a面积=边长×边长 S=a×a2.正方体：表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6体积=棱长×棱长×棱长V=a×a×a3.长方形：周长=(长+宽)×2 C=2(a+b)面积=长×宽 S=ab4.长方体：表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh)体积=长×宽×高V=abh5.三角形：面积=底×高÷2 s=ah÷26.平行四边形：面积=底×高 s=ah7.梯形：面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)×h÷28.圆形：周长=直径×π=2×π×半径 C=πd=2πr面积=半径×半径×π9.圆柱体：侧面积=底面周长×高表面积=侧面积+底面积×2体积=底面积×高10.圆锥体：体积=底面积×高÷3二、解题方法解题要点：1.观察图形的特点，根据图形特点选择合适的方法求解图形的面积。
2.能灵活运用所学过的基本的平面图形的面积求阴影部分的面积。
数学课程几何图形面积练习题及答案
数学课程几何图形面积练习题及答案一、矩形的面积计算1. 若一个矩形的长为10cm，宽为5cm，求其面积。
解答：矩形面积的计算公式为面积 = 长 ×宽，代入数值得面积 =10cm × 5cm = 50cm²。
2. 若一个矩形的面积为75cm²，宽为3cm，求其长度。
解答：设矩形长度为x，则根据面积公式 x × 3 = 75，解方程可得 x = 25。
所以该矩形的长度为25cm。
二、三角形的面积计算3. 若一个直角三角形的两条直角边长分别为4cm和6cm，求其面积。
解答：三角形面积的计算公式为面积 = 底 ×高 ÷ 2，其中底为直角边之一，高为另一直角边。
代入数值得面积 = 4cm × 6cm ÷ 2 = 12cm²。
4. 若一个三角形的底为8cm，高为5cm，求其面积。
解答：根据面积公式，面积 = 8cm × 5cm ÷ 2 = 20cm²。
三、圆的面积计算5. 若一个圆的半径为10cm，求其面积（取π≈3.14）。
解答：圆的面积计算公式为面积= π × 半径²，代入数值得面积 = 3.14 × 10cm × 10cm ≈ 314cm²。
6. 若一个圆的面积为154cm²，求其半径（取π≈3.14）。
解答：设圆的半径为r，则根据面积公式π × r² = 154，解方程可得 r ≈ √(154/π) ≈ √(154/3.14) ≈ √(49.0446) ≈ 7。
所以该圆的半径约为7cm。
四、梯形的面积计算7. 若一个梯形的上底长为6cm，下底长为10cm，高为4cm，求其面积。
解答：梯形面积的计算公式为面积 = (上底 + 下底) ×高 ÷ 2，代入数值得面积 = (6cm + 10cm) × 4cm ÷ 2 = 32cm²。
人教版 九年级数学 竞赛练习题之几何图形面积的计算(无答案)
人教版 九年级数学 竞赛练习之几何图形面积的计算（含答案）【例1】如图，△ABC 内三个三角形的面积分别为5，8，10，四边形AEFD 的面积为x ，则x ＝________.【例2】如图，在△ABC 中，已知BD 和CE 分别是两边上的中线，并且BD ⊥CE ，BD ＝4，CE ＝6，那么△ABC 的面积等于 ( )A ．12B ．14C ．16D ．18 解题思路：由中点想到三角形中位线，这样△ABC 与四边形BCDE 面积存在一定的关系.【例3】如图，依次延长四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 至E ，F ，G ，H ，使BE AB ＝CF BC ＝DG CD ＝AH DA＝m ，若S 四边形EFGH ＝2S 四边形ABCD ，求m 的值.【例4】如图，P ，Q 是矩形ABCD 的边BC 和CD 延长线上的两点，P A 与CQ 相交于点E ，且∠P AD＝∠QAD ，求证：S 矩形ABCD ＝S ∠APQ .例1图1085F ABCD E 例2图DABCE 例3图BC DEF G HA例4图EABPCD【例5】如图，在Rt ∠ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝8，AC ＝6，若动点D 从点B 出发，沿线段BA 运动到点A 为止，移动速度为每秒2个单位长度. 过点D 作DE ∠BC 交AC 于点E ，设动点D 运动的时间为x 秒，AE 的长为y .(1) 求出y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2) 当x 为何值时，△BDE 的面积S 有最大值，最大值为多少？【例6】如图，设P 为∠ABC 内任意一点，直线AP ，BP ，CP 交BC ，CA ，AB 于点D ，E ，F . 求证：(1)PD AD ＋PE BE ＋PFCF＝1； (2)P A AD ＋PB BE ＋PC CF＝2A 级1．如图， ABCD 中，AE ∠BE ＝1∠2，S ∠AEF ＝6cm 2，则S ∠CDF 的值为________.2．如图，正六边形ABCDEF 的边长为23cm ，P 为正六边形内任一点，则点P 到各边距离之和为_______.例5图A BCDE例6图ABCDFE第1题图FAB CDE第2题图ABCF第3题图APD3．如图，P 是边长为8的正方形ABCD 外一点，PB ＝PC ，∠PBD 的面积等于48，则∠PBC 的面积为_____________.4．如图，已知∠BOF ，∠AOF ，∠BOD ，∠COE 的面积分别为30，40，35，84，则∠ABC 的面积为________. 5．如图，已知AD 是Rt ∠ABC 斜边BC 上的高，DE 是Rt ∠ADC 斜边上的高，如果DC ∠AD ＝1∠2， S ∠DCE ＝a ，那么S ∠ABC 等于 ( )A ．4aB ．9aC ．16aD ．25a6．如图，已知M 是 ABCD 边AB 的中点，CM 交BD 于点E ，则图中阴影部分面积与 ABCD 的面积之比为（ ）A ．16B ．14C ．13D ．5127．如图，在∠ABC 中，DE ∠BC ，DE 分别交AB ，AC 于点D ，E ，若S ∠ADE ＝2S ∠DCE ，则S ∠ADES ∠ABC等于( )A ．14B ．12C ．23D ．498．如图，∠ABC 是边长为6cm 的等边三角形，被一平行于BC 的矩形所截，AB 被截成三等分，则图中阴影部分面积面积为（ ）cm 2.A ．4B ．2 3C ．3 3D ．4 39．如图，平面上有两个边长相等的正方形ABCD 和 A ′B ′C ′D ′，且正方形A ′B ′C ′D ′的顶点A ′在正方形ABCD 的中心，当正方形A ′B ′C ′D ′绕A ′ 转动时，两个正方形重合部分的面积必然是一个定值. 这个结论对吗？证明你的判断.第4题图OA BCDEF 第5题图EDABC第6题图E ABCDM第7题图ABCD E 第8题图 HGF E B第9题图 A BCDA'C'D'10．如图，设凸四边形ABCD 的一组对边AB ，CD 的中点分别为K ，M .求证：S 四边形ABCD ＝S ∠ABM ＋S ∠DCK..11．如图1，AB ，CD 是两条线段，M 是AB 的中点，S ∠DMC ，S ∠DAC ，S ∠DBC 分别表示∠DMC ，∠DAC ，∠DBC 的面积，当AB ∠CD 时，有S ∠DMC ＝S ∠DAC ＋S ∠DBC2………..∠.(1) 如图2，若图1中AB 与CD 不平行时，∠式是否成立？请说明理由.(2) 如图3，若图1中AB 与CD 相交于点O 时， 问S ∠DMC 与S ∠DAC 和S ∠DBC 有何相等关系？试证明你的结论.12．如图，在∠ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，将∠ABC 绕顶点C 顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到∠A ′B ′C ′.(1) 如图1，当AB ∠CB ′时，设A ′B ′与CB 相交于点D ，证明：∠A ′CD 是等边三角形；(2) 如图2，连接A ′A ，B ′B ，设∠ACA ′和∠BCB ′的面积分别为S ∠ACA ′和S ∠BCB ′.求证：S ∠ACA ′∠S ∠BCB ′＝1∠3. (3) 如图3，设AC 的中点为E ，A ′B ′的中点为P ，AC ＝a ，连接EP ，当θ＝_____时，EP 长度最大，最大值是____________.图2图1图3O BCBA DCADCAMMM第10题图A BD K MB 级1．如图，A 在线段BG 上，ABCD 和DEFG 都是正方形，面积分别为7cm 2和11cm 2，则∠CDE 的面积等于___________cm 2.2．如图，P 为正方形ABCD 内一点，P A ＝PB ＝10，并且P 到CD 边的距离也等于10，那么正方形ABCD 的面积是_______________.3．如图，四边形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，DC 上，DF FC ＝1，CEBE ＝2，若∠ADF 的面积为m ，四边形AECF 的面积为n (n ＞m )，则四边形ABCD 的面积为___________.4．如图，图形ABCD 中，AB ∠CD ，AC 和BD 相交于点O ，若AC ＝5，BD ＝12，中位线长为132，∠AOB的面积为S 1，∠OCD 的面积为S 2，则S 1＋S 2＝_________.5．如图，分别延长∠ABC 的三边AB ，BC ，CA 至A ′，B ′，C ′，使得AA ′＝3AB ，BB ′＝3BC ，CC ′＝3AC ，若S ∠ABC ＝1，则S ∠A ′B ′C ′等于 ( ).A ．18B ．19C ．24D ．276．如图，若ABCD 是2×2的正方形，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，AF 与DE 相交于点I ，BD 和AF 相交于点H ，那么四边形BEIH 的面积是 ( )A ．13B ．52 C ．715 D ．815θθθ图2图1图3DA CB A'B'ACBA'B'A CB A'B'E P第1题图C BG D EFA第2题图ABCDP第3题图ABCD FE第4题图OA CB7．如图，矩形ABCD 中，E 是BC 上的一点，F 是CD 上的点，已知S ∠ABE ＝S ∠ADF ＝13S ABCD ，则S △AEF S △CEF的值等于 ( )A ．2B ．3C ．4D ．58．(1) 探究：如图1，在 ABCD 的形外分别作等腰直角三角形ABF 和等腰直角三角形ADE ，∠F AB ＝∠EAD ＝90°，连接AC ，EF. 在图中找一个与∠F AE 全等的三角形，并加以证明.(2) 应用：以 ABCD 的四条边为边，在其形外分别作正方形，如图2，连接EF ，GH ，IJ ，KL ，若 ABCD 的面积为5，则图中阴影部分四个三角形的面积之和为____________.9．如图，在梯形ABCD 中，AD ∠BC ，AB ＝AD ＝DC ＝2cm ，BC ＝4cm ，在等腰∠PQR 中，∠QPR ＝120°，底边QR ＝6cm ， 点B ，C ，Q ，R 在同一条直线l 上，且C ，Q 两点重合，如果等腰∠PQR 以1cm/s 的速度沿直线l 箭头所示方向匀速运动，t 秒时梯形ABCD 与等腰∠PQR 重合部分的面积记为S cm 2.(1) 当t ＝4时，求S 的值；(2) 当4≤t ≤10时，求S 与t 的函数关系式，并求出S 的最大值.10．有一根直尺的短边长为2cm ，长边长为10cm ，还有一块锐角为45°的直角三角纸板，它的斜边长为12cm ，如图1将直尺的短边DE 放置与直角三角纸板的斜边AB 重合，且点D 与点A 重合 将直尺沿AB 方向平移，如图2，设平移的长为x cm(0≤x ≤10)，直尺与三角形纸板重叠部分（图中阴影部分）的面积S cm 2.(1) 当x ＝0时，S ＝________，当10 x 时，S ＝________； (2) 当0＜x ≤4时，求S 关于x 的函数关系式；图1图2A DBCFE LK JIH GAD B CEF第5题图 A'B'C'A CB 第6题图 I HABC DEF 第7题图 A B CD EF第9题图ADP(3) 当4＜x ＜10时，求S 关于x 的函数关系式，并求出S 的最大值.11．如图，设H 是等腰三角形ABC 的三边上的高线的交点，在底边BC 保持不变的情况下，让顶点A 至底边BC 的距离变小（仍保持三角形为等腰三角形），这时HBC ABC S S ∆∆⋅的值变大、变小、还是不变?证明你的结论.12．(1) 请你在图1中作一条直线，使它将矩形ABCD 分成面积相等的两部分；(2) 如图2，点M 是矩形ABCD 内一定点，请你在图2中过点M 作一条直线，使它将矩形ABCD 分成面积相等的两部分；(3) 如图3，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD 是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中DC ∠OB ，OB ＝6，BC ＝4，CD ＝4. 开发区综合服务管理委员会(其占地面积不计)设在点P (4，2)处. 为了方便驻区单位，准备过点P 修一条笔直的道路(路的宽不计)，并且使这条路所在的直线l 将直角梯形OBCD 分成面积相等的两部分. 你认为直线l 是否存在?若存在，求出直线l 的表达式；若不存在，请说明理由.图1图2FGFBC A BCEExy图1图2图3OC D DCBAMDCPB 第11题图 H DE F A。
苏教版六年级数学下册试题 一课一练《图形与几何-平面图形的面积》习题1 【含答案】
《图形与几何-平面图形的面积》一．选择题1．把一张长方形纸的长边减去，剩下的正好是一个正方形，面积比原来减少，原15cm5cm2来这张纸的面积是多少？第 种算法正确．2cm()A．B．÷+⨯155(1555)÷⨯÷+(1555)5C．D．+÷1555(155)5⨯+2．与面积是12平方厘米的平行四边形等底等高的三角形的面积是 平方厘米．()A．4B．6C．12D．243．图中（单位：厘米）三角形的周长可能是 厘米．()A．16B．17C．26D．274．把一个长方形框架，拉成一个平行四边形，平行四边形的面积与原长方形面积相比， ( )A．长方形面积大B．平行四边形面积大C．一样大D．无法比较5.正方形的边长扩大到原来的2倍，则它的面积 ()A．扩大到原来的2倍B．扩大到原来的3倍C．扩大到原来的4倍6.将一个长，宽的长方形纸剪成若干个面积相等的正方形，要求没有剩余且正方形24cm18cm的面积最大，每个正方形的面积是多少平方厘米？ ()A．6B．24C．367.如图中，平行四边形的高是，它的对应底是 28cm()A．B．C．D．36cm20cm25cm28cm8.一个梯形的上底是9分米，下底是15分米，高是6分米，在这个梯形里面画一个最大的三角形，这个三角形的面积是 平方分米．()A．18B．36C．45D．67.59.工人师傅常把木材堆放成右图形状．一次伐木后，工人师傅将木材堆放起来，最下层放9根，最上层放3根，每相邻两层都相差1根，这次伐木堆放的木材共 根．()A．12B．20C．36D．42二．填空题1.从一块正方形土地中，划出一块宽为1米的长方形土地（阴影部分），剩下的长方形土地面积是15.75平方米，划出去的长方形土地的面积是 ．2.如图中的阴影部分的面积占长方形的 ．3.在边长8厘米的正方形内，有两条垂直相交的线段，其中一条长10厘米，另一条长 厘米．4.一个三角形和平行四边形底相等，面积也相等，平行四边形的高是6厘米，三角形的高是 ．5.一个平行四边形的面积是24平方厘米，高是8厘米，底是 厘米．一个三角形的底是3厘米，高是8厘米，这个三角形的面积是 厘米．从上面的描述中你发现 ．三．判断题1.边长是10厘米的正方形，面积是1平方分米．（ ）2.一个长方形，长增加4米，宽增加5米，它的面积就增加20平方米（ ）3.一个等腰三角形的两条边分别长和，这个等腰三角形的周长一定是．（ ）3cm 6cm 15cm 4.梯形的面积等于平行四边形面积的一半．（ ）5.公式梯，当时，就是平行四边形的面积计算公式．（ ）S ()2a b h =+÷a b =四．应用题1.农民王伯伯家有一块直角三角形的菜地（如图，单位：米），如果王伯伯从点步行到菜地B 的边缘上，最少要走多少米？AC2.一块梯形广告牌，上底长5.4米，下底长12米，高40分米，两面喷漆，每平方米用油漆200克，共用油漆多少千克？3.一间会议室用面积为16平方分米的方砖铺地，需要540块，如果改用边长为6分米的方砖铺地，需要多少块？五．解答1.一个长方形足球场的周长为350米，长和宽的比为．国际足球比赛的标准足球场的长3:2在100米到110米之间，宽在64米到75米之间．这个足球场可以用来举办国际足球比赛吗？（计算说明）2.开发区有一条宽为8米的人行道，占地面积是720平方米．为了方便，道路的宽度要增加到16米，长不变．你能计算出拓宽后这条人行道的面积是多少平方米吗？3.将图中的平行四边形分成一个三角形和一个梯形，已知梯形比三角形面积大40平方厘米，梯形的下底是多少厘米？CD4.王大伯利用一面墙围成一个鸡圈（如图）已知所用篱笆全长，请你帮王大伯算出这个30.3m鸡圈的面积是多少．m5.在如图中，平行四边形的边长10厘米，直角三角形的直角边长8厘ABCD BC ECB EC 米．已知阴影部分的总面积比三角形的面积大10厘米，求平行四边形的面EFG2ABCD 积．6.陈俊家的厨房地面长3米，宽2米，用面积是4平方分米的正方形地砖铺厨房地面，需要多少块？7.一块长方形菜地宽15米，如果长不变，宽增加4米，面积就增加了120平方米，这块菜地原来有多少平方米？（先画出示意图，再列式解答）8.用四根小棒做成一个长方形，然后拉成一个平行四边形，如图．拉成后平行四边形面积比原来长方形面积增加了还是减少了？增加或减少了多少平方厘米？9.先算出下面每个平行四边形的面积，再算出每个图中涂色部分的面积．（单位：)dm（1）（2）10.如图，三角形的周长是30厘米，三角形内一点到三角形三条边的距离都是3厘米，ABC求三角形面积．11.一块梯形广告牌，上底是9米，下底是12.8米，高是6米，如果要给这块广告牌刷油漆，每平方米用油漆0.6千克，共需多少千克油漆？答案一．选择题1．．2．．3．．4． 5.．6.．7.．8.．9.．A B B A C C C C D 二．填空题1.4.5平方米．2.．143.6.4．4.12厘米．5.3，12，和三角形等底等高的平行四边形的面积是三角形面积的二倍．三．判断题1.．2.．3.．4.．5.．√⨯√⨯√四．应用题1.解：设最少要走米．x 1321252x ÷=⨯÷ 1360x =6013x =答：最少要走米．60132.解：200克千克0.2=40分米米4=(5.412)4220.2+⨯÷⨯⨯17.44220.2=⨯÷⨯⨯69.60.2=⨯（千克）13.92=答：一共用油漆13.92千克．3.解：16540(66)⨯÷⨯864036=÷（块240=)答：需要240块．五．解答题1.解：（米3502175÷=)175(32)÷+1755=÷（米35=)（米353105⨯=)（米35270⨯=)110米米米105>100>75米米米70>64>答：这个足球场可以用来举办国际足球比赛．2.解：720816÷⨯9016=⨯（平方米）1440=答：拓宽后这条人行道的面积1440平方米．3.解：三角形的面积：，(25840)2⨯-÷，(20040)2=-÷，1602=÷（平方厘米），80=的长度：（厘米），BC 802820⨯÷=所以的长度为（厘米）；CD 25205-=答：梯形的下底是5厘米．CD 4.解：，(9.814.5)62+⨯÷，24.362=⨯÷，145.82=÷（平方米）；72.9=答：这个鸡圈的面积是72.9平方米．5.解：，108210⨯÷+，4010=+（平方厘米）；50=答：平行四边形的面积是50平方厘米．ABCD 6.解：（平方米）326⨯=6平方米平方分米600=（块6004150÷=)答：需要150块．7.解：如图：120415÷⨯3015=⨯（平方米）450=答：这块菜地原来有450平方米．8.解：7574⨯-⨯3528=-（平方厘米）7=答：拉成后平行四边形面积比原来长方形面积减少了，减少了7平方厘米．9.解：（1）（平方分米），8324⨯=（平方分米），24212÷=答：这个平行四边形的面积是24平方米，其中涂色部分的面积是12平方分米．（2）（平方分米），5315⨯=（平方分米），1527.5÷=答：这个平行四边形的面积是15平方分米，其中涂色部分的面积是7.5平方分米．10.解：如图：ABC APB APC BPCS S S S ∆∆∆∆=++222AB BP AC PE BC PD =⨯÷+⨯÷+⨯÷1()2PD AB AC BC =⨯++13302=⨯⨯（平方厘米）45=答：三角形的面积是45平方厘米．ABC 11.解：(912.8)620.6+⨯÷⨯21.8620.6=⨯÷⨯130.820.6=÷⨯65.40.6=⨯（千克）；39.24=答：这块广告牌需要39.24千克油漆．。
阴影部分面积专题练习40题
24．已知凸四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，且△ABC，△ACD，△ABD 的面积分别 为 S1=5，S2=10，S3=6．求△ABO 的面积．
25．如图，已知 AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，且 AB 13 ， BC 5 ．求图中阴影部
分的面积．
C
D
A
O
B
26．如下图，Rt△ABC 中，AC=8，BC=6，∠C=90°，分别以 AB、BC、AC 为直径作三个半圆，
阴影部分的面积为
。
34．如图，半圆 A 和半圆 B 均与 y 轴相切于点 O，其直径 CD、EF 均和 x 轴垂直，以 O 为顶 点的两条抛物线分别经过 C、E 和 D•、•F，•则图中阴影部分的面积是_________．
35．如图，大半圆 O 与小半圆 O1 相切于点 C ，大半圆的弦 AB 与小半圆相切于点 Q，且 AB ∥CD，AB＝4cm，求阴影部分的面积？
【题 2】由于每个扇形圆心角的具体角度未知，故无法直接进行计算。因为五边形 ABCDE
的内角和=540°=360°+180°，从而可知所求阴影部分的面积可以重新组合成一个圆和一个 半圆的面积，即 1.5 个圆的面积：
【题 3】在
，选（B）。 中，
所以
又易证
，
故所求阴影面积为整个图形的总面积减去空白图形的面积，即
11. 四个半径均为 r 的圆如下图放置，相邻两圆交点之间的距离也等于 r，不相邻两圆圆周 上两点间的最短距离等于 2，则 r 等于___________；下图中阴影部分的面积等于 _________。（精确到 0.01）
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周远飞
/zyfmba
17．有两个等腰直角三角形，它们的直角边分别为 7 厘米、10 厘米，CF 为 1 厘米，求重合 部分的面积（如图 15 所示，单位：厘米）。
平面图形的面积
= 2∫
π
0
1 + a cos xdx ,
2 2
设椭圆的周长为 s 2
s2 = ∫
2π
0
( x′) + ( y′) dt,
2 2
π
根据椭圆的对称性知
s2 = 2∫
= 2∫
0
π
(sin t )
2
+ (1 + a )(cos t ) dt
2 2
0
1 + a 2 cos 2 t dt
= 2∫
π
0
1 + a 2 cos 2 xdx = s1 ,
0 x
x
两边同时对 x 求导
3 f ( x ) = 2 y + 2 xy ′ ⇒ 2 xy ′ = y 2 y′ 1 积分 ⇒ 2 ln | y |= ln | x | + c 1 = ⇒ y x
∴ y = cx , 其中c = ± e .
2
c1
9 ∴ y = x , 因为 f ( x ) 为单调函数 2 3 2x. 所以所求曲线为 y = 2
例 3
计算由曲线 y 2 = 2 x 和直线 y = x − 4 所围
成的图形的面积. 成的图形的面积
解 两曲线的交点
y = x−4
y2 = 2x y = x−4
⇒ ( 2,−2), (8,4).
y2 = 2 x
选 y 为积分变量
4
y ∈ [−2, 4] −
y2 dy = 18. A = ∫ y+4− −2 2
x = 1+sh dx =ch dx c c b x sh x b ∴ s =2∫ ch dx =2c c 0 0 c xb 1 x = 2csh (cch )′ =c⋅ sh c c c c
几何体的表面积 · 练习卷1-10题
几何体的表面积·练习卷（10题）1．如图，有一个棱长是4cm 的正方体，从它的一个顶点处挖去一个棱长是1cm 的正方体后，剩下物体的表面积和原来物体的表面积相比较（）A．变大了B．变小了C．没变D．无法确定变化2．一个棱长为2cm 的正方体，挖掉一个棱长为1cm 的小正方体后（如图），它的表面积（）A．比原来大B．比原来小C．不变3．从棱长为2的正方体毛坯的一角，挖去一个棱长为1的小正方体，得到一个如图所示的零件，则这个零件的表面积是（）A．20B．22C．24D．264．从棱长为＞1）（a a 的正方体毛坯的一角，挖去一个棱长为1的小正方体，得到一个如图所示的零件，则这个零件的表面积是（）A．＋362a B．26a C．－362a D．－162a 5．从图1中的大正方体中截去一个小正方体后，可得到图2中的几何体．设图1中的大正方体的表面积为S ，图2中的几何体的表面积为S′，那么S′与S 的大小关系是（）A．＝S S′B．＞S S′C．＜SS′D．不确定6．如图，从一个棱长为3cm 的正方体的一顶点处挖去一个棱长为1cm 的正方体，则剩余部分的体积和表面积分别是（）A．27cm 3，54cm 2B．26cm 3，54cm 2C．27cm 3，51cm 2D．26cm 3，51cm 27．如图，积木堆由18块相同的方形积木堆成，任意取走叠在一起的上、下共两块积木，则积木堆的表面积（）A．必会改变B．不变或增加C．不变或减少D．可增可减也可不变8．如图，把一个棱长为3的正方体的每个面等分成9个小正方形，然后沿每个面正中心的一个正方形向里挖空（相当于挖去7个小正方体），所得到的几何体的表面积是（）A．78B．72C．54D．489．如图，长方体ABCD－A′B′C′D′的长、宽、高分别为c b a 、、．用它表示一个蛋糕，横切两刀、纵切一刀再立切两刀，可分成3×2×3＝18块大小不一的小长方体蛋糕，这18块小蛋糕的表面积之和为（）A．）＋＋（6ca bc ab B．ca b c a ＋4）＋（6C．）＋＋（4ca bc ab D．无法计算10．如图，把一个圆柱体切割后拼成一个长方体，则与原来的圆柱体相比，切拼后的长方体的体积和表面积如何变化？（）A．体积不变，表面积比原来大B．体积不变，表面积比原来小C．都不变几何体的表面积·练习卷（10题）参考答案与试题解析一、选择题（共50小题）1．如图，有一个棱长是4cm的正方体，从它的一个顶点处挖去一个棱长是1cm的正方体后，剩下物体的表面积和原来物体的表面积相比较（C）A．变大了B．变小了C．没变D．无法确定变化【分析】观察图形可发现：从大正方体的一个顶点处挖去一个（棱长是1cm的）小正方体后，剩下物体的表面减少了三个（边长是1cm的正方形）面，又增加了三个（边长是1cm的正方形）面，所以剩下物体的表面积和原来物体的表面积相等，并未发生变化．【解答】解：从大正方体的一个顶点处挖去一个小正方体后，剩下物体的表面积和原来物体的表面积相比较，没变．故此题答案选：C．【点评】此题考查了几何体的表面积．要明确从大正方体的一个顶点处挖去一个小正方体后，剩下物体的表面积不变．（如果从其它地方挖呢？表面积会发生怎样的改变？）2．一个棱长为2cm的正方体，挖掉一个棱长为1cm的小正方体后（如图），它的表面积（C）A．比原来大B．比原来小C．不变【分析】观察图形可发现：从大正方体的一个顶点处挖去一个（棱长为1cm的）小正方体后，剩下物体的表面减少了三个（边长为1cm的正方形）面，又增加了三个（边长为1cm的正方形）面，所以剩下物体的表面积和原来物体的表面积相等，并未发生变化．【解答】解：从大正方体的一个顶点处挖去一个小正方体后，剩下物体的表面积和原来物体的表面积相比较，不变．故此题答案选：C．【点评】此题考查了几何体的表面积．要明确从大正方体的一个顶点处挖去一个小正方体后，剩下物体的表面积不变．（如果从其它地方挖呢？表面积会发生怎样的改变？）3．从棱长为2的正方体毛坯的一角，挖去一个棱长为1的小正方体，得到一个如图所示的零件，则这个零件的表面积是（C ）A．20B．22C．24D．26【分析】观察图形可发现：从大正方体的一个顶点处挖去一个（棱长为1的）小正方体后，剩下物体的表面减少了三个（边长为1的正方形）面，又增加了三个（边长为1的正方形）面，所以剩下物体的表面积和原来物体的表面积相等，并未发生变化．所以只需计算求出原（棱长为2的）正方体的表面积即可得解．【解答】解：从大正方体的一个顶点处挖去一个小正方体后，剩下物体的表面积和原来物体的表面积相等．因为原来的棱长为2的正方体的表面积为2×2×6＝24，所以得到的这个零件的表面积为24．故此题答案选：C．【点评】此题考查了几何体的表面积．从大正方体的一个顶点处挖去一个小正方体后，剩下物体的表面积不变．解答此题还可以把每个面的面积计算出来然后相加，这样比较麻烦．4．从棱长为＞1）（a a 的正方体毛坯的一角，挖去一个棱长为1的小正方体，得到一个如图所示的零件，则这个零件的表面积是（B ）A．＋362a B．26a C．－362a D．－162a 【分析】观察图形可发现：从大正方体的一个顶点处挖去一个（棱长为1的）小正方体后，剩下物体的表面减少了三个（边长为1的正方形）面，又增加了三个（边长为1的正方形）面，所以剩下物体的表面积和原来物体的表面积相等，并未发生变化．所以只需计算求出原（棱长为a 的）正方体的表面积即可得解．【解答】解：从大正方体的一个顶点处挖去一个小正方体后，剩下物体的表面积和原来物体的表面积相等．因为原来的棱长为a 的正方体的表面积为26＝6××a a a ，所以得到的这个零件的表面积为26a ．故此题答案选：B．【点评】此题考查了几何体的表面积．从大正方体的一个顶点处挖去一个小正方体后，剩下物体的表面积不变．解答此题还可以把每个面的面积计算出来然后相加，这样比较麻烦．5．从图1中的大正方体中截去一个小正方体后，可得到图2中的几何体．设图1中的大正方体的表面积为S，图2中的几何体的表面积为S′，那么S′与S的大小关系是（A）A．＝SS′D．不确定S′C．＜SS′B．＞S【分析】观察图形可发现：从大正方体的一个顶点处挖去一个小正方体后，剩下物体的表面减少了三个相同的正方形面，又增加了三个同样的正方形面，所以剩下物体的表面积和原来物体的表面积相等，并未发生变化．【解答】解：从大正方体的一个顶点处挖去一个小正方体后，剩下物体的表面积和原来物体的表面积相等，所以＝SS′．故此题答案选：A．【点评】此题考查了几何体的表面积．要明确从大正方体的一个顶点处挖去一个小正方体后，剩下物体的表面积不变．（如果从其它地方挖呢？表面积会发生怎样的改变？）6．如图，从一个棱长为3cm的正方体的一顶点处挖去一个棱长为1cm的正方体，则剩余部分的体积和表面积分别是（B）A．27cm3，54cm2B．26cm3，54cm2C．27cm3，51cm2D．26cm3，51cm2【分析】观察图形可发现：从大正方体的一个顶点处挖去一个（棱长为1cm的）小正方体后，剩余部分的表面减少了三个（边长为1cm的正方形）面，又增加了三个（边长为1cm的正方形）面，所以剩余部分的表面积和原大正方体的表面积相等，还是3×3×6＝54cm2．而剩余部分的体积＝原大正方体的体积－挖去的小正方体的体积＝3×3×3－1×1×1＝26cm3．【解答】解：因为剩余部分的体积＝原大正方体的体积－挖去的小正方体的体积，所以，剩余部分的体积为：3×3×3－1×1×1＝27－1＝26（cm3）；因为剩余部分的表面积与原大正方体的表面积相等，所以，剩余部分的表面积为：3×3×6＝54（cm2）．故此题答案选：B．【点评】此题考查了几何体的体积和表面积．要明确从大正方体的一个顶点处挖去一个小正方体后，剩余部分的体积变小，表面积不变．7．如图，积木堆由18块相同的方形积木堆成，任意取走叠在一起的上、下共两块积木，则积木堆的表面积（A）A．必会改变B．不变或增加C．不变或减少D．可增可减也可不变【分析】由于可从该积木堆的不同位置取走两块积木，取的位置不同，积木堆的表面积发生的变化也可能不同，所以解答此题要根据取走的两块积木所在的位置分三种情况讨论．【解答】解：①若取走的积木是正中间的两块，则积木堆的表面积的变化情况是：减少2，增加8，故积木堆的表面积增加8－2＝6；②若取走的积木是四个角处的两块，则积木堆的表面积的变化情况是：减少6，增加4，故积木堆的表面积减少6－4＝2；③若取走的积木是边上中间的两块，则积木堆的表面积的变化情况是：减少4，增加6，故积木堆的表面积增加6－4＝2．综上所述，积木堆的表面积可能增加也可能减少（不可能不变），必会变化．故此题答案选：A．【点评】此题考查了几何体的表面积．根据取走的积木位置的不同进行讨论是解题的关键．8．如图，把一个棱长为3的正方体的每个面等分成9个小正方形，然后沿每个面正中心的一个正方形向里挖空（相当于挖去7个小正方体），所得到的几何体的表面积是（B）A．78B．72C．54D．48【分析】根据题意可推知，①原正方体是由27个棱长为1的小正方体组成的，它的表面积为3×3×6＝54；②按照如图挖去7个小正方体后，所得到的几何体的表面由外表面和内表面两个部分组成．其中外表面由原来的六个面组成，每个面的面积都减少了1×1＝1，所以外表面的面积为54－1×6＝48；内表面由被挖去的6个（除去正中心的那个）小正方体的各4个面组成，所以内表面的面积为1×1×4×6＝24．由此即可求出所得到的几何体的表面积．【解答】解：所得到的几何体的表面积为：3×3×6－1×1×6＋1×1×4×6＝54－6＋24＝72．故此题答案选：B．【点评】此题考查了几何体的表面积．解答此题的关键是要能够想象出物体表面积的变化情况，主要考查空间想象能力．9．如图，长方体ABCD－A′B′C′D′的长、宽、高分别为c b a 、、．用它表示一个蛋糕，横切两刀、纵切一刀再立切两刀，可分成3×2×3＝18块大小不一的小长方体蛋糕，这18块小蛋糕的表面积之和为（B ）A．）＋＋（6ca bc ab B．ca b c a ＋4）＋（6C．）＋＋（4ca bc ab D．无法计算【分析】每切一刀，表面积就增加了两个切面的面积，那么先求出原长方体的表面积，再加上切割增加的所有切面的面积之和，得到的就是这18块小蛋糕的表面积之和．【解答】解：原长方体ABCD－A′B′C′D′的表面积为：ca bc ab ＋2＋22；横切两刀增加的表面积为：bc bc 2＝4×2；纵切一刀增加的表面积为：ca 2；立切两刀增加的表面积为：ab ab 2＝4×2；所以，这18块小蛋糕的表面积之和为：．＋4）＋（＝6＋4＋6＝6＋4＋2＋4＋2＋22 ca b c a cabc ab abca bc ca bc ab 故此题答案选：B．【点评】此题考查了几何体的表面积．解答此题的关键是要明确“每切一刀，表面积就增加了两个切面的面积”．10．如图，把一个圆柱体切割后拼成一个长方体，则与原来的圆柱体相比，切拼后的长方体的体积和表面积如何变化？（A ）A．体积不变，表面积比原来大B．体积不变，表面积比原来小C．都不变【分析】观察图形可发现：假设圆柱体的底面半径为r 、高为h ，则切拼后的长方体的长为πr 、宽为r 、高为h ．那么圆柱体的体积为h πr 2、表面积为πrh πr ＋222，切拼后的长方体的体积为h πr 2、表面积为rh πrh πr ＋2＋222．即切拼后的长方体的体积不变，表面积比原来大．【解答】解：把一个圆柱体切拼成一个长方体，其体积不变，表面积比原来大．故此题答案选：A．【点评】此题考查了几何体的体积和表面积．能正确地识别图形是解答此题的关键．。
五年级数学常见几何图形面积题库
五年级数学常见几何图形面积题库题目1：计算矩形的面积，已知其长为12cm，宽为8cm。
解答1：矩形的面积可以通过长乘以宽来计算。
根据已知信息，长为12cm，宽为8cm，可以用以下公式计算面积：面积 = 长 ×宽代入已知数据，得到：面积 = 12cm × 8cm = 96cm²答案1：矩形的面积为96平方厘米。
题目2：一个正方形的边长为6cm，求其面积。
解答2：正方形的边长相等，所以可以直接用任意一条边的长度计算面积。
根据已知信息，边长为6cm，可以使用以下公式计算面积：面积 = 边长 ×边长代入已知数据，得到：面积 = 6cm × 6cm = 36cm²答案2：正方形的面积为36平方厘米。
题目3：一个圆的半径为5cm，求其面积，保留π的值为3.14。
解答3：圆的面积可以通过半径的平方再乘以π来计算。
根据已知信息，半径为5cm，π的值为3.14，可以用以下公式计算面积：面积 = 半径² × π代入已知数据，得到：面积= 5cm² × 3.14 ≈ 78.5cm²答案3：圆的面积约为78.5平方厘米。
题目4：一个三角形的底边长为8cm，高为12cm，求其面积。
解答4：三角形的面积可以通过底边长乘以高再除以2来计算。
根据已知信息，底边长为8cm，高为12cm，可以使用以下公式计算面积：面积 = 底边长 ×高 ÷ 2代入已知数据，得到：面积 = 8cm × 12cm ÷ 2 = 48cm²答案4：三角形的面积为48平方厘米。
题目5：一个梯形的上底长为5cm，下底长为10cm，高为6cm，求其面积。
解答5：梯形的面积可以通过上底长、下底长和高来计算。
根据已知信息，上底长为5cm，下底长为10cm，高为6cm，可以使用以下公式计算面积：面积 = （上底长 + 下底长） ×高 ÷ 2代入已知数据，得到：面积 = （5cm + 10cm） × 6cm ÷ 2 = 45cm²答案5：梯形的面积为45平方厘米。
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平面几何图形面积练习题
在平面几何中，图形的面积是一个常见的概念。
计算图形的面积既可以是实际生活中的问题，也可以是学习数学的一个重要知识点。
在本文中，我们将通过一些练习题来巩固对平面几何图形面积计算的理解和应用。
题目一：矩形的面积计算
计算下列矩形的面积：
1. 长为10厘米，宽为5厘米的矩形的面积是多少？
2. 如果一个矩形的长是3倍于宽，且宽为4米，那么它的面积是多少？
解答：
1. 矩形的面积可以通过长乘以宽来计算。
所以，长为10厘米，宽为5厘米的矩形的面积是10厘米 × 5厘米 = 50平方厘米。
2. 根据题目中的条件，该矩形的长为3 × 4米 = 12米。
因此，它的面积为12米 × 4米 = 48平方米。
题目二：三角形的面积计算
计算下列三角形的面积：
1. 底边长为10厘米，高为6厘米的三角形的面积是多少？
2. 边长分别为5厘米、12厘米和13厘米的三角形的面积是多少？
解答：
1. 三角形的面积可以通过底边乘以高再除以2来计算。
所以，底边长为10厘米，高为6厘米的三角形的面积是（10厘米 × 6厘米）/ 2 = 30平方厘米。
2. 根据海伦公式，我们可以通过三角形的边长来计算其面积。
设三角形的三边长分别为a、b、c，它们的半周长为s，那么三角形的面积可以通过以下公式计算：面积= √(s × (s - a) × (s - b) × (s - c))，其中，s = (a + b + c) / 2。
根据题目中给出的边长，可以计算得到s = (5厘米 + 12厘米 + 13厘米) / 2 = 15厘米。
代入公式计算得到面积= √(15厘米 × (15厘米 - 5厘米) × (15厘米 - 12厘米) × (15厘米 - 13厘米)) = 30平方厘米。
题目三：圆的面积计算
计算下列圆的面积：
1. 半径为5厘米的圆的面积是多少？
2. 直径为8厘米的圆的面积是多少？
解答：
1. 圆的面积可以通过半径的平方乘以π（即3.14159...）来计算。
所以，半径为5厘米的圆的面积是5厘米 × 5厘米× π = 25π平方厘米。
2. 直径为8厘米的圆的半径等于直径的一半，即4厘米。
因此，它的面积为4厘米 × 4厘米× π = 16π平方厘米。
综上所述，通过以上的练习题，我们巩固了矩形、三角形和圆形的面积计算方法。
通过这些练习，我们可以更好地理解和应用平面几何中图形面积的概念。
希望这些练习题对你的学习有所帮助！。