第一章概率论的基本概论

第一章概率论的基本概论确定现象：在一定条件下必然发生的现象，如向上抛一石子必然下落，等随机现象：称某一现象是“随机的”，如果该现象（事件或试验）的结果是不能确切地预测的。

由此产生的概念有：随机现象，随机事件，随机试验。

例：有一位科学家，他通晓现有的所有学科，如果对一项试验（比如：掷硬币），该万能科学家也无法确切地预测该实验的结果（是正面朝上还是反面朝上），这一实验就是随机实验，其结果是“随机的”----为一随机事件。

例：明天下午三点钟”深圳市区下雨”这一现象是随机的，其结果为随机事件。

随机现象的结果（随机事件）的随机度如何解释或如何量化呢？这就要引入”概率”的概念。

概率的描述性定义：对于一随机事件A ，用一个数P(A)来表示该事件发生的可能性大小，这个数P(A)就称为随机事件A 发生的概率。

§1.1 随机试验以上试验的共同特点是:1．试验可以在相同的条件下重复进行；2．试验的全部可能结果不止一个，并且在试验之前能明确知道所有的可能结果；3．每次试验必发生全部可能结果中的一个且仅发生一个，但某一次试验究竟发生哪一个可能结果在试验之前不能预言。

我们把对随机现象进行一次观察和实验统称为随机试验，它一定满足以上三个条件。

我们把满足上述三个条件的试验叫随机试验，简称试验，记E 。

§1.2样本空间与随机事件(一) 样本空间与基本事件E的一个可能结果称为E 的一个基本事件，记为ω，e 等。

E 的基本事件全体构成的集，称为E 的样本空间，记为S 或Ω,即：S={ω|ω为E 的基本事件}，Ω={e}.注意：ω的完备性，互斥性特点。

S 4={1,2,3,4,5,6} E 5: S 5={0,1,2,3,…} E 6：S 5={t 0≥t }E 7：S 7={()y x ,10T y x T ≤≤≤}（二） 随机事件我们把试验E 的全部可能结果中某一确定的部分称为随机事件。

记为D C B A ,,,在一次试验中，事件A 发生的含义是，当且仅当A 中的某一个基本事件发生。

事件A 发生也称为事件A 出现。

必然事件：S不可能事件：φ例1.(P4) 在E 2中事件A 1:”第一次出现是的H ”, 即：(三) 事件的关系与运算 n 211．BA ⊂2．AB B A B A ⊂⊂⇔=且 3．""都发生与B A B A AB =⋂= 4．""""发生发生或至少发生一个与B A B A B A ==⋃5．""不发生发生而B A B A =-"""", .6互不相容与互斥或与称为不能同时发生与即若B A B A B A AB φ= 7．对立与称且若B A S B A AB ,=⋃=φ。

记AA S A AB B A -≠-===1,或。

(常用的关系） 补充 1．()BB A B A AB A B A -⋃==-=- 2．AB B A B A B A B B A A B A ⋃⋃=⋃=⋃=⋃3．B A AB A ⋃=吸收律 若BA ⊂，则AAB B B A ==⋃,特别注意：===AA AA S S A A A A ,,,德·莫根律（对偶公式）AB B A B A ==,推广：ni i ni iA A 11===，ni i ni iA A 11===。

例2：P6,在例1中…. 其它例子：例3：3E ：设=A {甲中}，=B {乙中}，问AB 与BA 各表示什么事件？是否是相等事件？留为练习例4：一射手向目标射击3发子弹，i A表示第i 次射击打中目标)3,2,1(=i 。

试用21,A A 及3A 其运算表示下列事件：（1）“三发子弹都打中目标”；（2）“三发子弹都未打中目标”； （3）“三发子弹至少有一发打中目标”； （4）“三发子弹恰好有一发打中目标”； （5）“三发子弹至多有一发打中目标”. 留为练习 §1.3 概率与频率(一） 事件的频率及其稳定性 设某试验E 的样本空间为S ，A 为E 的一个事件。

把试验E 重复进行了n 次，在这n 次试验中，A 发生的次数An 称为A 的频数。

称nnA为事件A 在n 次试验中发生的频率，记作:nn A f A n =)(。

频率的基本性质(1) 对任意事件A ，有1)(0≤≤A f n ；(2)1)(=S f n ，0)(=φn f ；(3) 若nA A A ,,,21 是互不相容的，则)()(11∑===n k k n nk k n A f A f ，推论：对任一事件A ，有)(1)(A f A f n n -=。

实践证明：当试验次数n 很大时，事件A 的频率)(*A p 几乎稳定地接近一个常数p 。

频率的这种性质称为频率的稳定性，它是事件本身所固有的。

书上p8—9页例1，2.概率的频率定义定义1.1 在一组不变的条件下，重复作n 次试验，记m 是n 次试验中事件A 发生的次数。

当试验次数n 很大时，如果频率nm 稳定地在某数值p 附近摆动，而且一般地说，随着试验次数的增加，这种摆动的幅度越来越小，则称数值p 为事件A 在这一组不变的条件下发生的概率，记作=)(A P p 。

补充：概率的几种度量方法事件A 的概率，记为P(A)，表示该事件发生的可能性大小，是事件的一个非负实值函数，满足某种概率进行代数运算的公理。

对概率P(A)有几种不同的度量方法：前面给出了用频率度量概率的方法，也称为古典概率度量。

还是二种度量方法。

1. 几何概率度量的测度的测度Ω=g g A P )(g A 表示”在区域Ω中随机取一点，而该点落在区域g 中”这一事件。

例：这时，Ω可以是整个园：测度为面积；也可以是整个园周：测度为长度。

2. 主观概率度量对事件A 的信念度称为这一事件的概率P(A). 主观概率（信念度）是通过相对似然的概念来运算的。

例如：见朱手稿。

现通过例子说明此方法：例1：事件A ”明天下午3点深圳市区有雨”， 求P(A): 即求A 的主观概率；现有一大转盘，标有红色区域，事件B ：”指针落在红色区域”。

让你选择A 发生还是B 发生的可能性大，为了迫使你选择，有这样的将励机制，。

选择对的话，将10万元。

如果开始时，一样时停止，这时，可以由B当你对选A 或B例2. 到少量的报酬R ；否则没有报酬。

2.R 的概率为P 如果你对1，2两种选择没有偏好，那么你判断事件A 发生的概率为P.(主观)(二) 概率的公理化定义概率的公理化定义定义1.2 设试验E 的样本空间为S ，如果对每一个事件A 都有一个实数)(A P 与之对应，且满足下面三条公理：公理1（非负性）：对任一事件A ，有0)(≥A P ；公理2（规范性）：对必然事件S ，有1)(=S P ；公理3（完全可加性）若可列无穷多个事件,,,,21iA A A 互不相容，则∑∞=∞=11)()k kkA P A ，那么称)为事件A 的概率。

概率的性质 (1))(=φP ;(2)有限可加性: 若n AA A ,,,21 互不相容，则∑===nk k nk k A P A P 11)()( ;(3)对事件A,都有)(1)(A P A P -=; (4)若BA ⊂,则①)()()(A P B P A B P -=-;②)()(B P A P ≤； 特别的，对任何事件A ，都有1)(≤A P ;(5) 对任何两个事件A,B ，都有)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃; (6)对任何n 个事件nA A A ,,,21 ,都有)()1()()1()()()(11111111212211nk kn n k k k k k m k nk k k nk knk kA P A A A P A A P A P A P m m=-≤≤≤≤-≤<≤==-+-++-=∑∑∑例10---12为第一版上的例子。

例10： A,B 是E 中二个事件，已知3.0)(=B P ，6.0)(=B A P ，求?)(=B A P解：)()()()(AB P A P AB A P B A P -=-=()()()(-+=ABP B P A P B A P例11：在某城市的居民中订购报纸的情况是：订购A 报的占45%，订购B 报的占35%；订购C 报的占30%，同时订购A,B 的占10%，同时订购A,C 的占8%，同时订购B,C 的占5%，同时订购A,B,C 的占3%。

求下列事件的概率（百分率） （1）{只订购A 报纸的}；（2）{至少订一种报纸的}。

例12：在所有的两位数（即从10至99）中，任取一个数，求这个数能被2或者3整除的概率。

§1.4 等可能概型（古典概型）一、古典概率1．古典概型与计算公式 E 满足：① S 中基本事件ω个数是有限的n ； ② 每个基本事件发生是等可能的. 称E 为古典概型。

E 中事件A 包含k 个基本事件，则A 发生的概率为nk 记P(A).2．古典概率的基本性质设E 是古典概型，其样本空间为{}ωωωn S ,,,21 =，A ，A 1，A 2，…，A n 是E 中事件：①．0≤P （A ）≤1 ②．P （S ）=1，P （φ）=0 ③．若A1，A2，…，A n是互不相容的事件，则有P ∑===ni ini iA P A 11)()( ；推论： P （A ）=1- P （A）。

例1． P13，将一枚硬币掷三次，。

P14---17 例2—7.照书上讲。

以下例4---9为第一版上的例子：例4：E 1中求任取一球的号码为偶数的概率。

解：设A={所取的球的号码为偶数}={ ω2，ω4，ω6 }即A 中基本事件数k=3，于是P （A ）=2163=.例5：（1.10）在一袋中有10 个相同的球，分别标有号码10,,2,1 。

每次任取一个球，记录其号码后放回袋中，再任取下一个。

这种取法叫做“有放回抽取”。

今有放回抽取3个球，求这3个球的号码均为偶数的概率。

例6：(1.11) 在一袋中有10 个相同的球，分别标有号码10,,2,1 。

每次任取一个球，记录其号码后不放回袋中，再任取下一个。

这种取法叫做“不放回抽取”。

今不放回抽取3个球，求这3个球的号码均为偶数的概率。

例7：盒中有a 个红球，b 个白球（a ≥2 , b ≥1），每次从中任取一球，不放回地连取三次，求下列事件的概率：(1) “ 取出的三个球依次为红，白，红色球 ”记A ；(2)“ 取出的三个球有两个是红色球 ”记B .例：(1.13) 在一袋中有10 个相同的球，分别标有号码10,,2,1 。

今任取两个球，求取得的第一个球号码为奇数，第二个球号码为偶数的概率。