河南省名校联考高三数学联考试题(四)文(含解析)
河南省名校联考高三数学联考试题（四）文（含解析）数学（文科）考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求得，然后求两个集合的交集.【详解】依题意，故，故选B.【点睛】本小题主要考查补集、交集的概念和运算，属于基础题.2.若复数满足，则（）A. 1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】化简为的形式，再求.【详解】依题意，故，故选C. 【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数的模的运算，属于基础题. 求解与复数概念相关问题的技巧：复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即的形式，再根据题意求解.3.如图给出的是某小区居民一段时间内访问网站的比例图，则下列选项中不超过．．．的为（）A. 腾讯与百度的访问量所占比例之和B. 网易与搜狗的访问量所占比例之和C. 淘宝与论坛的访问量所占比例之和D. 新浪与小说的访问量所占比例之和【答案】B【解析】【分析】根据图表，分析出两个网站访问量不超过．．．的选项.【详解】由于网易与搜狗的访问量所占比例之和为，不超过，故选B.【点睛】本小题主要考查图表分析，考查分析处理数据的能力，属于基础题.4.若函数，则曲线在点处的切线方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先求得切点坐标，然后利用导数求得斜率，由此求得切线方程.【详解】依题意，，由点斜式得，即切线方程为，故选A.【点睛】本小题主要考查切线方程的求法，考查导数的运算，属于基础题.5.将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，所得函数的单调递减区间为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先求得变换后函数的解析，然后求得函数的单调减区间.【详解】图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，变为，由，解得，故选D.【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换，考查三角函数单调减区间的求法，属于基础题.6.若双曲线：的两条渐近线分别与直线：交于，两点，且（为坐标原点）的面积为4，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求得渐近线的方程，令求得交点的坐标，利用三角形的面积建立方程，求得的值，进而求得离心率.【详解】双曲线的渐近线方程为，令，解得，不妨设，所以，所以，所以，故选B.【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程，考查两条直线交点的坐标，考查三角形的面积公式和双曲线离心率的求法，属于中档题.7.函数的零点个数为（）A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】B【解析】【分析】令，转化为两个函数图像的交点个数来求零点个数.【详解】令得，画出的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像有两个交点，也即有两个零点，故选B.【点睛】本小题主要考查函数零点个数的分析方法，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.8.已知抛物线：与圆：交于，，，四点.若轴，且线段恰为圆的一条直径，则点的横坐标为（）A. B. 3 C. D. 6【答案】A【解析】【分析】求出圆心和半径，根据轴和线段恰为圆的一条直径得到的坐标，代入抛物线方程求得的值，设出点的坐标，利用是圆的直径，所对圆周角为直角，即，由此求得点的横坐标.【详解】圆：可化为，故圆心为，半径为，由于轴和线段恰为圆的一条直径，故.将点坐标代入抛物线方程得，故，抛物线方程为.设，由于是圆的直径，所对圆周角为直角，即,也即，所以，化简得，解得，故点横坐标为.故选A.【点睛】本小题主要考查圆和抛物线的位置关系，考查抛物线的对称性，考查抛物线方程的求法，考查圆的几何性质，考查圆一般方程化为标准方程，考查圆的直径所对的圆周为直角，考查向量的数量积运算，运算量较大，属于中档题.9.陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一书中才正式出现.如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1，粗线画出的是一个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的表面积为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据三视图可知，该几何体是由两个圆锥和一个圆柱构成，由此计算出陀螺的表面积.【详解】最上面圆锥的母线长为，底面周长为，侧面积为，下面圆锥的母线长为，底面周长为，侧面积为，没被挡住的部分面积为，中间圆柱的侧面积为.故表面积为，故选C.【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查三视图还原为原图，考查几何体表面积的计算，属于基础题.10.若，，，则实数，，的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先判断出大于，而小于，得到最小为.然后利用对数的运算和性质，比较两个数的大小.【详解】，而，故是最小的.由于，即，即，故选D.【点睛】本小题主要考查指数式和对数式比较大小，考查对数函数的性质，考查比较大小的方法，属于中档题.11.运行如图所示的程序框图，若输出的的值为1011，则判断框中可以填（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用程序框图的功能，进行模拟计算即可．【详解】程序的功能是计算S＝1sin+3sin+5sin+…＝1﹣3+5﹣7+9+…+，则1011＝1+505×2＝1﹣3+5﹣7+9+…则第1011个奇数为2×1011﹣1＝2021不成立，第1012个奇数为2×1012﹣1＝2023成立，故条件为i＞2022？，故选：C．【点睛】本题主要考查程序框图的应用，利用程序框图的功能是解决本题的关键，属于基础题.12.在正方体中，点平面，点是线段的中点，若，则当的面积取得最小值时，（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】取的中点，连接，证明点在直线上，当时，三角形的面积取得最小值，进而求得的值.【详解】取的中点，连接，设.作出图像如下图所示.易得，所以平面，所以.易得，所以平面，所以.故平面，所以在直线上，可使得.由于，所以最短时三角形的面积取得最小值，此时点在点的位置.设正方体棱长为，故.，所以，所以，故，故选D.【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明，考查三角形面积的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，难度较大，属于难题..本题解题关键点在于找到点所在的位置，主要通过证明线面垂直来找到.二、填空题.13.若向量，，且，则实数____．【答案】【解析】【分析】由向量垂直与向量数量积的关系可得，若，得，解x的值即可．【详解】由，得且，得，解得.故答案为：【点睛】本题考查了向量数量积的坐标计算，关键是掌握向量垂直与向量数量积的关系，属于基础题．14.若，满足约束条件，则的最大值为_______．【答案】2【解析】【分析】画出可行域，通过向下平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值，且最大值为.【点睛】本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最大值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画出可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于基础题.15.叶子标本模型是一类常见的图形.绘制叶子标本模型的过程一般分为两步：首先取正方形的两个顶点，，分别以，为圆心，线段的长度为半径作圆，得到图（1）所示图形，再将正方形外部的圆弧隐藏可以得到图（2）所示的叶子标本模型.若往正方形中任意投掷一点，则该点落在叶子上（图（2）中阴影区域）的概率为_______．【答案】【解析】【分析】阴影部分的面积等于两个四分之一圆的面积减去正方形的面积，利用几何概型概率计算公式求得所求概率.【详解】设正方形边长为，阴影部分的面积等于两个四分之一圆的面积减去正方形的面积，即阴影部分面积为，故所求概率为.【点睛】本小题主要考查曲边图形面积的求法，考查几何概型概率计算公式，属于基础题.16.已知的内角，，的对边分别为，，，且满足.若，则当取得最小值时，的外接圆的半径为__________．【答案】【解析】【分析】根据正弦定理求得的关系，利用余弦定理和基本不等式求得的最小值，根据正弦定理求得三角形外接圆的半径.【详解】由正弦定理得，由余弦定理得，即当时，取得最小值为，此时，设外接圆半径为，由正弦定理得，解得.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理进行边角互化，考查利用基本不等式求最小值，考查利用正弦定理求外接圆的半径，考查利用同角三角函数的基本关系式求三角函数值，考查运算求解，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.三、解答题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知等差数列的前项和为，且，.（Ⅰ）证明：是等差数列；（Ⅱ）设，求数列的前项和.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，，由，得，，求出，利用定义法即可判断；（II）由得，由数列的乘公比错位相减法求和即可.【详解】设等差数列的公差为，，则，解得.所以，解得，所以.所以.所以.因为当时，,当时，,故是首项为，公差为的等差数列.（II）由可知，故.故.两式相减可得.故.【点睛】本题考查了利用定义法证明数列是等差数列，也考查了利用乘公比错位相减法求数列和，考查了学生的计算能力，属于中档题.18.如图，在四棱锥中，，.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，，，，，点为的中点，求平面切割三棱锥得到的上下两个几何体的体积之比.【答案】（Ⅰ）见证明（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）取的中点，连接，.利用等腰三角形证得，，由此证得平面，从而证得.（Ⅱ）取的中点，连接，，利用线线平行得到点，，，共面.计算出的长，证明平面，根据，计算出所求的体积比.【详解】（Ⅰ）取的中点，连接，.∵，∴，∵，∴.∵，∴，∵，∴.∵，平面，平面，∴平面.∵平面，∴.（Ⅱ）取的中点，连接，，易知，故点，，，共面.过作于.设，故，解得.又，，，∴平面.∴，.∴，∴.【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明，考查四点共面的证明，考查几何体体积的计算，考查空间想象能力，属于中档题.19.2018年10月28日，重庆公交车坠江事件震惊全国，也引发了广大群众的思考——如何做一个文明的乘客.全国各地大部分社区组织居民学习了文明乘车规范.社区委员会针对居民的学习结果进行了相关的问卷调查，并将得到的分数整理成如图所示的统计图.（1）求得分在上的频率；（2）求社区居民问卷调查的平均得分的估计值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）（3）由于部分居民认为此项学习不具有必要性，社区委员会对社区居民的学习态度作调查，所得结果统计如下：（表中数据单位：人）认为此项学习十分必要认为此项学习不必要50岁以上400 60050岁及50岁以下800 200根据上述数据，计算是否有的把握认为居民的学习态度与年龄相关.附：，其中.0.100 0.050 0.010 0.0012.7063.841 6.635 10.828【答案】（1）0.3（2）70.5分（3）见解析【解析】【分析】（1）根据频率之和为求得上的频率.（2）利用中点值乘以频率，然后相加，求得平均分的估计值.（3）计算出的值，由此判断出有的把握认为居民的学习态度与年龄相关.【详解】（1）依题意，所求频率.（2）由（1）可知各组的中间值及对应的频率如下表：中间值45 55 65 75 85 95频率0.1 0.15 0.2 0.3 0.15 0.1∴，即问卷调查的平均得分的估计值为70.5分.（3）依题意，.因为，故有的把握认为居民的学习态度与年龄相关.【点睛】本小题主要考查频率分布直方图，考查频率分布直方图估计平均数，考查列联表独立性检验，属于中档题.20.已知椭圆：，点，.（Ⅰ）若直线与椭圆交于，两点，且为线段的中点，求直线的斜率；（Ⅱ）若直线：与椭圆交于，两点，求的面积的最大值.【答案】（Ⅰ）-1；（Ⅱ）【解析】【分析】（I）因为在椭圆上，设，且为线段的中点，得，，由点差法即可计算直线的斜率；（II）联立，得，由可得，,由弦长公式可得点到直线的距离由计算即可.【详解】（I）设，故，将两式相减，可得，即因为为线段的中点，所以得即故直线的斜率（II）联立可得，由可得，解得.设由根与系数的关系可得又点到直线的距离当且仅当，即时取等号.故的面积的最大值为.【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，弦长公式和点到直线的距离，也考查了点差法在弦中点的应用，计算能力和均值不等式，属于中档题.21.已知函数.（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；（2）设，求证：.【答案】（1）（2）见证明【解析】【分析】（1）由于函数在上单调递增，故令导函数恒大于零，分离常数得到，利用导数求得的最小值，由此求得的取值范围.（2）令，则.将原不等式等价转化为，构造函数，利用导数证得，由此证得不等式成立. 【详解】（1）由题可知.令，即，当时有.令，则.所以当时，，所以在上单调递增.所以，即，故实数的取值范围为.（2）令，则.故. 构造函数，则.所以在上单调递增，所以，所以当时，，故.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数单调性，考查利用导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，综合性较强，属于难题.在解题过程中，导数是一种工具的作用，用来求单调区间和最值.22.在极坐标系中，曲线的极坐标方程为.以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）.（Ⅰ）若，求曲线的直角坐标方程以及直线的极坐标方程；（Ⅱ）设点，曲线与直线交于，两点，求的最小值.【答案】（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为，直线的极坐标方程为；（Ⅱ）【解析】【分析】（I）由普通方程与参数方程，极坐标方程的互化，即可得到结果；（II）联立直线与曲线的方程得，设点对应得参数分别为，得，则，即可求的最小值. 【详解】（I）曲线，将代入得,即曲线的直角坐标方程为直线，故故直线的极坐标方程为（II）联立直线与曲线的方程得即设点对应得参数分别为，则因为当时，取等号.所以的最小值为【点睛】本题考查普通方程与参数方程，极坐标方程的互化，直线参数方程的应用，属于基础题.23.[选修4-5：不等式选讲]已知函数.（1）在如图所示的网格纸中作出函数的图象；（2）记函数的最小值为，证明：不等式成立的充要条件是. 【答案】(1)见解析；(2)见证明【解析】【分析】（1）利用零点分段法去绝对值，将表示为分段函数的形式，由此画出函数的图像.（2）根据（1）求得的值.将原不等式转化，然后判断出不等式成立的充要条件是.【详解】（1）依题意，，作出函数的图象如图所示：（2）由（Ⅰ）中图象可知.. 因为当时，，当时，，故不等式成立的充要条件是.【点睛】本小题主要考查利用零点分段法化简含有两个绝对值的函数，考查充要条件的证明，属于中档题.。
2020-2021学年河南省天一大联考高三(下)阶段性数学试卷(文科)(四)解析版
2020-2021学年河南省天一大联考高三（下）阶段性数学试卷（文科）（四）1.已知集合，，则A. B. C. D.2.复数的共轭复数对应的点在复平面内的A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.如图所示的圆盘的三条直径把圆分成六部分，往圆盘内任投一飞镖大小忽略不计，则飞镖落到阴影部分内的概率为A.B.C.D.4.已知命题p：，使得；命题q：若x，，且，则，下列命题为真命题的是A. B. C. D.5.已知非零向量，的夹角为，且满足，，则A. B. C. D.6.已知，且，则A. B. C. D.7.若函数的图象过点，直线向右平移个单位长度后恰好经过上与点M最近的零点，则在A. B. C. D.8.一个多面体的正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，如图所示，E、F是所在边的中点，则该多面体的表面积为A.B.C.D.9.已知双曲线的右焦点为F，直线l过F点与一条渐近线垂直，原点到l的距离等于虚轴的长，则双曲线的离心率为A. B. C. D.10.拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微积分学中的基本定理之一，它反映了函数在闭区间上的整体平均变化率与区间某点的局部变化率的关系，其具体内容如下：若在上满足以下条件：①在上图象连续，②在内导数存在，则在内至少存在一点c，使得为的导函数，则函数在上这样的c点的个数为A. 1B. 2C. 3D. 411.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则的面积为A. B. C. D.12.已知抛物没C：的焦点为F，准线为l，M，N为抛物线上的两点与坐标原点不重合，于A，于B，已知MN的中点D的坐标为，与的面积比为2：1，则p的值为A. 4B. 3C. 1D. 1或14.执行如图所示的程序框图，输出的______ .15.若x，y满足约束条件，则的取值范围为______ .16.在平面四边形PACB中，已知，，，沿对角线AB折起得到四面体，当PA与平面ABC所成的角最大时，该四面体的外接球的半径为______ .17.已知公差不为0的等差数列满足，，成等比数列，，10，成等差数列.求数列的通项公式；设的前n项和为，令，设数列的前n项和为，证明：18.为提高空气质量，缓解交通压力，某市政府推行汽车尾号单双号限行.交通管理部门推出两个时间限行方案，方案A：早晨六点到夜晚八点半限号；方案B：早晨七点到夜晚九点限号.现利用手机问卷对600名有车族进行民意考察，考察其对A，B 方案的认可度，并按年龄段统计，岁为青年人，岁为中年人，人数分布表如下：年龄段人数180********现利用分层抽样从上述抽取的600人中再抽取30人，进行深入调查.若抽取的青年人与中年人中分别有12人和5人同意执行B方案；其余人同意执行A方案，完成下列列联表；并判断能否有的把握认为年龄层与是否同意执行方案A有关；同意执行A方案同意执行B方案总计青年12中年5总计30若从同意执行B方案的4个青年人和2个中年人中，随机抽取3人进行访谈，求抽取的3人中青、中年都有的概率.参考公式：，其中参考数据：19.如图，在直三棱柱中，，，，E为棱的中点，O为BE上一点，证明：；求C到平面的距离.20.已知椭圆C：的离心率为，椭圆的右焦点与右顶点及上顶点构成的三角形面积为求椭圆C的标准方程.已知直线与椭圆C交于A，B两点，若点Q的坐标为，向：是否存在k，使得？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由.21.已知函数若函数在上存在单调递减区间，求a的取值范围；当时，证明：对任意，恒成立.22.在直角坐标系中，直线l的参数方程为其中t为参数，为常数，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，射线的极坐标方程为，射线与曲线C交于O，M两点.写出当时l的极坐标方程以及曲线C的参数方程；在的条件下，若射线与直线l交于点N，求的取值范围.23.已知函数在的条件下，对任意a，，若，求的最小值.答案和解析【答案】1. D2. A3. B4. B5. D6. D7. C8. B9. B10. A11. C12. C13.14. 2515.16.17. 解：公差d不为0的等差数列满足，，成等比数列，，10，成等差数列．，，成等比数列，，10，成等差数列．，，，，解得：，证明：，数列的前n项和为……，18. 解：因为参与调查的600人中，青年人所占的概率为，中年人所占的概率为，所以抽取的30人中，青年人有人，中年人有人，补充完整的列联表如下，同意执行A方案同意执行B方案总计青年61218中年7512总计131730所以，从同意执行B方案的4个青年人和2个中年人中，随机抽取3人，共有种可能结果，抽取的3人中青中年都有，包含2种情况：①1个青年，2个中年，有种；②2个青年，1个中年，有种，记C为事件“抽取的3人中青中年都有“，则19. 证明：，，，，则，在直三棱柱中，平面平面，平面平面，，平面ABC，则平面，可得，为的中点，且，可得，而，，得，又，平面BEC，而平面BEC，可得；解：由，同可证得平面，又平面，到平面的距离等于A到平面的距离等于1，，，，，可得，则，设C到平面的距离为h，由，得，解得：到平面的距离为20. 解：设椭圆C 的半焦距为由题意可知，即，代人，得所以又，所以，，故椭圆C的标准方程为直线与椭圆方程联立方程组得消去y 得，设，，则，是方程的两根，，所以故不存在k，使得21. 解：，若函数在上存在单调递减区间，则存在使得任意，，即，所以所以a的取值范围证明：因为，所以在上单调递增，在上单调递减，因为，所以，所以，即，所以，即22. 解：当时l的参数方程为：，普通方程为，所以l的极坐标方程为；C的极坐标方程为，，所以曲线C的参数方程为：因为，所以，，，，所以的取值范围为23. 解：当时，原不等式可转化为，即，解得舍；当时，原不等式可转化为，即，解得，所以；当时，原不等式可转化为，即，，所以综上所述，不等式的解集为所以不等式的最小整数解由得a，，因为，所以，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为【解析】1. 解：，，故选：可求出集合M，N，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法和区间的定义，二次函数的值域，考查了计算能力，属于基础题．2. 解：复数的共轭复数对应的点在复平面内的第一象限，故选：利用复数的运算法则、共轭复数复数的定义、复数的几何性质即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数复数的定义、复数的几何性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3. 解：因为圆盘的三条直径把圆分成六部分，其中阴影部分与空白部分的面积相等，故飞镖落到阴影部分内的概率为故选：根据几何概型的公式，即求解阴影部分面积占圆盘面积的比例，求解即可，本题考查了几何概型的求解，解题的几何概型问题一般会转化为求解长度之比、面积之比、体积之比，属于基础题．4. 解：根据题意，对于命题p，，都有，则恒成立，而，故不存在x，使得成立，p是假命题，对于q，若x，，且，则，必有，q是真命题，则、、都是假命题，是真命题，故选：根据题意，分析命题p和q的真假，由复合命题真假的判断方法分析可得答案．本题考查命题真假的判断，涉及全称命题、特称命题真假的判断，属于基础题．5. 解：因为，，所以，所以，所以，解得，，则故选：由已知结合向量垂直的条件可求，然后结合向量数量积的定义可求．本题主要考查了向量数量积的定义及性质的应用，属于基础题．6. 解：因为，可得，即，解得，或舍去，又因为，所以故选：利用二倍角公式化简已知等式可得，解方程可得的值，结合角的范围，利用同角三角函数基本关系式即可求解的值．本题主要考查了二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了方程思想，属于基础题．7. 解：函数的图象过点，直线向右平移个单位长度后恰好经过上与点M最近的零点，，结合五点法作图可得，求得，令，求得，可得函数的增区间为，则在上的单调递增区间为，故选：由题意利用正弦函数的图象和性质，先求出的解析式，进而求出它在上的单调递增区间．本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．8. 解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体是由一个正方体切去一个三棱锥体构成；如图所示：故，，所以，所以故选：首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的表面积．本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的表面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．9. 解：双曲线的渐近线方程为：，右焦点坐标，则焦点到直线的距离为：，原点到l的距离等于虚轴的长，可得，可得，即，解得故选：利用已知条件推出c，b关系，然后转化求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，是基础题．10. 解：函数，则，由题意可知，存在点，使得，即，所以，，作出函数和的图象，如图所示，由图象可知，函数和的图象只有一个交点，所以，只有一个解，即函数在上c点的个数为1个．故选：利用已知定义得到存在点，使得，转化为研究函数数和图象的交点个数，作出函数图象即可得到答案．本题考查了新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，属于中档题．11. 【分析】本题主要考查解三角形的应用，运用了角化边的思想，熟练掌握正弦定理、正弦面积公式、余弦定理和二倍角公式是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．根据二倍角公式和正弦定理可得，再结合余弦定理可求得b的值，从而得，最后由，得解．【解答】解：，，由正弦定理知，，，即由余弦定理知，，解得，，，，的面积故选：12. 解：设MN交x轴于点R，l交x轴于点S，由与的面积比为2：1，则，由于M，N不是原点，则，又MN的中点D的坐标为，则直线MN的斜率存在，设MN方程为，，，联立，即，，，又，，代入得，故选：由题意可将与的面积表示出来，再用等量关系即可解出p的值．本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线相交，属于基础题．13. 解：函数，则当时，根据，可得它的最大值当时，根据，综上，可得的最大值为，故答案为：由题意利用分段函数的单调性，求出它的最大值．本题主要考查分段函数的应用，函数的单调性和最值，属于中档题．第一次执行循环体后，，，，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，，，，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，，，，满足退出循环的条件；故输出S值为25，故答案为：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．15. 解：画出约束条件表示的平面区域，如图阴影所示：把目标函数变形为，则直线经过点A时z取得最小值，经过点B 时z取得最大值，由，解得，由，解得，所以，所以的取值范围是故答案为：画出不等式组表示的可行域，把目标函数变形为直线的斜截式，根据其在y轴上的截距即可求出取值范围．本题考查利用线性规划求函数的最值问题，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法，是基础题．，作，垂足为E，所以，，因为，，所以，即，设P到平面ABC的距离为h，AP与平面ABC的夹角为，则，当h最大时，取得最大值，设O为外接球球心，O到平面ABC的距离d，，所以O在过外心且垂足于面ABC的直线上，外心为AC的中点，，解得，，故答案为：由题意先确定外接球的球心位置，然后结合球的性质求出满足题意的外接球半径，即可求解．本题主要考查了四面体的外接球的半径求解，解题的关键是确定外接球的球心及半径，属于中档题．17. 公差d不为0的等差数列满足，，成等比数列，，10，成等差数列．可得，，利用通项公式可得：，，解得，d，即可得出由可得可得，利用裂项求和方法即可得出数列的前n项和为，进而证明结论．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18. 先补充完整列联表，再计算K的观测值，并与附表对照，即可得出结论；抽取的3人中青中年都有，包含2种情况：①1个青年，2个中年；②2个青年，1个中年，再结合组合数与古典概型，即可得解．本题考查了独立性检验、古典概型和组合数的应用，考查学生对数据的分析与处理能力，属于中档题．19. 由已知求解三角形证明，进一步得到，求解三角形证明，可得平面BEC，可得；证明E到平面的距离等于A到平面的距离等于1，求出三角形的面积，然后利用等体积法求C到平面的距离．本题考查直线与平面垂直的判定及性质，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求得到平面的距离，是中档题．20. 根据题意建立两个关于a，b，c的方程，进而解出a，b，c即可求椭圆C的标准方程；联立直线与椭圆C，结合韦达定理求出即可得答案．本题主要考查椭圆的方程与性质，直线与椭圆的位置关系．属于中档题．21. 对求导得，若函数在上存在单调递减区间，则存在使得任意，，即，即可解得a的取值范围．先分析的单调性，由，推出，得，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，不等式的证明，属于中档题．22. 根据参数方程和极坐标方程基本概念求解；首先用表示和，再用三角函数值域确定取值范围．本题考查了参数方程化极坐标方程，考查了极坐标方程化参数方程，属于中档题．23. 零点分段求解不等式，即可得m的值；由，，利用乘“1”法及基本不等式即可求得W的最小值．本题主要考查绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，属于中档题．。
河南省名校联盟2024-2025学年高三上学期开学摸底联考数学试题(含答案)
2025届高三开学摸底联考数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}{}03,2,1,0,1,2A x x B =<<=--，则A B =∩（ ）A ．{}0,1,2B ．{}1,2C ．{}2,2-D ．{}2,1,1,2--2．若复数z 满足3i1iz +=+,则z =（ ）A B C D 3．抛物线24y x =的焦点坐标为（）A ．1,016⎛⎫⎪⎝⎭B ．10,16⎛⎫⎪⎝⎭C ．()0,1D ．()1,04．双曲线()22103x y t t t-=>的离心率为（ ）A B C D ．5．将正整数1，2，3，…按从小到大的顺序分组，第n 组含12n -个数，分组如下：()()()1,2,3,(4,5,6,7),8,9,10,11,12,13,14,15, ,则2025在第（）组．A ．9B ．10C ．11D ．126．在ABC △中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3a =，4c =，且ABC △的面积)222S a c b =+-，若ABC ∠的平分线交AC 于点D ，则BD =（ ）A B C ．D ．7．已知面积为的正三角形ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，若三棱锥O ABC -的体积为，则球O 的表面积为（）A ．32πB ．64πC ．8πD ．16π8．已知函数()()ππsin sin 0562f x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=++-<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将()f x 的图象向右平移π6个单位长度后得到()g x 的图象，若()g x 在π0,ω⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]1,1-,则函数()12y g x =+在[]2π,2π-上的零点个数为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
河南省名校高三下学期四月联考数学(理)试题(解析版)
一、单选题1．设复数z 在复平面内对应的点为，若，则a =（ ） ()0,a 2z =A ．2iBC ．D ．2±【答案】C【分析】根据复数的几何意义可得，再根据复数的模即可求解. i z a =【详解】因为复数z 在复平面内对应的点为，所以. ()0,a i z a =因为，解得. 2z =2=2a =±故选:C.2．设集合，，则（ ）{}2230A x x x =∈--≤Z {}0,2B =A ． B ．C ．D ．A B ⊆B A ⊆{}2,1,0,1,2A B =--U {}2A B ⋂=【答案】B【分析】解出集合，将集合进行运算即可得出结论.A ,AB 【详解】，，{}2230{|13}A x x x x x =∈--≤=∈-≤≤Z Z {}1,0,1,2,3A ∴=-而，则{}0,2B =，故A 错误，B 正确；B A ⊆，故C 错误；{}1,0,1,2,3A B ⋃=-，故D 错误；{}0,2A B =I 故选：B.3．已知与的夹角为，则（ ） a a b π423a b += A ．10 B ．8C ．5D ．4【答案】A【分析】利用平面向量的数量积及模的关系计算即可.【详解】，故. 22222π369161cos 9254a b a a b b +=+⋅+=+⨯+⨯= 2310a b += 故选：A4．某科研团队通过电催化结合生物合成的方式，将二氧化碳和水高效合成高纯度乙酸，并进一步利用微生物合成葡萄糖和脂肪酸（油脂），该工作的突破，为人工和半人工合成“粮食”提供了新技术．在对照实验过程中，科研人员将收集到的实验组与对照组的实验数据进行记录如图，由于不小心被化学物质腐蚀了两个数据，已知被腐蚀前对照组的数据总值比实验组大35，被腐蚀后实验组的中位数增加了1，则对照组与实验组被腐蚀数据分别是（ ）A ．17；14B ．15；14C ．17；15D ．16；13【答案】D【分析】设对照组的腐蚀数据的个位数为，实验组的腐蚀数据的个位数为，由题意可得a b ，再由中位数的定义可求得即可求出答案.3a b -=3b =【详解】设对照组的腐蚀数据的个位数为，实验组的腐蚀数据的个位数为，a b 被腐蚀后的对照组的数据总值为：， 20222323242614141417210209a a ++++++++++++=+被腐蚀后的实验组的数据总值为：，2121222316151212109610177b b ++++++++++++=+被腐蚀后的实验组的数据的中位数为，15被腐蚀前对照组的数据总值比实验组大35，即， 20917735a b +--=即，3a b -=被腐蚀前的实验组的数据的中位数为， 15102522b b+++=被腐蚀后实验组的中位数增加了1，即，解得：， 251512b+-=3b =.6a =故对照组与实验组被腐蚀数据分别是16,13. 故选：D.5．我国自主研发的世界首套设计时速达600公里的高速磁浮交通系统，标志着我国掌握了高速磁浮成套技术和工程化能力，这是当前可实现的“地表最快”交通工具，因此高速磁浮也被形象地称为“贴地飞行”．若某高速磁浮列车初始加速至时速600公里阶段为匀加速状态，若此过程中，位移x与时间t 关系满足函数（为初速度，k 为加速度且）．位移的导函数是速度()2012x t v t kt =+0v 0k ≠与时间的关系．已知从静止状态匀加速至位移公里需，则时速从零加速到()0v x t v kt '==+10760s 时速600公里需（ ） A ．B ．C ．D ．120s 180s 210s 240s【答案】C【分析】根据题中所给函数解析式先求得k 的值，再利用即可求得()2012x t v t kt =+()0v x t v kt '==+答案.【详解】由题意得匀加速过程中，位移x 与时间t 关系满足函数，()2012x t v t kt =+则由从静止状态匀加速至位移公里需可得，10760s 2212060,2610770k k =⨯=⨯则由可得（s ）， ()0v x t v kt '==+220,2107660600030t t =⨯=⨯ 故选：C6．在中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝2c ，a =ABC A tan A =ABC S =A （ ）A ．13B ．2C ．D ．【答案】C【分析】由三角形的面积公式可求出，再由余弦定理即可求出答案. ,b c【详解】因为，因为，所以， tan A =()0,πA ∈π3A =， 11sin 222ABC S bc A c c ==⨯⋅=A 2c =，由余弦定理可得：.24b c ==21164224122a =+-⨯⨯⨯=解得：. a =故选：C.7．在正三棱锥P -ABC 中，，BC ＝6，M ，N ，Q ，D 分别是AP ，BC ，AC ，PC 的中点，PA =平面MQN 与平面PBC 的交线为l ，则直线QD 与直线l 所成角的正弦值为（ ）A B ．C D 56【答案】C【分析】取的中点，连接，由题意可得平面MQN 与平面PBC 的交线为l 即为，直PB J ,MJ JN JN 线QD 与直线l 所成角即为直线QD 与直线所成角即为，由余弦定理求解即可. MQ MQD ∠【详解】取的中点，连接，由题意可得， PB J ,MJ JN 1//,2QN AB QN AB =又因为，所以， 1//,2MJ AB MJ AB =1//,2MJ QN MJ QN =所以四边形是平行四边形，所以，MJNQ //MQ JN所以四点共面，M J N Q 、、、所以平面MQN 与平面PBC 的交线为l 即为，JN 直线QD 与直线l 所成角即为直线QD 与直线所成角即为， MQ MQD ∠因为正三棱锥P -ABC 中，，BC ＝6，PA =所以，6PA PB PC AB AC BC ======所以，3QD MQ MD ===，222272795cos 22276MQ QD MD MQD MQ QD +-+-∠===⋅⨯所以. sin MQD ∠===故选：C.8．在平面中，已知点H 到，H 的轨迹为曲线C ，直线()2,0A -()2,0B 与C 分别相交于M ，N ，且直线与坐标轴分别相交于点P ，Q ，已知定点，则30x y --=()6,0D （ ） MDNPDQS S=△△A ．B CD【答案】D【分析】设，由题意求出点H 的轨迹，画出图象，求出到直线的距离，(),H x y ()6,0D 30x y --=由垂径定理求出，即可求出，再求出，即可得出答案. MN MDN S A PDQ S△【详解】设，因为点H 到，(),H x y ()2,0A -()2,0B所以，化简得：，HA HB==()22412x y -+=故点H 的轨迹为，()22412x y -+=到直线的距离为：()6,0D 30x y --=d 到直线的距离为：， ()4,0H 30x y --=1d 所以2MN ==所以， 1122MDN S MN d =⋅==A ， 11933222PDQPS QD y =⋅⋅=⋅⋅=A 所以MDN PDQS S ==A A 故选：D.9．已知函数（，）的一个零点与相邻的一条对()sin())f x x x ωθωθ=+++0ω>π02θ<<π4称轴间的距离为，把函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，则π4()y f x =π4()g x 的一个单调递减区间为（ ）()g x A ．B ．C ．D ．ππ,24⎡⎤--⎢⎥⎣⎦π,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【分析】首先由辅助角公式得出，由相邻零点与对称轴之间的距离得出，(())32sin f x πx ωθ++=ω再根据一个零点为得出，然后通过平移得出，最后利用整体带入方法求出单调递减区间． π4θ()g x 【详解】由已知得()sin())f x x x ωθωθ=++sin())12[]2x x ωθωθ++=，32sin()πx ωθ++=因为的一个零点与相邻的一条对称轴间的距离为， ()f x π4π4所以，即， π44T =πT =则， 2π2Tω==所以，(()223sin )f πx x θ++=由是的一个零点，得， π4()f x (()24)2sin 03πf ππθ++==即，解得，，)os(0c 3πθ+=ππ6k θ=+Z k ∈又因为， π02θ<<所以，即， π6θ=()2sin 2co (2s 263πx x f x π+=+=把函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像， ()y f x =π4()g x 则，πππ()()2()2cos(2)2sin 24422cos g x f x x x x =+=+=+=-由，，得，，ππ2π22π22k x k -+≤≤+Z k ∈ππππ44k x k -+≤≤+Z k ∈即的单调减区间为，()g x πππ,π(Z)44k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦因为，πππ,0π,π444k k ⎡⎤⎡⎤-⊆-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦所以的单调减区间为，()g x π,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故选：B ．10．已知，，，则（ ）515ln 5a +=3e 3b -+=336e e 1e c ++=A ． B ． C ． D ．a b c <<c a b <<a c b <<c b a <<【答案】A【分析】构造函数，对求导，即可判断的大小，再证明，即()1ln (0)f x x x x=->()f x ,a b 0b c -<可得出答案.【详解】易知，．1ln55a =-331ln e eb =-令，，()1ln (0)f x x x x=->()221110x f x x x x '+=+=>则在单调递增，又，所以，()f x ()0,∞+3e 5>3311ln e ln 5e 5->-所以．又， a b <33e31e e e c =-则，即． 333e 3311ln e e e 0e eb c -=--+<b c <综上，． a b c <<故选：A.11．已知椭圆的直线分别与相切于，两点，则直线222:1y C x t +=()1,2P C A B 方程为（ ）AB A ．或 B ．10x y +-=410x y +-=410x y +-=C ． D ．或10x y +-=10x y ++=410x y +-=【答案】A【分析】首先证明椭圆上一点处的切线方程为：，即可得22221(0)x y a b a b+=>>()00,x y 00221x x y y a b +=到点是椭圆外一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，(,)P m n 2222:1(0)x y C a b a b +=>>P A B，则切点弦的方程为，再根据离心率分类讨论分别求出椭圆方程，即可得到切点弦AB 221mx nya b +=方程．【详解】首先证明椭圆上一点处的切线方程为：，22221(0)x y a b a b+=>>()00,x y 00221x x y y a b +=①当切线斜率存在时, 设过点的切线方程为，()00,x y y kx m =+联立方程，得，22221y kx mx y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()22222222220b a k x kma x a m a b +++-=，即， 0∆= ()()()222222222240kma b a k a m a b -+=-，22220a k m b +-∴=又， 2222002212222kma ka ka x x x x b a k m m --+===→=+把代入中，得，20ka x m =y kx m =+2b m y =，220200b x b y kx m a y y ∴=+=-+化简得. 00221x x y ya b+=②当切线斜率不存在时，过的切线方程为，满足上式. ()00,x y x a =±综上，椭圆上一点的切线方程为：. ()00,x y 00221x x y ya b+=再证明若点是椭圆外一点，过点作椭圆的两条切线，(,)P m n 2222:1(0)x y C a b a b+=>>P 切点分别为，，则切点弦的方程为．A B AB 221mx nya b +=这是因为在，两点处，椭圆的切线方程为和． ()11,A x y ()22,B x y C 11221x x y ya b +=22221x x y y a b+=两切线都过点，所以得到了和， P 11221x m y n a b +=22221x m y na b +=由这两个“同构方程”得到了直线的方程； AB 221mx nya b +=因为椭圆，222:1y C x t +=若焦点在轴，则，，所以 x 21a =22b t =c ==所以，所以椭圆， c e a ==212t =22:21C x y +=所以过作椭圆的两条切线方程， ()1,2P 22:21C x y +=切点弦方程为；AB 41x y +=若焦点在轴，则，，所以y 21b =22a t =c ==所以，所以椭圆， c e a ==22t =22:12y C x +=所以过作椭圆的两条切线方程， ()1,2P 22:12y C x +=切点弦方程为，即； AB 212yx +=1x y +=综上可得直线方程为或. AB 10x y +-=410x y +-=故选：A12．已知定义在上的函数满足，，在区间内R ()f x ()()0f x f x +-=()()11f x f x -=+()f x (]0,1单调且，则（ ） ()5222x xf f x -⎡⎤-+=⎣⎦()20221k kf k ==∑A ． B ．5055 50552C ．D ．1011505510112⨯【答案】A【分析】由题意可通过换元法将已知条件函数的奇偶性和对称性推导出函数的周期性，再由()f x 在区间内单调且，可得根据函数周期性即可解得()f x (]0,1()5222x xf f x -⎡⎤-+=⎣⎦5(1),2f =的值.()20221k kf k =∑【详解】由题知在内单调，且时，有，由此可知()f x (]0,1(0,1]x ∈()5222x xf f x -⎡⎤-+=⎣⎦，()(0,1]22x x f x -∈-+当 时. ，得(0,1]x ∈22()122x x x x f x ---<≤+-, 13535(1)(1)22(1)2222,f f f f f -⎡⎤⎡⎤<≤-+=-=⎣⎦⎢⎥⎣⎦ 且 在 内单调，可得()f x (0,1]5(1),2f = ，令, 则 .又，(1)(1)f x f x -=+ 1x x =+()(2)f x f x -=+)(()f x f x -=- 故 . 令. 则 的周期为 4 .(2)()f x f x +=-2x x +=(4)(2)()()f x f x f x f x +=-+=--=()f x ∴ 当 趋于0时，有 . 故 ，x ()0f x =(20)(0)0f f +=-=有 ，5(2)0.(1)(1)2f f f =-=-=-，∴20221()1(1)2(2)2020(2020)2021(2021)2022(2022)k k f k f f f f f ==+++++∑ 根据的周期性可知 ，()f x 1(1)3(3)1(1)3(1)(1)3(1)2(1)f f f f f f f +=+-=-=-，5(5)7(7)5(1)7(1)2(1)f f f f f +=--=-由， 20205054=故20221()505(2)(1)2021(2021)2022(2022)k k f k f f f ==⨯-++∑5505(2)2021(1)2022(2)2f f =⨯-⨯++. 50552=故选：A.【点睛】关键点睛：由奇函数性质，以及对称性性质推出函数()()0f x f x +-=()()11f x f x -=+周期是解题的必要步骤，再由在区间内单调且，用特值法得出()f x (]0,1()5222x xf f x -⎡⎤-+=⎣⎦的值为难点，本题考查的是函数的性质的综合应用，属于较难题.(1)f二、填空题13．已知，则______． 22cos 5sin 10αα-+=cos 2=α【答案】/0.5 12【分析】利用同角三角函数的平方关系化简已知条件，可求，再根据余弦的二倍角公式求解sin α即可.【详解】解：已知，()2222cos 5sin 121sin 5sin 12sin 5sin 30αααααα-+=--+=--+=即，()()22sin 5sin 32sin 1sin 30αααα+-=-+=解得或（舍）， 1sin 2α=sin 3α=-， 211cos 212sin 1242αα∴=-=-⨯=故答案为：.1214．已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，从下面两个条件中任1F 2F 2222:1x yC a b-=0a >0b >选一个，则双曲线C 的渐近线方程为______．①与双曲线有共同焦点，且过；②过作垂直于x 轴的直线交双曲线P ，22197x y k k-=-+()3,0M 1F Q 两点，且．143PQ =2143QOF S =△【答案】 y x =【分析】若选择①，由共同焦点可解得焦点为，再由待定系数法即可求解；若选择()()4,0,4,0-②，根据通径公式与面积公式联立解方程组即可得出，，从而得出结论. 27b =29a =【详解】若选择①：双曲线（，）的焦点在轴上，2222:1x y C a b-=0a >0b >x故双曲线的焦点也在，故焦点为， 22197x y k k-=-+x 4=()()4,0,4,0-因为双曲线与双曲线有共同焦点， 2222:1x y C a b -=22197x y k k -=-+所以，即双曲线，2216a b +=2222:116x y C b b -=-代入双曲线可得，即，； ()3,0M C 2290:116C b b-=-27b =29a =故双曲线C 的渐近线方程为； y =30y ±=若选择②：由题意得，为通径，（I ），PQ 22143b PQ a ==（II ），两式联立化简得，22211142223QOF PQ b S OF c a =⨯⨯=⋅=△4c =所以，又因为，联立化简得，；2216a b +=22143b a =27b =29a =故双曲线C 的渐近线方程为； y =30y ±=故答案为：. y =15．已知，且，则m +2n 的取值范围是______．()()1ln f x x x =+()1f m f n ⎛⎫= ⎪⎝⎭2m ≥【答案】[)3,+∞【分析】求导判定的单调性得，再用对勾函数的单调性求m +2n 的范围即可. ()f x 1m n=【详解】由题意得，设， ()1ln 1f x x x'=++()()211ln 1x g x x g x x x-'=++⇒=令得，，令得，，故在上单调递减，在上单调递()0g x '>1x >()0g x '<01x <<()g x ()0,1()1,+∞增，即，故在定义域上单调递增.()()12g x g ≥=()f x 所以，()112,2f m f m m n m n n m ⎛⎫=⇒=+=+ ⎪⎝⎭设，，由对勾函数的单调性可得在上单调递增，()2h m m m =+2m ≥()h m )+∞故. 22232m m +≥+=故答案为：.[)3,+∞16．在棱长为1的正方体中，M ，N 分别为线段和棱上的点，1111ABCD A B C D -1A B 11A D，EF 为过，，D 三点的平面与正方体的外接球截得的圆面内11A M N =1A 1C 1111ABCD A B C D -MN 的长度最大时，直线MN 与EF 之间的距离为______．【分析】由可分析出，利用线面垂直的判定定理可证平面，线段11A M N 1//MN BD 1BD ⊥11A C D MN 的长度最大时，即为，作出过，，D 三点的截面，当线段MN 的长度最大时，直线1BD 1A 1C MN 与EF 之间的距离即为，求出外接圆半径，利用勾股定理即可求出的长度.GH 11AC D A GH【详解】解：已知M ，N 分别为线段和棱上的点，，1A B 11A D 11A M N =令，即，则， 111A N A D λ=1A N λ=11A M N ==又，则， 1A B ==11A M A B λ=1//MN BD 当线段MN 的长度最大时，即为，1BD 因为为正方体的体对角线，可得，， 1BD 1111ABCD A B C D -11BD C D ⊥111BD A C ⊥而，平面， 1111C D A C C ⋂=111,C D A C ⊂11A C D 所以平面，即平面， 1BD ⊥11A C D MN ⊥11A C D 过，，D 三点的截面如下图所示，1A 1C为等边三角形，其外接圆半径 11AC D A 123r A D ==，而， 12EG EF ==EH r ==在中， Rt EGH A GH ===所以线段MN 的长度最大时，直线MN 与EF ，【点睛】关键点点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.三、解答题17．记为数列的前n 项和．已知，． n S {}n a 11a =134n n n S S a +=++(1)证明：是等比数列； {}2n a +(2)求数列的前n 项和． {}2n a n +n T 【答案】(1)证明见解析(2)123322n n n ++--【分析】（1）根据等比数列的定义证明数列是等比数列； {}2n a +（2）由（1）可求得，再得，由分组求和法计算既可. n a 2n a n +n T 【详解】（1）由已知得．，即， 134n n n S S a +-=+134n n a a +=+所以，()1232n n a a ++=+所以是首项为，公比为3的等比数列． {}2n a +123a +=（2）由（1）得，所以．11233n a -+=⋅32nn a =-则，2322nn n a n +=+-则数列的前n 项和{}2n a n +()()()()121321232223212322nn n T n n -⎡⎤=+⨯-++⨯-+++--++-⎣⎦()()121333321212n n n n n -=++++++++-+-⎡⎤⎣⎦ ．()()123131332213222n n n n n n n +-+=+⨯-=+---18．近年来，绿色环保和可持续设计受到社会的广泛关注，成为了一种日益普及的生活理念和方式可持续和绿色能源，是我们这个时代的呼唤，也是我们每一个人的责任．某环保可持续性食用产品做到了真正的“零浪费”设计，其外包装材质是蜂蜡．食用完之后，蜂蜡罐可回收用于蜂房的再建造．为了研究蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类的关系，研究团队收集了黄、褐两种颜色的蜂蜡罐，对M ，N 两个品种的蜜蜂各60只进行研究，得到如下数据：黄色蜂蜡罐 褐色蜂蜡罐M 品种蜜蜂 40 20 N 品种蜜蜂5010(1)判断是否有95%的把握认为蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类有关联？(2)假设要计算某事件的概率，常用的一个方法就是找一个与B 事件有关的事件A ，利用公()P B 式：求解现从装有a 只M 品种蜜蜂和b 只N 品()()()()(|)()(|P B P AB P AB P A P B A P A P B A =+=+种蜜蜂的蜂蜡罐中不放回地任意抽取两只，令第一次抽到M 品种蜜蜂为事件A ，第二次抽到M 品种蜜蜂为事件B ． （ⅰ）证明：； ()aP B a b=+（ⅱ）研究发现，①M 品种蜜蜂飞入黄色蜂蜡罐概率为，被抽到的概率为；M 品种蜜蜂飞入褐2345色蜂蜡罐概率为，被抽到的概率为；②N 品种蜜蜂飞入黄色蜂蜡罐概率为，被抽到的概率为133556；N 品种蜜蜂飞入褐色蜂蜡罐概率为，被抽到的概率为．请从M ，N 两个品种蜜蜂中选择一341612种，求该品种蜜蜂被抽到的概率．附：，其中．()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++ ()2P K k ≥0.10.05 0.01 0.005 0.001k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828【答案】(1)有95%的把握认为蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类有关联 (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）选M 品种，被抽到的概率为，选N 品种，被抽到的概率为 11151724【分析】（1）根据题意求出，与3.841比较即可得出结论；2K （2）（ⅰ）分别求出，，，，代入公式计算即可证明；（ⅱ）根据题意代()P A (|)P B A (P A (|)P B A 入公式计算即可．【详解】（1）根据列联表得，()2212040102050404.444 3.841606090309K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯所以有95%的把握认为蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类有关联． （2）由已知公式可得，，，，， ()aP A a b =+1(|)1a P B A a b -=+-(b P A a b=+(|1a P B A a b =+-则()()()P B P AB P AB =+()(|)()(|P A P B A P A P B A =+ 111a a b aa b a b a b a b -=⋅+⋅++-++- (1)()(1)a a ab a b a b -+=++-(1)()(1)a a b a b a b +-=++-，得证． aa b=+（ⅱ）①选M 品种，设选M 品种蜜蜂被抽到为事件C ， 由题意得, ()241311353515P C =⨯+⨯=故选M 品种，被抽到的概率为． 1115②选N 品种，令选N 品种蜜蜂被抽到为事件D ， 由题意， ()153164621724P D =⨯+⨯=故选N 品种，被抽到的概率为． 172419．在斜三棱柱中，O 为底面正的中心，底面，．111ABC A B C -ABC A 1A O ⊥ABC 12AC AA ==(1)证明：平面平面； 1A AC ⊥1A BO (2)求与平面所成角的正弦值． 1AC 11BCC B 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）由底面ABC ，得出，再由O 为底面正的中心得出，1A O ⊥1A O AC ⊥ABC A BO AC ⊥证明出平面，根据平面，即可证明；AC ⊥1A BO AC ⊂1A AC （2）建立空间直角坐标系，分别求出和平面的一个法向量，根据直线与平面夹角正弦1AC11BCC B 的计算计算即可．【详解】（1）证明：因为底面ABC ，平面ABC ， 1A O ⊥AC ⊂所以，1A O AC ⊥由O 为底面正的中心，可知， ABC A BO AC ⊥又，平面，平面， 1A O BO O ⋂=BO ⊂1A BO 1A O ⊂1A BO 所以平面， AC ⊥1A BO 又平面， AC ⊂1A AC 所以平面平面．1A AC ⊥1A BO （2）结合（1）中所得，分别以，所在直线为x ，z 轴，过点O 作AB 的平行线为y 轴，建CO 1OA 立如图所示的空间直角坐标系，O xyz -由，为正三角形，可知，， 12AC AA ==ABC A ()0,0,0O10,A ⎛⎝，，， B ⎫⎪⎪⎭10,B ⎛ ⎝C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭所以，，， 1A C ⎛= ⎝ ()1,0BC =-1BB ⎛= ⎝设平面的法向量为，11BCC B (),,n x y z =则，即， 100n BC n BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩00y y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩取，则，1x=(1,n =设与平面所成角为，1AC 11BCC B θ则1sin cos ,A C n θ=，故与平面 1AC 11BCC B 20．已知函数． ()()()212e 1x f x x a x -=---(1)求函数的极值点；()f x (2)设，为的两个极值点，证明：．1x 2x ()()()13e x g x f x x -=+-()212ln 21x x a <+⎡⎤⎣⎦【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析【分析】（1）先求出，因式分解得出，再根据的值进行分类讨论()f x '()()()11e 2x f x x a -'=--a 即可；（2）由有两个极值点，则的二阶导数有解，得出，由得出()g x ()g x 0a >()()120g x g x ''==，令，，则且121112e e 2x x a x x ---=-11e 1x m -=>21e 1x n -=>2ln ln m n a m n-=-（），得出，有，令（），()11ln 2m x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭1x>()1,x ∀∈+∞11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭x =1m n >>，则，结合即可证1>ln ln m n m n -<-()21212ln 21x x a x x <++-()()1211ln 22x x a -+-<明．【详解】（1），()()()()()111e 211e 2x x f x x a x x a --'=---=--①当，即时，， 20a -≥0a ≤1e 20x a -->令，得，()0f x '=1x =当时，，单调递减；(),1x ∈-∞()0f x '<()f x 当时，，单调递增，故有唯一的极小值点1； ()1,x ∈+∞()0f x ¢>()f x ()f x ②当，即时，令，则，， 20a -<0a >()0f x '=11x =()2ln 21x a =+（ⅰ）当时，，则，在上单调递增，此时无极值点； 12a =()ln 211a +=()0f x '≥()f x R ()f x （ⅱ）当时，， 102a <<()ln 211a +<当时，，单调递增， ()(),ln 21x a ∈-∞+()0f x ¢>()f x 当时，，单调递减； ()()ln 21,1x a ∈+()0f x '<()f x 当时，，单调递增，()1,x ∈+∞()0f x ¢>()f x 从而有两个极值点，极大值点为，极小值点为1； ()f x ()ln 21a +（ⅲ）当时，， 12a >()ln 211a +>当时，，单调递增； (),1x ∈-∞()0f x ¢>()f x 当时，，单调递减； ()()1,ln 21x a ∈+()0f x '<()f x 当时，，单调递增，()()ln 21,x a ∈++∞()0f x ¢>()f x 从而有两个极值点，极大值点为1，极小值点为； ()f x ()ln 21a +综上所述，当时，有唯一的极小值点1； 0a ≤()f x 当时，有两个极值点，极大值点为，极小值点为1； 102a <<()f x ()ln 21a +当时，无极值点； 12a =()f x 当时，有两个极值点，极大值点为1，极小值点为． 12a >()f x ()ln 21a +（2）不妨设，12x x >由题得， ()()()()2113e e 1x x g x f x x a x --=+-=--则，设，则，()()1e21x g x a x -'=--()1()e 21x h x a x -=--1()e 2x h x a -'=-由，为函数的两个极值点可知， 1x 2x ()g x ()()120g x g x ''==则在上不单调，则有解，故，则， ()g x 'R ()0h x '=20a -<0a >由，得，()111e21x a x -=-()212e 21x a x -=-()121112e e 2x x a x x ---=-所以．121112e e 2x x a x x ---=-因为，， e 0x >0a >所以，， 110x ->210x ->令，，11e 1x m -=>21e 1x n -=>则，，， 11ln x m -=21ln x n -=1m n >>故，且2ln ln m na m n-=-ln ln 2ee m n+=<==令（），()11ln 2m x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭1x >则， ()()2222211112110222x x x m x x x x x ---+-⎛⎫'=-+==< ⎪⎝⎭则在上单调递减，，()m x ()1,+∞()()10m x m <=即对，有，()1,x ∀∈+∞11ln 2xx x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭令（，x =1m n>>1>则，12<ln ln m nm n-<-所以，2ln ln m na m n-<<=-则，即， ()()()21211ln 2x x a --<()21212ln 21x x a x x <++-又，()()1211ln ln ln 222x x m n a -+-+==<所以，故．122ln 22x x a +<+()()212ln 21x x a <+【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是利用导数研究（）的单调性，()11ln 2m x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭1x >由，再结合基本不等式，从而得出结论；本题考查了12<ln ln m nm n -<-利用导数研究函数单调性，基本不等式的应用，属于难题．21．在平面直角坐标系xOy 中，已知点，直线，作直线l 的平行线()2,0F :2l x =-:l x a '=()2x >，动点P 满足到F 的距离与到直线的距离之和等于直线l 与之间的距离．记动点P 的轨迹为l 'l 'E ．(1)求E 的方程；(2)过作倾斜角互补的两条直线分别交E 于A ，B 两点和C ，D 两点，且直线AB 的倾斜角()3,1Q ，求四边形ACBD 面积的最大值．ππ,64α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【答案】(1)； 28y x =(2).【分析】（1）过P 分别作直线l ，的垂线，垂足为M ，N ，可得，根据抛物线的定义l 'PF PM =即可求解；（2）设，，，由可得():13AN l x m y =-+()11,A x y ()22,B x y ππ,64α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1m ≤≤,根据韦达定理可得，，由弦长公式可求，，根据()2813y xx m y ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩12y y +12y y AB CD，可得，11sin sin 22ACBD S QA CD QB CD θθ=+四边形ACBD S =四边形2m t =构造函数，利用导数即可求最大值.【详解】（1）过P 分别作直线l ，的垂线，垂足为M ，N ，则由题意可得l 'PF PN PM PN +=+，即，PF PM =则由抛物线的定义可知，动点P 的轨迹为以为焦点，直线为准线的抛物线， ()2,0F :2l x =-则有，，故E 的方程为． 22p=4p =28y x =（2）由题目条件过作倾斜角互补的两条直线分别交E 于A ，B 两点和C ，D 两点，()3,1Q可知直线AB ，CD 的斜率互为相反数．设，，，():13AB l x m y =-+()11,A x y ()22,B x y 由直线AB 的倾斜角，且直线AB 的斜率， ππ,64α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1k m =可知，解得π1πtan tan 64m ≤≤1m ≤联立,消去x 可得， ()2813y x x m y ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩288240y my m -+-=则，，，()232230m m ∆=-+>128y y m +=12824yy m =-则AB===同理可得CD =记直线AB ，CD 的夹角为，θ则 11sinsin 22ACBD S QA CD QB CD θθ=+四边形， (21sin 1612AB CD m θθ⋅=+=又， 22222222sin cos 2tan 2sin sin 21sin cos tan 11121AB AB k m k m mm αααθαααα======+++++则 32ACBD S==四边形令，，则2m t =13t ≤≤ACBD S =四边形令，则，()324119f t t t t =++()212229f t t t '=++当时，，单调递增，13t ≤≤()0f t '>()f t 则，()maxACBD S ==四边形故四边形ACBD 面积的最大值为．【点睛】方法点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．12AB x x p =++22．在直角坐标系xOy 中，曲线的参数方程为（t 为参数）．以坐标原点O 为极1C 11,2x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．2C 22223cos 4sin 12ρθρθ+=(1)求曲线的普通方程和曲线的参数方程；1C 2C (2)若Q 为曲线上一点，求点Q 到曲线距离的最大值．2C 1C 【答案】，（为参数）y -=2cos ,x y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩ϕ【分析】（1）代入消元得到曲线的普通方程，利用，先得到曲线的平面直角坐标1C cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩2C 方程，再化为参数方程；（2）设出点Q 的坐标，利用点的坐标表达出点Q 到曲线距离，利用三角函数求出最大值. 1C 【详解】（1）由曲线的参数方程可知，则，1C 112x t =-+22tx =+代入得曲线的普通方程为，y =1C )22y x =+，0y -=由，可知曲线的普通方程为， cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩2C 223412x y +=即， 22143x y+=故曲线的参数方程为（为参数）． 2C 2cos ,x y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩ϕ（2）由题可知，点Q 到曲线的距离1C d其中， 1tan 2β=当时，()cos 1ϕβ+=maxd =故点Q 到曲线． 1C 23．已知x ，y ，z 为正数，证明： (1)若，则； 2xyz =2221112x y z x y z ++++≤(2)若，则．229x y z ++=2229x y z ++≥【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【分析】（1）利用基本不等式进行证明；（2）根据柯西不等式可以证明.【详解】（1）因为，所以， 2xyz =2222y z yz x +=≤同理可得，， 2222x z y +≤2222x y z +≤所以，故， 222222222222y z x z x y x y z +++++≤++2221112x y z x y z ++++≤当且仅当时等号成立．x y z ==（2）， ()()()2222222222112122299x y z x y z x y z ++=++++≥++因为，所以，当且仅当时等号成立． 229x y z ++=2229x y z ++≥2x y z ==。
河南省名校2025届高考数学四模试卷含解析
河南省名校2025届高考数学四模试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，设其前n 项和n S ，若14+=nn n a a （n *∈N ），则5S =（ ）A ．30B ．312C ．152D ．622．如图所示的茎叶图为高三某班50名学生的化学考试成绩，算法框图中输入的1a ，2a ，3a ，，50a 为茎叶图中的学生成绩，则输出的m ，n 分别是（ ）A ．38m =，12n =B ．26m =，12n =C ．12m =，12n =D ．24m =，10n =3．已知复数12iz i-=-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（ ） A ．31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．31,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．31,55⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭4．已知复数z 满足i •z ＝2+i ，则z 的共轭复数是（） A ．﹣1﹣2iB ．﹣1+2iC ．1﹣2iD ．1+2i5．设m ，n 是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面，给出下列四个命题： ①若//m α，//n β，//αβ，则//m n ； ②若αβ⊥，m β⊥，m α⊄，则//m α； ③若m n ⊥，m α⊥，//αβ，则//n β； ④若αβ⊥，l αβ=，//m α，m l ⊥，则m β⊥.其中正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④6．某几何体的三视图如图所示，若侧视图和俯视图均是边长为2的等边三角形，则该几何体的体积为A ．83B 43C ．1D ．27．已知抛物线C ：()220y px p =>，直线()02p y k x k ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭与C 分别相交于点A ，M 与C 的准线相交于点N ，若AM MN =，则k =（ ）A ．3B 22C ．2D ．138．已知六棱锥P ABCDEF -各顶点都在同一个球（记为球O ）的球面上，且底面ABCDEF 为正六边形，顶点P 在底面上的射影是正六边形ABCDEF 的中心G ，若6PA 2AB =，则球O 的表面积为（ ）A ．163πB ．94π C ．6πD ．9π9．集合{}2,A x x x R =>∈，{}2230B x x x =-->，则A B =（ ）A ．(3,)+∞B ．(,1)(3,)-∞-+∞C ．(2,)+∞D ．(2,3)10．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点（设点A 位于第一象限），过点A ，B 分别作抛物线C 的准线的垂线，垂足分别为点1A ，1B ，抛物线C 的准线交x 轴于点K ，若11||2||A KB K =，则直线l 的斜率为 A ．1B ．2C ．22D ．311．设实数满足条件则的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．412．若0.60.5a ＝,0.50.6b ＝,0.52c ＝,则下列结论正确的是( ) A ．b c a >>B ．c a b >>C ．a b c >>D ．c b a >>二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2022届河南省顶级名校高三下学期阶段性联考四数学(文)试题(解析版)
2022届河南省顶级名校高三下学期阶段性联考四数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}20A x x x =+≤，{}ln(21)B x y x ==+，则A B =（ ）A ．1,02⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,02⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】A【分析】先化简集合A ，B ，再利用集合的交集运算求解.【详解】因为集合{}{}2010A x x x x x =+≤=-≤≤，{}1ln(21)2B x y x x x ⎧⎫==+=>-⎨⎬⎩⎭， 所以A B =1,02⎛⎤- ⎥⎝⎦，故选：A2．已知,R a b ∈，复数21ia bi i+=+，则a b += A ．-2 B ．1 C ．0 D ．2【答案】D【详解】分析：先利用复数的除法法则化简等式的右边，再利用复数相等的定义得到相关值． 详解：因为2i 2i(1i)1i=+i 1i (1i)(1i)a b -==+++-， 所以1,1a b ==， 即2a b +=.故选D ．点睛：本题考查复数的除法法则、复数相等的概念等知识，意在考查学生的基本计算能力．3．若角α的终边经过点(1,，则sin α=（ ） A ．12-B．C ．12D【答案】B【分析】由三角函数定义可直接求得结果. 【详解】角α的终边经过点(1,，sin α∴==故选：B.4．“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高．如图是2019年9月到2020年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图．根据该走势图，下列结论正确的是（）A．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值D．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差小于11月份的方差【答案】C【分析】根据走势图，逐一分析各个选项，即可得答案.【详解】对于A：由走势图可得，网民对该关键词相关的信息关注度没有周期性变换，故A错误；对于B：从2月开始，网民对该关键词相关的信息关注度上升，故B错误；对于C：由走势图可得，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值，故C正确；对于D：去年10月份波动较大，方差大，去年11月波动较小，方差小，故去年10月份的方差大于11月份的方差，故D错误，故选：C5．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．1 42π+B 51012π+C 510124 ++D．12 4+【答案】D【分析】根据三视图知几何体是一个四分子一圆锥与一个三棱锥的组合体，分别计算其表面积得解.【详解】四分子一圆锥表面积111121221144222S ππ+=+⨯+⨯⨯=+ 12112ABD BCDS S ∆∆==⨯⨯= , 13322222ACD S ∆== 121312+1+1+22+++ 故选：D【点睛】本题考查三视图还原几何体求表面积问题.几何体三视图还原其直观图时，要熟悉柱、锥、球、台的三视图，结合空间想象将三视图还原为直观图．6．已知直线:3l y x m =+与圆22:(3)6C x y +-=相交于A ，B 两点，若120ACB ∠=︒，则实数m 的值为 A ．36或36B ．326+36-．9或3-D ．8或2-【答案】A【详解】由题意可得，圆心（0，3）6所以36362m d m -==选A ．【点睛】直线与圆相交圆心角大小均是转化为圆心到直线的距离，用点到直线的距离公式解决．7．执行下面的程序框图，如果输入1a =，1b =，则输出的S =A ．7B ．20C ．22D ．54【答案】B【详解】初始值a=1,b=1,s=0,k=0 s=2,a=2,b=3,k=2, s=7,a=5,b=8,k=4 s=20,a=13,b=21,k=6 输出s=20,选B.8．材料一：已知三角形三边长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积为()()()S p p a p b p c =---2a b cp ++=．这个公式被称为海伦-秦九韶公式 材料二：阿波罗尼奥斯（Apollonius ）在《圆锥曲线论》中提出椭圆定义：我们把平面内与两个定点1F ，2F 的距离的和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆． 根据材料一或材料二解答：已知ABC 中，4BC =，6AB AC +=，则ABC 面积的最大值为（ ） A 5B ．3C ．5D ．6【答案】C【解析】根据材料二可得点A 的轨迹为椭圆，当点A 运动到椭圆短轴的顶点时，可得ABC 的面积取得最大值.【详解】由材料二可得点A 的轨迹为椭圆，其焦距24c =，长轴26a =，短轴25,b = 当点A 运动到椭圆短轴的顶点时，可得ABC 的面积取得最大值，∴max 142S =⋅= 故选：C.【点睛】本题考查椭圆的定义及三角形面积的最值，考查数形结合思想，考查运算求解能力.9．已知函数24,1()ln 1,1x x a x f x x x ⎧-+<=⎨+≥⎩，若方程()2f x =有两个解，则实数a 的取值范围是A ．(,2)-∞B ．(,2]-∞C ．(,5)-∞D ．(,5]-∞【答案】C【详解】当1≥x 时，()2f x =必有一解x e =，所以只需1x <时()2f x =有一解即可，而()f x 在(,1)-∞是减函数， 只需(1)32f a =-+<，即5a <. 故选：C.10．设1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，O 是坐标原点，过2F作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若12PF ，则C 的离心率为（ ）AB ．2CD 【答案】D【解析】双曲线的渐近线方程为by x a=,则2PF b =，1OF c =，可得OP a =，在2OPF 和1∆OPF 中，分别求出2cos aPOF c∠=和1cos POF ∠，利用12cos cos 0POF POF ∠+∠=， 可得22213PF a c =+结合222b c a =-，ce a=即可求解. 【详解】由题可得双曲线的渐近线方程为0bx ay -=，()2,0F c2PF b ==，1OF c =，OP a =，因为12PF ，所以222121313PF PF b ==， 在2OPF 中，2cos a POF c∠=， 1∆OPF 中，22211cos a c PF POF c+-∠=，因为12POF POF π∠+∠=，所以12cos cos 0POF POF ∠+∠=，所以22210a c PF a cc+-+= 可得22213PF a c =+， 所以222213133c a a c -=+，所以c a =e = 故选：D【点睛】本题主要考查了利用双曲线的性质求双曲线的离心率，属于中档题.11．已知函数()2e 2ln xf x k x kx x=+-，若 2x = 是函数 ()f x 的唯一极值点，则实数k 的取值范围是 （ ） A ．(]02，B ．[)2+∞，C ．e ,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．2e ,4∞⎛⎤- ⎥⎝⎦【答案】D【分析】求出导函数并因式分解得到()22e x x f x k x x ⎛⎫-'=⋅- ⎪⎝⎭，再令()2exg x k x =-，进而讨论函数()g x 的单调性并求出最小值()2e 24g k =-，然后讨论2e 4k ≤和2e 4k >两种情况分别求出原函数的极值点个数，最后得到答案.【详解】由题意，()()2e 2ln 0xf x k x kx x x =+->，()22e x x f x k x x ⎛⎫-'=⋅- ⎪⎝⎭，记()2e xg x k x =-，则()()3e 2x x g x x-'=，则()0,2x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，()2,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以()()2mine 24g x g k ==-.若2e 4k ≤，则()0,2x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，()2,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，于是2x = 是函数 ()f x 的唯一极值点.若2e 4k >，则()2e 204g k =-<，易知()21g x k x >-，于是0x <<()0g x >；设()()e 2x x x x ϕ=->，()2e 1e 10x x ϕ'=->->，即()x ϕ在()2,+∞上单调递增，所以()2e 20e xx x ϕ>->⇒>，则6x >时，33e e 327xxx x >⇒>，此时()27x g x k >-，于是6x >且27x k >时，()0g x >.再结合函数()g x 的单调性可知，函数()g x 在()()0,2,2,+∞两个区间内分别存在唯一一个零点12,x x ，且当()10,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，()1,2x x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，()22,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，()2,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.于是函数 ()f x 存在3个极值点.综上所述：2e 4k ≤.故选：D.【点睛】本题难度较大，首先，注意对函数求完导之后要因式分解，题目要求2x =为极值点，则尽量分解出()2x -，其次，在讨论函数()g x 的零点时可以借助函数的单调性和图象进行分析，这样作为选择题会很快得出答案. 12．在ABC 中，2A π=，2AB AC ==，有下述四个结论：①若G 为ABC 的重心，则1331AG AB AC =+ ②若P 为BC 边上的一个动点，则()AP AB AC ⋅+为定值2③若M ，N 为BC边上的两个动点，且MN AM AN ⋅的最小值为32④已知P 为ABC 内一点，若1BP =，且AP AB AC λμ=+，则λ的最大值为2 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①③ B ．①④C ．②③D ．②④【答案】A【解析】根据题意，先得ABC 为等腰直角三角形；①取BC 中点为D ，连接AD ，得到23AG AD =，根据平面向量基本定理，即可得出结果；②先由①得到AD BC ⊥，由题意得到AP 在AD 上的投影为cos AP PAD AD ∠=，进而可求出向量数量积；③以A 点为坐标原点，分别以AB 、AC 所在直线为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，由题意，设()11,2M x x -，()22,2N x x -且[]12,0,2x x ∈，不妨令12x x <，根据向量数量积的坐标表示，即可求出结果；④同③建立平面直角坐标系，设(),P x y ，根据题意，得到22x y λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，再设PBA θ∠=，由题意，得到2cos x θ=-，sin y θ=，用θ表示出λ，即可求出结果；【详解】因为在ABC 中，2A π=，2AB AC ==； 所以ABC 为等腰直角三角形；①如图1，取BC 中点为D ，连接AD ，因为G 为ABC 的重心， 所以G 在AD 上，且23AG AD =， 所以()2211133233AG AD AB AC AB AC ==⨯+=+，故①正确； ②如图1，同①，因为D 为BC 中点，ABC 为等腰直角三角形，所以AD BC ⊥， 若P 为BC 边上的一个动点，则AP 在AD 上的投影为cos AP PAD AD ∠=，因此221()22242AP AB AC AP AD AD BC ⎛⎫⋅+=⋅==⨯= ⎪⎝⎭，故②错；③如图2，以A 点为坐标原点，分别以AB 、AC 所在直线为x 轴、y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则()0,0A ，()2,0B ，()0,2C ，易得，BC 所在直线方程为：2x y +=；因为M ，N 为BC 边上的两个动点，所以设()11,2M x x -，()22,2N x x -，且[]12,0,2x x ∈，不妨令12x x <，因为2MN =，所以()()2212212x x x x -+-=，即()2121x x -=，则211x x -=， 所以()()()()()12121111221221AM AN x x x x x x x x ⋅=+--=++---221111332222222x x x ⎛⎫=-+=-+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当112x =时，等号成立；故③正确；④同③建立如图3所示的平面直角坐标系，则(2,0)AB =，(0,2)AC =， 设(),P x y ，则(,)=AP x y ，又AP AB AC λμ=+，所以22x y λμ=⎧⎨=⎩，即22x y λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因为P 为ABC 内一点，且1BP =，设PBA θ∠=，则0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且cos 2cos B x x BP θθ=-=-，sin sin y BP θθ==，因此31331cos sin sin 122226x y πλμθθθ⎛⎫+=+=-+=-+ ⎪⎝⎭， 因为0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以,6612πππθ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以sin 6πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭无最值，即3λμ+无最值，故④错.故选：A.【点睛】本题主要考查平面向量基本定理的应用，以及求平面向量的数量积等问题，熟记平面向量基本定理，灵活运用建系的方法求解即可，属于常考题型. 二、填空题13．若,x y 满足约束条件1,1,2,y y x x y ≥-⎧⎪≤-⎨⎪+≥⎩则2z x y =+的最小值是_______．【答案】72；【分析】画出可行域和目标函数，根据图像得到答案. 【详解】画出可行域和目标函数，如图所示：2z x y =+，则2y x z =-+，z 表示直线在y 轴的截距，根据图像知：当31,22x y ==时，目标函数有最小值为72.故答案为：72.【点睛】关键点睛：本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.14．一个动圆与定圆()22:34F x y -+=相外切，且与直线:1l x =-相切，则动圆圆心的轨迹方程为_______． 【答案】212y x =【分析】分析可知，动圆圆心的轨迹是以点()3,0F 为圆心，以直线3x =-为准线的抛物线，由此可得出动圆圆心的轨迹方程.【详解】由题意可知，圆F 的圆心为()3,0F ，半径为2，由于动圆与定圆()22:34F x y -+=相外切，且与直线:1l x =-相切， 动圆圆心到点F 的距离比它到直线l 的距离大2，所以，动圆圆心到点F 的距离等于它到直线3x =-的距离，所以，动圆圆心的轨迹是以点()3,0F 为圆心，以直线3x =-为准线的抛物线，设动圆圆心的轨迹方程为22y px =，则32p ，可得6p ，所以，动圆圆心的轨迹方程为212y x =. 故答案为：212y x =.【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；（3）相关点法：用动点Q 的坐标x 、y 表示相关点P 的坐标0x 、0y ，然后代入点P 的坐标()00,x y 所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q 的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一参数t 得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.15．点P 在双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的右支上，其左、右焦点分别为1F 、2F ，直线1PF 与以坐标原点O 为圆心、a 为半径的圆相切于点A ，线段1PF 的垂直平分线恰好过点2F ，则该双曲线的离心率为________. 【答案】53【解析】画出图形，由条件可得2122PF F F c ==，OA a =，190F AO ∠=︒，设线段1PF 的中点为M ，则22MF a =，然后求出14PF b =，然后利用双曲线的定义即可建立出方程求解.【详解】由线段1PF 的垂直平分线恰好过点2F 可得2122PF F F c == 因为直线1PF 与以坐标原点O 为圆心、a 为半径的圆相切于点A 所以OA a =，190F AO ∠=︒设线段1PF 的中点为M ，则22MF a =在直角三角形2PMF 中可得22442PM c a b =-=所以14PF b =由双曲线的定义可得：122PF PF a -=即422b c a -=，即2b a c =+，即()224b a c =+， 即()222242c a a ac c -=++，解得35a c =所以离心率为53c a = 故答案为：53【点睛】本题考查的是双曲线的定义及三角形中的计算，考查了离心率的求法，属于中档题.16．菱形ABCD 中，2AB =，120DAB ︒∠=，将△CBD 沿BD 折起，C 点变为E 点，当四面体E -ABD 的体积最大时，四面体E -ABD 的外接球的面积为_______． 【答案】20π【分析】当平面CBD ⊥平面ABD 时，四面体E -ABD 的体积最大，分别从△EBD 和△ABD 的外接圆圆心作其面的垂线，交线即为外接球球心，在根据边角关系求得半径长，从而求得外接球表面积. 【详解】如图所示，当平面CBD ⊥平面ABD 时，四面体E -ABD 的体积最大，分别从△EBD 和△ABD 的外接圆圆心21,O O 作其面的垂线，交于点O ，即为外接球球心，则易知四边形12OO MO 为正方形.由120DAB ︒∠=知，30ABD ︒∠=，2sin 301AM EM ===， 由正弦定理知121222sin 30AO EO ==⋅=， 故11OO =，在1Rt OO A △中，222215OA =+=， 故四面体E -ABD 的外接球的面积为2420OA ππ⋅=，故答案为：20π.【点睛】关键点点睛：找到四面体E -ABD 的体积最大的位置，做出外接球球心，从而在三角形中求得外接球半径. 三、解答题17．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知1cos 2b a C c =+．(1)求角A ；(2)若3AB AC ⋅=，求a 的最小值． 【答案】(1)π3A =【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用三角形内角和定理将sin sin cos cos sin B A C A C =+，推导出1cos sin sin 2A C C =，由此求出角A .（2）由已知条件推导出6bc =，从而由余弦定理得出222a b c bc =+-，最后利用基本不等式求出a 的最小值.【详解】(1)△ABC 中，cos 2cb a C -=，由正弦定理知，1sin sin cos sin 2B A C C -=，∵πA B C ++=，∴[]sin sin π()B A C =-+ sin cos cos sin A C A C =+，∴1sin cos cos sin sin cos sin 2A C A C A C C +-=，∴1cos sin sin 2A C C =，∴1cos 2A =， 又∵0πA << , ∴π3A =；(2)由（1）及3AB AC ⋅=得6bc =，所以222222cos 6a b c bc A b c bc bc =+-=+-≥=,当且仅当b c =时取等号，所以a .18．蹦床是一项将运动和美学完美结合的运动，随着全民健身时代的到来，蹦床越来越受到人们的喜爱某大型蹦床主题公园为吸引顾客，推出优惠活动对首次消费的顾客，先注册成为会员，首次按60元收费.对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下：该蹦床主题公园从注册的会员中，随机抽取了100位统计他们的消费次数，得到数据如下：假设每消费一次，蹦床主题公园的成本为30元，根据所给数据，解答下列问题： (1)以频率估计概率，估计该蹦床主题公园一位会员至少消费2次的概率. (2)某会员消费6次，求这6次消费中，该蹦床主题公园获得的平均利润.(3)以样本估计总体，假设从消费次数为3次和4次的会员中采用分层抽样的方法共抽取6人进行满意度调查，再从这6人中随机选取2人进一步了解情况，求抽取的2人中恰有一人的消费次数为3次的概率. 【答案】(1)25；(2)23元； (3)815. 【分析】（1）根据频数分布表求得至少消费2次的频数之和，再求频率，即为所求概率； （2）分别求得每次消费对应的利润，再求利润之和，以及利润的平均值即可； （3）先求得从6人中随机选取2人的所有情况，再求满足题意的情况，利用古典概型的概率计算公式即可求得结果.【详解】(1)随机抽取的100位会员中，至少消费2次的会员有20105540+++=(位)， 所以该蹦床主题公园一位会员至少消费2次的概率4021005P ==. (2)第1次消费时，蹦床主题公园获取的利润为603030-=(元)， 第2次消费时，蹦床主题公园获取的利润为600.953027⨯-=(元)， 第3次消费时，蹦床主题公园获取的利润为600.903024⨯-=(元)， 第4次消费时，蹦床主题公园获取的利润为600.853021⨯-=(元)， 第5次或第6次消费时，蹦床主题公园获取的利润为600.803018⨯-=(元) 所以这6次消费中，该蹦床主题公园获得的平均利润为302724211818236+++++=(元).(3)由题意知，从消费次数为3次和4次的会员中抽取的人数分别为4人，2人， 这6人中，将消费3次的会员分别记为a b c d ,,,，消费4次的会员分别记为,e f .从6人中随机抽取2人的情况有()()()()()a b a c a d a e a f ,,,,,,,,,，()()()()(,)b c b d b e b f c d ,,,,,,,,，(,),(,),(,),(,),(,)c e c f d e d f e f ，共15种.设“抽取的2人中恰有一人的消费次数为3次”为事件A ，则事件A 包含的情况有()()(),,()a e a f b e b f ,,,,,，()()(,,,,,),,()c e c f d e d f ，共8种.根据古典概型的概率计算公式可得，()815P A =. 19．如图，四棱锥S ABCD -中，ABS 是正三角形，四边形ABCD 是菱形，点E 是BS 的中点.(1)求证：//SD 平面ACE ；(2)若平面ABS ⊥平面ABCD ，2AB =，120ABC ∠=︒，求三棱锥E ASD -的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)12【分析】（1）连接BD ，设ACBD O =，连接OE ，证得//SD OE ，结合线面平行的判定定理，即可证得//SD 平面ACE ；（2）取AB 的中点F ，连接SF ，得到DF AB ⊥，进而证得DF ⊥平面ABS ，结合体积公式，利用E ADS D AES V V --=，即可求解. 【详解】(1)解：连接BD ，设ACBD O =，连接OE ，因为四边形ABCD 是菱形，所以点O 是BD 的中点，又因为E 是BS 的中点，所以OE 是三角形BDS 的中位线，所以//SD OE ， 又因为SD ⊄平面ACE ，OE ⊂平面ACE ，所以//SD 平面ACE .(2)解：因为四边形ABCD 是菱形，且120ABC ∠=︒，所以1602ABD ABC ∠=∠=︒， 又因为AB AD =，所以ABD △是正三角形， 取AB 的中点F ，连接SF ，则DF AB ⊥，又平面ABS ⊥平面ABCD ，DF ⊂平面ABCD ，平面ABS 平面ABCD AB =， 所以DF ⊥平面ABS ，在等边ABD △中，sin 2sin603DF BD ABD =∠=︒ 又由ASB △的面积13sin 2ASE S SA SE ASE =⋅⋅∠=△ 所以11313332E ADS D AES ASE V V S DF --==⋅=△.20．已知抛物线C ：22y px =()0p >的焦点为F ，点(,25M a 在抛物线C 上． (1)若6MF =，求抛物线C 的标准方程；(2)若直线x y t +=与抛物线C 交于A ，B 两点，点N 的坐标为()1,0，且满足NA NB ⊥，原点O 到直线AB 2p 的取值范围． 【答案】(1)24y x =或220y x =； (2)1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【分析】（1）由已知可得202pa =，由抛物线的定义可得62pa +=，解方程求得p 的值即可求解；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线x y t +=与22y px =，由原点O 到直线AB 的距2t 的范围，由韦达定理可得12x x +、12x x ，利用坐标表示0NA NB ⋅=可利用t 表示p ，再利用函数的单调性求得最值即可求解. 【详解】(1)由题意及抛物线的定义得：62pa +=， 又因为点(,25M a 在抛物线C 上，所以202pa =，由62202p a pa⎧+=⎪⎨⎪=⎩ 可得25p a =⎧⎨=⎩或101p a =⎧⎨=⎩，所以抛物线C 的标准方程为24y x =或220y x =．(2)设()11,A x y ，()22,B x y ，联立22x y t y px+=⎧⎨=⎩消去y 可得：()2220x p t x t -++=，则1222x x p t +=+，212x x t =，因为NA NB ⊥，所以()()()()()()121212121111NA NB x x y y x x t x t x ⋅=--+=--+--()()212122110x x t x x t =-++++=，所以()()22212210t t p t t -++++=，可得22121t t p t -+=+， 由原点O 到直线AB≥2t ≥或2t ≤-，因为0p >，所以2t ≤-不成立，所以2t ≥，因为221421411t t p t t t -+==++-++在[)2,+∞上单调递增，所以2222112213p -⨯+≥=+，所以16p ≥，即p 的取值范围为1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．21．已知()()2xx mf x m R e +=∈.（1）若34m =，求()f x 的极值.（2）若方程()8ln xe f x x ⋅=在[]1,e 上有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()f x；（2）)28,8ln 24e ⎡--⎣. 【分析】(1)对函数()f x 求导，求出导函数为0时的x 值并讨论导数值正负即可作答； (2)把给定等式分离参数变形为28ln m x x =-，再讨论函数2()8ln g x x x =-在[]1,e 上的性质即可得解.【详解】(1)由题意得()234xx f x e +=，所以222332244()x x x xx e x e x x f x e e⎛⎫⋅-+⋅-+ ⎪⎝⎭'==-， 令()0f x '=，得23204x x -+=，解得1213,22x x ==， 1,2x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；13,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；3,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，所以()f x 在12x =处取极小值12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭32x =处取极大值32f ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)由()8ln x e f x x ⋅=，得28ln m x x =-， 令2()8ln g x x x =-，1x e ≤≤，则28822(2)(2)()2x x x g x x x x x-+-'=-==-， 12x ≤<时，()0g x '>，2x e <≤时，()0g x '<，所以()g x 在区间[1,2]上单调递增，在区间[2,]e 上单调递减，故()g x 在2x =处取得最大值(2)8ln 24g =-，而2(1)1,()8g g e e =-=-，且()1()g g e <，因原方程有两个不同的实数根，则8-e 2≤m <8ln2-4，所以实数m 的取值范围为)28,8ln 24e ⎡--⎣.22．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线M 的参数方程为1cos 1sin x y ϕϕ=+⎧⎨=+⎩ (ϕ为参数)，过原点O 且倾斜角为α的直线l 交M于A 、B 两点．(1)求l 和M 的极坐标方程；(2)当04πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，时，求OA OB +的取值范围．【答案】（1）()R θαρ=∈，22(cos sin )10ρθθρ-++=（2）(2,【分析】（1）结合cos ,sin x y ρθρθ==消去参数，得到极坐标方程，即可．（2）将直线的极坐标方程，代入曲线的极坐标方程，得到()122cos sin ρραα+=+，用α表示OA OB +，结合三角函数的性质，计算范围，即可．【详解】（Ⅰ）由题意可得，直线1l 的极坐标方程为()R θαρ=∈. 曲线M 的普通方程为()()22111x y -+-=， 因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ+=，所以极坐标方程为()22cos sin 10ρθθρ-++=.（Ⅱ）设()1,A ρα，()2,B ρα，且1ρ，2ρ均为正数， 将θα=代入22cos 2sin 10ρρθρθ--+=，得()22cos sin 10ρααρ-++=，当0,4πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，228sin 404πα⎛⎫∆=+-> ⎪⎝⎭，所以()122cos sin ρραα+=+，根据极坐标的几何意义，OA ，OB 分别是点A ，B 的极径.从而：122OA OB ρρ+=+= ()cos sin 4πααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭.当0,4πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，,442πππα⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦，故OA OB +的取值范围是(2,.【点睛】本道题考查了极坐标方程的转化以及极坐标方程的性质，难度较大．23．已知函数()32f x x x =--. (1)求不等式()2f x ≤的解集；(2)若()f x 的最大值为m ，正数,,a b c 满足a b c m ++=，求证：2223a b c ++≥. 【答案】(1)11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(2)证明见解析【分析】（1）根据题意，分0x ≤、03x <<和3x ≥，三种情况讨论，结合不等式()2f x ≥，即可求解；（2）根据函数的解析式，分类讨论求得函数()y f x =的最大值，得到3a b c ++=，结合柯西不等式，即可求解.【详解】(1)解：当0x ≤时，()()32323f x x x x x x =--=-+=+， 由()2f x ≥，得32x +≥，解得1x ≥-，此时10x -≤≤； 当03x <<时，()()323233f x x x x x x =--=--=-， 由()2f x ≥，得332x -≥，解得13x ≤，此时103x <≤；当3x ≥时，()()323236f x x x x x x =--=--=--≤-，此时不等式()2f x ≥无解， 综上所述，不等式()2f x ≥的解集为11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；(2)解：由（1）可知()3,033,033,3x x f x x x x x +≤⎧⎪=-<<⎨⎪--≥⎩，当0x ≤时，()33f x x =+≤；当03x <<时，()()336,3f x x =-∈-； 当3x ≥时，()36f x x =--≤-.所以，函数()y f x =的最大值为3m =，则3a b c ++=.由柯西不等式可得()()()2222111a b c a b c ++++≥++，即()222233a b c ++≥，即2223a b c ++≥，当且仅当1a b c ===时，等号成立. 因此，2223a b c ++≥.。
河南省名校联盟高三下学期4月适应性联考文科数学试题(含答案)
河南省名校联盟高三年级下学期4月份适应性联考文科数学考试时间共120分钟，满分150分注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号和考籍号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”。
2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}{}25,1,0,1,5A x N x B =∈-<<=-，则A B =I （ ） A. {}1B. {}0,1C.{}0,1,5D. {}1,0,1,5-2. 如果复数2i12ib -+（其中i 为虚数单位，b 为实数）为纯虚数，那么b =（ ） A. 1 B. 2 C. 4D. 4-3. 已知圆锥的底面周长为6π，其侧面展开图的圆心角为23π，则该圆锥的高为（ ）A.B ．9C ．3D. 4. 从A ，B ，C ，D 四所大学中随机选取两所大学参与北京冬奥会的志愿者工作，则A 校被选中的概率为（ ）A.12 B ．13 C ．14 D ． 155. 下列区间中，函数()2cos 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增的区间是（ ）A. 0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭6. 许多球状病毒的空间结构可抽象为正二十面体．正二十面体的每一个面均为等边三角形，共有12个顶点、30条棱．如图所示，由正二十面体的一个顶点P 和与P 相邻的五个顶点可构成正五棱锥P ﹣ABCDE ，则PA 与面ABCDE 所成角的余弦值约为（ ）（参考数据：cos36°≈0.8） A ．56B ．58 C ．35 D ．5127. 不等式“122x⎛⎫< ⎪⎝⎭”是“2log 1x >”成立的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8. 已知F 是抛物线24y x =的焦点，P 是抛物线上的一个动点，()3,1A ，则APF∆周长的最小值为（ ）A ．2+B ．4+C ．3+D ．69. 将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移(0)m m >个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，若对任意的x R ∈均有 ()6g x g π⎛⎫≥ ⎪⎝⎭成立，则m 的最小值为（ ）A. 2πB. 3πC. 4πD.6π10．若过点(,)m n 可以作曲线(0x y a a =>且1)a ≠的两条切线，则（ ）A. log a n m <B. log a n m >C. log a n m =D. log a n 与m 的大小关系与a 有关11．已知函数322()3f x x mx nx m =-++在1x =-处取得极值0，则m n +=（ ） A ．2 B ．7C ．2或7D ．3或912. 设()f x 是定义域为R 的奇函数，且(2)(1)f x f +=-，当[]1,2x ∈时，2()x f x a b -=+， (1)(2)3f f +=. 将函数()()1g x f x =-的正零点从小到大排序，则()g x 的第4个正零点为（ ） A.72 B. 92 C. 112 D. 132二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）.13．2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N 随时间单位：年的衰变规律满足表示碳14原有的质量，经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量约是原来的，据此推测良渚古城存在的时期距今约________年．参考数据：，，14．某车间为规定工时定额，需确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据如表，由最小二乘法求得回归方程． 加工时间现发现表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为______．15．已知函数()tan(),(0,||)2f x A x πωϕωϕ=+><,()y f x =的部分图像如图，则()24f π=.16．如图所示，在长方体中，若，E ，F分别是，的中点，与垂直；平面；与所成的角为；平面．则以上结论中成立的是 .三、解答题：共70分。
2024年河南名校高三数学4月模拟检测试卷附答案解析
2024年河南名校高三数学4月模拟检测试卷（考试时间:120分钟试卷满分:150分）2024.04注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若2i23ia +-为纯虚数，R a ∈，则=a （）A ．3B ．4C ．-3D ．-42．设集合{}{}1,,0,3,38A a B a a =-=--，若A B ⊆，则=a （）A ．0B ．1C ．2D ．33．已知圆锥的底面圆的半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为π2的扇形，则该圆锥的母线长为（）A ．52B ．3C ．72D ．44．已知函数()ππ2sin 2cos 233f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列结论正确的是（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 在ππ,84⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增C ．()f x '为偶函数D ．()f x 的最小值为325．已知点(),P m n 是圆C 22:8x y +=上的任意一点，则()()22114m n m n ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦的最大值为（）A ．25B ．24C ．23D ．226．过双曲线22:14x C y -=的左焦点1F 作倾斜角为θ的直线l 交C 于,M N 两点．若113MF F N = ，则cos θ=（）A 10B 310C 255D 557．将8个数学竞赛名额全部分给4个不同的班，其中甲、乙两班至少各有1个名额，则不同的分配方案种数为（）A ．56B ．84C ．126D ．2108．已知函数()f x 的定义域为R ，对于任意实数x ，y 满足()()()()21f x y f x y f x f y ++-=+，且()02f =，则下列结论错误的是（）A ．()11f =B ．()f x 为偶函数C ．()f x 是周期函数D ．()110512f =二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．2023年7月31日国家统计局发布了制造业采购经理指数（PMI ）,如下图所示:下列说法正确的是（）A ．从2023年1月到2023年7月,这7个月的制造业采购经理指数（PMI ）的第75百分位数为51.9%B ．从2023年1月到2023年7月,这7个月的制造业采购经理指数（PMI ）的极差为38%.C ．从2022年7月到2023年7月制造业采购经理指数（PMI ）呈下降趋势D ．PMI 大于50%表示经济处于扩张活跃的状态;PMI 小于50%表示经济处于低迷萎缩的状态,则2023年1月到2023年3月,经济处于扩张活跃的状态10．已知抛物线Γ:216y x =，过点()6,0N 作直线12,l l ，直线1l 与Γ交于A ，C 两点，A 在x 轴上方，直线2l 与Γ交于B ，D 两点，D 在x 轴上方，连接,,,AB CD AD BC ，若直线AB 过点()2,0M ，则下列结论正确的是（）A ．若直线AB 的斜率为1，则直线CD 的斜率为13B ．直线CD 过定点()18,0C ．直线AD 与直线BC 的交点在直线4x =-上D ．ABN 与CDN △的面积之和的最小值为11．已知定义在R 上的奇函数()f x 连续，函数()f x 的导函数为()f x '．当0x >时，()()()cos sin e f x x f x x f x '>+⋅'，其中e 为自然对数的底数，则（）A ．()f x 在R 上为减函数B ．当0x >时，()0f x <C ．π3π22f f ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()f x 在R 上有且只有1个零点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若101,21n a n a λ=+=，则λ=，9S =.13．太极图被称为“中华第一图”，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而又被称为“阴阳鱼太极图”．如图所示的图形是由半径为2的大圆O 和两个对称的半圆弧组成的，线段MN 过点O 且两端点,M N 分别在两个半圆弧上，P 是大圆上一动点，则PM PN ⋅的最小值为．14．已知正四棱台1111ABCD A B C D -的内切球半径11222r AB A B ==，则异面直线11A B 与1DD 所成角的余弦值为四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,,1cos a b c a A A ==-．(1)求cos A ；(2)若AD 为ABC 的中线，且AD =，求ABC 的面积S ．16．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，且π3ABC ∠=，平面PAC ⊥平面ABCD ．F 为PA 的中点，且,4,2,,,CF PF PC BC PB PD M N ====分别为,PB PD 的中点．(1)证明：BD AC ⊥．(2)设DM 交平面NAC 于点H ，求平面ABC 与平面ABH 夹角的余弦值．17．某市共有教师1000名，为了解老师们的寒假研修情况，评选研修先进个人，现随机抽取了10名教师利用“学习APP”学习的时长（单位：小时）：35，43，90，83，50，45，82，75，62，35，时长不低于80小时的教师评为“研修先进个人”．(1)现从该样本中随机抽取3名教师的学习时长，求这3名教师中恰有2名教师是研修先进个人的概率．(2)若该市所有教师的学习时长X 近似地服从正态分布()2,N μσ，其中10,σμ=为抽取的10名教师学习时长的样本平均数，利用所得正态分布模型解决以下问题：①试估计学习时长不低于50小时的教师的人数（结果四舍五人到整数）；②若从该市随机抽取的n 名教师中恰有ξ名教师的学习时长在[]50,70内，则n 为何值时，()10P ξ=的值最大？附：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P X μσμσ-≤≤+≈，()220.9545P X μσμσ-≤≤+≈，()330.9973P X μσμσ-≤≤+≈．18．如图所示，在圆锥内放入两个球12,O O ，它们都与圆锥的侧面相切（即与圆锥的每条母线相切），且这两个球都与平面α相切，切点分别为12,F F ，数学家丹德林利用这个模型证明了平面α与圆锥侧面的交线为椭圆，记为Γ，12,F F 为椭圆Γ的两个焦点.设直线12F F 分别与该圆锥的母线交于A ，B 两点，过点A的母线分别与球12,O O 相切于C ，D 两点，已知22AC AD ==以直线12F F 为x 轴，在平面α内，以线段12F F 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系.(1)求椭圆Γ的标准方程.(2)点T 在直线4x =上，过点T 作椭圆Γ的两条切线，切点分别为M ，N ，A ，B 分别是椭圆Γ的左、右顶点，连接,AM BN ，设直线AM 与BN 交于点P .证明:点P 在直线4x =上.19．已知0b >，函数()()()ln f x x a x b =++的图象在点()()1,1f 处的切线方程为ln 2ln 20x y --=.(1)求a ，b 的值;(2)若方程()1e f x =（e 为自然对数的底数）有两个实数根12,x x ，且12x x <，证明：21111e eln2x x -<++1．A【分析】由复数除法运算化简复数，结合复数是纯虚数列方程解出参数a 即可.【详解】因为()()()2i 23i 2634i2i 23i 1313a a a a ++-+++==-为纯虚数，所以260340a a -=⎧⎨+≠⎩，解得3a =.故选：A.2．C【分析】根据题意，得到0a -=或38a a -=-，求得a 的值，结合集合的包含关系，即可求解.【详解】由集合{}{}1,,0,3,38A a B a a =-=--，因为A B ⊆，所以0a -=或38a a -=-，解得0a =或2a =，当0a =时，{}1,0,{0,3,8}A B ==-，不符合题意；当2a =时，{}{}1,2,0,1,2A B =-=-，符合题意．故选：C ．3．D【分析】设母线长为l ，根据题意得到π2π12l =⨯，即可求解．【详解】设母线长为l ，由题意，可得π2π12l =⨯，解得4l =，即圆锥的母线长为4．故选：D.4．C【分析】由积化和差公式化简，根据周期公式判断A ，根据正弦函数的最值判断D ，根据正弦型函数的单调性判断B ，根据导数判断C.【详解】因为()ππ2sin 2cos 2sin433f x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2ππ42=，其最小值为1-A 错误，D 错误；因为ππ84x -<<，所以π4π2x -<<，可知()f x 在ππ,84⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调，B 错误；又()4cos4f x x ='，所以()f x '为偶函数，C 正确．故选：C 5．A【分析】设m n αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，，代入算式中由倍角公式化简，利用基本不等式求积的最大值.【详解】点(),P m n 是圆C 22:8x y +=上的任意一点，设m n αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，，则()()()()2222118cos sin 2cos sin 14m n m n αααα⎡⎤⎡⎤-++=-++⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()222sin232sin281sin232sin24252αααα-++⎛⎫=-+≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1sin24α=-时，等号成立.()()22114m n m n ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦的最大值为25.故选：A 6．D【分析】根据双曲线的定义，结合焦点三角形以及余弦定理即可求解.【详解】设双曲线的右焦点为F ,连接,MF NF ,由题意可得2,1,a b c ===设1133,2343,24,MF F N x MF a x x FN a x x ===+=+=+=+由余弦定理可得2222221111111111cos cos 022F N F F NF F M F F MFNF F MF F F N F F F M F F+-+-∠+∠=+=⋅⋅,即()()222222449443022232x c x x c xx cx c+-++-++=⋅⋅⋅⋅，解得13x =，所以()22211441cos MF F +-+∠==cos θ=．故选：D7．B【分析】将问题等价转换为将10个数学竞赛名额全部分给4个不同的班，每个班至少有1个名额的分法，利用隔板法即可求解.【详解】将8个数学竞赛名额全部分给4个不同的班，其中甲、乙两班至少各有1个名额的分法，等价于将10个数学竞赛名额全部分给4个不同的班，每个班至少有1个名额的分法.用3个隔板插入10个小球中间的空隙中，将球分成4堆，由于10个小球中间共有9个空隙，因此共有39C 84=种不同的分法.故选：B.8．C【分析】对于A ，令0x y ==，结合()02f =即可判断；对于B ，令0x =结合偶函数的性质即可判断；对于C ，令0y =即可判断；对于D ，得出递推关系()112nf n ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由此即可验算.【详解】令0x y ==，得()()()20201f f f =，因为()02f =，所以()11f =，A 正确;令0x =，则()()()()()212f y f y f f y f y +-==，所以()()f y f y =-，则()f x 为偶函数，B 正确；令0y =，得()()()()221041f x f x f f x =+=+，即()()112f x f x +=，所以()f x 不是周期函数，C 错误；当x 取正整数n 时，()()()11111222nnf n f n f ⎛⎫⎛⎫+==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，则()911102512f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，D 正确.故选：C.【点睛】关键点点睛：判断D 选项的关键是得出()112nf n ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由此即可顺利得解.9．ABD【分析】根据折线图中的数据,结合极差、平均数、百分位数定义与计算方法逐一判断即可.【详解】由图知,从2023年1月到2023年7月,这7个月的制造业采购经理指数（PMI ）从小到大的顺序为48.8%,49.0%,49.2%,49.3%,50.1%,51.9%,52.6%,因为775% 5.25⨯=,所以第75百分位数为第6个数,即为51.9%,故A 正确;从2023年1月到2023年7月,这7个月的制造业采购经理指数（PMI ）的最大值为52.6%,最小值为48.8%,所以极差为52.6%48.8% 3.8%-=,故B 正确;由图易知制造业采购经理指数（PMI ）有升有降,故C 错误;由图知2023年1月到2023年3月PMI 均大于50%,所以经济处于扩张活跃的状态,故D 正确.故选:ABD.10．ABD【分析】分别联立曲线与直线1,,,AB BD l CD 方程，表示出韦达定理，解方程组可得B 正确；由斜率的定义结合选项B 可得A 正确；当1l x ⊥轴时，求出,,,A B C D 四点坐标，得到两直线方程，求出交点横坐标可判断C 错误；由三角形的面积公式结合选项B 和基本不等式可得D 正确.【详解】设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，设直线CD 交x 轴于点(),0t ，0t >，直线1l 的方程为：16x m y =+，联立12616x m y y x=+⎧⎨=⎩，消去x 可得2116960y m y --=，()21Δ164960m =+⨯>，所以1396y y =-，同理2496y y =-，设直线:2AB x my =+，联立2216x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 可得216320y my --=，()2Δ164320m =+⨯>，所以1232y y =-，设直线:CD x ny t =+，联立216x ny t y x=+⎧⎨=⎩，消去x 可得216160y ny t --=，()2Δ164160n t =+⨯>，所以3416y y t =-，联立方程组1213243432969616y y y y y y y y t=-⎧⎪=-⎪⎨=-⎪⎪=-⎩，可得18t =，故B 正确；对于A ，由B 可得122212123412121234341212122233443416969696961616316321616AB CDy y y y y y y y k x x y y y y y y y y k y y y y y y y y y y x x -----+-+--=======--++-+--，所以当1AB k =时，有13CD k =，故A 正确；当1l x ⊥轴时，可知(((6,,6,,A C D -，2,3B ⎛ ⎝⎭，求得直线AD的方程为18x =-，直线BC20y ++=，将这两方程联立方程组，解得6x =-，故C 错误；设ABN 与CDN △的面积分别为12,S S ，则()()()()()()121243124311621862622S S y y y y y y y y +=⨯-⨯-+⨯-⨯-=-+-，又12143414321618y y y y y y y y ⨯-=+≥-=+≥，又12S S +≥14y y ==D 正确．故选：ABD.11．BCD【分析】根据题意，令()()()cos e g x f x x =-，利用导数求得()g x 在()0,∞+上单调递增，结合π3π22g g ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得到π3π22f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可判定C 正确；再由0x >时，()()0g x g >，可判定B 正确；根据()f x 是定义在R 上的奇函数，结合单调性和零点的定义，可判定D 正确．根据()f x 的单调性无法判断，可判定A 错误．【详解】由()()()cos sin e f x x f x x f x '>+⋅'，可得()()()cos e sin 0f x x f x x -->'．令()()()cos e g x f x x =-，则当0x >时，()()()()cos e sin 0g x f x x f x x =--'>'，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，所以π3π22g g ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即ππ3π3πcos e cos e 2222f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，可得()()π3πe e 22f f ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π3π22f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 正确；因为()()()001e 0g f =-=，所以当0x >时，()()00g x g >=，又因为cos e 0x -<，所以当0x >时，()0f x <，所以B 正确；由()f x 是定义在R 上的奇函数，故当0x <时，()()0f x f x =-->，又因为()00f =，所以()f x 在R 上有且只有1个零点，所以D 正确．因为()f x 的单调性无法判断，所以A 错误．故选：BCD.12．299【分析】利用给定条件，直接求出λ，再判断数列特征求出9S .【详解】由101,21n a n a λ=+=，得10121λ+=，解得2λ=；则21n a n =+，显然{}n a 是等差数列，所以19959()9911992a a S a +===⨯=.故答案为：2；9913．0【分析】先根据向量运算表示出PM PN ⋅，结合OM 的最值可得答案.【详解】连接PO ，可得()()2224PM PN PO OM PO OM PO OM OM ⋅=+⋅-=-=- ，显然当2OM 最大，即OM 取得最大值2时，PM PN ⋅ 取得最小值0．故答案为：0.14．10【分析】作正四棱台的轴截面，设1124AB A B a ==，由几何关系得出,3KG a FK FG a ===，结合勾股定理可得12a =，进一步延长侧棱11,DD CC ，设它们相交于点P ，从而只需分别求出1,2CD PD 即可.【详解】由题设知正四棱台1111ABCD A B C D -的高h 设1124AB A B a ==，作正四棱台的轴截面，如图所示，其中I ，J ，L 分别为圆O 与四边形EFGH 的切点，FK GH ⊥，K 为垂足，从而有IF FL a ==，2JG GL a ==，所以,3KG a FK FG a ===，由2229a a -=，解得1.2a =延长侧棱11,DD CC ，设它们相交于点P，则异面直线11A B 与1DD 所成的角为11PD C ∠.因为112AB A B =，所以1111PG BC ABFG B C A B ==，所以11111263,212PG FG a HD AD A D A B EF a =========，所以PC PD ==从而11cos .1102cos P CDPDC DD P C =∠∠=故答案为：1010.【点睛】关键点点睛：关键是得出1122AB A B ==，进一步得出,PG PD 的长度，由此即可顺利得解.15．(1)2cos 3A =【分析】（1sin 22A A =，结合22sincos 122A A +=，求得25cos 26A =，结合余弦的倍角公式，即可求解；（2）由（1）得到sin A =2AB AC AD += ，求得224123b c bc ++=，再由由余弦定理得到22443b c bc +-=，求得3bc =，结合三角形的面积公式，即可求解.【详解】（1）解：由51cos 5A A =-，可得225cos 2sin 5222A A A =，因为0πA <<，可知sin 02A ≠sin 22A A=，又因为22sincos 122A A +=，联立方程组得25cos 26A =，所以22cos 2cos 123A A =-=．（2）解：由（1）知2cos 3A =，可得5sin 3A ==，因为AD 为ABC 的中线，且AD =2AB AC AD +=，两边平方得224123b c bc ++=，又由余弦定理得2222cos 4b c bc A a +-==，即22443b c bc +-=，两式相减，可得3bc =，所以11sin 322S bc A ==⨯⨯16．(1)证明见解析(2)312943【分析】（1）设BD 与AC 交于点O ，根据题意，证得PO BD ⊥和PC BD ⊥，结合线面垂直的判定定理，证得BD ⊥平面PAC ，进而证得BD AC ⊥．（2）由（1）知PC ⊥平面ABCD ，得到OF ⊥平面ABCD ，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得平面ABH 和平面ABC的法向量(m =和()0,0,1n = ，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）证明：如图所示，设BD 与AC 交于点O ，连接PO ，因为底面ABCD 是平行四边形，所以O 为,BD AC 的中点，又因为PB PD =，所以PO BD ⊥，因为CF FP FA ==，且F 为PA 的中点，所以PC AC ⊥，又因为PC ⊂平面PAC ，且平面PAC ⊥平面ABCD ，平面PAC 平面ABCD AC =，所以PC ⊥平面ABCD ，因为BD ⊂平面ABCD ，所以PC BD ⊥，又因为PO PC P = ，且,PO PC ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ，因为AC ⊂平面PAC ，所以BD AC ⊥．（2）解：如图所示，连接ON ，因为ON 为PBD △的中位线，所以//ON PB ，因为平面PBD 平面,ACH OH BM ON ==且H ON ∈，所以OH MB ∥，且12OH MB =，由,O F 分别为,AC AP 的中点，看到的//OF PC ，由（1）知PC ⊥平面ABCD ，所以OF ⊥平面ABCD ．以O 为坐标原点，以,,OA OB OF 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则()()()()()0,0,0,0,0,2,1,0,0,1,0,0,1,0,4O F A C B P --，所以11,44OH BP ⎛⎫==-- ⎪ ⎪⎝⎭，则()5,,4AB AH ⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭，设(),,m x y z = 为平面ABH的法向量，则05044m AB x m AH x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取2y =，可得x z ==(m =，又由平面ABC 的一个法向量为()0,0,1n =，设平面ABC 与平面ABH 的夹角为θ，可得cos 43m n m n θ⋅== ．即平面ABC 与平面ABH的夹角余弦值为43.17．(1)740(2)①841；②14【分析】（1）根据题意利用古典概型即可计算；（2）①由样本数计算μ，进而利用()0.6827P X μσμσ-≤≤+≈求解即可；②首先求在[]50,70内的概率，再由题意可知(),0.6827B n ξ~，然后设()()101010C 0.68270.317310n n f n n -=⨯⨯≥，最后利用()()1f n f n +可求使得()()1f n f n +<的最小n 的值，从而得到使()10P ξ=最大的n 的值.【详解】（1）设事件“抽取的3名教师中恰有2名教师是研修先进个人”为A ．由题知样本中学习时长不低于80小时的人数为3，时长低于80小时的人数为7，则()2137310C C 7C 40P A ==，所以这3名教师中恰有2名教师是研修先进个人的概率为740．（2）①由样本数据知，3543908350458275623560,1010μσ+++++++++===．因为()()()1500.8413522P X P X P X μσμσμσ-≤≤+≥=≥-=+≈，所以0.841351000841⨯≈，所以，学习时长不低于50小时的教师人数为841.②每名教师的学习时长在[]50,70内的概率为()0.6827P X μσμσ-≤≤+≈，由题意可知(),0.6827B n ξ~，则()10101010C 0.68270.3173n n P ξ-==⨯⨯，设()()101010C 0.68270.317310n nf n n -=⨯⨯≥，则()()1010911010101C 0.68270.31730.31730.3173C 0.68270.31739n n n n f n n f n n -+-+⨯⨯+==⨯⨯-．令0.31730.317319n n +>-，得9317344221368276827n <=，所以当13n ≤时，()()1f n f n +>，令0.31730.317319n n +<-，得4422136827n >，所以当14n ≥时，()()1f n f n +<，所以当14n =时，()f n 最大，即使()10P ξ=最大的n 的值为14．18．(1)2214x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据切线长定理可得12,AF AC AF AD ==，可得1224AF AF a +==，2AD AC c -==，从而可求解.（2）根据题意设出直线()()12:2,:2PA y k x PB y k x =+=-，分别与椭圆方程联立，再结合根与系数的关系从而可求解.【详解】（1）设椭圆Γ的标准方程为()222210,0x y a b a b+=>>，由切线长定理知12,AF AC AF AD ==，则1224AF AF AC AD a +=+==，解得2a =.由2AD AC c -==，解得1c b ==.所以椭圆Γ的标准方程为22 1.4x y +=（2）设()()()()001122,,,,,,4,P x y M x y N x y T t ,已知()()2,0,2,0A B -，设()()12:2,:2PA y k x PB y k x =+=-，联立方程组()221142x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得()222211114161640k x k x k +++-=，显然()()422111Δ256641641160k k k =--+=>，由21121164214k x k --=+，可得211212814k x k -=+，21111221128421414k k y k k k ⎛⎫-=+= ⎪++⎝⎭，所以2112211284,1414k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，联立方程组()222142x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y 得()222222214161640k x k x k +-+-=，显然()()422222Δ256641641160k k k =--+=>，由22222164214k x k -=+，可得222222814k x k -=-+，22222222228421414k k y k k k ⎛⎫--=--= ⎪++⎝⎭，同理2222222824,.1414k k N k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭因为M ，N 是切点，且()4,T t ，所以直线MN 的方程为414xty +=，即1x ty +=，显然直线MN 过定点()1,0D ，即M ，D ，N 三点共线，则122212221222124414142882111414k k k k k k k k -++=----++，解得213k k =或1241k k =-（舍去），联立方程组()()01002022y k x y k x ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，解得()1202124k k x k k +==-，即点P 在直线4x =上.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.19．(1)1,1a b =-=(2)证明见解析【分析】（1）求导得()()ln x af x x b x b+=+++'，结合()1ln2f '=，()10f =可列出方程组求解；（2）由题意得10201x x x <<<<，构造函数证明不等式()()()1ln 11ln 2x x x -+≥-⋅，当且仅当1x =时，等号成立；()()1ln 1x x x -+≥-，当且仅当0x =时，等号成立；从而可分别得到2211eln2x x '=+>，111ex x =-'<，由此即可得证.【详解】（1）因为()()ln x a f x x b x b +=+++'，所以()()11ln 1ln21af b b+=++=+'，由题意知()10f =，所以()()()11ln 10f a b =++=，联立方程组()()()1ln 101ln 1ln21a b a b b⎧++=⎪⎨+++=⎪+⎩，解得1,1a b =-=.（2）由（1）可知()()()1ln 1,1f x x x x =-+>-，()()00,10f f ==，()()21ln 11f x x x =-+++'，设()()f x u x '=，()()221011u x x x '=+>++，所以()u x 即()f x '在()1,-+∞上单调递增.又()()010,1ln 20f f ''=-<=>，所以存在()00,1x ∈，使得()00f x '=，故()f x 在()01,x -上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，设()()1ln 2h x x =-⋅，令()()()()()()1ln 11ln 2F x f x h x x x x =-=-+--⋅，则()()()12ln 1ln2ln 11ln211x F x x x x x -=++'-=+-+-++，因为()f x '在()1,-+∞上单调递增，所以()F x '在()1,-+∞上单调递增.又()10F '=，所以当11x -<<时，()0F x '<，当1x >时，()0F x '>.所以()F x 在()1,1-上单调递减，在()1,+∞上单调递增.故()()10F x F ≥=，即()()()1ln 11ln 2x x x -+≥-⋅，当且仅当1x =时，等号成立.因为方程()1ef x =有两个实数根12,x x ，且12x x <，也就是()()()()211100ef x f x f f ==>==，且注意到()f x 在()1,+∞上单调递增，所以10201x x x <<<<，所以()()()2221ln 11ln2x x x -+>-，即()()22f x h x >.设()1e h x =的根为：2x '，则211eln2x ='+，又()h x 在()1,-+∞上单调递增，所以()()()222h x f x h x '=>，故22x x '>①.易知()f x 的图象在坐标原点处的切线方程为()g x x =-，令()()()()()1ln 1T x f x g x x x x =-=-++，则()()()22ln 12ln 111x T x x x x x ='++=-++++，因为()f x '在()1,-+∞上单调递增，所以()T x '在()1,-+∞上单调递增.又()00T '=，所以当10x -<<时，()0T x '<，当0x >时，()0T x '>，所以()T x 在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增.所以()()00T x T ≥=，()()1ln 1x x x -+≥-，当且仅当0x =时，等号成立.因为10x <，所以()()1211ln 1x x x -+>-，即()()11f x g x >.设()1e g x =的根为1x '，则11ex '=-，又()g x 在()1,-+∞上单调递减，所以()()()111g x f x g x '=>，所以11x x '<，从而11x x '->-②.由①②可知：2121111eln2ex x x x ''-<-=++.【点睛】关键点点睛：第二问的关键是构造适当的函数分别得到分别得到2211eln2x x '=+>，111ex x =-'<，由此即可顺利得解.。
2024届河南省郑州市名校联考中考联考数学试题含解析
2024届河南省郑州市名校联考中考联考数学试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．小明和小亮按如图所示的规则玩一次“锤子、剪刀、布”游戏，下列说法中正确的是（ ）A ．小明不是胜就是输，所以小明胜的概率为12B ．小明胜的概率是13，所以输的概率是23C ．两人出相同手势的概率为12D ．小明胜的概率和小亮胜的概率一样2．要使式子2a a +有意义，a 的取值范围是（ ） A ．0a ≠ B ．且0a ≠ C ．2a >-. 或0a ≠ D ．2a ≥- 且0a ≠3．一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（ ）A ．B ．C ．D ．4．下列各式：①3317726822432 ）． A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个5．某厂进行技术创新，现在每天比原来多生产30台机器，并且现在生产500台机器所需时间与原来生产350台机器所需时间相同．设现在每天生产x 台机器，根据题意可得方程为（ ）A ．50035030x x =-B ．50035030x x =-C ．500350+30x x =D ．500350+30x x= 6．不解方程，判别方程2x 2﹣32x ＝3的根的情况( )A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有一个实数根D ．无实数根7．计算的结果是（ ） A ． B ． C ．1 D ．2 8．已知3x +y ＝6，则xy 的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．69．如图，65,AFD CD EB ∠=︒∕∕，则B 的度数为（ ）A ．115°B ．110°C ．105°D ．65°10．已知关于x 的不等式组0217x a x -<⎧⎨-≥⎩至少有两个整数解，且存在以3，a ，7为边的三角形，则a 的整数解有（ ） A ．4个 B ．5个 C ．6个 D ．7个11．如果(x －2)(x ＋3)=x 2＋px ＋q ，那么p 、q 的值是（ ）A ．p=5，q=6B ．p=1，q=－6C ．p=1，q=6D ．p=5，q=－612．根据总书记在“一带一路”国际合作高峰论坛开幕式上的演讲，中国将在未来3年向参与“一带一路”建设的发展中国家和国际组织提供60000000000元人民币援助，建设更多民生项目，其中数据60 000 000 000用科学记数法表示为（ ）A ．0.6×1010B ．0.6×1011C ．6×1010D ．6×1011二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．对于实数a ，b ，定义运算“*”：a*b=2()()a ab a b a b a b ⎧-≥⎨-<⎩，例如：因为4＞2，所以4*2=42﹣4×2=8，则（﹣3）*（﹣2）=___________.14．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，等边△ABC 的顶点B 、C 分别在直线l 2、l 3上，若边BC 与直线l 3的夹角∠1=25°，则边AB 与直线l 1的夹角∠2=________．15．如图，正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，AF ⊥DE 于点O ，那么AO DO 等于（ ）A ．253；B ．13；C ．23；D ．12． 16．如果反比例函数k y x=的图象经过点A （2，y 1）与B （3，y 2），那么12y y 的值等于_____________. 17．2(2)-=__________18．不等式5x ﹣3＜3x+5的非负整数解是_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，已知点C 是以AB 为直径的⊙O 上一点，CH ⊥AB 于点H ，过点B 作⊙O 的切线交直线AC 于点D ，点E 为CH 的中点，连接AE 并延长交BD 于点F ，直线CF 交AB 的延长线于G ．（1）求证：AE•FD=AF•EC ；（2）求证：FC=FB ；（3）若FB=FE=2，求⊙O 的半径r 的长．20．（6分）某网店销售甲、乙两种羽毛球，已知甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽毛球多15元，王老师从该网店购买了2筒甲种羽毛球和3筒乙种羽毛球，共花费255元．该网店甲、乙两种羽毛球每筒的售价各是多少元？根据消费者需求，该网店决定用不超过8780元购进甲、乙两种羽毛球共200筒，且甲种羽毛球的数量大于乙种羽毛球数量的35，已知甲种羽毛球每筒的进价为50元，乙种羽毛球每筒的进价为40元．①若设购进甲种羽毛球m筒，则该网店有哪几种进货方案？②若所购进羽毛球均可全部售出，请求出网店所获利润W（元）与甲种羽毛球进货量m（筒）之间的函数关系式，并说明当m为何值时所获利润最大？最大利润是多少？21．（6分）如图，已知AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于C，BE∥CO．（1）求证：BC是∠ABE的平分线；（2）若DC=8，⊙O的半径OA=6，求CE的长．22．（8分）已知关于x的分式方程11mx+-=2①和一元二次方程mx2﹣3mx+m﹣1=0②中，m为常数，方程①的根为非负数．（1）求m的取值范围；（2）若方程②有两个整数根x1、x2，且m为整数，求方程②的整数根．23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的三个顶点坐标分别为A（1，0），O（0，0），B（2，2）．以点O为旋转中心，将△AOB逆时针旋转90°，得到△A1OB1．画出△A1OB1；直接写出点A1和点B1的坐标；求线段OB1的长度．24．（10分）已知关于x 的一元二次方程x2﹣2(k﹣1)x+k(k+2)＝0 有两个不相等的实数根．求k 的取值范围；写出一个满足条件的k 的值，并求此时方程的根．25．（10分）全民健身运动已成为一种时尚，为了解揭阳市居民健身运动的情况，某健身馆的工作人员开展了一项问卷调查，问卷内容包括五个项目:A:健身房运动；B:跳广场舞；C:参加暴走团；D:散步；E:不运动.以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分，运动形式 A B C D E人数1230m549请你根据以上信息，回答下列问题:()1接受问卷调查的共有人，图表中的m=，n=.()2统计图中，A类所对应的扇形的圆心角的度数是度.()3揭阳市环岛路是市民喜爱的运动场所之一，每天都有“暴走团”活动，若某社区约有1500人，请你估计一下该社区参加环岛路“暴走团”的人数.26．（12分）已知函数y=3x（x＞0）的图象与一次函数y=ax﹣2（a≠0）的图象交于点A（3，n）．（1）求实数a的值；（2）设一次函数y=ax﹣2（a≠0）的图象与y轴交于点B，若点C在y轴上，且S△ABC=2S△AOB，求点C的坐标．27．（12分）已知抛物线y=x2+bx+c经过点A(0,6)，点B（1，3），直线l1:y=kx(k≠0)，直线l2:y=-x-2，直线l1经过抛物线y=x2+bx+c的顶点P，且l1与l2相交于点C，直线l2与x轴、y轴分别交于点D、E.若把抛物线上下平移，使抛物线的顶点在直线l2上（此时抛物线的顶点记为M），再把抛物线左右平移，使抛物线的顶点在直线l1上（此时抛物线的顶点记为N）．（1）求抛物y=x2+bx+c线的解析式．（2）判断以点N为圆心，半径长为4的圆与直线l2的位置关系，并说明理由．（3）设点F、H在直线l1上（点H在点F的下方），当△MHF与△OAB相似时，求点F、H的坐标（直接写出结果）．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、D【解题分析】利用概率公式，一一判断即可解决问题.【题目详解】A、错误．小明还有可能是平；B、错误、小明胜的概率是13，所以输的概率是也是13；C、错误．两人出相同手势的概率为13；D、正确．小明胜的概率和小亮胜的概率一样，概率都是13；故选D．【题目点拨】本题考查列表法、树状图等知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．2、D【解题分析】根据二次根式和分式有意义的条件计算即可.【题目详解】有意义， ∴a+2≥0且a≠0，解得a≥-2且a≠0.故本题答案为：D.【题目点拨】二次根式和分式有意义的条件是本题的考点，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，分式有意义的条件是分母不为0.3、C【解题分析】由主视图和左视图可得此几何体为柱体，根据俯视图为三角形可得此几何体为三棱柱．故选C ．4、A【解题分析】，错误，无法计算；②17 =1正确.故选A.5、A【解题分析】根据现在生产500台机器所需时间与原计划生产350台机器所需时间相同，所以可得等量关系为：现在生产500台机器所需时间=原计划生产350台机器所需时间．【题目详解】现在每天生产x 台机器，则原计划每天生产（x ﹣30）台机器． 依题意得：500350x x 30=-， 故选A ．【题目点拨】本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.6、B【解题分析】一元二次方程的根的情况与根的判别式∆有关，24b ac ∆=-2(32)42(3)=--⨯⨯-420=>，方程有两个不相等的实数根，故选B7、A【解题分析】根据两数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘计算即可.【题目详解】.故选A.【题目点拨】本题考查了有理数的乘法计算，解答本题的关键是熟练掌握有理数的乘法法则.8、B【解题分析】根据已知方程得到y=-1x+6，将其代入所求的代数式后得到：xy=-1x 2+6x ，利用配方法求该式的最值．【题目详解】解：∵1x+y=6，∴y=-1x+6，∴xy=-1x 2+6x=-1（x-1）2+1．∵（x-1）2≥0，∴-1（x-1）2+1≤1，即xy 的最大值为1．故选B ．【题目点拨】考查了二次函数的最值，解题时，利用配方法和非负数的性质求得xy 的最大值．9、A【解题分析】根据对顶角相等求出∠CFB ＝65°，然后根据CD ∥EB ，判断出∠B ＝115°．【题目详解】∵∠AFD ＝65°，∴∠CFB ＝65°，∵CD ∥EB ，∴∠B ＝180°−65°＝115°，故选：A ．【题目点拨】本题考查了平行线的性质，知道“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．10、A【解题分析】依据不等式组至少有两个整数解，即可得到a＞5，再根据存在以3，a，7为边的三角形，可得4＜a＜10，进而得出a 的取值范围是5＜a＜10，即可得到a的整数解有4个．【题目详解】解：解不等式①，可得x＜a，解不等式②，可得x≥4，∵不等式组至少有两个整数解，∴a＞5，又∵存在以3，a，7为边的三角形，∴4＜a＜10，∴a的取值范围是5＜a＜10，∴a的整数解有4个，故选：A．【题目点拨】此题考查的是一元一次不等式组的解法和三角形的三边关系的运用，求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．11、B【解题分析】先根据多项式乘以多项式的法则，将（x-2）（x+3）展开，再根据两个多项式相等的条件即可确定p、q的值．【题目详解】解：∵（x-2）（x+3）=x2+x-1，又∵（x-2）（x+3）=x2+px+q，∴x2+px+q=x2+x-1，∴p=1，q=-1．故选：B．【题目点拨】本题主要考查多项式乘以多项式的法则及两个多项式相等的条件．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．两个多项式相等时，它们同类项的系数对应相等．12、C【解题分析】解：将60000000000用科学记数法表示为：6×1．故选C．【题目点拨】本题考查科学记数法—表示较大的数，掌握科学计数法的一般形式是解题关键．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13、-1．【解题分析】解：∵-3＜-2，∴（-3）*（-2）=（-3）-（-2）=-1．故答案为-1．14、【解题分析】试题分析：如图：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，又∵直线l1∥l2∥l3，∠1=25°，∴∠1=∠3=25°．∴∠4=60°-25°=35°，∴∠2=∠4=35°．考点：1．平行线的性质；2．等边三角形的性质．15、D【解题分析】利用△DAO与△DEA相似，对应边成比例即可求解．【题目详解】∠DOA=90°，∠DAE=90°，∠ADE是公共角，∠DAO=∠DEA∴△DAO∽△DEA∴AO DO AE DA= 即AO AF DO DA= ∵AE=12AD ∴12AO DO = 故选D ．16、32【解题分析】分析：由已知条件易得2y 1=k ，3y 2=k ，由此可得2y 1=3y 2，变形即可求得12y y 的值. 详解： ∵反比例函数k y x=的图象经过点A （2，y 1）与B （3，y 2）， ∴2y 1=k ，3y 2=k ，∴2y 1=3y 2， ∴1232y y =. 故答案为：32. 点睛：明白：若点A ()a b ，和点B ()m n ，在同一个反比例函数k y x=的图象上，则ab mn =是解决本题的关键. 17、2；【解题分析】 试题解析：先求-2的平方4.18、0，1，2，1【解题分析】5x ﹣1＜1x+5，移项得，5x ﹣1x ＜5+1，合并同类项得，2x ＜8，系数化为1得，x ＜4所以不等式的非负整数解为0，1，2，1；故答案为0，1，2，1．【题目点拨】根据不等式的基本性质正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19、（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.【解题分析】（1）由BD是⊙O的切线得出∠DBA=90°，推出CH∥BD，证△AEC∽△AFD，得出比例式即可．（2）证△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF，推出BF=DF，根据直角三角形斜边上中线性质得出CF=DF=BF即可．（3）求出EF=FC，求出∠G=∠FAG，推出AF=FG，求出AB=BG，连接OC，BC，求出∠FCB=∠CAB推出CG是⊙O切线，由切割线定理（或△AGC∽△CGB）得出（2+FG）2=BG×AG=2BG2，在Rt△BFG中，由勾股定理得出BG2=FG2﹣BF2，推出FG2﹣4FG﹣12=0，求出FG即可，从而由勾股定理求得AB=BG的长，从而得到⊙O的半径r．20、（1）该网店甲种羽毛球每筒的售价为60元，乙种羽毛球每筒的售价为45元；（2）①进货方案有3种，具体见解析；②当m=78时，所获利润最大，最大利润为1390元．【解题分析】【分析】（1）设甲种羽毛球每筒的售价为x元，乙种羽毛球每筒的售价为y元，由条件可列方程组，则可求得答案；（2）①设购进甲种羽毛球m筒，则乙种羽毛球为（200﹣m）筒，由条件可得到关于m的不等式组，则可求得m的取值范围，且m为整数，则可求得m的值，即可求得进货方案；②用m可表示出W，可得到关于m的一次函数，利用一次函数的性质可求得答案．【题目详解】（1）设甲种羽毛球每筒的售价为x元，乙种羽毛球每筒的售价为y元，根据题意可得1523255x yx y-=⎧⎨+=⎩，解得6045xy=⎧⎨=⎩，答：该网店甲种羽毛球每筒的售价为60元，乙种羽毛球每筒的售价为45元；（2）①若购进甲种羽毛球m筒，则乙种羽毛球为（200﹣m）筒，根据题意可得()()504020878032005m mm m⎧+-≤⎪⎨>-⎪⎩，解得75＜m≤78，∵m为整数，∴m的值为76、77、78，∴进货方案有3种，分别为：方案一，购进甲种羽毛球76筒，乙种羽毛球为124筒，方案二，购进甲种羽毛球77筒，乙种羽毛球为123筒，方案一，购进甲种羽毛球78筒，乙种羽毛球为122筒；②根据题意可得W=（60﹣50）m+（45﹣40）（200﹣m ）=5m+1000，∵5＞0，∴W 随m 的增大而增大，且75＜m≤78，∴当m=78时，W 最大，W 最大值为1390，答：当m=78时，所获利润最大，最大利润为1390元．【题目点拨】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，弄清题意找准等量关系列出方程组、找准不等关系列出不等式组、找准各量之间的数量关系列出函数解析式是解题的关键.21、（1）证明见解析；（2）4.1．【解题分析】试题分析：（1）由BE ∥CO ，推出∠OCB=∠CBE ，由OC=OB ，推出∠OCB=∠OBC ，可得∠CBE=∠CBO ； （2）在Rt △CDO 中，求出OD ，由OC ∥BE ，可得，由此即可解决问题；试题解析：（1）证明：∵DE 是切线，∴OC ⊥DE ，∵BE ∥CO ，∴∠OCB=∠CBE ，∵OC=OB ，∴∠OCB=∠OBC ，∴∠CBE=∠CBO ，∴BC 平分∠ABE ．（2）在Rt △CDO 中，∵DC=1，OC=0A=6，∴OD==10，∵OC ∥BE ，∴，∴，∴EC=4.1．考点：切线的性质．22、（1）3m ≥-且1m ≠-，0m ≠；（2）当m=1时，方程的整数根为0和3.【解题分析】（1）先解出分式方程①的解，根据分式的意义和方程①的根为非负数得出m 的取值；（2）根据根与系数的关系得到x 1+x 2=3，12111m x x m m -⋅==-，根据方程的两个根都是整数可得m =1或1-.结合（1）的结论可知m =1.解方程即可.【题目详解】解：（1）∵关于x 的分式方程121m x +=-的根为非负数， ∴0x ≥且1x ≠. 又∵302m x +=≥，且312m +≠， ∴解得3m ≥-且1m ≠-.又∵方程2310mx mx m -+-=为一元二次方程，∴0m ≠.综上可得：3m ≥-且1m ≠-，0m ≠.（2）∵一元二次方程2310mx mx m -+-=有两个整数根x 1、x 2，m 为整数，∴x 1+x 2=3，12111m x x m m -⋅==-， ∴11m-为整数，∴m =1或1-. 又∵3m ≥-且1m ≠-，0m ≠，∴m =1.当m =1时，原方程可化为230x x -=.解得：10x =，23x =.∴当m =1时，方程的整数根为0和3.【题目点拨】考查了解分式方程，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程等，熟练掌握方程的解法是解题的关键.23、（1）作图见解析；（2）A 1（0，1），点B 1（﹣2，2）．（3）22【解题分析】（1）按要求作图.（2）由（1）得出坐标.（3）由图观察得到，再根据勾股定理得到长度.【题目详解】解：（1）画出△A 1OB 1，如图．（2）点A 1（0，1），点B 1（﹣2，2）．（3）OB 1＝OB ＝＝2．【题目点拨】本题主要考查的是绘图、识图、勾股定理等知识点，熟练掌握方法是本题的解题关键.24、方程的根120=2x x =-或【解题分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于k 的一元一次不等式，解之即可得出k 的取值范围； （1）取k=0，再利用分解因式法解一元二次方程，即可求出方程的根．【题目详解】（1）∵关于x 的一元二次方程x 1﹣1（k ﹣a ）x+k （k+1）=0有两个不相等的实数根，∴△=[﹣1（k ﹣1）]1﹣4k （k ﹣1）=﹣16k+4＞0，解得：k ＜14． （1）当k=0时，原方程为x 1+1x=x （x+1）=0，解得：x 1=0，x 1=﹣1．∴当k=0时，方程的根为0和﹣1．【题目点拨】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（1）取k=0，再利用分解因式法解方程．25、（1）150、45、36；（2）28.8°；（3）450人【解题分析】（1）由B 项目的人数及其百分比求得总人数，根据各项目人数之和等于总人数求得m=45，再用D 项目人数除以总人数可得n 的值；（2）360°乘以A 项目人数占总人数的比例可得；（3）利用总人数乘以样本中C 人数所占比例可得．【题目详解】解：（1）接受问卷调查的共有30÷20%=150人，m=150-（12+30+54+9）=45， 54%100%36%150n =⨯=∴n=36， 故答案为：150、45、36； （2）A 类所对应的扇形圆心角的度数为1236028.8150︒︒⨯= 故答案为：28.8°；（3）451500450150⨯=（人） 答：估计该社区参加碧沙岗“暴走团”的大约有450人【题目点拨】本题考查的是统计表和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．26、（1）a=1；（2）C （0，﹣4）或（0，0）．【解题分析】（1）把 A （3，n ）代入y=3x（x ＞0）求得 n 的值，即可得A 点坐标， 再把A 点坐标代入一次函数 y=ax ﹣2 可得 a 的值；（2）先求出一次函数 y=ax ﹣2（a≠0）的图象与 y 轴交点 B 的坐标，再分两种情况（①当C 点在y 轴的正半轴上或原点时；②当C 点在y 轴的负半轴上时）求点C 的坐标即可．【题目详解】（1）∵函数 y=3x （x ＞0）的图象过（3，n ）， ∴3n=3，n=1，∴A （3，1）∵一次函数 y=ax ﹣2（a≠0）的图象过点 A （3，1），∴1=3a ﹣1， 解得 a=1；（2）∵一次函数y=ax ﹣2（a≠0）的图象与 y 轴交于点 B ，∴B （0，﹣2），①当C 点在y 轴的正半轴上或原点时， 设 C （0，m ），∵S △ABC =2S △AOB ， ∴12×（m+2）×3=2×12×3， 解得：m=0， ②当C 点在 y 轴的负半轴上时， 设（0，h ），∵S △ABC =2S △AOB ， ∴12×（﹣2﹣h ）×3=2×12×3， 解得：h=﹣4， ∴C （0，﹣4）或（0，0）．【题目点拨】本题主要考查了一次函数与反比例函数交点问题，解决第（2）问时要注意分类讨论，不要漏解．27、（1）246y x x =-+；（2）以点N 为圆心，半径长为4的圆与直线2l 相离；理由见解析；（3）点H 、F 的坐标分别为()8,8F 、()10,10H --或()8,8F 、()3,3H 或()5,5F --、()10,10H --.【解题分析】（1）分别把A ，B 点坐标带入函数解析式可求得b ，c 即可得到二次函数解析式 （2）先求出顶点P 的坐标，得到直线1l 解析式，再分别求得MN 的坐标,再求出NC 比较其与4的大小可得圆与直线2l 的位置关系.（3）由题得出tan ∠BAO=13,分情况讨论求得F,H 坐标. 【题目详解】 （1）把点()0,6A 、()1,3B 代入2y x bx c =++得631c b c =⎧⎨=++⎩， 解得，46b c =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为246y x x =-+.（2）由246y x x =-+得()222y x =-+，∴顶点P 的坐标为()2,2P ， 把()2,2P 代入1l 得22k =解得1k =，∴直线1l 解析式为y x =，设点()2,M m ，代入2l 得4m =-，∴得()24M -，， 设点(),4N n -，代入1l 得4n =-，∴得()44N --，， 由于直线2l 与x 轴、y 轴分别交于点D 、E∴易得()2,0D -、()0.2E -,∴OC ==CE ==∴OC CE =，∵点C 在直线y x =上，∴45COE ∠=，∴45OEC ∠=，180454590OCE ∠=--=即2NC l ⊥，∵4NC ==>,∴以点N 为圆心，半径长为4的圆与直线2l 相离.（3）点H 、F 的坐标分别为()8,8F 、()10,10H --或()8,8F 、()3,3H 或()5,5F --、()10,10H --. C(-1,-1),A(0,6),B(1,3)可得tan ∠BAO=13,情况1：tan ∠CF 1M= 1CM CF = 13, ∴ CF 1, M F 1∴H 1F 1,∴ F 1(8,8),H 1(3,3);情况2：F 2(-5,-5), H 2(-10,-10)(与情况1关于L 2对称)；情况3：F 3(8,8), H 3(-10,-10)（此时F 3与F 1重合，H 3与H 2重合）.【题目点拨】本题考查的知识点是二次函数综合题，解题的关键是熟练的掌握二次函数综合题.。
【详解】河南省名校联考2019届高三联考(四)数学(文)试题含答案
2019年5月2018—2019学年高三名校联考（四）数学（文科）考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【分析】先求得，然后求两个集合的交集.【详解】依题意，故，故选B.【点睛】本小题主要考查补集、交集的概念和运算，属于基础题.2.若复数满足，则（）A. 1B.C.D.【答案】C【分析】化简为的形式，再求.【详解】依题意，故，故选C. 【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数的模的运算，属于基础题. 求解与复数概念相关问题的技巧：复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即的形式，再根据题意求解.3.如图给出的是某小区居民一段时间内访问网站的比例图，则下列选项中不超过．．．的为（）A. 腾讯与百度的访问量所占比例之和B. 网易与搜狗的访问量所占比例之和C. 淘宝与论坛的访问量所占比例之和D. 新浪与小说的访问量所占比例之和【答案】B【分析】根据图表，分析出两个网站访问量不超过．．．的选项.【详解】由于网易与搜狗的访问量所占比例之和为，不超过，故选B.【点睛】本小题主要考查图表分析，考查分析处理数据的能力，属于基础题.4.若函数，则曲线在点处的切线方程为（）A. B.C. D.【答案】A【分析】先求得切点坐标，然后利用导数求得斜率，由此求得切线方程.【详解】依题意，，由点斜式得，即切线方程为，故选A.【点睛】本小题主要考查切线方程的求法，考查导数的运算，属于基础题.5.将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，所得函数的单调递减区间为（）A. B.C. D.【答案】D【分析】先求得变换后函数的解+析，然后求得函数的单调减区间.【详解】图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，变为，由，解得，故选D.【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换，考查三角函数单调减区间的求法，属于基础题.6.若双曲线：的两条渐近线分别与直线：交于，两点，且（为坐标原点）的面积为4，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【分析】求得渐近线的方程，令求得交点的坐标，利用三角形的面积建立方程，求得的值，进而求得离心率.【详解】双曲线的渐近线方程为，令，解得，不妨设，所以，所以，所以，故选B.【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程，考查两条直线交点的坐标，考查三角形的面积公式和双曲线离心率的求法，属于中档题.7.函数的零点个数为（）A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】B【分析】令，转化为两个函数图像的交点个数来求零点个数.【详解】令得，画出的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像有两个交点，也即有两个零点，故选B.【点睛】本小题主要考查函数零点个数的分析方法，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.8.已知抛物线：与圆：交于，，，四点.若轴，且线段恰为圆的一条直径，则点的横坐标为（）A. B. 3 C. D. 6【答案】A【分析】求出圆心和半径，根据轴和线段恰为圆的一条直径得到的坐标，代入抛物线方程求得的值，设出点的坐标，利用是圆的直径，所对圆周角为直角，即，由此求得点的横坐标.【详解】圆：可化为，故圆心为，半径为，由于轴和线段恰为圆的一条直径，故.将点坐标代入抛物线方程得，故，抛物线方程为.设，由于是圆的直径，所对圆周角为直角，即,也即，所以，化简得，解得，故点横坐标为.故选A.【点睛】本小题主要考查圆和抛物线的位置关系，考查抛物线的对称性，考查抛物线方程的求法，考查圆的几何性质，考查圆一般方程化为标准方程，考查圆的直径所对的圆周为直角，考查向量的数量积运算，运算量较大，属于中档题.9.陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一书中才正式出现.如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1，粗线画出的是一个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的表面积为（）A. B.C. D.【答案】C【分析】根据三视图可知，该几何体是由两个圆锥和一个圆柱构成，由此计算出陀螺的表面积.【详解】最上面圆锥的母线长为，底面周长为，侧面积为，下面圆锥的母线长为，底面周长为，侧面积为，没被挡住的部分面积为，中间圆柱的侧面积为.故表面积为，故选C.【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查三视图还原为原图，考查几何体表面积的计算，属于基础题.10.若，，，则实数，，的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】D【分析】先判断出大于，而小于，得到最小为.然后利用对数的运算和性质，比较两个数的大小.【详解】，而，故是最小的.由于，即，即，故选D.【点睛】本小题主要考查指数式和对数式比较大小，考查对数函数的性质，考查比较大小的方法，属于中档题.11.运行如图所示的程序框图，若输出的的值为1011，则判断框中可以填（）A. B. C. D.【答案】C【分析】利用程序框图的功能，进行模拟计算即可．【详解】程序的功能是计算S＝1sin+3sin+5sin+…＝1﹣3+5﹣7+9+…+，则1011＝1+505×2＝1﹣3+5﹣7+9+…则第1011个奇数为2×1011﹣1＝2021不成立，第1012个奇数为2×1012﹣1＝2023成立，故条件为i＞2022？，故选：C．【点睛】本题主要考查程序框图的应用，利用程序框图的功能是解决本题的关键，属于基础题.12.在正方体中，点平面，点是线段的中点，若，则当的面积取得最小值时，（）A. B. C. D.【答案】D【分析】取的中点，连接，证明点在直线上，当时，三角形的面积取得最小值，进而求得的值.【详解】取的中点，连接，设.作出图像如下图所示.易得，所以平面，所以.易得，所以平面，所以.故平面，所以在直线上，可使得.由于，所以最短时三角形的面积取得最小值，此时点在点的位置.设正方体棱长为，故.，所以，所以，故，故选D.【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明，考查三角形面积的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，难度较大，属于难题..本题解题关键点在于找到点所在的位置，主要通过证明线面垂直来找到.二、填空题.13.若向量，，且，则实数____．【答案】【分析】由向量垂直与向量数量积的关系可得，若，得，解x的值即可．【详解】由，得且，得，解得.故答案为：【点睛】本题考查了向量数量积的坐标计算，关键是掌握向量垂直与向量数量积的关系，属于基础题．14.若，满足约束条件，则的最大值为_______．【答案】2【分析】画出可行域，通过向下平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值，且最大值为.【点睛】本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最大值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画出可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于基础题.15.叶子标本模型是一类常见的图形.绘制叶子标本模型的过程一般分为两步：首先取正方形的两个顶点，，分别以，为圆心，线段的长度为半径作圆，得到图（1）所示图形，再将正方形外部的圆弧隐藏可以得到图（2）所示的叶子标本模型.若往正方形中任意投掷一点，则该点落在叶子上（图（2）中阴影区域）的概率为_______．【答案】【分析】阴影部分的面积等于两个四分之一圆的面积减去正方形的面积，利用几何概型概率计算公式求得所求概率.【详解】设正方形边长为，阴影部分的面积等于两个四分之一圆的面积减去正方形的面积，即阴影部分面积为，故所求概率为.【点睛】本小题主要考查曲边图形面积的求法，考查几何概型概率计算公式，属于基础题.16.已知的内角，，的对边分别为，，，且满足.若，则当取得最小值时，的外接圆的半径为__________．【答案】【分析】根据正弦定理求得的关系，利用余弦定理和基本不等式求得的最小值，根据正弦定理求得三角形外接圆的半径.【详解】由正弦定理得，由余弦定理得，即当时，取得最小值为，此时，设外接圆半径为，由正弦定理得，解得.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理进行边角互化，考查利用基本不等式求最小值，考查利用正弦定理求外接圆的半径，考查利用同角三角函数的基本关系式求三角函数值，考查运算求解，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.三、解答题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知等差数列的前项和为，且，.（Ⅰ）证明：是等差数列；（Ⅱ）设，求数列的前项和.【答案】（Ⅰ）详见解+析；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，，由，得，，求出，利用定义法即可判断；（II）由得，由数列的乘公比错位相减法求和即可.【详解】设等差数列的公差为，，则，解得.所以，解得，所以.所以.所以.因为当时，,当时，,故是首项为，公差为的等差数列.（II）由可知，故.故.两式相减可得.故.【点睛】本题考查了利用定义法证明数列是等差数列，也考查了利用乘公比错位相减法求数列和，考查了学生的计算能力，属于中档题.18.如图，在四棱锥中，，.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，，，，，点为的中点，求平面切割三棱锥得到的上下两个几何体的体积之比.【答案】（Ⅰ）见证明（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）取的中点，连接，.利用等腰三角形证得，，由此证得平面，从而证得.（Ⅱ）取的中点，连接，，利用线线平行得到点，，，共面.计算出的长，证明平面，根据，计算出所求的体积比.【详解】（Ⅰ）取的中点，连接，.∵，∴，∵，∴.∵，∴，∵，∴.∵，平面，平面，∴平面.∵平面，∴.（Ⅱ）取的中点，连接，，易知，故点，，，共面.过作于.设，故，解得.又，，，∴平面.∴，.∴，∴.【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明，考查四点共面的证明，考查几何体体积的计算，考查空间想象能力，属于中档题.19.2018年10月28日，重庆公交车坠江事件震惊全国，也引发了广大群众的思考——如何做一个文明的乘客.全国各地大部分社区组织居民学习了文明乘车规范.社区委员会针对居民的学习结果进行了相关的问卷调查，并将得到的分数整理成如图所示的统计图.（1）求得分在上的频率；（2）求社区居民问卷调查的平均得分的估计值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）（3）由于部分居民认为此项学习不具有必要性，社区委员会对社区居民的学习态度作调查，所得结果统计如下：（表中数据单位：人）根据上述数据，计算是否有的把握认为居民的学习态度与年龄相关.附：，其中.【答案】（1）0.3（2）70.5分（3）见解+析【分析】（1）根据频率之和为求得上的频率.（2）利用中点值乘以频率，然后相加，求得平均分的估计值.（3）计算出的值，由此判断出有的把握认为居民的学习态度与年龄相关.【详解】（1）依题意，所求频率.（2）由（1）可知各组的中间值及对应的频率如下表：∴，即问卷调查的平均得分的估计值为70.5分.（3）依题意，.因为，故有的把握认为居民的学习态度与年龄相关.【点睛】本小题主要考查频率分布直方图，考查频率分布直方图估计平均数，考查列联表独立性检验，属于中档题.20.已知椭圆：，点，.（Ⅰ）若直线与椭圆交于，两点，且为线段的中点，求直线的斜率；（Ⅱ）若直线：与椭圆交于，两点，求的面积的最大值.【答案】（Ⅰ）-1；（Ⅱ）【分析】（I）因为在椭圆上，设，且为线段的中点，得，，由点差法即可计算直线的斜率；（II）联立，得，由可得，,由弦长公式可得点到直线的距离由计算即可.【详解】（I）设，故，将两式相减，可得，即因为为线段的中点，所以得即故直线的斜率（II）联立可得，由可得，解得.设由根与系数的关系可得又点到直线的距离当且仅当，即时取等号.故的面积的最大值为.【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，弦长公式和点到直线的距离，也考查了点差法在弦中点的应用，计算能力和均值不等式，属于中档题.21.已知函数.（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；（2）设，求证：.【答案】（1）（2）见证明【分析】（1）由于函数在上单调递增，故令导函数恒大于零，分离常数得到，利用导数求得的最小值，由此求得的取值范围.（2）令，则.将原不等式等价转化为，构造函数，利用导数证得，由此证得不等式成立. 【详解】（1）由题可知.令，即，当时有.令，则.所以当时，，所以在上单调递增.所以，即，故实数的取值范围为.（2）令，则.故. 构造函数，则.所以在上单调递增，所以，所以当时，，故.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数单调性，考查利用导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，综合性较强，属于难题.在解题过程中，导数是一种工具的作用，用来求单调区间和最值.22.在极坐标系中，曲线的极坐标方程为.以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）.（Ⅰ）若，求曲线的直角坐标方程以及直线的极坐标方程；（Ⅱ）设点，曲线与直线交于，两点，求的最小值.【答案】（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为，直线的极坐标方程为；（Ⅱ）【分析】（I）由普通方程与参数方程，极坐标方程的互化，即可得到结果；（II）联立直线与曲线的方程得，设点对应得参数分别为，得，则，即可求的最小值. 【详解】（I）曲线，将代入得,即曲线的直角坐标方程为直线，故故直线的极坐标方程为（II）联立直线与曲线的方程得即设点对应得参数分别为，则因为当时，取等号.所以的最小值为【点睛】本题考查普通方程与参数方程，极坐标方程的互化，直线参数方程的应用，属于基础题.23.[选修4-5：不等式选讲]已知函数.（1）在如图所示的网格纸中作出函数的图象；（2）记函数的最小值为，证明：不等式成立的充要条件是. 【答案】(1)见解+析；(2)见证明【分析】（1）利用零点分段法去绝对值，将表示为分段函数的形式，由此画出函数的图像.（2）根据（1）求得的值.将原不等式转化，然后判断出不等式成立的充要条件是.【详解】（1）依题意，，作出函数的图象如图所示：（2）由（Ⅰ）中图象可知.. 因为当时，，当时，，故不等式成立的充要条件是.【点睛】本小题主要考查利用零点分段法化简含有两个绝对值的函数，考查充要条件的证明，属于中档题.。
河南省豫东、豫北十所名校2014届高三上学期第四次联考试题 数学(文)
本试题卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,考生作答时，将答案答在答题卡上（答题注意事项见答题卡），在本试题卷上答题无效，考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．第I 卷选择题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(A) (B) (C) (D)(1)设全集U 是实数集R ，{}{}2|4,|ln(2)0M x x N x x =≥=+≥，则(A){}|12x x -≤< (B){}|2x x < (C){}|12x x -<< (D) {}|2x x ≤ (2)已知a 是实数，1a ii+-是纯虚数，则有a 等于 (A)-1 (B)1(D) (3)下列命题中，真命题是(A)00,0x R x ∃∈≤ (B),x ex R e x ∀∈>(C)0a b -=的充要条件是1ab= (D) 若p q ∧为假，则p q ∨为假 (4)若()tan(2)f x x ϕ=+的图象过点(,1)6π，则2()3f π=(A)-1 (B)0 (C)2 (D)1(5)已知点Q(5，4)，若动点P(x ，y)满足 2202010x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则PQ 的最小值为(A)2(C)5 (D)以上都不正确 (6)已知函数201021(),()'(),()'(),,f x xe f x f x f x f x ===⋅⋅⋅1()()()n n f x f x n N *-=∈2013- 2014学年度上期高三名校第四次联考数学（文科）则2014'(0)f =(A)2013 (B)2014 (C)2 015 (D)2 016 (7)某程序框图如图所示，则输出的结果是 (A)20122013 (B) 20132014 (C)20142015 (D) 20152016（8)已知某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 (A) 33π+ (B)542π+(C)43π+ (D) 742π+ (9)在平面直角坐标系xOy 中，已知任意角θ以x 轴的正半轴为始边，若终边经过点P 00(,)x y 且(0)OP r r =>，定义：00cos y x si rθ-=，称“c o s si θ”为“正余弦函数”对于正余弦函数y=sicosx ，有同学得到以下性质：①该函数的值域为⎡⎣；②该函数图象关于原点对称；③该函数图象关于直线34x π=对称；④该函数的单调递增区间为32,2,44k k k Z ππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦,则这些性质中正确的个数有 (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个（10）已知等差数列{}n a 的公差0d >，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比q 是正整数，前n 项和为n T ，若211,a d b d ==，且222123123a a a b b b ++++是正整数，则29sS T 等于(A)4517 (B) 13517 (C) 9017 (D)27017(11)如图，将半径为l 的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形放在圆内（阴影部 分）．现在往圆内任投一点，此点落在星形区域内的概率为(A)41π- (B)1π (C)11π-(D) π(12)如图，过抛物线22(0)x px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，交其准线于 点C，若BC =，且4AF =+p=(A)1 (B)2 (C)52(D) 3第Ⅱ卷非选择题二、填空题：本文题共4小题，每小题5分 (13)已知函数1()ln2x f x x -=-，则78()()55f f +=___________。