河南省名校联考高三数学联考试题(四)文(含解析)
河南省名校联考高三数学联考试题（四）文（含解析）
数学（文科）
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先求得，然后求两个集合的交集.
【详解】依题意，故，故选B.
【点睛】本小题主要考查补集、交集的概念和运算，属于基础题.
2.若复数满足，则（）
A. 1
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
化简为的形式，再求.
【详解】依题意，故，故选C. 【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数的模的运算，属于基础题. 求解与复数概念相关问题的技巧：复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即
的形式，再根据题意求解.
3.如图给出的是某小区居民一段时间内访问网站的比例图，则下列选项中不超过
．．．的为（）
A. 腾讯与百度的访问量所占比例之和
B. 网易与搜狗的访问量所占比例之和
C. 淘宝与论坛的访问量所占比例之和
D. 新浪与小说的访问量所占比例之和
【答案】B
【解析】
【分析】
根据图表，分析出两个网站访问量不超过
．．．的选项.
【详解】由于网易与搜狗的访问量所占比例之和为，不超过，故选B.
【点睛】本小题主要考查图表分析，考查分析处理数据的能力，属于基础题.
4.若函数，则曲线在点处的切线方程为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求得切点坐标，然后利用导数求得斜率，由此求得切线方程.
【详解】依题意，，由点斜式得，即切线方程为，故选A.
【点睛】本小题主要考查切线方程的求法，考查导数的运算，属于基础题.
5.将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，所得
函数的单调递减区间为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先求得变换后函数的解析，然后求得函数的单调减区间.
【详解】图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，变为，由，解得，故选D.
【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换，考查三角函数单调减区间的求法，属于基础题.
6.若双曲线：的两条渐近线分别与直线：交于，两点，且
（为坐标原点）的面积为4，则双曲线的离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
求得渐近线的方程，令求得交点的坐标，利用三角形的面积建立方程，求得的值，进而求得离心率.
【详解】双曲线的渐近线方程为，令，解得，不妨设，所以，所以，所以，故选B.
【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程，考查两条直线交点的坐标，考查三角形的面积公式和双曲线离心率的求法，属于中档题.
7.函数的零点个数为（）
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】
令，转化为两个函数图像的交点个数来求零点个数.
【详解】令得，画出的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像有两个交点，也即有两个零点，故选B.
【点睛】本小题主要考查函数零点个数的分析方法，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
8.已知抛物线：与圆：交于，，，四点.若
轴，且线段恰为圆的一条直径，则点的横坐标为（）
A. B. 3 C. D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】
求出圆心和半径，根据轴和线段恰为圆的一条直径得到的坐标，代入抛物线方程求得的值，设出点的坐标，利用是圆的直径，所对圆周角为直角，即，由此求得点的横坐标.
【详解】圆：可化为，故圆心为，半径为，由于轴和线段恰为圆的一条直径，故.将点坐标代入抛物线方程得
，故，抛物线方程为.设，由于是圆的直径，所对圆周角为直角，即,也即，所以，化简得，解得，故点横坐标为.故选A.
【点睛】本小题主要考查圆和抛物线的位置关系，考查抛物线的对称性，考查抛物线方程的求法，考查圆的几何性质，考查圆一般方程化为标准方程，考查圆的直径所对的圆周为直角，考查向量的数量积运算，运算量较大，属于中档题.
9.陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一书中才正式出现.如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1，粗线画出的是一个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的表面积为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三视图可知，该几何体是由两个圆锥和一个圆柱构成，由此计算出陀螺的表面积.
【详解】最上面圆锥的母线长为，底面周长为，侧面积为，下面圆锥的母线长为，底面周长为，侧面积为，没被挡住的部分面积为，中间圆柱的侧面积为.故表面积为，故选C.
【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查三视图还原为原图，考查几何体表面积的计算，属于基础题.
10.若，，，则实数，，的大小关系为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先判断出大于，而小于，得到最小为.然后利用对数的运算和性质，比较两个数的大小.
【详解】，而，故是最小的.由于
，即，即，故选D.
【点睛】本小题主要考查指数式和对数式比较大小，考查对数函数的性质，考查比较大小的方法，属于中档题.
11.运行如图所示的程序框图，若输出的的值为1011，则判断框中可以填（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用程序框图的功能，进行模拟计算即可．
【详解】程序的功能是计算S＝1sin+3sin+5sin+…＝1﹣3+5﹣7+9+…+，
则1011＝1+505×2＝1﹣3+5﹣7+9+…
则第1011个奇数为2×1011﹣1＝2021不成立，
第1012个奇数为2×1012﹣1＝2023成立，
故条件为i＞2022？，
故选：C．
【点睛】本题主要考查程序框图的应用，利用程序框图的功能是解决本题的关键，属于基础题.
12.在正方体中，点平面，点是线段的中点，若，则当的面积取得最小值时，（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
取的中点，连接，证明点在直线上，当时，三角形的面积取得最小
值，进而求得的值.
【详解】取的中点，连接，设.作出图像如下图所示.易得，所以平面，所以.易得，所以平面，所以.故平面，所以在直线上，可使得.由于，所以最短时三角形的面积取得最小值，此时点在点的位置.设正方体棱长为，故.，所以，所以
，故，故选D.
【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明，考查三角形面积的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，难度较大，属于难题..本题解题关键点在于找到点所在的位置，主要通过证明线面垂直来找到.
二、填空题.
13.若向量，，且，则实数____．
【答案】
【解析】
【分析】
由向量垂直与向量数量积的关系可得，若，得，解x的值即可．
【详解】由，得且，得
，解得.
故答案为：
【点睛】本题考查了向量数量积的坐标计算，关键是掌握向量垂直与向量数量积的关系，属于基础题．
14.若，满足约束条件，则的最大值为_______．
【答案】2
【解析】
【分析】
画出可行域，通过向下平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值.
【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值，且最大值为.
【点睛】本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最大值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画出可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于基础题.
15.叶子标本模型是一类常见的图形.绘制叶子标本模型的过程一般分为两步：首先取正方形
的两个顶点，，分别以，为圆心，线段的长度为半径作圆，得到图（1）所示图形，再将正方形外部的圆弧隐藏可以得到图（2）所示的叶子标本模型.若往正方形中任意投掷一点，则该点落在叶子上（图（2）中阴影区域）的概率为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
阴影部分的面积等于两个四分之一圆的面积减去正方形的面积，利用几何概型概率计算公式求得所求概率.
【详解】设正方形边长为，阴影部分的面积等于两个四分之一圆的面积减去正方形的面积，即阴影部分面积为，故所求概率为.
【点睛】本小题主要考查曲边图形面积的求法，考查几何概型概率计算公式，属于基础题.
16.已知的内角，，的对边分别为，，，且满足.若，则当取得最小值时，的外接圆的半径为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据正弦定理求得的关系，利用余弦定理和基本不等式求得的最小值，根据正弦定理求得三角形外接圆的半径.
【详解】由正弦定理得，由余弦定理得
，即当时，取得最小值为，此时，设外接圆半径为，由正弦定理得，解得.
【点睛】本小题主要考查利用正弦定理进行边角互化，考查利用基本不等式求最小值，考查
利用正弦定理求外接圆的半径，考查利用同角三角函数的基本关系式求三角函数值，考查运算求解，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
三、解答题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.已知等差数列的前项和为，且，.
（Ⅰ）证明：是等差数列；
（Ⅱ）设，求数列的前项和.
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）设等差数列的公差为，，由，得，，求出，利用定义法即可判断；
（II）由得，由数列的乘公比错位相减法求和即可.
【详解】设等差数列的公差为，，则，解得.
所以，解得，所以.
所以.所以.
因为当时，,当时，,
故是首项为，公差为的等差数列.
（II）由可知，故.
故.
两式相减可得
.
故.
【点睛】本题考查了利用定义法证明数列是等差数列，也考查了利用乘公比错位相减法求数列和，考查了学生的计算能力，属于中档题.
18.如图，在四棱锥中，，.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若，，，，，点为的中点，求平面切割三棱锥得到的上下两个几何体的体积之比.
【答案】（Ⅰ）见证明（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）取的中点，连接，.利用等腰三角形证得，，由此证得平面，从而证得.（Ⅱ）取的中点，连接，，利用线线平行得到点，，，共面.计算出的长，证明平面，根据，计算出所求的体积比.
【详解】（Ⅰ）取的中点，连接，.
∵，∴，∵，∴.
∵，∴，∵，∴.
∵，平面，平面，∴平面.
∵平面，∴.
（Ⅱ）取的中点，连接，，易知，故点，，，共面.
过作于.
设，故，解得.
又，，，∴平面.
∴，.
∴，∴.
【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明，考查四点共面的证明，考查几何体体积的计算，考查空间想象能力，属于中档题.
19.2018年10月28日，重庆公交车坠江事件震惊全国，也引发了广大群众的思考——如何做一个文明的乘客.全国各地大部分社区组织居民学习了文明乘车规范.社区委员会针对居民
的学习结果进行了相关的问卷调查，并将得到的分数整理成如图所示的统计图.
（1）求得分在上的频率；
（2）求社区居民问卷调查的平均得分的估计值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）
（3）由于部分居民认为此项学习不具有必要性，社区委员会对社区居民的学习态度作调查，所得结果统计如下：（表中数据单位：人）
认为此项学习十分必要认为此项学习不必要
50岁以上400 600
50岁及50岁以下800 200
根据上述数据，计算是否有的把握认为居民的学习态度与年龄相关.
附：，其中.
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706
3.841 6.635 10.828
【答案】（1）0.3（2）70.5分（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据频率之和为求得上的频率.（2）利用中点值乘以频率，然后相加，求得平均分的估计值.（3）计算出的值，由此判断出有的把握认为居民的学习态度与年龄相关.
【详解】（1）依题意，所求频率.
（2）由（1）可知各组的中间值及对应的频率如下表：
中间值45 55 65 75 85 95
频率0.1 0.15 0.2 0.3 0.15 0.1
∴，
即问卷调查的平均得分的估计值为70.5分.
（3）依题意，.
因为，
故有的把握认为居民的学习态度与年龄相关.
【点睛】本小题主要考查频率分布直方图，考查频率分布直方图估计平均数，考查列联表独立性检验，属于中档题.
20.已知椭圆：，点，.
（Ⅰ）若直线与椭圆交于，两点，且为线段的中点，求直线的斜率；
（Ⅱ）若直线：与椭圆交于，两点，求的面积的最大值.
【答案】（Ⅰ）-1；（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（I）因为在椭圆上，设，且为线段的中点，得，，由点差法即可计算直线的斜率；
（II）联立，得，由可得，,由弦长公式可得点到直线的距离由计算即可.
【详解】（I）设，故，将两式相减，可得
，即因为为线段的中点，所以得
即故直线的斜率
（II）联立可得，由可得，解得.设
由根与系数的关系可得
又点到直线的距离
当且仅当，即时取等号.故的面积的最大值为.
【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，弦长公式和点到直线的距离，也考查了点差法在弦中点的应用，计算能力和均值不等式，属于中档题.
21.已知函数.
（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）设，求证：.
【答案】（1）（2）见证明
【解析】
【分析】
（1）由于函数在上单调递增，故令导函数恒大于零，分离常数得到，利用导数求得的最小值，由此求得的取值范围.（2）令，则.将原不等式等价转化为，构造函数，利用导数证得，由此证得不等式成立. 【详解】（1）由题可知.
令，即，当时有.
令，则.
所以当时，，所以在上单调递增.
所以，即，故实数的取值范围为.
（2）令，则.
故. 构造函数，则.
所以在上单调递增，所以，
所以当时，，故.
【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数单调性，考查利用导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，综合性较强，属于难题.在解题过程中，导数是一种工具的作用，用来求单调区间和最值.
22.在极坐标系中，曲线的极坐标方程为.以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）.
（Ⅰ）若，求曲线的直角坐标方程以及直线的极坐标方程；
（Ⅱ）设点，曲线与直线交于，两点，求的最小值.
【答案】（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为，直线的极坐标方程为；（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（I）由普通方程与参数方程，极坐标方程的互化，即可得到结果；
（II）联立直线与曲线的方程得，设点对应得参数分别为，得，则，即可求的最小值. 【详解】（I）曲线，将代入得,即曲线的直角坐标方程为
直线，故
故直线的极坐标方程为
（II）联立直线与曲线的方程得
即
设点对应得参数分别为，则
因为
当时，取等号.
所以的最小值为
【点睛】本题考查普通方程与参数方程，极坐标方程的互化，直线参数方程的应用，属于基础题.
23.[选修4-5：不等式选讲]
已知函数.
（1）在如图所示的网格纸中作出函数的图象；
（2）记函数的最小值为，证明：不等式成立的充要条件是. 【答案】(1)见解析；(2)见证明
【解析】
【分析】
（1）利用零点分段法去绝对值，将表示为分段函数的形式，由此画出函数的图像.（2）根据（1）求得的值.将原不等式转化，然后判断出不等式成立的充要条件是.
【详解】（1）依题意，，
作出函数的图象如图所示：
（2）由（Ⅰ）中图象可知.
. 因为当时，，
当时，，
故不等式成立的充要条件是.
【点睛】本小题主要考查利用零点分段法化简含有两个绝对值的函数，考查充要条件的证明，属于中档题.