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八年级数学

一次函数动点问题

1、如图 , 以等边△ OAB 的边 OB 所在直线为 x 轴, 点 O 为坐标原点 , 使点 A 在第一象限建立平面直角坐标系，其中△ OAB 边长为 6 个单位，点 P 从 O 点出发沿折线 OAB 向 B 点以 3 单位 / 秒的速度向 B 点运

动 , 点 Q 从 O 点出发以 2 单位 / 秒的速度沿折线 OBA 向 A 点运动，两点同时出发， 运动时间为 t （单位：秒），当两点相遇时运动停止 .

① 点 A 坐标为 ________， P 、 Q 两点相遇时交点的坐标为 ________；

② 当 t =2 时， S ；当 t =3 时， △

____________； △OPQ ____________ S OPQ ③ 设△ OPQ 的面积为 S ，试求 S 关于 t 的函数关系式 ;

④ 当△ OPQ 的面积最大时，试求在 y 轴上能否找一点 M ，使得以 M 、 P 、 Q 为顶点的三角形是 Rt △，

若能找到请求出 M 点的坐标，若不能找到请简单说明理由。

y

y

y

A

A

A

O B x O B x O B x

2、如图，在平面直角坐标系内，已知点 A （ 0， 6）、点 B （8，0），动点 P 从点 A 开始在线段 AO 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 O 移动，同时动点 Q 从点 B 开始在线段 BA 上以每秒 2 个单位长度的速度向点 A 移动 , 设点 P 、Q 移动的时间为 t 秒． (1) 求直线 AB 的解析式；

24

(2) 当 t 为何值时，△ APQ 的面积为 5 个平方单位？

3、如图，在 Rt △AOB中，∠ AOB=90°， OA=3cm，OB=4cm，以点 O 为坐标原点建立坐标系，设P、 Q 分别为 AB、OB边上的动点它们同时分别从点 A、O向 B 点匀速运动，速度均为 1cm/秒，设 P、Q 移动时间为 t （ 0≤ t ≤ 4）。

（1）过点 P 做 PM⊥OA于 M，求证： AM： AO=PM：BO=AP：AB，并求出 P 点的坐标（用 t 表示）

2

（2）求△ OPQ面积 S（ cm），与运动时间 t （秒）之间的函数关系式，当 t 为何值时， S 有最大值？最大是多少？（ 3）当 t 为何值时，△ OPQ为直角三角形？

（4）证明无论 t 为何值时，△ OPQ都不可能为正三角形。若点 P运动速度不变改变 Q 的运动速度，使△ OPQ为正三角形，求 Q点运动的速度和此时 t 的值。

4、如图，直线y kx 6 与x轴、y轴分别交于点E、F，点 E 的坐标为（ -8 ，0），点 A 的坐标

为（ -6 ， 0）。（1）求 k 的值；（2）若点 P（x， y ）是第二象限内的直线上的一个动点，在点P 的运动过程中，试写出△ OPA的面积 S 与 x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；

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（3）探究：当点 P 运动到什么位置时，△ OPA的面积为8，并说明理由。

y

F

E

o

A x

3

x + 1。

5、己知如图在直角坐标系中，矩形 OABC的对角线 AC所在直线的解析式为y = -

3

（1）求线段 AC的长和∠ ACO的度数。

（2）动点 P 从点 C 开始在线段 CO上以每秒 3 个单位长度的速度向点O移动，动点Q从点O开始

在线段 OA上以每秒 1个单位长度的速度向点 A 移动，（ P、Q 两点同时开始移动）设P、Q移动的时间

为t 秒。①设△BPQ的面积为S，求S 与t 之间的函数关系式，并求出当t 为何值时，S 有最小值。（3）在坐标平面内存在这样的点 M，使得△ MAC为等腰三角形且底角为 30°，写出所有符合要求的

点 M的坐标。

y

A B

Q

O C

x

P

第 5 题图

6、如图，在平面直角坐标系中．四边形 OABC是平行四边形．直线 l 经过 O、C 两点．点 A 的坐标为(8 ，o) ，点 B 的坐标为 (11 ．4) ，动点 P 在线段 OA上从点 O出发以每秒 1 个单位的速度向点 A 运动，同时动点 Q从点 A 出发以每秒 2 个单位的速度沿 A→B→C 的方向向点 C运动，过点 P 作 PM垂直于 x 轴，与折线 O一 C—B 相交于点 M。当 P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为 t 秒( t 0 ) ．△ MPQ的面积为 S．

（1）点 C 的坐标为 ___________，直线 l 的解析式为 ___________．

（2）试求点 Q与点 M相遇前 S 与 t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围。

（3）试求题 (2) 中当 t 为何值时， S 的值最大，并求出S 的最大值。

（4）随着 P、 Q两点的运动，当点 M在线段 CB上运动时，设 PM的延长线与直线 l 相交于点 N。试探究：当 t 为何值时，△ QMN为等腰三角形？请直接写出 t 的值．

7、如图 (1), 在矩形 ABCD中,AB=10cm,BC=8cm,点 P 从 A 出发 , 沿 A→B→C→D路线运动 , 到 D停止 ; 点Q从 D出发 , 沿 D→C→B→A 路线运动 , 到 A 停止 . 若点 P、点 Q同时出发 , 点 P 的速度为 1cm/s, 点 Q的速度为 2cm/s,as 时点 P、点 Q 同时改变速度 , 点 P 的速度变为 bcm/s, 点 Q的速度变为 dcm/s . 图(2)是点 P 出发 x 秒后△ APD的面积 S1(cm2) 与 x(s) 的函数关系图象 ; 图 (3) 是点 Q出发 x 秒后△ AQD的面

积S2(cm2) 与 x(s) 的函数关系图象 .(1) 参照图 (2), 求 a、b 及图 (2) 中 c 的值； (2) 求 d 的值；

(3)设点 P 离开点 A 的路程为 y1(cm), 点 Q到 A 还需走的路程为 y2(cm), 请分别写出动点 P、 Q改变速度后 y1、 y2与出发后的运动时间x(s) 的函数关系式 , 并求出 P、Q 相遇时 x 的值；

(4)当点 Q出发 _______s 时, 点 P、点 Q在运动路线上相距的路程为 25cm.

D Q C S1(cm2) S2(cm2)

40

20 40

A P

B Oa 8 c x( 秒 )

O x( 秒 )

(2) 22

(1) (3)

8、如图，在平面直角坐标系

xOy 中，直线与 y x 3交于点 A ，分别交x轴于点 B 和点 C ，y x 1 3

4

点D 是直线 AC 上的一个动点．（1）求点 A，B，C 的坐

标．（2）当△CBD 为等腰三角形时，求点 D 的坐标．

（3）在直线 AB 上是否存在点 E ，使得以点 E，D，O，A 为顶点的四边形是平行四边形？

y

A

D

B O

C x

、如图：直线 y kx 3与 x 轴、 y 轴分别交于 A 、 B 两点，

OB 3

，点 x ,y) 是直线 y ＝ kx ＋ 3 上

9

OA 4 C(

与 A 、B 不重合的动点。（ ）求直线 y

kx 3的解析式；（ ）当点 C 运动到什么位置时△ AOC 的面积

1 2

是 ；（ ）过点 C 的另一直线 CD 与 y 轴相交于 D 点，是否存在点 C 使△ BCD 与△ AOB 全等？若存在， 6 3

请求出点 C 的坐标；若不存在，请说明理由。

y B

O

A

x

10、已知，如图在边长为 2 的等边△ ABC 中， E 是 AB 边上不同于点 A 、点 B 的一动点，过点 E 作 ED ⊥BC 于点 D ，过点 D 作 DH ⊥ AC 于点 H ，过点 H 作 HF ⊥AB 于点 F ，设 BE 的长为 x ，AF 的长为 y ；⑴求 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量的范围；

⑵当 x 为何值时，点 E 与点 F 重合，判断这时△ 为什么三角形（判断形状，不需证明）

.

EDH

11、如图，点 A 、 B 、 C 的坐标分别是（ 0， 4），（2，4），（6，0）. 点 M 是折线 ABC 上一个动点， MN ⊥ x 轴于 N ，设 的长为 x ,MN 左侧部分多边形的面积为

S. ON ⑴写出 S 与 x 的函数关系式；⑵当 x=3 时，求 S 的值 .

、如图，已知在平面直角坐标系中，直线 l ： y

=-

1 x

+2 分别交两坐标轴于 、 B 两点， M 是线段

12

2

A

上一个动点，设 M 的横坐标为 x △ 的面积为 S ；⑴写出 S 与 x 的函数关系式；

AB , OMB

⑵若△ OMB 的面积为 3，求点 M 的坐标；⑶当△ OMB 是以 OB 为底的等腰三角形时 , 求它的面积；

⑷画出函数 s 图象 .

y

l

A

M

O

B

x

13、如图 1，等边△ ABC 中， BC=6cm ，现有两个动点 P 、Q 分别从点 A 和点 B 同时出发，其中点 P 以 2cm/s 的速度沿 AB 向终点 B 移动；点 Q 以 1cm/s 的速度沿 BC 向终点 C 移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接 PQ ，设动点运动时间为 x 秒．（图 2、图 3 备用）（1）填空： BQ= ， PB= （用含 x 的代数式表示）；

（ 2 ） 当 x 为 何 值 时 ， PQ ∥ AC ？ （ 3 ） 当 x

为 何 值 时 ， △ PBQ 为 直 角 三 角

形 ？

、如图，直线、的函数关系式分别为y x

和y

=-2

x

+6,

动点x

,0)

在上移动

(0<

x

<3)

，

13 OC BC = P( OB

⑴求点 C 的坐标；⑵若 A 点坐标为（ 0， 1），当点 P 运动到什么位置时 ( 它的坐标是什么 ) ，AP+CP

最小；⑶设△ OBC中位于直线 PC左侧部分的面积为 S，求 S 与 x 之间的函数关系式。

15、如图 1，在矩形 ABCD中， AB=12cm， BC=6cm，点 P 从 A 点出发，沿 A→B→C→D 路线运动，到

D 点停止；点 Q从 D 点出发，沿 D→ C→ B→ A 运动，到 A 点停止．若点 P、点 Q同时出发，点 P 的速度为每秒 1cm，点 Q的速度为每秒 2cm，a 秒时点 P、点 Q同时改变速度，点 P 的速度变为每秒 b（cm），点 Q的速度变为每秒c（ cm）．如图 2 是点 P 出发 x 秒后△ APD的面积 S1（cm2）与 x（秒）的函数关

2

系图象；图 3 是点 Q出发 x 秒后△ AQD的面积 S2（cm）与 x（秒）的函数关系图象．根据图象：（1）求 a、b、c 的值；（2）设点 P 离开点 A 的路程为 y1（cm），点 Q到点 A 还需要走的路程为 y2（cm），请分别写出改变速度后 y1、y2与出发后的运动时间 x（秒）的函数关系式，并求出 P 与 Q相遇时x 的值．

16、已知在矩形 ABCD中， AB=4， BC=25/2 ，O为 BC上一点， BO=7/2 ，如图所示，以BC所在直线为

x 轴， O为坐标原点建立平面直角坐标系，M为线段 OC上的一点．

（1）若点 M的坐标为（ 1，0），如图①，以 OM为一边作等腰△ OMP，使点 P 在矩形 ABCD的一边上，则符合条件的等腰三角形有几个？请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；

（2）若将（ 1）中的点 M 的坐标改为（ 4，0），其它条件不变，如图②，那么符合条件的等腰三角

形有几个？求出所有符合条件的点 P 的坐标；

（3）若将（ 1）中的点 M 的坐标改为（ 5，0），其它条件不变，如图③，请直接写出符合条件的等

腰三角形有几个．（不必求出点 P 的坐标）

17、如图①，已知直线 y=-2x+4 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A、C，以 OA、OC为边在第一象限内作长

方形 OABC．（ 1）求点 A、 C的坐标；

（2）将△ ABC对折，使得点 A 的与点 C重合，折痕交 AB于点 D，求直线 CD的解析式（图②）；（3）在坐标平面内，是否存在点 P（除点 B 外），使得△ APC与△ ABC全等？若存在，请求出所有

符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．

18、已知一个直角三角形纸片OAB,其中∠ AOB=90°,OA=2,OB=4。将该纸片放置在平面直角坐标系中

（如图①）。 (1) 求经过 A,B 两点的一次函数解析式；

(2)折叠该纸片，是点 B 与点 A 重合，折痕与边 OB交于点 C，与边 AB交于点 D（如图②），求点 C的坐标； (3) ①若 p 为三角形 OAB内一点 , 其坐标 p（0.5,1 ），过点 p 作 x 轴的平行线交 AB于 M，作 y

轴的平行线交 AB于 N（如图③），求点 M,N的坐标，并求 PM+PN的长；

②若 p 为 OB上一动点，设 OA的中点为 E,AB 的中点为 F（ 1,2 ），（如图④），求 PE+PF的最小

值，并求取得最小值时 P 的坐标。

6、如图所示，在平面直角坐标系中，过 B 的直线 l ：y=kx+1 与 x 轴交于 A 点，且∠ BAO=30°

（1）求 k 的值及点 A 的坐标；（2）C为线段 OA上一个定点， P 为线段 BA上的一个动点，当以O，C，P三点为顶点的三角形恰好是等边三角形时，求出此等边三角形的面积；

（3）在（ 2）的条件下，将等边△ OPC沿 x 轴正方向平行移动，是否存在下列情形：直线l 恰好将等边△ POC分成全等的两部分？若存在，求出此时OP所在直线的函数解析式：若不存在，请说明理由。