物流运输路径规划
智能物流系统的运输路径规划与调度方法
智能物流系统的运输路径规划与调度方法智能物流系统是基于先进技术的物流管理系统，它利用人工智能、大数据、物联网等技术手段，对物流过程进行智能化管理与优化。
其中关键的一项任务是对运输路径进行规划与调度。
本文将讨论智能物流系统的运输路径规划与调度方法，并探讨其在物流管理中的重要性与应用。
一、智能物流系统的运输路径规划方法运输路径规划是指根据货物的起始地和目的地，以及路网信息等因素，确定最优的物流运输路径。
以下是几种常见的智能物流系统的运输路径规划方法：1. 最短路径算法：最短路径算法是最基本的路径规划方法之一。
其原理是在路网图中找到一条最短的路径，使得货物从起始地运输至目的地所需的总距离最小。
常见的最短路径算法包括迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法。
2. 遗传算法：遗传算法是一种模拟自然界遗传演化过程的优化算法。
在运输路径规划中，遗传算法可以用来搜索最优路径。
它通过模拟遗传过程中的选择、交叉、变异等操作，不断优化路径方案，最终找到最优的运输路径。
3. 蚁群算法：蚁群算法是一种基于模拟蚂蚁觅食行为的优化算法。
在运输路径规划中，蚁群算法可以用来求解最短路径问题。
蚂蚁在搜索路径时通过信息素残留和信息素挥发的方式进行信息交流，不断优化路径选择，最终找到最优路径。
以上方法都有各自的优缺点，选择何种方法进行路径规划取决于具体需求和实际情况。
二、智能物流系统的运输调度方法运输调度是指在已经确定好运输路径的基础上，根据货物数量、交通拥堵情况等因素，合理安排运输车辆的出发时间、路线以及装载量等。
以下是几种常见的智能物流系统的运输调度方法：1. 车辆路径优化算法：该算法通过考虑路段拥堵情况、车辆实时位置等因素，实时优化车辆的行驶路径。
例如，可以采用实时的交通流量数据，结合最短路径算法实现车辆路径的实时调整，以避免拥堵路段。
2. 车辆调度优化算法：该算法考虑车辆的装载量、货物的紧急程度等因素，通过对车辆调度和装载规划的优化，提高运输效率。
物流领域中的运输路径规划算法综述与优化
物流领域中的运输路径规划算法综述与优化运输路径规划是物流领域中至关重要的环节，它涉及到货物的运输安排、运输成本的控制以及运输效率的提升。
在物流管理中，合理的运输路径规划可以有效地降低物流成本，提高运输效率，优化供应链管理。
本文将综述物流领域中常用的运输路径规划算法，并探讨其优化方法和应用。
一、传统运输路径规划算法综述1. 最短路径算法最短路径算法是物流领域中最基础且常用的路径规划算法之一。
其主要目标是通过确定节点之间的最短路径来实现快速、高效的货物配送。
常用的最短路径算法包括Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法和A*算法。
这些算法通过考虑节点之间的距离、时间、耗费等因素来进行路径选择，以最小化总体的运输成本。
2. 蚁群算法蚁群算法是一种模拟蚂蚁寻找食物路径的群体智能算法。
在物流领域中，蚁群算法被广泛应用于货车路径规划、货柜装载问题等。
它通过模拟蚂蚁在搜索食物时的信息素传递和选择机制，寻找最优的运输路径。
蚁群算法具有较强的自适应性和全局搜索能力，能够有效解决复杂的路径规划问题。
3. 遗传算法遗传算法是一种模拟生物进化过程的启发式算法。
在物流领域中，遗传算法被广泛应用于货物配送路径优化、车辆调度等问题。
它通过模拟自然选择、交叉、变异等操作，不断优化运输路径的适应度，以提高运输效率和降低成本。
遗传算法具有较强的全局搜索能力和并行计算能力，能够获取较优的解。
二、运输路径规划算法的优化方法1. 路径规划算法与实时数据的结合传统的运输路径规划算法大多是基于固定的网络拓扑结构，未考虑实时数据的变化。
而结合实时数据的路径规划算法可以更加准确地预测交通状况，从而选择更优的运输路径。
例如，通过实时交通数据可以选择空闲路段，避开拥堵路段，从而降低运输时间和成本。
2. 多目标优化算法在实际的物流运输中，往往涉及到多个目标，如最短路径、最小成本、最小时间等。
传统的路径规划算法往往只考虑一个目标，忽略了其他因素的影响。
物流行业中最优路径规划的常见问题
物流行业中最优路径规划的常见问题物流行业中，路径规划是实现高效和经济运输的关键环节。
在物流运输过程中，合理的路径规划可以帮助降低运输成本、缩短运输时间，提高效率和客户满意度。
然而，路径规划也存在一些常见问题，下面将对这些问题进行详细探讨。
1. 数据准确性问题路径规划依赖于准确的地理数据和实时交通信息。
如果输入的数据不准确或过时，将导致路径规划结果不准确，从而影响物流运输的效率。
因此，物流企业应该确保地理数据的准确性，并及时更新交通信息，以获得更精确和可靠的路径规划结果。
2. 多路径选择问题在实际应用中，物流运输通常存在多个可行路径。
选择最优路径往往不仅仅是简单地寻找最短距离或最短时间的路径，还需要综合考虑各种因素，如道路状况、交通拥堵、运输成本等。
因此，物流企业需要根据实际情况和优先级确定最优路径的选择策略，并结合先进的路径规划算法来找到最佳解决方案。
3. 动态路径规划问题在物流行业中，实时交通状态的变化对路径规划结果产生重要影响。
交通拥堵、事故等突发事件可能会导致原先规划的路径变得不可行。
因此，在实际操作中，物流企业需要能够实时监测交通状况，并及时调整路径规划，以应对不可预见的情况。
4. 兼顾效率与成本问题物流行业中，路径规划必须要兼顾效率和成本之间的平衡。
一方面，要选择最优路径来提高效率、缩短运输时间，以满足客户需求；另一方面，还必须考虑成本控制，以降低运输成本，提高企业的竞争力。
因此，物流企业需要通过权衡不同的因素，找到最佳的路径规划策略。
5. 环境和可持续性问题随着社会对环境保护和可持续发展的关注日益增加，物流企业在路径规划过程中也要考虑减少对环境的影响。
选择环保交通工具、优化路线以减少燃油消耗，以及减少运输过程中的碳排放都是实现可持续物流的重要因素。
因此，物流企业需要将环境因素纳入路径规划决策中，并积极推动绿色物流的发展。
6. 多模式路径规划问题在复杂的物流运输中，常常需要使用多种运输模式，如公路、铁路、水路、航空等。
物流运输中的运力调度和路径规划
基于神经 网络的路 径规划算 法：如神 经网络、 深度学习 等
基于启发 式算法的 路径规划 算法：如 蚁群算法、 模拟退火 算法等
基于模糊 逻辑的路 径规划算 法：如模 糊逻辑、 模糊推理 等
基于概率 论的路径 规划算法： 如马尔可 夫决策过 程、蒙特 卡洛方法 等
Dijkstra
算法：适
用于无负
提高运输效率：通过优化路径，减少运输时间和成本 降低运输风险：避免拥堵、事故等风险，提高运输安全性 提高服务质量：通过合理规划，提高客户满意度 降低环境影响：减少运输过程中的碳排放，保护环境
PART THREE
集中调度：将所有运力集中在一个中心点进行调度，提高效率 分散调度：将运力分散到多个中心点进行调度，降低风险 动态调度：根据实际需求动态调整运力，提高资源利用率 优化调度：通过优化算法对运力进行调度，提高效率和准确性
蚁群算法： 适用于大 规模、复 杂问题的 路径规划， 具有分布 式、并行 计算能力
模拟退火算法：通过模拟金属 冷却过程，寻找全局最优解
蚁群算法：模拟蚂蚁觅食行 为，寻找最短路径
遗传算法：通过模拟自然选择 和遗传变异，寻找最优路径
禁忌搜索算法：通过避免重 复搜索，提高搜索效率
遗传算法与蚁群算法的结合： 结合两种算法的优点，提高搜
运力调度：根据订 单量、配送区域等 因素，合理分配运 输车辆和司机
路径规划：利用 GPS定位、地图数 据等技术，规划最 优配送路径
效果：提高配送效 率，降低运输成本 ，提升客户满意度
案例背景：某冷链物流 公司需要优化其运力调 度和路径规划，以提高 效率和降低成本。
解决方案：采用先进的 运力调度和路径规划算 法，结合冷链物流的特 点，如温度控制、时效 性等。
货物配送中的路径规划与调度优化方法
货物配送中的路径规划与调度优化方法在现代物流运输中，货物配送的路径规划与调度是一个重要的问题。
随着交通网络的发展和货物运输量的增加，有效的路径规划与调度可以极大地提高物流运输的效率，降低运输成本，并且减少环境污染。
本文将介绍一些常见的货物配送中的路径规划与调度优化方法。
首先，我们需要了解路径规划与调度的基本概念。
路径规划是指根据一定的条件和约束，确定从起点到终点的最佳路径，并且可以根据实际情况进行动态调整。
调度是指根据给定的资源和任务要求，合理地安排任务的执行顺序和时间，以实现最佳的运输效果。
路径规划与调度优化的方法有很多种，下面将介绍其中的几种常见方法。
1. 路径规划方法（1）最短路径算法：最短路径算法是路径规划中最基本和常用的方法之一。
其中最著名的算法是Dijkstra算法和Floyd算法。
这些算法通过计算节点之间的最短距离来确定最佳路径。
最短路径算法可以应用于不同的情况，如单一目标路径、多目标路径和动态路径。
（2）遗传算法：遗传算法是一种通过模拟自然进化原理进行优化的方法。
在货物配送中，可以将问题抽象为一个遗传的染色体序列，根据适应度函数进行交叉和变异操作，最终找到最优的路径。
遗传算法具有较强的全局搜索能力，可以处理复杂的配送问题。
（3）模拟退火算法：模拟退火算法是一种启发式优化算法，其思想源于固体退火的过程。
在货物配送中，可以将问题抽象为一个温度逐渐下降的过程，通过模拟退火算法来搜索全局最优解。
模拟退火算法具有较强的局部搜索能力，并且可以应对存在随机干扰的情况。
2. 调度优化方法（1）启发式调度算法：启发式调度算法是一种基于经验和规则的调度方法。
在货物配送中，可以根据物流网络的特点和运输需求，制定一套启发式的规则，如最先服务、最短时间窗等，来安排任务的执行顺序和时间。
启发式调度算法具有较快的计算速度和较好的可行解质量。
（2）遗传算法调度：遗传算法不仅可以应用于路径规划，也可以用于调度优化。
物流运输路径规划
物流运输路径规划一般来说，物流运输路径规划需要考虑以下几个方面的因素：1.货物特性：货物的尺寸、重量、易腐性、危险等级等特性会对路径规划产生影响。
比如，大件货物可能需要选择开放空间的运输通道，而易腐货物则需要尽快送达，便于保存。
2.运输距离：运输距离是影响物流成本和运输时间的主要因素之一、路径规划需要考虑不同运输方式（公路、铁路、水路、空运）的距离和耗时，并综合考虑运输成本和货物的时间敏感性。
3.运输网络和设施：路径规划要考虑运输网络的完备性和设施的现状。
比如，不同运输方式的覆盖范围、交通状况、设施标准等对路径规划产生影响。
4.运输成本：路径规划要综合考虑不同运输方式的成本，包括燃料费、人工费、运输设备维护费等。
同时，还要考虑货物的特殊要求，如冷链运输所需的温控设备。
5.安全性和风险控制：路径规划要考虑运输过程中的安全性和风险控制。
包括货物的丢失、破损风险以及道路交通安全等方面的因素。
在实际操作中，物流运输路径规划通常通过以下的步骤进行：1.可行性研究：对于其中一个货物运输需求，首先需要进行可行性研究。
这包括货物特性、运输网络、货物需求等方面的数据收集和分析，用于确定路径规划的基本参数。
2.路径选择：根据货物特性、运输距离、运输成本、安全性等因素，对不同的路径进行评估和比较。
综合考虑各项因素，选择最佳的运输路径。
3.路线规划：在确定最佳路径后，需要对具体的运输路线进行规划。
这包括确定起始点和终点、中转站点、运输方式、运输设备等。
4.资源调配：根据路径规划的结果，需要对运输资源进行合理的调配。
这包括运输工具的调度、货物配载方式、人员安排等。
5.监控和调整：在物流运输过程中，需要对路径规划进行不断的监控和调整。
根据实际情况，及时调整运输路线、运输方式等，以确保物流运输的顺利进行。
总之，物流运输路径规划是一项复杂而重要的工作，对于物流企业和客户都有着重要的意义。
通过合理选择运输路径，能够提高物流运输效率，降低成本，提升客户满意度，促进物流行业的可持续发展。
物流管理中的运输路径规划技术使用方法
物流管理中的运输路径规划技术使用方法在物流管理中，运输路径规划是一个至关重要的环节。
通过合理规划运输路径，可以有效降低运输成本，提高物流效率，保证货物按时准确地送达目的地。
本文将介绍物流管理中的运输路径规划技术使用方法，包括运输模式选择、路径规划算法以及实施过程中的注意事项。
1. 运输模式选择在进行运输路径规划时，首先需要选择适合的运输模式。
运输模式的选择应考虑多个因素，如货物种类、货物价值、运输距离、运输时间要求等。
常见的运输模式包括公路运输、铁路运输、航空运输、水路运输等。
根据货物的特点和运输需求，选择适合的运输模式可以最大程度地降低运输成本，提高物流效率。
2. 路径规划算法路径规划算法是运输路径规划的核心。
根据物流管理的实际需求，选择合适的路径规划算法可以使运输路径更加合理、高效。
常用的路径规划算法包括最短路径算法、遗传算法、模拟退火算法等。
最短路径算法是一种常用的路径规划算法。
它通过计算各个节点之间的距离，找出最短路径来实现运输路径规划。
最短路径算法有多种，如Dijkstra算法、Floyd算法等。
根据物流管理的具体需求，选择适合的最短路径算法可以快速、准确地规划运输路径。
遗传算法是一种模拟进化过程的优化算法。
通过模拟自然界的遗传规律，不断优化路径规划结果，使得路径更加合理、高效。
遗传算法在规划复杂的运输路径时表现出良好的性能。
通过适应度函数和选择、交叉、变异等操作，遗传算法能够找出较优解，满足物流管理的需求。
模拟退火算法是一种模拟金属退火过程的优化算法。
它通过模拟退火过程中的温度和能量变化，不断优化路径规划结果。
模拟退火算法可以避免陷入局部最优解，能够在规划复杂的运输路径中找到较优解。
3. 实施过程中的注意事项在实施运输路径规划过程中，需要注意以下几个方面：（1）准确收集和分析数据：运输路径规划需要大量的运输数据，如距离、时间、运输成本等。
准确收集和分析数据对规划结果的准确性和可行性至关重要。
物流运输车辆路径优化方案
物流运输车辆路径优化方案首先，对物流运输车辆的历史数据进行分析，以获取车辆行驶的时间、距离和载货量等信息。
这些数据可以通过物流公司的GPS系统、运单记录和货物信息系统等获得。
通过分析数据，可以找出一些重复运输或重复路线的模式，找出需求频繁地区和货物配送量大的地区。
第二步是路径规划。
根据分析的数据和需求，使用优化算法来规划最佳路径。
这里有一些常用的路径规划算法，如最短路径算法、模拟退火算法和遗传算法等。
这些算法可以根据不同的条件，在保证交货时间和距离的前提下，尽量减少运输成本。
在规划路径时，还应该考虑到交通状况和道路限制，以避免拥堵和不可达地区的发生。
最后，需要实时跟踪车辆的位置和状态，以便调整和优化路径。
通过安装GPS跟踪器和车辆管理系统，物流公司可以随时了解车辆的位置、到达时间和行驶状态。
这样可以及时调整路径，避免延误和浪费。
除了以上三个主要步骤，还有一些辅助措施可以帮助进一步优化物流运输车辆的路径。
1.分布式仓储：在物流路线中设置多个分布式仓库，可以减少运输距离和时间。
根据销售数据和需求分析，可以选择合适的位置来建设仓库，以便尽量靠近需求频繁的地区。
2.车辆调度系统：通过使用车辆调度系统，物流公司可以更好地管理车辆和驾驶员。
该系统可以自动分配任务、规划路径，并提供实时的路况信息。
这样可以提高调度效率和准确性，进一步优化路径。
3.合作共享：物流公司可以与其他物流公司或配送商进行合作共享，共同利用资源和网络。
通过共享车辆和运输流程，可以进一步减少成本和提高效率。
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第六章 物流运输路径规划
图论是应用非常广泛的运筹学分支，它已 经广泛地应用于物理学控制论，信息论，工程 技术，交通运输，经济管理，电子计算机等各 项领域。对于科学研究，市场和社会生活中的 许多问题，可以同图论的理论和方法来加以解 决。例如，各种通信线路的架设，输油管道的 铺设，铁路或者公路交通网络的合理布局等问 题，都可以应用图论的方法，简便、快捷地加 以解决。
图6-4（a）
图6-4（b）
图6-4（c）
一、图的定义
子图与支撑子图：在图G=(V，E)中，若V1V，E1E，则 图G1=(V1、E1)称为G的子图，如图6-4中的(b)就是(a)的 子图。特别地：V1=V，E1E时，称G1是G的支撑子图 (生成子图）。如图6-4中(c)、(b)都是(a)的支撑图。
1736年瑞士科学家欧拉发表了关于图论方 面的第一篇科学论文《与位置几何有关的一个 问题的解 》，解决了著名的哥尼斯堡七座桥问 题。17世纪的东普鲁士有一座哥尼斯堡城（现 在叫加里宁格勒，在波罗的海南岸），城中有 一条普雷格尔河，河中有两个岛屿，河的两岸 和岛屿之间有七座桥相互连接，如下图所示。
第六章 物流运输路径规划
3. 网 络
一个图连同定义在其边集上的实函数一起称为一 个网络．网络一般是连通图．定义在边集上的实函数 称为边的权数记为
wij＝w (vi，vj)
它与边(vi，vj)具有一一对应关系，可以用以表达 网络上的各种有关性质，如路长、流量、费用等 等．网络的图解即在每条边旁标上相应的权数．
若一网络的每条边都是无向边，则称为无向网络，
例 有六支球队进行足球比赛，我们分别用点
v1…v6 表示这六支球队，它们之间的比赛情况，也可 以用图反映出来，已知v1 队战胜v2 队，v2 队战胜v3队 ，v3 队战胜v5 队，如此等等。这个胜负情况，可以用 下图所示的有向图反映出来。
第一节 图的基本概念
v2
v4
v1
v6
v3
v5
第一节 图的基本概念
图6-3
第一节 图的基本概念
v2
v4
v1
•有向图D（V，A）
•V为顶点集
•A（arc）为边或弧
v3
v6 v5
一、图的定义
关联边：和同一个顶点相
连的边，均称为该点的
关联边，如图6-4中的 e24、e34、e45均是v4的关 联边。
相邻点：一条边的两个顶
点，称为相邻点，如v2 与v4，v4与v5等是相邻 点，而v2与v5则不是。
画问题。即能否从某一点开始不重
复地一笔画出这个图形，最终回到
原点。欧拉在他的论文中证明了这
是不可能的，因为这个图形中每一
个顶点都与奇数条边相连接，不可
能将它一笔画出，这就是古典图论
中的第一个著名问题。
C
A D
C B
A
D
B
第六章 物流运输路径规划
第一节 图的基本概念
在实际的生产和生活中，人们为了反映事物之间的 关系，常常在纸上用点和线来画出各式各样的示意图。
怎么走，成本最低？应该先送哪一个商店？
现需要送20吨百货到A、B…等10个分店， 每个分店的需求都很零散， 至少需要多少什么型号的车辆？
每天各个分店都有部分百货要运回或转移到 其他分店，怎么运输车辆返空率最低，成本最低？
利客隆 超市分部图
总部
小李的答案类似解
太原 重庆
石家庄
北京 天津
塘沽
济南 青岛
第二节 最短路径问题
Dijkstra算法
设dij表示两个相邻点i——j点距离；如果不相邻dij
设Lsi表示不相邻的S-i之间的距离。 为了标志最短路的点，就对其标号。整个方法里面有 两种标号： （1）最短路上的点的标号，用P（permanent）表示; （2）不是最短路上的点的标号，用T(temporary)表示。
我们就把类似以上的几个例子中通过点和点之间 的线来反映实际生产和生活中的某些特定对象之间的 特定关系的所构成图形称为图（Graph）。一般来说， 通常用点表示研究对象,用点与点之间的线表示研究对 象之间的特定关系。由于在一般情况下，图中的相对 位置如何，点与点之间线的长短曲直，对于反映研究 对象之间的关系，显的并不重要，因此，图论中的图 与几何图，工程图等本质上是不同的。
v5 e45
一、图的定义
悬挂点与孤立点：
次为1的顶点称为
悬挂点，如v5。次为
0的顶点称为孤立点， v1
v2
如v6。
e12
e'13 e13
e24
e34
v3
v4
图图 56-.41
悬
e22
挂 点
v5
e45
孤 立
点
v6
一、图的定义
简单图：无环、无多重边的图称为简单图，如图6-4(a)、 (b)、(c)，后面如无特殊说明，均指简单图。
C
D
一、图的定义
定义1： 一个图是由点集V={vi }和V中元素的
无序对集E={ ek }所构成的二元组，记作：G = （V，E），其中 vi 称为顶点，ek 称为边。|V | 表 示顶点个数，|E | 表示边的个数。当V和E都是有 限集合时，G为有限图，否则，称为无限图。本 书只论及有限图。图中所有边都没有方向，称为 无向图，否则称为有向图。例如下面图6-3，即 为无向图.
图6-4（a）
图6-4（b）
图6-4（c）
一、图的定义
定理1 在任何图中顶点次数总和等于边数的2倍。 定理2 任何图中，次为奇数的顶点必有偶数个。
即奇顶点必有偶数个。
二、连通图
定义2 无向图G=(V，E)中，称某些点及其关联边的 交替序列{v1 e1 v2 e2 … en vn }为从v1到vn的一条链， v1、vn分别称为链的始点和终点，链长为n。 若一条链的始点与终点重合，则称为闭链(在 无向图中闭链又称为回路），否则，称为开链。 点边序列中若只有重复的点而无重复的边，则称 为简单链。点边序列中若既没有重复的点也无重 复的边，则称为初等链（也称为通路）。
6
政府的难题
政府想在7个小区准备共建一套医务所、邮局、 储蓄所等服务设施，应建于哪一居民小区，使 对居民总体来说感到方便。
电信部分拟将布设宽带到各个小区，应如何铺 设最为经济？
工作组组织考察，从小区①出发，经过各小区 （顺序不限），最后到小区⑦再离去，哪条路 最近？
第六章 物流运输路径规划
e22 v5
e45
一、图的定义
次：一个顶点v具有关联边的总数称为该顶点的次，
记作d(v)（每个环视作两条边），如图6-4。
d(v1)= 3，d(v2)= 4， d(v5)= 1。 把次为奇数的顶点称
e22
v1
v2
e12
为奇顶点，次为偶数 的顶点称为偶顶点。
e'13 e13
e24
e34
v3
v4
图图 66-.14
二、连通图
例如在图6-5中： S={v6 e6 v5 e7 v1 e8 v5 e7 v1 e9 v4 e4 v3}是一 条连接v6、v3的链，链长为6. S1={v6 e6 v5 e7 v1 e8 v5 e5 v4 e4 v3}是一条连接v6、v3的简单 链，链长为5.
S2={v6 e6 v5 e7 v1 e9 v4 e4 v3}
记为
N＝(G，w ) 或 N＝(V，E )
3. 网 络
若一网络的每条边都是有向边，则称为有向网络，
记为
N＝( D，w ) 或 N＝ ( V，A )
若一网络中既有无向边，也有有向边，则称为混合 网络．
所谓网络分析，即对网络进行定性和定量分析，以 便为实现某种优化目标而寻求最优方案．这方面的典型 问题有：最小树问题，最短路问题，中心问题，重心问 题，最大流问题，最小费用最大流问题，网络计划问题， 等等．
v1
v2
e12
e'13 e13
e24
e34
v3
v4
图图 66-.41
e22 v5
e45
一、图的定义
环与多重边： 两个顶点相同的 边称为环，如e22， 两个顶点之间的 边数≥2时,叫多 重边,如e13 ,e’13 就是二重边。
环
二重边
v1
v2
e12
e'13 e13
e24
e34
v3
v4
图图 66-.41
郑州
徐州 连云港
武汉
南京
上海
长途运输路线问题
长虹街道近年新建了11个居民小区，各小区的大致位 置及相互间的道路距离如图所示，单位（100m）， 各居住小区居民数为：①2000, ②3000, ③3500, ④ 3700, ⑤5000, ⑥2800, ⑦4500。
16
4
5
4
2
7
33
2
7
4
75
2
6
5
第一节 图的基本概念
一、图的定义
图论中所研究的图，是指反映或描述自然界或 人类社会中，大量的事物及事物之间关系的图形。 是由点和线组成的。点称为顶点，它的集合用V （Vertex）表示，顶点通常表示有形或无形的事物。 线称为边，它的集合用E（Edge）表示，边通常表 示事物与事物（点与点）之间的联系或特定的关系。
第六章 物流运输路径规划
随着科学技术的进步，特别是电子计算机技 术的发展，图论的理论获得了更进一步的发展， 应用更加广泛。如果将复杂的工程系统和管理问 题用图的理论加以描述，可以解决许多工程项目 和管理决策的最优问题。因此，图论越来越受到 工程技术人员和经营管理人员的重视。