沪教版(上海)数学八年级第二学期 21.4 (1)无理方程 教案

24.1（1）无理方程

教学目标

（1）理解无理方程的概念，会识别无理方程，知道有理方程及代数方程的概念.

（2）经历探索无理方程解法的过程，领会无理方程“有理化”的化归思想.

（3）知道解无理方程的一般步骤，知道解无理方程必须验根，并掌握验根的方法.

教学重点及难点

重点：只含一个或两个关于未知数的二次根式的无理方程的解法；

难点：对无理方程产生增根的理解.

教学过程设计

一、问题引入

1．思考 直角坐标系中,点A(x ,5)与点B(3,1)之间的距离为5.怎样求点B 的坐标？

解：5)15()3(22=-+-x

2．观察

上述方程有什么特点？它与前面所学的方程有什么区别？

二、新课学习

1. 归纳概念

（1）方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程.

（2）整式方程和分式方程统称为有理方程.

（3）有理方程和无理方程统称为代数方程.

（4）代数方程的分类：

整式方程

有理方程

分式方程

代数方程

无理方程

2. 辨析概念

下列关于x 的方程中，无理方程有________________(填序号).

[说明]关于无理方程的概念，课本通过实例引出，引导学生观察、思考以后，揭示无理方程的内

涵，但课本引例学生可能不利用无理方程也能解决，为体现无理方程的存在和学习它的必要性，所以改成了利用两点之间距离公式列方程的问题作为引例；并在概念得出之后，联系代数式的分类，补充对所学过的方程进行分类，简单地介绍了代数方程的系统，帮助学生完整认识代数方程.

3. 思考与尝试 怎样解方程43+=x x ？

4. 归纳方法

无理方程 有理方程

5．提问

解得有理方程的根1,421-==x x ，它们都是原方程的根吗?

６．讨论

方程43+=

x x 的根究竟是什么？怎样知道4=x 是原方程的根，而1-=x 不是原方程的根？

７．结论

（1）无理方程在转化成有理方程的过程中，扩大了未知数的允许取值范围。

（如：,22-≠但22)2(2-=），因此可能产生增根，必须进行检验。

（2）将有理方程的根代入原方程，看方程是否成立，是主要的检验方法。

注意：若左边=右边，是原方程的根；若左边≠右边，或根号无意义，则会产生增根。 ８．归纳

解简单的无理方程的一般步骤,用流程图可表述为:

[说明] 解无理方程的关键在于把它转化为有理方程，转化的基本方法是对方程两边同时乘方从而去掉根号，对于简单的无理方程，可通过“两边平方”来实施.通过问题引导学生进行尝试、探索和讨论，从而归纳得到解无理方程的一般方法；再通过提问，引发学生的思考和讨论，形成对去根号 两边同时乘方 开始 解有理方检验 是 写出原方程的根 结束 舍去 否 去根号

“验根”的必要性的认识；而对于产生增根的原因，是由于在方程两边进行乘方（偶次方）的时候，扩大了未知数的取值范围，有产生增根可能；关于验根的方法，用“代入原方程检验”这种方法易懂好记，应要求掌握；其他方法，只要了解不必掌握.

三、例题解析

例题：解下列方程

516)3(12=+-x ）（ 122)2(2+=-x x

[说明] 通过两个例题的细致分析，把几个简单无理方程的类型和接法让学生熟悉。并为进一步熟练掌握无理方程的解法做铺垫。

四、巩固练习

解方程：632-=-x x

[说明] 通过练习，巩固解无理方程的方法，注意在第一步两边平方的时候，左侧根号前的系数2也要平方。在教学时，可让学生先讨论并完成第一步，再自行完成后面的步骤。

五、课堂小结

通过本堂课你有什么收获?

[说明]通过小结，了解学生对这节课的概念及解法的掌握程度，并为下节课的教学做准备。

六、作业布置

（一）填空

1.下列关于x 的方程中，是无理方程的是_____________（填写序号） ①0152=++x x ②0152=++x x ③071=-+x ④721=+-x a ⑤21=+x x ⑥3231=-++x

x x 2.关于x 的方程32=-+x m 无实数解，则m 的取值范围是__________

3.方程x x x -=+-3962的解是____________

（二）解下列方程 1.112=-x 2.x x =-122 3.412-=-x x

（三）解答题

1.已知P 是y 轴上一点，它与点A(-8,2)之间的距离为8，求点P 的坐标.

2.已知方程k k x x +=--1222有一个根为x=1,这个方程还有别的根吗？（分层练习）

[说明]通过难易结合的作业布置，达到分层教学的效果。其中解答题的第2题作为分层练习，留给学有余力的同学进一步发挥自己的水平。