一次函数压轴题动点 教师版
一次函数动点
2．如图直线：y=kx+6与x轴、y轴分别交于点B、C，点B的坐标是（﹣8，0），点A的坐标为（﹣6，0）
（1）求k的值．
（2）若P（x，y）是直线在第二象限内一个动点，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（3）当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为9，并说明理由．
考点：一次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积。
专题：动点型。
分析：（1）将B点坐标代入y=kx+6中，可求k的值；
（2）用OA的长，y分别表示△OPA的底和高，用三角形的面积公式求S与x的函数关系式；
（3）将S=9代入（2）的函数关系式，求x、y的值，得出P点位置．
解答：解：（1）将B（﹣8，0）代入y=kx+6中，得﹣8k+6=0，解得k=；
（2）由（1）得y=x+6，又OA=6，
∴S=×6×y=x+18，（﹣8＜x＜0）；
（3）当S=9时，x+18=9，解得x=﹣4，
此时y=x+6=3，
∴P（﹣4，3）．
点评：本题考查了一次函数的综合运用，待定系数法求一次函数解析式，三角形面积的求法．关键是将面积问题转化为线段的长，点的坐标来表示．
1．如图1，已知直线y=2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC
（1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式．
（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD=AC，求证：BE=DE．
（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于M，P（，k）是线段BC上一点，在线段BM上是否存在一点N，使直线PN平分△BCM的面积若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：一次函数综合题。
分析：（1）如图1，作CQ⊥x轴，垂足为Q，利用等腰直角三角形的性质证明
△ABO≌△BCQ，根据全等三角形的性质求OQ，CQ的长，确定C点坐标；
（2）同（1）的方法证明△BCH≌△BDF，再根据线段的相等关系证明△BOE≌△DGE，得出结论；
（3）依题意确定P点坐标，可知△BPN中BN变上的高，再由S△PBN=S△BCM，求BN，进而得出ON．
解答：解：（1）如图1，作CQ⊥x轴，垂足为Q，
∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OBA+∠QBC=90°，
∴∠OAB=∠QBC，
又∵AB=BC，∠AOB=∠Q=90°，
∴△ABO≌△BCQ，
∴BQ=AO=2，OQ=BQ+BO=3，CQ=OB=1，
∴C（﹣3，1），
由A（0，2），C（﹣3，1）可知，直线AC：y=x+2；
（2）如图2，作CH⊥x轴于H，DF⊥x轴于F，DG⊥y轴于G，
∵AC=AD，AB⊥CB，
∴BC=BD，
∴△BCH≌△BDF，
∴BF=BH=2，
∴OF=OB=1，
∴DG=OB，
∴△BOE≌△DGE，
∴BE=DE；
（3）如图3，直线BC：y=﹣x﹣，P（，k）是线段BC上一点，∴P（﹣，），
由y=x+2知M（﹣6，0），
∴BM=5，则S△BCM=．
假设存在点N使直线PN平分△BCM的面积，
则BN=×，
∴BN=，ON=，
∵BN＜BM，
∴点N在线段BM上，
∴N（﹣，0）．
点评：本题考查了一次函数的综合运用．关键是根据等腰直角三角形的特殊性证明全等三角形，利用全等三角形的性质求解．
3．如图①，过点（1，5）和（4，2）两点的直线分别与x轴、y轴交于A、B两点．（1）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数有10 个（请直接写出结果）；
（2）设点C（4，0），点C关于直线AB的对称点为D，请直接写出点D的坐标（6，2）；
（3）如图②，请在直线AB和y轴上分别找一点M、N使△CMN的周长最短，在图②中作出图形，并求出点N的坐标．
考点：一次函数综合题。
分析：（1）先利用待定系数法求得直线AB的解析式为y=﹣x+6；再分别把x=2、3、4、5代入，求出对应的纵坐标，从而得到图中阴影部分（不包括边界）所含格点的坐标；
（2）首先根据直线AB的解析式可知△OAB是等腰直角三角形，然后根据轴对称的性质即可求出点D的坐标；
（3）作出点C关于直线y轴的对称点E，连接DE交AB于点M，交y轴于点N，则此时△CMN的周长最短．由D、E两点的坐标利用待定系数法求出直线DE的解析式，再根据y轴上点的坐标特征，即可求出点N的坐标．
解答：解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
把（1，5），（4，2）代入得，
kx+b=5，4k+b=2，
解得k=﹣1，b=6，
∴直线AB的解析式为y=﹣x+6；
当x=2，y=4；
当x=3，y=3；
当x=4，y=2；
当x=5，y=1．
∴图中阴影部分（不包括边界）所含格点的有：
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），
（2，1），（2，2），（2，3），
（3，1），（3，2），
（4，1）．
一共10个；
（2）∵直线y=﹣x+6与x轴、y轴交于A、B两点，
∴A点坐标为（6，0），B点坐标为（0，6），
∴OA=OB=6，∠OAB=45°．
∵点C关于直线AB的对称点为D，点C（4，0），
∴AD=AC=2，AB⊥CD，
∴∠DAB=∠CAB=45°，
∴∠DAC=90°，
∴点D的坐标为（6，2）；
（3）作出点C关于直线y轴的对称点E，连接DE交AB于点M，交y轴于点N，则NC=NE，点E（﹣4，0）．
又∵点C关于直线AB的对称点为D，∴CM=DM，
∴△CMN的周长=CM+MN+NC=DM+MN+NE=DE，此时周长最短．
设直线DE的解析式为y=mx+n．
把D（6，2），E（﹣4，0）代入，得
6m+n=2，﹣4m+n=0，
解得m=，n=，
∴直线DE的解析式为y=x+．
令x=0，得y=，
∴点N的坐标为（0，）．
故答案为10；（6，2）．
点评：本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，横纵坐标都为整数的点的坐标的确定方法，轴对称的性质及轴对称﹣最短路线问题，综合性较强，有一定难度．
4．已知如图，直线y=﹣x+4与x轴相交于点A，与直线y=x相交于点P．（1）求点P的坐标；
（2）求S△OPA的值；
（3）动点E从原点O出发，沿着O→P→A的路线向点A匀速运动（E不与点O、A 重合），过点E分别作EF⊥x轴于F，EB⊥y轴于B．设运动t秒时，F的坐标为（a，0），矩形EBOF与△OPA重叠部分的面积为S．求：S与a之间的函数关系式．
考点：一次函数综合题。
分析：（1）P点的纵坐标就是两个函数值相等时，从而列出方程求出坐标．
（2）把OA看作底，P的纵坐标为高，从而可求出面积．
（3）应该分两种情况，当在OP上时和PA时，讨论两种情况求解．
解答：解：（1）﹣x+4=x
x=3，
y=．
所以P（3，）．
（2）0=﹣x+4．
x=4．
4××=2．
故面积为2．
（3）当E点在OP上运动时，
∵F点的横坐标为a，所以纵坐标为a，
∴S=aa﹣×aa=a2．
当点E在PA上运动时，
∵F点的横坐标为a，所以纵坐标为﹣a+4．
∴S=（﹣a+4）a﹣（﹣a+4）a=﹣a2+2a．
点评：本题考查一次函数的综合应用，关键是根据函数式知道横坐标能够求出纵坐标，横纵坐标求出后能够表示出坐标作顶点的矩形和三角形的面积以及求两个函数的交点坐标．
6．如图，直线l1的解析表达式为：y=﹣3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A，B，直线l1，l2交于点C．
（1）求直线l2的解析表达式；
（2）求△ADC的面积；
（3）在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△A DC的面积相等，求出点P的坐标；
（4）若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A、D、C、H为顶点的四边形是平行四边形若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：一次函数综合题。
专题：综合题。
分析：（1）结合图形可知点B和点A在坐标，故设l2的解析式为y=kx+b，由图联立方程组求出k，b的值；
（2）已知l1的解析式，令y=0求出x的值即可得出点D在坐标；联立两直线方程组，求出交点C的坐标，进而可求出S△ADC；
（3）△ADP与△ADC底边都是AD，面积相等所以高相等，ADC高就是C到AD的距离；
（4）存在；根据平行四边形的性质，可知一定存在4个这样的点，规律为H、C 坐标之和等于A、D坐标之和，设出代入即可得出H的坐标．
解答：解：（1）设直线l2的解析表达式为y=kx+b，
由图象知：x=4，y=0；
x=3，，
∴，
∴，
∴直线l2的解析表达式为；
（2）由y=﹣3x+3，令y=0，得﹣3x+3=0，
∴x=1，
∴D（1，0）；
由，
解得，
∴C（2，﹣3），
∵AD=3，
∴S△ADC=×3×|﹣3|=；
（3）△ADP与△ADC底边都是AD，面积相等所以高相等，
ADC高就是C到AD的距离，即C纵坐标的绝对值=|﹣3|=3，
则P到AB距离=3，
∴P纵坐标的绝对值=3，点P不是点C，
∴点P纵坐标是3，
∵y=﹣6，y=3，
∴﹣6=3
x=6，
所以点P的坐标为（6，3）；
（4）存在；
（3，3）（5，﹣3）（﹣1，﹣3）
点评：本题考查的是一次函数的性质，三角形面积的计算以及平行四边形的性质等等有关知识，有一定的综合性，难度中等偏上．
7．如图，直线y=x+6与x轴、y轴分别相交于点E、F，点A的坐标为（﹣6，0），P（x，y）是直线y=x+6上一个动点．
（1）在点P运动过程中，试写出△OPA的面积s与x的函数关系式；
（2）当P运动到什么位置，△OPA的面积为，求出此时点P的坐标；
（3）过P作EF的垂线分别交x轴、y轴于C、D．是否存在这样的点P，使△COD≌△FOE 若存在，直接写出此时点P的坐标（不要求写解答过程）；若不存在，请说明理由．考点：一次函数综合题；解二元一次方程组；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；全等三角形的判定。
专题：计算题；动点型。
分析：（1）求出P的坐标，当P在第一、二象限时，根据三角形的面积公式求出面积即可；当P在第三象限时，根据三角形的面积公式求出解析式即可；
（2）把s的值代入解析式，求出即可；
（3）根据全等求出OC、OD的值，如图①所示，求出C、D的坐标，设直线CD的解析式是y=kx+b，把C（﹣6，0），D（0，﹣8）代入，求出直线CD的解析式，再求出直线CD和直线y=x+6的交点坐标即可；如图②所示，求出C、D的坐标，求出直线CD的解析式，再求出直线CD和直线y=x+6的交点坐标即可．
解答：解：（1）∵P（x，y）代入y=x+6得：y=x+6，
∴P（x，x+6），
当P在第一、二象限时，△OPA的面积是s=OA×y=×|﹣6|×（x+6）=x+18（x＞﹣8）
当P在第三象限时，△OPA的面积是s=OA×（﹣y）=﹣x﹣18（x＜﹣8）
答：在点P运动过程中，△OPA的面积s与x的函数关系式是s=x+18（x＞﹣8）或s=﹣x﹣18（x＜﹣8）．
解：（2）把s=代入得：=+18或=﹣x﹣18，
解得：x=﹣或x=﹣6（舍去），
x=﹣时，y=，
∴P点的坐标是（﹣，）．
（3）解：假设存在P点，使△COD≌△FOE，
①如图所示：P的坐标是（﹣，）；
②如图所示：
P的坐标是（，）
存在P点，使△COD≌△FOE，P的坐标是（﹣，）或（，）．
点评：本题综合考查了三角形的面积，解二元一次方程组，全等三角形的性质和判定，用待定系数法求一次函数的解析式等知识点，此题综合性比较强，用的数学思想是分类讨论思想和数形结合思想，难度较大，对学生有较高的要求．
8．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC：y=x交于点C．
（1）若直线AB解析式为y=﹣2x+12，
①求点C的坐标；
②求△OAC的面积．
（2）如图，作∠AOC的平分线ON，若AB⊥ON，垂足为E，△OAC的面积为6，且OA=4，P、Q分别为线段OA、OE上的动点，连接AQ与PQ，试探索AQ+PQ是否存在最小值若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．
考点：一次函数综合题。
专题：综合题；数形结合。
分析：（1）①联立两个函数式，求解即可得出交点坐标，即为点C的坐标．
②欲求△OAC的面积，结合图形，可知，只要得出点A和点C的坐标即可，点C
的坐标已知，利用函数关系式即可求得点A的坐标，代入面积公式即可．
（2）在OC上取点M，使OM=OP，连接MQ，易证△POQ≌△MOQ，可推出AQ+PQ=AQ+MQ；若想使得AQ+PQ存在最小值，即使得A、Q、M三点共线，又AB⊥OP，可得∠AEO=∠CEO，即证△AEO≌△CEO（ASA），又OC=OA=4，利用△OAC的面积为6，即可得出AM=3，AQ+PQ存在最小值，最小值为3．
解答：解：（1）①由题意，（2分）
解得所以C（4，4）（3分）
②把y=0代入y=﹣2x+12得，x=6，所以A点坐标为（6，0），（4分）
所以．（6分）
（2）存在；
由题意，在OC上截取OM=OP，连接MQ，
∵OP平分∠AOC，
∴∠AOQ=∠COQ，
又OQ=OQ，
∴△POQ≌△MOQ（SAS），（7分）
∴PQ=MQ，
∴AQ+PQ=AQ+MQ，
当A、Q、M在同一直线上，且AM⊥OC时，AQ+MQ最小．
即AQ+PQ存在最小值．
∵AB⊥OP，所以∠AEO=∠CEO，
∴△AEO≌△CEO（ASA），
∴OC=OA=4，
∵△OAC的面积为6，所以AM=2×6÷4=3，
∴AQ+PQ存在最小值，最小值为3．（9分）
点评：本题主要考查一次函数的综合应用，具有一定的综合性，要求学生具备一定的数学解题能力，有一定难度．
9．如图，在平面直角坐标系xoy中，直线AP交x轴于点P（p，0），交y轴于点A（0，a），且a、b满足．
（1）求直线AP的解析式；
（2）如图1，点P关于y轴的对称点为Q，R（0，2），点S在直线AQ上，且SR=SA，求直线RS的解析式和点S的坐标；
（3）如图2，点B（﹣2，b）为直线AP上一点，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，点C在第一象限，D为线段OP上一动点，连接DC，以DC为直角边，点D为直角顶点作等腰三角形DCE，EF⊥x轴，F为垂足，下列结论：①2DP+EF的值不变；
②的值不变；其中只有一个结论正确，请你选择出正确的结论，并求出其定值．
考点：一次函数综合题；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根；待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的性质；关于x轴、y轴对称的点的坐标。
专题：代数几何综合题；动点型。
分析：（1）根据非负数的性质列式求出a、p的值，从而得到点A、P的坐标，然后利用待定系数法求直线的解析式；
（2）根据关于y轴的点的对称求出点Q的坐标，再利用待定系数法求出直线AQ 的解析式，设出点S的坐标，然后利用两点间的距离公式列式进行计算即可求出点S的坐标，再利用待定系数法求解直线RS的解析式；
（3）根据点B的横坐标为﹣2，可知点P为AB的中点，然后求出点B得到坐标，连接PC，过点C作CG⊥x轴于点G，利用角角边证明△APO与△PCG全等，根据全等三角形对应边相等可得PG=AO，CG=PO，再根据△DCE是等腰直角三角形，利用角角边证明△CDG与△EDF全等，根据全等三角形对应边相等可得DG=EF，然后用EF表示出DP的长度，然后代入两个结论进行计算即可找出正确的结论并得到定值．
解答：解：（1）根据题意得，a+3=0，p+1=0，
解得a=﹣3，p=﹣1，
∴点A、P的坐标分别为A（0，﹣3）、P（﹣1，0），设直线AP的解析式为y=mx+n，
则，
解得，
∴直线AP的解析式为y=﹣3x﹣3；
（2）根据题意，点Q的坐标为（1，0），
设直线AQ的解析式为y=kx+c，
则，
解得，
∴直线AQ的解析式为y=3x﹣3，
设点S的坐标为（x，3x﹣3），
则SR==，SA==，
∵SR=SA，
∴=，
解得x=，
∴3x﹣3=3×﹣3=﹣，
∴点S的坐标为S（，﹣），
设直线RS的解析式为y=ex+f，
则，
解得，
∴直线RS的解析式为y=﹣3x+2；
（3）∵点B（﹣2，b），
∴点P为AB的中点，
连接PC，过点C作CG⊥x轴于点G，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴PC=PA=AB，PC⊥AP，
∴∠CPG+∠APO=90°，∠APO+∠PAO=90°，∴∠CPG=∠PAO，
在△APO与△PCG中，，∴△APO≌△PCG（AAS），
∴PG=AO=3，CG=PO，
∵△DCE是等腰直角三角形，
∴CD=DE，∠CDG+∠EDF=90°，
又∵EF⊥x轴，
∴∠DEF+∠EDF=90°，
∴∠CDG=∠DEF，
在△CDG与△EDF中，，∴△CDG≌△EDF（AAS），
∴DG=EF，
∴DP=PG﹣DG=3﹣EF，
①2DP+EF=2（3﹣EF）+EF=6﹣EF，
∴2DP+EF的值随点P的变化而变化，不是定值，
②==，
的值与点D的变化无关，是定值．
点评：本题综合考查了一次函数的问题，待定系数法求直线解析式，非负数的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及关于y轴对称的点的坐标的特点，综合性较强，难度较大，需仔细分析找准问题的突破口．
10．如图，已知直线l1：y=﹣x+2与直线l2：y=2x+8相交于点F，l1、l2分别交x 轴于点E、G，矩形ABCD顶点C、D分别在直线l1、l2，顶点A、B都在x轴上，且点B与点G重合．
（1）求点F的坐标和∠GEF的度数；
（2）求矩形ABCD的边DC与BC的长；
（3）若矩形ABCD从原地出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t（0≤t≤6）秒，矩形ABCD与△GEF重叠部分的面积为s，求s关于t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．
考点：一次函数综合题。
专题：数形结合；分类讨论。
分析：（1）由于直线l1：y=﹣x+2与直线l2：y=2x+8相交于点F，因而联立两解析式组成方程组求得解即为F点的坐标．过F点作直线FM垂直X轴交x轴于M，通过坐标值间的关系证得ME=MF=4，从而得到△MEF是等腰直角三角形，∠GEF=45°；
（2）首先求得B（或G）点的坐标、再依次求得点C、D、A的坐标．并进而得到DC与BC的长；
（3）首先将动点A、B用时间t来表示．再就①在运动到t秒，若BC边与l2相交设交点为N，AD与l1相交设交点为K；②在运动到t秒，若BC边与l1相交设交点为N，AD与l1相交设交点为K；③在运动到t秒，若BC边与l1相交设交点为N，AD与l1不相交．三种情况讨论解得s关于t的函数关系式．
解答：解：（1）由题意得
，
解得x=﹣2，y=4，
∴F点坐标：（﹣2，4）；
过F点作直线FM垂直X轴交x轴于M，ME=MF=4，△MEF是等腰直角三角形，
∠GEF=45°；
（2）由图可知G点的坐标为（﹣4，0），则C点的横坐标为﹣4，
∵点C在直线l1上，
∴点C的坐标为（﹣4，6），
∵由图可知点D与点C的纵坐标相同，且点D在直线l2上，
∴点D的坐标为（﹣1，6），
∵由图可知点A与点D的横坐标相同，且点A在x轴上，
∴点A的坐标为（﹣1，0），
∴DC=|﹣1﹣（﹣4）|=3，BC=6；
（3）∵点E是l1与x轴的交点，
∴点E的坐标为（2，0），
S△GFE===12，
若矩形ABCD从原地出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度平移，
当t秒时，移动的距离是1×t=t，则B点的坐标为（﹣4+t，0），A点的坐标为（﹣1+t，0）；
①在运动到t秒，若BC边与l2相交设交点为N，AD与l1相交设交点为K，那么﹣4≤﹣4+t≤﹣2，即0≤t≤2时．
N点的坐标为（﹣4+t，2t），K点的坐标为（﹣1+t，3﹣t），
s=S△GFE﹣S△GNB﹣S△AEK=12﹣=，
②在运动到t秒，若BC边与l1相交设交点为N，AD与l1相交设交点为K，那么﹣2＜﹣4+t且﹣1+t≤3，即2＜t≤4时．
N点的坐标为（﹣4+t，6﹣t），K点的坐标为（﹣1+t，3﹣t），
s=S梯形BNKA==，
③在运动到t秒，若BC边与l1相交设交点为N，AD与l1不相交，那么﹣4+t≤3且﹣1+t＞3，即4＜t≤7时．
N点的坐标为（﹣4+t，6﹣t），
s=S△BNE==，
答：（1）F点坐标：（﹣2，4），∠GEF的度数是45°；
（2）矩形ABCD的边DC的长为3，BC的长为6；
（3）s关于t的函数关系式．
点评：本题是一次函数与三角形、矩形、梯形相结合的问题，在图形中渗透运动的观点是中考中经常出现的问题．
11.如图，直线1l ：y kx b =+平行于直线1y x =-，且与直线2l ：1
2
y mx =+相交于点(1,0)P -． （1）求直线1l 、2l 的解析式；
（2）直线1l 与y 轴交于点A ．一动点C 从点A 出发，先沿平行于x 轴的方向运动，到达直线2l 上的
点1B 处后，改为垂直于x 轴的方向运动，到达直线1l 上的点1A 处后，再沿平行于x 轴的方向运动，到达直线2l 上的点2B 处后，又改为垂直于x 轴的方向运动，到达直线1l 上的点2A 处后，仍沿平行于x 轴的方向运动，……
照此规律运动，动点C 依次经过点1B ，1A ，2B ，2A ，3B ，3A ，…，n B ，n A ，… ①求点1B ，2B ，1A ，2A 的坐标；
②请你通过归纳得出点n A 、n B 的坐标；并求当动点C 到达n A 处时，运动的总路径的长．
解：（1）由题意，得 1,
0.k k b =??-+=?
解得 1,1.k b =??=?
∴直线1l 的解析式为 1y x =+． ………………………………… 1分 ∵点(1,0)P -在直线2l 上，
∴102m -+
=．∴1
2
m =． ∴直线2l 的解析式为 11
22
y x =+． ……………………………… 2分
（2）① A 点坐标为 （0，1），
则1B 点的纵坐标为1，设11(,1)B x ， ∴
111
122
x +=． ∴11x =．
∴1B 点的坐标为 (1,1)． ………………………………………… 3分 则1A 点的横坐标为1，设11(1,)A y ∴1112y =+=．
∴1A 点的坐标为 (1,2)． ………………………………………… 4分 同理，可得 2(3,2)B ，2(3,4)A ． ……………………………… 6分
②经过归纳得 (21,2)n n n A -，1
(21,2)n n n B --． ……………… 7分
当动点C 到达n A 处时，运动的总路径的长为n A 点的横纵坐标之和再减去1，