高三第三次调研考试数学理(附答案)
平顶山市～高三第三次调研考试理科数学（必修+选修Ⅱ）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．分别答在答题卡（Ⅰ卷）和答卷（Ⅱ卷）上．答在试卷上的答案无效．考试时间120分钟．满分150分．第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考试科目涂在答题卡上．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么 球的表面积公式如果事件A ，B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 球的体积公式 n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径一．选择题(1)已知集合，，则M∩N 为 （A ），或 （B ），或 （C ），或 （D ），或 (2)函数的最大值为 （A ） （B（C（D ）2(3)设是奇函数，则使的的取值范围是 （A ） （B ） （C ） （D ）()()()P A B P A P B +=+24πS R =()()()P A B P A P B ⋅=⋅34π3V R =()(1)(0,1,2,)k k n k P k C p p k n n n-=-=…,2{|3280}M x x x =--≤2{|60}N x x x =-->{|42x x -≤<-37}x <≤{|42x x -<≤-37}x ≤<{|2x x ≤-3}x >{|2x x <-3}x ≥2sin (sin cos )y x x x =+1+1-2()lg()1f x a x=+-()0f x >x (1,0)-(0,1)(,0)-∞(0,)+∞(4)以双曲线的右焦点为圆心与渐近线相切的圆的方程是 （A ） （B ）（C ） （D ）(5)为了得到函数的图象，可以将函数的图象（A ）向右平移个单位长度 （B ）向右平移个单位长度 （C ）向左平移个单位长度 （D ）向左平移个单位长度(6)设，是不同的直线，，是不同的平面，给出下列命题：① ②③ ，异面 ④其中假．命题有 （A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个(7)设椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为 （A ）（B ）（C ）（D ）(8)在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB =1，D 在棱BB 1上，且BD =1，若AD 与平面AA 1C 1C 所成的角为，则= （A ）（B ） （C ） （D ）(9)若的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中项的系数为 （A ）6 （B ）7 （C ） 8 （D ）913622=-y x 2260x y x +-=22(3)9x y -+=2260x y x ++=22(3)3x y -+=sin(2)6y x π=-x y 2cos =6π3π6π3πm n αβ////m m αββα⎫⇒⎬⊂⎭//////m n n m ββ⎫⇒⎬⎭m m n αβ⊂⎫⇒⎬⊂⎭n //m m αββα⊥⎫⇒⊥⎬⎭22221(00)x y m n m n +=>>，28y x =122211216x y +=2211612x y +=2214864x y +=2216448x y +=αα3π4π410arcsin 46arcsin 1()2nx x+4x(10)设，，，且，则的最小值为（A ）（B） （C（D ）(11)设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为 （A ）-2（B ）0（C ）（D ） (12)经过平行六面体的任意两个顶点的直线共28条，其中异面直线有 （A ）180对（B ）174对 （C ）192对 （D ）210对第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生务必将本人姓名、考生号、考场号填写在答卷（Ⅱ卷）正面的相应位置． 2．本卷共10小题，共90分．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． (13)不等式的解集是_________．(14)，各顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为________．(15)设双曲线的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为 ． (16)关于函数，，有下列命题： ①对任意，有成立； ②在区间上的最小值为-4； ③的图象关于点对称； ④的图象关于直线对称．其中正确的命题的序号是_______．（注：把你认为正确的命题的序号都．填上．）1a =2b =3c =0a b ⋅=(2)a b c +-x y ，1121x y x y x y --⎧⎪+⎨⎪-≤⎩≥≥，，2x yz x y -=+1245-2|3|4x x ->221916x y -=()4sin()3f x x π=π+x ∈R x ∈R (1)()f x f x +=-)(x f y =[0,1])(x f y =1(,0)3-)(x f y =6x π=三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (17)（本小题满分10分）在锐角△中，角、、所对的边分别为、、，已知． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若，△的面积为，求的值．(18)（本小题满分12分）袋中装有若干个质地均匀大小相同的红球和白球，白球数量是红球数量的两倍．每次从袋中摸出一个球，然后放回．若累计3次摸到红球则停止摸球，否则继续摸球直至第5次摸球后结束．（Ⅰ）求摸球3次就停止的事件发生的概率；（Ⅱ）记摸到红球的次数为，求随机变量的分布列及其期望．(19)（本小题满分12分） 如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧面A 1ACC 1与底面ABC 垂直，AB=BC=CA =4，且AA 1⊥A 1C ，AA 1=A 1C ．（Ⅰ）求侧棱AA 1与底面ABC 所成角的大小； （Ⅱ）求侧面A 1ABB 1与底面ABC 所成二面角的大小；（Ⅲ）求顶点C 到侧面A 1ABB 1的距离．(20)（本小题满分12分）已知，的反函数为．（I ）求的单调区间；（II ）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．ABC A B C a b c 22sin 3A =22tan sin 22B C A++2a =ABC 2b ξξ()ln(1)f x x =+()f x 1()f x -1()()()g x f x fx -=-0x >14ln ()()3x f x f e x a --<-a(21)（本小题满分12分） 设数列的前项和，． （Ⅰ）求和的关系式； （Ⅱ）求数列的通项公式； （Ⅲ）证明：，．(22)（本小题满分12分）已知直线，．动圆（圆心为M ）被，截得的弦长 分别为8，16．（Ⅰ）求圆心M 的轨迹方程M ；（Ⅱ）设直线与方程M 的曲线相交于A ，B 两点．如果抛物线上存在点N 使得成立，求k 的取值范围．{}n a n 312(1)22n n n S a =+⨯--*n ∈N n a 1n a -{}n a 12111109n S S S +++<*n ∈N 1:20L x y -=2:20L x y -=1L 2L 10y kx =+22y x =-NA NB =理科数学参考答案一．选择题：(1)A (2)A (3)B (4)D (5)B (6)D (7)B (8)D (9)B (10)B (11)B (12)B二．填空题：(13) ，或，(14) ，(15)， (16)①③． 三．解答题：(17)（本小题满分10分）解：（Ⅰ）∵△是锐角三角形， ， ∴． ……………1分 ∴……………3分． ……………5分（Ⅱ）∵∴． ……………7分 将，，代入余弦定理：，……………8分可得，解得……………10分(18)（本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意，摸球1次，是红球的概率为，是白球的概率为． ………2分 摸球3次就停止，说明前3次分别都摸到了红球，则． …………………5分 {|1x x <-4}x >4π3215ABC sin 3A =1cos 3A =22222cos 2tan sin sin 222sin 2AB C A A A ++=+1cos 17(1cos )1cos 23A A A +=+-=-ABC S ∆=11sin 223ABC S bc A bc ∆==⋅=3bc =2a =1cos 3A =3c b=2222cos a b c bc A =+-42690b b -+=b =1323311()327P ==（Ⅱ）可能的取值为0，1，2，3．………………6分则，…………………7分，………………8分，…………………9分．……………10分∴随机变量的分布列是的数学期望为．…………………12分(19)（本小题满分12分）解：（Ⅰ）作A1O⊥AC，垂足为O，……………1分∵平面A1ACC1⊥平面ABC，∴A1O⊥面ABC，……………2分∴∠A1AO为A1A与面ABC所成的角．……………3分∵AA1⊥A1C，AA1=A1C，∴∠A1AO=45°为所求．……………4分（Ⅱ）以OB为x轴，OC为y轴，O A1为z轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，．……………5分设是面A1ACC1的法向量，则，，∵，，ξ055232(0)()3243P Cξ==⋅=1451280(1)()33243P Cξ==⨯⨯=22351280(2)()()33243P Cξ==⨯⨯=330222223341212112117(3)()()()()()3333333381 P C C Cξ==⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=ξξ3280801713101232432432438181Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯=(0,2,0)A-(23,0,0)B(0,2,0)C1(0,0,2)A(,,)n x y z=1n AA⊥n AB⊥1(0,2,2)AA=(23,2,0)AB=∴，可取． ……………7分而面ABC 的法向量为，∵，……8分 ∴侧面A 1ABB 1与底面ABC 所成二面角为． ……………9分 （Ⅲ）∵，∴在平面A1ACC 1的法向量上的射影为 ， ……………11分∴点C 到侧面A 1ABB 1的距离为． ……………12分 (20)（本小题满分12分）解：（I ）由，得，∴，． ……………1分∴，且，∴． ……………3分 当时，，∴； ……………4分当时，，∴． ……………5分∴的单调递增区间是（-1，0），单调递减区间是（0，）． ……………6分（II ）设，． ……………7分∵00y z y +=⎧⎪+=(1,3,n =-(0,0,1)m =21cos ,7m n m n m n ⋅==⋅cos7arc 11(0,4,0)AC =11AC (1,3,n =-114217AC n d n ⋅==-7ln(1)y x =+1y x e =-1()1x f x e -=-()x ∈R ()ln(1)1xg x x e =+-+1x >-1'()1x g x e x =-+0x >111x e x <<+'()0g x <10x -<<111x e x >>+'()0g x >()g x +∞144()()ln ()ln(1)ln(1)33x x x h x x f e f x x e e -=+-=++--0x >， ……………9分当时，，∴在上是减函数； ……………10分 当时，，∴在上是增函数． ……………11分∴，∴……………12分(21)（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由， n ＝1，2，3，...， ① 得，n ＝2，3，...， ② (1)分将①和②相减得：，n ＝2，3，…， ……………2分整理得：，n ＝2，3，…． ……………3分（Ⅱ）在已知条件中取n ＝1得，＝，∴＝2． ……………4分 ∵，∴，∴令得，n ＝2，3，…． ……………5分∴，n ＝1，2，3，…，∵，∴，n ＝1，2，3，…，∴，． ……………7分（Ⅲ）∵，∴， ，． ……………8分∴242(1)(2)'()31131x x x x x x x e e e e h x e e e +-=+-=⋅+--0ln 2x <<'()0h x <()h x (0,ln 2)ln 2x >'()0h x >()h x (ln 2,)+∞min 4()(ln 2)ln 2ln 3ln 3h x h ==+=ln a <312(1)22n n n S a =+⨯--111312(1)22n n n S a ---=+⨯--111132()[(1)(1))2n n n n n n n a S S a a ----=-=-+⨯----1123(1)n n n a a --=+⨯-1a 1131222S a =--1a 1123(1)n n n a a --=+⨯-11(1)2(1)3n n n n a a ---=---(1)nn n b a =-123n n b b -=--112(1)n n b b ++=-+1110b +=-≠11(1)(2)n n b -+=-⨯-112(1)n n n a --=+-*n ∈N 31(1)12(1)2222n n nn n S a -+=+⨯--=-21212k k S --=2221k k S =-*k ∈N 21242122111111111()()282212121n n n S S S -+++=+++++++---． ……………10分 同理，∴，． ……………12分(22)（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设，M 到，的距离分别为，，则． (2)分， ∴，即圆心M 的轨迹方程M：． ……………4分 （Ⅱ）设，，由， 得． ① ∴AB 的中点为， ……………6分 ∴AB的中垂线为，即， ……………7分 由得 ② ……………8分 ∵存在N 使得成立的条件是：①有相异二解，并且②有解． ……………9分∵①有相异二解的条件为， 11111111(1)(1)244344n n --<+++++++10110(1)949n =-<1221111109n S S S -+++<12111109n S S S +++<*n ∈N (,)M x y 1L 2L 1d 2d 22221248d d +=+48=2280x y -=2280x y -=11(,)A x y 22(,)B x y 221080y kx x y =+⎧⎨-=⎩22(1)201800k x kx ---=221010(,)11k k k--2210110()11ky x k k k-=----21201y x k k =-+-2221201y xy x k k ⎧=-⎪⎨=-+⎪-⎩2240201k y ky k -+=-NA NB =22210(20)4(1)(180)0k k k ⎧-≠⎨---⨯->⎩第6页 共8页 ∴ 且． ③ ……………10分②有解的条件是，④ ……………11分根据导数知识易得时，，因此，由③④可得N 点存在的条件是：或．……………12分22194k k ⎧≠⎪⎨<⎪⎩3322k ⇒-<<1k ≠±22404401k k k =-⨯≥-32(40)01k k k k ⇒-+≥-3322k -<<3400k k -+>10k -<≤312k <<。
2023湘豫名校联考高三5月第三次模拟考试 理科数学试题(含答案解析)
数学(理科)参考答案 第1 页(共9页)湘豫名校联考2023年5月高三第三次模拟考试数学(理科)参考答案题号123456789101112答案C C B B C D D C D A A B一㊁选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.C ʌ命题意图ɔ本题考查元素与集合的关系,考查数据分析的核心素养.ʌ解析ɔ因为U ={1,2,3,4,5},∁U A ={2,4},所以A ={1,3,5}.又∁UB ={3,4},所以B ={1,2,5}.所以3ɪA ,3∉B .故选C .2.C ʌ命题意图ɔ本题考查复数相等,考查数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ由i 3=a -b i (a ,b ɪR ),得-i =a -b i .所以a =0,b =1.所以a +b =1.故选C .3.B ʌ命题意图ɔ本题考查向量的投影,考查直观想象㊁数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ由题知,向量b =a +b -a =(-1,7)-(1,3)=(-2,4),所以a ㊃b =-2+12=10.又|b |=4+16=25.所以向量a 在向量b 方向上的投影为a ㊃b |b |=1025=5.故选B .4.B ʌ命题意图ɔ本题考查排列组合㊁古典概型,考查逻辑推理㊁数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ依题意,可得三个小区中恰有一个小区未分配到任何工作人员的概率为C 13C 24C 222+C 14㊃C 33()㊃A 2234=3ˑ3+4()ˑ234=1427.故选B .5.C ʌ命题意图ɔ本题考查双曲线的标准方程,考查数学运算㊁逻辑推理的核心素养.ʌ解析ɔ设双曲线C 1的方程为x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)或y 2a 2-x 2b2=1(a >0,b >0),因为C 1和C 2有相同的焦距,双曲线C 2:x 27-y 2=1的焦距为42,所以双曲线C 1的焦距2c =42.若C 1的焦点在x 轴上,将点(3,1)代入x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0),得32a 2-12b2=1①.又a 2+b 2=c 2=8②,联立①②两式得a 2=6,b 2=2.所以双曲线C 1的标准方程为x 26-y 22=1.若C 1的焦点在y 轴上,将点(3,1)代入y 2a 2-x 2b 2=1(a >0,b >0),得12a2-32b2=1③.又a 2+b 2=c 2=8④,联立③④两式得a 2=9-73,b 2=73-1,所以双曲线C 1的标准方程为y 29-73-x 273-1=1.综上所述,双曲线C 1的标准方程为x 26-y 22=1或y 29-73-x 273-1=1.故选C .6.D ʌ命题意图ɔ本题考查四个平均数的大小关系,基本不等式的性质,考查数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ方法一:a b ɤa +b 2()2=14(当且仅当a =b 时取等号),A 正确;易知a +b 2ɤa 2+b 22,则12ɤa 2+b 22,即a 2+b 2ȡ12(当且仅当a =b 时取等号),B 正确;由题得1a +1b +1=11-b +1b +1=21-b 2,1-b 2ɪ(0,1),故1a +1b +1>2,C 正确;易知a +b 2ɤa +b 2=12,即a +b ɤ2(当且仅当a =b 时取等数学(理科)参考答案 第2 页(共9页)号),D 错误.故选D.方法二(特殊情况):取a =b =12,则a +b =12+12=2,故D 错误.故选D.7.D ʌ命题意图ɔ本题考查程序框图,考查数学运算㊁逻辑推理的核心素养.ʌ解析ɔ执行程序框图,第一次循环:1<5,M =12+12=2,b =2,a =0,n =2;第二次循环:2<5,M =02+22=4,b =1,a =2,n =3;第三次循环:3<5,M =22+12=5,b =3,a =3,n =4;第四次循环:4<5,M =32+32=18,b =4,a =16,n =5;第五次循环:5=5,M =162+42=272,b =17,a =270,n =6,此时6>5,退出循环,输出M =272.故选D .8.C ʌ命题意图ɔ本题考查二项式定理,考查数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ1y +x ()(x +3y )6=1y (x +3y )6+x (x +3y )6.(x +3y )6的展开式的通项为T r +1=C r 6x 6-r (3y )r =C r 63r x 6-r y r .因为1y (x +3y )6的展开式中没有x 4y 3项,x (x +3y )6的展开式中x 4y 3项为x ˑC 3633x 3y 3=540x 4y 3,所以1y+x ()(x +3y )6的展开式中x 4y 3的系数为540.故选C .9.D ʌ命题意图ɔ本题考查等差数列的基本运算,数列的前n 项和,考查数学抽象㊁逻辑推理和数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ设等差数列的首项为a 1,公差为d ,则由a 1+a 8=2a 5-2,a 3+a 11=26,{得a 1+a 1+7d =2(a 1+4d )-2,a 1+2d +a 1+10d =26,{化简得7d =8d -2,2a 1+12d =26,{解得a 1=1,d =2.{所以a n =1+(n -1)ˑ2=2n -1.设数列a n ㊃c o s n π{}的前n 项和为S n ,则S 2022=-a 1+a 2-a 3+a 4- -a 2021+a 2022=(a 2-a 1)+(a 4-a 3)+ +(a 2022-a 2021)=1011d =2022.故选D .10.A ʌ命题意图ɔ本题考查三棱锥的外接球的体积,考查直观想象㊁逻辑推理和数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ在әP A Q 中,设A Q =x ,则P Q =x 2+(2)2=x 2+2.所以әP A Q 的周长为2+x +x 2+2ȡ1+2+3.所以x 2+2ȡ1+3-x ,不等式两边平方,得x 2+2ȡ4+23-2(1+3)x +x 2,解得x ȡ1,即A Q 的最小值是1.所以点A 到边B C 的距离为1.当A Q 取最小值时,因为在R t әA B Q 中,A B =2,所以øB A Q =60ʎ.又øB A C =60ʎ,所以C ,Q 两点重合,所以øA C B =90ʎ,即A C ʅB C .又P A ʅ平面A B C ,B C ⊂平面A B C ,所以P A ʅB C .因为P A ɘA C =A ,所以B C ʅ平面P A C .因为P C ⊂平面P A C ,所以B C ʅP C .因为P B 是R t әP A B 和R t әP C B 的公共斜边,所以P B 为三棱锥P A B C 的外接球的直径,设外接球的半径为R ,则R =12P B =12P A 2+A B 2=12(2)2+22=62,所以三棱锥P A B C 的外接球的体积V =43πR 3=43πˑ62æèçöø÷3=6π.故选A .11.A ʌ命题意图ɔ本题考查直线与抛物线的位置关系,考查直观想象㊁数学抽象和逻辑推理的核心素养.ʌ解析ɔ如图,不妨设点A 在x 轴上方,由抛物线的定义可知|A F |=|AM |,因为øF MD =30ʎ,所以øAM F =90ʎ-30ʎ=60ʎ,所以әAM F 是正三角形.由y 2=4x 可知F (1,0),D (-1,0),设A (x A ,y A ),B (x B ,yB ),因为øF M D =30ʎ,|D F |=2,所以|D M |=23,|M F |=|AM |=4.所以x A =4-1=3.所以点A 的坐标为(3,23),所数学(理科)参考答案 第3 页(共9页)以直线A B 的方程为y -230-23=x -31-3,整理得y =3x -3.由y =3x -3,y 2=4x ,{得3x 2-10x +3=0,解得x A =3,x B =13.将x B =13代入直线A B 的方程,得y B =3ˑ13-3=-233.所以点B 的坐标为13,-233æèçöø÷.所以S 四边形A M D B =S 四边形A M D F +S әB D F =12ˑ(2+4)ˑ23+12ˑ2ˑ233=2033.故选A .12.B ʌ命题意图ɔ本题考查通过构造函数,利用导数比较大小,考查数学抽象和逻辑推理的核心素养.ʌ解析ɔa =11+e 2=1-11e 2+1,b =1e =1e 2,c =l n 1+e 2e 2=l n 1e 2+1(),令f (x )=x -l n (x +1),0<x <1,则f '(x )=1-1x +1=x x +1>0,所以f (x )在(0,1)上单调递增.所以f (x )>f (0)=0,即x >l n (x +1).令g (x )=l n (x +1)-1+1x +1,0<x <1,则g '(x )=1x +1-1(x +1)2=x (x +1)2>0,所以g (x )在(0,1)上单调递增.所以g (x )>g (0)=0,即l n (x +1)>1-1x +1.又当0<x <1时,x >x ,所以当0<x <1时,x >x >l n (x +1)>1-1x +1.所以当x =1e 2时,1e 2>1e 2>l n 1e 2+1()>1-11e 2+1,即b >c >a .故选B .二㊁填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.14x -y -8=0 ʌ命题意图ɔ本题考查导数的几何意义,考查逻辑推理和数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ由题得f '(x )=6x 2+8x ,所以曲线f (x )在点(1,f (1))处的切线的斜率为f '(1)=14.又f (1)=6,所以曲线f (x )=2x 3+4x 2在点(1,f (1))处的切线方程为y -6=14ˑ(x -1),即14x -y -8=0.14.3(答案不唯一,答对即可得分) ʌ命题意图ɔ本题考查直线与圆的位置关系,考查逻辑推理㊁直观想象㊁数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ因为圆心C (a ,1)到直线l 的距离d =|a -1|12+(-1)2=|a -1|2,所以r =d 2+|A B |2()2=|a -1|2æèçöø÷2+(2)2,即r 2=|a -1|22+2.由题意,得|a -1|22必为整数,且0<|a -1|2<r ,所以可取a =-1或a =3,此时r =2.因此a 的值可以取3.15.7或8(只答一个不得分) ʌ命题意图ɔ本题考查等比数列的基本运算,考查逻辑推理和数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ由题可知a 4ʂ0,因为8a 7=a 4,所以q 3=a 7a 4=18,解得q =12.又S 6=252,所以a 11-12()6[]1-12=252,解得a 1=128.所以a n =128ˑ12()n -1.令a n =128ˑ12()n -1ɤ1,得n ȡ8.又a 8=128ˑ12()7=1,所以当n =7或8时,a 1a 2 a n 最大.16.15π ʌ命题意图ɔ本题考查正弦函数的图象与性质,考查逻辑推理㊁直观想象㊁数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ由题图知A =2.由f 3π4-x ()=f (x )知,函数f (x )的图象关于直线x =3π8对称.则由图象可知3π8--π8()=K 2T (K ɪN *),解得T =πK (K ɪN *).又π8<T 4,所以T >π2.所以K =1,最小正周期T =π.所以ω=2πT =2.所以f (x )=2s i n (2x +φ).因为函数f (x )的图象经过点-π8,-2(),所以f -π8()=数学(理科)参考答案 第4 页(共9页)2s i n -π4+φ()=-2,解得φ=-π4+2k π(k ɪZ ).又|φ|<π2,所以φ=-π4,所以f (x )=2s i n 2x -π4().设方程f (x )=1在(0,λ)上的8个根从小到大依次为x 1,x 2, ,x 8.令2x -π4=π2,则x =3π8.根据f (x )的图象的对称性,可得x 1+x 22=3π8.由f (x )的周期性可得x 3+x 42=3π8+T =11π8,x 5+x 62=3π8+2T =19π8,x 7+x 82=3π8+3T =27π8,所以ð8i =1x i =2ˑ3π8+11π8+19π8+27π8()=15π.三㊁解答题:共70分.解答应写出文字说明㊁证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22㊁23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.ʌ命题意图ɔ本题考查解三角形,三角形的面积与周长,考查逻辑推理和数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ(1)因为3a s i n C +c c o s A =a +b ,所以由正弦定理得3s i n A s i n C +s i n C c o s A =s i n A +s i n B .1分…………………………………………………………………………………………………………………因为B =π-A -C ,所以s i n B =s i n (π-A -C )=s i n (A +C )=s i n A c o s C +c o s A s i n C ,所以3s i n A s i n C =s i n A c o s C +s i n A .3分……………………………………………………………………因为A ɪ(0,π),所以s i n A ʂ0,所以3s i n C =c o s C +1,即3s i n C -c o s C =1.4分………………………所以2s i n C -π6()=1,即s i n C -π6()=12.5分………………………………………………………………又C ɪ(0,π),所以C =π3.6分…………………………………………………………………………………(2)因为әA B C 的面积为3,所以12a b s i n C =3.由(1)知C =π3,所以a b =4①.8分……………………………………………………………………………由余弦定理得c 2=a 2+b 2-2a b c o s C ,又c =2,所以a 2+b 2=8②.10分………………………………………………………………………………由①②解得a =b =2.11分………………………………………………………………………………………故әA B C 的周长为a +b +c =6.12分……………………………………………………………………………18.ʌ命题意图ɔ本题考查独立性检验思想㊁离散型随机变量的分布列与数学期望,考查逻辑推理㊁数学运算㊁数据分析的核心素养.ʌ解析ɔ(1)因为套餐价格在[898,1498]内的频率为(0.00100+0.00050+0.00025)ˑ200=0.35,所以选择 尊享套餐 的客户有0.35ˑ200=70(名).2分………………………………………………………完善2ˑ2列联表如下:选择 尊享套餐 选择 普通套餐合计年龄不低于45岁5070120年龄低于45岁206080合计70130200K 2的观测值k =200ˑ(50ˑ60-70ˑ20)2120ˑ80ˑ70ˑ130ʈ5.861<6.635.4分……………………………………………所以没有99%的把握认为是否选择尊享套餐 与年龄有关.5分……………………………………………数学(理科)参考答案 第5 页(共9页)(2)由题设,年龄低于45岁的所有客户中,估计选择 普通套餐 的概率为6080=34,6分……………………易知ξ~B 3,34().7分……………………………………………………………………………………………所以P (ξ=0)=C 03ˑ34()0ˑ14()3=164,P ξ=1()=C 13ˑ34()1ˑ14()2=964,P (ξ=2)=C 23ˑ34()2ˑ14()1=2764,P ξ=3()=C 33ˑ34()3ˑ14()0=2764,9分…………………………所以ξ的分布列为ξ0123P1649642764276410分………………………………………………………………………………………………………………所以E (ξ)=3ˑ34=94.12分……………………………………………………………………………………19.ʌ命题意图ɔ本题考查面面垂直的证明㊁三棱柱的体积㊁二面角等,考查直观想象㊁逻辑推理和数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ(1)方法一(几何法):如图,作C E ʅA B 于点E ,E F ʊB B 1交A B 1于点F ,连接D F .因为A C =2,B C =3,A B =13,所以A C 2+B C 2=22+32=(13)2=A B 2.所以A C ʅB C .1分……………………………………………………………所以C E =A C ㊃B C A B =2ˑ313=61313.由勾股定理得A E =A C 2-C E 2=22-61313æèçöø÷2=41313,所以E F B B 1=A E A B =4131313=413=C D C C 1,所以E F =C D .3分………………………………………………………又E F ʊB B 1,C D ʊB B 1,所以E F ʊC D .所以四边形E F D C 是平行四边形,所以D F ʊC E .4分…………………………………………………………因为平面A B C ʅ平面A B B 1A 1,平面A B C ɘ平面A B B 1A 1=A B ,C E ʅA B ,所以C E ʅ平面A B B 1A 1.5分……………………………………………………………………………………所以D F ʅ平面A B B 1A 1.又D F ⊂平面A B 1D ,所以平面A B 1D ʅ平面A B B 1A 1.6分……………………………………………………方法二(向量法):因为A C =2,B C =3,A B =13,所以A C 2+B C 2=22+32=(13)2=A B 2.所以A C ʅB C .1分………………………………………………………………………………………………由题知C C 1ʅ平面A B C ,又A C ⊂平面A B C ,B C ⊂平面A B C ,所以C C 1ʅA C ,C C 1ʅB C .以点C 为原点,以C A ,C B ,C C 1所在直线分别为x 轴㊁y 轴㊁z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,设C C 1=a (a >0),则A (2,0,0),A 1(2,0,a ),B 1(0,3,a ),D 0,0,4a 13().数学(理科)参考答案 第6 页(共9页)所以A B 1ң=(-2,3,a ),A D ң=-2,0,4a 13(),A A 1ң=(0,0,a ).2分………设平面A B 1D 的法向量为m =(x ,y ,z ),由m ㊃A B 1ң=-2x +3y +a z =0,m ㊃A D ң=-2x +4a z 13=0,{得x =2a z 13,y =-3a z 13.ìîíïïïï令z =13,得平面A B 1D 的一个法向量为m =(2a ,-3a ,13).3分………设平面A B B 1A 1的法向量为n =(x ',y',z '),由n ㊃A B 1ң=-2x '+3y '+a z '=0,n ㊃A A 1ң=a z '=0,{得y '=23x ',z '=0.{令x '=3,得平面A B B 1A 1的一个法向量为n =3,2,0().4分…………………………………………………因为m ㊃n =6a -6a +0=0,所以m ʅn .5分……………………………………………………………………………………………………所以平面A B 1D ʅ平面A B B 1A 1.6分……………………………………………………………………………(2)因为直三棱柱A B C A 1B 1C 1的体积为392,所以12ˑ2ˑ3ˑC C 1=392,解得C C 1=132.所以C D =2,C 1D =92.7分………………………………………………………………………………………由题知C C 1ʅ平面A B C ,又A C ⊂平面A B C ,B C ⊂平面A B C ,所以C C 1ʅA C ,C C 1ʅB C .以点C 为原点,以C A ,C B ,C C 1所在直线分别为x 轴㊁y 轴㊁z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A (2,0,0),B 10,3,132(),D (0,0,2),所以A B 1ң=-2,3,132(),A D ң=(-2,0,2).8分…………………………设平面A B 1D 的法向量为u =(x 1,y1,z 1),由u ㊃A B 1ң=-2x 1+3y 1+132z 1=0,u ㊃A D ң=-2x 1+2z 1=0,{得y 1=-32z 1,x 1=z 1.{令z 1=2,得平面A B 1D 的一个法向量为u =(2,-3,2).9分……………易知平面B B 1D 的一个法向量为v =(1,0,0),10分……………………设二面角A B 1D B 的大小为θ,则c o s θ=u ㊃v |u ||v |=(2,-3,2)㊃(1,0,0)17ˑ1=21717.易知θ为锐角,所以二面角A B 1D B 的余弦值为21717.12分………………………………………………………………20.ʌ命题意图ɔ本题考查椭圆的标准方程㊁直线与椭圆的位置关系㊁三角形的周长等,考查直观想象和数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ(1)依题意,әMN F 2的周长为|M F 2|+|MN |+|N F 2|=|M F 1|+|M F 2|+|N F 1|+|N F 2|=4a =12,解得a =3.1分……………………………………………………………………………………………………数学(理科)参考答案 第7 页(共9页)设椭圆C 的半焦距为c ,因为椭圆C 的离心率为23,所以e =c a =23,即c 3=23,解得c =2.2分……………………………………………………………………因为a 2=b 2+c2,所以b =a 2-c 2=32-22=5.3分…………………………………………………………………………所以椭圆C 的标准方程为y 29+x 25=1.4分……………………………………………………………………(2)由(1)知,F 1(0,2),A (0,3).易知直线l 的方程为y =k x +2(k ʂ0).5分…………………………………由y =k x +2,y 29+x 25=1,{消去y 得(5k 2+9)x 2+20k x -25=0,Δ>0.6分……………………………………………设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则x 1+x 2=-20k 5k 2+9,x 1x 2=-255k 2+9.7分………………………………………所以k 1=y 1-3x 1=k x 1+2-3x 1=k x 1-1x 1,k 2=y 2-3x 2=k x 2+2-3x 2=k x 2-1x 2.8分………………………………所以k 1+k 2=k -1x 1+k -1x 2=2k -x 1+x 2x 1x 2=65k .k 1㊃k 2=k-1x 1()㊃k -1x 2()=k 2-k ˑx 1+x 2x 1x 2+1x 1x 2=-925.所以1k 1+1k 2=k 1+k 2k 1㊃k 2=-103k .11分……………………………………………………………………………所以1k 1k 1+1k 2()=-103,为定值.12分………………………………………………………………………21.ʌ命题意图ɔ本题考查导数的几何意义,考查利用导数解决不等式恒成立问题,考查逻辑推理㊁数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ(1)由f (x )=e x -s i n x -c o s x -12a x 2,得f '(x )=e x-c o s x +s i n x -a x .1分……………………所以曲线y =f (x )在点π4,fπ4()()处的切线的斜率为f 'π4()=e π4-π4a .2分…………………………所以e π4-π4a =e π4-π,解得a =4.4分…………………………………………………………………………(2)由(1)知,f'(x )=e x-c o s x +s i n x -a x ,所以不等式f '(x )ȡl n (1-x ),即e x-c o s x +s i n x -a x -l n (1-x )ȡ0对任意x ɪ(-ɕ,1)恒成立.5分…………………………………………………………………………………………………………………令g (x )=e x+s i n x -c o s x -a x -l n (1-x )(x <1),则g '(x )=e x+c o s x +s i n x -a +11-x .6分……………………………………………………………………因为g (x )ȡ0,g (0)=0,所以∀x ɪ(-ɕ,1),g (x )ȡg (0),即g (0)为g (x )的最小值,x =0为g (x )的一个极小值点.所以g '(0)=e 0+c o s 0+s i n0-a +11-0=0,解得a =3.7分…………………………………………………当a =3时,g (x )=e x+s i n x -c o s x -3x -l n (1-x )(x <1),所以g '(x )=e x +c o s x +s i n x -3+11-x =e x+2s i n x +π4()-3+11-x.8分……………………………数学(理科)参考答案 第8 页(共9页)令φ(x )=e x+11-x -3,h (x )=2s i n x +π4(),易知φ(x )在(-ɕ,1)上单调递增.①当0ɤx <1时,[φ(x )]m i n =φ(0)=-1,[h (x )]m i n =h (0)=1,所以g '(x )ȡg '(0)=0(当且仅当x =0时等号成立),所以g (x )在[0,1)上单调递增.9分…………………………………………………………………………………………………………………②当x <0时,若-π2ɤx <0,则φ(x )<φ(0),h (x )<h (0),所以g '(x )<g '(0)=0;若x <-π2,则φ(x )<φ-π2()=e -π2+2π+2-3,h (x )ɤ2,所以g '(x )<e -π2+2-3+2π+2<12+32-3+2π+2<0.所以g (x )在(-ɕ,0)上单调递减.11分…………………………………………………………………………综上所述,g (x )在(-ɕ,0)上单调递减,在[0,1)上单调递增.所以当a =3时,g (x )ȡg (0)=0.12分…………………………………………………………………………(二)选考题:共10分.请考生在22㊁23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.ʌ命题意图ɔ本题考查极坐标与参数方程,考查直观想象㊁逻辑推理㊁数学运算的核心素养.ʌ解析ɔ(1)因为直线l 的参数方程为x =3-32t ,y =3-12t ìîíïïïï(t 为参数),所以消去参数t 可得直线l 的普通方程为x -3y =0.2分……………………………………………………因为曲线C 的极坐标方程为ρ=2s i n θ+π6(),即ρ=3s i n θ+c o s θ,所以ρ2=3ρs i n θ+ρc o s θ.由x =ρc o s θ,y =ρs i n θ,{得x 2+y 2-x -3y =0.所以曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2-x -3y =0.4分……………………………………………………(2)因为点P 的极坐标为23,π6(),所以点P 的直角坐标为(3,3).易得点P 在直线l 上,将直线l 的参数方程x =3-32t ,y =3-12t ìîíïïïï(t 为参数)代入x 2+y 2-x -3y =0,6分………………………………化简得t 2-33t +6=0,Δ>0.设A ,B 两点所对应的参数分别为t 1,t 2,则t 1+t 2=33,t 1t 2=6,8分………………………………………所以t 1>0,t 2>0.所以1|P A |+1|P B |=1|t 1|+1|t 2|=1t 1+1t 2=t 1+t 2t 1t 2=336=32.10分………………………………………23.ʌ命题意图ɔ本题考查绝对值不等式的求解,绝对值不等式恒成立问题,考查逻辑推理和数学运算的核心素养.数学(理科)参考答案 第9 页(共9页)ʌ解析ɔ(1)当a =2时,f (x )=|x +4|+|x -4|,1分……………………………………………………………不等式f (x )ɤ13,即为|x +4|+|x -4|ɤ13.则x ɤ-4,-(x +4)-(x -4)ɤ13,{或-4<x <4,(x +4)-(x -4)ɤ13,{或x ȡ4,(x +4)+(x -4)ɤ13.{3分……………………解得-132ɤx ɤ-4或-4<x <4或4ɤx ɤ132.4分……………………………………………………………故不等式f (x )ɤ13的解集为-132,132[].5分…………………………………………………………………(2)f (x )=|x +4|+|x -2a |ȡ|x +4-(x -2a )|=|2a +4|(当且仅当(x +4)(x -2a )ɤ0时等号成立)6分…………………………………………………………………………………………………………………因为f (x )ȡa 2+5a 恒成立,所以|2a +4|ȡa 2+5a .7分………………………………………………………所以2a +4ȡa 2+5a ①或2a +4ɤ-(a 2+5a )②.8分…………………………………………………………由①解得-4ɤa ɤ1,由②解得-7-332ɤa ɤ-7+332.9分………………………………………………综上所述,-7-332ɤa ɤ1,故实数a 的取值范围是-7-332,1[].10分………………………………。
高三第三次调查测试数学试题含标准答案及评分标准
卜人入州八九几市潮王学校苏北四二零二零—二零二壹高三第三次调查测试数学试题一、填空题：本大题一一共14小题，每一小题5分，一共计70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写上在答题卡相应位置上．1.全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={l ，3，5}，B={l ，2}，那么(СU A)∩B＝▲．2.假设复数(a+i)(1—2i)(i 是虚数单位)是纯虚数，那么实数a=▲.3.为第二象限角，且sin=，那么tan=▲.4.假设椭圆的一个顶点与两个焦点构成直角三角形，那么该椭圆的离心率是▲．5.中心在坐标原点，一个焦点为(5，o)，且以直线y=±x 为渐近线的双曲线方程为▲.6.如图是一个空间几何体的三视图，其主视图、左视图均为正三角形，俯视图为圆，那么该几 何体的侧面积为▲.7.某算法的伪代码如下列图，假设输出的y 值是4，那么输入的x 的所有可能的值是▲. 8.函数)y=f(x)是奇函数，当x ＜0时,f(x)=x 2+a x(a ∈R)，且f(2)=6，那么a =▲.对每个二元数组(x,y)，用计算机计算x 2+y 2的值，记“(x,y)满足x 2+y 2＜l 〞为事件A ，那么事件A 发生的概率为▲.10.p ：一4＜x －a ＜4，q ：(x 一2)(3一x)＞0，假设¬p 是¬q 的充分条件，那么实数a 的取值范围是▲. 11.函数f(x)，g(x)满足，f(5)=5，f ﹐(5)=3，g(5)=4，g ﹐(5)=1，那么函数y=的图象在x=5处的切线方程为▲.a ,b 满足a b 一4a 一b+1=0(a ＞1)，那么(a +1)(b+2)的最小值为▲.a ∈[1，3]，使得不等式a x 2+(a －2)x －2＞0成立，那么实数x 的取值范围是▲.14.对于△①假设sin2A=sin2B ，那么△ABC 为等腰三角形; ②假设sinA=cosB ，那么△ABC 为直角三角形；③假设sin 2A+sin 2B+cos 2C ＜1，那么△ABC 为钝角三角形；④假设tanA+tanB+tanC ＞0，那么△ABC 为锐角三角形． ▲.(把你认为所有正确的都填上)二、解答题：本大题一一共6小题，一共计90分。
广东省广州市2023-2024学年高三第三次调研数学检测试卷(有解析)
EF
EB+BF
1
AB
3
BC=
1
AB
3
AD
【详解】
2 2 2 2,
故选：B
4．C
【分析】分 0 在定义域内和 0 不在定义域内两种情况进行讨论即可求得答案.
【详解】若 0 在定义域内，由 x 0 时， y 0 得， kπ k Z；
若
0
不在定义域内，由
x
0
时，
tan
无意义，得
π 2
P n 1
明：
3.
21．已知抛物线 C
:
y2
2
px(
p
0)
的焦点
F
到双曲线
x2 3
y2
1 的渐近线的距离为
1 2
.
(1)求抛物线 C 的方程；
(2)过点 F 任意作互相垂直的两条直线 l1 ， l2 分别交曲线 C 于点 A，B 和 M，N.设线段 AB ，
MN 的中点分别为 P，Q，求证：直线 PQ 恒过一个定点.
(2) AB 6 ， BC 3 2 ，点 D 在 AC 上， AD BD ，求 AD 的长.
19．如图 1，已知正三角形 ABC 边长为 4，其中 AD 3DB, AE 3EC ，现沿着 DE 翻折，
将点 A 翻折到点 A 处，使得平面 ABC 平面 DBC, M 为 AC 中点，如图 2.
B．若
A
π 4
，且
ABC
有两解，则
b
的取值范围为
3,
3
2
C．若 C 2A ，且 ABC 为锐角三角形，则 c 的取值范围为 3 2,3 3
3 33 D．若 A 2C ，且 sinB 2sinC ，O 为 ABC 的内心，则 AOB 的面积为 4
2020.1广东惠州市高三数学(理)第三次调研考试卷附答案解析
过 H 作 HF⊥PE 交于点 F，连结 CF，由三垂线定理知 CF⊥PE
所以∠CFH 为二面角 H-PE-C 的平面角。……………………………………………7 分
在 Rt△CHE 中，∠CEH=60°，CE=1，所以 HE=12，CE= 23，……………………8 分 在 Rt△HFE 中，∠FEH=60°，HE=12，所以 HF= 43……………………………………9 分 在 Rt△CHF 中，由勾股定理知 CF= 415…………………………………………………10 分
π ACB ABC
π 3
，
………………………8 分
由正弦定理得
BC sin BAC
AC sin ABC
2 sin( π ) ，即 3
23
3 sin
2
，……9 分
2 sin(
所以
3
) sin
2(
，所以
3 cos 2
1 sin ) sin 2
＝ 2 b － 5 ( a ＋ b )＝－ 5 a － 10 b .故选 C.
a
1
51
6.【解析】依题意，知－ 4 ＝－ 2a ，且－ 2a ≠ 2 ，解得 a＝± 2 .故选 A.
7.【解析】 Sn a1 a2 a3 an (a3 a2 ) (a4 a3 ) (a5 a4 ) (a6 a5 ) (an 2 an 1 )
x0
p 2
x0
c PF1
，∴
PM cos MPF1
5 4
(
x0
c)
．
由
PF1
2022届四川省绵阳市高三第三次诊断性考试理科数学试卷
1、若复数z满足(1 - i)z = 3 + 4i，则z的实部为A、 -7/2B、 7/2C、 -1/2D、 1/2（通过复数乘除运算求解z，再取实部。
）（答案：C）2、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4 = 4S2，则a4/a2等于A、 1B、 2C、 3D、 4（利用等差数列前n项和公式及性质求解。
）（答案：C）3、设F1，F2分别为椭圆C: x2/a2 + y2/b2 = 1 (a > b > 0)的左右焦点，过F1的直线l与椭圆C交于A，B两点，若|AF1| = 3|F1B|，且△ABF2的周长为16，则椭圆C的离心率为A、 1/3B、 1/2C、 2/3D、 3/4（利用椭圆的定义及几何性质求解离心率。
）（答案：B）4、已知向量a，b满足|a| = 2，|b| = 1，且a与b的夹角为120°，则向量a在向量b方向上的投影为A、 -1B、 1C、 -√3D、√3（利用向量投影的定义计算。
）（答案：A）5、若直线x - ay + 1 = 0与直线ax - 4y + 2 = 0平行，则实数a的值为A、 -2B、 2C、 -√2D、√2（利用直线平行的条件，即斜率相等求解。
）（答案：A）6、已知随机变量X的分布列为P(X = k) = a/k(k + 1)(k = 1, 2, 3)，其中a为常数，则P(X ≤2)的值为A、 1/2B、 2/3C、 3/4D、 5/6（利用随机变量的分布列性质，先求出a，再计算P(X ≤ 2)。
）（答案：C）7、设函数f(x) = |x - a|，a ∈ R，若不等式f(x) ≤ 3的解集为{x | -1 ≤ x ≤ 5}，则实数a的值为A、 -1B、 3C、 5D、 2（利用绝对值不等式的解法，结合解集求解a。
）（答案：D）8、已知三棱锥P-ABC中，PA ⊥底面ABC，AB ⊥ BC，PA = AB = 2，BC = 1，则三棱锥P-ABC的外接球表面积为A、 8πB、 12πC、 16πD、 20π（利用三棱锥外接球的性质，结合勾股定理求解外接球半径，再计算表面积。
广东省惠州市2023届高三第三次调研考试数学试题及答案及答案
惠州市2023届高三第三次调研考试试题数全卷满分150分，时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。
2．作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。
3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分。
1．已知集合=A {0,1,2}，⎩⎭⎨⎬=⎧⎫x B 1,1，且⊆B A ，则实数=x （ ）A ．21B ．1C ．21或1 D ．02．数列a n {}为等差数列，a 4、a 2019是方程-+=x x 4302的两个根，则a n {}的前2022项和为（ ） A.1011B.2022C.4044D.80883．“>m 2”是“方程-++=m m x y 21122表示双曲线”的（ ）条件 A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4．已知实数>>>a b c 0，则下列结论一定正确的是（ ）A. >b ca a B.⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪>⎛⎫⎛⎫a c2211 C.<a c11 D.>a c 225．已知互不重合的三个平面α、β、γ，其中=αβa ，=βγb ，=γαc ，且=ab P ，则下列结论一定成立的是（ ）A.b 与c 是异面直线B.a 与c 没有公共点C.b cD.=b c P学6．若函数()x f x a =（0a >且1a ≠）在R 上为减函数，则函数log (||1)a y x =-的图象可以是（ ）A. B. C. D.7．在“ 2，3，5，7，11，13 ”这6个素数中，任取2个不同的数，这两数之和仍为素数的概率是（ ） A.15 B. 310 C. 25 D. 128．已知0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin ax x bx <<恒成立，则b a -的最小值为（ ） A. 1 B.2π C. 12π- D. 21π-二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分。
2024年枣庄市高三数学第三次调研模拟考试卷附答案解析
2024年枣庄市高三数学第三次调研模拟考试卷试卷满分150分，考试用时120分钟2024.05一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}20A x x =+>∣，{}220B x x x =--<∣，则A B = （）A ．{21}xx -<<∣B ．{22}x x -<<∣C ．{11}x x -<<∣D ．{12}xx -<<∣2．已知双曲线22:14y x C m-=的一条渐近线方程为2y x =，则m =（）A ．1B ．2C ．8D ．163．已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点ππcos ,sin 33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则πcos 6α⎛⎫-=⎪⎝⎭（）A ．0B ．12C D ．24．对数螺线广泛应用于科技领域．某种对数螺线可以用πe ϕρα=表达，其中α为正实数，ϕ是极角，ρ是极径．若ϕ每增加π2个单位，则ρ变为原来的（）A ．13e 倍B ．12e 倍C ．π2e 倍D ．πe 倍5．己知平面向量(1,1),(2,0)a b =-=，则a 在b 上的投影向量为（）A ．(1,0)-B ．(1,0)C ．(D ．6．已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（）A ．4πB ．6πC ．8πD ．10π7．已知复数1212,,z z z z ≠，若12,z z 同时满足||1z =和|1||i |z z -=-，则12z z -为（）A ．1BC ．2D ．8．在ABC 中，1202ACB BC AC ∠=︒=，，D 为ABC 内一点，AD CD ⊥，120BDC ∠=︒，则tan ACD ∠=（）A ．B C D二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知两个变量y 与x 对应关系如下表：x 12345y5m8910.5若y 与x 满足一元线性回归模型，且经验回归方程为ˆ125 4.25yx =+．，则（）A ．y 与x 正相关B ．7m =C ．样本数据y 的第60百分位数为8D ．各组数据的残差和为010．若函数()()()2ln 1ln 1f x x x x=+--+，则（）A ．()f x 的图象关于()0,0对称B ．()f x 在22⎛ ⎝⎭上单调递增C ．()f x 的极小值点为22D ．()f x 有两个零点11．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M ，N 分别为棱1,DD DC 的中点，点P 为四边形1111D C B A （含边界）内一动点，且2MP =，则（）A ．1AB ∥平面AMNB ．点P 的轨迹长度为π2C ．存在点P ，使得MP ⊥平面AMND ．点P 到平面AMN 三､填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12．写出函数()sin cos 1f x x x =+图象的一条对称轴方程．13．某人上楼梯，每步上1阶的概率为34，每步上2阶的概率为14，设该人从第1阶台阶出发，到达第3阶台阶的概率为．14．设()()1122,,,A x y B x y 为平面上两点，定义1212(,)d A B x x y y =-+-、已知点P 为抛物线2:2(0)C x py p =>上一动点，点(3,0),(,)Q d P Q 的最小值为2，则p =；若斜率为32的直线l 过点Q ，点M 是直线l 上一动点，则(,)d P M 的最小值为．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．如图，四棱台1111ABCD A B C D -的底面为菱形，14,3,60AB DD BAD ==∠=︒，点E 为BC 中点，11,D E BC D E ⊥=(1)证明：1DD ⊥平面ABCD ；(2)若112AD =，求平面11A C E 与平面ABCD 夹角的余弦值．16．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左，右焦点分别为12,F F ，椭圆E 的离心率为12，椭圆E 上的点到右焦点的最小距离为1．(1)求椭圆E 的方程；(2)若过右焦点2F 的直线l 与椭圆E 交于B ，C 两点，E 的右顶点记为A ，1//AB CF ，求直线l 的方程．17．在一个袋子中有若干红球和白球（除颜色外均相同），袋中红球数占总球数的比例为p ．(1)若有放回摸球，摸到红球时停止．在第2次没有摸到红球的条件下，求第3次也没有摸到红球的概率；(2)某同学不知道比例p ，为估计p 的值，设计了如下两种方案：方案一：从袋中进行有放回摸球，摸出红球或摸球5次停止．方案二：从袋中进行有放回摸球5次．分别求两个方案红球出现频率的数学期望，并以数学期望为依据，分析哪个方案估计p 的值更合理．18．已知函数2()e x f x ax x =--，()f x '为()f x 的导数(1)讨论()f x '的单调性；(2)若0x =是()f x 的极大值点，求a 的取值范围；(3)若π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，证明：sin 1cos 1e e ln(sin cos )1θθθθ--++<．19．若数列{}n a 的各项均为正数，对任意*N n ∈，有212n n n a a a ++≥，则称数列{}n a 为“对数凹性”数列．(1)已知数列1，3，2，4和数列1，2，4，3，2，判断它们是否为“对数凹性”数列，并说明理由；(2)若函数231234()f x b b x b x b x =+++有三个零点，其中0(1,2,3,4)i b i >=．证明：数列1234,,,b b b b 为“对数凹性”数列；(3)若数列{}n c 的各项均为正数，21c c >，记{}n c 的前n 项和为n S ，1n n W S n=，对任意三个不相等正整数p ，q ，r ，存在常数t ，使得()()()r p q p q W q r W r p W t -+-+-=．证明：数列{}n S 为“对数凹性”数列．1．D【分析】首先解一元二次不等式求出集合B ，再根据交集的定义计算可得.【详解】由220x x --<，即()()120x x +-<，解得12x -<<，所以{}{}21220|B xx x x x <-=-=<-<∣，又{}{}202A xx x x =+>=>-∣∣，所以{}12A B x x =-<< ∣.故选：D 2．A【分析】利用双曲线方程先含参表示渐近线方程，待定系数计算即可.【详解】依题意，得0m >，令2204y x y x m -=⇒=，即C 的渐近线方程为y x =，21m=⇒=.故选：A 3．D【分析】根据三角函数的定义求出sin α，cos α，再由两角差的余弦公式计算可得.【详解】因为ππcos ,sin 33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即122P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，即角α的终边经过点1322P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以sin α=，1cos 2α=，所以πππ11cos cos cos sin sin 66622ααα⎛⎫-=+== ⎪⎝⎭.故选：D 4．B【分析】设0ϕ所对应的极径为0ρ，10π2ϕϕ=+所对应的极径为1ρ，根据所给表达式及指数幂的运算法则计算可得.【详解】设0ϕ所对应的极径为0ρ，则0π0e ϕρα=，则10π2ϕϕ=+所对应的极径为0π2π1eϕρα+=，所以0000ππ222π1πππ1e e e e ϕϕϕϕραρα++-===，故ϕ每增加π2个单位，则ρ变为原来的12e 倍.故选：B 5．A【分析】根据已知条件分别求出a b ⋅ 和b ，然后按照平面向量的投影向量公式计算即可得解.【详解】(1,1),(2,0)a b =-=，2a b ⋅=-，2b =,a 在b 上的投影向量为()()22,01,04a b b bb⋅-⋅==-.故选：A.6．C【分析】利用圆柱及球的特征计算即可.【详解】由题意可知该球为圆柱的外切球，所以球心为圆柱的中心，设球半径为r ，则r =，故该球的表面积为24π8πr =.故选：C 7．C【分析】设()i ,R z x y x y =+∈，根据||1z =和|1||i |z z -=-求出交点坐标，即可求出12,z z ，再计算其模即可.【详解】设()i ,R z x y x y =+∈，则()11i z x y -=-+，()i 1i z x y -=+-，由||1z =和|1||i |z z -=-，所以221x y +=且()()222211x y y x -+=-+，即221x y +=且x y =，解得22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或22x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以122z =+、2i 22z =-（或122i 22z =--、222i 22z =+），则21i i 2222z z ⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭（或21z z -=），所以122z z -=.故选：C 8．B【分析】在Rt ADC 中，设ACD θ∠=，AC x =，即可表示出CB，CD ，再在BCD △中利用正弦定理得cos sin(60)x θθ-︒，再由两角差的正弦公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，即可得解.【详解】在Rt ADC 中，设ACD θ∠=π02θ⎛⎫<<⎪⎝⎭，令AC x =()0x >，则2CB x =，cos CD x θ=，在BCD △中，可得120BCD θ∠=︒-，60CBD θ∠=-︒，由正弦定理sin sin BC CDCDB CBD=∠∠，cos sin(60)x θθ==-︒=，可得tan θ=tan ACD ∠=故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题解答关键是找到角之间的关系，从而通过设元、转化到BCD △中利用正弦定理得到关系式.9．AD【分析】利用相关性的定义及线性回归直线可判定A ，根据样本中心点在回归方程上可判定B ，利用百分位数的计算可判定C ，利用回归方程计算预测值可得残差即可判定D.【详解】由回归直线方程知：1.250>，所以y 与x 正相关，即A 正确；由表格数据及回归方程易知32.53, 1.253 4.257.55mx y m +==⨯+=⇒=，即B 错误；易知560%3⨯=，所以样本数据y 的第60百分位数为898.52+=，即C 错误；由回归直线方程知1,2,3,4,5x =时对应的预测值分别为 5.5,6.75,8,9.25,.5ˆ10y=，对应残差分别为0.5,0.75,0,0.25,0--，显然残差之和为0，即D 正确.故选：AD 10．AC【分析】首先求出函数的定义域，即可判断奇偶性，从而判断A ，利用导数说明函数的单调性，即可判断B 、C ，求出极小值即可判断D.【详解】对于函数()()()2ln 1ln 1f x x x x =+--+，令10100x x x +>⎧⎪->⎨⎪≠⎩，解得10x -<<或01x <<，所以函数的定义域为()()1,00,1-U ，又()()()()()()22ln 1ln 1ln 1ln 1f x x x x x f x x x ⎡⎤-=--+-=-+--+=-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 为奇函数，函数图象关于()0,0对称，故A 正确；又()22221121122211111f x x x x x x x x x---'=--=+-=-+-+--222222222(1)24(1)(1)x x x x x x x ----==--，当x ⎛∈ ⎝⎭时，()0f x '<，即()f x在⎛ ⎝⎭上单调递减，故B 错误；当2x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，即()f x在,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，根据奇函数的对称性可知()f x 在21,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 的极小值点为22，极大值点为22-，故C 正确；又(()ln 320f x f ==++⎝⎭极小值，且当x 趋近于1时，()f x 趋近于无穷大，当x 趋近于0时，()f x 趋近于无穷大，所以()f x 在()0,1上无零点，根据对称性可知()f x 在()1,0-上无零点，故()f x 无零点，故D 错误．故选：AC ．11．ABD【分析】利用线线平行的性质可判定A ，利用空间轨迹结合弧长公式可判定B ，建立空间直角坐标系，利用空间向量研究线面关系及点面距离可判定C 、D.【详解】对于A ，在正方体中易知1111//,////MN CD CD A B NM A B ⇒，又1⊄A B 平面AMN ，MN ⊂平面AMN ，所以1A B ∥平面AMN ，即A 正确；对于B ，因为点P 为四边形1111D C B A （含边界）内一动点，且2MP =，11MD =，则1DP =P 点轨迹为以1D所以点P的轨迹长度为132ππ42⨯，故B 正确；对于C ，建立如图所示空间直角坐标系，则()()())π2,0,0,0,0,1,0,1,0,,,20,2A M N Pθθθ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，所以()())2,0,1,2,1,0,,1AM AN MP θθ=-=-=，若存在点P ，使得MP ⊥面AMN，则100AM MP AN MP θθθ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，解之得sin ,cos θθ=即不存在点P ，使得MP ⊥面AMN ，故C 错误；对于D ，设平面AMN 的一个法向量为(),,n x y z = ，则2020AM n x z AN n x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取12x y z =⇒==，即()1,2,2n =，则点P 到平面AMN的距离()221πtan ,0,3322n MP d n θϕθθϕϕ⋅++⎛⎫++⎛⎫====∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ，显然π2θϕ+=时取得最大值max d =D 正确.故选：ABD【点睛】思路点睛：对于B ，利用定点定距离结合空间轨迹即可解决，对于C 、D 因为动点不方便利用几何法处理，可以利用空间直角坐标系，由空间向量研究空间位置关系及点面距离计算即可.12．π4x =（答案不唯一）【分析】利用二倍角公式及三角函数的图象与性质计算即可.【详解】易知1()sin 212f x x =+，所以()()πππ2πZ Z 242k x k k x k =+∈⇒=+∈，不妨取0k =，则π4x =.故答案为：π4x =（答案不唯一）13．1316【分析】先分①②两种方法，再由独立事件的乘法公式计算即可.【详解】到达第3台阶的方法有两种：第一种：每步上一个台阶，上两步，则概率为3394416⨯=；第二种：只上一步且上两个台阶，则概率为14，所以到达第3阶台阶的概率为911316416+=，故答案为：1316.14．232【分析】利用定义结合二次函数求最值计算即可得第一空，过P 作//PN x 并构造直角三角形，根据(,)d P M 的定义化折为直，结合直线与抛物线的位置关系计算即可.【详解】设2,2m P m p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()()2221,30332222m m p d P Q m m m p p p p =-+-≥-+=-+-，322p⇒-=，即2p =，p m =时取得最小值；易知39:22l y x =-，2:4C x y =，联立有26180x x -+=，显然无解，即直线与抛物线无交点，如下图所示，过P 作//PN x 交l 于N ，过M 作ME PN ⊥，则(,)d P M PE EM PE EN PN =+≥+=（,M N 重合时取得等号），设2,4n P n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则223,64n n N ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以()22133336622n PN n n =-+=-+≥，故答案为：2，32【点睛】思路点睛：对于曼哈顿距离的新定义问题可以利用化折为直的思想，数形结合再根据二次函数的性质计算最值即可.15．(1)证明见解析【分析】（1）连接DE 、DB ，即可证明BC ⊥平面1D DE ，从而得到1BC DD ⊥，再由勾股定理逆定理得到1DD DE ⊥，即可证明1DD ⊥平面ABCD ；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】（1）连接DE 、DB ，因为四边形ABCD 为菱形，60BAD ∠= 所以BDC 是边长为4的正三角形，因为E 为BC 中点，所以DE BC ⊥，DE =又因为11,D E BC D E DE E ⊥⋂=，1,D E DE ⊂平面1D DE ，所以BC ⊥平面1D DE ，又1DD ⊂平面1D DE ，所以1BC DD ⊥，又1D E =13DD =，DE =所以22211DD DE D E +=，所以1DD DE ⊥，又因为,,DE BC E DE BC =⊂ 平面ABCD ，所以1DD ⊥平面ABCD.（2）因为直线1,,DA DE DD 两两垂直，以D 为原点，1,,DA DE DD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则()()()()()10,0,0,4,0,0,0,,2,2,2,0,3D A E C A -，所以()()1111,2,2A C AC EA ==-=- 设平面11A C E 的一个法向量为(),,n x y z = ，则11130230n A C x n EA x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，即43y x z ⎧=⎪⎨=⎪⎩，令3x =，得4y z ==，所以()4n = ，由题意知，()0,0,1m = 是平面ABCD 的一个法向量，设平面11A C E 与平面ABCD 的夹角为θ，则cos 13m n m n θ⋅===⋅ ，所以平面11A C E与平面ABCD 16．(1)22143x y +=(2)10x y +-=或10x y -=【分析】（1）利用椭圆焦半径公式及性质计算即可；（2）设直线l 方程，B 、C 坐标，根据平行关系得出两点纵坐标关系，联立椭圆方程结合韦达定理解方程即可.【详解】（1）设焦距为2c ，由椭圆对称性不妨设椭圆上一点()()000,0P x y a x ≥≥，易知()2,0F c ，则2PF =00c c x a a x a a =-=-，显然0x a =时2min PF a c =-，由题意得222121ca a c abc ⎧=⎪⎪⎨-=⎪⎪=+⎩解得2,1,a c b ===所以椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）设()()1122,,,C x y B x y ，因为AB //1CF ，所以1122::2:1CF AB F F F A ==所以122y y =-①设直线l 的方程为1x my =+，联立得221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得()2234690m y my ++-=，由韦达定理得()122122634934my y m y y m ⎧+=-⎪+⎪⎨=-⎪+⎪⎩，把①式代入上式得222226349234my m y m ⎧-=-⎪⎪+⎨⎪-=-⎪-+⎩，得()()22222236923434m y m m ==++，解得255m =±，所以直线l 的方程为：10x y -=或10x y -=.17．(1)1p-(2)答案见解析【分析】（1）设事件A =“第2次没有摸到红球”，事件B =“第3次也没有摸到红球”，根据条件概率公式计算可得；（2）记“方案一”中红球出现的频率用随机变量X 表示，X 的可能取值为11110,,,,,15432，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望，“方案二”中红球出现的频率用随机变量Y 表示，则()55,Y B p ~，由二项分布的概率公式得到分布列，即可求出期望，再判断即可.【详解】（1）设事件A =“第2次没有摸到红球”，事件B =“第3次也没有摸到红球”，则()()21P A p =-，()()31P B p =-，所以()()()()()32(1)|1(1)P AB P B p P B A p P A P A p -====--；（2）“方案一”中红球出现的频率用随机变量X 表示，则X 的可能取值为：11110,,,,,15432，且()()501P X p ==-，()4115P X p p ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()3114P X p p ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()2113P X p p ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()112P X p p ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()1P X p ==，所以X 的分布列为：X 0151413121P 5(1)p -4(1)p p -3(1)p p -2(1)p p -()1p p-p 则()()()354211110(1)(1)1(1)115432E X p p p p p p p p p p =⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯()4321(1)(1)(1)5432p p p p p p p p p ----=++++，“方案二”中红球出现的频率用随机变量Y 表示，因为()55,Y B p ~，所以5Y 的分布列为：()555C (1),0,1,2,3,4,5k k k P Y k p p k -==-=，即Y 的分布列为：Y 0152535451P 5(1)p -45(1)p p -3210(1)p p -3210(1)p p -()451p p -5p 所以()55E Y p =，则()E Y p =，因为()E X p >，()E Y p =，所以“方案二”估计p 的值更合理.18．(1)答案见解析(2)12a >(3)证明见解析【分析】（1）令()()g x f x '=，求出导函数，再分0a ≤和0a >两种情况讨论，分别求出函数的单调区间；（2）结合（1）分0a ≤、102a <<、12a =、12a >四种情况讨论，判断()f x 的单调性，即可确定极值点，从而得解；（3）利用分析法可得只需证sin 12e ln sin sin θθθ-+<，cos 12e ln cos cos θθθ-+<，只需证对任意10x -<<，有()2e ln 1(1)x x x ++<+，结合（2）只需证明()ln 1(10)x x x +<-<<，构造函数，利用导数证明即可.【详解】（1）由题知()e 21x f x ax =--'，令()()21x g x f x ax =-'=-e ，则()e 2x g x a '=-，当0a ≤时，()()0,g x f x ''>在区间(),-∞+∞单调递增，当0a >时，令()0g x '=，解得ln2=x a ，当(),ln2x a ∞∈-时，()0g x '<，当()ln2,x a ∈+∞时，()0g x '>，所以()f x '在区间(),ln2a -∞上单调递减，在区间()ln2,a +∞上单调递增，综上所述，当0a ≤时，()f x '在区间(),-∞+∞上单调递增；当0a >时，()f x '在区间(),ln2a -∞上单调递减，在区间()ln2,a +∞上单调递增.（2）当0a ≤时，()00f '=，由（1）知，当(),0x ∈-∞时，()()0,f x f x '<在(),0∞-上单调递减；当()0,x ∈+∞时，()()0,f x f x '>在()0,∞+上单调递增；所以0x =是函数()f x 的极小值点，不符合题意；当102a <<时，ln20a <，且()00f '=，由（1）知，当()ln2,0x a ∈时，()()0,f x f x '<在()ln2,0a 上单调递减；当()0,x ∈+∞时，()()0,f x f x '>在()0,∞+上单调递增；所以0x =是函数()f x 的极小值点，不符合题意；当12a =时，ln20a =，则当(),x ∈-∞+∞时，()()0,f x f x '≥在(),-∞+∞上单调递增，所以()f x 无极值点，不合题意；当12a >时，ln20a >，且()00f '=；当(),0x ∈-∞时，()()0,f x f x '>在(),0∞-上单调递增；当()0,ln2∈x a 时，()()0,f x f x '<在()0,ln2a 上单调递减；所以0x =是函数()f x 的极大值点，符合题意；综上所述，a 的取值范围是12a >.（3）要证()sin 1cos 1e e ln sin cos 1θθθθ--++<，只要证()()sin 1cos 122e e ln sin ln cos sin cos θθθθθθ--+++<+，只要证sin 12e ln sin sin θθθ-+<，cos 12e ln cos cos θθθ-+<，因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()()sin 0,1,cos 0,1θθ∈∈，所以只要证对任意01x <<，有12e ln x x x -+<，只要证对任意10x -<<，有()2e ln 1(1)x x x ++<+（※），因为由（2）知：当1a =时，若0x <，则()()01f x f <=，所以2e 1x x x --<，即2e 1x x x <++①，令函数()()ln 1(10)h x x x x =+--<<，则()1111x h x x x-'=-=++，所以当10x -<<时()0h x '>，所以()h x 在()1,0-单调递增；则()()00h x h <=，即()ln 1(10)x x x +<-<<，由①+②得()22e ln 121(1)x x x x x ++<++=+，所以（※）成立，所以()sin 1cos 1e e ln sin cos 1θθθθ--++<成立.【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.19．(1)只有1，2，4，3，2是“对数凹性”数列，理由见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）利用“对数凹性”数列的定义计算即可；（2）利用导数研究三次函数的性质结合()1,f f x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭零点个数相同及“对数凹性”数列的定义计算即可；（3）将,p q 互换计算可得0=t ，令1,2p q ==，可证明{}n W 是等差数列，结合等差数列得通项公式可知()11n W c n d =+-，利用1n n W S n=及,n n S c 的关系可得()121n c c d n =+-，并判定{}n c 为单调递增的等差数列，根据等差数列求和公式计算()2124n n n S S S ++-结合基本不等式放缩证明其大于0即可.【详解】（1）根据“对数凹性”数列的定义可知数列1，3，2，4中2234≥⨯不成立，所以数列1，3，2，4不是“对数凹性”数列；而数列1，2，4，3，2中222214423342⎧≥⨯⎪≥⨯⎨⎪≥⨯⎩均成立，所以数列1，2，4，3，2是“对数凹性”数列；（2）根据题意及三次函数的性质易知2234()23f x b b x b x =++'有两个不等实数根，所以221324324Δ44303b b b b b b =-⨯>⇒>，又0(1,2,3,4)i b i >=，所以2324243b b b b b >>，显然()1000x f b =⇒=>，即0x =不是()f x 的零点，又2312341111f b b b b x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令1t x =，则()231234f t b b t b t b t =+++也有三个零点，即32123431b x b x b x b f x x +++⎛⎫= ⎪⎝⎭有三个零点，则()321234g x b x b x b x b =+++有三个零点，所以()212332g x b x b x b =++'有两个零点，所以同上有22221321313Δ44303b b b b b b b b =-⨯>⇒>>，故数列1234,,,b b b b 为“对数凹性”数列（3）将,p q 互换得：()()()r q p t q p W p vr W r q W t =-+-+-=-，所以0=t ，令1,2p q ==，得()()(2210r W r W r W -+-+-=，所以()()()()12121211r W r W r W W r W W =-+-=+--，故数列{}n W 是等差数列，记221211022S c c d W W c -=-=-=>，所以()()2111112n c c W c n c n d -⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，所以()21n n S nW dn c d n ==+-，又因为11,1,2n n n c n c S S n -=⎧=⎨-≥⎩，所以()121n c c d n=+-，所以120n n c c d +-=>，所以{}n c 为单调递增的等差数列，所以()11210,2,2n n n n n n n n cc c c c c c S ++++>>+==.所以()()()()()22212111124(1)2n n n n n n S S S n c c n n c c c c ++++-=++-+++()()()()22112211(1)22n n n c c c c n c c n n ++⎡⎤+++>++-+⎢⎥⎣⎦()()222112112(1)22n n c c c n c c n n ++++⎛⎫=++-+ ⎪⎝⎭()()()2221111(1)2n n n c c n n c c ++=++-++()()2211(1)2n n n n c c +⎡⎤=+-++⎣⎦()2110n c c +=+>所以212n n n S S S ++≥，数列{}n S 是“对数凹性”数列【点睛】思路点睛：第二问根据定义及三次函数的性质、判别式先判定2324243b b b b b >>，再判定()1,f f x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭零点个数相同，再次利用导函数零点个数及判别式判定2213133b b b b b >>即可；第三问根据条件将,p q 互换得0=t ，利用赋值法证明{}n W 是等差数列，再根据1n n W S n=及,n n S c 的关系可得n c 从而判定其为单调递增数列，根据等差数列求和公式计算()2124n n n S S S ++-结合基本不等式放缩证明其大于0即可.。
山东省枣庄市高三第三次调研考试 数学试题(理工类)及参考答案
山东省枣庄市高三第三次调研考试数学试题（理工农医类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.第I 卷（选择题，共60分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试卷上。
3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 正棱锥、圆锥的侧面积公式P(A+B)=P(A)+P(B) cl S 21=锥侧 如果事件A 、B 相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B) 其中c 表示底面周长，l 表示斜高或母线长 如果事件A 在一次试验中发生的概率是 球的体积公式P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 334R V π=球， 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次 其中R 表示球的半径.的概率k n k k n n P P C k P --=)1()(一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.1．ii -13的共轭复数是 （ ） A ．i 2323+- B ．i 2323-- C ．i 2323+ D ．i 2323- 2．已知条件p:1≤x ≤4，条件q ：|x －2|>1，则p 是⌝q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（ ） A ．8+34π。
高三数学第三次调研考试试题理含解析试题
卜人入州八九几市潮王学校2021届高三第三次调研考试理科数学本卷须知：2．答题选择题时，选出每个小题答案后，需要用2B铅笔把答题卡上对应题目之答案信息点涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在套本套试卷上无效。
3．非选择题必须用黑色字迹签字笔答题，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在套本套试卷上无效。
一、选择题：在每一小题给出的四个选项里面，只有一项符合题目要求.，集合，那么集合〔〕A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】化简集合A，然后求并集即可.【详解】∵集合A={x|x2+x﹣2＜0}={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x＞0}，∴集合A∪B={x|x＞﹣2}．应选：B．【点睛】此题考察并集的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意利用数轴求集合间的交并补．满足，那么在复平面内，所对应的点在〔〕A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】【分析】先求出复数Z,即得z所对应的点在第几象限.【详解】由题得z=,所以复数z对应的点为〔-1,1〕，所以复数z对应的点在第二象限.故答案为：B【点睛】此题主要考察复数的计算和复数的几何意义，意在考察学生对这些知识的掌握程度和分析推理计算才能.、满足约束条件，那么的最大值为〔〕A.2B.6C.7D.8【答案】C【解析】分析：作出可行域，研究目的函数的几何意义可知，当时目的函数获得最大值为.详解：作出可行域，如以下图中的阴影局部，易知目的函数中的值随直线向上平移而增大，过点时获得最大值为，应选C.点睛：将目的函数转化为直线的斜截式方程，当截距获得最大值时，获得最大值；当截距获得最小值时，获得最小值.、的等差中项是，一个等比中项是，且，那么双曲线的离心率等于〔〕A. B. C. D.【解析】【分析】要求双曲线的离心率，得求，由和中的两个与的关系，即可求出。
【详解】由题意可得：，结合，解方程组可得：，那么双曲线中：.应选A【点睛】此题考察了根本的等差中项、等比中项概念、双曲线的离心率及的关系。
2019-2020年高三第三次质量调研数学(理)试题 含答案
2019-2020年高三第三次质量调研数学（理）试题 含答案一．填空题（每小题4分，满分56分）1．已知C ∈x ，且42-=x ，则=x ____________．2．方程1lg )3lg(=+-x x 的解=x ____________．3．已知集合},082{2Z ∈<-+=x x x x A ，集合},3|2|{R ∈<-=x x x B ，则=B A __________． 4．函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32cos 2πx y 的单调递减区间是__________________________．5．若函数ax x y -+=12的图像关于直线x y =对称，则实数a 的值为_____________．6．若圆柱的侧面展开图是边长为4和2的矩形，则圆柱的体积为_________________．7．已知α、β均为锐角，且)sin()cos(βαβα-=+，则=αtan ___________．8．已知向量)sin ,(cos θθ=a（],0[πθ∈），)1,3(-=b ，则|2|b a -的取值范围是________． 9．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+-=+=θθsin 23cos 22y x （θ为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l 上两点A 、B 的极坐标分别为)0,2(、)2,332(π，则直线l 与圆C 的位置关系是____________．10．计算：=+++++++∞→nnn n nn C C C 212421lim ____________． 11．若函数)(x f 是R 上的奇函数，)(x g 是R 上的偶函数，且满足xe x g xf =-)()(，将)2(f 、)3(f 、)0(g 按从小到大的顺序排列为___________________．12．在等差数列}{n a 中，0≠n a ，当2≥n 时，0121=+-+-n nn a a a ，n S 为}{n a的前n 项和，若4612=-k S ，则=k __________．13．如图，F 为双曲线12222=-by ax （0>>a b ）的右焦点，过F 作直线l 与圆222b y x =+切于点M ，与双曲线交于点P ，且M 恰为线段PF 的中点，则双曲线的渐近线方程是________________________． 14．函数)cos()(x x f π=与函数||1|log |)(2-=x x g 的图像所有交点的横坐标之和为___________． 二．选择题（每小题5分，满分20分）15．“122<+b a ”是“1||<a ，1||<b ”的……………………………………………………………（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 16．已知随机变量ξ的分布律如下：x)(x P =ξ其中a ，b ，c 成等差数列，若ξ的均值34)(=ξE ，则ξ的方差)(ξD 等于……………………（ ） A ．91 B ．31 C ． 95 D ． 9717．已知平面上三条直线012=+-y x ，01=-x ，0=+ky x ，如果这三条直线将平面分为六部分，则实数k 的个数是……………………………………………………………………………………（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．111第13题的取值范围是……………………………………………………………………………………………（ ） A ．)3,1( B ．)5,3( C ．),2(∞+ D ．),1(∞+ 三．解答题（本大题共有5题，满分74分） 19．（本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，⊥PA 底面ABCD ，点M 是棱PC 的中点，⊥AM 平面PBD ．（1）求四棱锥ABCD P -的体积；（2）求直线PC 与平面AMD 所成角的大小．20．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）如图，某市拟在长为8千米的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数x A y ωsin =（0>A ，0>ω），]4,0[∈x 的图像，且图像的最高点为)32,3(S ；赛道的后一部分为折线段MNP ，为保证参赛运动员的安全，限定2π=∠MNP （1）求A ，ω的值和线段MP 的长；（2）设θ=∠PMN ，问θ为何值时，才能使折线段赛道MNP 最长？ PA B D M21．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）在等比数列}{n a 中，公比1≠q ，等差数列}{n b 满足311==a b ，24a b =，313a b =． （1）求数列}{n a 与}{n b 的通项公式；（2）记n n nn a b c +⋅-=)1(，求数列}{n c 的前n 项和n S ．22．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）已知点)0,2(-A ，)0,2(B ，动点C 、D 依次满足2||=AC ，)(21AC AB AD +=． （1）求动点D 的轨迹方程；（2）过点A 作直线l 交以A 、B 为焦点的椭圆于M 、N 两点，若线段MN 的中点到y 轴的距离为54，且直线l 与圆122=+y x 相切，求该椭圆的方程；（3）经过（2）中椭圆的上顶点G 作直线m 、n ，使n m ⊥，直线m 、n 分别交椭圆于点P 、Q ．求证：PQ 必过y 轴上一定点．23．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知函数b ax ax x g ++-=12)(2（0>a ）在区间]3,2[上的最大值为4，最小值为1，记|)(|)(x g x f =．（1）求实数a ，b 的值；（2）若不等式)2()(log 2f k f >成立，求实数k 的取值范围；（3）对于任意满足q x x x x x p n n =<<<<<=-1210 （*N ∈n ，3≥n ）的自变量0x ，1x ，2x ，…，n x ，如果存在一个常数0>M ，使得定义在区间],[q p 上的一个函数)(x m ，M x m x m x m x m x m x m n n ≤-++-+--|)()(||)()(||)()(|11201 恒成立，则称函数)(x m 为区间],[q p 上的有界变差函数．试判断函数)(x f 是否区间]3,1[上的有界变差函数，若是，求出M 的最小值；若不是，请说明理由．上海市嘉定区2014届高考第三次质量调研数学试卷（理）参考答案与评分标准一．填空题（每小题4分，满分56分） 1．i 2±； 2． 5； 3。