高三第三次调研考试数学理(附答案)

平顶山市～高三第三次调研考试

理科数学（必修+选修Ⅱ）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．分别答在答题卡（Ⅰ卷）和答卷（Ⅱ卷）上．答在试卷上的答案无效．考试时间120分钟．满分150分．

第Ⅰ卷

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考试科目涂在答题卡上．

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，

再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上．

3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．

参考公式：

如果事件A ，B 互斥，那么 球的表面积公式

如果事件A ，B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 球的体积公式 n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径

一．选择题

(1)已知集合，，则M∩N 为 （A ），或 （B ），或 （C ），或 （D ），或 (2)函数的最大值为 （A ） （B

（C

（D ）2

(3)设是奇函数，则使的的取值范围是 （A ） （B ） （C ） （D ）

()()()P A B P A P B +=+2

4πS R =()()()P A B P A P B ?=?3

4π3

V R =

()(1)(0,1,2,)k k n k P k C p p k n n n

-=-=…,2

{|3280}M x x x =--≤2

{|60}N x x x =-->{|42x x -≤<-37}x <≤{|42x x -<≤-37}x ≤<{|2x x ≤-3}x >{|2x x <-3}x ≥2sin (sin cos )y x x x =+1+1-2

()lg(

)1f x a x

=+-()0f x >x (1,0)-(0,1)(,0)-∞(0,)+∞

(4)以双曲线的右焦点为圆心与渐近线相切的圆的方程是 （A ） （B ）

（C ） （D ）

(5)为了得到函数的图象，可以将函数的图象

（A ）向右平移

个单位长度 （B ）向右平移个单位长度 （C ）向左平移个单位长度 （D ）向左平移个单位长度

(6)设，是不同的直线，，是不同的平面，给出下列命题：

① ②

③ ，异面 ④

其中假．

命题有 （A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个

(7)设椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为

，则此椭圆的方程为 （A ）

（B ）

（C ）

（D ）

(8)在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB =1，D 在棱BB 1上，且BD =1，若AD 与平面AA 1C 1C 所成的角为，则= （A ）

（B ） （C ） （D ）

(9)若的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中项的系数为 （A ）6 （B ）7 （C ） 8 （D ）9

13

62

2=-y x 2

2

60x y x +-=22

(3)9x y -+=22

60x y x ++=22

(3)3x y -+=sin(2)6

y x π=-x y 2cos =6π3π6π3

π

m n αβ////m m αββα?????//////m n n m ββ????m m n αβ??????n //m m αββα⊥?

?⊥??

22221(00)x y m n m n +=>>，2

8y x =1

2

22

11216x y +=22

11612x y +=22

14864x y +=22

16448

x y +=αα3π4

π

410arcsin 46arcsin 1()2n

x x

+

4x

(10)设，，，且，则的最小值为

（A ）

（B

） （C

（D ）(11)设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为 （A ）-2

（B ）0

（C ）

（D ） (12)经过平行六面体的任意两个顶点的直线共28条，其中异面直线有 （A ）180对

（B ）174对 （C ）192对 （D ）210对

第Ⅱ卷

注意事项：

1．答题前，考生务必将本人姓名、考生号、考场号填写在答卷（Ⅱ卷）正面的相应位置． 2．本卷共10小题，共90分．

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． (13)不等式的解集是_________．

(14)，各顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为________．

(15)设双曲线

的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为 ． (16)关于函数，，有下列命题： ①对任意，有成立； ②在区间上的最小值为-4； ③的图象关于点对称； ④的图象关于直线对称．

其中正确的命题的序号是_______．（注：把你认为正确的命题的序号都．填上．）

1a =2b =3c =0a b ?=(2)a b c +-x y ，1

1

21

x y x y x y --??+??-≤?

≥≥，，2x y

z x y -=+12

45

-

2

|3|4x x ->22

1916

x y -=()4sin()3

f x x π

=π+

x ∈R x ∈R (1)()f x f x +=-)(x f y =[0,1])(x f y =1(,0)3

-)(x f y =6

x π

=

三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (17)（本小题满分10分）

在锐角△中，角、、所对的边分别为、、，已知． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若，△的面积为，求的值．

(18)（本小题满分12分）

袋中装有若干个质地均匀大小相同的红球和白球，白球数量是红球数量的两倍．每次从袋中摸出一个球，然后放回．若累计3次摸到红球则停止摸球，否则继续摸球直至第5次摸球后结束．

（Ⅰ）求摸球3次就停止的事件发生的概率；

（Ⅱ）记摸到红球的次数为，求随机变量的分布列及其期望．

(19)（本小题满分12分） 如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧面A 1ACC 1与底面ABC 垂直，AB=BC=CA =4，且AA 1⊥A 1C ，AA 1=A 1C ．

（Ⅰ）求侧棱AA 1与底面ABC 所成角的

大小； （Ⅱ）求侧面A 1ABB 1与底面ABC 所成二

面角的大小；

（Ⅲ）求顶点C 到侧面A 1ABB 1的距离．

(20)（本小题满分12分）

已知，的反函数为．

（I ）求的单调区间；

（II ）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．

ABC A B C a b c 22

sin 3

A =2

2tan sin 22

B C A

++2a =ABC 2b ξξ()ln(1)f x x =+()f x 1

()f x -1

()()()g x f x f

x -=-0x >14

ln ()()3

x f x f e x a --<-a

(21)（本小题满分12分） 设数列的前项和，． （Ⅰ）求和的关系式； （Ⅱ）求数列的通项公式； （Ⅲ）证明：

，．

(22)（本小题满分12分）

已知直线，．动圆（圆心为M ）被，截得的弦长 分别为8，16．

（Ⅰ）求圆心M 的轨迹方程M ；

（Ⅱ）设直线与方程M 的曲线相交于A ，B 两点．如果抛物线上存

在点N 使得成立，求k 的取值范围．

{}n a n 31

2(1)22

n n n S a =+?--*n ∈N n a 1n a -{}n a 12

11

110

9

n S S S +++

<*n ∈N 1:20L x y -=2:20L x y -=1L 2L 10y kx =+2

2y x =-NA NB =

理科数学参考答案

一．选择题：

(1)A (2)A (3)B (4)D (5)B (6)D (7)B (8)D (9)B (10)B (11)B (12)B

二．填空题：

(13) ，或，(14) ，(15)

， (16)①③． 三．解答题：

(17)（本小题满分10分）

解：（Ⅰ）∵△是锐角三角形， ， ∴． ……………1分 ∴

……………3分

． ……………5分

（Ⅱ）∵

∴． ……………7分 将，，代入余弦定理：，……………8分

可得，解得

……………10分

(18)（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）依题意，摸球1次，是红球的概率为

，是白球的概率为． ………2分 摸球3次就停止，说明前3次分别都摸到了红球，

则

． …………………5分 {|1x x <-4}x >4π32

15

ABC sin 3

A =1

cos 3

A =

2

2222cos 2tan sin sin 222

sin 2

A

B C A A A ++=+1cos 17

(1cos )1cos 23

A A A +=

+-=-ABC S ?=11sin 223

ABC S bc A bc ?==?=3bc =2a =1cos 3A =

3

c b

=2222cos a b c bc A =+-42

690b b -+=b =

132

3

311

()327

P ==

（Ⅱ）可能的取值为0，1，2，3．………………6分则

，…………………7分

，………………8分

，…………………9分

．

……………10分∴随机变量的分布列是

的数学期望为

．…………………12分

(19)（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）作A1O⊥AC，垂足为O，……………1分∵平面A1ACC1⊥平面ABC，∴A1O⊥面ABC，……………2分

∴∠A1AO为A1A与面ABC所成的角．……………3分

∵AA1⊥A1C，AA1=A1C，∴∠A1AO=45°为所求．……………4分（Ⅱ）以OB为x轴，OC为y轴，O A1为z轴建立空间直角坐标系，如图，

则，，，．……………5分

设是面A1ACC1的法

向

量，则，，

∵，

，

ξ

05

5

232

(0)()

3243

P C

ξ==?=

14

5

1280

(1)()

33243

P C

ξ==??=

223

5

1280

(2)()()

33243

P C

ξ==??=

33022222

334

1212112117

(3)()()()()()

3333333381 P C C C

ξ==??+???+???=

ξ

ξ

32808017131

0123

2432432438181

Eξ=?+?+?+?=

(0,2,0)

A-(23,0,0)

B(0,2,0)

C

1

(0,0,2)

A

(,,)

n x y z

=

1

n AA

⊥n AB

⊥

1

(0,2,2)

AA=

(23,2,0)

AB=

∴，可取． ……………7分

而面ABC 的法向量为，

∵

，……8分 ∴侧面

A 1AB

B 1与底面AB

C 所成二面角为． ……………9分 （Ⅲ）∵，∴在平面A

1ACC 1的法向量

上的射影为 ， ……………11分

∴点C 到侧面A 1ABB 1的距离为

． ……………

12分 (20)（本小题满分12分）

解：（I ）由，得，∴

，

． ……………1分

∴，且，

∴． ……………3分 当时，，

∴； ……………4分

当时，，

∴． ……………5分

∴的单调递增区间是（-1，0），单调递减区间是（0，）． ……………6分

（II ）设，

． ……………7分

∵

00

y z y +=??+=(1,3,n =-(0,0,1)m =21

cos ,7

m n m n m n ?=

=

?cos

7

arc 11(0,4,0)AC =11AC (1,3,n =-114217

AC n d n ?=

=-7

ln(1)y x =+1y x e =-1()1x f x e -=-()x ∈R ()ln(1)1x

g x x e =+-+1x >-1

'()1

x g x e x =-+0x >1

11

x e x <<+'()0g x <10x -<<1

11

x e x >>+'()0g x >()g x +∞144

()()ln ()ln(1)ln(1)33

x x x h x x f e f x x e e -=+-=++--0x >

， ……………9分

当时，，∴在上是减函数； ……………10分 当时，，∴在上是增函数． ……………11分

∴，∴

……………12分

(21)（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由， n ＝1，2，3，...， ① 得，n ＝2，3，...， ② (1)

分

将①和②相减得：

，n ＝2，

3，…， ……………2分

整理得：，n ＝2，3，…． ……………3分

（Ⅱ）在已知条件中取n ＝1得，＝，∴＝2． ……………4分 ∵，∴，

∴令得，n ＝2，3，…． ……………5分

∴，n ＝1，2，3，…，

∵，∴，n ＝1，2，3，…，

∴，． ……………7分

（Ⅲ）∵，

∴， ，． ……………8分

∴

242(1)(2)

'()31131

x x x x x x x e e e e h x e e e +-=+-=?+--0ln 2x <<'()0h x <()h x (0,ln 2)ln 2x >'()0h x >()h x (ln 2,)+∞min 4

()(ln 2)ln 2ln 3ln 3

h x h ==+=ln a <31

2(1)22n n n S a =+

?--1

11312(1)22

n n n S a ---=+?--11113

2()[(1)(1))2

n n n n n n n a S S a a ----=-=-+?----1

123(1)n n n a a --=+?-1a 1131

222

S a =-

-1a 1123(1)n n n a a --=+?-1

1(1)2(1)3n n n n a a ---=---(1)n

n n b a =-123n n b b -=--112(1)n n b b ++=-+1110b +=-≠1

1(1)(2)n n b -+=-?-112(1)n n n a --=+-*

n ∈N 31(1)12(1)2222

n n n

n n S a -+=+?--=-21212k k S --=2221k k S =-*

k ∈N 21

24212

211

1111

11

1

()()28

2

2121

21

n n n S S S -+++

=+++

++++

---

． ……………10分 同

理

，∴

，

． ……………12分

(22)（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设，M 到，的距离分别为，，则． (2)

分

， ∴，即圆心M 的轨迹方程M

：． ……………4分 （Ⅱ）设，，由， 得． ① ∴AB 的中点为， ……………6分 ∴

AB

的中垂线为，即

， ……………7分 由得 ② ……………8分 ∵存在N 使得成立的条件是：①有相异二解，并且②有

解． ……………9分

∵①有相异二解的条件为， 11111111(1)(1)244344n n --<+++++++10110

(1)949

n =-<12

21

11

1109

n S S S -+++

<

12

111109

n S S S +++

<*n ∈N (,)M x y 1L 2L 1d 2d 2222

1248d d +=+48=2

2

80x y -=2

2

80x y -=11(,)A x y 22(,)B x y 22

10

80

y kx x y =+??

-=?2

2

(1)201800k x kx ---=22

1010

(,)11k k k

--22

10110()11k

y x k k k

-=----2

120

1y x k k =-+

-22

21201y x

y x k k ?=-??=-+?-?

2

2

40201k y ky k -+=-NA NB =222

10

(20)4(1)(180)0

k k k ?-≠?---?->?

∴ 且． ③ ……………10分

②有解的条件是

，④ ……………11分

根据导数知识易得时，， 因此，由③④可得N 点存在的条件是：或． ……………12分

22

1

94

k k ?≠?

?<

??3322k ?-<<1k ≠±22404401k k k =-?

≥-3

2

(40)01

k k k k ?-+≥-33

22

k -

<<3400k k -+>10k -<≤3

12

k <<