高中数列知识点总结归纳
一、等差数列
1、等差数列定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示。用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥。
2、等差数列的通项公式:1(1)n a a n d =+-;
说明:等差数列(通常可称为A P 数列)的单调性:d 0>为递增数列,
0d =为常数列,0d < 为递减数列。 3、等差中项的概念:
定义:如果a ,A ,b 成等差数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项。其中2a b A += a ,A ,b 成等差数列?2
a b A +=。
4、等差数列的前n 和的求和公式:11()(1)
22
n n n a a n n S na d +-==+。
5、等差数列的性质:
(1)在等差数列{}n a 中,从第2项起,每一项是它相邻二项的等差中项; (2)在等差数列{}n a 中,相隔等距离的项组成的数列是AP ,
如:1a ,3a ,5a ,7a ,……;3a ,8a ,13a ,18a ,……;
(3)在等差数列{}n a 中,对任意m ,n N +∈,()n m a a n m d =+-,
n m
a a d n m
-=
-()m n ≠; (4)在等差数列{}n a 中,若m ,n ,p ,q N +∈且m n p q +=+,则m n p q a a a a +=+;
说明:设数列{}n a 是等差数列,且公差为d ,
(Ⅰ)若项数为偶数,设共有2n 项,则①S 奇-S 偶nd =; ②
1
n n S a
S a +=奇偶; (Ⅱ)若项数为奇数,设共有21n -项,则①S 偶-S 奇n a a ==中;②1S n
S n =-奇偶。
6、数列最值
(1)10a >,0d <时,n S 有最大值;10a <,0d >时,n S 有最小值;
(2)n S 最值的求法:①若已知n S ,可用二次函数最值的求法(n N +∈);②若
已知n a ,则n S 最值时n 的值(n N +∈)可如下确定100n n a a +≥??≤?或1
0n n a a +≤??≥?。
二、等比数列 1.等比数列定义
一般地,如果一个数列从第二项起....,每一项与它的前一项的比等于同一个常.数.
,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母q 表示(0)q ≠,即:1n a +:(0)n a q q =≠数列对于数列(1)(2)(3)都是等
比数列,它们的公比依次是2,5,2
1
-。(注意:“从第二项起”、“常数”q 、等比
数列的公比和项都不为零)
2.等比数列通项公式为:)0(111≠??=-q a q a a n n 。
说明:(1)由等比数列的通项公式可以知道:当公比1d =时该数列既是等比数
列也是等差数列;(2)等比数列的通项公式知:若{}n a 为等比数列,则m n m n
a
q a -=。
3.等比中项
如果在b a 与中间插入一个数G ,使b G a ,,成等比数列,那么G 叫做b a 与的等比中项(两个符号相同的非零实数,都有两个等比中项)。 4.等比数列前n 项和公式
一般地,设等比数列123,,,,,n a a a a 的前n 项和是=n S 123n a a a a ++++,当
1≠q 时,q q a S n n --=
1)1(1 或11n n a a q
S q
-=-;当q=1时,1na S n =(错位相减法)。 说明:(1)n S n q a ,,,1和n n S q a a ,,,1各已知三个可求第四个;(2)注意求和
公式中是n q ,通项公式中是1-n q 不要混淆;(3)应用求和公式时1≠q ,必要时应讨论1=q 的情况。 5.等比数列的性质
①等比数列任意两项间的关系:如果n a 是等比数列的第n 项,m a 是等差数列的第m 项,且n m ≤,公比为q ,则有m n m n q a a -=;
②对于等比数列{}n a ,若v u m n +=+,则v u m n a a a a ?=?,也就是:
=?=?=?--23121n n n
a a a a a a ,如图所示:
n
n a a n a a n n a a a a a a ??---11
2,,,,,,12321。 ③若数列{}n a 是等比数列,n S 是其前n 项的和,*N k ∈,那么k S ,k k S S -2,k
k S S 23-成等比数列。
如下图所示:
k
k
k k
k S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k
31221S 321-+-+++++++++++ 三 、数列前n 项和 1.数列求通项与和
(1)数列前n 项和S n 与通项a n 的关系式:a n =???--1
1s s s n n 12
=≥n n 。
(2)求通项常用方法
①作新数列法。作等差数列与等比数列;
②累差叠加法。最基本的形式是:a n =(a n -a n -1)+(a n -1+a n -2)+…+(a 2-a 1)+a 1; ③归纳、猜想法。 (3)数列前n 项和
①重要公式:1+2+…+n=2
1
n(n+1);
12+22+…+n 2=6
1
n(n+1)(2n+1);
13
+23
+…+n 3
=(1+2+…+n)2
=
4
1n 2(n+1)2
; ②等差数列中,S m+n =S m +S n +mnd ; ③等比数列中,S m+n =S n +q n S m =S m +q m S n ; ④裂项求和
将数列的通项分成两个式子的代数和,即a n =f(n+1)-f(n),然后累加抵消掉中间的许多项,这种先裂后消的求和法叫裂项求和法。用裂项法求和,需要掌握一
些常见的裂项,如:
)11(1))((1C An B An B C C An B An a n +-+-=++=、)1(1+n n =
n
1
-
1
1+n 、n ·n !=(n+1)!-n!、C n -1r -1=C n r -C n -1r 、)!1(+n n =!1
n -)!1(1+n 等。
⑤错项相消法
对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n 项和,常用错项相消法。n n n c b a ?=, 其中{}n b 是等差数列, {}n c 是等比数列,记
n n n n n c b c b c b c b S ++?++=--112211,则1211n n n n n qS b c b c b c -+=+??++,…
⑥并项求和
把数列的某些项放在一起先求和,然后再求S n 。
数列求通项及和的方法多种多样,要视具体情形选用合适方法。 ⑦通项分解法:n n n c b a ±=
2.递归数列
数列的连续若干项满足的等量关系a n+k =f(a n+k -1,a n+k -2,…,a n )称为数列的递归关系。由递归关系及k 个初始值可以确定的一个数列叫做递归数列。如由a n+1=2a n +1,及a 1=1,确定的数列}12{-n 即为递归数列。
递归数列的通项的求法一般说来有以下几种:
(1)归纳、猜想、数学归纳法证明。 (2)迭代法。
(3)代换法。包括代数代换,对数代数,三角代数。
(4)作新数列法。最常见的是作成等差数列或等比数列来解决问题。
一、高中数列基本公式:
1、一般数列的通项a n与前n项和S n的关系:a n=
2、等差数列的通项公式:a n=a1+(n-1)d a n=a k+(n-k)d (其中a1为首项、
a k为已知的第k项) 当d≠0时,a n是关于n的一次式;当d=0时,a n是一个常数。
3、等差数列的前n项和公式:
S n= S n= S n=
当d≠0时,S n是关于n的二次式且常数项为0;当d=0时(a1≠0),S n=na1是关于n的正比例式。
4、等比数列的通项公式: a n= a1 q n-1a n= a k q n-k
(其中a1为首项、a k为已知的第k项,a n≠0)
5、等比数列的前n项和公式:当q=1时,S n=n a1 (是关于n的正比例式);当q≠1时,
S n=
三、高中数学中有关等差、等比数列的结论
1、等差数列{a n}的任意连续m项的和构成的数列S m、S2m-S m、S3m-S2m、S4m- S3m、……仍为等差数列。
2、等差数列{a n}中,若m+n=p+q,则
3、等比数列{a n}中,若m+n=p+q,
则
4、等比数列{a n}的任意连续m项的和构成的数列S m、S2m-S m、S3m-S2m、S4m- S3m、……仍为等比数列。
5、两个等差数列{a n}与{b n}的和差的数列{a n+b n}、{a n-b n}仍为等差数列。
6、两个等比数列{a n}与{b n}的积、商、倒数组成的数列{a n b n}、、仍为等比数列。
7、等差数列{a n}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。
8、等比数列{a n}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。
9、三个数成等差数列的设法:a-d,a,a+d;四个数成等差的设法:a-3d,a-d,,a+d,a+3d
10、三个数成等比数列的设法:a/q,a,aq;四个数成等比的错误设法:a/q3,a/q,aq,aq3 (为什么?)
11、{a n}为等差数列,则(c>0)是等比数列。
12、{b n}(b n>0)是等比数列,则{log c b n} (c>0且c1) 是等差数列。
13. 在等差数列中:
(1)若项数为,
则
(2)若数为则,
,14. 在等比数列中:
(1)若项数为,则
(2)若数为则,