天津大学最优化方法复习题2020

《最优化方法》复习题

第一章 引论

一、 判断与填空题

1

)].([arg )(arg min max x f x f n n R x R x -=∈∈ √ 2

{}{}.:)(min :)(max n n R D x x f R D x x f ⊆∈-=⊆∈ ⨯

3 设.:R R D f n →⊆ 若n R x ∈*，对于一切n R x ∈恒有)()(x f x f ≤*，则称*x 为最优化问题

)(min x f D x ∈的全局最优解. ⨯

4 设.:R R D f n →⊆ 若D x ∈*，存在*x 的某邻域)(*x N ε，使得对一切)(*∈x N x ε恒有)()(x f x f <*，则称*x 为最优化问题)(min x f D

x ∈的严格局部最

优解. ⨯

5 给定一个最优化问题，那么它的最优值是一个定值. √

6 非空集合n

R D ⊆为凸集当且仅当D 中任意两点连线段上任一点属于D . √ 7 非空集合n R D ⊆为凸集当且仅当D 中任意有限个点的凸组合仍属于D . √

8 任意两个凸集的并集为凸集. ⨯

9 函数R R D f n →⊆:为凸集D 上的凸函数当且仅当f -为D 上的凹函数. √

10 设R R D f n →⊆:为凸集D 上的可微凸函数，D x ∈*. 则对D x ∈∀，有).()()()(***-∇≤-x x x f x f x f T ⨯

11 若)(x c 是凹函数，则}0)( {≥∈=x c R x D n 是凸集。 √

12 设{}k

x 为由求解)(min x f D x ∈的算法A 产生的迭代序列，假设算法A 为单调下降算

法，则对{}Λ,2,1,0∈∀k ，恒有 )()(1k k x f x f ≤+ .

13 算法迭代时的终止准则（写出三种）：_____________________________________。

14 凸规划的全体极小点组成的集合是凸集。 √

15 函数R R D f n →⊆:在点k x 沿着迭代方向}0{\n k R d ∈进行精确一维线搜索的

步长k λ，则其搜索公式为 .

16 函数R R D f n →⊆:在点k x 沿着迭代方向}0{\n k R d ∈进行精确一维线搜索的

步长k α，则=+∇k

T k k k d d x f )(α 0 .

17 设}0{\n k R d ∈为点n k R D x ⊆∈处关于区域D 的一个下降方向，则对于0>∀α，),0(αα∈∃使得.D d x k k ∈+α ⨯

二、 简述题

1 写出Wolfe-Powell 非精确一维线性搜索的公式。

2 怎样判断一个函数是否为凸函数.

（例如: 判断函数2122

212151022)(x x x x x x x f +-++=是否为凸函数）

三、 证明题

1 证明一个优化问题是否为凸规划.（例如 判断0

..21)(min ≥=++=

x b Ax t s b x c Gx x x f T T （其中G 是正定矩阵）是凸规划.

2 熟练掌握凸规划的性质及其证明.

第二章 线性规划

考虑线性规划问题：

,0,..min )(≥=x b Ax t s x

c LP T

其中，m n m n R b R A R c ∈∈∈⨯,,

为给定的数据，且rank .,n m m A ≤=

一、 判断与选择题

1 (LP)的基解个数是有限的. √

2 若(LP)有最优解，则它一定有基可行解为最优解. √

3 (LP)的最优解集是凸的. √

4 对于标准型的(LP)，设{}k x 由单纯形算法产生，则对{}Λ,2,1,0∈k ，有.1+>k T k T x c x c ×

5 若*x 为(LP)的最优解，*y 为(DP)的可行解，则.**y b x c T T ≥ √

6 设0x 是线性规划(LP)对应的基),,(1m P P B Λ=的基可行解，与基变量m x x ,,1Λ对应的规范式中，若存在0

7 求解线性规划(LP)的初始基可行解的方法：____________________.

8 对于线性规划(LP)，每次迭代都会使目标函数值下降. ×

二、 简述题

1 将以下线性规划问题化为标准型：

.0,0,

2,

1242,

6..32)(max 323213213213

21≥≥≥+-≥++≤+++-=x x x x x x x x x x x t s x x x x f

2 写出以下线性规划的对偶线性规划：

.

0,,

,,

3342,6342..423)(max 4321432143214

321≥≥+++-=++++++=x x x x x x x x x x x x t s x x x x x f 三、 计算题

熟练掌握利用单纯形表求解线性规划问题的方法（包括大M 法及二阶段法）.

见书本：

例2.3.1 (利用单纯形表求解);

例2.3.2 (利用大M 法求解);

例2.3.3 (利用二阶段法求解).

四、 证明题

熟练掌握对偶理论（弱对偶理论、强对偶理论以及互补松弛条件）及利用对偶理论证明相关结论。

第三章 无约束优化方法

一、 判断与选择题

1 设n n R G ⨯∈为正定矩阵，则关于G 共轭的任意1+n 向量必线性相关. √

2 在牛顿法中，每次的迭代方向都是下降方向. ×

3 经典Newton 法在相继两次迭代中的迭代方向是正交的. ×

4 PRP 共轭梯度法与BFGS 算法都属于Broyden 族拟Newton 算法. ×

5 用DFP 算法求解正定二次函数的无约束极小化问题，则算法中产生的迭代方向一定线性无关. √

6 FR 共轭梯度法、PRP 共轭梯度法、DFP 算法、及BFGS 算法均具有二次收敛性. ×

7 共轭梯度法、共轭方向法、DFP 算法以及BFGS 算法都具有二次终止性. √ 8 函数R R f n →:在k x 处的最速下降方向为 . 9 求解)(min x f n

R x ∈的经典Newton 法在k x 处的迭代方向为=k d .

10 若)(x f 在*x 的邻域内具有一阶连续的偏导数且0)(*=∇x f ，则*x 为的局部极小点. × 11 若)(x f 在*x 的某邻域内具有二阶连续的偏导数且*x 为)(x f 的严格局部

极小点，则)(*2

*x f G xx ∇=正定. ×

12 求解)(min x f n

R x ∈的最速下降法在k x 处的迭代方向为=k d .

13 求解)(min x f n

R x ∈的阻尼Newton 法在k x 处的迭代方向为=k d .

14 用牛顿法求解)(2

1min n n n T T R x R G R b x b Gx x n ⨯∈∈∈+，时，至多迭代一次可达其极小点. × 15 牛顿法具有二阶收敛性. √

16 共轭方向法、共轭梯度法具有二次终止性. √

17共轭梯度法的迭代方向为：_____________________.

偏导数都存在并不能保证函数在该点可微。最速下降法Ｇ必须为对称正定矩阵

ＤＦＰ算法