天津大学-研究生-最优化方法复习题.docx

《最优化方法》复习题

第一章概述(包括凸规划)

一、判断与填空题

1ar§ max /(x) = arg min【一/(兀)]・7

xeR n xeR n

2max |/(x): x G D o /?n }= - min {/(x): x e £> o /?n} x

3设f . D j RJ R・若x* G/?\对于一切"R”恒有兀)，贝称X为

最优化问题min /W的全局最优解.x

xeD

4设f : D匸RJ R.若x* G D,存在F的某邻域N3 ,使得对一切

xwNg恒有/(x*)< /(X),则称T为最优化问题min/E的严格局部最xeD

优解.X

5给定一个最优化问题，那么它的最优值是一个定值.V

6非空集合D o /?"为凸集当且仅当D中任意两点连线段上任一点属于D. V

7非空集合D c /?"为凸集当且仅当D中任意有限个点的凸组合仍属于D. V 8任意两个凸集的并集为凸集.x

9 函数f : D匚R n T /?为凸集D上的凸函数当且仅当—/为D上的凹函数.V

10设f : D u R” T R为凸集D上的可微凸函数，Z eD .则対Vx G D ,有/⑴-/(%*)< v/*U*)r (x - * )• x

11若c(x)是凹函数，则D = {xeR n\ c(x) > 0}是凸集。V

12设{/}为由求解min/U)的算法A产生的迭代序列，假设算法A为下降算法，xeD 则对\/k e {0,1, 2, •••},恒有_______ (林) ________________________ .

13算法迭代时的终止准则(写击三种)： _______________________________________ 0 14凸规划的全体极小点组成的集合是凸集。V

15函数/ : P o R n T/?在点/沿着迭代方向d" \{()}进行精确一维线搜索的步长则其搜索公式为______________________________________________ .

16函数f・.D匸R” T/?在点十•沿着迭代方向d* wR" \{0}进行精确一维线搜索的步长匕，则Vf(x k ^a k d k Yd k = _________ 0 _____________ .

17设d k eR n\{0}为点x k eD^R n处关于区域D的一个下降方向，则对于

Va >0, 3CTG(0,a)使得x' +ad k eD. x

二、简述题

1写出Wolfc-Powcll非粘确一维线性搜索的公式。

2怎样判断一个函数是否为凸函数.

(例如:判断函数/(%) =时+ 2x1 x2 + 2分-10坷+ 5兀2是否为凸函数)

三、证明题

1证明一个优化问题是否为凸规划.(例如

min/(x) = —x I Gx + c1x-\-h

2

判断M Ax = b(其中G是正定矩阵)是凸规划.

x>0

2熟练掌握凸规划的性质及具证明.

第二章线性规划

考虑线性规划问题:

(LP)min c l x

s.t. Ax = b, x > 0,

其中,ceR\ AwR"： b G R m为给定的数据,>rankA = m, m

一、判断与选择题

1 (LP)的基解个数是有限的.V

2若(LP)有最优解，则它一定有基可行解为最优解.V

3(LP)的解集是凸的.V

4对于标准型的(LP),设{*'}由单纯形算法产生，则对Rw{0,l,2,・・・},有cW >c“. X

5若/为(LP)的最优解，)「为(DP)的可行解，则c T x>b T y\ V

6设是线性规划(LP)对应的基B = …几)的基可行解，与基变量州，…竝对应的规范式屮，若存在qvO,则线性规划(LP)没有最优解。X

7求解线性规划(LP)的初始基可行解的方法：_______________________ .

8对于线性规划(LP),每次迭代都会使冃标函数值下降.X

二、简述题

1将以下线性规划问题化为标准型:

max /(x)=兀］一2X2 + 3x3 s.t. X］+ 兀2 +兀3 - 6,

%! + 2兀2 + 4兀3 ' 12,

- x2 + x3 > 2,

x2 > 0, x3 > 0.

2写出以下线性规划的对偶线性规划: max /(x) = 3x)+ lx2 +x3 + 4x4

s.t. 2x l + 4X2 + 3 兀3 + 兀4 = 6,

一2x{ + 4兀2 + 3X3+X4 > 3,

兀］,£，兀3，X4 - 0・

三、计算题

熟练掌握利用单纯形表求解线性规划问题的方法（包括大M法及二阶段法）. 见书本:

例 2.5.1

例261例 2.6.2（利用单纯形表求解）；（利用大M法求解）；（利用二阶段法求解）.

四、证明题

熟练掌握对偶理论（弱对偶理论、强对偶理论以及互补松弛条件）及利用对偶理论证明相关结论。

-、判断与选择题

1设G G R flXfl为正定矩阵，贝IJ关于G共轨的任意” + 1向量必线性相关.J 2在牛顿法屮，每次的迭代方向都是下降方向.X

3经典Newton法在相继两次迭代中的迭代方向是正交的.X

4PRP共轨梯度法与BFGS算法都属于Broyden族拟Newton算法.X

5用DFP算法求解正定二次函数的无约束极小化问题，则算法中产生的迭代方向一定线性无关.V

6 FR共辘梯度法、PRP共轨梯度法、DFP算法、及BFGS算法均具有二次收

敛性.X