晶粒尺寸分布与结晶动力学
第四章 凝固与结晶
Vs 令 s V ，则
4 3 s v g ( t ) 3 Ndt 0 3
t
由于在任意时间，每个真实晶核与虚拟晶核的体积相同， 故得:
dnr dvr d r dns dvs d s
令在时间dt内单位体积中形成得晶核数dP，
于是：dnr=VudP
dns=VdP 如果是均匀形核，dP不会随形核地点而有变化，此时可 得： dn V V Vr u r 1 r dns V V 合并二式，得 解为
2. 晶体长大方式和生长速率
a. 连续长大（Continous growth)
连续长大的平均生长速率由下式决定：
vg 1TK
b. 二维形核((Two-dimensional nucleation)
二维形核的平均生长速率由下式决定：
b vg 2 exp( ) TK
二维形核的生长方式由于其形核较大，因此实际上甚少见到。
V：晶体的配位数, η ：晶体表面的配位数，
N AV
的乘积，
Lm ：摩尔熔化潜热，即熔化时断开 1mol 原子的固态键 所需要的能量，
设NT=NA(每摩尔原子数)，是内能变化。
2 Lm Lm U 0.5 N T (1 x )x Lm x(1 x ) x(1 x ) RTm N AV V RTm V
界面上空位数(未占据位置分数)为：1-x，
空位数为：NT(1-x)。 形成空位引起内能和组态熵的变化，相应引起表面吉布斯 自由能的变化： Δ GS=Δ H-TΔ S=(Δ U+PΔ V)-TΔ S≈Δ U-TΔ S (1)
形成NT(1-x)个空位所增加的内能为其所断开的固态键数
0.5NT(1-x)η x 和一对原子的键能 2 Lm
材料科学基础-第六章_金属及合金的回复与再结晶
晶界凸出形核机制
在晶界处A 晶粒中的某些亚晶粒能通过 晶界迁移而凸入B 晶粒中，借消耗B 中的 具有亚晶粒组织晶粒间的凸出形核机制 亚晶而生长，从而形成再结晶的核心。
第六章 金属及合金的回复与再结晶－§6.3 再结晶
2.长大
再结晶晶核形成之后，即借界面的移动向周围畸变区域长大。 ①再结晶晶核长大（晶界迁移）的驱动力 无畸变的新晶粒与周围畸变的旧晶粒之间的畸变能差。 ②晶界的迁移方向 晶界总是背离其曲率中心，向着畸变区域推进，直至全部形成无畸变的等 轴晶粒为止，再结晶即告完成。
将后式代入前式并积分，以x0表示开始时性能增量的残留分数，则得：
t dx Q / RT x0 x c0e 0 dt x
或
x0 ln c0 te Q/RT x
回复的速度随温度升高和加热时间的延长而增大。
举例：
采用不同的温度加热冷变形金属使之回复到同样的程度（即残留分数相 同），则所需时间不同。
轴小晶粒，并随时间的延长不断长大，直至伸长的晶粒完全转变为新的等轴 晶粒为止。
3.晶粒长大阶段
再结晶过程中形成的等轴晶粒逐步相互吞并而长大，直至达到一个稳定的 尺寸。
第六章 金属及合金的回复与再结晶－§6.1 冷变形金属在加热时的组织和性能变化
二、储存能及内应力的变化
1.储存能的变化
冷变形造成的偏离平衡位置 大、能量较高的原子，在加热
冷变形后保留在金属内部的畸变 能，或称储存能。 冷变形金属在不同加热温度时 组织和性能的变化
第六章 金属及合金的回复与再结晶－§6.1 冷变形金属在加热时的组织和性能变化
一、显微组织的变化
1.回复阶段
显微组织几乎没 有发生变化，晶粒 仍保持冷变形后的 伸长状态。
季戊四醇
季戊四醇结晶动力学R. O Meadhra, H.J.M. Kramer, G.M. van Rosmalen荷兰，代尔夫特2628，Leeghwaterstraat 44号，工艺设备实验室摘要本文主要提出了在悬浮结晶中季戊四醇结晶动力学模型的一个基本框架。
而其模型所考虑的那些主要动力学过程是那些结晶过程中的晶体生长，自然减员和二次成核这些问题。
1 简介从晶体尺寸大小分布（CSD ）的有关数量、饱和度和操作条件等方面，我们可以得到很多有关于在结晶动力学过程中晶体生长、自然减员和二次成核相互之间的依赖关系的很多信息。
在本文中我们将选取一些表达式来客观的反映发生一个结晶过程的一些相关物理性质的关系。
这些关系是基于一组从一个22升连续结晶运作条件下的结晶器中季戊四醇的一组实验数据中而获得。
数量平衡法被使用在这框架下，而在这框架下其所得相关关系也被进行测试。
本文主要目的是要表明通过选择一个切合实际的模型以及在悬浮结晶中晶体尺寸大小分布行为的正确决定对于受上述过程影响的季戊四醇是可能的。
2 动力学表达式2.1 晶体生长下面公式是一个可用的生长方程式的简化式，该方程式已经被广泛的应用于各个工程项目中，其表示了一个作为过饱和函数的增长速率：n kin kin k G σσ=)( （1）在这个方程中它的基本假设是，所有结晶体都具有相同的增长速率。
但在现实中，已被发现在饱和度，温度和水动力，同样的材料不同的晶体生长条件下，其生长速率是存在不相同之处的[1]。
这种现象，称为生长速度色散（GRD ），其说明的是稳态条件下在小颗粒粒径范围内结晶体向上弯曲的曲率，以及在稳态结晶操作下，ln(n)与x 的函数关系。
范德海耶德等创造的一个物理模型描述了这种现象，其说明晶体的生长的速率与材料参考数目，晶体的大小以及在晶体中镶嵌蔓延等因素有相对关系[2]。
通过里斯蒂奇等人所测量的一系列数据我们来测试了这个模型[3]，他们证实了，在较小的应变力水平提高的条件下会导致在200μm 范围内所观察到的ln （n ）与x 函数组成的点向上发生弯曲现象。
5-2聚合物的结晶
X
v c
()－最终结晶度
X
v c
X
v c
()
－结晶程度
t －结晶时间 k－结晶速率常数
1
X
v c
X
v c
()
ht h h0 h
Vt V V0 V
n－Avrami指数，与成核机理与生长方式有关。
结晶速度的定量描述
1 X c exp(ktn ) X c ()
定义t1/2为
Xc 1 X c () 2
Cl
CH3
CH2
C n
CH3
H
OC n
H
另外还有聚酯（polyester），尼龙（nylon）， 聚砜（PSF）等。
例4：支化越多，结晶能力下降 HDPE>LDPE（因为支化的分子链不
规整，难以结晶）
交联越多，结晶能力也下降 （因为交联的分子链不规整，难以结晶）
例5： 分子间氢键使结晶能力上升
恒温
聚合物+ 水银
不适于结晶速度较快的聚合物
t时刻结晶程度：
X
v c
X
v c
()
h0 ht h0 h
1
X
v c
X
v c
()
ht h0
h h
1
X
v c
X
v c
()
ht h0
h h
结晶速度：体积收缩一半时的时间的倒数 t1/2-1 ：min-1, s-1
iii DSC法：
吸热
t0 t
t∞
Tm0
H S
平衡熔点很难测，可间接求出。
熔融热△H：分子或链段离开晶格所需吸收的能量，与分 子间作用力的强弱有关。
结晶技术
（1）晶体与搅拌螺旋桨间的碰撞； （2）湍流下晶体与结晶器壁间的碰撞； （3）湍流下晶体与晶体的碰撞； （4）沉降速度不同，晶体与晶体的碰撞。
2、影响接触成核速率的因素
（1）过饱和度的影响
产生的晶粒数N是过饱和度S的函数。
无论哪一类晶体，晶核生成量与晶体生长速率成正比。
（2）碰撞能量E的影响 在很大范围内，产生的晶粒数与碰撞能量成正比。
粒度大且较均匀的晶体所夹带的母液较少，洗涤也 比较容易。
可见产品粒度及粒度分布会影响到晶体产品的纯度。
晶体纯度的影响因素
（3）晶习
晶习是指晶体外形。
影响晶习的因素：
① 溶液性质、杂质和溶剂等。
② 操作条件如温度、搅拌程度、冷却或浓缩方式、 pH的调节速度等是影响过饱和度的因素。
3、成核现象
3、初级非均相成核
在工业规模的结晶过程中，一般不应以初级成 核作为晶核的来源，因为实际操作时难以控制 溶液的过饱和度，使晶核的生成速率恰好适应 结晶过程的需要。
二、二次成核现象
绝大多数工业结晶器中，二次成核已被认为是 晶核的主要来源。
在二次成核中起决定作用的两种机理
（1）液体剪切应力成核 （2）接触成核（碰撞成核） 晶核生成量与搅拌强度有直接关系。
可归纳成三种形式：
（1）初级均相成核：不含外来物体时自发产生晶核。
（2）初级非均相成核：外来物体诱导下产生晶核。
（3）二次成核：溶液中已有溶质晶体存在的条件下形 成晶核的现象。二次成核中又以接触成核占主导。
成核现象
接触成核：新生的晶核是晶浆中已有的晶体颗 粒，在结晶器中与其他固体接触碰撞时产生的 晶体表层的碎粒。
第7章 回复、再结晶-2
再结晶后晶粒的长大
再结晶完成后,得到细小等轴的晶粒，从 热力学角度看，晶粒长大，总的晶界面积减 少，能量降低是一个自发过程。 长大： ¾ 正常长大（连续均匀长大）：参与长大的晶粒 数量多，且分布均匀；所有晶界具有大致相同 的可动性；各晶粒尺寸差异不大，且平均尺寸 连续增大。 ¾ 异常长大（二次再结晶）：少数晶粒优先长 大，吞食周围晶粒而长成粗大晶粒。
式中：m 为比例常数，称为晶界的平均迁移率（即单位驱 动力作用下的晶界平均迁移速度）；r 为晶界的平均曲率 半径，正常长大时r≈D。 m和σ对各种金属在一定温度均可视为常数，则：
近似有： 上式表明：在恒温下，晶粒发生正常长大时，平均直径与 保温时间的平方根成线性关系。 上述关系适用：高纯度金属在高温加热保温时。在一般情 况下，时间的指数小于1/2。
1
一、正常长大 长大方式： 依靠界面移动“大吃小、凹吃 凸”，长大中界面向曲率中心方向移 动，大晶粒吞食了小晶粒，直到晶界平 直化。
2
1、晶粒长大时的晶界迁移方向和驱动力 晶界迁移：晶界在其法线方向上的迁移。 晶界迁移的驱动力：界面能的减少，与曲率有关。（界面
向曲率中心方向移动将引起晶界面积减小，降低界面能。但这 种驱动力与储存能相比是较小的，所以晶粒长大时晶界迁移速 度比再结晶时慢。）
26
3、动态回复组织特点 在伸长的晶粒内部存在许多动态回复亚晶。 动态回复亚晶粒：胞壁位错密度小，胞内位错密度也 小。 当达到稳衡态时，动态回复亚晶有如下特征： 等轴状；胞状亚晶之间的取向差保持不变；胞壁之 间距离（亚晶尺寸）保持不变；胞壁之间的位错密度 保持不变。 注意：热加工过程中的动态回复不能看成是冷加工与 静态回复的叠加。应变与回复同时出现就避免了冷加 工效果的累积，所以，形变金属不能发展成高位错密 度，而且亚晶较细。 动态回复亚晶平均尺寸d与形变温度T和变形速率ε的 关系： d∝T/ε
金属材料晶粒长大过程建模
金属材料晶粒长大过程建模金属材料晶粒长大过程是材料科学中一个重要的研究领域。
通过建立晶粒长大的数学模型，可以更好地理解金属材料的结构演化规律，为材料制备和性能优化提供指导。
晶粒是金属材料中具有规则排列的晶体结构单元。
晶粒长大是指晶粒尺寸增大的过程。
晶粒长大可以通过固相结晶、溶液中沉淀、晶界迁移等方式实现。
在金属材料的热处理过程中，晶粒长大的控制是关键，因为晶粒尺寸对材料的力学性能、热导率和耐腐蚀性能等都有重要影响。
为了准确描述晶粒长大过程，建模是必不可少的工具。
常用的建模方法包括统计模型和物理模型。
统计模型基于统计力学原理，通过假设晶粒间的相互作用是统计独立的，利用概率论和随机过程进行描述。
物理模型则基于材料的微观结构和热力学原理，通过考虑晶体内部的扩散、位移和变形等现象来描述晶粒长大过程。
在统计模型中，晶粒长大通常被建模为一个随机过程。
最常见的统计模型是蒙特卡洛模拟，通过随机生成晶粒生长的路径，直到达到稳定状态。
蒙特卡洛模拟可以有效地描述晶粒的尺寸分布、晶粒生长速率和晶粒边界的运动等。
此外，还有基于排他性模型的等高线模型和随机移动模型等用于建模晶粒长大的方法。
物理模型则更加注重描述晶体内部的微观现象。
通过考虑晶界扩散、沉淀和位错等过程，可以建立起更精确的模型。
例如，凯文-库尔佩模型通过考虑晶界的位错扩散、晶内的位错发射和晶粒边界的几何形变等因素，对晶粒长大进行了较为准确的描述。
此外，基于有限元分析和相场模型等方法也被广泛应用于晶粒长大建模中。
无论是统计模型还是物理模型，建模的过程都需要考虑多种因素，如晶界能、表面张力、扩散速率和温度梯度等。
这些因素对晶粒长大过程的形成和发展起到决定性的作用。
因此，建模过程需要合理选择参数和适当的密度函数来描述这些因素的影响。
金属材料晶粒长大过程的建模具有一定的挑战性。
首先，晶粒长大是一个复杂的动力学过程，需要考虑多个变量的相互作用。
其次，材料的物理性质随温度和成分的变化而变化，需要建立合适的材料参数模型。
影响结晶的因素结晶(建文)
影响结晶的因素主要有以下几点：、浆料的过饱和度，这个主要由温度来控制，温度越低过饱和度越低。
过饱和度越大，则，产生晶核越多，结晶体粒径越小。
、停留进度，进度越长，则产生的结晶体粒径越大。
停留进度与液位有关，液位越高，停留进度越强。
、容器的搅拌强度，搅拌越强，容易破碎晶体，结晶体粒径越小、杂质成分，杂质成分较多，则比较容易形成晶核，结晶体粒径越小。
给一一偏关于结晶理论的文章：结晶及其原理结晶是固体物质以晶体状态从蒸汽、溶液或熔融物中析出的过程。
在化学工业中，常遇到的情况是从溶液及熔融物中使固体物质结晶出来。
结晶是一个重要的化工过程，为数众多的化工产品及中间产品都是以晶体形态出现，如磷肥生产、氮肥生产、纯碱生产、盐类生产、络合物的沉析、有机物生产及胶结材料的固化等。
这是因为结晶过程能从杂质含量相当多的溶液中形成纯净的晶体(形成混晶的情况除外)。
此外，结晶产品的外观优美，且可在较低的温度下进行。
对许多物质来说，结晶往往是大规模生产它们的最好又最经济的方法。
另一方面，对更多的物质来说，结晶往往是小规模制备纯品的最方便的方法。
结晶过程的生产规模可以小至每小时数克，也可以大至每小时数十吨，有效体积达以上的结晶器已不罕见。
近期在国际上溶液结晶的新进展主要表现在三个方面。
()在生物化学的分离过程中广泛采用了溶液结晶技术，如味精、蛋白质的分离与提取等。
()在连续和间歇结晶过程中，广泛地应用了计算机辅助控制与操作手段，对于间歇结晶过程借助实现最佳操作进度表，控制结晶器内过饱和度水平，使结晶的成核与结垢问题减低到最少。
对于连续结晶过程，则藉以连续控制细晶消除，以缓解连续结晶过程固有的非稳定行为——周期振荡问题，稳定结晶主粒度。
()结晶器设计模型的最佳化。
由于结晶过程是一个复杂的传热、传质过程，反应结晶(或称反应沉淀结晶过程)尤甚。
在不同的物理(流体力学等)化学(组分组成等)环境下，结晶过程的控制步骤可能改变，反映出不同的结晶行为，均使结晶过程数学模型复杂化。
8.2溶液结晶基础
13
8.2.2结晶机理和动力学
20℃ 蔗糖的过饱和与浓度因次表达
浓度因次
饱和 过饱和 过饱和 相对过
浓度 浓度 度比 饱和度
c*
c
S
σ
Csolubility = kgsugar / kg H2O
Csolubility = kgsugar / kgsolution
2.04 0.67
2.45 0.71
非均相成核一般在比均相成核低的过饱和度下发生。
17:32
23
8.2.2 结晶机理和动力学
水的成核速率：
例:过冷水的过饱和度与成核计算诱导期的关系
表8-1 水的成核诱导期
过饱和度比(S)
时间
1.0
无限长
2.0
1062年
3.0
103年
4.0
0.1秒
5.0
10－13秒
17:32
24
8.2.2 结晶机理和动力学
17:32
28
二次成核理论2
8.2.2 结晶机理和动力学
二次成核 来源于液 相中溶质
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
杂质浓度梯度成核：杂质增加了晶体附近流体的 局部过饱和度。杂质进入晶体表面，形成了浓 度梯度，提高了成核概率。溶液的搅拌引起杂 质浓度梯度消失，因此降低了成核速率。
流体剪切成核：晶体表面的枝晶生长受到流体的 剪切力作用，断裂成为晶核来源。另一种说 法 ，流体的剪切作用将晶体和溶液之间的边 界层中的吸附分子层扫进溶液，并长成晶粒。
17:32
25
8.2.2 结晶机理和动力学
二次成核(Secondary Nucleation)---即在有晶种诱发、有晶 体存在下的成核过程。
碳含量对再结晶的影响
碳含量对再结晶的影响引言：再结晶是固态金属材料在高温下形成新的晶粒结构的过程。
碳含量是金属材料中一个重要的参数，对于金属材料的性能和结构有着重要的影响。
本文将探讨碳含量对再结晶过程的影响及其机理。
一、碳含量对再结晶晶粒尺寸的影响再结晶晶粒尺寸是衡量再结晶程度的重要指标之一。
碳含量对再结晶晶粒尺寸有着明显的影响。
研究表明，当金属材料中的碳含量增加时，再结晶晶粒尺寸会显著增大。
这是因为碳元素在晶界处的溶解度较高，能够促进晶界迁移，从而导致晶粒的长大。
因此，高碳含量的金属材料更容易形成较大尺寸的再结晶晶粒。
二、碳含量对再结晶行为的影响再结晶行为是指金属材料在高温下发生再结晶的方式和规律。
碳含量对再结晶行为有着重要影响。
一般来说，低碳含量的金属材料在高温下较容易发生再结晶，而高碳含量的金属材料则需要较高的温度才能发生再结晶。
这是因为碳元素的存在会使金属材料的晶界能量增加，从而提高了再结晶的活化能。
因此，碳含量较高的金属材料需要更高的温度才能克服晶界能量的影响，使再结晶发生。
三、碳含量对再结晶过程的动力学行为的影响再结晶过程的动力学行为是指再结晶过程的速率和机制。
碳含量对再结晶过程的动力学行为也具有重要影响。
研究发现，低碳含量的金属材料在高温下发生再结晶的速率较快，而高碳含量的金属材料则需要更长的时间才能完成再结晶过程。
这是因为碳元素能够促进晶界迁移，从而加快了再结晶的速率。
另外，碳元素还能够在金属材料的晶界处形成碳化物，从而限制晶界迁移，降低了再结晶的速率。
四、碳含量对再结晶晶粒形貌的影响再结晶晶粒形貌是指再结晶晶粒的形状和分布特征。
碳含量对再结晶晶粒形貌也有一定的影响。
研究表明，低碳含量的金属材料在高温下形成的再结晶晶粒形状较规则，分布较均匀。
而高碳含量的金属材料则容易形成形状不规则、分布不均匀的再结晶晶粒。
这是因为碳元素的存在会导致再结晶晶粒的生长方向偏离原晶粒的晶向，从而使再结晶晶粒形貌不规则。
结论：碳含量是影响金属材料再结晶的重要因素之一。
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f(zN ) 1 zNzN 2/2zN 3/6
M (L ) 10 1z 0 z f2 (z /N 2 )z3/6ex (p zz (N ))
若LN足够小，zN→0，f(zN)→1 则M(L)可以继续用原来的式子计算，
M (L ) 1(1 0 z0 z2/2 z3/6 )ex z)p(
但此时的z已经不同：
L1LN3L i1 L2 L03L i1
L0 LN Li1
12
L0 LN Li1
12
1M '(L1)/2.4 20
(1 1 )M 2'( .4 L 2 2) 00 .74 1•4 z1 3ex z1 p ) (
4.形核和生长的动力学估算
L (L ,t) L 1 L 2 L (L ,t) L
mcLc N3
• zN3 6f (zN)
m NN NcL3N mN mc 6fz(N 3zN)
mN kNn
L kG g 3 c
m Ns kNmccnm NkN(3kGc)n/ NhomakorabeaL n/g
m NskNmcc(3kGc)n/gL n/g
n/g是两边取对数，获得的一次函数 的斜率。
n/g和c可由双线性相关求得；通过 更细致的分析，发现二次成核的指 数的精确度并不理想。更可靠的方 法是基于模型的概念选择这些值： 原生成核形核和二次形核的表面层 系统中c=0，结晶器和结晶搅拌作 用时c=1，晶体之间交互作用时c=2。
L 3Li1
2.最小晶体尺寸
LminL/50? Lmin0.1mm ?
引入一个影响物料平衡的最小尺寸LN：
LLNLt
n( L n0 N e ) xp-L (N -)()L L /i1()
m ccL N n (L )L 3 d 6 Lc n 0 (L i1 )4 •f(z N )
zN
LN Li1
Randolph and Sikdar(1976)计算出晶体数目密度动态平衡公式：
n(L n)nB(L)
对于停 留时间较
t L
z2 0 [Li ≤ LN]
z2
Li LN L2i1
[Li ≥ LN]
M ( L ) 1 M ( z 1 ) ( 1 1 ) M ( z 2 )
图7 混合产品晶体尺寸的微分分布
由常数LN，L0，L*i1和ω1来描述而与平均尺寸关 系不大，这些常数的值可以由下面的方法求得：
1.对于大颗粒晶体占优势的产品，可
以通过相应曲线图估计。
2.如果有相当多的Li-M(Li)数据可用
（至少十组），那么可以使用评估用
的推导曲线。
M '( L ) [ 3M .计( L ) 算 M 机( L 尝 L 试) 错M ( 误L 法2 L 。) M 2 ( L ) 2 M ( L L ) ] • ( L / L i 1 ) 1
2 t
t
晶体生长速率可以通过时间差delta-t的积累分布计算求得
m c861cnN 0(LLN)4f(zN)nN 0 861c(LmLcN)4f(zN)
N N n N 0L 8 61 c(L m c L L N )4f(zN )9 2
m c c(L L N )3f(zN )
图8 一段时间内的晶体生长速率的瞬时积累分布计算
其中：
zL/Li1 ti1
则筛上物分数为：
M (L ) 1m 0 c(L 0 ) 1( 0 1 z 0 z2/2 z3/6 )ex z )p( m c
图1 晶体尺寸的累积分布
图2 晶体尺寸分布的微分分布
M'(L)10z03ex pz)( 6
M 'L(L)2M L2(L)0 z3
M(L)64.7
z
L
LN Li1
图4 粒度组成的线性化（z-L坐标）
最小二乘法和间隔减半法的
结合可以很好的用于晶体尺寸分
布的计算机数值分析，间隔减半 法由一系列的zi值可以得到一系 列的LN和Lii，那么Lt的值可以用 最小二乘法来确定。
Lt LNztL ii
1
LN Z • j LNj
Z Zj
j
ZjN(1jzj zji/ zj2 i)
i
i
zj zji/Nj
i
L N jN j[L jzj( zjL iji/ zj2 i)] Lj Lji/Nj
i
i
i
j表示第j条直线，i表示第i组数据
表1 晶体尺寸分布的线性化
(L ii)j ( zjL iji L N zj) i/ zj2 i
i
i
i
3.多峰分布
a) unintentional fines dissolution 自动精细溶解， b) separate fine removal 独立精细分离， c) deviations from the McCabe Δ-L law 由McCabe Δ-L法则推导， d) unintentional internal classification 自动内部分类 ， e) removal of classified product 分类产品的分离， f) crystal splitting 晶体分裂
晶粒尺寸分布与结晶动力学
➢ 1.分布函数的推导 ➢ 2.最小晶体尺寸 ➢ 3.多峰分布 ➢ 4.形核和生长的动力学估算 ➢ 5.系统动力学常数 ➢ 6.分批结晶器 ➢ 7.结晶器中的过饱和度
1.分布函数的推导
mcc 0L3n(L)dL
n(L)n0exp(L Li1)
则单位体积的悬浮液，整体的晶粒的质量为：
m cc0 L 3 n (L )d L 6cn 0 (L i1 )4
而单位体积的悬浮液，尺寸超过一定尺寸L的晶粒的质量为：
m c ( L ) c L L 3 n ( L ) d 6 L c n 0 ( L i 1 ) 4 • ( 6 6 z 3 z 2 z 3 ) e z
图5 z-L坐标MSMPR理想结晶器的偏差 和图4曲线用同样的方法作出
M (z 1 ) 1( 1 0 z 1 0 z 1 2 /2 z 1 3 /6 )ex z 1 )p
z1 0 [Li≤ L0]
z1
Li L0 L1i1
[Li≥ L0]
图6 混合产品晶体尺寸积累分布的z-L坐标图
M (z 2 ) 1( 1 0 z 2 0 z 2 2 /2 z 2 3 /6 )ex z 2 )p