一元二次方程习题答案

（2016?临朐县一模）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．

（1）求m的取值范围；

（2）当时，求的值．

【考点】根的判别式．

【分析】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：

①二次项系数不为零；

②在有两个不相等的实数根下必须满足△=b2﹣4ac＞0；

③二次根式的被开方数是非负数．

另外，对第（2）依据：=，小题利用转换解出所求的值，要注意验证所求结果是否符合题意．

【解答】解：（1）根据题意列出方程组

解之得0≤m＜1且m≠．

（2）∵

∴==11﹣2=9

∴=±3

又由（1）得m＜1且m≠

所以＜0

因此应舍去3

所以=﹣3

【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．注意：验证所求结果是否符合题意必不可少．（2016秋?阿荣旗期末）如图所示，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为19m），另外三边利用学校现有总长38m的铁栏围成．

（1）若围成的面积为180m2，试求出自行车车棚的长和宽；

（2）能围成的面积为200m2自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．

【考点】一元二次方程的应用．

【专题】几何图形问题．

【分析】（1）利用长方形的周长表示出各边长，即可表示出矩形面积，求出即可；（2）利用长方形的面积列方程，利用根的判别式解答即可．

【解答】解：（1）设AB=x，则BC=38﹣2x；

根据题意列方程的，

x（38﹣2x）=180，

解得x

1=10，x

2

=9；

当x=10，38﹣2x=18（米），

当x=9，38﹣2x=20（米），而墙长19m，不合题意舍去，

答：若围成的面积为180m2，自行车车棚的长和宽分别为10米，18米；

（2）根据题意列方程的，

x（38﹣2x）=200，

整理得出：x2﹣19x+100=0；

△=b2﹣4ac=361﹣400=﹣39＜0，

故此方程没有实数根，

答：因此如果墙长19m，满足条件的花园面积不能达到200m2．

【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，首先要注意读懂题意，正确理解题意，然后才能利用题目的数量关系列出方程．

农场要建一个长方形的猪场，如图，有一段5米长的围墙可利用，其余部分用60米长的木栏围成．若养猪场的面积为200平方米，求养猪场的各边长．

【考点】一元二次方程的应用．

【专题】几何图形问题．

【分析】如图，设BC=x，则AB=．根据矩形的面积公式得到x×=200，然后利用公式法解该一元二次方程．

【解答】解：如图，设BC=x，则AB=，

依题意得x×=200，

整理得2x2﹣65x+400=0，

解得x=，或x=．

则=，或=．

答：该养猪场的长为米，宽为米．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用．此题利用养猪场的周长为定值表示出其长、宽，然后利用矩形的面积公式列出方程来解答问题．

（2014秋?平川区校级期中）试证明关于x的方程（a2﹣8a+20）x2+2ax+1=0无论a取何值，该方程都是一元二次方程．

【考点】一元二次方程的定义．

【专题】证明题．

【分析】根据一元二次方程的定义，只需证明此方程的二次项系数a2﹣8a+20不等于0即可．

【解答】证明：∵a2﹣8a+20=（a﹣4）2+4≥4，

∴无论a取何值，a2﹣8a+20≥4，即无论a取何值，原方程的二次项系数都不会等于0，

∴关于x的方程（a2﹣8a+20）x2+2ax+1=0，无论a取何值，该方程都是一元二次方程．

【点评】一元二次方程有四个特点：（1）只含有一个未知数；（2）含未知数的项的最高次数是2；（3）是整式方程；（4）将方程化为一般形式ax2+bx+c=0时，应满足a≠0．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程．一元二次方程有四个特点：（1）只含有一个未知数；（2）含未知数的项的最高次数是2；（3）是整式方程；（4）将方程化为一般形式ax2+bx+c=0时，应满足a≠0．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程．

一元二次方程有四个特点：（1）只含有一个未知数；（2）含未知数的项的最高次数是2；（3）是整式方程；（4）将方程化为一般形式ax2+bx+c=0时，应满足a≠0．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程．

2016秋?桑植县期中）如图已知直线AC的函数解析式为y=x+8，点P从点A开始沿AO方向以1个单位/秒的速度运动，点Q从O点开始沿OC方向以2个单位/秒的速度运动．如果P、Q两点分别从点A、点O同时出发，经过多少秒后能使△POQ的面积为8个平方单位？

【考点】一元二次方程的应用．

【分析】根据直线AC的解析式可得出点A、C的坐标，设运动时间为t，则PO=|t ﹣6|，OQ=2t，根据三角形的面积即可得出关于t的一元二次方程，解方程即可得出结论．

【解答】解：∵直线AC的函数解析式为y=x+8，

∴点C（0，8），点A（﹣6，0）．

设运动时间为t，则PO=|t﹣6|，OQ=2t，

根据题意，得：2t×|t﹣6|=16，

解得：t

1=2，t

2

=4，t

3

=3﹣（舍去），t

4

=3+．

∴经过2秒、4秒或3+秒后能使△POQ的面积为8个平方单位

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据三角形的面积找出关于t的一元二次方程是解题的关键．

（2014?江西模拟）等腰△ABC 的直角边AB=BC=10cm ，点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P 沿射线AB 运动，Q 沿边BC 的延长线运动，PQ 与直线AC 相交于点D ．设P 点运动时间为t ，△PCQ 的面积为S ．

（1）求出S 关于t 的函数关系式；

（2）当点P 运动几秒时，S △PCQ =S △ABC ？

（3）作PE ⊥AC 于点E ，当点P 、Q 运动时，线段DE 的长度是否改变？证明你的结论．

【考点】一元二次方程的应用；全等三角形的应用．

【专题】几何动点问题；压轴题．

【分析】由题可以看出P 沿AB 向右运动，Q 沿BC 向上运动，且速度都为1cm/s ，S=QC ×PB ，所以求出QC 、PB 与t 的关系式就可得出S 与t 的关系，另外应注意P 点的运动轨迹，它不仅在B 点左侧运动，达到一定时间后会运动到右侧，所以一些问题可能会有两种可能出现的情况，这时我们应分条回答．

【解答】解：（1）当t ＜10秒时，P 在线段AB 上，此时CQ=t ，PB=10﹣t ∴

当t ＞10秒时，P 在线段AB 得延长线上，此时CQ=t ，PB=t ﹣10