小学工程问题归纳及经典练习题
解工程问题得方法
工程问题就是研究工作量、工作效率与工作时间三者之间关系得问题。这三者之间得关系就是:
工作效率×工作时间=工作量
工作量÷工作时间=工作效率
工作量÷工作效率=工作时间
根据上面得数量关系,只要知道三者中得任意两种量,就可求出第三种量。
由于工作量得已知情况不同,工程问题可分为整数工程问题与分数工程问题两类。在整数工程问题中,工作量就是已知得具体数量。解答这类问题时,只要按照上面介绍得数量关系计算就可解题,计算过程中一般不涉及分率。在分数工程问题中,工作量就是未知数量。解这类题时,也要根据上面介绍得数量关系计算,但在计算过程中要涉及到分率。
一、工作总量就是具体数量得工程问题
例1 建筑工地需要1200吨水泥,用甲车队运需要15天,用乙车队运需要10天。两队合运需要多少天？(适于四年级程度)
解:这就是一道整数工程问题,题中给出了总工作量就是具体得数量1200吨,还给出了甲、乙两队完成总工作量得具体时间。先根据“工作量÷工作时间=工作效率”,分别求出甲、乙两队得工作效率。再根据两队工作效率得与及总工作量,利用公式“工作量÷工作效率=工作时间”,求出两队合运需用多少天。
甲车队每天运得吨数:(甲车队工作效率)
1200÷15=80(吨)
乙车队每天运得吨数:(乙车队工作效率)
1200÷10=120(吨)
两个车队一天共运得吨数:
80+120=200(吨)
两个车队合运需用得天数:
1200÷200=6(天)
综合算式:
1200÷(1200÷15+1200÷10)
=1200÷(80+120)
=1200÷200
=6(天)
答略。
*例2 生产350个零件,李师傅14小时可以完成。如果李师傅与她得徒弟小王合作,则10小时可以完成。如果小王单独做这批零件,需多少小时？(适于四年级程度)
解:题中工作总量就是具体得数量,李师傅完成工作总量得时间也就是具体得。
李师傅1小时可完成:
350÷14=25(个)
由“如果李师傅与她得徒弟小王合作,则10小时可以完成”可知,李师傅与徒弟小王每小时完成:
350÷10=35(个)
小王单独工作一小时可完成:
35-25=10(个)
小王单独做这批零件需要:
350÷10=35(小时)
综合算式:
350÷(350÷10-350÷14)
=350÷(35-25
=350÷10
=35(小时)
答略。
*例3 把生产2191打毛巾得任务,分配给甲、乙两组。甲组每小时生产毛巾128打,乙组每小时生产毛巾160打。乙组生产2小时后,甲组也开始生产。两组同时完工时超产1打。乙组生产了多长时间？(适于四年级程度)
解:两组共同生产得总任务就是:
2191-160×2+1=1872(打)
两组共同生产得时间就是:
1872÷(160+128)=6、5(小时)
乙组生产得时间就是:
6、5+2=8、5(小时)
综合算式:
(2191-160×2+1)÷(160+128)+2
=1872÷288+2
=6、5+2
=8、5(小时)
答略。
练习题:
1、筑路队疾患修筑一条长2400米得公路,甲队单独做需要20天完成,乙队单独需要30天完成。如果两队同时开工共同修筑,只需几天就可以完成？
2、甲、乙两个工程队合修一条长42千米得水泥路,甲队每天修0、5千米,比乙队得2倍多0、1千米。
(1)乙队每天修多少千米？
(2)两队合修多少天可以修完？
3、红星服装厂计划生产2800套夏季学生服,已经生产了5天,每天生产80套,剩下得20天完成,平均每天要生产多少套？
4、王师傅加工一种零件,由原来得每个用12分钟降低到每个8分钟,原来每天加工300个,现在每天加工多少个？
5、用两台机器生产108个齿轮。第一台4、5小时能生产18个,第二台1、6小时能生产8个。两台机器一同生产一段时间以后,还剩45个。两台机器一同生产了多少小时？
综合算式:
答略。
二、工作总量不就是具体数量得工程问题
工程问题方法总结
一:基本数量关系:
工效×时间=工作总量
二:基本特点:
设工作总量为“1”,工效=1/时间
三:基本方法:
算术方法、比例方法、方程方法。
四:基本思想:
分做合想、合做分想。
五:类型与方法:
一:分做合想:1、合想,2、假设法,3、巧抓变化(比例),4、假设法。
二:等量代换:方程组得解法→代入法,加减法。
三:按劳分配思路:每人每天工效→每人工作量→按比例分配
四:休息请假:
方法:1、分想:划分工作量。2、假设法:假设不休息。
五:休息与周期:
1.已知条件得顺序:①先工效,再周期,②先周期,再天数。
2.、天数:①近似天数,②准确天数。
3.列表确定工作天数。
六:交替与周期:估算周期,注意顺序！
七:注水与周期:1、顺序,2、池中原来就是否有水,3、注满或溢出。
八:工效变化。
九:比例:1、分比与连比,2、归一思想,3、正反比例得运用,4、假设法思
想(周期)。
十:牛吃草问题:1、新生草量,2、原有草量,3、解决问题。
工程问题 当知道了两者工作效率之比,从比例角度考虑问题,也就就是知道了所需得
时间比。
因此,在下面例题得讲述中,不完全采用通常教科书中“把工作量设为整体
1”得做法,而偏重于“整数化”或“从比例角度出发”,也许会使我们得解题思
路更灵活一些、 nYgfHhW 。
两个人得问题
标题上说得“两个人”,也可以就是两个组、两个队等等得两个集体、
(一)两个人得问题
例1.1 一件工作,由A 做20天完成,B 做15天完成。(1)两队合做5天可以
完成工程得几分之几？(2)两队合做6天,还剩下工程得几分之几？(3)两队合做几天完成？解:(1)12
75)151201(=?+ (2)10
36)151201(1=?+- (3))(7
48760)151201(1天==+÷ 答:(1)两队合做5天可以完成工程得12
7。(2)两队合做6天,还剩下工程得103。(3)两队合做87
4天完成。 【解析】
此题就是工作效率问题。A 用20天完成,总工程就是“1 ”,所以甲队得工
作效率就是201201=÷,乙对得工作效率就是15
1151=÷。 问题(1)要求完成得工程量,用工作效率×工作时间;
问题(2)要求剩余工程量,可先求出已做得工程量,用总工程量“1”减去已
做工程量;
问题(3)要求完成时间,用总工程量“ 1”÷总工效。
例1、2、一工作,甲做9天可以完成,乙做6天可以完成,现在甲、乙做了3
天,余下得工作由乙继续完成,乙需要做几天可以完成全部工作？
解:(1)613)6191(1=?+- (2))(16
161天=÷ 答:乙需要做1天可以完成全部工作。
【解析】
要解决此题,就要清楚此工程得过程,此工程就是甲与乙完成一件工作,先就
是甲与乙一起做,之后转由乙单独完成,求得就是乙单独完成剩下得工作时间。
总工程就是“1 ”,就可以知道:甲得工作效率就是9191=
÷,乙对得工作效率就是6
161=÷。 求乙单独完成剩下得工作时间,还需要知道乙得工作总量,乙得工作总量=1-
甲乙一起3天做得工作量。
甲与乙3天得工作总量:工作效率×工作时间＝工作总量
3)6
191(?+, 剩下:
6
13)6191(1=?+- 乙完成剩下得工作时间:利用工作总量÷工作效率＝工作时间
)(16
161天=÷ 练习一
1、 一项工程,甲队单独做24天完成,乙队单独做16天完成。甲、乙两队合
做,多少天可以完成？(适于六年级程度)解:把这项工程得工作总量瞧作1。甲队单独做24天完成,做1天完成
答略。
2、一项工程,由甲工程队修建需要20天,由乙工程队修建需要30
解:把这项工程得工作总量瞧作1,由甲工程队修建需要20天,知甲工
3、一项工程,甲、乙合做5天可以完成,甲单独做15天可以完成。乙单独做多少天可以完成？(适于六年级程度)
解:把这项工程得工作量瞧作1。甲、乙合做5天可以完成,甲、乙合
需要多长得时间。
=7、5(天)
答:乙单独做7、5天可以完成。
例2、1:一件工作,甲做9天可以完成,乙做6天可以完成。现在甲先做了3天,余下得工作由乙继续完成,乙需要做几天可以完成全部工作？bc6EQKX。
解一:把这件工作瞧作1,甲每天可完成这件工作得九分之一,做3天完成得1/3。
乙每天可完成这件工作得六分之一,(1-1/3)÷1/6=4(天)
答:乙需要做4天可完成全部工作、
解二:9与6得最小公倍数就是18、设全部工作量就是18份、甲每天完成2份,乙每天完成3份、乙完成余下工作所需时间就是3sSa9m8。
(18- 2 × 3)÷ 3= 4(天)、
解三:甲与乙得工作效率之比就是
6∶ 9= 2∶ 3、
甲做了3天,相当于乙做了2天、乙完成余下工作所需时间就是6-2=4(天)、练习二
1、一项工程,甲独做需15天,乙独做需12天,现在甲乙合作若干天后,乙再接着做3天,就完成了全部工程,问甲乙合作了多少天？
2、一项工程,甲队单独做需20天完成,如果甲乙合作12天可以完成,如果乙队单独做,多少天可以完成？
●例3、1 :一件工作,甲、乙两人合作30天可以完成,共同做了6天后,甲离开了,由乙继续做了40天才完成、如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？HBzSbPW。
解:共做了6天后,
原来,甲做 24天,乙做 24天,
现在,甲做0天,乙做40=(24+16)天、
这说明原来甲24天做得工作,可由乙做16天来代替、因此甲得工作效率
如果乙独做,所需时间就是 50天
如果甲独做,所需时间就是 75天
答:甲或乙独做所需时间分别就是75天与50天、
练习三
1、甲乙两人合作生产一批零件,6天可以完成任务,甲先做5天,因有事外出,这
时只完成任务得14
,如果接下来由乙完成,还需要多少天？2、一批零件,先由20人生产了10天完成任务得14
,余下得工程要提前10天完成,还要增加多少人？3、甲乙二人合作一批零件需20天,甲比乙多做了这批零件得1/9,甲单独做需多
少天完成？
4、一项工程,甲乙两队需10天完成,甲乙两队合作了几天,因乙队有事调离,由甲
队又干了8天,又知甲队独做需20天完成,问甲、乙两队合干了多少天？例4、1: 一件工程,甲队单独做10天完成,乙队单独做30天完成、现在两队
合作,其间甲队休息了2天,乙队休息了8天(不存在两队同一天休息)、问开始到完
工共用了多少天时间？MLeMFM7。
解一:甲队单独做8天,乙队单独做2天,共完成工作量
余下得工作量就是两队共同合作得,需要得天数就是
2+8+ 1= 11(天)、
答:从开始到完工共用了11天、
解二:设全部工作量为30份、甲每天完成3份,乙每天完成1份、在甲队单独做
8天,乙队单独做2天之后,还需两队合作 RWX6Uwq 。
(30- 3 × 8- 1× 2)÷(3+1)= 1(天)、
解三:甲队做1天相当于乙队做3天、
在甲队单独做 8天后,还余下(甲队) 10-8= 2(天)工作量、相当于乙队要做
2×3=6(天)、乙队单独做2天后,还余下(乙队)6-2=4(天)工作量、 gqzcIYB 。
4=3+1,
其中3天可由甲队1天完成,因此两队只需再合作1天、
解四:
方法:分休合想(题中说甲乙两队没有在一起休息,我们就假设她们在
一起休息、) 甲队每天工作量为1/10,乙为1/30,因为甲休息了2天,而乙休息了8
天,因为8>2,所以我们假设甲休息两天时,乙也在休息。那么甲开始工作时,乙还
要休息:8-2=6(天)那么这6天内甲独自完成了这项工程得1/10×6=6/10,剩下得
工作量为1-6/10=4/10,而这剩下得4/10为甲乙两人一起合作完成得工程量,所以,
工程量得4/10 需要甲乙合作:(4/10)÷(1/10+1/30)=3天。所以从开始到完工共
需:8+3=11(天) SMn5HAY 。
●例4、2:一项工程,甲队单独做20天完成,乙队单独做30天完成、现在她们
两队一起做,其间甲队休息了3天,乙队休息了若干天、从开始到完成共用了16天、
问乙队休息了多少天？ 解一:如果16天两队都不休息,可以完成得工作量就
是 (1÷20)×16+(1÷30)×16=4/3 p1RR7jh 。
由于两队休息期间未做得工作量就是4/3-1=1/3
乙队休息期间未做得工作量就是
1/3-1/20×3=11/60
乙队休息得天数就是11/60÷(1/30)=11/2
答:乙队休息了5天半、
解二:设全部工作量为60份、甲每天完成3份,乙每天完成2份、
两队休息期间未做得工作量就是
(3+2)×16- 60= 20(份)、
因此乙休息天数就是
(20- 3 × 3)÷ 2= 5、5(天)、
解三:甲队做2天,相当于乙队做3天、
甲队休息3天,相当于乙队休息4、5天、
如果甲队16天都不休息,只余下甲队4天工作量,相当于乙队6天工作量,乙休息天数就是16-6-4、5=5、5(天)、zsFTdrr。
练习四
1、一件工程,甲队单独做10天完成,乙队单独做30天完成、现在两队合作,其间甲队休息了2天,乙队休息了8天(不存在两队同一天休息)、问开始到完工共用了多少天时间？
2、加工一批零件,甲单独做20天完成,乙单独做30天完成,现在两人合作完成,中间甲休息了2、5天,乙休息了若干天(两人没有同事休息一天),这样共用14天完工,问乙休息了多少天？
3、一件工作,甲单独做需要12天完成,乙单独做需要10天完成,现在甲乙合作8天完成任务,已知这段时间甲休息了2天瞧,那么乙休息了多少天？
4、一项工程,甲单独做需要12天完成,乙单独做需要8天完成,现在两人合作,中途休息了2天,乙没有休息,完成这件工程共用了多少天？
例题5一项工程,甲、乙两队合作15天完成,若甲队做5天,乙队做3天,只能
完成工程得7
30
,乙队单独完成全部工程需要几天？
【思路导航】此题已知甲、乙两队得工作效率与就是
1
15
,只要求出甲队货乙队得
工作效率,则问题可解,然而这正就是本题得难点,用“组合法”将甲队独做5天,乙队独做3天,组合成甲、乙两队合作了3天后,甲队独做2天来考虑,就可以求
出甲队2天得工作量
7
30
－
1
15
×3＝
1
30
,从而求出甲队得工作效率。所以
1÷【
1
15
－(
7
30
－
1
15
×3)÷(5－3)】＝20(天)
答:乙队单独完成全部工程需要20天。
练习五
师、徒二人合做一批零件,12天可以完成。师傅先做了3天,因事外出,由徒
弟接着做1天,共完成任务得3
20
。如果这批零件由师傅单独做,多少天可以完成？
某项工程,甲、乙合做1天完成全部工程得
5
24
。如果这项工程由甲队独做2
天,再由乙队独做3天,能完成全部工程得13
24
。甲、乙两队单独完成这项工
程各需多少天？
甲、乙两队合做,20天可完成一项工程。先由甲队独做8天,再由乙队独做
12天,还剩这项工程得
8
15
。甲、乙两队独做各需几天完成？
例题6
一项工程,甲队独做12天可以完成。甲队先做了3天,再由乙队做2天,则能
完成这项工程得1
2
。现在甲、乙两队合做若干天后,再由乙队单独做。做完后发
现两段所用时间相等。求两段一共用了几天？
【思路导航】此题很容易先求乙队得工作效率就是:(1
2
－
1
12
×3)÷2＝
1
8
;再由
条件“做完后发现两段所用时间相等”得题意,可组合成由两个乙队与一个甲队合做需若干天完成,即可求出相等得时间。
（1）乙队每天完成这项工程得
(1
2
－
1
12
×3)÷2＝
1
8
（2）两段时间一共就是
1÷(1
8
×2+
1
12
)×2＝6(天)
答:两段时间一共就是6天。
练习六
一项工程,甲队独做15天完成。若甲队先做5天,乙队再做4天能完成这项工
程得815
。现由甲、乙两队合做若干天后,再由乙队单独做。做完后发现,两段时间相等。这两段时间一共就是几天？一项工程,甲、乙合做8天完成。如果先让甲独做6天,再由乙独做,完成任务
时发现乙比甲多了3天。乙独做这项工程要几天完成？某工作,甲单独做要12天,乙单独做要18天,丙单独做要24天。这件工作先
由甲做了若干天,再由乙接着做;乙做得天数就是甲3倍,再由丙接着做,丙做
得天数就是乙得2倍。终于完成了这一工作。问总共用了多少天？(二)、多人得工程问题
例1、 一件工作,甲、乙两人合作36天完成,乙、丙两人合作45天完成,甲、丙
两人合作要60天完成,问甲一人独做需要多少天完成？ 解:30
12)601451361(=÷++ 90)45
1301(1=-÷(天) 60)60
1301(1=-÷(天) 180)36
1301(1=-÷(天) 答:独做完成,甲需90天,乙需60天,丙需180天。
【解析】
此题有别与以上3题,就是要对工作效率更深刻得理解,寻找数学量之间得
关系。
1、有一项工程,甲队独做需8天,乙队独做需10天,丙队独做需20天,现在由丙
队先独做9天后,再由甲乙合作,问再需多少天可以完成？2、一项工程,甲乙两人合作8天完成,乙丙两人合作9天完成,甲丙两人合作18
天完成,如果丙一人来做,完成这项工程需要多少天？3、一项工程,甲乙两人合作8天完成,乙丙两人合作6天完成,丙丁两人合作12
天完成,那么甲丁两人合作多少天可以完成？4、一项工程,甲乙两人合作6天完成,乙丙两人合作9天完成,甲丙两人合作
15天完成,现在甲乙丙三人合作需多少天？5、生产一批零件,甲乙两人合作12小时完成,乙丙两人合作15小时完成,甲丙两
人合作20小时完成,现在甲乙丙三人合作需多少小时？6、某工程如果由甲乙丙合作18天完成,有乙丙丁队合作15天完成,由甲乙丁队
合作12天完成,有甲丙丁队合作20天完成,由甲队单独做需要多少天完成？
例题2。
一项工作,甲、乙、丙3人合做6小时可以完成。如果甲工作6小时后,乙、
丙合做2小时,可以完成这项工作得2
3
;如果甲、乙合做3小时后,丙做6小时,
也可以完成这项工作得2
3
。如果由甲、丙合做,需几小时完成？
【思路导航】将条件“甲工作6小时后,乙、丙合做2小时,可以完成这项工作得
2
3
”组合成“甲工作4小时,甲、乙、丙合做2小时可以完成这项
工作得2
3
”,则求出甲得工作效率。同理,运用“组合法”再求出丙
得工作效率。
甲每小时完成这项工程得几分之几
(2
3
－
1
6
×2)÷(6－2)＝
1
12
丙每小时完成这项工程得几分之几
(2
3
－
1
6
×3)÷(6－3)＝
1
18
甲、丙合做需完成得时间为:
1÷(
1
12
+
1
18
)＝7
1
5
(小时)
答:甲、丙合做完成需要7
1
5
小时。
练习二
一项工作,甲、乙、丙三人合做,4小时可以完成。如果甲做4小时后,乙、
丙合做2小时,可以完成这项工作得13
18
;如果甲、乙合做2小时后,丙再做4
小时,可以完成这项工作得11
18
。这项工作如果由甲、丙合做需几小时完成？
一项工程,甲、乙合做6天可以完成,乙、丙合做10天可以完成。现在先由甲、乙、丙合做3天后,余下得乙再做6天则可以完成。乙独做这项工程要几天就可以完成？
一项工程,甲、乙两队合做10天完成,乙、丙两队合做8天完成。现在甲、
乙、丙三队合做4天后,余下得工程由乙队独做51
2
天完成。乙队单独做这
项工程需多少天可以完成？
一件工作,甲、乙合做4小时完成,乙、丙合做5小时完成。现在由甲、丙合做2小时后,余下得由乙6小时完成。乙独做这件工作需几小时才能完成？
例题3:
一条公路,甲队独修24天可以完成,乙队独修30天可以完成。先由甲、乙两队合修4天,再由丙队参加一起修7天后全部完成。如果由甲、乙、丙三队同时开工修这条公路,几天可以完成？
【思路导航】将条件“先由甲、乙两队合修4天,再由丙队参加一起修7天后全部完成”组合成“甲、乙两队各修(4+7)＝11天后,再由丙队单独
修了7天才全部完成。”就可以求出丙队得工作效率。
丙队每天修这条公路得
【1－(
1
24
+
1
30
)】×(4+7)＝
1
40
三队合修完成时间为
1÷(
1
24
+
1
30
+
1
40
)＝10(天)答:10天可以完成。
练习三
一件工作,甲单独做12小时完成。现在甲、乙合做4小时后,乙又用6小时才完成。这件工作始终由甲、乙合做几小时可以完成？
一条水渠,甲队独挖120天完成,乙队独挖40天完成。现在两队合挖8天,剩下得由丙队加入一起挖,又用12天挖完。这条水渠由丙队单独挖,多少天可以完成？
一件工作,甲、乙合做6天可以完成,乙、丙合做10天可以完成。如果甲、丙合做3天后,由乙单独做,还要9天才能完成。如果全部工作由3人合做,需几天可以完成？
一项工程,甲、乙两队合做30天完成,甲队单独做24天后,乙队加入,两队又合做了12天。这时甲队调走,乙队又继续做了15天才完成。甲队独做这项工程需要多少天？
综合练习
1、一项工程,甲、乙两人合做,10天完成;乙、丙两人合做,15天完成;甲、丙两人合做,18天完成。甲、乙、丙独做,各需多少天完成？
2、一项工作,甲单独做8小时完成。现在甲、乙合做3小时后,乙又用5小时才完成。这件工作始终由甲、乙合做几小时可以完成。
3、一项工程,甲、乙合做8天可以完成,乙、丙合做10天可以完成。现在先由甲、乙、丙合做2天后,余下得乙再做4天则可以完成。乙独做这项工程要几天就可以完成？
4、一项工作,甲、乙、丙三人合做4小时可以完成。甲工作3小时后,乙、丙合做2小时,可以完成这项工作得;如果甲、乙合做1小时后,丙做4小时,也可以完成这项工作得。如果由甲、丙合做,需几小时完成？