高三数学导数问题及其常规求解方法
导数问题及其常规求解方法
郑州市第十二中学 于华东
导数内容在近几年的高考试题中都命制了一道解答题,它一是考查导数的基本概念、求导公式与法则等基本知识,二是考查导数的几何意义，与平面解析几何相联系，三是突出考查导数的工具性作用,常与函数的单调性、最(极)值等问题一起综合考查. 高考中常将导数内容与传统数学内容中有关不等式和函数的单调性等有机的结合在一起,设计综合试题.下面通过三个问题来阐述导数问题及其常规求解方法,希望对同学们复习备考有所帮助和启示. 例1 已知函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ．
（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）设函数()f x 在区间2133??-- ???，内是减函数，求a 的取值范围．
说明：本小题主要考查导数计算，应用导数研究函数的单调性，考查分类讨论的数学思想. 解：（Ⅰ）∵ 32()1f x x ax x =+++，∴ 2()321f x x ax '=++．
当23a ≤时，0?≤，()0f x '≥，()f x 在R 上单调递增；
当2
3a >时，()0f x '=，由23210x ax ++=
，得两根为1,2x =， 可得()f x
在3a ?--∞ ???，上单调递增，
在33a a ?--- ???
，上单调递减，
在?+∞????
上单调递增． （Ⅱ）根据题意，由（1
）得2313--，且23a >，解得74a ≥
． 所以实数a 的取值范围是7
, 4??+∞????
． 例2设函数1()(,)f x ax a b x b
=+
∈+Z ，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为 3y =．（Ⅰ）求()y f x =的解析式；（Ⅱ）证明：曲线()y f x =的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；（Ⅲ）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线1x =和直线y x =所围
成的三角形面积为定值，并求出此定值．
说明：本小题主要考查导数的简单应用，应用导数研究函数的极值，运用导数的几何意义来解决函数与解析几何的综合问题．
解：（Ⅰ）2
1()()f x a x b '=-+， 于是2123210(2)
a b a b ?+=?+???-=+??，，解得11a b =??=-?，，或948.3a b ?=????=-??， 因a b ∈Z ，，故1()1
f x x x =+-． （Ⅱ）证明：已知函数1y x =，21y x =
都是奇函数． 所以函数1()g x x x =+
也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形． 而1()111
f x x x =-++-． 可知，函数()
g x 的图像按向量(11)
=，a 平移，即得到函数()f x 的图像，故函数()f x 的图像是以点(11)
，为中心的中心对称图形． （Ⅲ）证明：在曲线上任取一点00011x x x ?
?+ ?-??
，． 由0201()1(1)f x x '=--知，过此点的切线方程为2000200111()1(1)x x y x x x x ??-+-=--??--??
． 令1x =，得0011x y x +=-，切线与直线1x =交点为00111x x ??+ ?-??
，． 令y x =得021y x =-，切线与直线y x =交点为00(2121)x x --，．
直线1x =与直线y x =的交点为(11)
，． 从而所围三角形的面积为00000111212112222121
x x x x x +---=-=--． 所以，所围三角形的面积为定值2．
例3 已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值.
（Ⅰ） 求函数)(x f 的解析式；
（Ⅱ）求证：对于区间]1,1[-上任意两个自变量的值21,x x ，都有4)()(21≤-x f x f ； （Ⅲ）若过点)2)(,1(-≠m m A 可作曲线)(x f y =的三条切线，求实数m 的取值范围． 说明：本小题主要考查应用导数研究函数的极值，利用导数为工具解决函数与不等式的有关综合问题,运用导数的几何意义来解决函数与解析几何的综合问题，这高考的热点问题。 解：323)(2-+='bx ax x f ，依题意，0)1()1(=-'='f f ，
即 ?
??=--=-+03230323b a b a ， 解得0,1==b a ． ∴x x x f 3)(3-=．
（Ⅱ）∵x x x f 3)(3-=，∴)1)(1(333)(2-+=-='x x x x f ，
当11<<-x 时，0)(<'x f ，故)(x f 在区间]1,1[-上为减函数，
2)1()(,2)1()(min max -===-=f x f f x f
∵对于区间]1,1[-上任意两个自变量的值21,x x ， 都有)()()()(min max 21x f x f x f x f -≤-
4)2(2)()()()(min max 21=--≤-≤-x f x f x f x f 。
（Ⅲ）)1)(1(333)(2-+=-='x x x x f ，
∵曲线方程为x x y 33-=，∴点),1(m A 不在曲线上．
设切点为),(00y x M ，则点M 的坐标满足03003x x y -=．
因)1(3)(2
00-='x x f ，故切线的斜率为13)1(3003020
---=-x m x x x ， 整理得03322
030=++-m x x ．
∵过点),1(m A 可作曲线的三条切线，
∴关于0x 方程03322030=++-m x x 有三个实根，
设332)(20300++-=m x x x g ，则020066)(x x x g -='，
由0)(0='x g ，得00=x 或10=x ．
∴函数332)(20300++-=m x x x g 的极值点为00=x ，10=x ．
∴关于0x 方程03322030=++-m x x 有三个实根的充要条件是0)0()1( 即0)2)(3(<++m m ，解得23-<<-m ． 故所求的实数a 的取值范围是(3, 2)--． 总的说来，对于这部分知识的复习，要认识到新课程中增加了导数内容,增添了一部分的变量数学,在复习中要明确导数作为一种工具在研究函数的变化率,解决函数的单调性,极值等方面的作用,要全面复习，抓住导数基础知识复习．注意考题的难度逐年增大大，要有意识地与解析几何(特别是切线,最值),函数的单调性,函数的极值,最值,二次函数,方程,不等式,代数式的证明等知识进行交汇,综合训练,特别是精选一些以导数为工具分析和解决一些函数问题,切线问题的典型问题进行训练. 练习：已知a ∈R ，求函数2()e ax f x x =的单调区间. 解：函数f (x )的导数为 22()2e e (2)e .ax ax ax f x x ax x ax '=+=++ （I ）当a =0时，若x <0，则)(x f '<0，若x >0,则)(x f '>0. 所以当a =0时，函数f (x )在区间（－∞，0）上为减函数，在区间（0，+∞）上为增函数. （II ）当,02,02,02>- <>+>x a x ax x a 或解得由时 由.02,022<<-<+x a ax x 解得 所以，当a >0时，函数f (x )在区间（－∞，－a 2）上为增函数，在区间（－a 2，0）上为减函数，在区间（0，+∞）上为增函数； （III ）当a <0时，由2x +ax 2>0，解得0 a 2, 由2x +ax 2<0，解得x <0或x >－a 2. 所以当a <0时，函数f (x )在区间（－∞，0）上为减函数，在区间（0，－a 2）上为增函数，在区间（－a 2，+∞）上为减函数.