一次函数图像与坐标轴围成三角形面积问题
【期末复习】浙教版八年级上册提分专题：一次函数与几何图形面积探究(解析版)
【期末复习】浙教版八年级上册提分专题：一次函数与几何图形面积探究考点一 一次函数图象与坐标轴围成图形的面积 【知识点睛】❖ 求三角形面积时，三角形有边在水平或者竖直边上，常以这条边为底，再由底所对顶点的坐标确定高； 类型一 一条直线与坐标轴围成的三角形面积 解题步骤：①求出直线与x 轴、y 轴的交点坐标，从而得出直线与坐标轴围成的直角三角形的两条直角边长； ②利用三角形面积公式求出三角形的面积 【类题训练】1．已知一次函数图象经过A （﹣4，﹣10）和B （3，4）两点，与x 轴的交于点C ，与y 轴的交于点D ． （1）求该一次函数解析式；（2）点C 坐标为 ，点D 坐标为 ；（3）画出该一次函数图象，并求该直线和坐标轴围成的图形面积．【分析】（1）用待定系数法求直线AB 的解析式； （2）令y ＝0求得点C 的坐标，令x ＝0求得点D 的坐标；（3）利用已知的点A 和点B 画出一次函数的图象，然后利用求得的点C 和点D 求出OC 和OD 的长度，最后求得直线和坐标轴围成的图形面积．【解答】解：（1）设一次函数的解析式为y ＝kx +b （k ≠0），则，解得：，∴一次函数的解析式为y ＝2x ﹣2．（2）当x ＝0时，y ＝﹣2，当y ＝0时，x ＝1， ∴C （1，0），D （0，﹣2）． 故答案为：（1，0），（0，﹣2）．（3）由点A和点B，可以画出一次函数的图象，如下如所示，∵C（1，0），D（0，﹣2），∴OC＝1，OD＝2，∴S△OCD＝＝1，∴一次函数与坐标轴围成的图形的面积为1．2．在平面直角坐标系中，一条直线经过A（﹣1，5），与B（3，﹣3）两点．（1）求这条直线与坐标轴围成的图形的面积．（2）若这条直线与y＝﹣x+1交于点C，求点C的坐标．【分析】（1）根据待定系数法求得直线的解析式，进一步求出直线与x轴和y轴的交点坐标，然后根据三角形面积公式求解；（2）联立方程，解方程即可．【解答】（1）解：设直线解析式为y＝kx+b（k≠0），将A（﹣1，5），与B（3，﹣3）两点代入得，解得，∴直线解析式为y＝﹣2x+3，将x＝0代入得y＝3，∴与y轴交于点（0，3），将y=0代入得x＝，∴与x轴交于点（，0），∴S＝×3×＝．（2）解得，∴点C的坐标是（2，﹣1）．变式．已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点（2，0），且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则这个一次函数的解析式是．【分析】先根据一次函数y＝kx+b（k≠0）图象过点（2，0）可知b＝﹣2k，用k表示出函数图象与y轴的交点，再利用三角形的面积公式得到关于k的方程，解方程即可求出k的值．【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）图象过点（2，0），∴2k+b＝0，b＝﹣2k，∴y＝kx﹣2k，令x＝0，则y＝﹣2k，∵函数图象与两坐标轴围成的三角形面积为1，∴×2×|﹣2k|＝1，即|2k|＝1，解得：k＝±，则函数的解析式是y＝x﹣1或y＝﹣x+1．故答案为y＝x﹣1或y＝﹣x+1．类型二两条直线与坐标轴围成的三角形面积解题标准：在平面直角坐标系内求三角形的面积，通常以坐标轴上的边为底，高就是底所对的顶点到这条边的距离【类题训练】1．如图，若直线y＝﹣2x+1与直线y＝kx+4交于点B（﹣1，m），且两条直线与y轴分别交于点C、点A；那么△ABC 的面积为．【分析】根据B点在直线y＝﹣2x+1上，且横坐标为﹣1，求出B点的坐标，再根据直线y＝kx+4过B点，将（﹣1，3）代入直线y＝kx+4解析式，即可求出答案，根据已知得出B点的坐标，再根据直线y＝﹣2x+1和直线y＝x+4求得与y轴交点A和C点的坐标，再根据三角形的面积公式得出S△ABC．【解答】解：∵B点在直线y＝﹣2x+1上，且横坐标为﹣1，∴y＝﹣2×（﹣1）+1＝3，即B点的坐标为（﹣1，3）又直线y＝kx+4过B点，将（﹣1，3）代入直线y＝kx+4得：3＝﹣k+4，解得k＝1；∴直线AB的解析式为y＝x+4，∴直线AB与y轴交点A的坐标为（0，4），∵直线y＝﹣2x+1与y轴交点C的坐标为（0，1），∴AC＝4﹣1＝3，∴S△ABC＝AC•|x B|＝×3×1＝．故答案为．2．如图，直线l1：y＝﹣2x+b与直线l2：y＝kx﹣2相交于点P（1，﹣1），直线l1交y轴于点A，直线交y轴于点B，则△PAB的面积为．【分析】利用一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）可得直线l1与直线l2：与y轴交点，然后可求出△PAB 的面积．【解答】解：∵直线l1：y＝﹣2x+b与直线l2：y＝kx﹣2相交于点P（1，﹣1），∴﹣1＝﹣2×1+b，解得：b＝1，∴A点坐标为（0，1），∵直线l2：y＝kx﹣2交y轴于B，∴B（0，﹣2），∴AB＝3，∴△PAB的面积为：3×1＝，故答案为：．变式．已知直线y＝kx﹣4（k＜0）与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线的解析式为（）A．y＝﹣x﹣4 B．y＝﹣2x﹣4 C．y＝﹣3x+4 D．y＝﹣3x﹣4【分析】首先求出直线y＝kx﹣4（k＜0）与两坐标轴的交点坐标，然后根据三角形面积等于4，得到一个关于k 的方程，求出此方程的解，即可得到直线的解析式．【解答】解：直线y＝kx﹣4（k＜0）与两坐标轴的交点坐标为（0，﹣4）（，0），∵直线y＝kx﹣4（k＜0）与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，∴4×（﹣）×0.5＝4，解得k＝﹣2，则直线的解析式为y＝﹣2x﹣4．故选：B．类型三三条直线围成的三角形面积解题标准：在平面直角坐标系内求三角形的面积，通常以坐标轴上的边为底，高就是底所对的顶点到这条边的距离【类题训练】1．如图，已知点A（2，4），B（﹣2，2），C（4，0），求△ABC的面积．【分析】先利用待定系数法求直线AB的解析式，再确定直线AB与x轴的交点D的坐标，然后根据三角形面积公式和以S△ABC＝S△ACD﹣S△BDC进行计算．【解答】解：设直线AB的解析式为y＝kx+b，把A（2，4）、B（﹣2，2）代入得，解得．所以直线AB的解析式为y＝x+3，当y＝0时，y＝x+3＝0，解得x＝﹣6，则D点坐标为（﹣6，0），所以S△ABC＝S△ACD﹣S△BDC＝×（4+6）×4﹣×（4+6）×2＝10．2．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D（0，﹣6）在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处，直线CD交AB于点E．（1）求点A、B、C的坐标；（2）求△ADE的面积；（3）y轴上是否存在一点P，使得S△PAD＝S△ADE，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A ，B 的坐标，在Rt △AOB 中，利用勾股定理可求出AB 的长度，由折叠的性质可得出AC ＝AB ，结合OC ＝OA +AC 可得出OC 的长度，进而可得出点C 的坐标；（2）根据点E 为直线AB 与直线CD 的交点，联立两直线解析式可求出点E 坐标，再由△ADE 和△ADB 组成△BDE ，得△ADE 的面积=△BDE 的面积-△ABD 的面积，即可求出△ADE 的面积；（3）假设存在，设点P 的坐标为（0，m ），则DP ＝|m +6|，利用三角形的面积公式可得出关于m 的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）当x ＝0时，y ＝﹣x +4＝4， ∴点B 的坐标为（0，4）； 当y ＝0时，﹣x +4＝0， 解得：x ＝3，∴点A 的坐标为（3，0）． 在Rt △AOB 中，OA ＝3，OB ＝4， ∴AB ＝＝5．由折叠的性质，可知：∠BDA ＝∠CDA ，∠D ＝∠C ，AC ＝AB ＝5， ∴OC ＝OA +AC ＝8， ∴点C 的坐标为（8，0）． （2）∵C （8，0），D （0，﹣6）， ∴直线CD 的解析式为：y=43x-6， ∵点E 为直线AB 与直线CD 的交点．由⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=643434x y x y 求得点E 坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛512-524，， ∴S △ADE ＝S △BDE ﹣S △ABD ＝BD •|x E |﹣BD •|x A |＝9（3）假设存在，设点P 的坐标为（0，m ），则DP ＝|m +6|． ∵S △PAD ＝S △ADE ，即DP •OA ＝×OD •OA ，∴|m+6|＝3，解得：m＝﹣3或m＝﹣9，∴假设成立，即y轴上存在一点P（0，﹣3）或（0，﹣9），使得S△PAD＝S△ADE．3．如图，已知：直线AB：分别与x轴、y轴交于点A、B，直线CD：y＝x+b分别与x轴、y轴交于点C、D，直线AB与CD相交于点P，S△ABD＝2．求：（1）b的值和点P的坐标；（2）求△ADP的面积．【分析】（1）首先根据分别与x轴、y轴交于点A、B可求得A、B坐标，然后根据S△ABD＝2可求得D点坐标，代入直线CD：y＝x+b可求得b，直线AB与CD相交于点P，联立两方程可求得P点坐标．（2）可把S△ADP的面积分解为S△ABD+S△BDP，而S△BDP＝|x P|，即可求得．【解答】解：（1）∵直线AB：分别与x轴、y轴交于点A、B，令y＝0则x＝﹣2，A（﹣2，0），令x＝0则y＝1∴B（0，1），又∵S△ABD＝2∴|BD|•|OA|＝2而|OA|＝2∴|BD|＝2，又B（0，1），∴D（0，﹣1）∴b＝﹣1；∵直线AB与CD相交于点P，联立两方程得：，解得x＝4，y＝3，∴P（4，3）；（2）由图象坐标可知：S△ADP＝S△ABD+S△BDP＝2+|x P|＝6或S△ADP＝S△PAC+S△DAC＝|y P|）＝×3×（1+3）＝6．4．已知直线m经过两点（1，6）、（﹣3，﹣2），它和x轴、y轴的交点式B、A，直线n过点（2，﹣2），且与y轴交点的纵坐标是﹣3，它和x轴、y轴的交点是D、C；（1）分别写出两条直线解析式，并画草图；（2）计算四边形ABCD的面积；（3）若直线AB与DC交于点E，求△BCE的面积．【分析】（1）利用待定系数法可分别求出直线AB的解析式为y＝2x+4；直线CD的解析式为y＝x﹣3；然后利用两点确定一直线画函数图象；（2）利用坐标轴上点的坐标特征确定A点坐标为（0，4）＝B点坐标为（﹣2，0）、D点坐标为（6，0），然后根据三角形面积公式和四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△CBD进行计算；（3）根据一次函数的交点问题通过解方程组得到E点坐标，然后利用△BCE的面积＝S△EBD﹣S△CBD进行计算．【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，把（1，6）、（﹣3，﹣2）代入得，解得．所以直线AB的解析式为y＝2x+4；设直线CD的解析式为y＝mx+n，把（2，﹣2）、（0，﹣3）代入得，解得，所以直线CD的解析式为y＝x﹣3；如图所示；（2）把x＝0代入y＝2x+4得y＝4，则A点坐标为（0，4）；把y＝0代入y＝2x+4得2x+4＝0，解得x＝﹣2，则B点坐标为（﹣2，0）；把y＝0代入y＝x﹣3得x﹣3＝0，解得x＝6，则D点坐标为（6，0），所以四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△CBD＝×（6+2）×4+×（6+2）×3＝28；（3）解方程组得，所以E点坐标为（﹣，﹣），所以△BCE的面积＝S△EBD﹣S△CBD＝×（6+2）×﹣×（6+2）×3＝．变式．已知点A（2，4），B（﹣2，2），C（x，2），若△ABC的面积为10，求x的值．【分析】审题知B、C纵坐标相等，所以BC是一条平行于x轴的直线，所以A到BC的距离为2，而且B、C两点之间的距离可用两点的横坐标之差的绝对值表示，即x+2的绝对值．已知三角形的面积为10，依此列出方程求解即可．【解答】解：由B、C纵坐标相等，所以BC是一条平行于x轴的直线，所以A到BC的距离为4﹣2＝2，BC＝|x ﹣（﹣2）|＝|x+2|，因为△ABC的面积为10，所以×2×|x+2|＝10，|x+2|＝10，x+2＝10，或x+2＝﹣10，解得：x＝8，或x＝﹣12．考点二一次函数图象与几何图形动点面积【知识点睛】❖此类问题需要将动点所在几何图形与一次函数图象同时分析，对照一次函数图象得出动点所在几何图形的边长信息❖对函数图象的分析重点抓住以下两点：①分清坐标系的x轴、y轴的具体意义②特别分析图象的拐点——拐点一般表示动点运动到几何图形的一个顶点❖动点所在几何图形如果是特殊图形，如等腰三角形、等腰直角三角形、含30°的直角三角形，注意对应图形性质与辅助线的应用。
一次函数之面积问题(与坐标轴围成的面积)(人教版)(含答案)
一次函数之面积问题（与坐标轴围成的面积）（人教版）一、单选题(共8道，每道12分)1.已知一次函数和的图象都经过点A(2，0)，且与y轴分别交于B，C两点，则△ABC的面积是( )A.1B.2C.4D.8答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：坐标线段长互转2.已知一次函数y=kx+(k-3)与一次函数y=2x+b交于点C(1，3)，则两条直线的函数图象与x 轴所围成的三角形的面积是( )A.1B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数与坐标轴围成的图形面积3.已知一次函数y=kx+b的图象经过点B(0，10)，且与正比例函数y=2x的图象相交于点A(2，a)，则这两个函数图象与y轴所围成的三角形的面积是( )A.5B.10C.20D.40答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数与坐标轴围成的图形面积4.已知一次函数y=kx+b的图象经过点(3，-3)，且与直线y=4x-3的交点在x轴上，则此函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数与坐标轴围成的图形面积5.已知一次函数的图象经过点(-2，0)，它与坐标轴围成的三角形面积等于1，则这个一次函数的函数表达式是( )A. B.C.或D.或答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数与坐标轴围成的图形面积6.已知一次函数的图象过点(3，0)，且与两坐标轴围成的三角形面积为3，则一次函数的表达式为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数与坐标轴围成的图形面积7.若直线y=kx+b与直线y=4x平行，且直线y=kx+b与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则直线y=kx+b与x轴的交点坐标是( ).A.（1，0）B.（1，0）或（-1，0）C.（2，0）D.（2，0）或（-2，0）答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数与坐标轴围成的图形面积8.若直线y=x+k，x=1，x=4和x轴围成的直角梯形的面积等于9，则k的值为( )A. B.C.或D.或答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数与坐标轴围成的图形面积。
考点08 一次函数的图象与性质【无答案】
考点08 一次函数的图象和性质一次函数的图象与性质是中考数学中比较重要的一个考点，也是知识点牵涉比较多的考点。
各地对一次函数的图象与性质的考察也主要集中在一次函数表达式与平移、图象的性质、图象与方程不等式的关系以及一次函数图象与几何图形面积等五个方面。
也因为一次函数是一个结合型比较强的知识点，所以其图象和性质也是后续函数问题学习的一个基础。
故考生在复习这块知识点时，需要特别熟记对应考点的方法规律。
一、一次函数的图象与平移二、一次函数的性质三、待定系数法求解一次函数的表达式四、一次函数与方程、不等式的关系五、一次函数与三角形面积考向一：一次函数的图象与平移一．一次函数的图象1．下列函数：①y＝4x；②y＝﹣；③y＝；④y＝﹣4x+1，其中一次函数的个数是（）A．1B．2C．3D．42．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝k（x﹣1）（k＞0）的图象大致是（）A．B．C．D．3．如图，同一直角坐标系中，能表示一次函数y＝x+kb和y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象是（）A．B．C．D．4．在平面直角坐标系中，直线是函数y＝6x﹣2的图象，将直线l平移后得到直线y＝6x+2，则下列平移方式正确的是（）A．将1向右平移4个单位长度B．将1向左平移4个单位长度C．将1向上平移4个单位长度D．将1向下平移4个单位长度5．直线y＝2x﹣4向上平移2个单位后所得的直线与x轴交点的坐标是．6．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝k1x+b1与y2＝k2x+b2的图象分别为直线l1和直线l2，下列结论正确的是（）A．k1k2＜0B．k1+k2＜0C．b1﹣b2＞0D．b1b2＞0考向二：一次函数的性质对于任意一次函数y=kx+b（k≠0），点A (x1,y1）B（x2,y2）在其图象上1．一次函数y＝﹣3x+1的图象经过（）A．第一、二、四象限B．第一、三、四象限C．第一、二、三象限D．第二、三、四象限2．已知点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2）都在直线y＝（m2+1）x+m上，则y1，y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．大小不确定3．已知A（x1，y1），B（x2，y2）是关于x的函数y＝（m﹣1）x图象上的两点，当x1＜x2时，y1＜y2，则m 的取值范围是（）A．m＞0B．m＜0C．m＞1D．m＜14．对于一次函数y＝﹣2x+1的相关性质，下列描述错误的是（）A．函数图象经过第一、二、四象限B．图象与y轴的交点坐标为（1，0）C．y随x的增大而减小D．图象与坐标轴调成三角形的面积为5．已知点（﹣2，y1），（2，y2）都在直线y＝2x﹣3上，则y1y2．（填“＜”或“＞”或“＝”）考向三：待定系数法求一次函数的解析式1．一个正比例函数的图象过点（﹣2，3），它的表达式为（）A．B．C．D．2．已知一次函数y＝mx﹣4m，当1≤x≤3时，2≤y≤6，则m的值为（）A．2B．﹣2 C．2或﹣2D．m的值不存在3．已知y与x成正比例，且当x＝2时，y＝﹣3．则当x＝﹣时，y＝．4．已知一次函数的图象经过A（2，0），B（0，4）两点．（1）求此一次函数表达式；（2）试判断点（﹣1，6）是否在此一次函数的图象上．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣2x+a与y轴交于点C（0，6），与x轴交于点B．（1）求这条直线的解析式；（2）直线AD与（1）中所求的直线相交于点D（﹣1，n），点A的坐标为（﹣3，0）．求n的值及直线AD的解析式．考向四：一次函数与方程不等式间的关系1．已知方程2x﹣1＝﹣3x+4的解是x＝1，则直线y＝2x﹣1和y＝﹣3x+4的交点坐标为（）A．（1，0）B．（1，1）C．（﹣1，﹣3）D．（﹣1，1）2．如图，直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0，1），B（2，0），则关于x的方程ax+b＝0的解为．3．如图，一次函数y＝2x+1的图象与y＝kx+b的图象相交于点A，则方程组的解是（）A．B．C．D．4．如图，已知直线y＝ax+b和直线y＝kx交于点P，若二元一次方程组的解为x、y，则x+y＝．5．若定义一种新运算：，例如：2@4＝2+4﹣3＝3，2@1＝2﹣1+3＝4，下列说法：①（﹣1）@（﹣2）＝4；②若x@（x+2）＝5，则x＝3；③x@2x＝3的解为x＝2；④函数y＝（x2+1）@1与x轴交于（﹣1，0）和（1，0）．其中正确的个数是（）A．4B．3C．2D．16．如图，已知一次函数y1＝kx﹣b与y2＝nx函数图象相交于点M，当kx﹣b＝nx时，x的值是，当y1＞y2时，x的取值范围是，当y1＜y2时，x的取值范围是．7．小时在学习了一次函数知识后，结合探究一次函数图象与性质的方法，对新函数y＝2﹣|x﹣1|及其图象进行如下探究．（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如表：x…﹣3﹣2﹣1012345…y…﹣2﹣1m1210n﹣2…其中m＝，n＝．（2）请在给出的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并结合图象写出该函数的一条性质：．（3）当时，x的取值范围为．考向五：一次函数与三角形面积一．一次函数与坐标轴围成三角形面积的规律方法归纳3.求三角形面积时，三角形有边在水平或者竖直边上，常以这条边为底，再由底所对顶点的坐标确定高；二．一次函数图象与几何图形动点面积1.此类问题需要将动点所在几何图形与一次函数图象同时分析，对照一次函数图象得出动点所在几何图形的边长信息2.对函数图象的分析重点抓住以下两点：①分清坐标系的x轴、y轴的具体意义②特别分析图象的拐点——拐点一般表示动点运动到几何图形的一个顶点3.动点所在几何图形如果是特殊图形，如等腰三角形、等腰直角三角形、含30°的直角三角形，注意对应图形性质与辅助线的应用。
一次函数面积问题专题(含答案解析)
一次函數面積問題1、如图，一次函数的图像与X轴交于点B (- 6 , 0),交正比例函数的图像于点A，点A的横坐标为-4，△ ABC的面积为15，求直线OA的解析式。
2、直线y=x+3的图像与X轴、y轴分别交于A B两点，直线a经过原点与线段AB 交于。
，把厶ABO勺面积分为2：1的两部分，求直线a的函数解析式。
3、直线PA是一次函数y=x+n的图像，直线PB是一次函数y=-2x+m (m>n>0的图像，(1) 用m n表示A、B、P的坐标(2) 四边形PQoB勺面积是'，AB=2求点P的坐标4、A AOB的顶点0( 0, 0) A (2, 1)、B (10, 1),直线CDL X 轴且△ AOB面积二等分，若D (m, 0),求m的值5、点B在直线y=-x+1上，且点B在第四象限，点A(2, 0)、0(0, 0),A ABo 的面积为2,求点B的坐标。
6直线y=- x+1与X轴y轴分别交点A B,以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ ABC N BAC=90 ,点P( a,])在第二象限，△ ABP勺面积与△ ABC7、如图，已知两直线y=0.5x+2.5和y=-x+1分别与X轴交于A、B两点，这两直线的交点为P(1)求点P的坐标(2)求厶PAB的面积8、已知直线y=ax+b (b>0)与y轴交于点N,与X轴交于点A且与直线y=kx交于点M (2, 3)，如图它们与y轴围成的厶MoN勺面积为5,求(1)这两条直线的函数关系式(2)它们与X轴围成的三角形面积9、已知两条直线y=2x-3和y=5-x(1)求出它们的交点A的坐标(2)求出这两条直线与X轴围成的三角形的面积10、已知直线y=x+3的图像与X轴、y轴交于A B两点，直线I经过原点，与线段AB 交于点。
，把厶AoB的面积分为2：1的两部分，求直线I的解析式。
11、已知直线y=2x+3与直线y=-2x-1与y轴分别交于点A B（1）求两直线交点C的坐标（2）求厶ABe的面积（3）在直线BC上能否找到点P,使得△ APC的面积為6,求出点P的坐标,12、已知直线y=-x+2与X轴、y轴分别交于点A和点B,另一直线y=kx+b（k≠ 0）经过点C（1，0）,且把△ AOB分为两部分，（1）若厶AOB被分成的两部分面积相等，求k和b的值（2）若厶AOB被分成的两部分面积为1：5,求k和b的值13、直线y=- x+3交X, y坐标轴分别为点A B,交直线y=2x-1于点P,直线-Iy=2x-1交X, y坐标轴分别为C。
一次函数与三角形面积问题
yxA (-2,0)Op (m ,n )B (x ,0)yxA (0,1)OP (x ,y )B (0,m )12△APB S ah =2△APB S ah=一次函数与三角形面积探究一：求有一边与坐标轴平行（或重合）的三角形面积 【例1】如右图，△ABP 中. (1) AB=_______; (2) 作AB 边上的高PH;(3) 若P （m,n),则高PH=_____.(4) S △ABC = . 2、如右图，△ABP. (1)AB=_______;(2)作AB 边上的高PH;(3)若P （x,y),则高PH=_____. (4)S △ABC = .跟踪练习：1、已知直线AB 的解析式为y=－x+3与正比例函数y=2x 相交于点C(1,2)，则△AOC 的面积为 .2、已知直线AB 的解析式为y=－x+3,与正比例函数y=2x 相交于点C(1,2)，直线x=－1与直线OC 交于点E,与直线AB 交于点D,则△CDE 的面积为 .3、如图，在平面直角坐标系中，已知A(-1，2)，B(2，-1),直线AB 与y 轴交点为C. （1）直线AB 的解析式为_______；（2）C 点坐标为_________， OC=_________； （3）S △OCA =_________，S △OCB =_________；（4）S △AOB =_________。
探究二：求边与坐标轴不平行（或不重合）的三角形面积 【例2】如图，直线122y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，C(2，4)。
过点C 作CM 垂直x 轴于点M. （1）求D 点坐标； （2）求△ABC 的面积。
方法：1、坐标系中处理面积问题，要寻找并利用横平竖直的线，通常有以下三种思路：①公式法（规则图形）； ②割补法（分割求和、补形作差）。
2、铅垂法求面积：底相同，高运算跟踪练习：1、如图，已知一次函数121y +-=x 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，C 点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛213，，连接AC 、BC ，求△ABC 的面积.hM aP P aMhBQxAOBPy Q xAOBPy2、如图，直线PA ：y=x+2与x 轴、y 轴分别交于A ，Q 两点，直线PB ：y=-2x+8与x 轴交于点B ，与直线PA 交于点P ．（1）求出P 点坐标； （2）求三角形PQB 的面积．3、如图，直线PA ：y=x+2与x 轴、y 轴分别交于A ，Q 两点，直线PB ：y=-2x+8与x 轴交于点B ．求四边形PQOB 的面积．4、如图,A 、B 在x 轴上，直线PA:y=x+1与直线PB ：y=-2x+m(m>1)交于点P 。
初中数学《一次函数中的三角形面积问题》教案
AFEoyx与一次函数有关的三角形面积问题【学习目标】知识技能：能运用一次函数的图象和性质解决与一次函数有关的三角形面积问题。
问题解决：求与一次函数有关的三角形面积的常用方法及各种方法的归纳。
【关键】1.用坐标去表示线段的长度。
2.通过割补法把三角形边或高转化成坐标轴或与坐标轴平行的线段。
【学习流程】 一、 温故而知新1.一次函数的一般式是 ，过点 和 ; 正比例函数的一般式是 ，过点 和 。
2.待定系数法求函数的解析式的基本步骤是 、 、 、 。
二、新课学习探究问题1：三角形的两边都在坐标轴上 1.在坐标系xoy 中，直线y=2x-4与x 轴交于点A （ ），与y 轴交于点B （ ），S ∆AOB = 。
例1.直线b x y +=2与坐标轴围成的三角形的面积是6,则b =______.分析：（1）先表示出直线x 轴和y 轴的交点坐标，由三角形面积公式建立等式。
（2）由于b 值符号不确定，所以图形可能两种情况，引出分类讨论。
即探究问题2：三角形的一边在坐标轴上例2.如图，直线y=kx+3与x 轴、y 轴分别交于点E （-4，0）和点F ，点A 的坐标为（-3，0）。
（1）求k 的值；（2）若点P （x ，y ）是第二象限内的直线上的一个动点，在点P 的运动过程中，试写出△OPA 的面积S 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）探究：当点P 运动到什么位置时，△OPA 的面积为4，并说明理由。
（4）若点P 在直线EF 上呢，试写出△OPA 的面积S 与x 的函数关系式，写出自变量x 的取值范围；方法总结： 探究问题3：三角形的三边都不在坐标轴上例3.如图所示，直线y=x+6分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，直线 y=x-2交y 轴于C ，两直线相交于点P 。
（1）求点P 的坐标；（2）求S ∆PCA 。
思考：问题1：如何求P 的坐标？问题2：你还可以求得哪些点的坐标？如何求？问题3： ∆PCA 规则吗？如何求S ∆PCA ？方法总结： 例4．如图，已知点O （0，0），C （1，3），D （4，2）求三角形OCD 的面积。
一次函数的图像与坐标轴围成三角形面积
初三数学专题训练
1 《一次函数的图像与坐标轴围成三角形面积》专题
班级 姓名
失败不用学，懒惰不用学，疾病不用学，所有不好的习惯都不用学习.
【一次函数与坐标轴交点】
1.一次函数y ＝4x －3过点（_____，0）、（0， ）；
2.直线23
1+-=x y 过点（ ，0）、（0， ）． 3.一次函数y=0.5x +2的图像与x 轴的交点 ；与y 轴的交点 ；
4.一次函数y =－x －1的图像与x 轴的交点为 ；与y 轴的交点 ；
【归纳一】
一次函数y ＝kx ＋b ,当x ＝0时，y ＝b ；当y ＝0时，k
b x -=. 所以直线y ＝kx ＋b 与y 轴的交点坐标是(0,b ),与x 轴的交点坐标是⎪⎭
⎫ ⎝⎛-0,k b ； 【一次函数与坐标轴围成三角形面积】
1、函数y=-5x+2与x 轴的交点是 ，与y 轴的交点是 ,与两坐标轴围成的三角形面积是 。
2.已知直线y =x +6与x 轴、y 轴围成一个三角形，则这个三角形面积为 ___ 。
3.（2010北京）如图，直线y=2x+3与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B . 求A ，B 两点的坐标；过B 点作直线BP 与x 轴相交于P ，且使OP =2OA ， 求ΔABP 的面积
.
【归纳二】对于一次函数y ＝kx +b 与坐标轴的两个交点坐标分别是（0，b ）和（－k b ，0），由此与坐标轴围成的三角形的面积为12b b k
-⋅＝||22k b ．。
一次函数面积问题专题(含答案)
一次函數面積問題一、如图，一次函数的图像与x轴交于点B（-6，0），交正比例函数的图像于点A，点A的横坐标为-4，△ABC的面积为15，求直线OA的解析式。
二、直线y=x+3的图像与x轴、y轴别离交于A、B两点，直线a通过原点与线段AB交于C，把△ABO 的面积分为2：1的两部份，求直线a的函数解析式。
3、直线PA是一次函数y=x+n的图像，直线PB是一次函数y=-2x+m（m>n>0）的图像，（1）用m、n表示A、B、P的坐标（2）四边形PQOB的面积是56，AB=2，求点P的坐标4、△AOB的极点O（0，0）、A（2，1）、B（10，1），直线CD⊥x轴且△AOB面积二等分，假设D（m，0），求m的值五、点B在直线y=-x+1上，且点B在第四象限，点A（2，0）、O（0，0），△ABO的面积为2，求点B的坐标。
六、直线y=-√33x+1与x轴y轴别离交点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC，BAC=90°，点P（a，12）在第二象限，△ABP的面积与△ABC面积相等，求a的值.7、如图，已知两直线y=0.5x+2.5和y=-x+1别离与x轴交于A、B两点，这两直线的交点为P（1）求点P的坐标（2）求△PAB的面积八、已知直线y=ax+b（b>0）与y轴交于点N，与x轴交于点A且与直线y=kx交于点M（2，3），如图它们与y轴围成的△MON的面积为5，求（1）这两条直线的函数关系式（2）它们与x轴围成的三角形面积九、已知两条直线y=2x-3和y=5-x（1）求出它们的交点A的坐标（2）求出这两条直线与x轴围成的三角形的面积10、已知直线y=x+3的图像与x轴、y轴交于A、B两点，直线l通过原点，与线段AB交于点C，把△AOB的面积分为2：1的两部份，求直线l的解析式。
1一、已知直线y=2x+3与直线y=-2x-1与y轴别离交于点A、B（1）求两直线交点C的坐标（2）求△ABC的面积（3）在直线BC上可否找到点P，使得△APC的面积為6，求出点P的坐标，假设不能请说明理由。
二元一次函数求三角形面积
二元一次函数求三角形面积利用一次函数图象解二元一次方程组2x-y-2=0y=-x-5，并求出函数图象与x轴围成的三角形面积？考点：一次函数与二元一次方程（组）．专题：计算题；作图题．分析：先把两个方程化成一次函数的形式，然后在同一坐标系中画出它们的图象，交点的坐标就是方程组的解．解答：解：如图；两个一次函数的交点坐标为M（-1，-4）；∴方程组的解为x=-1y=-4．直线y=-x-5中，令y=0，则：-x-5=0，x=-5；即A（-5，0）；同理可求得B（1，0）；=∴AB=6，S△AB M12AB•|y M|=12×6×4=12．点评：在同一平面直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解．反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点，一定是相应的两个一次函数的图象的交点．次函数y=2x-4与坐标轴围成的三角形面积是4．考点：一次函数图象上点的坐标特征．专题：计算题．分析：当x=0时，求出与y轴的交点坐标；当y=0时，求出与x轴的交点坐标；然后即可求出一次函数y=2x-4与坐标轴围成的三角形面积．解答：解：当x=0时，y=-4，与y轴的交点坐标为（0，-4）；当y=0时，x=2，与x轴的点坐标为（2，0）；则三角形的面积为12×2×4=4；故答案为4．点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，求出与x轴的交点坐标、与y轴的交点坐标是解题的关键．已知一次函数的图象经过点（2，2），它与坐标轴围成的三角形面积等于1，则这个一次函数的函数表达式是y=2x-2或y=12x+112．考点：待定系数法求一次函数解析式．专题：计算题．分析：根据函数的图象经过点（2，2），可设函数解析式为y=kx+2-2k，求出函数与坐标轴的交点，根据面积= 12|x||y|=1可得出关于k的方程，解出即可的k的值及函数表达式．解答：解：由题意可设：y=kx+2-2k，与x轴交点为（2-2kk，0），与y轴交点为（0，2-2k），∴12|2-2k|•|2-2kk|=1，解得：k=2或12，∴函数解析式为y=2x-2，或y=12x+1．故填：y=2x-2或y=12x+1．点评：本题考查待定系数法求函数解析式，有一定难度，注意在解关于k的方程时要细心，否则很容易出错．一次函数y=x+b与坐标轴围成的三角形面积为8，则这个一次函数解析式为y=x±4．考点：待定系数法求一次函数解析式．分析：求出一次函数与坐标轴的交点坐标，根据三角形的面积公式即可得到一个关于b的方程，求得b的值．解答：解：令y=0，解得：x=-b．令x=0，解得：y=b．根据一次函数y=x+b与坐标轴围成的三角形面积为8可得：12|b|2=8．解得：b=±4．则一次函数的解析式是：y=x±4．故答案是：y=x±4．点评：本题考查了待定系数法求函数的解析式，正确利用点的坐标表示三角形的面积是关键．一次函数y=2x+8与两坐标轴围成的三角形面积是（）A．4 B．8 C．16 D．32考点：一次函数图象上点的坐标特征．专题：探究型．分析：当x=0时，求出函数与y轴的交点坐标；当y=0时，求出函数与x轴的交点坐标；然后即可求出一次函数y=2x+8与坐标轴围成的三角形面积．解答：解：当x=0时，y=8，与y轴的交点坐标为（0，8）；当y=0时，x=-4，与x轴的点坐标为（-4，0）；则三角形的面积为12×|-4|×8=16．故选C．点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据题意求出与x轴的交点坐标、与y轴的交点坐标是解题的关键．一次函数y=4（x+6）与坐标轴围成的三角形的面积是72．考点：一次函数图象上点的坐标特征．专题：计算题．分析：图象与坐标轴围成的三角形是直角三角形，只要求出两直角边长，即可求面积，而直角边长需要计算一次函数图象与坐标轴的交点坐标．解答：解：令x=0，得y=24，令y=0，得x=-6；所以，图象与坐标轴围成的三角形面积为：24×6÷2=72．故填72．点评：本题考查了一次函数图象上的两个特殊点（与坐标轴的交点）在计算三角形面积中的作用．如图，L1，L2分别表示两个一次函数的图象，它们相交于点P，（1）求出两条直线的函数关系式；（2）点P的坐标可看作是哪个二元一次方程组的解；（3）求出图中△APB的面积．考点：一次函数与二元一次方程（组）．专题：计算题；数形结合．分析：（1）由图可得两函数与坐标轴的交点坐标，用待定系数法可求出它们的函数解析式；（2）联立两个一次函数的解析式，所得方程组的解即为P点坐标．（3）△ABP中，以AB为底，P点横坐标的绝对值为高，可求出△ABP的面积．解答：解：（1）设直线L1的解析式是y=kx+b，已知L1经过点（0，3），（1，0），可得：b=3k+b=0，解得b=3k=-3，则函数的解析式是y=-3x+3；同理可得L2的解析式是：y=x-2．（2）点P的坐标可看作是二元一次方程组y=-3x+3y=x-2的解．（3）易知：A（0，3），B（0，-2），P（54，-34）；=∴S△APB12AB•|x P|=12×5×54=258．点评：本题主要考查了一次函数解析式的确定、一次函数与二元一次方程组的关系、函数图象交点、图形面积的求法等知识，综合性较强，难度适中．答一次函数y=3x，y=-x+4的图象与x轴围成的三角形面积为6，与y轴围成的三角形面积为2．考点：两条直线相交或平行问题．专题：计算题．分析：根据两个函数方程联立解得交点坐标，再利用面积公式进行求解．解答：解：y=3x与y=-x+4联立解得交点坐标为（1，3），y=-x+4与x轴的交点是（4，0），与y轴的交点是（0，4）故x轴围成的三角形面积为12×4×3=6，与y轴围成的三角形面积为12×4×1=2．故填：6、2．点评：本题考查了三角形面积公式以及根据公式代入数值解题的能力．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形．例如，图中的一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，则△OAB为此函数的坐标三角形．（1）求函数y=-x+3的坐标三角形的面积；（2）若函数y=-34x+b（b为常数）的坐标三角形周长为16，求此三角形的面积．考点：一次函数综合题．专题：数形结合．分析：（1）分别让函数的x为0可得BO的值，让y=0可得OA的值，进而可得三角形的面积；（2）得到用b表示的函数与x轴，y轴的交点，进而得到两交点之间的距离，根据b的取值以及三角形的周长为16可得b的值，进而求得三角形的面积．解答：解：（1）∵直线y=-x+3与x轴的交点坐标为（3，0），与y轴交点坐标为（0，3），∴函数y=-x+3的坐标三角形的面积为s=12×3×3=4.5；（2）直线y=-34x+b与x轴的交点坐标为（43b，0），与y轴交点坐标为（0，b），坐标三角形的斜边的长为(43b)2+b2=53|b|，当b＞0时，b+43b+53b=16，得b=4，此时，坐标三角形面积为323；当b＜0时，-b-43b-53b=16，，得b=-4，此时，三角形面积323．综上，当函数y=-34x+b的坐标三角形周长为16时，面积为323．点评：综合考查一次函数的知识；根据b的不同取值分情况探讨三角形的面积是解决本题的易错点．一次函数y=3x，y=-x+4的图象与x轴围成的三角形面积为6，与y轴围成的三角形面积为2．考点：两条直线相交或平行问题．专题：计算题．分析：根据两个函数方程联立解得交点坐标，再利用面积公式进行求解．解答：解：y=3x与y=-x+4联立解得交点坐标为（1，3），y=-x+4与x轴的交点是（4，0），与y轴的交点是（0，4）故x轴围成的三角形面积为12×4×3=6，与y轴围成的三角形面积为12×4×1=2．故填：6、2．点评：本题考查了三角形面积公式以及根据公式代入数值解题的能力．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形．例如，图中的一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，则△OAB为此函数的坐标三角形．（1）求函数y=-x+3的坐标三角形的面积；（2）若函数y=-34x+b（b为常数）的坐标三角形周长为16，求此三角形的面积．考点：一次函数综合题．专题：数形结合．分析：（1）分别让函数的x为0可得BO的值，让y=0可得OA的值，进而可得三角形的面积；（2）得到用b表示的函数与x轴，y轴的交点，进而得到两交点之间的距离，根据b的取值以及三角形的周长为16可得b的值，进而求得三角形的面积．解答：解：（1）∵直线y=-x+3与x轴的交点坐标为（3，0），与y轴交点坐标为（0，3），∴函数y=-x+3的坐标三角形的面积为s=12×3×3=4.5；（2）直线y=-34x+b与x轴的交点坐标为（43b，0），与y轴交点坐标为（0，b），坐标三角形的斜边的长为(43b)2+b2=53|b|，当b＞0时，b+43b+53b=16，得b=4，此时，坐标三角形面积为323；当b＜0时，-b-4b-53b=16，，得b=-4，此时，三角形面积323．综上，当函数y=-34x+b的坐标三角形周长为16时，面积为323．点评：综合考查一次函数的知识；根据b的不同取值分情况探讨三角形的面积是解决本题的易错点．知点M（a、b）在第一象限，一次函数的图象过M点，且在第一象限与坐标轴围成的三角形面积最小，一次函数的解析式y=-bax+2bbax+2b．考点：待定系数法求一次函数解析式．专题：计算题．分析：设函数解析式为y=kx+m，代入点M的坐标去掉解析式中的m，然后用a和b表示出函数与坐标轴的交点，根据面积= 12|x||y|求出面积表达式，根据不等式的性质可得出在面积取最小的时候k的表达式．解答：解：设函数解析式为y=kx+m，∵点M在图象上，∴b=ka+m，即m=b-ak，与x轴交点为（-mk，0），与y轴交点为（0，m），面积=12×（-mk）×m=-2k=-(b-ak)22k=b2+a2k2-2kab2k=（-b22k）+（-a2k2(-b22k)( -a2k2)+ab=ab+ab=2ab，当且仅当-b22k=-a2k2，即k=-ba时，面积最小．故k=-ba，m=b-ak=2b．∴函数解析式为：y=-bax+2b．故填：y=-bax+2b．点评：本题考查待定系数法求函数解析式，综合了三角形和不等式的知识，难度较大，同学们要试着研究此类题目的解题思想．已知一次函数图象经过点（3，5），（-4，-9）两点．（1）求一次函数解析式；（2）求图象和坐标轴围成三角形面积．考点：一次函数综合题．专题：综合题．分析：（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）求得函数与坐标轴的交点，即可求得三角形的面积．解答：解：（1）设一次函数的解析式是y=kx+b．根据题意得：3k+b=5-4k+b=-9解得：k=2b=-1则直线的解析式是：y=2x-1．（2）在直线y=2x-1中，令x=0，解得y=-1；令y=0，解得：x=-12．则求图象和坐标轴围成三角形面积为12×12×1=14．点评：本题主要考查了待定系数法求函数解析式，并且求线段的长的问题一般是转化为求点的坐标的问题解决．已知一次函数的图象经过点A（2，1），B（-1，-3），求此一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积．考点：待定系数法求一次函数解析式．分析：假设函数解析式为y=kx+b，将两点代入可得出k和b的值，进而可得出函数解析式，再利用图象与坐标轴的交点坐标求出所围成的三角形面积即可．解答：解：设函数解析式为y=kx+b，将两点代入可得：2k+b=1-k+b=-3解得：k=43b=-53，∴函数解析式为：y=43x-53．当y=0，0=43x-53，解得：x=54∴与x轴交点为（54，0），当x=0，y=-53，∴y轴交点为（0，-53），∴一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积为：S= 12|x||y|=12×5453=2524．点评：此题考查了待定系数法求函数解析式以及图象与坐标轴围成的三角形面积求法，注意掌握一次函数与坐标轴围成三角形的面积为=12|x||y|，难度不大，注意在解答时要细心．已知，一次函数的图象经过点（-2，0），且直线与两坐标轴围成的三角形面积为6，求一次函数的解析式．考点：待定系数法求一次函数解析式．分析：设一次函数为y=kx+b，则与y轴的交点为（0，b）根据所围成的三角形的面积和经过点（-2，0）可求得k和b的值．解答：解：设一次函数为y=kx+b，k≠0．则与y轴的交点为（0，b）S△=12×|-2|×|b|=6，得|b|=6，∴b=±6当b=6时，函数为：y=kx+6，∵函数的图象经过点（-2，0），得：0=-2k+6得到k=3∴所求的一次函数的解析式为：y=3x+6；b=-6时，函数为：y=kx-6∵函数的图象经过点（-2，0），得：0=-2k-6，得到k=-3∴所求的一次函数的解析式为：y=-3x-6．答：所求的一次函数的解析式为：y=3x+6或y=-3x-6．点评：主要考查了用待定系数法求函数的解析式．先根据条件列出关于字母系数的方程，解方程求解即可得到函数解析式．一次函数的图象y=kx+b与两坐标轴围成的三角形的面积是8，且过点（0，2），求此一次函数的解析式．考点：待定系数法求一次函数解析式．分析：首先根据题意画出函数图象，分两种情况，但是直线都过（0，2），分别求出A，B点的坐标，再利用待定系数法求出一次函数的解析式．解答：解：①∵一次函数的图象y=kx+b与两坐标轴围成的三角形的面积是8，∴12OB×CO=8，12×OB×2=8，BO=8，∴B（8，0）∵y=kx+b的图象过点（0，2），（8，0），∴8k+b=0b=2，解得：b=2k=-14，∴此一次函数的解析式为：y=-14x+2；②∵一次函数的图象y=kx+b与两坐标轴围成的三角形的面积是8，∴12OA×CO=8，12×OA×2=8，AO=8，∴A（-8，0）∵y=kx+b的图象过点（0，2），（-8，0），∴B=2-8k+b=0，解得：b=2k=14，∴此一次函数的解析式为：y=14x+2，综上：此一次函数的解析式为：y=14x+2或y=-14x+2．点评：此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，关键是根据题意画出图象，然后再分情况讨论，不要漏掉任何一种情况．。
中考复习函数专题09 一次函数中的三角形问题(老师版)
专题09 一次函数中的三角形问题知识对接考点一、怎样解直线与坐标轴围成图形的面积问题1．求直线与坐标围成的三角形的面积时，一般将在坐标轴上的其中一边作为底，另一边作为高来求面积专项训练一、单选题1．已知直线1:1l y kx k =++与直线2:(1)2l y k x k =+++，（k 为正整数），记直线1l 和2l 与x 轴围成的三角形面积为k S ，则12310S S S S +++⋅⋅⋅+的值为（ ） A ．511B ．1011C ．920D ．50101【答案】A 【分析】变形解析式得到两条直线都经过点(1,1)-，即可证出无论k 取何值，直线1l 与2l 的交点均为定点(1,1)-；先求出1y kx k =++与x 轴的交点和(1)2y k x k =+++与x 轴的交点坐标，再根据三角形面积公式求出k S ，求出11112124S =⨯=⨯，21(2S =⨯11)23-，以此类推101(2S =⨯11)1011-，相加后得到11(1)211⨯-． 【详解】解：直线1:1(1)1l y kx k k x =++=++，∴直线1:1l y kx k =++经过点(1,1)-；直线2:(1)2(1)(1)1(1)(1)1l y k x k k x x k x =+++=++++=+++，∴直线2:(1)2l y k x k =+++经过点(1,1)-．∴无论k 取何值，直线1l 与2l 的交点均为定点(1,1)-．直线1:1l y kx k =++与x 轴的交点为1(k k+-，0)， 直线2:(1)2l y k x k =+++与x 轴的交点为2(1k k +-+，0)， 1121||1212(1)K k k S k k k k ++∴=⨯-+⨯=++， 11112124S ∴=⨯=⨯；123101111[]212231011S S S S ∴+++⋯+=++⋯⨯⨯⨯111111[(1)()()]22231011=-+-+⋯+- 11(1)211=⨯- 110211=⨯ 511=， 故选：A ． 【点睛】此题考查了一次函数的综合题；解题的关键是一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标特点，与x 轴的交点的纵坐标为0，与y 轴的交点的横坐标为0．2．已知2,2a b b a +=≤，那么对于一次函数y ax b =+，给出下列结论：①函数y 一定随x 的增大而增大；①此函数图象与坐标轴所围成的三角形面积最大为43，下列判断正确的是（ ）A ．①正确，①错误B ．①错误，①正确C ．①，①都正确D ．①，①都错误【答案】A 【分析】根据一次函数的性质、配方法即可解决问题； 【详解】 解：2a b +=，2b a ∴=-，2b a ≤，22a a ∴-≤，23a ∴≥， 2y ax a ∴=+-，0a >，y ∴随x 的增大而增大，故①正确，函数图象与坐标轴所围成的三角形面积211||||22b b S b a a==，此函数没有最大值，故①错误， 故选：A ． 【点睛】本题考查一次函数的性质，一次函数与坐标轴的交点问题，解题的关键是灵活运用一次函数知识解决问题，属于中考常考题型．3．将一次函数y ＝2x +4的图象向右平移后所得直线与坐标轴围成的三角形面积是9，则平移距离是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】B 【分析】直接利用一次函数的图象平移规律得出平移后的解析式，进而根据三角形面积公式得出答案 【详解】设平移的距离为k （k ＞0），则将一次函数y =2x +4向右平移后所得直线解析式为：y =2（x -k ）+4=2x -2k +4． 易求得新直线与坐标轴的交点为（k -2，0）、（0，-2k +4）所以，新直线与坐标轴所围成的三角形的面积为：2?2429k k --+÷=，变形得229k -=（），解得k =5或k =-1（舍去）． 故选：B ． 【点睛】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确得出平移后解析式是解题关键． 4．下列关于一次函数2y x =-+的图象性质的说法中，不正确的是（ ） A ．直线与x 轴交点的坐标是(0,2) B ．与坐标轴围成的三角形面积为2 C ．直线经过第一、二、四象限 D ．若点(1,)A a -，(1,)B b 在直线上，则a b >【答案】A 【分析】根据一次函数的图像与性质可直接进行排除选项． 【详解】解：由一次函数2y x =-+，可得：10,20k b =-<=>， ①一次函数经过第一、二、四象限，故C 不符合题意； 令x=0时，则y=2，令y=0时，则02x =-+，解得：2x =， ①直线与x 、y 轴的交点坐标为()2,0和()0,2，故A 错误，符合题意； ①直线与坐标轴围成的三角形面积为12222⨯⨯=，故B 正确，不符合题意；①k ＜0，①y 随x 的增大而减小，①若点(1,)A a -，(1,)B b 在直线上，则a b >，故D 正确，不符合题意； 故选A ．【点睛】本题主要考查一次函数的图像与性质，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题的关键．5．如图，直线y＝-2x+2与x轴和y轴分别交与A、B两点，射线AP①AB于点A．若点C 是射线AP上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C、D、A为顶点的三角形与①AOB 全等，则OD的长为（）A．2B．3C．2D．3【答案】D【分析】利用一次函数与坐标轴的交点求出①AOB的两条直角边，并运用勾股定理求出AB．根据已知可得①CAD＝①OBA，分别从①ACD＝90°或①ADC＝90°时，即当①ACD①①BOA时，AD ＝AB，或①ACD①①BAO时，AD＝OB，分别求得AD的值，即可得出结论．【详解】解：①直线y＝-2x+2与x轴和y轴分别交与A、B两点，当y＝0时，x＝1，当x＝0时，y＝2，①A（1，0），B（0，2）．①OA＝1，OB＝2．①AB①AP①AB，点C是射线AP上，①①BAC＝90°，即①OAB＋①CAD＝90°，①①OAB＋①OBA＝90°，①①CAD＝①OBA，若以C、D、A为顶点的三角形与①AOB全等，则①ACD＝90°或①ADC＝90°，即①ACD①①BOA或①ACD①①BAO．如图1所示，当①ACD①①BOA时，①ACD＝①AOB＝90°，AD＝AB，①OD＝AD＋OA1；如图2所示，当①ACD①①BAO时，①ADC＝①AOB＝90°，AD＝OB＝2，①OD＝OA＋AD＝1＋2＝3．综上所述，OD的长为31．故选：D．【点睛】此题考查了一次函数的应用、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．6．将一次函数y＝3x向左平移后所得直线与坐标轴围成的三角形面积是24，则平移距离（）A．4B．6C．D．12【答案】A【分析】根据题意直接利用一次函数的图象平移规律得出平移后的解析式，进而根据三角形面积公式。
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一次函数图像与坐标轴围成三角形面积问题
1. 如图，平面直角坐标系中， 点 A 的坐标是（4,0），点 P 在直线 y
x m 上，且 AP=OP=4.
求 m 的值。
y
O
A
x
2. 如图所示， A （ -1,2）， S VBOA
5 ,求直线 l 1和 l 2 的解析式。
3
y
A
B
2
1
-1
O
x
l 2
l 1
3. 已知直线 y kx b 经过点 A （4 ，0），它与 y 轴交于点
B ，且 S V AOB =12 （ O 为坐标原
点），则这条直线的函数解析式为。
4. 已知一次函数的图像经过点
B （ 0， -2）且与两条坐标轴截得的直角三角形的面积为
3，
求一次函数的表达式。
5. 直线 y=4x － 2 与直线 y=－ x+13 及 x 轴所围成的三角形的面积？
6. 已知一次函数 y kx b 的图像经过点 M （ -1,1）和 B （0,2）设该图像与 x 轴交于点 A ，
问在 x 轴上是否存在点 P ，使得三角形 ABP 为等腰三角形，若存在，求出符合条件的点 P ，
若不存在说明理由。
7.。