函数图像中的面积问题
苏科版八年级数学下册11.2《反比例函数的图像与性质-面积问题》课件
变式1：如图，过反比例函数 y 2 (x 0)图象上任意两 点A、B分别作x轴的垂线，垂足分x别为C、D，连结OA
、OB，设AC与OB的交点为E，ΔAOE与梯形ECDB的
面积分别为 S1 、S2，比较它们的大小，可得 (B )
A．S1>S2
B．S1=S2
C．S1< S2 D．S1和S2的大小关系不确定
11.2 反比例函数的图像与性质 ——面积相关问题
回顾
如图,点P（m，n）是反比例函数 y k
x
图象上的一点,过点P分别向x轴、y轴作垂线,
垂足分别是点A、B，则S矩形OAPB=____k____.
结论1：
y
过双曲线上任意一点作x轴、 y轴的垂线，所得矩形的面 积S为定值，即S=|k|.
B P(m,n)
积为——8—— 。
F E
练习3 利用点求图形的面积或函数解析式
如图，已知双曲线 y k (x＞0)经过矩形OABC
x
边AB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF
的面积为2，则k＝__2___.
练习3利用坐标求图形的面积或函数解析式
变式1：如图，双曲线 y k (k 0)经过矩形OABC的
B P(m,n)
y轴）的垂线，所得直角三角
OA
x
形的面积S为定值，即S= 1 |k| .
2
回顾
图中这些三角形的 y 面积相等吗？
yk x
O
x
知识点
y k (k 0) x
y PB
y P
x A0
0Q
x
S矩形 k
k S三角形
2
例1 已知解析式 求图形的面积
二次函数中的面积计算问题(包含铅垂高)
(D)二次函数中的面积计算问题【典型例子】例如，如图所示，二次函数2y x bx c =++图像x 在A 和B 两点（A 在B 的左边）与y 轴相交，在C 点与轴相交，顶点为M ，MAB ∆为直角三角形，图像的对称轴是一条直线2-=x ，该点P 是两点之间抛物线上的移动点,A C ，则PAC ∆面积的最大值为（C ）A.274 B. 112C 。
278D.3 二次函数中常见的面积问题类型：1.选择填空的简单应用2.不规则三角形的面积用S=3.使用4.使用相似的三角形5.使用分割法将不规则图形转为规则图形例 1如图 1 所示，已知正方形ABCD 的边长为 1 ， E , F , G , H 为每边的点， AE=BF=CG=DH ，设面积为小s 正方形EFGH 为, AE 为x , 那么about s 的x 函数图大致为 (乙)示例 2.回答以下问题：如图1所示，抛物线的顶点坐标为C 点( 1,4 )，与x 轴相交于A 点( 3 , 0)，与y 轴相交于B 点。
抛物线和直线AB 的解析公式；(2)求△ CA AB 和S △ CAB 的垂直高度CD ；(3)假设点P 是抛物线上（第一象限）上的一个移动点，是否存在点P ，使得S △ PA B = 89S △ CA B ，如果存在，求点P 的坐标；如果不存在，请解释原因。
思想分析这个问题是二次函数中的常见面积问题。
该方法不是唯一的。
可以使用截补法，但是有点麻烦。
如图第10题xyABCOM图1B铅垂高水平宽ha图2A xC Oy ABD 112所示，我们可以画出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 21=∆即三角形的面积等于水平宽度与前导垂直乘积的一半。
掌握了这个公式之后，思路就直截了当，过程也比较简单，计算量也相对少了很多。
答： （1）据已知，抛物线的解析公式可以设为y 1 = a ( x - 1 ) 2+ 4 ( a ≠ 0 ) 。
将A (3, 0)代入解析表达式，得到a = - 1 ，∴抛物线的解析公式为y 1 = - ( x - 1 ) 2+ 4，即y 1 = - x 2+2 x +3。
反比例函数中及面积有关的问题
反比例函数中与面积有关的问题知识点回忆由于反比例函数解析式及图象的特殊性，很多中考试题都将反比例函数与面积结合起来进展考察。
这种考察方式既能考察函数、反比例函数本身的根底知识内容，又能充分表达数形结合的思想方法，考察的题型广泛，考察方法灵活，可以较好地将知识与能力融合在一起。
下面就反比例函数中与面积有关的问题的几种类型归纳如下：利用反比例函数中|k|的几何意义求解与面积有关的问题设P为双曲线上任意一点，过点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足分别为M、N，那么两垂线段与坐标轴所围成的的矩形PMON的面积为S=|PM|×|PN|=|y|×|x|=|xy|∴xy=k故S=|k|从而得结论1：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积S为定值|k| 对于以下三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可得出对应的面积的结论为：结论2：在直角三角形ABO中，面积S=结论3：在直角三角形ACB中，面积为S=2|k|结论4：在三角形AMB中，面积为S=|k|类型之一k与三角形的面积k〔k＞0〕经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直※1、如图，双曲线y=x角边AB相交于点C．假设△OBC的面积为6，那么k=______．最正确答案过D点作DE⊥x轴，垂足为E，1k,由双曲线上点的性质，得S△AOC=S△DOE=2∵DE⊥x轴，AB⊥x轴，∴DE∥AB，∴△OAB∽△OED，又∵OB=2OD，∴S△OAB=4S△DOE=2k，由S△OAB-S△OAC=S△OBC，得2k-21k=6，解得：k=4．故答案为：4．2、如图1-ZT-1，分别过反比例函数y=x2018(x＞0)的图象上任意两点A、B作x 轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OA、OB，设△AOC和△BOD的面积分别是S 1、S2,，比拟它们的大小，可得A.S1＞S2B.S1=S2C.S1＜S2D.S1、S2大小不确定。
一次函数图像与面积问题 (新)
3
3当x=3 3时，y= ∴C(
(-2， A 0)
B，(2)， 0)
（3）S△ABC ×AB×CD
=
8
3
=
×4×
16
答：△AB3C的面1积6 为
.
=3
回顾反思：
这节课知识方面你收获了什么？ 数学思想方法方面你收获了什么？ 学习习惯方面你又收获了什么？
2、已知直线y=-2x+4与x轴交于点B，该函数图 像上有一动点C，以点B、点C与原点为顶点的三 角形面积为8，求C点的坐标。
y
O
B
x
谢谢大家 ！
令（y31 ）=yS2，△A则BC=-2当x+x=4==2x时-2，,xy==22, -
C(22=0∴C(2，0×) AB×OC
，
0)
×6×2
=
答：△ABC的面积为6. =6
思考提升：
如果一次函数图像与坐标轴围成一个三角形，求该三角形 面积的思路是什么？
1、找出三角形标出顶点字母 2、分析顶点并计算坐标 3、找出三角形的底和高并计算底和高 4、计算三角形的面积
成了一个三角形
（1）请找出这个三角形，标上字母
（2）写出三角形三个顶点的坐标
（2）求该三角形的解面：积 （2）令x=0，则
y=3×0+3=3，∴A（0,3）
A(0
令y=0，则 0=3x+3,x=-1, ∴B(-1，0)
(- B 1
， 3)
（3）S△AOOB （0=,0） ×OB×OA
，
=
0)
×1×3
拓展提升
1：、已知两条直线y1=-2x+4、y2=x+2与x轴围成了一个
反比例函数中的面积问题
解得 k=2 评注：第①小题中由图形所在象限可确定k>0，应用结论可直接求k值。 第②小题首先应用三角形面积的计算方法分析得出四个三角形面积相 等，列出含k的方程求k值。
例2（2008贵州省黔南州）如图，矩形ABOD的顶点A是函数 与函数 在第二象限的交点， 轴于B， 轴于D，且矩形ABOD的பைடு நூலகம்积为3． （1）求两函数的解析式． （2）求两函数的交点A、C的坐标．
图象上，∴
解得x=1从而所求面积为π 评注：对于较复杂的图形面积计算问题，先应观察图形的特征，若具有 对称特征，则应用对称关系可以简化解题过程。
四、 讨论与面积有关的综合问题 例8．（2008山东省）（1）探究新知：
如图1，已知△ABC与△ABD的面积相等， 试判断AB与CD的位置关系，并说明理由． （2）结论应用：
与x轴交于点C，其中点A的坐标为（－2，4），点B的横坐标为－4. （1）试确定反比例函数的关系式； （2）求△AOC的面积.
.解：（1）∵点A（-2，4）在反比例函数图象上 ∴k=-8 ∴反比例函数解析式为y=
（2）∵B点的横坐标为-4， ∴纵坐标为y=2 ∴B(-4，2) ∵点A（-2，4）、 点B（-4，2）在直线y=kx+b上 ∴ 4=-2k+b 且2=-4k+b 解得 k=1 b=6 ∴直线AB为y=x+6 与x轴的交点坐标C（-6，0）
（3）若点P是y轴上一动点，且 ， 求点P的坐标．
解：（1）由图象知k<0，由结论及已知条件得 -k=3 ∴
∴反比例函数的解析式为 ，一次函数的解析式为 （2）由 ，解得 ，
∴点A、C的坐标分别为（
，3），（3， ） （3）设点P的坐标为（0，m） 直线 与y轴的交点坐标为M（0，2） ∵
二次函数应用几何图形的最大面积问题教学课件
求解极值点
通过求导数并令其为0，找到函 数的极值点。
确定最大面积
根据极值点和单调性，确定几 何图形的最大面积对应的点。
05
练习题与答案解析
练习题
01
02
03
题目1
一个矩形ABCD的面积为 12，其中AB=2，求BC的 最大值。
题目2
一个直角三角形ABC的面 积为6，其中∠C=90°， AC=3，求BC的最大值。
详细描述
首先设定三角形的底和高为二次函数 的变量，然后根据二次函数的性质， 找到使面积最大的底和高的值。
利用二次函数求圆形面积的最大值
总结词
通过设定圆的半径为二次函数的变量 ，利用二次函数的性质求圆的最大面 积。
详细描述
首先设定圆的半径为二次函数的变量 ，然后根据二次函数的性质，找到使 面积最大的半径的值。
02
几何图形可以由二次函数图像与x 轴、y轴的交点确定，进而形成三 角形、矩形、平行四边形等。
二次函数的最值与几何图形面积的关系
二次函数的最值出现在顶点处，此时 对应的x值为函数的零点或对称轴。
几何图形面积的最大值或最小值出现 在二次函数最值处，可以通过求导数 或配方法找到最值点。Βιβλιοθήκη 02常见几何图形面积公式
题目3
一个等腰三角形ABC的面 积为10，其中AB=AC， ∠B=45°，求BC的最大值 。
答案解析
解析1
设BC=x，则矩形的面积可以表 示为2x=12，解得x=6。由于AB 已经给定为2，所以BC的最大值
为6。
解析2
设BC=x，则直角三角形的面积 可以表示为1/2×3x=6，解得 x=4。由于AC已经给定为3，所
函数图像中的面积问题
------函数图象中的面积问题
晋江市松熹中学 赖素新
1.学会用代数法表示与函数图象相关的几何图 形的面积，并能用函数图象的性质解决相关 问题； 2.领会转化、数形结合、分类讨论的数学思想 在函数问题中的应用.
1.直线y=-3x+6的图象与坐标轴交于A、B两点，
6 则△ABO的面积是________ ．
对称，则反比例函数 y 组成的阴影部分的面积等于_______ π （结果保留π）．
k 的图象与⊙A、⊙B相交 x
例1.如图，直线y=-3x+6交x轴、y轴于A、B两点，直线y=x+2交
x轴、y轴于C、D两点,两直线交于点E.求四边形ODEA的面积．
y=-3x+6 y=x+2
D
E
C
F
k 例2．如图，已知点A在x轴上,∠0AB=90°,双曲线 y 与AB交 x 于点C,与OB交于点D.
S△NBC m m 2 2
3 3 27 (m ) 2 2 2 8
(-1,0) A O
B (3,0)
3 当m 时， 2
x
2 27 y=-x +2x+3 S△NBC 最大值为 8
解：S
△NBC
S四边形NBOC S△BOC
y
C
S梯形NHOC S△BHN S△BOC
(0,3) 1 1 1 （OC NH） OH BH NH OC OB 2 2 2
N
3 2 9 m m 2 2
(-1,0)A O
3
B(3,0) H
x
y=-x2+2x+3
解：过点C作CG⊥NF，垂足为点G，
人教版反比例函数图象中的面积问题
思考
图中的这些矩形面积相等吗？
结论：
y
过双曲线上任意一点作x轴、 y轴的垂线，所得矩形的面 积S为定值，即S=|k|.
y k x
O
x
如图，已知点P(m,n)在函数y= k （k＞0）
x
的图像上，PB⊥y轴，垂足为B，O’A在x轴
反比例函数图象中的面积问题
y
y
0
x
0
x
探究1 反比例函数与矩形的面积
k 已的象足知图(上 分2点像)点过 的 别上PPP 一是(（分 m，点点m,那n,A，过)、么别 在n点x）Bm函轴 P，是分n,数作 则y反=别轴 yS比y向2矩=形例xO的 轴函kAxP、B数.,=垂 y_垂 轴y_|_作k_kx|_足 垂(线 _k_≠线_0.),分 垂图A,B,别
B P(m,n)
(或y轴）的垂线，所得直 O’ O
x
角三角形的面积S为定值，
即S=
1 2
|k|
.
探究3
任意正比例函数与反比例函数 图象交于A、B两点，那么
y k (k 0) x
△ABC的面积为多少呢？
y
A
C
D
图7
x
B
反比例函数与正比例函数围成的图形面积
变式：任意正比例函数与反比例函数 y＝ k 图像相交，
则a-b的值是多少？（中考题）
⊿AOB的面积。
图中面积相等的图形有哪些？
y
y k x
O
x
学会寻找图像中的基本构图、寻找单位面积 矩形或三角形、寻找变化中的不变量
拓展.如图，已知点A，C在反比例函数 y 的图象上，点B，D在反比例函数 y b(b
初中涉及二次函数图像题目面积问题的数学模型化教学探究——从模
初中涉及二次函数图像题目面积问题的数学模型化教学探究—从模型化提高综合题课堂效率广州市第六十七中学(510400)边志强一、引言数学新教材的最大特点就是体现素质教育的要求,重视以人为本,遵循学生认知规律和教育教学规律.根据不同年龄段学生身心发展特点,贴近学生的生活经验,坚持减轻负担,控制容量和难度.注重以能力为重,注重培养学生的创新精神和实践能力,关注教与学的过程和方法,激发学生的求知欲和创造潜力.引导学生运用数学知识,去解决实际问题,培养应用意识与能力.并且随着课堂教学改革的深入开展,我们要鼓励学生主动参与,主动思考,主动探究,主动实践为基本特征,以实现学生多方面能力综合发展为核心,提高学生的数学基本素养,综合培养学生的各种能力.努力激发学生的学习兴趣,充分调动学生的学习积极性和主动性.教会学生自主学习,教会学生自主思考,教会学生自主探索,教会学生自主总结,使学生真正成为学习的主人.但从一线教学过程的反馈信息看,初中生对综合性的题目普遍感到害怕,特别是文字较多、背景复杂的题目更是束手无策.主要原因是学生不能运用数学知识建立解决问题的数学模型.二、涉及二次函数图像题目面积(以下简称“面积问题”)问题在中考的地位二次函数问题是近几年来广州市中考的热点,在2009年至2012年连续四年在第22题考查了二次函数的题目,2013年在第23题出了考查二次函数知识的题目,这是因为一方面二次函数的基本内容与现代数学的发展有密切的练习,是继续学习数学的基本知识,是符号化研究数学的继续,是数学结合思想的近乎完美的体现;另一方面围绕二次函数能全面考察对函数形态的分析,以二次函数为载体把数的运算和证明与图形融合在一起,把方程、不等式、绝对值、最值、动点、面积等知识融合起来,很好的体现了数学学科的内在联系和知识的综合运用,体现了在知识交汇点上设计题目的指导思想.能比较全面的考查学生数学运算、证明、观察、讨论、总结的数学能力.初中考查二次函数的内容有:解析式问题,图像问题,面积问题,不等式问题,二次函数与方程,二次函数最值,二次函数与直线,二次函数实际应用.这些内容通常并不单一考查,而是一道题目中出现几个相关内容的考查,在这些之中,笔者认为“面积问题”是其中集大成者,考查的可以包含有数形结合,分类讨论的思想,动点问题,最值等基本数学思想和方法,又可以进一步拓深至考查四边形等的面积问题,因此二次函数图像中的面积问题就像二次函数王冠上的瑰丽的珍珠,熠熠发光.二次函数结构概括图:图1三、“面积问题”在教学课堂改革的可探究性和必要性“面积问题”如此重要,掌握了这种题目的基本思路和类别,然后将他们分门别类的适当数学模型化,就能使得题目了然于心.下面分别从四个方面来说建立“面积问题”的模型的可行性和知识储备.1.知识点的储备.从上面的概括图可以看到二次函数的概念,二次函数的图像和特征,二次函数的图像性质,二次函数的最值,二次函数的解析式这些是学生已经熟练掌握的基本的知识并且学生在前面的章节中也已经学习过多边形的面积公式,特殊多边形的特点,平面直角坐标系相关内容.2.进入初三复习一段时间的学生,无论在题目的阅读、理解还是解答的书写和论证上的能力远远超过了初二简单证明两个三角形全等时的能力.也能从一定程度上抽丝剥茧的从隐含的条件中找出解答所需思路.3.“面积问题”本质上均转化为线段问题,线段问题进而转化为点的问题,因此可以适当建立一个通用通法的模型.4.上面所述二次函数在中考中的地位也决定了要突破“面积问题”,才能使学生数学素养得到提高,数学解题能力提升.四、“面积问题”的模型模型1.含有曲线部分面积例1:如图,已知抛物线y =ax 2+bx +c 经过点A (0,3),B (3,0),C (4,3),图2(1)求抛物线的函数表达式;(2)求抛物线的顶点坐标和对称轴;(3)把抛物线向上平移,使得顶点落在x 轴上,直接写出两条抛物线、对称轴和y 轴围城的图形的面积S (图中阴影部分).(佛山,2013)作为初中教学,因为没有学习定积分,所以在此类涉及到二次函数这样的曲线作为部分边界的面积时,所能考查的题目不多,只能利用图像的对称性和平移来出题,解题模型也较易掌握.属于此模型的还有:题目1:如图,抛物线的顶点为P (−2,2),与y 轴交于点A (0,3).若平移该抛物线使其顶点P 沿直线移动到点P ′(2,−2),点A 的对应点为A ′,则抛物线上P A 段扫过的区域(阴影)图3的面积为.(河南,2013)除此模型外,其它“面积问题”都是多边形的面积,作为最简单的多边形——三角形,就成为“面积问题”的基础,下面只从求三角形面积阐述.模型2.特殊定点连线围成面积例2:如图,已知抛物线y =2x 2−2与x 轴交于A,B 两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C.求出以点A,B,C 为顶点的三角形的面积.(梅州,2013)图4此模型的题目,通常考查例抛物线与坐标轴交点、顶点等特殊点连线与坐标轴所围成的图形的面积,其模型的解答:利用好与坐标轴重合部分作为底,只要向该底作高(其值常为某个点纵(横)坐标的绝对值),即可就出面积.属于此模型的题目还有:题目2:已知抛物线y =x 2−4x +3与y 轴交点为P,与x 轴交于A,B 两点(点A 在点B 的左侧),求直线P B 的函数解析式及∆P AB 的面积.(柳州,2012)图53.不定点面积此大模型的题目通常某些点确定,确定另外一个点,使得构成图形的面积满足题目要求.细分为以下两个小模型模型3.1所确定的点在坐标轴上例3:如图,已知抛物线y =2x 2−2与x 轴交于A,B 两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C.在y 轴上求一点P 求出以点A,B,P 为顶点的三角形的面积等于∆ABC 的面积.图6可以看到这个题目是模型2例题的延伸,不但要能正确求原来模型2例题的面积,还考查了简单的动点问题.虽然从定点变为动点问题,但三角形的一条边所在直线刚好和坐标轴重合(或者与坐标轴平行),所以该条边长比较容易找,只需要再从另外的点向这条边所在直线作垂线,即是图形的高(而这个高通常是所求点的某坐标值的绝对值).所以学生理解此模型并不困难.类似的题目3:如图,二次函数y =−12x 2+2与x 轴相交于A,B两点,与y 轴相交于C 点,点P 从A 出发,以1个单位长度速度向B 运动,点Q 同时从C 点出发,以相同速度向y 轴正方向运动,运动时间为t 秒,点P 到达B 点,点Q同时停止图7运动,设∆P QC 的面积为S,求S 关于t 的函数解析式.(黄冈,2011)模型4.2在某条直(曲)线上的点例4:如图,抛物线y =−38x 2−34x +3与x 轴交于A,B 两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C,(1)求点A,B 的坐标.(2)设D为该抛物线对称轴上的任意图8一点,当∆ACD 的面积等于∆ACB 面积时,求点D 的坐标.(广州,2012)本题将两个点确定,求动点D 的坐标,其实本题只需要将第(2)问中的∆ACD 改为∆ABD,就和例3所反映的模型一样.但就是一个字母的差别,使得底的特殊性不再存在.我们重新思考例3模型的解法:我们既可以认为是底的特殊性造成,同时也可以说是运用了“同底,同高,同面积”的思路:保持了三角形的底不变,找与原来高相等的点即可,把这样的拓展思路运用到这道例题上,不难发现,我们只需保证AC 作为底不变,在对称轴上找一个点使得它到直线AC 的距离等于原来∆ACB 的底边AC 上的高即可(点b 到直线AC 的距离).初中阶段点到直线的距离公式没有学习,因此找该点可以有以下三个思路来找:1⃝构造平行线的方法.通过原来的已知高的点构造平行于底的直线,然后求此直线与已知直线(或曲线)的交点即为所求.2⃝采用割补法.用平行于坐标轴(或者直接是坐标轴)的直线将所求三角形面积分割成模型3的多个图形的面积和即可.3⃝相似图形法.利用向坐标轴作垂线构造几个相似三角形,利用相似形的比例关系求线段长度进而求点的坐标.不妨再从下面的题目体验下此模型.题目5.如图示,二次函数y =−x 2+2x +m 图像与x 轴交点为A (3,0),另一个交点为B,且与y 轴交于点C,(1)求m 的值.(2)求点B 的坐标.图9(3)该二次函数图像上有一点D (x,y ),使得S ∆ACD =S ∆ABC ,求点D 坐标.(贵阳,2011,稍有改动)将上述四个模型之间的结构进行整理如下:图10五、“面积问题”模型在数学课堂探究中对学生能力的具体体现1.克服心理障碍复习过程中将一个“面积问题”解决下来,既复习了二次函数的基础知识,又帮助学生克服了见到综合题目的畏难情绪,使得学生在中考这样的综合考试中见到综合题目能够有“心不怕,能拿下”的必胜信心.2.多个变量关系的梳理“面积问题”的题目,初了外,通常还有点的坐标、运动时间等参数,对于学生很好的理解数学的符号化、抽象化,具有非常好的示例作用.可以说具有能够将二次函数的题目变量关系进行恰当梳理的学生,在中考中其它的题目都不在话下.比如题目3中变量关系的梳理.3.数形结合的应用在新课程改革的背景下,强调对基本数学思想的掌握和考查,而作为最基本的数学思想之一:切实掌握数形结合的基于学习迁移及信息技术在七年级数学课堂上的应用广东华侨中学(510030)肖莲花一、有效教学概况20世纪90年代末教育界开始涌现“有效教学”这个名词.随着基础教育课程改革的进行,“有效教学”研究受到学者和一线教师的高度重视.近十年来,国内学者在该领域进行了很多探索性研究,并取得阶段性研究成果.那么,究竟什么是有效教学呢？有效教学,是指在教学活动的客观规律下,以尽可能少的投人,取得尽可能多的产出,从而实现教学目标,满足社会、个人的教育需求,体现教育价值.简而言之,有效教学要有效果、有效率、有效益.有效教学研究的核心是课堂的有效性.课堂有效教学是指在在课堂时间地点的特定范畴下,以尽可能少的投人,取得尽可能多的产出,从而实现教学目标,满足社会、个人的教育需求,体现教育价值.课堂教学中尤其要注意教师和学生两大要素.教师是课堂教学的主导,他控制教学活动进程,各教育元素间的结合.学生是课堂教学的主体,是课堂教学目标的体现者,学生的主观能动性决定了教学目标的实现.新课程实施的核心是课堂教学,提高课堂有效性,就是要解决好:教师应该怎样教是有效的?学生应该怎样学是有效的?有效教学的理念告诉我们,有效教学是教师“教”学生学会“学习”,教师为学生提供和创设适宜的学习环境和条件帮助、促进学生的学习,学生积极参与教学活动,主动接受学习.要教学发挥有效的促进作用,必须教师和学生精确的保持一致.本文以新课程理念为指导,以有效教学为依托,结合中学生的心理特征,从课程导入、课堂提问、小组合作、教学技术四个方面,对于新课程下如何进行有效教学进行简单思考和实践.二、新课程理念下的有效课堂教学教学过程是教师的教和学生的学的有机结合.新课程要求培养学生的创新意识,让学生学会学习.在课堂教学过程中,学生是主体,要充分发挥学生的主观能动性,一定要让学生参与到教学过程中,实现师生、生生互动,这样才能真正提高教学的有效性,在课堂教学模式方面,国内很多学者进行了很多研究,一线教师也要很多比较有效的方法.下面从复习引入、问题情境创设和小组合作、信息技术学习四方面阐述课堂有效教学教学过程中的策略.1.创设情境,导入课题1⃝联系实际,情境导入教学中,有许多老师,尤其是刚参加工作的年轻教师,只图表现气氛热烈,闹闹哄哄,追求形式上的活泼,而把学生的兴趣和注意力都引到看热闹上去,或过多的占用课堂教学时间,影响教学效果,结果偏离了主题,一堂课下来,费时不少,收效甚微.导入是新课中的一个过渡环节,要简洁、短小精炼,一般控制在5分钟以内,避免长时间的导入占据了最佳学习时间,使学生产生注意力的转移,而不能达到预期目标.笔者之前也犯了同样的误区,为了导入而导入如:案例一,销售中的盈亏,为了使课堂生动些,我引入图片,但却忘记与教学内容的衔接.几经思考,修改为思想将使得学生终身受益.4.注重归类与总结“面积问题”四个模型的建立,使得学生能够按图索骥,找到题目所对应模型,进而从模型思路上解题,根据不同模型进行分类复习做到有的放矢,思路清晰.5.剔除背景,消叶突干的化繁为简的理性思维数学问题的背景千变万化,但考查的数学知识却万变不离其宗,将问题的枝叶剔除,突出主干问题,就能根据主干问题找到解决的数学方法和思路,比如,学生总结了后面的不定点模型,就知道了解决“面积问题”核心的数学思路是“等底,等高,等面积”,将等面积问题转化为等线段问题.6.课堂教学的参与学生在解决综合问题时,可能不能一次性完整解决,但在各个小问题上,都能充分发挥学生的参与热情.比如上述几个例子中均需求特殊点坐标,平行线解析式等.学生的参与才能使得课堂的有效性得以提升.7.模型化思想的建立,使得学生在今后的学习和生活中,能够将数学化繁为简,转化的基本素养恰当运用,做到事半功倍.。
函数的图像和面积
中考数学压轴题突破练习——函数的图像和面积例1：如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边分别在x 轴和y 轴上，82OA =cm ， OC=8cm ，现有两动点P 、Q 分别从O 、C 同时出发，P 在线段OA 上沿OA 方向以每秒2 cm 的速度匀速运动，Q 在线段CO 上沿CO 方向以每秒1 cm 的速度匀速运动．设运动时间为t 秒． （1）用t 的式子表示△OPQ 的面积S ；（2）求证：四边形OPBQ 的面积是一个定值，并求出这个定值； （3）当△OPQ 与△PAB 和△QPB 相似时，抛物线214y x bx c =++经过B 、P 两点，过线段BP 上一动点M 作y 轴的平行线交抛物线于N ，当线段MN 的长取最大值时，求直线MN 把四边形OPBQ 分成两部分的面积之比．例2：如图，在△ABC 中，∠C=45°，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ 的一边QP 在边上，E 、F 两点分别在AB 、AC 上，AD 交EF 于点H ． （1）求证：；（2）设EF=x ，当x 为何值时，矩形EFPQ 的面积最大？并求其最大值；（3）当矩形EFPQ 的面积最大时，该矩形EFPQ 以每秒1个单位的速度沿射线QC 匀速运动（当点Q 与点C 重合时停止运动），设运动时间为t 秒，矩形EFPQ 与△ABC 重叠部分的面积为S ，求S 与t 的函数关系式．例3：问题情境：已知矩形的面积为a （a 为常数，a ＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长BA PxCQ OE NM D CB A O yx最小？最小值是多少？数学模型：设该矩形的长为x ，周长为y ，则y 与x 的函数关系式为2()(0)a y x x x=+＞． 探索研究⑴我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数1(0)y x x x=+＞的图象性质．① 填写下表，画出函数的图象：x ……1413121 2 3 4 ……y …………②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质； ③在求二次函数y =ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．请你通过配方求函数1y x x=+(x ＞0)的最小值． 解决问题：⑵用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案．例4：如02/131.0.33121212的坐标分别为（3-，0）、（0，4），抛物线223y x bx c =++经过B 点，且顶点在直线52x =上．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若△DCE 是由△ABO 沿x 轴向=9太弱最新v 右平移得到的，当四边形ABCD 是菱形时，试判断点C 和点D 是否在该抛物线上，并说明理由；（3）若M 点是CD 所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M 作MN 平行于y 轴交CD 于点N ．设点M 的横坐标为t ，MN 的长度为l ．求l 与t 之间的函数关系式，并求l 取最大值时，点M 的坐标．1xyO 1 3 4 5 2 23 54 －1－1。
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专题一 函数图像中的面积问题
一、中考要求
1.学会用代数法表示与函数图象相关的几何图形的面积，并能用函数图象的性质解决相关问题；
2.领会转化、数形结合、分类讨论的数学思想在函数问题中的应用.
二、基础再现
1.直线y=-3x+6的图象与坐标轴交于A 、B 两点，则△ABO 的面积是________．
2.二次函数y=-x 2+2x+3的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，△ABC 的面积为_______.
3.反比例函数x
k y =的图象如图所示，点M 是该函数图象上一点，MN 垂直于x 轴，垂足是点N ，如果S △MON ＝2，则k 的值为______. 4.如图，已知半径为1的⊙A 、⊙B 关于原点O 中心对称，则反比例函数x k y =
的图象与⊙A 、⊙B 相交组成的阴影部分的面积等于_______（结果保留π）．
三、例题解析
例1.如图，直线y=-3x+6交x 轴、y 轴于A 、B 两点，直线y=x+2交x 轴、y 轴于C 、D 两点，两直线交于点E.求四边形ODEA 的面积．
例2．如图，已知点A 在x 轴上，∠OAB=90°，双曲线x k y 与AB 交于点C ，与OB 交于点D.
(1)若点B 的坐标为(6，4)，点D 为OB 中点，求△AOC 的面积.
(2)若OD ：DB=1：2，若△OBA 的面积等于9，求k 的值。
例3.已知二次函数y=-x2+2x+3的图像分别交x 轴、y 轴于A 、B 、C 三点.
（1）若D 为抛物线上的一动点(点D 与点C 不重合)，且S △ABD =S △ABC ；求点D 的坐标.
（2）已知点N 为二次函数图象上的一个动点，且点N 在直线BC 的上方（点N 与B 、C 不重合），设点N 的横坐标为m.
①用含m 的代数式表示△NBC 面积;
②求△NBC 面积的最大值.
D C
E
y=x+2
y=-3x+6
四、反馈练习
1.如图，直线y=2x+3与直线y=-2x-1交于点C ，两直线与y 轴交于A 、B 两点.则S △ABC =_____.
2.如图，过x 轴正半轴上的任意一点P ，作y 轴的平行线，分别与反比例函数x y 6-=和x
y 4= 的图象交于A 、B 两点．若点C 是y 轴上任意一点，连接AC 、BC ，则S △ABC =_______.
3.如图，抛物线22
3212--=x x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，若点M 是线段BC 下方的抛物线上一点，求△MBC 的面积的最大值，并求出此时M 点的坐标．。