1-2复变函数的极限
复变函数求极限的方法
复变函数求极限的方法摘要本文对复变函数求极限问题作了较系统的归纳和总结,并通过例题解析了这些方法。
关键词复变函数极限方法在一般的教科书中,没有对复变函数极限的求法作详细的讨论,而主要把复变函数的极限问题转化为它的实部和虚部,即两个二元实变函数的极限问题来讨论。
但对许多复变函数而言,写出它的实部和虚部都比较麻烦,从而增加了求极限的复杂性。
针对此问题,本文给出了几种求复变函数极限的常规方法,并通过例题解析了这些方法。
1 转化为两个二元实变函数求极限设, , ,则。
2 利用复变函数的连续性利用复变初等函数的连续性(如: 、(正整)、、、、在整个复平面均连续; 、(不是正整数) 在除去原点和负实轴上的点外处处连续等等),以及复变函数的连续性满足四则运算、复合运算,可知如果一个复变函数是由复变初等函数和常数经过四则运算和初等运算构造的,我们可先判别它在极限点的连续性,如果连续,则极限等于函数在极限点的函数值。
例1 求。
解由于在z和cosz 均在点z=0连续,且仅当(k为任意整数)时,cosz=0 ,所以在点z=0连续,从而。
3 利用等价无穷小求极限利用一些复变函数的泰勒展开式,我们可以证明有些实函数的等价无穷小在复变函数中也成立。
如:当z→0时,(1);(2) ;(3) ;其中(3)式中的只取主值分支。
这里我们给出和的证明:根据sinz 的泰勒展开式知,所以, 。
例2 求。
解。
注:和实函数一样,和或差中的项不能用等价无穷小代替。
4 利用洛必达法则求未定式的极限复变函数也有洛必达法则,但与实函数相比稍稍有点差别例3 求。
解显然当z→0 时,是未定式。
所以例4 求解我们知道:若z0 是的可去奇点、极点和本性奇点,则分别为、和既不存在也不为。
例5 求。
解因为在z=0的某去心领域内,有洛朗展开式,从而z=0是的本性奇点,所以既不存在也不为。
参考文献:[1]西安交通大学高等数学教研室.复变函数(第四版)[M],北京:高等教育出版社,1996.[2]钟玉泉.复变函数论(第二版)[M],北京:高等教育出版社,1988.[3]贺君燕.复函数的洛必达法则[J],高等数学通报,2008,70(4):47-49.[4]李成章,黄玉民.数学分析[M],北京:科学出版社,1999.。
复变函数及积分变换第二章
x
arg z在负实 轴上不连续.
若z0=x0+iy0不是原点也不是负实轴及虚轴上的点
arctan( y / x),
arg z arctan( y / x) π,
arctan( y / x), arctan( y / x),
x0 0
lim
z z0
arg
z
lim
( x, y)( x0
,
y0
)
arctan(
) ，则说函数 f(z) 在点 z0 处连 内每一点都连续，那么称函
数f(z)在区域D内连续.
定理2.3 若 f(z)、g(z) 在点z0连续，则其和、差、积、 商（要求分母不为零）在点z0处连续.
(1)多项式 w a0 zn a1zn1 an1z an 在整个复平
面上连续；
(2)任何一个有理分式函数
例2.2 判断下列函数在原点处的极限是否存在，若存
在，试求出极限值：
(1) f (z)
z Re(z) ; z
(2) f (z)
Re( z
z
2
2
)
.
解： (1)方法一
因为
f (z)
z
Re(z) z
z
所以 0，取 ，当0 z 时，总有
f (z) 0 f (z) z
根据极限定义 lim f (z) 0 z0
解：dw lim f (z Δz) f (z) lim (z Δz)n zn
dz Δz0
Δz
Δz 0
Δz
Δlizm0(Cn1 zn1 Cn2 zn2Δz
C n1 n
zΔz
n2
Cnn Δz n1 )
Cn1zn1 nzn1,
复变函数的极限
当 z 沿直线 y kx 趋于零时,
lim u( x, y) lim x lim
x
x0
x0 x2 y2 x0 x2 (kx)2
ykx
ykx
9
lim
x
1 ,
x0 x2(1 k 2 )
1 k2
随 k 值的变化而变化,
所以 lim u( x, y) 不存在, lim v( x, y) 0,
第2章 导数
Derivatives
1
2.1 复变函数的极限
2.1 复变函数的极限
1. 极限的定义（the definition of limit ）: 设函数 w f (z) 定义在 z0 的某去心邻域
0 z z0 内, 如果有一确定的数A 存在, 对于任意给定的 0, 相应地必有一正数 ( ) 使得当0 z z0 (0 )时,有 f (z) A
说明
[证毕]
该定理将求复变函数 f (z) u( x, y) iv( x, y)
的极限问题, 转化为求两个二元实变函数 u( x, y)
和 v( x, y)的极限问题.
7
定理二
设 lim f (z) A, lim g(z) B, 那末
zz0
zz0
(1) lim[ f (z) g(z)] A B; zz0
w P(z) a0 a1z a2z2 anzn , 对复平面内的所有点z 都是连续的; (2) 有理分式函数 w P(z) , 其中 P(z) 和 Q(z) 都是多项式,
Q(z) 在复平面内使分母不为零的点也是连续的.
20
2. 关于连续的例题:
21
例3 证明:如果 f (z) 在 z0 连续, 那末 f (z) 在 z0 也连续. 证 设 f (z) u( x, y) iv( x, y),
1-2复变函数的极限解析
称为z0的 邻域，记作U (z0 , )
复 变 函 数 与
由 0 |z z0 | ( 0) 所
确定的平面点集，称为
• z0
积
分 变
z0的去心 邻域，
换
记为U o(z0 , ).
内点: 对任意z0属于点集E，若存在Ｕ(z0 ,δ)，
哈
使该邻域内的所有点都属于E，则称z0
立点所构成.
二、简单曲线（或Jardan曲线)
平面上一条连续曲线可表示为：
哈
尔 滨 工 程 大
x x(t)
y
y(t )
( t ),
学 其中x(t)、y(t)是连续的实变函数。
复 变 函
若x '(t)、y'(t) C[a, b]且[x '(t)]2 [ y'(t)]2 0
尔
滨 工
其边界为点集 ：{z | | z a | r}
程
大
学 例2 点集 z r1 z z0 r2是一有界区域,
复
变 函 数
其边界由两个圆周 z z0 r1, z z0 r2构成.
与
积
分 变
如果在圆环内去掉若干个点,它仍是区域,
换 但边界有变化,是两个圆周及其若干个孤
尔
滨
工 程
z( ) z( )的简单曲线，称为简单闭曲线,
大 学
或约当闭曲线.
复
变
函
数
与
积
分 变
z( ) z( )
换
简单闭曲线
z( ) z( )
不是简单闭曲线
约当定理（简单闭曲线的性质）
任一条简单闭曲线C：z=z(t)， t∈[a，b]，
1-2复变函数
(不包括端点i ),
不是区域.
18
复变函数
1.设 D 为复平面 C 上的点集，如果有一个法则
f
，
f D z 使得 内任意一点 ，按对应法则 ，都有复数 w 同它对应，则称 f 为定义在点集 D 的一个复变
函数，简称为复变函数，记为 w f ( z ) 。 注解 1：同样可以定义函数的定义域与值域； 注解 2：此定义与传统的定义不同，没有明确指出 是否只有一个
6
课堂练习 判断下列区域是否有界? (1) 圆环域: r1 z z0 r2 ; (2) 上半平面: Im z 0;
r1 r2
z 0
y
(3) 角形域: 0 arg z ;
(4) 带形域: a Im z b.
o x
答案
(1)有界;
(2) (3) (4)无界.
7
二、单连通域与多连通域
注意:
定义中 z z0 的方式是任意的 .
24
2. 极限计算的定理 定理一 设 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ), A u0 iv0 ,
z0 x0 iy0 , 那末 lim f ( z ) A 的充要条件是
z z0 x x0 y y0
没有重点的曲线 C 称为简单曲线(或若尔 当曲线).
10
如果简单曲线C 的起点和终点重合 ,即 z(a ) z(b) , 那末称 C 为简单闭曲线 .
换句话说, 简单曲线自身不相交. 简单闭曲线的性质: 任意一条简单 闭曲线 C 将复平面 唯一地分成三个互 不相交的点集.
y
边界
内部 外部
o
x
11
，试求它把 z -平面上的
1-2复变函数基本概念
§1.2 复数函数授课要点：区域的概念，闭区域，复变函数的极限，连续的概念。
难点：极限概念及其与实变函数中相关概念的区别1、 邻域：以0z 为圆心，以任意小ε半径作圆，则圆内所有点的集合称为0z 的邻域。
注意，这里说的是“圆内”，“圆边”上的不算。
内点、外点和边界点：设有一个点集E ，若0z 及其领域均属于点集E ，则称0z 为E 的“内”，若0z 及其邻域均不属于E ，则0z 为外点，若0z 的每个领域内，既有属于E 的点，也有不属于E 的点，则称0z 为E 的边界点，边界点的全体称为E 的边界线。
区域：（1）全由内点组成 （2）具有连通性，即点集中任意两点都可以用一条折线连起来，且折线上的点全都属于该点集。
闭区域：区域B 及其边界线所组成的点集称为闭区域，用B 表示。
练习: 下面几个图所示的，哪个是区域？答：(a),(b)皆为区域，(a)为单通区域，(b)为复连通区域，(c)不是区域.例子： ||z r <代表一个圆内区域||z r <代表一个圆外区域12||r z r <<代表一个圆环区域将上面三个式中的 < 换成 ≤， > 换成 ≥，则变成闭区域。
注意：区域的边界并不属于区域，闭区域和区域是两个概念2、复变函数定义：形式和实变函数一样，()w f z =复变函数的定义域不再限于实轴上某个区间，而是复平面上的某个区域. 函数的值域也可以对应复平面上的某个区域（也可能不是）：变量：z x iy =+函数：()(,)(,,)w f z u x y iv x y ==+复变函数的实部和虚部都是一个二元函数（实函数），关于二元实变函数的很多理论都可用于复变函数中（形式可能有所变化）极限：设函数f (z )在0z 点的领域内有定义，如果存在复数A ，对于任意的0ε>，总能找到一个()0δε>，使得：当0||z z δ-<时，恒有|()|f z A ε-<，则称0z z →时f (z )的极限为A ，即0lim ()z z f z A →=对于非数学专业的学生而言，这段话略显晦涩，一个不太严格但直观的表述是：当z 以任意方式逼近0z ，()f z 都逼近A不会因为z 逼近方式之不同，而导致()f z 逼近不同的值，或者发散举例：（1）222()()xy f z i x y x y=+++ 222(,)xy u x y x y =+ 2222lim 22(,)010kx k u x y x x ky k y ==→++→ 结果将因k 之不同而不同，故极限不存在.（2）实变函数例子1()f x x= 0lim ()x f x +→=+∞， lim ()x xf x -→=-∞ 连续：00lim ()()z z f z A f z →== 因为()(,)(,)f z u x y iv x y =+，所以，复变函数的连续问题，可以归结为两个二元实变函数的连续问题。
复变函数的级数
收敛，则当 z z0 z1 z0 时绝对收敛；
n
cn (z z0 )n cn (z1 z0 )n
z z0 z1 z0
n
M z z0 z1 z0
• z1 z0•
z•
因为
z z0 1, z1 z0
n
所以
M z z0 z1 z0
收敛。
cn (z z0 )n 收敛。
n0
cn (z z0 )n 绝对收敛。
n0
如果级数 cn (z z0 )n 在 z z2
n0
则当 z z0 z2 z0 时发散。
处发散，
• z3
利用反证法可以说明：
如 果 在 z3 收 敛 ， 则 在 z2 收敛，矛盾。
z0• •z2
幂级数存在收敛半径 R
R
(1) R 0 时幂级数只在 z z0 点收敛
a
ba
b a
当 z a 1 即 z a ba 时
ba
1
zb
1 ba
n0
z b
a a
n
n0
(b
1 a)n1
(z
a)n
2. 幂级数的性质
定理３.9 级数 an zn 和 bn zn 的收
n0
n0
敛半径分别为 R1 和 R2 则在
z min{R1, R2}
内：
(1) an zn bn zn (an bn )zn
2
n
n0 n!
z 2n
n0 (2n)!
z
2 n 1
n0 (2n 1)!
都收敛
3.2 幂级数
1. 幂级数的概念
cn (z z0 )n c0 c1(z时
cn zn c0 c1z cn zn
复变函数的极限
6在
时极限不存在.
z 0 0 e +∞ 证 当 沿实轴从 的右方趋向于 时, 1z 趋向了
.当
z 0 0 e 0 z 沿实轴从 的左方趋向于 时, 1z 趋向了 .也就是说 以不同
f (z) 的方式趋于原点时,
趋于了不同的点.由函数极限定义即得
2
结论.
2 复变函数极限定理
定理 2.1 设
f (z)=u(x, y)+iv(x, y), z0 = x0 +i y0,
A= a+ib那么 zl→imz f (z)= A
0
(2.1)
的充要条件是
lim u(x, y)=a 且 lim v(x, y)=b .
( x, y)→( x0 , y0 )
( x, y)→( x0 , y0 )
(2.2)
证明 必要性
因为 zl→imz f (z) = A ε ,所以对 ∀ > 0, ∃ δ (ε ) 0 , 0
定 理 2.6 设 函 数 f (z) 在 z0 可 导 , g(h) 在 h0 = f (z ) g[ 0 处可导,则复合函数 f (z)]在 z0处可导,且
g'[ f (z0)]= g'(h0) f '(z0).
定理 2.7 设 w= f (z), z =ϕ(w)是两个互为反函数
ϕ 的单值函数,且 '(w) ≠ 0,那么
导数.类似地，二阶导数为一阶导数的导数，三阶导数为二阶导数的导
17
(n−1) f (z) n 数，…，一般地，
阶导数的导数称为
的 阶导数，
二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数.
18
2.4 解析函数
1 解析函数的概念 2 初等函数的解析性 3 函数解析的充要条件
复变函数第二章 1-2
0
lim u( x , y ) = u0 , lim v ( x , y ) = v0 .
x→ x0 y → y0
若 f ( z ) 在区域 D 内处处连续 , 则称 f ( z ) 在
z = z0
z → 0
f ( z0 + z ) f ( z0 ) . z
（1）
注： （1）式中的极限与 z0 + z → z0 ( z → 0)的方式无关 , 即: 无论 z0 + z 以何种方式趋于 z0 ,
f ( z0 + z ) f ( z0 ) 都趋于同一个数 . z
该极限称为 f ( z ) 在 z0 点的导数 , 记作
1 , 其中 z = ( w ) 和 w = f ( z ) 是互为反函 ′( w ) 数的单值函数 , 且 ′( w ) ≠ 0
注：w = f ( z ) 在 z0 点可导与在 z0 点可微是等价的 .
3
§2.1 解析函数的概念 —— 解析函数
二、解析函数 定义 1.2 若 f ( z ) 在 z0 及 z0 的某个邻域内处处可导 , 则 称 f ( z ) 在 z0 点解析 ; 若 f ( z ) 在区域 D 内的每 个点都解析 , 则称 f ( z ) 在区域 D 内解析 , 或称
lim arg z = π , lim arg z = π .
x= x0 y →0 + x= x0 y→ 0
z z + 在 z = 0 点是否有极限？ 否 . z z Re( z ) 在 z = 0 点是否有极限？ 否 . z
复变函数极限 -回复
复变函数极限 -回复复变函数极限是指在复平面上，当自变量趋于某一点时，函数值趋于某个确定的数值。
这个数值可以是实数或复数。
对于实函数，我们学过单个变量的极限如何计算。
而对于复变函数，它是由一个自变量所构成的复平面上的向量，因此极限的计算方式也有所不同。
考虑一个复变数函数f(z)，当z趋近于某个常数z0时，f(z)的极限可以等于实数，也可以等于复数。
这种情况下，我们可以用复平面上的序列来定义极限。
若存在一个复数L，使得该函数对任意一个接近z0的复数序列z1,z2,...,zn...,其映射后的序列f(z1),f(z2),...,f(zn),...都无限趋近于L，则称函数f(z)在z0处具有极限L，记作：lim f(z)=L，其中z趋近于z0。
需要注意的是，与实变数中极限的定义不同，复变函数的极限通常不等于函数在该点的值。
即使在该点的函数值已经定义，其极限也可以不等于函数值。
因此，极限的存在和唯一性是复变函数理论中研究的重点。
对于复变函数，如果把极限的存在性和唯一性分开讨论，计算它们的方法也不同。
首先，我们来看含有单一自变量的复变函数。
如果函数只依赖于一个自变量，那么从该点出发的任意曲线上的极限都应该是相同的。
这意味着，从z0出发，极限只需要沿着坐标轴以及平行于坐标轴的直线路径来计算即可。
当自变量沿任何路径趋近于z0时，只要其极限都存在，则称函数在z0处全纯。
而对于含有多个自变量的复变函数，确定它们的极限则需要使用更丰富的工具和结论。
在这种情况下，需要先确定自变量沿着那一条路径趋近于z0。
当然，这个路径是任意选取的。
然后才能计算函数的极限。
在计算复变函数的极限时，还需要考虑函数的复杂性。
如果函数在z0处不光滑，那么极限一般是不存在的。
例如，如果函数在z0处有一个极点，那么当自变量趋近于该点时，函数值会无限趋近于无穷大或无穷小。
此时，我们通常将其认为是没有极限的。
如果函数在z0处具有其他的复杂性质，如奇点、震荡等，也可能会导致函数在该处无极限。
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令z( t ) x ( t ) iy( t ), t , 则平面曲线的 复数表示式为 z z( t ) ( t ).
z( ), z( )称为曲线的端点。
简单曲线（Jordan曲线）：除端点z( )和z( )外,
哈 尔 滨 工 程 大 学
本身不自交的连续曲线称为简单曲线。
有w e i z e i re i re i ( )
w u iv (cos i sin )( x iy )
( x cos y sin ) y、v i ( x sin y cos )，
(z)、(w)
复 变 函 数 与 积 分 变 换
x x(t ) ( t ), y y( t ) 其中x ( t )、y( t )是连续的实变函数。
若x '( t )、y '( t ) C [a, b]且[ x '( t )]2 [ y '( t )]2 0 则称该曲线为光滑的.
复 变 函 数 与 积 分 变 换
闭区域 区域D与它的边界一起构成闭区域, 记为D.
复 变 函 数 与 积 分 变 换
有界区域与无界区域
若存在R 0, 使区域D内每一点z0都满足 | z0 | R，则称D为有界区域； 否则为无界区域.
区域的例子:
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例1 圆盘U (a, r )
有界开区域
其边界为点集 ： | | z a | r} {z
四、映射——复变函数的几何表示(P19)
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函数w f ( z )在几何上，可以看成
z G ( z平面) w G ( w平面)的映射.
* w f ( z )
定义域 (z) w=f(z)
函数值集合
w称为 z的象, z称为w的原象.
复 变 函 数 与 积 分 变 换
复变函数的极限四则运算法则：
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z 例2 证明函数f ( z ) 在z 0时极限不存在. z 证 设z x iy ,
复 变 函 数 与 积 分 变 换
z x2 y2 2 xy f (z) 2 2 i 2 2 z x y x y x2 y2 2 xy 令u( x , y ) 2 ， 2 v( x, y ) x y x2 y2 考虑二元实函数u( x , y )，当( x , y )沿着y kx （k为任意实数）趋于0，即 2 1 k lim u( x , y ) lim u( x , y ) 2 不存在 ( x , y )(0,0) x 0 1 k ( y kx )
复 变 函 数 与 积 分 变 换
聚点 : 若点P的任意邻域U ( P )内都包含有E 中的无限个点，则称 P 为 E 的聚点.
点集 E 的聚点 P 可能属于E 也可能不属于E
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区域 设 D是一个开集，且D连通，即D中任 任意两点均可用完全属于D的连线连起 来，称 D是一个区域。
复 变 函 数 与 积 分 变 换
3) z平面上直线x 1, y 2映成w平面上怎 样的曲线？
解 1) w( z1 ) ( 1) 1,
2
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w ( z3 ) (1 i ) { 2[cos
2
i sin ]}2 4 4 2 2 2 ( 2) [cos( ) i sin( )] 2i 4 4
第一章 复数与复变函数
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第二讲 复变函数的极限与连续性 学习要点 掌握复变函数的概念 掌握复变函数的极限与连续性
复 变 函 数 与 积 分 变 换
一 、 复平面上的点集与区域(P15)
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邻域：复平面上以 z0为心, 0为半径的圆: |z z0 | ( 0), 所确定的平面点集， 称为z0的 邻域，记作U ( z0 , )
复 变 ( 0) 所 确定的平面点集，称为 z0的去心 邻域， 记为U ( z0 , ).
z0
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内点: 对任意z0属于点集E，若存在Ｕ(z0 ,δ)， 使该邻域内的所有点都属于E，则称z0 是点集E的内点。 开集: 若E内的所有点都是 它的内点，则称E是 开集。
例3 考察函数w z w u iv ( x iy )2 x 2 y 2 2 xyi
2
因此w z 对应u x y , v 2 xy
2 2 2
复 变 函 数 与 积 分 变 换
例4 将定义在全平面除原点区域上的一对 二元实变函数 2x y 2 2 u 2 ，v 2 ，x y 0 2 2 x y x y 化为一个复变函数 .
以下不再区分函数与映射（变换）。
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实变量的实函数的性质往往可以通过它们 的图形表示出来。但当w=f(z)是复变量时， 就不容易找出方便的图形，这是因为z和w 在一个平面上，而不是一条直线上, 因此，分别在两个平面上画出它们。
复 变 函 数 与 积 分 变 换
例5 研究w z 所构成的映射 .
例2 点集 z r1 z z0 r2 是一有界区域,
其边界由两个圆周 z z0 r1 , z z0 r2构成.
如果在圆环内去掉若干个点,它仍是区域, 但边界有变化, 是两个圆周及其若干个孤 立点所构成.
复 变 函 数 与 积 分 变 换
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二、简单曲线（或Jardan曲线)(P17) 平面上一条连续曲线可表示为：
z ( ) z( )的简单曲线，称为简单闭曲线, 或约当闭曲线.
z( ) z( )
复 变 函 数 与 积 分 变 换
z( ) z( )
简单闭曲线
不是简单闭曲线
约当定理（简单闭曲线的性质）
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任一条简单闭曲线C：z=z(t)， t∈[a，b]， 把复平面唯一地分成两个互不相交的部分： 一个是有界区域，称为C的内部； 一个是无界区域，称为C的外部.
外点
z0 内点
P
复 变 函 数 与 积 分 变 换
边界与边界点: 设有点P，若点P的任何邻域 中既有属于都包含E中的点又有不属于 E的点，则称P是E的边界点；点集E的 所有边界点的集合称为E的边界
闭包： 区域D与它的边界一起称为D的闭包,
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记为D.
孤立点：若z0属于点集E , 但存在z0的某个去心邻 域内无E中的点，则称z0为E的孤立点
复 变 函 数 与 积 分 变 换
C是它们的公共边界。
外部 内部 C z(a)=z(b) 边界
单连通域与多连通域(P17)
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复平面上的一个区域 D ，如果D内的任何简单 闭曲线的内部总在D内，就称 D为单连通域； 非单连通域称为多连通域。
复 变 函 数 与 积 分 变 换
单连通域
z z0
复 变 函 数 与 积 分 变 换
注意：这里，z趋于z0的方式是任意的，即若
极限存在是指z沿着任意方向，以任意 方式趋于z0时，f ( z )都要趋于同一值A。
定理1 设f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y )，在z0的某空心
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邻域内有定义，其中z0 x0 iy0，则 lim f ( z ) A u0 iv0
y
v
(w)
G*
z
o
G x
w=f(z) w o u
复变函数的几何意义是一个映射（变换）
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函数，映射，变换都是一种对应关系的
反映，是同一概念。 分析中，两个变量之间的对应关系称为函数； 几何中，两个变量之间的对应关系称为映射；
复 变 函 数 与 积 分 变 换
代数中，两个变量之间的对应关系称为变换；
其中z 称为自变量， 称为因变量，点集 G 称为 w 函数的定义域.
复 变 函 数 与 积 分 变 换
单值函数 若每个z G，有且仅有一个w与之 对应，称此函数为单值函数。
哈 尔 滨 工 程 大 学
定义一个复变函数w f ( z ), 相当于定义两个 二元实函数u u( x , y ),v v ( x , y )
u x cos y sin 即 v x sin y cos
x、 u
o
—旋转变换(映射)
已知映射w z 2，求 例7
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1) z平面上的点z1 1, z2 i , z3 1 i在w 平面上的象;
x2 y2 a 2) z平面上曲线 映成w平面上 2 xy b 怎样的曲线;
z z0
的充分必要条件为 : lim u( x , y ) u0， lim v ( x , y ) v0
x x0 y y0 x x0 y y0
复 变 函 数 与 积 分 变 换
例1 试求下列函数的极限.
z 1. lim z 1 i z
zz z z 1 2. lim z 1 z 1
多连通域
例如 |z|<R（R>0）是单连通的； 0≤r<|z|≤R是多连通的。
三、复变函数(P18)
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设G 为给定的平面点集，若对于G中每一个 复数z x iy，按着某一确定的法则 f ，总 有确定的一个或几个复数w u iv与之对应， 则称w 是G上的关于z 的复变函数，简称复变 函数，记作w f ( z ).