例谈探索性问题的解题策略
浅析数学中探索性问题的解题策略
例 如 ：． ０９的分 数 表 示 是 否 存 在 ， 在 找 出结 果 ， 存 在 说 存 不 明理由。
分 析 ： 据 有 理 数 的 知 识 ， 何 一 个 有 理 数 都 可 以用 根 任
ｉ ＂ １
（ ｎ 互 质 的 整 数 ） 分 数 形 式 表 示 ， ０３ ，．‘ ，。 ｍ，为 的 如 ＿ １ ０９ Ｏ 但 ＝ ’＝ ７ ７
３ ９ ９
ｙ ３ １上 ｘ 于 整 数ｍ时 点 的集 合 ． ＡｎＢ ， ＝ ｘ＋ ５ 等 若 ≠ 即存 在 ａｂ 、及 整 数 ｐ ａ ＋ ＝ ｐ＋ ５ 使 ｐ ｂ ３ １ 成立 。 其 几 何 意 义 是 点 Ｐ ａ ｂ 在 直 线 Ｌ （ ，） ：
同 时 成立 。 分析 ： 题 是 存 在 性 问 题 ， 先 假 设 存 在ａ ｂ （ ） （ ） 本 可 、使 １ 、２ 同 时成 立 。 为探 索 本 题 结 论 ， 可从 其 几 何 意 义人 手 。 解： Ａ为 直 线ｙ ａ ＋ Ａ ｘ 于 整 数ｎ 点 的 集 合 ， 抛 物 线 ＝ｘｂ￣等 时 Ｂ为
７５０ ） ２ １ １ ＝ ： ３ Nhomakorabea＋
６
： 一 —
１
１ ０
１“ ３ ０
＋三 ：１ １ ３
（ ） 有理 数 域 对 加 、 、 、 是 封 闭 的 ， 算０９ 分 数 ２用 减 乘 除 计 ．的 表示也是 １ ．
探 索 是人 类 认 识 客观 世 界 的 过 程 中 普 遍 存 在 的 最 生 动 的 思 维 活 动 思 维方 法 可 以分 为两 大 类 ： 类 有 关 探 索 发 现 的 方 一 法． 叫合 情 推 理 ： 类 有 关 严 格 求解 证 明 的方 法 ， 逻 辑 推 理 。 一 叫 探 索 性 问题 与 传 统 题 型 不 同 。 统 题 型 给 出 已 知 条件 ， 传 要 求 解 出预 定 结 果 ． 证 明 已经 给 定 的结 论 。 索 性 问题 可 能 条 或 探 件 不 够 完 备 ． 论 也 不 唯 一 固 定 ， 有 开 放 性 ， 题 过 程 具 有 结 具 解 探 索性 。 这类 问题 很 难 用 我 们 经 常 用 的 观 察 与 比较 、 象 与 概 抽 括 、 析 与综 合 、 殊 化 与 一 般 化 、 觉 与 演 绎 、 想 与 推 理 、 分 特 直 猜 类 比与 联 想 等 基 本 思 维 方 法 来 解 决 。但 这 类 问题 对 培 养 中 学 生独立解决问题的能力 、 自觉 参 与科 学 发 现 、 学 创 造 性 思 维 数 具 有 重 要 意 义 。 南于 这 类 问 题 的知 识 覆 盖 面 大 ， 合 性 强 ， 综 对 方 法 的灵 活 性 要 求 较 高 ． 意 新颖 ， 答 者 必 须 具 有 扎 实 的 基 题 解 础 知 识 和 较 高 的 数学 能力 。 探 索性 问题 的解 答 来 看 ， 成 的 从 现 套 路 少 ， 观察 、 对 实验 、 想 、 比 、 想 、 象 、 括 、 现 问题 联 类 猜 抽 概 发 和分 析 问 题 的 能 力要 求 较 高 。 就 目前 中学 数 学 所 涉 及 的探 索 性 问题 的 解 决 ．可 以 归 纳 一 些 一 般 的 思 维 方 法 和 一 些 常 见 的 解 题 策 略 。 高 中 数学 新课 标 范 围 内 的 常 见 的 探 索 性 问 题 可 以 粗 略 地 分 为 以下 五种 基 本 类 型 。 结 论 探 索 型 此类 问题 一 般 分 为 肯 定 型 、 定 型 和 讨 论 型 三 种 。 类 问 否 这 题 的基 本特 征 是 给 出条 件 而无 结 论 ，或 结论 的 正 确 与 否 需 要 确定 ， 索结论 ， 后证明结论。 探 而
探索型中考试题的特点及解题策略例谈
… ．
奠 堑墨 鱼 ．
…． 嚷
在近几年 中考数学试卷 中频频 出现探索型 问题 ， 这 类问题 由于条件不完整或结论不 明确 ， 要考生经过 观 需
Ａ
Ｄ
察、 联想 、 分析 、 比较 、 比、 类 归纳 、 推理 等思维活 动 ， 步 逐
１ 条 件 探 索 型 ．
Ｂ
Ｐ
Ｅ
Ｆ
Ｃ
图！２ －
解
・ ．
・
（） １ 如图 ｌ ２， Ｄ 一 作 Ｆ上Ｂ Ｃ于 Ｆ ，
Ｃ＝４ 。 Ｃ ＝４ ５ ．Ｄ ． ＇ ＤＩ ＝Ｆ ＝４ ’ Ｃ
当Ａ Ｐ上Ｂ Ｃ于 Ｐ时 ， Ｆ＝ Ｄ＝５ Ｐ Ａ ，
’
． ．
ＢＰ ＝３． ＢＦ：８ ．
Ｅ为 顶点 的 四边 形 是平 行 四边 形 ．
的值 为一 — — 时， 以点 Ｐ、 Ｄ、 顶 点 Ａ、 Ｅ为
的四边形为平行 四边形 ； （ ） Ｐ在 Ｂ ３点 Ｃ边上运动 的过程 中 ， Ｐ、 Ｄ、 以 Ａ、 Ｅ为
当Ｂ Ｐ：１ ，Ｅ： ， 点 Ｄ作 Ｄ 时 Ｐ ５过 Ｆ上Ｂ Ｃ于 Ｆ 易知 ，
则 当 ＝ ３或 ８时 ， Ｐ、 Ｄ、 为顶点 的四边 形是 以 、 直角梯 形．
试 题特点
结论明确而条件不完备 ， 需探 究添加 未
知条件 使结论成立． 解题策略 从 所给结 论 ｆ 发 ， ｌ 即承认 结论 ， － 变结论
（） ２ 若点 Ｐ在 Ｅ点左 侧 ， 由 Ａ 则 Ｐ∥Ｄ Ｅ可得 Ｐ Ｅ＝
ＥＦ ＝２ ．
顶点的四边形能否构成菱形 ？试说 明理 由．
在 Ｒ ＡＤ Ｆ中， Ｅ＝、 ｔ Ｅ Ｄ
性问题一般解答策略
探索性问题的一般解答策略【摘要】在数学解题中经常会碰到探索性问题，以“试推测”探求，判断或“是否”、“能否”等词的出现，这类问题，常以三种形式出现：（1）由已知条件，寻求相应结论。
（2）.给定结论，反推应具备的条件。
（3）.存在性问题，本文通过具体的例子说明这类问题的解题策略。
【关键词】探索存在性函数数列【中图分类号】 g426 【文献标识码】 a 【文章编号】 1006-5962（2013）01（a）-0184-021 由给定条件寻求相应结论。
（1）..对于这类问题的解题思路是从所给条件出发，经过分析、观察、利用特殊→一般→特殊→一般的辩论关系，进行探索、归纳、猜想出结论，然后用数学归纳法加以证明。
例1.设数列﹛an﹜的各项为正数a1=1，sn表示其前n项的和，且n∈n时，sn+1+sn与1的等比中项为an+1。
（1）..求s1，s2，s3，s4的值。
求①的结果推测sn的表达式，并证明。
解：①由条件可知：sn+1+sn=an+12∴sn+1+sn=（sn+1-sn）2，，∵s1=1，∴s2+1=（s2-1）2 ∴s2=3，同理s3=6，s4=10，s1=*1（1+1）=1，s2=*2（2+1）=3，s3=*3（3+1）=6，s4=*4（4+1）=10……推测sn=n（n+1）②.证明：ⅰ当n=1时，s1=*1（1+1）=1推理正确，ⅱ假设当n=k时，推理正确，即sk=k（k+1）当n=k+1时，sk+1+sk=（sk+1-sk）2得，sk+1+k（k+1）= [sk+1-k （k+1）]2sk+12-[k（k+1）+1]sk+1+k2（k+1）2—k（k+1）=0即[sk+1—k（k+1）—（k+1）]*[sk+1-k（k+1）+k]=0∵an>0 ，∴sk+1=k（k+1）+k+1=（k+1）（k+2），当即n=k+1时，推理正确，由（ⅰ），（ⅱ）可以断定sn=n（n+1）对于一切n∈n时，均正确。
初中数学变式教学的探索性问题探讨
初中数学变式教学的探索性问题探讨一、引言随着教育教学改革的不断深入，初中数学教学也面临着新的挑战和机遇。
变式教学作为数学教学中的一种重要教学方法，已经受到越来越多教育工作者的重视。
而在初中数学教学中，如何合理有效地开展变式教学，成为教师需要深入思考和探讨的问题。
本文将围绕初中数学变式教学展开探索性问题探讨，希望能够为广大数学教师提供一些启发和借鉴。
二、变式教学的特点及意义变式教学是指以一道或几道基本题为基础，通过改变数值、图形、条件等来训练学生掌握解题方法、提高数学运算技能和逻辑推理能力的一种教学方法。
变式教学不仅可以拓展学生的思维，增强他们的动手能力，而且还可以培养学生的发散思维和创造能力，使其在解决实际问题和数学建模中能够游刃有余。
变式教学可以有效提高学生的学习兴趣和学习主动性，使学生在学习中变被动为主动，从而激发学生对数学的热爱和兴趣，培养学生解决问题的能力；变式教学也有利于促进学生的合作学习和交流，增强学生的团队合作能力和社会交往能力；变式教学也能激发学生的创造性思维，培养学生的创新精神和实践能力。
三、变式教学的实施策略1. 合理设置问题在进行变式教学时，教师首先要合理设置问题，确定好基本题目的类型和难度，然后通过改变数值、图形、条件等，设计出多个相关题目，逐步深入、逐步展开，以便学生能够逐步掌握解题方法和提高数学运算技能。
2. 引导学生发散思维变式教学要引导学生发散思维，鼓励学生多种可能性的答案，引导学生从不同的角度思考问题，鼓励他们提出自己的解决方法和思路，培养学生解决问题的能力和探究精神。
3. 注重实际应用变式教学要注重实际应用，要让学生能够将所学的数学知识应用于实际生活中，通过实际问题的变式教学，让学生能够将所学的数学知识与实际生活相结合，增强学生的实践能力和解决问题的能力。
四、初中数学变式教学的难点与问题1. 学生学习兴趣不高由于变式教学要求学生主动参与，发挥主体作用，所以如果学生学习兴趣不高，对数学缺乏兴趣的话，就会影响到变式教学的效果。
高考数学总复习解题策略：极限与探索性问题(2021)
xx0 g(x) b
例 6．
lim
x1
x3 x2 x 1
=(
)
A．等于 0 D．不存在
B．等于 l
C．等于 3
[考查目的]本题主要考查利用同解变形求函数极限的能力.
[解答过程] lim x3 x2 lim x2(x 1) lim x2 1. 故选 B
x1 x 1 x1 x 1
x1
例 7．
lim
[解答过程]
Tr 1
C4r
a
4r
x82r
x
1 2
r
，由
x x 82r
1r 2
x3,得r 2,
由C4r
a
4
r
=
3 2
知a=
1 2
，所以
1
lim(a a2
n
an
)
1
2
1
1，所以为 1.
2
例 3.把1 (1 x) (1 x)2 (1 x)n 展开成关于 x 的多项式，其各项系数和为 an ，则
x
x
（x）的极限是 a,记作 lim f（x）=a,也可记作当 x→∞时，f（x）→a. x
（2）一般地，当自变量 x 无限趋近于常数 x0（但 x 不等于 x0）时，如果函数 f（x） 无限趋近于一个常数 a,就说当 x 趋近于 x0 时，函数 f（x）的极限是 a,记作 lim f（x）
x x0
n1
2
x x2
2 1 x
1
(
)
（A）0
（B）1
（C） 1 （D） 2
2
3
[考查目的]本题主要考查利用分解因式同解变形求函数极限的能力.
[解答过程]
浅谈数学解题的探索性思维策略
文 章 编 号 ：１ ０ － ５ ８ （０ ０ Ｏ ～ Ｏ ０ 一 Ｏ ０ ８ ６８２１）３ 。７ ２
数学解 题 ，是 以思考 为 内涵 ，以 问题 目标 为定 向的心 理活 动过 程． 寻求 解题 方法 的过程 ，是一个 思维 策 略 的过程 ，其 内容是 寻 找对 策 ，其 特 点在 于突 出怎样进 行思 维． 尽管 思维 策 略不一 定就 是解 题 ，但 它可 以促 进探索 ，促进 发现 解题 途 径．所 以 ，研究数 学解 题 ，既要强 调数 学模 型 的方 法 ，也要 注意 吸收现 代心 理学 、教育 学和 思维科 学等 相关 学科 的原 理 ，将数 学解 题 的技 能技 巧 与 解 题 者 的心 理过 程有 机 地结 合 起 来 ，这样才 能更好 地揭 示数 学思 维 品质 和数学 能力 的培养 途径［ ．
２ 数 学解 题 的策略
２ １ 合情推 理 ． 数学思维策 略 中的一部分是 与人 的 日常生活思维策 略相一 致 的 ，或 者说人 在 日常生 活 中形成 的一些 思维 策 略 ，可 以迁 移到数学思维 中来 ；反过 来 ，通过数学思 维 ，又可 以使 这些 日常 生活 中所运 用到 的聪 明才智 得 以磨 练 ，使头脑 更加敏锐 ，成 为所谓 “ 学式 头脑 ” 数 ．这 种数 学思 维 和 日常思维 互 动 的现象 ，给我们进 行 数 学思维教学 以许 多方便 ，是 提高 日常思 维水平 的契机 ，是数学对公 民素质教育 所起作 用 的一个方面 ｌ． ２ ］ 合情推 理是一 种可 能性 推 理 ，是 根 据人们 的经 验 、知识 、直 观与感 觉得 到 的一 种可 能性 推理．如 ：有 堆棋子 ，两人 轮流从 这堆 棋 子 中取 １ ４ ，谁 最后取 走谁 胜． 问 ：有 没 有必 胜 策略 ？ ～ 枚 经观察 分析 ，没有 一个 学 生会把 问题 归 纳到最 简单 的情形 去研 究 ，于是 都 不得 其解 ．事 实上 ，最 简单 的情形 是 ：假 定这 堆棋 子 只有 ５个 ，这 时可见 后取 者为 胜 ；假定 这 堆 棋子 只 有 ｌ ４个 ，这 时先 取 者取 走 ～ 全部必胜 ．结论 是 ：如果 这堆 棋 子是 ５的倍 数 ，则后取 者有 必胜 策 略 （ 取走 个 棋 子 ， 取 者 只要取 走 ５ 先 后
探索性问题——精选推荐
探索性问题【考点梳理】一、探索性问题如果把一个数学问题看作是由条件、解题依据、解题方法和结论这四个要素组成的一个系统，那么我们把这四个要素中有两个是未知的数学问题称为探索性问题。
条件不完备和结论不确定是探索性问题的基本特征。
二、探索型问题的基本类型1．条件追溯型这类问题的外在形式是针对一个结论，条件未知需探究，或条件增删需确定，或条件正误需判断。
解决这类问题的基本策略是执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或论证找到结论成立的充分条件。
在执果索因的推理过程中，不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，是一种常见错误，必须引起注意。
确定条件是否多余时要着眼于每个条件对所求（或所证）对象的确定性，判断条件正误时多从构造反例入手。
2．结论探索型这类问题的基本特征是有条件而无结论或结论的正确与否需要确定。
探索结论而后论证结论是解决这类问题的一般型式。
3．存在判断型判断存在型问题是指判断在某些确定条件下的某一数学对象（数值、图形、函数等）是否存在或某一结论是否成立的探索性问题，解决这类问题通常假设题中的数学对象存在（或结论成立）或暂且认可其中一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论的证明。
4．方法探究型这里指的是需要非常规的解题方法或被指定要用两种以上的方法解决同一个问题，难度较高的构造法即属此型。
在探究方法的过程中，常常需要研究简化形式但保持本质的特殊情形，运用类比、猜测、联想来探路，解题过程中创新成分比较高。
三、思想方法解决探索性问题，较少现成的套路和常规程序，需要较多的分析和数学思想方法的综合运用。
对观察、联想、类比、猜测、抽象、概括诸方面的能力有较高要求。
高考题中一般对这类问题有如下方法：1．直接法2．观察—猜测—证明3．赋值法4．数形结合 5．联想类比6．从特殊到一般7．从特殊到一般再到特殊8．等价转化四、怎样提高解探索问题的能力1．注重双基的训练，夯实基础知识。
浅谈初中数学探索性问题解题策略
浅谈初中数学探索性问题解题策略开放探索性题重在开发思维，促进创新，有利于培养学生的探索能力，而且还提供了创造性思维空间，是近年来数学问题中的热点问题。
此类问题虽背景新颖，不拘泥于常规解法，但对于近几年中考出现的此类题还是有一定规律可循的。
以下将介绍几类探索性题目及其常用的解题策略。
一、条件探索型题目中由问题给定的结论去寻找待补充或完善的条件，常用“当满足什么条件时，能得到相应结论”的语句，解题时需执果索因，其解法类似于分析法，在结论成立的条件下，逐步探索其成立条件。
它改变了传统的思维模式，开拓学生的逆向思维，并能提高分析问题的能力。
一般解题策略：执果索因，假设有了相应结论，再通过严密推理寻找使结论成立的条件。
例1：如图（1）在等边△ABC中，D、F分别为BC、AB上的点，且CD=BF，以AD为边作等边△ADE。
（1）求证：△ACD≌△CBF;（2）探究：当点D在线段BC上何处时，四边形CDEF是平行四边形，且∠DEF=30°。
分析：（1）由边角边公里不難证明;（2）当点D为线段BC中点时，由∠DEF=30°，延长EF 交AD于点M，则点M为AD中点，在CDEF 中，EM∥DC，则F也为AB边中点，即BF=1/2·AB，而BF﹦CD，∴CD﹦1/2·BC，故当点D为BC边中点时满足题目条件。
二、存在探索型这种题型是探索性问题中较常见的一类，即问题在某种题设条件下，要判断具有某种性质的数学对象是否存在，结论常以“若存在，给出证明;若不存在，说明理由”等形式出现。
一般解题策略：先假设结论成立，看是否导致矛盾，或达到与已知条件沟通，从而确定探索元素是否存在。
三、结论探索型此类题没有给出结论，要求解题者由问题给定的条件去探求相应的结论一般解题策略：根据条件，结合已学知识、数学思想方法，通过分析、归纳逐步得出结论。
例4：如图（5）正方形ABCD边长为2a，M是以BC为直径的半圆上一点，过点M与半圆相切的直线分别交AB、CD于E、F。
探索性问题的解题策略
＜６ｃ一 ， ２ ＜号 ＋
（） ２ 要使得 面 ｝ 成为等差数列， 则它的前
三项 必须成等差数 列 ， 即有
Ａ口 ２ ⅡＩ Ⅱ３
这与 ② 矛盾 ， 以假 设不成立 ， 所 故存 在 ｂ ｃ 使 ，，
得 ｌ （ ）Ｉ （ ）Ｉ （ ）Ｉ １ 、ｌ ２ 、ｌ ３ 中至少有一个不 小于 ｌ 厂 ｆ ｆ
分析 过 Ｅ、 Ｆ分别作 Ａ， Ｂ。 ，的垂线 ， Ｄ、 Ｃ 分
别 交 于 Ｇ 、 ， Ｇ ， Ｈ ， 四 边 形 Ｂ Ｄ。 在 面 Ｈ 连 Ｂ。Ｄ。 则 Ｆ Ｅ
Ａ。 Ｃ Ｄ。 的射 影 为 结 论 ② 图形 ，同理 在 面 Ｂ。 上 Ａ。 １４、 Ｄ。 ） 面 Ａ Ｃ 的射 影 也 为结论 Ｂ。 ． 面 ３ Ｃ ＩＣ、 ＢＤ ② 图形 ．而在 面 Ｂ Ｃ。 面 Ａ Ｄ。 的射影 图形 Ｂ。 Ｃ、 Ｄ Ａ。 为结论 ③ ， 于是结论为 ② 、 图形 ． ③
文介绍 解决这一难点 的几种常用策略 ， 供读者参考 ．
１ 寻找必要 条件的策 略
通 常情 况下 ， 需探 索命 题成 立 的 条件是 既充 所 分又必要 的 ， 但要 直接得到这样 的条件一般 比较难 ． （） ２ 问是 否存 在 非零 常 数 、 ， 得 ｑ使 成 为等差数列 ？ 并说明理 由．
路， 寻求 出一般规律 ， 而后证 明规律 的普适性 ．
例 ３ 如 图 ， 圆 椭
＋ ＝ ｌ（ 口＞ ｂ＞
Ｊ
数列的必要条 件 ， 说 明 要想
维普资讯
《 中学数 学杂志》 高 中） ２０ （ ０ ２年第 ４期
解 析 （ ） 过 观 祭 、 纳 、 想 、 明 易 求 碍 ： １ 通 归 猜 让
６ ＝ ２ ， ＝ ２ 一 ”； ｎ “ ｎ
高考满分数学压轴题16 立体几何中探索性问题(可编辑可打印)
一．方法综述立体几何在高考中突出对考生空间想象能力、逻辑推理论证能力及数学运算能力等核心素养的考查。
考查的热点是以几何体为载体的垂直、平行的证明、平面图形的折叠、探索开放性问题等；同时考查转化化归思想与数形结合的思想方法。
对于探索性问题（是否存在某点或某参数，使得某种线、面位置关系成立问题）是近几年高考命题的热点，问题一般有三种类型：(1)条件追溯型；(2)存在探索型；(3)方法类比探索型。
现进行归纳整理，以便对此类问题有一个明确的思考方向和解决办法。
二．解题策略类型一 空间平行关系的探索【例1】（2020·眉山外国语学校高三期中（理））在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是对角线1AC 上的动点（点M 与1A C 、不重合），则下列结论正确的是__________①存在点M ，使得平面1A DM ⊥平面1BC D ； ②存在点M ，使得平面DM 平面11B CD ； ③1A DM ∆的面积可能等于36；④若12,S S 分别是1A DM ∆在平面1111A B C D 与平面11BB C C 的正投影的面积，则存在点M ，使得12S S【答案】①②③④【解析】①如图所示，当M 是1AC 中点时，可知M 也是1A C 中点且11B C BC ⊥，111A B BC ⊥，1111A B B C B =，所以1BC ⊥平面11A B C ，所以11BC A M ⊥，同理可知1BD A M ⊥，立体几何中探索性问题且1BC BD B =，所以1A M ⊥平面1BC D ，又1A M ⊂平面1A DM ，所以平面1A DM ⊥平面1BC D ，故正确；②如图所示，取1AC 靠近A 的一个三等分点记为M ，记1111AC B D O =，1OC AC N =，因为11AC AC ，所以1112OC C N AC AN ==，所以N 为1AC 靠近1C 的一个三等分点， 则N 为1MC 中点，又O 为11A C 中点，所以1A M NO ，且11A DB C ，111A MA D A =，1NOB C C =，所以平面1A DM平面11B CD ，且DM ⊂平面1A DM ，所以DM 平面11B CD ，故正确；③如图所示，作11A M AC ⊥，在11AA C 中根据等面积得：12633A M ==， 根据对称性可知：16A M DM ==，又2AD =1A DM 是等腰三角形， 则122162322326A DMS⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故正确；④如图所示，设1AM aAC =，1A DM ∆在平面1111D C B A 内的正投影为111A D M ∆，1A DM ∆在平面11BB C C 内的正投影为12B CM ∆，所以1111122222A D M aS S a ∆==⨯⨯=，122121222222B CM a S S a ∆-==⨯-⨯=，当12S S 时，解得：13a =，故正确.故答案为 ①②③④【点评】.探索开放性问题，采用了先猜后证，即先观察与尝试给出条件再加以证明，对于命题结论的探索，常从条件出发，探索出要求的结论是什么，对于探索结论是否存在，求解时常假设结论存在，再寻找与条件相容或者矛盾的结论。
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是否有公共点 , 试给予判断 , 并说明理由 .
2003 年第 9 期 数学通讯
17
分析 判断函数 f ( x ) 与函数 y = 1 的图象是否 有公 共 点 的 问 题 转 化 为 判 断 方 程 log a ( x - 3 ) log a ( x + 2) - log a ( x - 1) = 1 是否有实数解的问题 ,
点 , 这个 “点” 的寻找 , 就是解决问题的突破口 . 教学 中 , 我们应注意加强这方面的训练 .
5 类比联想
它又可转化为讨论方程
1
a
( x - 3) = ( x + 2) ( x - 1)
联想是由一事物想到另一事物的心理过程 . 在 某些数学探索性问题中 , 通过观察 、 分析 、 类比 , 联想 到某些可供类比的熟悉实例 , 通过对具体的实例的 剖析 , 使较隐蔽的问题明朗化 . 例5 已知 λ是非零常数 , 对 x ∈R 成立 f ( x +
( 1 - k) x + 3 k - 2 = 0 是否存在大于 3 的实数根 .
分析 按常规解题思路去找 f ( x ) 的一个周期 难以入手 . 但从 f ( x ) 表达式的结构上容易联想到正
1
a
, 因为 a > 0 , a ≠ 1 , 所以 k > 0 , k
切的三有表达式 , 于是很自然想到可将式子 f ( x + π 1 + f ( x) 1 + tan x λ ) = 与三角等式 tg x + = 进 1 - f ( x) 4 1 - tan x 行类比 . 故可把 tg x 看成 f ( x ) 的一个原型实例 , 下 面题中的 λ相当于实例中的 期是π, 是常数 π . 由于函数的基本周 4
12
( 3 n2
1+ 1
a
3
a
+ 11 n + 10) 成立 .
≥ 0,
再用数学归纳法证明上述等式对一切的自然数 都成立 . ( 证明略) 注 :特值的选取 , 有时是运用极端化原理 , 有时 是将数学模型特殊化 , 要视具体情况而定 .
≥ 0.
于是得
- 2< 13 28 1+ ≤a ≤ 28 3 <3,
2
数 学 通 讯 2003 年第 9 期 进” 的一种解题策略 , 它在解探索性问题中常被采
m∈ N ,
x = m, y = - 3 m +2,
用.
3 特值探路
n ∈N , 问是否存
在解某些探索性问题中 , 有时以特值探路 , 常能 探求出结论或满足结论所需要的部分条件 . 例3 是否存在常数 a , b , c , 使得等式
在 x = 3 的右侧与 x 轴有交点的问题 . 这里先由图象交点问题转化为讨论一元二次方 程条件解的问题 , 再转化为抛物线与 x 轴具有条件 限制的交点问题 , 通过数与形的相互转化 , 使问题获 解. 解 令 k= ≠ 1. 依题意 , 所求问题转化为一元二次方程是否存 在大于 3 的实数根的问题 , 即为一元二次方程 x 2 +
2003 年第 9 期 数学通讯
15
例谈探索性问题的解题策略
张清芳 袁明豪
( 黄冈师范学院数学系 , 湖北 438000)
中图分类号 :O1 - 0 文献标识码 :A 文章编号 :0488 - 7395 ( 2003) 09 - 0015 - 03
若令 g ( x) = x 2 + ( 1 - k) x + 3 k - 2 , 则上述问 题又可转化为讨论抛物线 g ( x ) 是否在 x = 3 的右侧 与 x 轴有交点的问题 . 而抛物线 g ( x ) 的开口向上 , 且对称轴方程为
x= k- 1
π 的 4 倍 , 故可猜想 f ( x ) 可能是一 4 λ为周期的周期函数 . 个以 4 解 对任一 x ∈R , 因为 λ 是非零常数 , 所以 x λ∈R. + λ∈R , x + 2
1 直接探求
求直线存在时的直线 m 的方程 . 解本题通常可先求 出直线 m 的方程 , 然后与双曲线联立 , 化为一元二 次方程 , 利用判别式小于零 , 便可判断这样的直线 m 不存在 . 解 假设直线 m 存在 . 若直线 m 的斜率不存在时 , 有 x = 1 , 此时直线
m 与双曲线相切 , 与题设交于两点不合 .
1× 22 + 2 × 32 + … + n ( n + 1 ) 2 =
n ( n + 1)
要使方程 ( 1) 有大于或等于 1 的正数解 , a 必须 满足 : Δ = ( 3 - a) 2 - 4 a ( a - 2) ≥ 0,
( x 1 - 1 ) + ( x 2 - 1) = ( x 1 - 1 ) ( x 2 - 1) = 1 +
4 数形结合
- 3 ≤a < 0 ,
a ≤- 1 或 a > 0 .
数与形在一定的条件下可以互相转化 . 数形结 合法是数学中最基本而又十分重要的一种数学思想 方法 , 这种方法的特点是 : 根据具体情况 , 或是把图 形性质问题转化为数量关系问题 , 或是把数量关系 问题转化为图形性质问题 . 通过数形之间相互转化 , 可使复杂 、 抽象问题变得简单 、 直观 、 具体 , 有利用探 明结论 . 例 4 关 于 x 的 函 数 f ( x ) = log a ( x - 3 ) log a ( x + 2) - log a ( x - 1) 的图象与函数 y = 1 的图象
收稿日期 :2002 - 12 - 10 作者简介 :张清芳 ( 1957 - ) , 女 , 武汉新洲人 , 湖北黄冈师院数学系副教授 .
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性的东西 , 或获得解答 , 或寻求解题灵感 . 例2 已知 A = ( x , y)
B= ( x , y) x = n, y = a ( n - n + 1) ,
例1 给定双曲线 x -
2
y
2
这个对象 , 得出存在的结论 ; 或提出矛盾 , 得出否定 存在这种对象的结论 .
2 以退求进
存在 , 求出它的方程 ; 如果不存在 , 说明理由 . 分析 本题是形式上的探索性问题 , 实际上是
有些探索性问题 , 当从一般角度难以解决时 , 我 们可通过放宽条件去探求 、 发现能反映问题本质属
+ bn + c) 对一切的自然数 n 都成立 , 并证明你的结
数解 . 因为中学数学中不涉及方程 ( 组 ) 的有理数解 的讨论 . 故本题的求解可先从讨论方程组是否大于 或等于 1 的正数解的存在性问题 , 得非零整数 a 的 存在范围 , 这样就能用验证方法来判断方程正整数 解是否存在 . 解 若 A ∩B ≠ ,方程组
1
= -
1 1
f ( x)
2
>3, 10 . = f ( x) .
解得 k ≥ 7+2
1
故 f ( x) 是周期函数 , 且 4λ为一个周期 . 以上列举了解探索性问题的几种策略 , 其目的 只是想在这方面做个初步的尝试 , 以引起大家对探 索性问题的关注和探讨 .
1 7- 2 2 又0< a= ≤ = , k 9 7 + 2 10 7 - 2 10 所以 , 当 0 < a ≤ 时 , 函数 f ( x ) 的图象 9 与函数 y = 1 的图象有交点 .
所以 - 2 < a ≤- 1 . 又根据题意 a ∈Z , 所以 a = - 1 . 当 a = - 1 时 , 方程 ( 1) 为 x 2 - 4 x + 3 = 0 , 解得 x 1 = 1 ∈N , x 2 = 3 ∈N. 所以存在非负整数 a = - 1 , 使 A ∩B ≠ . 本题是先讨论放宽题设条件问题 , 从中得到所 求结果所在的某个范围 , 然后采用验证等其它合适 的方法求出原问题的结果的解题策略是属 “以退求
= 1 , 过点 B ( 1 , 1 ) 能 2 否作直线 m , 使 m 与所给双曲线交于两点 Q 1 及
Q 2 , 且 B 是线段 Q 1 Q 2 的中点 ? 这样的直线 m 如果
y =2x - 1, 显然 Δ < 0 , 此方程无实根 , 这与直线 m 与双曲
线交于 Q 1 , Q 2 两点矛盾 . 故这样的直线 m 不存在 . 解这类 “存在性” 探索性问题基本思路是 : 先假 设所研究的对象存在 , 然后按演泽推理的方法指出
1× 22 + 2 × 32 + … + n ( n + 1 ) 2 =
n ( n + 1)
在这样的非零整数 a , 使 A ∩B ≠ . 分析 本题实质上是探求是否存在非零整数
a , 使关于 x , y 的方程组 y = - 3x +2, y = a ( x 2 - x + 1)
有正整
12
( an2
a + b + c = 24 ,
4 a + 2 b + c = 44 , 9 a + 3 b + c = 70 ,
( 1)
有解 ,且 x ∈N. 消去 y 得关于 x 的方程 :
ax + ( 3 - a) x + ( a - 2) = 0
2
解得 a = 3 , b = 11 , c = 10 . 即对于 n = 1 , 2 , 3 时 , 等式
1 + f x) λ ) = , 问 f ( x ) 是否是周期函数 ? 若是 , 求 1 - f ( x) 出它的一个周期 ; 若不是 , 请说明理由 .
(
是否存在大于 3 的实数根的问题 , 进而它又可转化