人教版九年级数学下册22 第2课时 利用仰俯角解直角三角形教案与反思
九年级数学下册解直角三角形教案新人教版
《解直角三角形》教案一、素质教育目标(一)知识教学点使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．(二)能力训练点通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．(三)德育渗透点渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．二、教学重点、难点和疑点1．重点：直角三角形的解法．2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．3．疑点：学生可能不理解在已知的两个元素中，为什么至少有一个是边．三、教学步骤(一)明确目标1．在三角形中共有几个元素？2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？(1)边角之间关系(2)三边之间关系a2+b2=c2(勾股定理)(3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用．(二)整体感知教材在继锐角三角函数后安排解直角三角形，目的是运用锐角三角函数知识，对其加以复习巩固．同时，本课又为以后的应用举例打下基础，因此在把实际问题转化为数学问题之后，就是运用本课——解直角三角形的知识来解决的．综上所述，解直角三角形一课在本章中是起到承上启下作用的重要一课．(三)重点、难点的学习与目标完成过程1．我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情．2．教师在学生思考后，继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条边？”让全体学生的思维目标一致，在作出准确回答后，教师请学生概括什么是解直角三角形？(由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形)．3．例题例 1在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且c=287.4，∠B=42°6′，解这个三角形．解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演．解：(1)∠A=90°-∠B＝90°-42°6′=47°54′，∴a=c． cosB=28.74×0.7420≈213.3．∴b=c·sinB=287.4×0.6704≈192.7．完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形？”答：先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两边．计算时，利用所求的量如不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠，防止第一步错导致一错到底．例 2在Rt△ABC中，a=104.0，b=20.49，解这个三角形．在学生独立完成之后，选出最好方法，教师板书．查表得A=78°51′；(2)∠B=90°-78°51′=11°9′注意：例1中的b和例2中的c都可以利用勾股定理来计算，这时要查平方表和平方根表，这样做有时会比上面用含四位有效数字的数乘(或除)以另一含四位有效数字的数要方便一些．但先后要查两次表，并作一次加法(或减法)．4．巩固练习解直角三角形是解实际应用题的基础，因此必须使学生熟练掌握．为此，教材配备了练习P．35中1、2．练习1针对各种条件，使学生熟练解直角三角形；练习2代入数据，培养学生运算能力．参考答案：1．(1)∠B=90°-∠A，a=c·sinA，b=c·cosA；(3)∠B=90°-∠A，a=b·tgA，说明：解直角三角形计算上比较繁锁，条件好的学校允许用计算器．但无论是否使用计算器，都必须写出解直角三角形的整个过程．要求学生认真对待这些题目，不要马马虎虎，努力防止出错，培养其良好的学习习惯．(四)总结与扩展1．请学生小结：在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素(至少有一个是边)，就可以求出另三个元素．2．幻灯片出示图表，请学生完成四、布置作业教材P．46习题6．3A组3．五、课后记解直角三角形是前面一段时间学习四个三角函数的综合应用，因此要求学生对前面知识要十分熟悉，学生表现出对知识连贯性不太好。
人教版九年级数学下册学案设计28.2.2第2课时利用仰俯角解直角三角形
的邻边的对边AA∠∠28.2.2 应用举例第2课时利用仰俯角解直角三角形【学习目标】⑴使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题．⑵逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．⑶渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识【学习重点】将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．【学习难点】实际问题转化成数学模型【导学过程】一、自学提纲：1．解直角三角形指什么？2．解直角三角形主要依据什么？(1)勾股定理：(2)锐角之间的关系：(3)边角之间的关系：tanA=二、合作交流：仰角、俯角当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．三、教师点拨：例3 2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功.当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行.如图,当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到的地球上的点在什么位置?这样的最远点与P点的距离是多少?(地球半径约为6 400 km，结果精确到0. 1 km)斜边的邻边AA∠=cos斜边的对边AA∠=sin例4热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o，看这栋离楼底部的俯角为60o，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)?四、学生展示：一、课本76页练习第1 、2题五、课堂小结：六、作业设置：课本第78页习题28．2复习巩固第3、4题七、自我反思：本节课我的收获:。
人教版数学九年级下册28.2.2 第2课时 利用仰俯角解直角三角形.ppt
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第三节
教学准备
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MORE THAN TEMPLATE
Step
03
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第四节
教学过程
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MARK 03 PRESENTATION
例3 如图，小明想测量塔AB的高度.他在D处仰望塔顶， 测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至C处.测得仰 角为60°，小明的身高1.5 m.那么该塔有多高?(结果精 确到1 m)，你能帮小明算出该塔有多高吗?
A
D′
C′
B′
D
C
B
解：如图，由题意可知，∠AD′B′=30°，∠AC′B′=60°， D′C′=50m.
部审人教版九年级数学下册课堂同步教学课件28.2.2 第2课时《 利用仰俯角解直角三角形》两套
第二十八章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数
第2课时 利用仰俯角解直角三角形
学习目标
1.巩固解直角三角形有关知识；（重点） 2.能运用解直角三角形知识解决仰角和俯角的问题. (难点)
导入新课
情境引入
某探险者某天到达如图 所示的点A 处时，他准备估 算出离他的目的地——海拔 为3 500 m的山峰顶点B处的 水平距离.他能想出一个可行 的办法吗？
如图，在Rt△ABC中，∠BAC =25°，AC =1000m， 因此 tan 25o BC BC
AC 1000 从而 BC=1000×tan25°≈466.3（m）
因此，上海东方明珠塔的高度 BD=466.3+1.7=468（m）
答：上海东方明珠塔的高度BD为468 m.
当堂练习
1.如图1，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上 一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的 水平距离BC=____1_0_0___米. 2.如图2，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得 D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD 的高20为3_____米.
导入新课
问题引入
某探险者某天到达如 图所示的点A 处时，他准
B．
备估算出离他的目地，
海拔为3 500 m的山峰顶点
B处的水平距离.他能想出
一个可行的办法吗？
通过这节课的学习，相信你也行.
．． A
讲授新课
一 解与仰俯角有关的问题
如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平 线上方的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线 下方的夹角叫做俯角.
BC BD CD 40 3 120 3
数学人教版九年级下册28.2.2 利用仰角、俯角解直角三角形
【设计意图】能分析线段的组成，并找到该线段所在的直角三角形，适当选用锐角三角函数直接解直角三角形.
2.【例2】如图,平台AB高为12m,在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为
45∘,底部点C的俯角为30∘,求楼房CD的高度.
【设计意图】能分析线段的组成，并构造该线段所在的直角三角形，适当选用锐角三角函数直接解直角三角形.
的量进行分解，将其中的一部分量归结为直角三角形
中的量，灵活应用方程思想解直角三角形．
教学设计
内容
教学目标
1．了解仰角、俯角的定义；
2．会运用解直角三角形的知识解决有关仰角、俯角的实际问题；
3．体会数形结合和数学模型思想，灵活应用方程思想解直角三角形.
教学重难点
把实际问题转化为解直角三角形的问题.
教学过程
【方法一】
【方法二】
4、归纳总结：
应用解直角三角形的方法解决实际问题的一般步骤：
（1）将实际问题抽象为数学问题
（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件，适当选用锐角三角函数直接解直角三角形；
（3）如果问题不能归结为一个直角三角形，则应当对所求
的量进行分解，将其中的一部分量归结为直角三角形
1、了解仰角、俯角的定义：
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫仰角;视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角叫俯角．
2、探索（一）：根据条件，适当选用锐角三角函数直接解直角三角形.
1.【例1】如图,某建筑物BC上有一旗杆AB,从与BC相距38m的D处观测旗杆顶部A的仰角为50o,观测旗杆底部B的仰角为45o,求旗杆的高度.(结果精确到0.1m,参考数sin50o≈0.77,cos50o≈0.64,tan50o≈1.19)
【精品】人教版初中数学九年级下册学案28.2.2 第2课时 利用仰俯角解直角三角形
的邻边的对边A A ∠∠28.2.2 应用举例第2课时 利用仰俯角解直角三角形【学习目标】⑴ 使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题． ⑵ 逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．⑶ 渗透数学于实践又反过作用于实践的观点，培养学生用数学的意识【学习重点】将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．【学习难点】实际问题转化成数学模型【导学过程】一、自学提纲：1．解直角三角形指什么？2．解直角三角形主要依据什么？(1)勾股定理：(2)锐角之间的关系：(3)边角之间的关系：tanA=二、合作交流：仰角、俯角当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．斜边的邻边A A ∠=cos 斜边的对边A A ∠=sin三、教师点拨：例3 2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功.当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行.如图,当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到的地球上的点在什么位置?这样的最远点与P点的距离是多少?(地球半径约为6 400 km，结果精确到0. 1 km)例4热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o，看这栋离楼底部的俯角为60o，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)?四、学生展示：一、课本76页练习第1 、2题五、课堂小结：六、作业设置：课本第78页习题28．2复习巩固第3、4题七、自我反思：本节课我的收获。
新人教版九年级数学下册《利用仰俯角解直角三角形》精品导学案
的邻边的对边A A ∠∠28.2.2 应用举例第2课时 利用仰俯角解直角三角形【学习目标】⑴ 使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题． ⑵ 逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．⑶ 渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识【学习重点】将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．【学习难点】实际问题转化成数学模型【导学过程】一、自学提纲：1．解直角三角形指什么？2．解直角三角形主要依据什么？(1)勾股定理：(2)锐角之间的关系：(3)边角之间的关系：tanA=二、合作交流：仰角、俯角斜边的邻边A A ∠=cos 斜边的对边A A ∠=sin当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．三、教师点拨：例3 2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功.当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行.如图,当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到的地球上的点在什么位置?这样的最远点与P点的距离是多少?(地球半径约为6 400 km，结果精确到0. 1 km)例4热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o，看这栋离楼底部的俯角为60o，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)?四、学生展示：一、课本76页练习第1 、2题五、课堂小结：六、作业设置：课本第78页习题28．2复习巩固第3、4题七、自我反思：本节课我的收获:学生励志寄语：人生，想要闯出一片广阔的天地，就要你们努力去为自己的目标奋斗、勤奋刻苦、充满自信的过好每一天，雏鹰总会凌空翱翔。
只有一个的知识、阅历、素质、修养达到足够的积淀时，オ能真正做到不说张扬之语，不干张扬之事，处于低谷不颓废，過到困难不退缩，一帆风顺不得意，成绩面前不炫耀，永远保持着踏踏实实，平平常常的生活态度和格调。
人教版初中数学九年级下册学案28.2.2 第2课时 利用仰俯角解直角三角形
的邻边
的对边A A ∠∠28.2.2 应用举例
第2课时 利用仰俯角解直角三角形
【学习目标】
⑴ 使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题． ⑵ 逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
⑶ 渗透数学于实践又反过作用于实践的观点，培养学生用数学的意识
【学习重点】
将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．
【学习难点】
实际问题转化成数学模型
【导学过程】
一、自学提纲：
1．解直角三角形指什么？
2．解直角三角形主要依据什么？
(1)勾股定理：
(2)锐角之间的关系：
(3)边角之间的关系：
tanA=
二、合作交流：
仰角、俯角
当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线斜边的邻边A A ∠=cos 斜边的对边A A ∠=
sin
下方的角叫做俯角．
三、教师点拨：
例3 2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功.当飞船完成变轨后，就在离地球表面350m的圆形轨道上运行.如图,当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到的地球上的点在什么位置?这样的最远点与P点的距离是多少?(地球半径约为6 400 m，结果精确到0. 1 m)
例4热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o，看这栋离楼底部的俯角为60o，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)?
四、学生展示：
一、课本76页练习第1 、2题
五、课堂小结：
六、作业设置：
课本第78页习题28．2复习巩固第3、4题七、自我反思：
本节课我的收获。
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28.2.2应用举例
人非圣贤，孰能无过？过而能改，善莫大焉。《左传》
原创不容易，【关注】，不迷路！
第2课时利用仰俯角解直角三角形
1．使学生掌握仰角、俯角的意义，并学会正确地判断；(重点)
2．初步掌握将实际问题转化为解直角三角形问题的能力．(难点)
一、情境导入
在实际生活中，解直角三角形有着广泛的应用，例如我们通常遇到的视线、
水平线、铅垂线就构成了直角三角形．当我们测量时，在视线与水平线所成的角
中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．今天我们就
学习和仰角、俯角有关的应用性问题．
二、合作探究
探究点：利用仰(俯)角解决实际问题
【类型一】利用仰角求高度
星期天，身高均为1.6米的小红、小涛来到一个公园，用他们所学的知
识测算一座塔的高度．如图，小红站在A处测得她看塔顶C的仰角α为45°，
小涛站在B处测得塔顶C的仰角β为30°，他们又测出A、B两点的距离为41.5m，
假设他们的眼睛离头顶都是10cm，求塔高(结果保留根号)．
解析：设塔高为xm，利用锐角三角函数关系得出PM的长，再利用CPPN＝tan30°，
求出x的值即可．
解：设塔底面中心为O，塔高xm，MN∥AB与塔中轴线相交于点P，得到△CPM、
△CPN是直角三角形，则x－（1.6－0.1）PM＝tan45°，∵tan45°＝1，∴PM＝
CP
＝x－1.5.在Rt△CPN中，CPPN＝tan30°，即x－1.5x－1.5＋41.5＝33，解得x＝
833＋89
4
.
答：塔高为833＋894m.
方法总结：解决此类问题要了解角与角之间的关系，找与已知和未知相关联
的直角三角形．当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题
【类型二】利用俯角求高度
如图，在两建筑物之间有一旗杆EG，高15米，从A点经过旗杆顶部
E
点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角
β为30°.若旗杆底部G点为BC的中点，求矮建筑物的高CD
.
解析根据点G是BC的中点，可判断EG是△ABC的中位线，求出AB.在Rt△
ABC和Rt△AFD中，利用特殊角的三角函数值分别求出BC、DF，继而可求出CD
的长度．
解：过点D作DF⊥AF于点F，∵点G是BC的中点，EG∥AB，∴EG是△
ABC
的中位线，∴AB＝2EG＝30m.在Rt△ABC中，∵∠CAB＝30°，∴BC＝Atan∠
BAC
＝30×33＝103m.在Rt△AFD中，∵AF＝BC103m，∴FD＝AF·tanβ＝103×
3
3
＝10m，∴CD＝AB－FD＝30－10＝20m.
答：矮建筑物的高为20m.
方法总结：本题考查了利用俯角求高度，解答本题的关键是构造直角三角形，
利用角函数的知识求解相关段的长度．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题
【类型三】利用俯角求不可到达的两点之间的距离
如图，为了测量河的宽度AB，测量人员在高21m的建筑物CD的顶端
D
处测得河岸B处的俯角为45°，测得河对岸A处的俯角为30°(A、B、C在同一
条直线上)，则河的宽度AB约是多少m(精确到0.m，参考数据：2≈1.41，3≈
1.73)?
解析：在Rt△ACD中，根据已知条件求出AC的值，再在Rt△BCD中，根据
∠EDB＝45°，求出BC＝CD＝21m，最后根据AB＝AC－BC，代值计算即可．
解：∵在Rt△ACD中，CD＝21m，∠DAC＝30°，∴AC＝CDtan30°＝2133＝213
m.∵在Rt△BCD中，∠EDB＝45°，∴∠DBC＝45°，∴BC＝CD＝21m，∴AB＝
AC
－BC＝213－21≈15.3(m)．则河的宽度AB约是15.3m.
方法总结：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的
直角三角形，把实际问题化归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题
【类型四】仰角和俯角的综合
某数学兴趣小组的同学在一次数学活动中，为了测量某建筑物AB的高，
他们来到与建筑物AB在同一平地且相距12m的建筑物CD上的C处观察，测得此
建筑物顶部A的仰角为30°、底部B的俯角为45°.求建筑物AB的高(精确到
1m，可供选用的数据：2≈1.4，3≈1.7)．
解析：过点C作AB的垂线CE，垂足为E，根据题意可得出四边形CDBE是正
方形，再由BD＝12m可知BE＝CE＝12m，由AE＝CE·tan30°得出AE的长，进而
可得出结论．
解：过点C作AB的垂线，垂足为E，∵CD⊥BD，AB⊥BD，∠ECB＝45°，∴
四边形CDBE是正方形．∵BD＝12m，∴BE＝CE＝12m，∴AE＝CE·tan30°＝12
×33＝43(m)，∴AB＝43＋12≈19(m)．
答：建筑物AB的高为19m.
方法总结：本题考查的是解直角三角形的应用中仰角、俯角问题，根据题意
作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题
三、板书设计
1．仰角和俯角的概念；
2．利用仰角和俯角求高度；
3．利用仰角和俯角求不可到达两点之间的距离；
4．仰角和俯角的综合．
备课时尽可能站在学生的角度上思考问题，设计好教学过程中的每一个细
节．上课前多揣摩，让学生更多地参与到课堂的教学过程中，让学生体验思考的
过程，体验成功的喜悦和失败的挫折，舍得把课堂让给学生，让学生做课堂这个
小小舞台的主角．使课堂更加鲜活，充满人性魅力，下课后多反思，做好反馈工
作，不断总结得失，不断进步．只有这样，才能真正提高课堂教学效率.
【素材积累】
指豁出性命，进行激烈的搏斗。比喻尽最大的力量，极度的努力，去实现自
己的目标。 逆水行舟，不进则退。 人生能有几回搏，此时不搏何时搏。——容
国团 .生当作人杰，死亦为鬼雄。——李清照 贝多芬拼搏成长大作曲家贝多芬
小时候由于家庭贫困没能上学，十七岁时患了伤寒和天花之后，肺病、关节炎、
黄热病、结膜炎等又接踵而至，二十六岁不幸失去了听觉，爱情上也屡遭挫折，
在这种境遇下，贝多芬发誓“要扼住生命的咽喉”。在与生命的顽强拼搏中，他
的意志占了上风，在乐曲创作事业上，他的生命之火燃烧得越来越旺盛了。