解直角三角形(仰角,俯角)
26.4 解直角三角形的应用 - 第1课时仰角、俯角、方位角问题课件(共23张PPT)
例1 如图，小明在距旗杆4.5 m的点D处，仰视旗杆顶端A，仰角（∠AOC）为50°；俯视旗杆底部B，俯角（∠BOC）为18°.求旗杆的高.(结果精确到0.1 m)
例题示范
知识点2 方向角方位角：由正南或正北方向线与目标方向线构成的锐角叫做方位角．如下图中的目标方向OA,OB,OC,OD的方向角分别表示________60°，________45°(或__________)，_________80°及_________30°.
拓展提升
1.热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120 m，这栋楼有多高(结果取整数)？
分析：如图，α=30°，β=60°.在Rt△ABD中，α =30°，AD＝120，所以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．
第二十六章 解直角三角形
26.4 解直角三角形的应用
第1课时 仰角、俯角、方位角问题
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.巩固解直角三角形有关知识，了解仰角、俯角、方向角的概念.2.运用解直角三角形知识解决与仰角、俯角和方位角有关的实际问题.
运用解直角三角形知识解决与仰角、俯角和方位角有关的实际问题.
将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题.
回顾复习
沪科版数学九年级上册23.2第2课时仰角、俯角问题 课件(共17张PPT)
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程：(1)将实际问题抽象为数学问题;(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)(2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；(3)得到数学问题的答案;(4)得到实际问题的答案.
随堂练习
1.如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道(点A,B在同一水平面上)．为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A,B两地之间的距离为( )A. 800sinα米 B. 800tanα米 C． 米 D． 米
创设情境
如图，一学生要测量校园内一棵水杉树的高度.他站在距离水杉树8 m的E处，测得树顶的仰角∠ACD=52°，已知测角器的架高CE=1.6 m，问树高AB为多少？(精确到0.1米)
分析：要计算的是AB的长度，又有AB=AD+DB，DB=CE=1.6 m，只要再求出AD的长度即可.
探索新知
知识点1 在进行高度测量时，由视线与水平线所夹的角中，当视线在水平线上方时叫做仰角；当视线在水平线下方时叫做俯角.
D
2.如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得∠BAD=30°，在C点测得∠BCD=60°，又测得AC=100米，则B点到河岸AD的距离为( )A. 100米 B. 米直角三角形的条件是什么？除直角外的两个元素(至少有一边).2.解直角三角形的依据是什么？(1)三边之间的关系：a2+b2=c2;(2)两个锐角之间的关系：∠A+∠B=90°;(3)边角之间的关系：sinA= ,cosA= ,tanA= .sinB= ，cosB= ，tanB= .
解直角三角形的实际应用----仰角、俯角及方位角的重难点解析
28.2解直角三角形的实际应用——仰角、俯角及方位角的重难点解析今天我说课的课题是28.2解直角三角形的实际应用（第一课时），下面我将从教材分析、教法学法、教学程序、设计思路四个方面进行阐述。
一、教材分析（一）教材地位和作用这是一节复习课，是在学生学习了《解直角三角形》和《解直角三角形的应用》后进行的阶段性小结。
《解直角三角形的应用》是第二十八章锐角三角函数的延续，渗透着数形结合思想、方程思想、转化思想。
因此本课无论是在本章还是在整个初中数学中都具有重要的地位，在中考中是个比较重要的考点。
（分值约占6---10分，常出现在第19题—第21题）（二）教学目标1、知识技能目标：进一步理解并掌握直角三角形中各元素之间的内在联系，会利用解直角三角形的知识解决仰角、俯角及方位角等有关的综合性实际问题.2、过程方法目标：在将实际问题抽象为数学问题，画出示意图，转化为解直角三角形问题的过程中，体会“数学建模”和“数形结合”的思想，培养学生分析问题、解决问题的能力．3、情感态度目标：渗透数形结合和数学建模的数学思想，激发学生学习兴趣，调动学生的积极性和主动性；培养学生理论联系实际，勇于探索敢于创新的精神.（三）教学重点与难点重点：熟练解直角三角形及会利用解直角三角形的知识去解决有关仰角、俯角及方位角的实际问题。
难点：把实际问题转化为解直角三角形的问题。
二、教法学法（一）教法分析本节课着重采用的是探究启发、分组讨论、讲练结合等教学方法，通过多媒体课件，以历年中考题创设问题情境，引出课题，简洁回顾原有的知识，引导学生从实际应用中建立数学模型。
（二）学法分析通过独立思考、小组合作、讲练结合、学生讲评等学习方式，理解直角三角形中各元素之间的内在联系，发挥学生的主观能动性。
使学生在这一过程中主动获得知识，通过例题的实践应用，能提高学生分析、解决问题的能力和综合运用知识的能力。
三、教学程序本节课我将围绕 情景引入、复习回顾、探索知识、课堂练习、小结梳理、作业布置 这六个环节展开复习教学，具体步骤是：（一）情景引入问题：(2015云南19题6分)为解决江北学校学生上学过河难的问题，乡政府决定修建一座桥．建桥过程中需测量河的宽度(即两平行河岸AB 与MN 之间的距离)．在测量时，选定河对岸MN 上的点C 处为桥的一端，在河岸点A 处，测得∠CAB ＝30°，沿河岸AB 前行30米后到达B 处，在B 处测得∠CBA ＝60°.请你根据以上测量数据求出河的宽度？方式：是以云南省去年的中考题为问题而引出的。
利用俯角和仰角解直角三角形课件
P
45° 37° B 400米 A
解：作PO⊥AB交AB的延长线于O.
设PO=x米， 在Rt△POB中，∠PBO=45°，P
OB=PO= x米.
A. 800sinα米
B. 800tanα米
α
C．s8in00a 米
D．t8a0n0a 米
解直角三角形及其应用
利用俯角和仰角解直角三角形
（一）俯角、仰角问题 在测量中，我们把在视线与水平线所成的角中，视线在 水平线上方的叫做仰角，视线在水平线下方的叫做俯角.
视线
巧记“上仰下俯”
铅 仰角 直 线 俯角
水平线
视线
（二）一个观测点构造两个直角三角形解答实际问题
例1 热气球的探测器显示，从热气球 看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底 部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离
1. 如图，在电线杆上离地面高度5m的C点处引两根拉线固定
电线杆，一根拉线AC和地面成60°角，另一根拉线BC和地
面成45°角．则两根拉线的总长度为
10 3
3
5
2 m(结果用
带根号的数的形式表示).
（三）两个观测点构造两个直角三角形解答实际问题 例2 如图，直升飞机在长400米的跨江大桥AB的上方P点
答案：点B到AD的距离为20m.
E
(2) 求塔高CD（结果用根号表示）．
解：在Rt△ABE中， ∵∠A=30°，∴∠ABE=60°， ∵∠DBC=75°，∴∠EBD=180°－60°－75°=45°， ∴DE=EB=20m，
人教版数学九年级下册28.2解直角三角形-仰角、俯角问题教案
另外，小组讨论和实践活动环节，学生的参与度很高，他们积极讨论，热烈交流，这让我很欣慰。但我也观察到，有些小组在分享成果时表达不够清晰，这可能是他们在整理思路和语言表达上还存在不足。在以后的教学中，我需要加强对学生表达能力的训练，鼓励他们更加自信、条理清晰地表达自己的观点。
（1）通过实际情境引入仰角、俯角的概念；
（2）掌握正切函数的定义，并应用于仰角、俯角问题的求解；
（3）通过例题讲解和练习，让学生熟练运用解直角三角形的方法解决实际生活中的仰角、俯角问题。
二、核心素养目标
1.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高数学建模素养；
2.通过对正切函数的运用，增强学生的数学运算和数据分析能力；
五、教学反思
在今天的课程中，我们探讨了解直角三角形中的仰角、俯角问题。我发现学生们在理解仰角、俯角概念上并没有太大困难，他们对于这些新知识充满了好奇。但在实际应用上，特别是在构建直角三角形模型和运用正切函数时，部分学生遇到了一些挑战。
首先，我注意到在案例分析环节，有些学生在确定直角三角形的边长和角度时显得犹豫不决。这说明他们对于如何将实际问题转化为数学模型还不够熟练。在未来的教学中，我需要提供更多的实际例子，让学生有更多的机会去练习和体会这一过程。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解仰角与俯角的基本概念。仰角是我们从水平线向上看时，视线与水平线所形成的角；俯角则是我们从水平线向下看时，视线与水平线所形成的角。它们在测量、建筑等领域有着广泛的应用。
解直角三角形(仰角、俯角)[
B
C
课本P92 例4
（第 2 题）
3.国外船只，除特许外，不得进入我国海洋100海里 以内的区域，如图，设A、B是我们的观察站，A和B 之间的距离为157.73海里，海岸线是过A、B的一条 直线，一外国船只在P点，在A点测得∠BAP=450，同 时在B点测得∠ABP=600，问此时是否要向外国船只 发出警告，令其退出我国海域.
3 3
6
∴条幅顶端D点距离地面的高度为 13.66 1.44 15.（1 米）． (8分)
练习5： :一人在塔底A处
C
测得塔顶C的仰角为450，此
人向塔走近100米到B处，又
测得塔顶的仰角为 60度，
已知测角器的高度为2米，
求塔高。
A
B
D
E
练习7： 、在山脚C处测得山顶A的仰角为
45°。问题如下： （1）沿着水平地面向前300米到达D点，在D 点测得山顶A的仰角为600 , 求山高AB。
P
A
B
4、如图，为了测量高速公路的保护石堡坎与地面的倾斜 角∠BDC是否符合建筑标准，用一根长为10m的铁管AB 斜靠在石堡坎B处，在铁管AB上量得AF长为1.5m，F点 离地面的距离为0.9m，又量出石堡坎顶部B到底部D的距 离为 4 3 m ，这样能计算出∠BDC吗？若能，请计算出
∠BDC的度数，若不能，请说明理由。
A
3x
45° 60°
C
D xB
在山脚C处测得山顶A的仰角为450。问题如下：
变式： （2）沿着坡角为30 °的斜坡前进300米
到达D点，在D点测得山顶A的仰角为600 ,求山高
25.3解直角三角形2-仰角与俯角
1 图25.3.3图25.3.425.3解直角三角形2----仰角与俯角课时学习目标1．通过自学掌握仰角与俯角概念, 能利用解直角三角形解决有关仰角与俯角实际问题。
2．由实际问题转化为几何问题时,学会自己画图,建立模型.学习重点难点重点: 灵活应用解直角三角形知识解决实际问题。
难点:由实际问题转化为几何问题(建模)。
课前预习导学1、如图25．3．3，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做___________；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做___________．2、如图，某飞机于空中A 处探测到目标C ，此时飞行高度AC ＝1200米，从飞机上看地面控制点B 的俯角α＝30°，求飞机A 到控制点B 的距离．（精确到1米）已知:sin20°＝ , cos20°＝ ， tg20°＝课堂学习研讨例1 如图25．3．4，为了测量电线杆的高度AB ，在离电线杆22米的D 处，用高1．5米的测角仪CD 测得电线杆顶端B 的仰角α＝30°，求电线杆AB 的高．（精确到0．1米）例2 两座建筑AB 与CD ，其地面距离AC 为50米，从AB 的顶点B 测得CD 的顶部D 的仰角β＝30°，测得其底部C 的俯角α＝45°，求两座建筑物AB 与CD 的高．（精确到0．1米）2 （第4题）课堂达标检测1. 在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝12，则sinB 的值为 。
2. 若30α= ∠，则α∠的余角是 °，cos α= ．3.小明在地面一点A 处测得对面大楼楼顶点C 处的仰角为52 , 则小明从楼楼顶点C 处看地面点A 的俯角为 °.4.如图，飞机A 在目标B 的正上方1000米处，飞行员测得地面目标C 的俯角为30°，求地面目标B 、Ｃ之间的距离．（结果保留根号）1.两幢大楼相距110米，从甲楼顶部看乙楼顶部的仰角为26°，如果甲楼高35米，那么乙楼的高为多少米？（精确到1米）2.如图，一个古代棺木被探明位于点A 地下24米处．由于点A 地面下有煤气管道，考古人员不能垂直向下挖掘，他们被允许从距点A 8米的点B 挖掘．考古人员应以与地平面形成多大的角度进行挖掘才能沿最短路线挖到棺木？他们需要挖多长的距离？（角度精确到1′，距离精确到0．1米）课堂小结：这节课我的收获是 。
解直角三角形(仰角和俯角)知识讲解
=3 4
直角三角形斜边 上的中线等于斜
边的一半
C
D B
在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的 夹角叫做仰角；
从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
视线
铅 仰角 直 线 俯角
水平线
视线
例:热气球的探测器显 示,从热气球看一栋高 楼顶部的仰角为30°, 看这栋高楼底部的俯 角为60°,热气球与高 楼的水平距离为 120m,这栋高楼有多 高?
2、一些解直角三角形的问题往往与其他知识联系， 所以在复习时要形成知识结构，要把解直角三角形作 为一种工具，能在解决各种数学问题时合理运用。
1.如图，某飞机于空中 A处探测到目标C，此时 飞行高度AC=1200米， 从飞机上看地平面控制 点B的俯角α=16031`， 求飞机A到控制点B的距 离.(精确到1米）
A
B
D 40 C
（2007年昆明）如图，AB和CD是同一地面 上的两座相距36米的楼房,在楼AB的楼顶A点 测得楼CD的楼顶C的仰角为450，楼底D的俯 角为300，求楼CD的高？(结果保留根号)
C
A 450
300
B 36
D
1、解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关联 的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过 作辅助线构筑直角三角形（作某边上的高是常用的辅 助线）；当问题以一个实际问题的形式给出时，要善 于读懂题意，把实际问题化归为直角三角形中的边角 关系。
B
α=30°
A 120 D
β=60°
C
例2、学校操场上有一根旗杆，上面有一
根开旗用的绳子（绳子足够长），王同学
A
拿了一把卷尺，并且向数学老师借了一把
A
含300的三角板去度量旗杆的高度。
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解直角三角形
学习目标
1、探索直角三角形中锐角的三角函数值与
三边之间的关系，掌握三角函数定义。
2、掌握特殊角的三角函数值，并会进行有
关特殊角的三角函数值的计算。
3、能综合运用直角三角形的勾股定理与边
角关系解决实际问题，提高数学建模能力。
重点：合理构造直角三角形、解直角三角形
实际应用。
难点：如何理解题意对实际问题建立模型解
题。
教学过程：
一、知识梳理：
（一）锐角三角函数
1.三角函数的定义:
(1)正弦
(2)余弦 .
(3)正切
2.特殊角的三角函数值
（二）直角三角形中的边角关系
1.三边之间的关系
2.两锐角之间的关系
3.边角之间的关系
（三）解直角三角形的应用：仰角和俯角
二、例题
例题: 热气球的探测器显示，从热气
球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看
这栋高楼底部的俯 角为60°，热气
球与高楼的水平距离为120m，这栋高
楼有多高（结果精确到0.1m）
A
B
C
D
α
β
仰角
水平线
俯角
例1如图，直升飞机在跨江大桥AB
的上方P点处，此时飞机离地面的高
度PO=450米，且A、B、O三点在一
条直线上，测得大桥两端的俯角分别
为α=30°，β=45°，求大桥的长AB .
例2：如图，直升飞机在高为200米
的大楼AB上方P点处，从大楼的顶
部和底部测得飞机的仰角为30°和
45°，求飞机的高度PO .
三、变式训练
变题1：如图，直升飞机在长400米
的跨江大桥AB的上方P点处，且A、
B、O三点在一条直线上，在大桥的两
端测得飞机的仰角分别为30°和
45 °，求飞机的高度PO .
变题2：如图，直升飞机在高为200
米的大楼AB左侧P点处，测得大楼
的顶部仰角为45°,测得大楼底部俯
角为30°，求飞机与大楼之间的水平
距离.