五学年和差积商变化规律
和、差、积、商的变化规律
【和的变化规律】
（1）如果一个加数增加（或减少）一个数，另一个加数不变，那么它们的和也增加（或减少）同一个数。用字母表达就是
如果a+b=c，那么（a+d）+b=c+d；
（a-d）+b=c-d。
（2）如果一个加数增加一个数，另一个加数减少同一个数，那么它们的和不变。用字母表达就是
如果a+b=c，那么（a+d）+（b-d）=c。
【差的变化规律】
（1）如果被减数增加（或减少）一个数，减数不变，那么，它们的差也增加（或减少）同一个数。用字母表达，就是
如果a-b=c，那么（a+d）-b=c+d，
（a-d）-b=c-d。
（a＞d+b）
（2）如果减数增加（或减少）一个数，被减数不变，那么它们的差反而减少（或增加）同一个数。用字母表达，就是
如果a-b=c，那么a-（b+d）=c-d（a＞b+d），
a-（b-d）=c+d。
（3）如果被减数和减数都增加（或都减少）同一个数，那么，它们的差不变。用字母表达，就是
如果a-b=c，那么（a+d）-（b+d）=c，
（a-d）-（b-d）=c。
【积的变化规律】
（1）如果一个因数扩大（或缩小）若干倍，另一个因数不变，那么，它们的积也扩大（或缩小）同样的倍数。用字母表达，就是
如果a×b=c，那么（a×n）×b=c×n，
（a÷n）×b=c÷n。
（2）如果一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小同样的倍数，那么它们的积不变。用字母表达，就是
如果a×b=c，那么（a×n）×（b÷n）=c，
或（a÷n）×（b×n）=c。
【商或余数的变化规律】
（1）如果被除数扩大（或缩小）若干倍，除数不变，那么它们的商也扩大（或缩小）同样的倍数。用字母表达，就是
如果a÷b=q，那么（a×n）÷b=q×n，
（a÷n）÷b=q÷n。
（2）如果除数扩大（或缩小）若干倍，被除数不变，那么它们的商反而缩小（或扩大）同样的倍数。用字母表达，就是
如果a÷b=q，那么a÷（b×n）=q÷n，
a÷（b÷n）=q×n。
（3）被除数和除数都扩大（或都缩小）同样的倍数，那么它们的商不变。用字母表达，就是如果a÷b=q，那么（a×n）÷（b×n）=q，
（a÷n）÷（b÷n）=q。
（4）在有余数的除法中，如果被除数和除数都扩大（或都缩小）同样的倍数，不完全商虽然不变，但余数却会跟着扩大（或缩小）同样的倍数。
这一变化规律用字母表示，就是
如果a÷b=q（余r），
那么（a×n）÷（b×n）=q（余r×n），
（a÷n）÷（b÷n）=q（余r÷n）。
例如，84÷9=9……3，
而（84×2）÷（9×2）=9……6（3×2），
（84÷3）÷（9÷3）=9……1（3÷3）。
【例题1】两个数相加，一个加数增加9，另一个加数减少9，和是否发生变化？【思路】一个加数增加9，假如另一个加数不变，和就增加9；假如一个加数不变，另一个加数减少9，和就减少9；和先增加9，接着又减少9，所以不发生变化。
【练习1】
1.两个数相加，一个数减8，另一个数加8，和是否变化？
2.两个数相加，一个数加
3.另一个数也加3.和起什么变化？
3.两个数相加，一个数减6，另一个数减2. 和起什么变化？
【例题2】两个数相加，如果一个加数增加10，要使和增加6，那么另一个加数应有什么变化？
【思路】一个加数增加10，假如另一个加数不变，和就增加10。现在要使和增加6，那么另一个加数应减少10－6=4。
【练习2】
1.两个数相加，如果一个加数增加8，要使和增加15，另一个加数应有什么变化？
2.两个数相加，如果一个加数增加8，要使和减少15，另一个加数应有什么变化？
3.两个数相加，如果一个加数减少8，要使和减少8，另一个加数应有什么变化？
【例题3】两数相减，如果被减数增加8，减数也增加8，差是否起变化？【思路】被减数增加8，假如减数不变，差就增加8；假如被减数不变，减数增加8，差就减少8。两个数的差先增加8，接着又减少8，所以不起什么变化。
【练习3】
1.两数相减，被减数减少6，减数也减少6，差是否起变化？
2.两数相减，被减数增加12.减数减少12.差起什么变化？
3.两数相减，被减数减少10，减数增加10，差起什么变化？
和、差、积、商的变化规律（二）
【例题1】两数相减，被减数减少8，要使差减少12.减数应有什么变化？【思路】被减数减少8，假如减数不变，差也减少8；现在要使差减少12.减数应增加12－8=4。
【练习1】
1.两数相减，如果被减数增加6，要使差增加15，减数应有什么变化？
2.两数相减，如果被减数增加20，要使差减少12.减数应有什么变化？
3.两数相减，减数减少9，要使差增加16，被减数应有什么变化？
【例题4】小华在计算两个数相加时，把一个加数个位上的1错误地写成7，把另一个加数十位上的3错误地写成8，所得的和是1996。原来两个数相加的正确答案是多少？
【思路】根据题意，一个加数个位上的1被写成了7，这样错写一个加数比原来增加了6；另一个加数十位上的3写成8，增加了50。这样，所得的结果就比原来增加了6+50=56。所以，原来两数相加的正确答案是：1996－（6＋56）=1940。
【练习4】
1.小明在计算加法时，把一个加数十位上的0错写成8，把另一个加数个位上的6错写成9，所得的和是532。正确的和是多少？
2.小强在计算加法时，把一个加数十位上的7错写成1.把个位上的8错写成0，所得的和是28 5。正确的和是多少？
3.小亮在计算加法时，把一个加数个位上的5错写成3.把另一个加数十位上的3错写成8，所得的和是650。正确的和是多少？
【例题5】王霞在计算题时，由于粗心大意，把被减数个位上的3错写成5，把十位上的6错写成0，这样算得差是189。正确的差是多少？
【思路】根据题意，被减数个位上的3写成5，因此增加了2；十位上的6写成0，因此减少6 0。这样错写的被减数比原来减少了60－2=58。因为减数不变，根据差的变化规律，正确的差要比错误的差多50。正确的差是：189＋58=247。
【练习5】
1.小军在做题时，把被减数个位上的3错写成8，把十位上的0错写成6，这样算得的差是198。正确的差是多少？
2.小刚在做题时，把减数个位上的9错写成6，把十位上的3错写成8，这样算得的差是268。正确的差是多少？
3.小红在做题时，把被减数十位上的0错写成8，把减数个位上的8错写成3.这样算得的差是6 32。正确的差是多少？
一、和的变化规律
(一)如果一个加数增加一个数，另一个加数不变，那么它们的和也增加同一个数．
例如：3＋5=8 (3＋2)＋5=8＋2
(二)如果一个加数减少一个数，另一个加数不变，那么，它们的和也减少同一个数．
例如：8＋6=14 (8－4)＋6=14－4
(三)如果一个加数增加一个数，另一个加数减少同样的数，那么，它们的和不变．
例如：8＋3=11 (8＋2)＋(3－2)=11 (8－6)＋(3＋6)=11
(四)如果一个加数增加一个数m，另一个加数增加一个数n，那么，它们的和就增加(m＋n)．
例如：5＋3=8 (5＋2)＋(3＋7)=8＋(2＋7)
(五)如果一个加数减少一个数m，另一个加数减少一个数n，那么，它们的和就减少(m＋n)．
例如：30＋18=48 (30－15)＋(18－9)=48－(15＋9)
(六)如果一个加数增加一个数m，另一个加数减少一个数n，当m＞n时，它们的和就增加(m－n)；当m＜n时，它们的和就减少(n－m)．
例如：8＋5=13 (8＋7)＋(5－3)=13＋(7－3) (8＋2)＋(5－4)=13－(4－2)
二、差的变化规律
(一)如果被减数增加或减少一个数，减数不变，那么它们的差也增加或减少同一个数．
例如：9－5=4 (9＋3)－5=4＋3 (9－2)－5=4－2
(二)如果减数增加或减少一个数，被减数不变，那么，它们的差就减少或增加同一个数．
例如：9－5=4 9－(5＋3)=4－3 9－(5－3)=4＋3
(三)如果被减数和减数同时增加或减少同一个数，那么，它们的差相等．
例如：15－8=7 (15＋3)－(8＋3)=7 (15－5)－(8－5)=7
(四)如果被减数增加一个数m，减数减少一个数n，那么，它们的差就增加(m＋n)．
例如：18－12=6 (18＋4)－(12－3)=6＋(4＋3)
(五)如果被减数减少一个数m，减数增加一个数n，那么，它们的差就减少(m＋n)
例如：18－12=6 (18－2)－(12＋1)=6－(2＋1)
(六)如果被减数增加一个数m，减数增加一个数n，那么，当m＞n时，它们的差就增加(m＋n)；当m＜n时，它们的差就减少(n－m)．
例如：20－12=8 (20＋5)－(12＋3)=8＋(5－3) (20＋5)－(12＋6)=8－(6－5)
(七)如果被减数减少一个数m，减数减少一个数n，那么，当m＞n时，它们的差要减少(m－n)；当m＜n时，它们的差要增加(n－m)．
例如：40－22=18 (40－3)－(22－2)=18－(3－2) (40－5)－(22－7)=18＋(7－5)
加减法混合运算的性质
(一)交换的性质
在加减混合运算式题中，带着数字前的运算符号，变换加、减数的位置顺序进行计算，结果不变．如a＋b－c=a－c＋b (a≥c)
＝b－c＋a (b≥c)
(二)结合的性质
在加减混合运算中，可以把加数、减数用括号括起来．当加号后面添括号时，原来的加数，减数都不变；当减号后面添括号时，则原来的减数变加数，加数变减数．如
a－b＋c－d＋m
=(a－b)＋(c－d)＋m (a≥b，c≥d)
＝a－(b－c)－(d－m) (b≥c，d≥m)
=a＋(m－b)＋(c－d) (m≥b，c≥d)
可以归纳为，括号前面是加号，去掉括号不变“号”；加号后面添括号，括号里面不变“号”，括号前面是减号，去掉括号要变“号”，减号后面填括号，括号里面要变“号”．【例题2】两个数相除，商是8，余数是20，如果被除数和除数同时扩大10倍，商是多少？余数是多少？
【思路】两数相除，被除数和除数同时扩大相同的倍数，商不变，余数扩大相同的倍数。所以商是8，余数是20×10=200。
【练习2】
1.两数相除，商是6，余数是30，如果被除数和除数同时扩大10倍，商是多少？余数是多少？
2.两个数相除，商是9，余数是3。如果被除数和除数同时扩大120倍，商是多少？余数是多少？
3.两个数相除，商是8，余数是600。如果被除数和除数同时缩小100倍，商是多少？余数是多少？
【例题3】两数相乘，积是48。如果一个因数扩大2倍，另一个因数缩小3倍，那么积是多少？
【思路】一个因数扩大2倍，积扩大2倍；另一个因数缩小3倍，积缩小3倍。所以最后的积是48×2÷3=32。
【练习3】
1.两数相乘，积是20。如果一个因数扩大3倍，另一个因数缩小4倍，那么积是多少？
2.两数相除，商是19。如果被除数扩大20倍，除数缩小4倍，那么商是多少？
3.两数相除，商是27。如果被除数扩大12倍，除数扩大6倍，那么商是多少？
积商的变化规律练习题
知识要点：
【积的变化规律】
（1）如果一个因数扩大（或缩小）若干倍，另一个因数不变，那么，它们的积也扩大（或缩小）同样的倍数。用字母表达，就是
如果a×b=c，那么（a×n）×b=c×n，（a÷n）×b=c÷n。
（2）如果一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小同样的倍数，那么它们的积不变。用字母表达，就是
如果a×b=c，那么（a×n）×（b÷n）=c，或（a÷n）×（b×n）=c。
练习题：
1
2、两个因数相乘，一个因数乘6，另一个因数不变，那么积（）。
3、两个因数相乘的积是5600，如果一个因数不变，另外一个因数除以10，那么积是（）。
4、两个数相乘是75，如果一个因数乘7，另一个因数除以7，积是（）。
5、已知A×B=400，如果A乘3，则积是（），如果B除以5，则积是（）。
6、两个数相乘，一个因数乘10，另一个因数也乘10，积（）。
7、两个因数的积是420，如果一个因数不变，另一个因数乘8，积是（）。8、两个数相乘的积是160，如果一个因数除以2，另一个因数也除以2，积是（）。
【商或余数的变化规律】
（1）如果被除数扩大（或缩小）若干倍，除数不变，那么它们的商也扩大（或缩小）同样的倍数。用字母表达，就是
如果a÷b=q，那么（a×n）÷b=q×n，（a÷n）÷b=q÷n。
（2）如果除数扩大（或缩小）若干倍，被除数不变，那么它们的商反而缩小（或扩大）同样的倍数。用字母表达，就是
如果a÷b=q，那么a÷（b×n）=q÷n，a÷（b÷n）=q×n。
（3）被除数和除数都扩大（或都缩小）同样的倍数，那么它们的商不变。用字母表达，就是如果a÷b=q，那么（a×n）÷（b×n）=q，（a÷n）÷（b÷n）=q。
（4）在有余数的除法中，如果被除数和除数都扩大（或都缩小）同样的倍数，不完全商虽然不变，但余数却会跟着扩大（或缩小）同样的倍数。
这一变化规律用字母表示，就是如果a÷b=q（余r），
那么（a×n）÷（b×n）=q（余r×n），（a÷n）÷（b÷n）=q（余r÷n）。
例如，84÷9=9……3，
而（84×2）÷（9×2）=9……6（3×2），（84÷3）÷（9÷3）=9……1（3÷3）。
积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘或除以几，积就相应的乘或除以几。积不变规律：一个因数乘或除以几，另一个因数相应的除以或乘几，积不变。一个数乘一个比1大的数，积比原数大；一个数乘一个比1小的数，积比原数小。商的变化规律：被除数不变，除数乘或除以几，商就相应的除以或乘几。
除数不变，被除数乘或除以几，商就相应的乘或除以几。
商不变规律：被除数和除数同时乘或除以几，商不变。被除数大于除数，商就大于1；被除数小于除数，商就小于1.
一个数除以一个比1大的数，商比被除数要小；一个数除以一个比1小的数，商比被除数要大。
1、根据78×12＝936，填写下面各题的结果。
7.8×12＝（）0.78×12＝（）7.8×0.12＝（）0.78×（）＝936 2、根据414÷18＝23，填写下面各题的结果。
4.14÷1.8＝（）4140÷1.8＝（）0.414÷0.18＝（）41.4÷18＝（）
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8、两个数相除，被除数不变，除数缩小到原数的1/10，商（）；若除数不变，被除数扩大到原数的1/100，商就（）。
9、两数相乘，一个因数乘4，另一个因数不变，积就（）；若一个因数乘4，另一个因数除以4，积（10、两个因数的积是0.5，如果一个因数扩大10倍，另一个因数扩大100倍，积应该是（）。11、两数相除，商是7.6，被除数扩大10倍，除数缩小到原数的1/100，商应该是（）。12、26.87扩大到它的( )倍得到26870,再缩小到它的( )得268.7。
13、甲乙两数的和是418，甲数的小数点向右移到一位后就等于乙数，甲数是（），乙数是（）。14、1000张纸叠起来厚9.2厘
米,平均每张纸厚( )厘米,一厘米约有( )张纸. 15、一吨海水含盐0.03吨,10吨海水含盐( )吨,1000吨海水含盐( )吨.
16、由45到0.045缩小到原数的( ). 17、由0.08到80,扩大到原数的( ). 17、两个数相除，除数缩小到原数的1/4，商就（）。
18、把一根粗细均匀的木头锯成两段用了0.24小时，如果把它锯成8段一共用（）小时。19、一个小数与它自已相加、相减、相
除，其和、差、商相加为5.8，这个小数是（）。
）。
20、5．28除以最小的两位小数与最小的一位小数的积，商是（）。21、要使2□6800≈30万，□里可以填（）。
22、把3.56的小数点去掉以后，就扩大了它的（），再除以1000得（）。23、23的十分之一与79的一半和是多少列式是（）。
24、幸福村有5个鱼塘，去年平均每个鱼塘产鱼980千克，每产1千克鱼的成本是1.68元，幸福村的鱼塘一共产鱼多少千克？成本
是多少元？
25、甲乙两列火车于晚10时30分同时由两地开出,相对而行.甲车每小时行60.8千米,乙车每小时行50.4千米,第二天上午8时两车相
遇,两地相距多少千米?
积与商的变化规律
[问题一]两数相乘，如果一个因数乘3，另一个因数除以12，积将有什么变化？
想：如果一个因数扩大3倍，另一个因数不变，积将扩大3倍；如果一个因数不变，另一个因数缩小12倍，积将缩小12倍。积扩大3倍又缩小12倍，因此，积缩小了12÷3=4倍。
解：12÷3=4 答：积缩小了4倍。[试一试]
1、两数相乘，如果一个因数缩小5倍，另一个因数扩大5倍，积是否起变化？
２、两数相乘，积是36，如果一个因数扩大2倍，另一个因数缩小3倍，那么积是多少？
3、两数相乘，积是72如果一个因数扩大4倍，另一个因数缩小3倍，那么积是多少？
[问题二]两个数相除，被除数扩大30倍，除数缩小6倍，商将怎样变化？
想：如果被除数扩大30倍，除数不变，商将扩大30倍；如果被除数不变，除数缩小6倍，商将扩大6倍；商先扩大30倍，又扩大6倍，商将扩大30×6=180倍。
解：30×6=180 答：商将扩大180倍。
[试一试]
1、两个数相除，被除数扩大4倍，除数缩小2倍，商将怎样变化？
2、小明在计算除法时，把除数末尾的“0”漏写了，结果得到的商是500，正确的商应该是多少？
3、小冬在计算除法时，把除数末尾的“0”漏写了，结果得到的商是70，正确的商应该是多少？
[问题三]两数相除，商是6，余数是30，如果被除数和除数同时扩大10倍，商是多少？余数是多少？
想：根据商不变的规律，被除数和除数同时扩大10倍，商不变，余数也扩大10倍，所以商是6，余数是30×10=300。
解：略。答：商是6，余数是300。[试一试]
1、两数相除，商是8，余数是10，如果被除数和除数同时扩大10倍，商是多少？余数是多少？
2、两数相除，商是7，余数是3，如果被除数和除数同时扩大120倍，商是多少？余数是多少？
3、两数相除，商是8，余数是600，如果被除数和除数同时缩小100倍，商是多少？余数是多少？
[问题四]在一道没有括号的乘除混合运算中，如果一个因数扩大4倍，除数缩小2倍，得数会发生怎样的变化？
想：根据积与商的变化规律，一个因数扩大4倍，另一个因数不变，得数将扩大4倍；被除数不变，除数缩小2倍，得数将扩大2倍。最后的得数实际扩大了4×2=8倍。
解：4×2=8
答：得数扩大8倍。[试一试]
1、在一道没有括号的乘除混合运算中，如果一个因数扩大6倍，除数缩小3倍，得数会怎么变？
2、在一道没有括号的乘除混合运算中，如果一个因数缩小4倍，除数缩小8倍，得数会怎么变？
3、在一道没有括号的乘除混合运算中，如果一个因数扩大8倍，另一个因数缩小2倍，一个除数缩小3倍，得数会发生怎样的变化？
[练一练]
1、两数相乘，如果一个因数扩大8倍，另一个因数缩小2倍，积
是否起变化？
2、两数相乘，如果一个因数扩大3倍，另一个因数扩大9倍，积将有什么变化？
3、两个数相除，商是19，如果被除数扩大20倍，除数缩小4倍，那么商是多少？
4、两个数相除，商是27，如果被除数扩大12倍，除数扩大6倍，那么商是多少？
5、两数相除，被除数缩小12倍，除数缩小2倍，商将怎样变化？
6、两数相除，被除数扩大5倍，除数扩大5倍，商将怎样变化？
7、小刚在计算除法时，把被除数的末尾多写了个“0”，结果得到商30，正确的商应该是多少？
8、芳芳在计算乘法时，把一个因数的末尾多写了个“0”，结果积是800，正确的积是多少？
9、在一道没有括号的乘除混合运算中，如果一个因数扩大6倍，另一个因数缩小3倍，一个除数缩小4倍，得数会发生怎样的变化？
10、两个数相除，商是8，余数是3，如果被除数和除数同时扩大到它的20倍，商是多少？余数是多少？
1. 我会做。
（1）在一道除法算式里，如果被除数除以5，除数也除以5，商（）。
（2）在一道除法算式里，如果被除数乘10，要使商不变，除数（）。
（3）在一道除法算式里，如果除数除以100，要使商不变，被除数（）。
2、根据每组第一个算式的结果，直接写出第二、第三个算式的得数。
（1）18 ÷6=3 （2）480÷10=48
（18×2）÷（6×2）= （480 ÷2）÷（10 ÷2）= （18×3）÷（6×3）= （480 ÷5）÷（10÷5）=
3、在里填运算符号，在里填适当的数。
（1）24÷8＝（24×2）÷（8×□）
（2）360÷60=（360÷10）÷（60○10）
（3）96÷6＝（96○□）÷（6○□）
4．40秒竞赛。
240÷30＝80÷20＝360÷90＝4800÷400＝440÷20＝9600÷800＝120÷40＝2400÷60＝
5、两个因数相乘，如果一个因数缩小5倍，另一个因数扩大5倍，积有什么变化？
6、被除数扩大3倍，除数不变，商（）
7、被除数缩小3倍，除数不变，商（）
8、两个加数都扩大8倍，则和扩大（）倍
9、被除数、除数和余数的和160。已知除数是20，余数是10，那么商是（）
10、两数相除,被除数扩大3倍，除数缩小6倍，商( )
11、小明在计算除法时，把除数末尾的0漏写了，结果得到的商是500，正确的商是（）
12、豪豪在计算除法时，把被除数的末尾多写了1个“0”，结果得到的商是132，正确的商是（）
13、两数相除，商是8，余数是40，如果被除数和除数同时扩大10倍，商是（）余数是（）
14、两数相除，商是8，余数是40，如果被除数和除数同时扩大13倍，商是（）余数是（）
15、两数相乘，积是96，如果一个因数扩大2倍，另一因数缩小3倍，积是（）
16、两数相除，商是19，如果被除数扩大20倍，除数缩小4倍，商是（）
17、两数相除，商是19，如果被除数扩大20倍，除数扩大4倍，商是（）
18、两数相除，商是19，如果被除数缩小20倍，除数缩小4倍，商是（）
19、两数相除，商是19，如果被除数缩小20倍，除数扩大4倍，商是（)
三、判断：
①210÷30=（210×15）÷（30×15）???????? （）②48÷12=（48×3）÷（12×4）??????????（）③60÷12=（60 ÷3）÷（12×3）??????????（）④63÷7=（63÷10）÷（7÷10）????????（）⑤被除数不变，如果除数除以3，商也会除以3。?? （）⑥两数相除的商是20，被除数和除数同时乘2，商是40。??（）
五、根据上面的算式，在下面的括号里填上合适的数。
（1）150÷50＝3 （2）180÷3＝60（3）240÷80＝3 （）÷50＝6 540÷9＝（）240÷（）＝6 （）÷（）=3 1800÷（）=60 （）÷80=6 （想一想每一题都是根据今天学的哪条规律？）
六：根据476÷17＝28，你能写出多少个商是28的除法算式？